Rotacao Rolamento 2018I

Objetivo: estudar o deslocamento de um corpo quando esta rolando Parte III

6. Movimento de Rotação

•Variáveis da rotação,

•Relação entre Cinemática Linear e Cinemática Angular, •Energia cinética de rotação,

•Inércia Rotacional,

•Segunda lei de Newton para a rotação, •Trabalho e energia cinética de Rotação.

7. Rolamento. Torque e momento angular

•Noções básicas e variáveis físicas associadas ao Rolamento: translação e rotação.

•Energia cinética de rolamento. •As forças de rolamento

•Torque e momento angular

.

Movimento de rotação: corpos rígidos

Posição de um ponto do corpo rígido

• vetor posição

j

y

i

x

r





ˆ



ˆ

•Todas as partes de um corpo descrevem trajetórias circulares ao redor de um eixo de rotação.

• ângulo e módulo

módulo ou raio da trajetória posição angular 2 1 2 1 y x r r r     θ = θ(t)

O movimento de rotação é o giro que um corpo realiza ao redor de si mesmo, ou seja, ao redor do seu próprio eixo.

.

• S(t₀, r, θ₀): Posição inicial; • S(t, r, θ): Posição final;

Movimento de rotação: corpos rígidos

j

y

i

x

r





ˆ



ˆ

i

x

r





ˆ

Trajetória : S(t) lugar geométrico das posições

t

t

t





















dt

d

t

Lim















 velocidade angular instantânea

Movimento de rotação: corpos rígidos

Variação da posição angular em relação ao tempo: ω

θ₁: posição angular num tempo t₁  S₁(pos.inicial) θ₂: posição angular num tempo t₂  S₂ (pos.final) Δ: deslocamento angular entre t₁ e t₂ ΔS

t t t_{f o} o f           dt d t Lim _{t 0}        _{ }

• Aceleração angular média

Movimento de rotação: corpos rígidos

 Aceleração angular instantânea

dt d dt d _{ }     ) ( ₀ 0 0 0 0 t t dt dt d t t t t      

_

_



t

















As equações para rotação são obtidas integrando a equação de movimento:

• a velocidade angular, ω, entre t e t₀:

para t₀ = 0, temos:

• a posição angular, θ, entre t e t₀:

Rotação com aceleração angular constante: α

(1) para t₀ = 0, temos: 2 t t 2 o o        (2)    2  2 2  Assim como: (3)

Ponto de verificação

Em que situações i, ii, iii e iv:

a) a aceleração angular é constante b) a velocidade angular constante c) a velocidade angular varia

3 t 5 ) iv t 4 t 2 ) iii 6 t 4 t 5 ) ii 4 t 3 ) i 2 2 2 3              

Exemplo:

Um pião gira com aceleração angular

α = 5t3 _{- 4t,}

onde t está em segundos e α em radianos por segundo ao quadrado. Em t = 0 a

velocidade angular do pião é 5 rad/s e uma reta de referência traçada no pião está na posição angular θ= 2 rad.

(a) Obtenha uma expressão para a velocidade angular do pião, ω(t). (b) Obtenha uma expressão para a posição angular do pião, θ(t). Rpta:

(a) (b)

10

dt dS v i

i 

 = ω: velocidade angular do corpo,

Velocidade escalar linear

para uma partícula no corpo rígido na posição r_i que percorre uma trajetória S:

Posição espacial, S_i(θ)



r

S



Considerando uma partícula no corpo rígido na posição r_i:

Relação entre as variáveis lineares (s,v,a) e angulares (θ, ω,α)

(1) Derivando (1): dt dr dt d r r dt d dt dS i i  ₍







r

v







i i i i i i r dt r d dt dv a   (





a

a

a













Para a partícula de um corpo rígido, a aceleração está composta por duas componentes:

•aceleração radial

Desta maneira temos : •aceleração escalar linear

Aceleração

•aceleração tangencial, da figura observa se:

i i t i t

a

a

r

a









a

a

a

a















Exemplo 1

Quatro polias estão conectadas por duas correias conforme mostrado na figura a seguir. A polia A ( r_A = 15cm ) é a polia motriz e gira a 10rad/s . A

polia B ( r_B = 10cm ) está conectada à A pela correia 1 . A polia B' (r_B' = 5cm)

é concêntrica à B e está rigidamente ligada à ela. A polia C ( r_C = 25cm )

está conectada à polia B' pela correia 2.

a) Calcule a velocidade linear de um ponto

na correia 1.

b) Calcule a velocidade angular da polia B. c) Calcule a velocidade angular da polia B'. d) Calcule a velocidade linear de um ponto

na correia 2.

