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(1)ELE 302 Introdução à Otimização Matemática Aula 12 – Programação Linear Introdução Sérgio Haffner Junho 2011.

(2) Introdução Problema geral: Restrições de igualdade Restrições de desigualdade. PL: . variáveis contínuas função objetivo linear restrições lineares. min f ( x ) = cT x  s.a. Ax ≤ b  x≥0 . ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. min f ( x ) s.a. h ( x ) = 0  g (x) ≤ 0   x∈Ω.

(3) Exemplo 1 Problema de expansão da capacidade do sistema de transmissão de energia elétrica: . rede de transmissão representada pelo modelo de transportes; variáveis de investimento representadas por números reais (contínuas).. Variáveis: nij = número de linhas adicionadas na faixa de passagem i–j (liga o nó i ao nó j) ⇒. x. nij. fij. gi. rk. Função objetivo: minimização do custo de ampliação cT x. ⇒. v=. ∑(. c n i , j ) ij ij. cij = custo de uma linha na faixa de passagem i–j Com geradores fictícios: cT x ⇒ v = ∑ cij nij + α ∑ rk (i, j ). ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. k. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. .

(4) Exemplo 1 (cont) Restrições: 5 grupos Sf + g + r = d. . Balanço de potência:. . Capacidade de transmissão (LTs e TFs):. . Capacidade de geração:. 0 ≤ g ≤ g max. . Limite de corte de carga:. 0≤r≤d. . Limite de ocupação do corredor: 0 ≤ nij ≤ nijmax. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. (. ). SHaffner2011 – haffner@ieee.org. fij ≤ nij0 + nij fijmax.

(5) Exemplo 1 (aplicação rede 3 nós) 2. 1. f12. d2. g1. min v = c12 n12 + c13 n13 + c23 n23 + α r2 + α r3 s.a. − f12 − f13 + g1 = d1 f12 − f 23 + r2 = d 2 f13 + f 23 + g3 + r3 = d3 f12 ≤ ( n12 + 1) ⋅ f12max f13 ≤ ( n13 + 1) ⋅ f13max f 23 ≤ n23 ⋅ f 23max. 3. d3. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. f 23. g3. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. f13.

(6) Exemplo 1 (aplicação rede 3 nós) 2. 1. f12. d2. g1. max 0 ≤ n12 ≤ n12 max 0 ≤ n13 ≤ n13 max 0 ≤ n23 ≤ n23 0 ≤ g1 ≤ g1max 0 ≤ g3 ≤ g3max 0 ≤ r2 ≤ d 2 0 ≤ r3 ≤ d3 f12 , f13 e f 23 ilimitados. 3. d3. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. f 23. g3. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. f13.

(7) Exemplo 1 (aplicação rede 3 nós) 2. 1. f12. d2. g1. d3. min v = c12 n12 + c13 n13 + c23 n23 + α r2 + α r3 s.a. − f12 − f13 + g1 = d1 f12 − f 23 + r2 = d 2 f13 + f 23 + g3 + r3 = d3 f12 ≤ ( n12 + 1) ⋅ f12max f13 ≤ ( n13 + 1) ⋅ f13max f 23 ≤ n23 ⋅ f 23max. 3. f 23. g3. max 0 ≤ n12 ≤ n12 max 0 ≤ n13 ≤ n13 max 0 ≤ n23 ≤ n23 0 ≤ g1 ≤ g1max 0 ≤ g3 ≤ g3max 0 ≤ r2 ≤ d 2 0 ≤ r3 ≤ d3 f12 , f13 e f 23 ilimitados. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. f13.

(8) Exemplo 1 (aplicação rede 3 nós) 2. 1 f 12. d2. g1 f13. min. v = [30 20 15 0 0 0 0 0 1000 1000] ⋅ x. s.a..  0 0 0 −1 −1 0 1 0 0 0   0   0 0 0 1 0 −1 0 0 1 0  ⋅ x =  2, 4  0 0 0 0 1 1 0 1 0 1   0, 4      0 0 1 0 0  −0,5  −0,5 0 0 −1 0 0  0 −0,5 0 0 1 0  −0,5 0 0 −1 0  0 0 −0, 2 0 0 1  0 0 −0, 2 0 0 −1  0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0. f 23. 3. (1) d3. g3. (2). 0  0,5  0, 5 0  0,5 0  ⋅ x ≤   (3) 0  0,5 0  0   0  0 . ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática.  n12   1   0   n13   1   0  n    0  1  23       f −∞ ∞   12       f  −∞   ∞  13 ≤ x = ≤    −∞   ∞  (4) f 23     0  0,5  g 1        g3  1,65  0   r2   2, 4   0   r   0, 4   0    3  . SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Forma matricial:.

(9) Exercício 1. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Equacionar problema de otimização da expansão da capacidade do sistema Garver utilizando o modelo de transportes e variáveis de investimento contínuas.. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática.

(10) Exercício 1 (cont). SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Equacionar problema de otimização da expansão da capacidade do sistema Garver utilizando o modelo de transportes e variáveis de investimento contínuas.. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática.

(11) Soluções PLs Soluções ótimas múltiplas : escolhe-se a melhor, considerando outro critério. Ilimitado : pode ser indefinidamente melhorado (re-examinar) Solução ótima única ☺: é possível realizar análise de sensibilidade ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Infactível : parte das restrições é mutuamente contraditória (re-examinar).

(12) Método de solução. . . Definição (solução básica; variável básica): Dado um conjunto de m equações lineares simultâneas em n variáveis e B uma submatriz m×m não singular contendo algumas colunas de A, então se os m−n componentes de x não associados com as colunas de B são nulos, a solução do conjunto de equações resultantes é denominada solução básica de Ax=b com relação à base B. Os componentes de x associados com as colunas de B são denominados variáveis básicas e notados por xB, ou seja, x=(xB,0). No método simplex, resolver um PL consiste em realizar uma busca entre as soluções básicas factíveis. Para um problema com n variáveis e m restrições existem: n n!   = soluções básicas m ( ) m ! n − m !  . Atual (Pontos interiores) ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Tradicional (Método Simplex): transita de uma solução básica factível para outra de modo que a função objetivo seja continuamente melhorada até a obtenção do ótimo.

(13) David Luenberger (1984). Linear and nonlinear programming, AddisonWesley Publishing Company, Inc. Frederick S. Hillier e Gerald J. Lieberman (2002). Introduction to Operations Research. Holden-Day, Inc., Oakland, California. Katta Murty (1983). Linear programming. John Wiley & Sons. Hamdy A. Taha (2008), Pesquisa operacional, Pearson Prentice Hall. Marco Cesar Goldbarg e Henrique Pacca Loureiro Luna (2000). Otimização combinatória e programação linear. Ed. Campus. Marcos Arenales, Vinícios Armentano, Reinaldo Morabito e Horacio Yanasse (2007). Pesquisa Operacional. Elsevier, Rio de Janeiro. Ronald L. Rardin (1998). Optimization in operations research. Prentice Hall, New Jersey. Narayan Rau (2003). Optimization principles: practical applications to the operation and markets of the electric power industry. IEEE Press: Wiley Interscience.. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Bibliografia.

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