Aula 3

MAT016 - Estatística e Probabilidade

IFSudeste de Minas Gerais - Campus JF

Mediana

Denição:

Para um conjunto de valores colocados em ordem crescente ou decrescente de grandeza, a mediana é o elemento que ocupa a posição central.

Observação: Pode-se armar que pelo menos 50% das observações da amostra são valores iguais ou superiores e pelo menos 50% das observações da amostra são valores iguais ou inferiores à mediana.

Mediana para Dados Não-Agrupados em Classes

Quando o número de elementos da amostra é ímpar, a mediana é o elemento que ocupa a posição n +₂ 1, ou seja,

Md = Xn+1 2 . Exemplos:

1 Seja uma variável aleatória X assumindo os seguintes valores:

X =14, 8, 10, 5, 7. Calcule a mediana.

Caso 2:

Quando o número de elementos da amostra é par, a mediana é a média aritmética dos valores centrais do ordem n₂ e n₂ +1, ou seja,

Md = X

n

2 + Xn2+1

2 .

Exemplos:

1 Seja uma variável X assumindo os seguintes valores:

X =8, 10, 5, 7, 15, 14. Obter a mediana.

Moda

Denição:

A moda é denida como a relização mais frequente do conjunto de valores observados.

Quando a distribuição das observações é tal que as frequências são maiores nos extremos a utilização apenas da média e da mediana é contra-indicada, pois são valores pouco representativos do

Uma série de dados pode ser classicada em: Amodal: não possui moda;

Unimodal: possui apenas uma moda; Bimodal: possui duas modas;

Moda para Dados Não-Agrupados em Classes

Exemplo:

1 Em uma pesquisa realizada com 100 famílias, levantaram-se as

seguintes informações:

a) Qual a mediana do número de lhos? b) E a moda?

Medidas de Dispersão

As medidas de dispersão são estatísticas descritivas, que

quanticam de algum modo a variabilidade dos dados, geralmente utilizando como referência uma medida de posição.

Caracterizar um conjunto de dados apenas por medidas de posição é inadequado, pois conjuntos com medidas de posição semelhantes podem apresentar características muito diferentes.

Exemplo:

Amostra A: 4, 8, 3, 9, 7, 5 Amostra B: 1, 5, 2, 14, 3, 11

Variância e Desvio padrão

Denição:

O desvio médio, referente à variável X de um conjunto de dados, é denido por dm(X ) = 1 n n X i =1 |Xi− X |.

A variância é denida por var (X ) = 1 n n X i =1 (Xi − X )2.

O dp indica qual será o erro (desvio) ao tentar substituir cada observação pela medida resumo do conjunto de dados.

Para facilitar o cálculo da variância, podemos utilizar a seguinte igualdade: var (X ) = 1 n n X i =1 (Xi − X )2= 1 n n X i =1 X_i2− X2.

Exemplo:

1 As taxas de juros recebidas por 10 ações durante um certo

período foram (medidas em porcentagem)

2, 59; 2, 64; 2, 60; 2, 62; 2, 57; 2, 55; 2, 61; 2, 50; 2, 63; 2, 64. Calcule a média, a mediana e o desvio padrão.

Suponhamos que sejam observados ni vezes o valor Xi da variável X. Então: dm(X ) = 1 n n X i =1 ni|Xi − X | = n X i =1 fi|Xi − X |, var (X ) = 1 n n X i =1 ni(Xi− X )2 = n X i =1 fi(Xi− X )2, dp(X ) =pvar (X ).

Exemplo:

1 Para os dados da Tabela a seguir, calcule o desvio médio, a

Propriedades da Variância:

1 A variância é sempre maior ou igual a 0, ou seja, var(X ) ≥ 0.

2 Para X = k, sendo k uma constante, var(X ) = 0.

3 Para Y = X + k, sendo k uma constante,var(Y ) = var(X ).

Coeciente de Variação

Denição:

O coeciente de variação expresso em porcentagem e dado por cv (X ) = dp(X )

X ·100.

Aplicação:

- Avaliação da precisão de experimentos;

- Analisar qual amostra é mais homogênea (menor variabilidade). Na situação em que as amostras possuem a mesma média, a conclusão pode ser feita a partir da comparação de suas variâncias.

Exemplo:

Duas turmas A e B apresentaram as seguintes estatísticas na primeira prova:

Turma A Turma B

n 50 60

X 65 70

var (X ) 225 235

Erro-Padrão da Média

Denição:

É uma medida utilizada para avaliar a precisão da média. Pode ser calculado dividindo o desvio padrão da amostra pela raiz quadrada do tamanho da amostra:

σ(X ) = dp(X )√

Exemplo:

Considerando a tabela do exemplo anterior, calcule o erro-padrão relacionado a cada turma.