Uma certa moeda de massa M é colocada a uma distância R do centro de um prato de um toca discos. O coeficiente de atrito estático é μ_E. A velocidade angular do toca discos vai aumentando lentamente até ω₀, quando, neste instante, a moeda escorrega para fora do prato. Determine ω₀ em função das

grandezas M , R , g e μ_E .

Exemplo

Vista superior

Vista de lado Da figura, vista superior:

A tendência da moeda é sair em línea do toca discos.

Para a moeda fazer uma trajetória circular uma força dever ser aplicada com direção e sentido ao centro. Portanto esta força de ser a força de atrito, F_a.

14 a m F_R   a m N P F_a       Vista superior Vista de lado Da figura, vista de lado:



























mg

N

P

N

F

ma

F

F

0



gR

v

R

v

m

mg











R

g

R

v

_

















O corpo composto por n partículas de massa m Características da partícula i :

m_i : massa

v_i : velocidade linear (tangencial) r_i : distancia ao eixo.

como v_i = r_i _i e _i = , então temos: v_i = r_i 

Energia cinética de rotação

Então, a energia cinética deste sistema é:





m

r

I

Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar ou alterar sua rotação.

Esta grandeza é constante para um dado corpo rígido e um eixo de rotação particular.

Energia cinética de um corpo rígido em rotação pura. grandeza escalar.

Momento de inércia ou inércia à rotação, do conjunto de partículas (I).

Então: Sistema SI: Kg.m2 Exemplo: Sistema de 3 partículas 2 2 2 1 _       



Esta relação pode ser interpretada como a distribuição da massa do corpo ao redor de seu eixo de rotação.

Ponto de verificação

A figura mostra três pequenas esferas que giram em torno de um eixo vertical. A distância perpendicular entre o eixo e o centro de cada esfera é dada.

Ordene as três esferas de acordo com seus momentos de inércia em torno de eixo, em ordem decrescente.









1. Dividimos o corpo rígido em n pequenas partes iguais, Δm_i: i = 1, 2....n, considerando que está composto por um conjunto de n partículas.

Então o momento de inercia total é:

e a massa total do corpo:

então, m_i 0, teremos de (1):

Momento de inércia de um corpo rígido

Momento de inércia no ponto

P para um corpo rígido.

... 2 2 2 2 2 1 1 n n P m r m r m r I     Isto é:

Com o objetivo de aproximar para um valor real do momento de inercia total: (1)

Alguns momentos de Inercia



 r dm I_P 2

Por exemplo: o eixo x'y' que passa por P x'y' J xy

I_cm: momento de inércia no cm

h: Distância entre os dois eixos xy (cm) e x'y'(P) P : origem das coordenadas x'y'

Teorema dos eixos paralelos

Condição necessária:

•Conhecer o momento de inércia do corpo no cm, I_cm

•Traçar um eixo qualquer que passe por seu centro de massa, O(cm).

•Traçar qualquer eixo paralelo que passe pelo ponto a ser determinado, ex: I_P.

(x,y) 2

h

M

I

I





Portanto, o momento de inercia pelo eixo que passa pelo ponto P, é dado por:

Ponto de verificação

A figura mostra um livro e quatro eixos de rotação, todos perpendiculares à capa do livro. Ordene os eixos de acordo com o momento de inércia do objeto em relação ao eixo, em ordem decrescente.

Exemplo:

a. Momento de inércia de um bastão fino de massa M e comprimento L em relação a um eixo perpendicular ao bastão e que passa por seu centro de massa, O.







I

r

dm

I

Vamos dividir o corpo em pedaços de massa dm e tamanho dx. Posição de dm na figura é x com relação a origem (CM).

dx L M dm dx dm L M _{  }   12 2 2 3 3 2 3 3 2 / 2 / 3 2 / 2 / 2 2 / 2 / 2 2 ML L L L M x L M I dx x L M dx L M x dm r I L L CM L L L L CM                                    







b. Momento de inércia de um bastão fino de massa M e comprimento L em relação a um eixo perpendicular ao bastão e que passa por uma de suas

extremidades, O.





r

dm

I

Ou, aplicando o teorema dos eixos paralelos

3 3 2 0 3 0 2 2 x ML L M dx x L M dm r I L L O 





Fato experimental:

•A componente paralela a r, não provoca nenhum movimento:

F_r = F cos 

•A componente perpendicular a r, provoca o giro do corpo:

F_t = F sen 

•A capacidade de girar o corpo depende da intensidade de sua componente tangencial F_t e da

distância ao ponto O em que a força é aplicada.

