As leis de Kirchho e a lei de Ohm; a corrente
estacionária
A Lei de Ohm
A Lei de Ohm é empírica para metais e podemos enunciá-la do ponto de vista local como:
J = gE,
onde g é uma constante chamada condutividade e E é o campo elétrico local no metal. Associada à condutividade, há a resistividade que é de nida como o inverso da condutividade:
η = 1 g.
Normalmente, podemos reescrever a Lei de Ohm para um o condutor de área transversal A e comprimento L utilizando a equação para J acima. Se o campo elétrico ao longo do o tem módulo E e direção paralela ao o reto, então a corrente que atravessa o o é I = JA, já que as cargas mover-se-ão preferencialmente ao longo do campo elétrico. A diferença de potencial entre os extremos do o de comprimento L é V = EL. Logo,
I = J A = gEA = gA
L V. De nimos a resistência do o como
R = L gA = ηL A,
que é medida em unidades de Ω (ohm), que é equivalente a um volt por ampere, e temos a fórmula mais conhecida para a Lei de Ohm:
V = RI.
Corrente Estacionária
Quando, em cada ponto do espaço, toda carga que chega é igual à que sai, dizemos que a corrente é estacionária. Nesse caso, para qualquer região V do espaço, temos: dQ dt = 0 = ˆ V d3r ∇ · J.
Logo,
∇ · J = 0 e, portanto, pela equação da continuidade:
∂ρ (r, t)
∂t = 0.
O tempo para atingir o equilíbrio eletrostático
Suponhamos que, no interior de um certo material metálico com condutividade nita, uma quantidade de carga é injetada em t = 0, formando, instantanea-mente, uma distribuição de carga dada por ρ (r, t = 0). Conforme o tempo passa, temos sempre a equação da continuidade:
∇ · J (r, t) +∂ρ (r, t)
∂t = 0. Supondo válida a lei de Ohm, obtemos:
g∇ · E (r, t) = −∂ρ (r, t) ∂t . Mas, pela lei de Gauss, temos:
g
ερ (r, t) = −
∂ρ (r, t) ∂t . A solução para essa equação diferencial é dada por: ρ (r, t) = e−gt/ερ (r, 0) .
Assim, o tempo para atingir o equilíbrio eletrostático é da ordem de τ = ε
g.
As Leis de Kirchho
Em um circuito qualquer, quando o campo elétrico é estático, então a circuitação deve ser nula, já que
∇ × E = 0.
Logo, a soma algébrica das diferenças de potencial ao longo de um ramo de circuito que retorna ao mesmo ponto deve ser igual a zero. Essa é a primeira lei de Kirchho.
Quando a corrente é estacionária, toda carga que entra em qualquer região deve ser igual à carga que sai da região. Assim, em qualquer ponto em um circuito, a soma algébrica das correntes entrando e saindo do ponto deve ser igual a zero. Essa é a segunda lei de Kirchho.
Teoria microscópica da condutividade
Podemos considerar um elétron dentro de um material condutor como sendo livre, mas sob a ação de uma força de fricção. Esse modelo ingênuo pode ser usado para estimarmos a condutividade do material. Assim, a segunda lei de Newton para o elétron pode ser escrita como:
mdv
dt = −eE − Gv,
onde e > 0 é o módulo da carga eletrônica e G é uma constante. A força −Gv é uma força viscosa, proporcional à velocidade. É o que esperamos quando há resistência no material e é suposta nula quando o condutor é ideal. A solução dessa equação diferencial é dada por
v (t) = −eτ m 1 − e−t/τE, onde τ = m G,
supondo que v (0) = 0. O tempo τ é chamado de tempo de relaxação. Se N é o número de elétrons por unidade de volume, então a lei de Ohm dá:
J = −N ev = N e 2τ m 1 − e−t/τE.
No estado estacionário, temos
e−t/τ → 0 e J = N e 2τ m E. Logo, g = N e 2τ m .