Da figura, analisando as componentes da força

F

• Torque é uma palavra que vem do latim e significa “torcer”.

• Torcer pode ser identificada de forma mais intuitiva como a ação de girar, para isto precisa-se de uma força F.

r

Rearranjando, podemos interpretar como  = (r sen ) F = r_┴ F

r_┴: componente perpendicular de

F

r_┴ = r sen: distância perpendicular entre a "linha de ação da força“ e o ponto O, sobre o eixo de rotação.

Obs:

Quando a linha de ação da força passa pelo eixo de rotação (ver figura), o torque é zero, F.

Analise quantitativo do torque

Esta capacidade pode ser quantificada através da relação:



τ = r (F sen ) = r F

F

r

•O torque é uma variável vetorial porque ela tem um sentido e direção. •A intensidade depende do ângulo entre e , assim como, o sentido. •o ângulo é medido partindo de r em sentido anti-horário.

Então o torque τ pode ser positivo (horário) e negativo (anti-horário).

F

r













A força provoca um movimento de rotação, e o corpo pode adquirir um movimento em direção do eixo. Neste caso saindo do plano, similar a um parafuso.

Analise quantitativo do torque

O módulo é:



= r F sen Φ

ϕ: ângulo entre r e F (anti-horário)

Portanto o torque na forma vetorial em torno do ponto O  = (r sen ) F

Ponto de verificação

A figura mostra uma vista superior de um bastão de uma régua de um metro que pode girarem torno de um eixo que passa na posição 20cm. As cinco forças aplicadas à régua são horizontais e têm o mesmo módulo. Ordene as forças de acordo com o módulo do torque que produzem, do maior para o menor.

Segunda Lei de Newton para a Rotação

Torque sobre uma partícula

A figura abaixo mostra uma partícula presa a uma barra no plano xy força que age sobre a partícula

posição da partícula cujo módulo é constante Sabemos que o torque esta dado por:

:

:

r

F





F

r













Da segunda Lei de Newton













a

m

F

a

m

F

a

m

F





Portanto, o torque de uma partícula será:

I: momento de inércia da partícula α: Aceleração angular

 = I α

Comp. tang comp. rad.

Da figura, o torque:

O momento de inércia, ou inércia rotacional, é uma medida da









(

)

[

(

)]

(

)

r

ma

r

m

r

m

r

F

r









a) a aceleração angular, α: para t = 0 θ_o= 0 ω_o = 0 t = t θ_o= 0 ω_o = 0 a = α R 2 2 0 0 2 2 t t t           

b) a aceleração dos dois blocos, coincide com a velocidade tangencial da polia: Sabemos que: 2 2 t R a R a    

c) As tensões na parte superior T₂ e parte inferior T₁: Para determinar T₁= F₁ do corpo 1: M t R g F₁ (  2₂ ) R I F F I R F R F I O        ₁  ₂    ₂  ₁ 2 1 1 2 1 1 P Ma F P Ma T            _   R I R M t Mg F₂ 2₂ M a g F₁  (  ₂) 2 2 2 2 2 t R a R a a a       como :

Para determinar T₂ devido a que se desconhece o atrito entre a mesa e o corpo então, será utilizada a rotação da polia, a qual deve-se às forças aplicadas, então analisando o torque no ponto O:

Trabalho, o teorema do trabalho e Potência – uma partícula

Para calcular o trabalho elementar dW executado por uma força F temos que:

 d r F ds F s d F dW  .   _t  _t mas, também:

multiplicando por dθ, temos:

           d I d dt d I d dt d I d ou seja 2 2 2 2 1 2 1 | 2 W I f I i I d I d W f i f i f i                   







Trabalho, potência e o teorema do trabalho – uma partícula

Para calcular a potência, P, associada à atuação da forca, F, devemos considerar que





d

dW 







P

Rolamento, torque e momento angular

Considere um aro de raio R, rolando sem deslizar. Quando essa roda girar de um ângulo θ, o ponto de contato do aro com a superfície horizontal se deslocou uma distância s , tal que;

s = R θ

O centro de massa do aro também deslocou se da mesma distância. Portanto, a velocidade de deslocamento do centro de massa do aro é:

  R v dt d R dt ds v_CM    _CM    R a dt d R dt dv a CM _CM CM    

De maneira equivalente podemos encontrar a forma da aceleração do centro de massa do aro:

(1)

(2)

(3)

O Rolamento

Figura a. Todos os pontos na periferia da roda têm uma velocidade linear v Figura b. Movimento de translação (não roda) puro, os pontos da roda se movem para a direita com uma velocidade v_CM.

Figura C. Representa o rolamento da roda. Na extremidade inferior v=0, na extremidade superior v = 2v_CM

O rolamento pode ser entendido como uma rotação pura se observarmos que a cada instante o corpo está girando em torno de um eixo instantâneo, que passa pelo ponto de contato P entre esse corpo e a superfície que o suporta.

Esse eixo é perpendicular à direção do movimento. •Descrito como uma rotação pura

a velocidade do topo da roda é

v_Topo = ω (2R) = 2 v_CM

A velocidade do centro da roda é

v_CM = ω R

O Rolamento

a velocidade da base da roda é

A energia cinética: Rolamento

Observa-se que esta equação está composto de um movimento de rotação ao redor do centro de massa e de um movimento de translação desse centro de massa num referencial fixo na superfície.

2 2

2

1

2

1

M

v

I

k







onde I_P é o momento de inércia do corpo em relação ao eixo mencionado que passa pelo ponto P.

Do teorema dos eixos paralelos, temos que:

Um corpo que rola sem deslizar pode ser visto a cada instante como girando em torno de um eixo instantâneo que passa pelo ponto de contato P desse corpo com a superfície, sendo esse eixo é perpendicular à direção do movimento do corpo. Então a energia cinética pode ser descrita como se fosse uma rotação em torno do P, isto é:

2 2 1

_

Exercicio

Um cilindro de comprimento L e raio r tem peso P. Dois cordões são enrolados em volta do cilindro, cada qual próximo da extremidade, e suas pontas presas a ganchos fixos no teto. O cilindro é mantido horizontalmente com os dois cordões exatamente na vertical e, em seguida, é abandonado. I_Cilindro= Mr2_/2

a)Determine a aceleração linear do cilindro durante a queda.

r I F I r F r F r F 2 2            Da figura: F₁ = F₂ = F

Como a força peso P não produz torque em relação ao eixo de rotação temos que:

2 2 r a I F  Mas a = a_t=  r logo a M F F P ₁ ₂  

O cilindro sofre uma translação devido as forças que atuam sobre ele, da segunda lei de Newton temos que:

a I   Então:





Considerando que o momento de inércia do cilindro tem a forma                  2 2 2 1 2 1 r M I g a r M I a g Então:

Também chamado quantidade de movimento angular de um corpo é a grandeza física associada à rotação e translação desse corpo.

No caso específico de um corpo rodando em torno de um eixo, acaba por relacionar sua distribuição da massa com sua velocidade angular.

Momento angular

p

r

L















Existe uma conexão entre o momento angular de uma partícula e o torque associado à força resultante que atua sobre ela.

Vamos considerar a variação do momento angular no tempo:

F

r













Então





    I L





















I

L

d

Fazendo uma analogia com :

v

m

 





_





_

_



_

₀

dt

d

I

dt

I

d

P

=

m

v

L

=

I



momento linear momento angular

F

=

m

a



=

I



força torque

I

=

m R

2

massa momento de inércia

m

F

dt

P

d







dt

L

d



_





Translação

Rotação

- Conservação do momento angular

No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto,

f f i i z

_I

_const

_I

_I

L







.









i

I



f



I

Momento angular inicial do sistema

roda de bicicleta – menino (+ banco)

i bic bic

i

L

I

L







Menino inverte o eixo de rotação da roda de bicicleta

i bic

L

L





- Exemplo

s

rot

e

m

kg

I

m

kg

I

_

1

,

2

.

;

_

6

,

8

.



_

3

,

9

/

Dados

Queremos calcular a velocidade

angular final do sistema após o menino

inverter o eixo de rotação da roda de

bicicleta (ver figura)

Conservação do momento angular pois só

há forças internas no sistema

i tot

I

I





2



L

L

L

L

L

L

L

2













Momento angular final do sistema

i men men bic f

L

L

L

L

L









-

Exemplo

s

rot

I

I

₁

_,

₄

_/

2

_