O campo magnético de correntes estacionárias
A força que um circuito exerce sobre outro
FC0→C = µ0 4π ˛ C ˛ C0 Idr × [I0dr0× (r − r0)] |r − r0|3 .
onde a constante µ0é exatamente dada porµ0= 4π × 10−7 newton/ampere2
ou henry/metro. Esse resultado para a força é empírico, escrito em uma
linguagem matemática moderna, mas foi obtido em experimentos de 1820 a 1825 por André-Marie Ampère (1775-1836). Ampère apresentou esse resultado em 18 de setembro de 1820, uma semana após a descoberta de Hans Christian Oersted (1777-1862), professor de Copenhagen, ter sido anunciada, de que correntes afetam ímãs (bússolas).
Se FC0→C é a força que o circuito C0exerce sobre o circuito C, qual é a força
que o circuito C exerce sobre o circuito C0? Calculemos:
FC→C0 = µ0 4π ˛ C0 ˛ C I0dr0× [Idr × (r0− r)] |r0− r|3 = µ0 4π ˛ C0 ˛ C I0I [(dr) (dr0) · (r0− r) − (r0− r) (dr0) · (dr)] |r0− r|3 .
Da mesma forma, podemos escrever: FC0→C = µ0 4π ˛ C ˛ C0 II0[(dr0) (dr) · (r − r0) − (r − r0) (dr) · (dr0)] |r − r0|3 . Logo, FC→C0+ FC0→C = µ0 4π ˛ C0 ˛ C I0I [(dr) (dr0) · (r0− r) − (r0− r) (dr0) · (dr)] |r0− r|3 + µ0 4π ˛ C ˛ C0 II0[(dr0) (dr) · (r − r0) − (r − r0) (dr) · (dr0)] |r − r0|3 = µ0 4π ˛ C0 ˛ C I0I [(dr) (dr0) · (r0− r) + (dr0) (dr) · (r − r0)] |r0− r|3 = µ0 4π ˛ C0 ˛ C I0I (dr) (dr0) · (r0− r) |r0− r|3 + µ0 4π ˛ C0 ˛ C I0I (dr0) (dr) · (r − r0) |r0− r|3 = µ0I 0I 4π ˛ C dr ˛ C0 (r0− r) · dr0 |r0− r|3 + µ0I0I 4π ˛ C0 dr0 ˛ C (r − r0) · dr |r0− r|3 .
Mas, por exemplo, ˛ C (r − r0) · dr |r0− r|3 = − ˛ C ∇ 1 |r − r0| · dr = − ˛ C d 1 |r − r0| = 0. Logo, FC→C0 = −FC0→C
A indução magnética
Podemos escrever a força entre dois circuitos como: FC0→C = ˛ C Idr × " µ0 4π ˛ C0 I0dr0× (r − r0) |r − r0|3 # .
Sendo assim, de nimos o campo indução magnética produzido pelo circuito C0
como: B (r) = µ0 4π ˛ C0 I0dr0× (r − r0) |r − r0|3 .
A unidade do campo indução magnética é o tesla, que equivale a um weber por metro quadrado, onde um weber é equivalente a um joule por ampere. Agora podemos escrever a força sobre o circuito C, devida ao circuito C0 como:
FC0→C =
˛
C
Idr × B (r) .
Podemos agora perguntar: qual a força magnética que um circuito exerce sobre uma carga pontual? Usemos um argumento heurístico aqui; consideremos a corrente de uma só carga pontual. Então,
Idr = J Adr,
onde I = JA em um o no, por onde uma densidade de corrente J atravessa uma seção transversal de área A. Mas, como vimos anteriormente, J = ρ |v| e podemos escrever:
Idr = ρ |v| Adr = ρvA |dr| ,
já que v e dr têm a mesma direção e mesmo sentido. Como A |dr| pode ser visto como o volume onde a carga está, temos que ρA |dr| = q e obtemos:
Idr = qv.
Assim, perguntamos se a força magnética sobre uma só carga é dada por F = qv × B (r) .
Com muitos experimentos os cientistas concluíram que essa é, de fato, a força que uma carga q experimenta na presença de um campo indução magnética B (r). Mais do que isso, os experimentos têm mostrado que a força eletromagnética sobre uma carga q é dada pela chamada força de Lorentz:
