������� ������� ������ ������ �������� �������� ������ ������ 11
���
���
��
��
��
��
�
�
̃
̃
� �� �
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���
�ı
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́ �
́ �
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��
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������� �� �������̃� �� ���� �� ������
������� �� �������̃� �� ���� �� ������
����̂����
����̂����
�. ������ � �. ��������
�. ������ � �. ��������
�������� �����
�������� �����
Essa resolução dos exercícios é dedicado a todos os
Essa resolução dos exercícios é dedicado a todos os
alunos, que esforçam para entender essa disciplina,
alunos, que esforçam para entender essa disciplina,
qualquer informação ou proposta de alteração ou resolução
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diferente, entrar em contato pelo e-mail;
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wmascia@uol.com.br
�������
������� ������ ������ �������� �������� ������ ������ 22
CAPÍTULO 1 – AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO (Parágrafos de 1 a 5)
CAPÍTULO 1 – AS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO (Parágrafos de 1 a 5)
Página 18
Página 18
Determinar a função de
Determinar a função de
LAGRANGE
LAGRANGE
dos sistemas seguintes, supostos num campo de gravidade dos sistemas seguintes, supostos num campo de gravidade uniforme (aceleração da gravidade: g)uniforme (aceleração da gravidade: g) 1)
1) Pêndulo Pêndulo duplo duplo oscilante noscilante num planum plano. o. (figura 1)(figura 1)
Solução: Solução:
O objeto
O objeto
m
m
11tem coordenadas cartesianastem coordenadas cartesianas(x
(x
11, y
, y
11))
, as quais podem ser descritas da seguinte forma:, as quais podem ser descritas da seguinte forma: XX11 = l = l11. Sen. Senφφ11 e e yy11 = l = l11.Cos.Cosφφ11, e temos:, e temos:
..
.
.
ee
..
.
.
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma: Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
1 122..
..
1 122..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
E a sua Energia Potencial ficará: E a sua Energia Potencial ficará:
....
....
..
Já o objeto
Já o objeto
m
m
22 tem coordenadas cartesianastem coordenadas cartesianas(x
(x
22, , yy
22))
, as quais podem ser descritas da seguinte, as quais podem ser descritas da seguinte forma:forma: X
X22 = l = l11. Sen. Senφφ11 + l + l22. Sen. Senφφ22e ye y22 = l = l11.Cos.Cosφφ11+ l+ l22.Cos.Cosφφ22
e temos
e temos
::
..
.
.
..
.
.
ee
..
.
.
..
.
.
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
22 ..
22 ..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
. .
..
.
.
E a sua Energia Potencial ficará: E a sua Energia Potencial ficará:
....
....
.
.
.
.
������ � ������ � � � � � l l 11 l l 22 � ��� � ���������� ������ �������� ������ 3
E finalmente a
LAGRANGEANA
será:
12.
.
.
2 .
.
.
2.
.
.
.
.
..
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
–
..
.
..
.
2. Pêndulo plano de massa
m
2, cujo ponto de suspensão (de massam
1) pode se deslocar sobre uma linha reta horizontal pertencente ao plano emm
2 se move (Cf. figura 2)Solução:
O objeto
m
1tem coordenadas cartesianas(x
1, y
1)
, as quais podem ser descritas da seguinte forma:X
1= x e y
1=constante=0
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
12.
.
12.
.
0
↔
.
.
E a sua Energia Potencial ficará:
..
∴
Já o objeto
m
2 tem coordenadas cartesianas(x
2, y
2)
, as quais podem ser descritas da seguinte forma:X2 = (l Senφ +x) e y2 = l.Cosφ
Daí, temos:
. .
e
. .
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
2 .
2 ...
..
2
.
.
2....
.
.
.
.. . .
� � l
� ������ �������� ������ �������� ������ 4
E a sua Energia Potencial ficará:
..
...
E finalmente a
LAGRANGEANA
será:
12.
.
2
.
2....
—0
...
.
.
.. . .
...
3. Pêndulo Plano, cujo ponto de suspensão:
a) Se desloca uniformemente sobre um circulo vertical com uma freqüência constanteγ (Cf figura 3)
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
12..
..... . .
... . .
E a sua Energia Potencial ficará:
.... ...
E finalmente a
LAGRANGEANA
será:
12..
.
.
. 2.12........ 12..
.
.
12..
.
.
. 2.12........ 12..
.
.
.... ...
� � � ������ � l
� .. .
. . .
... . .
... . .
�������� �� ����������� �� ����� �� ���� � �������� ���� ��������� ����� ������� �������� ������ �������� ������ 5
12..
.
+..... .−.+12..
.
−....+...
Sendo
= −.... −.
, uma função auxiliar, temos que
= .... −. −.
, fazendo
= 0
, temos:0
= ..... −.−..... −.
.... .−. = ..
..−.
Ficando assim a LAGRANGEANA:
=
..
.
+...
..−.+
..
.
−....+...
b) Efetua oscilações horizontais da forma: x = a cos(γ.t)
Solução:
As coordenadas do ponto
m
, são: = ..+.
e
= .
Portanto suas derivadas serão também:
= −...+..
e
= −..
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
= 12..
+
= ..−...+. .
+−. .
E a sua Energia Potencial ficará:
= −...
E finalmente a
LAGRANGEANA
será:ℒ = −
ℒ = 12..
.
.
.−2.12........ +12..
.
.
+
+12..
.
.
+...
������ ��� ������� ���� �����, ���� ��� �� �������� �����!!
������� ������ �������� ������ 6
Sendo
= −......
, uma função auxiliar, temos que
= −.......−.......
, fazendo
= 0
, temos: 0= −.......−.......
−.... ... = ..
....
Ficando assim a LAGRANGEANA:
= .
.
+..
....+ ...+..
.
.
.
c) Efetua oscilações verticais na forma: y = a cos(γ.t)
Solução:
As coordenadas do ponto
m
, são: = .
e
= ..+ .
Portanto suas derivadas serão também:
= ..
↔
=
.
.
e = −...−..
↔
=
.
.
.+2....... +
.
.
E temos:
+
=
.
+
.
.
.+2......
Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
= 12..
+
= ..
.
+
.
.
.+.... ...
E a sua Energia Potencial ficará:
= −....+ .
Finalmente aLAGRANGEANA
será:ℒ = −
ℒ = .
2 .
+12..
.
.
.+12..2....... +....+...
Sendo
= −......
, uma função auxiliar, temos que
= −.......+.......
, fazendo
= 0
, temos: 0= −.......+.......
������ ��� ������� ���� �����, ���� ��� �� �������� �����!!
������� ������ �������� ������ �
.... ... = ..
....
= .
.
+..
....+ ...+..
.
.
.
4) O sistema representado na figura 4; o ponto
m
2 se desloca sobre um eixo vertical e todo o sistema gira com uma velocidade angular constante ΩΩΩ em torno desse eixo.ΩSolução:
=
= ..
= ..
= −. ⇔
= −... +. ..
= ... +.. .
= +. .
=
=
.
.
.
.
.
.
+2.
−2.
.. ...cos. +
.. ...cos. +
.
.
.
.
.
.
=
.
.
+
+
=
.
.
+0+
.
.
+
.
.
=
.
.
+
.
Portanto a Energia cinética para as duas massas
m
1, lembrando que =
, portanto poderá ser descrita forma: = 2.
.
.
+
+
=
.
.Ω
.
+
∴
=
.
.
.
+
E a sua Energia Potencial ficará:
= −.
...
������ ��� ������� ���� �����, ���� ��� �� �������� �����!! ������ � � � φ Ω Ω Ω Ω �� �� �� � � � � � � ����� φ � � θ θθ θ �� � φ������� ������ �������� ������ �
E a Energia cinética para a massa
m
2, lembrando que: = −
2.. ⇔ 2.. . ⇔
.
.
.
, portanto poderá ser descritaforma:
..
.
.
∴
.
.
.
.
E a sua Energia Potencial ficará:
.
...
Finalmente aLAGRANGEANA
será:
.
.Ω
.
2.
.
.
.
2.
... 2.
...
.
.
.
.
.
.
.
.
...
Capítulo II
Página 25 exercício único – parágrafo 7 - Impulso.
Uma partícula de massa
m
, animada de uma velocidadeV
1, passa de um semi-espaço em que a sua energia potencial é igual aU
1 a outro semi-espaço em que a sua energia também constante, mas igual aU
2. Determinar a mudança de direção do movimento da partícula.Solução:
A energia potencial não depende das coordenadas cujos eixos sejam paralelos à superfície de separação dos semi-espaços. Por conseguinte, a projeção do impulso da partícula sobre esse plano se conserva. Sejam
V
1 eV
2 as velocidades da partícula, respectivamente, antes e depois de ela ter atravessado o plano de separação, e θθθθ1 e θθθθ2 e os ângulos formados por essas velocidades com a normal a essa superfície; obteremos:
.
.
.
.
.
.
⇔
I
Pela Conservação da energia, temos que:
12..
12..
2
2.
1
1 2.
.
1 2.
.
II
θ θ θ θ� θ θ θ θ�
������� ������ �������� ������ �
Substituindo a equação
(I)
nessa equação(II)
fica:
= + .
.
−
Página 28 exercício único – parágrafo 8 – Centro de massa
Determinar a lei de transformação da ação quando passamos de um sistema galileico a outro.
Solução:
=
+
,
,
=
+
,
,
=
+
,
ℒ
= 12.
.
−
ℒ
= 12.
.
+
,
−
ℒ
= 12.
.
,
+2.
.+
,
−
ℒ
= .
.
,
−+12.
.
2.
.+12.
,
.
=
�
+
.
.+.
,
Como
�
=
∑
∑
.
,
⇔ ∑
.
=
,
�
.∑
=
�
.
Substituindo (II) em (I), vem:
ℒ
= ℒ
�
+
�
..+12.
ℒ
= ℒ
�
. +. .
�
.+12.
.
=
�
+. .
�
+12.
.
, � � � � � �� �� �� �� , �
��
������� ������ �������� ������ 10
Aonde
�
é o raio vetor do centro de inércia no sistemak
,.Observação ver
Anexo 1 – Translação De Eixos Coordenados:
Página 31 - parágrafo 9 – Momento Angular
1) Encontrar a expressão das componentes cartesianas e do vetor absoluto do momento angular de uma partícula em coordenadas cilíndricas
r,
φe z
.Solução:
= .
= .
=
, ,
= × = ×. = .×
= . ̂
. −.. . +..
.
̂
.
= .̂... +.̂.. −..+. +..... –
+ .... −..+..̂. +. +....̂
̂ = ... −..−...̂ ∴
= ... −. −.. .
.= . ...+....−.. .+....⇔
̂ = ...−... −.. ̂ ∴
= ... −.−.. .
⇔
= .+
.. 1
= .
.
=
.
.
.
+
+. −.
Observação ver
Anexo 2 – Produto Vetorial
na eAnexo 3 – Coordenadas Esféricas e
Cilíndricas
.2) Encontrar a expressão das componentes cartesianas e do vetor absoluto do momento angular de uma partícula em coordenadas esféricas
r,
θθθθe
φ.Solução:
= ..
= .
= .
, ,
������� ������ �������� ������ 11
=
.
.
.. . .. .. . .. . .. .. . . ..
..
̂
.
̂
.
.
.̂... . .. .. ̂. .. . .. .. .
... ... .. .. ..
–
... ... .. .. .... ̂. . ..
.. . .... .... ̂
.
.
. . ...
. . ...
.
.
.
.
.
.
Observação ver
Anexo 2 – Produto Vetorial
na eAnexo 3 – Coordenadas Esféricas e
Cilíndricas
.3) Indicar as componentes do impulso
P
e do momentoM
que se conservam por ocasião de um movimento nos campos abaixo:a) Campo de um plano homogêneo infinito. Solução:
Considerando o plano XY, temos:
,
,pois:�
�
������� ������ �������� ������ 12
b) Campo de um plano cilindro homogêneo infinito. Solução:
Considerando um cilindro ser em z, temos:
,pois:c) Campo em um prisma homogêneo infinito d) Campo de um plano homogêneo infinito.
Solução:
Considerando no caso das arestas serem paralelas a z, temos:
, pois:e) Campo de dois pontos: Solução:
Considerando os pontos no eixo
z
, temos:
,pois: � � � � � � � � � � �������� ������ �������� ������ 13
f) Campo de um cone homogêneo. Solução:
Considerando o eixo
z,
o eixo do cone, temos:
,pois:g) Campo de um toro circular homogêneo infinita. Solução:
Considerando o eixo
z,
o eixo do cone, temos:
,pois:h) Campo de uma hélice cilíndrica homogênea infinita: ver anexo 6. Solução:
A função de LAGRANGE não se altera quando de uma rotação de um ângulo δδδδϕϕϕϕ em torno do eixo da hélice (eixo z) e de uma translação simultânea ao longo desse eixo sobre uma distância:
.
aonde h é o passo da hélice. Portanto:δ δδ� δ� δδφδφ P
. �2.π M
δφ 0
� � � � � �������� ������ �������� ������ 14
Donde:
P
. �2.π M
���
Página 36 - parágrafo 10 – Similitude Mecânica
1) Dois pontos de massa diferentes e de mesma energia potencial se deslocam sobre trajetórias idênticas; achar a relação dos tempos.
Solução:
•
..
⇔
..
para um ponto de massam
. •
´
..
⇔
´
..
´
´
´
para um ponto de massam´
. Considerações: Para o tempo:
´ .
´
Para as massas:
´ .
´
Para a energia potencial:
U´=U
, mas pela condição do problema. Sendo:
´
.
.
,
.
´
´
´
.
..
.
...
.
´
.
..
.
.
..
´
.
..
.
�� :
∴
� � �������� ������ �������� ������ 15
Ou seja:
�
�
= ⇔ �= �
∴ �= �
2) Encontrar a relação dos tempos para um movimento que se realiza sobre trajetórias idênticas, quando multiplicamos a energia que se realiza sobre trajetórias idênticas quando multiplicamos a energia potencial por um fator constante, mas supomos que as partículas em causa têm a mesma massa. Solução: •
=
..
− ⇔ =
..
−
para o 1º Sistema. •
�
=
..
− ⇔
�
=
..
�
�
−
�
para o 2º Sistema.. Considerações: Para o tempo:� = .
�
=
Para as Energias Potenciais:
� = .
�
=
Para a mesma massa
m´=m
, mas pela condição do problema. Sendo:
�
= .
.
,
.
�
�
−
�
= .
..
−.
..
.
−. = .
..
−.
.
..
−. = .
..
−.
çã : =
= ∴
=
Ou seja:
= ⇔ �
= �∴ �= �
������� ������ �������� ������ 16
Capítulo III
Página 39 - parágrafo 11 – Movimento Linear
1) Determinar o período das oscilações de um pêndulo matemático plano (ponto m na extremidade de um fio de comprimento l num campo de gravidade) em função da sua amplitude.
Solução:
=
.�
→ .�
�
.�
.→ 0 .�
. ∴ .�
.
.
Portanto sua energia seria data por:
12..
.. 12...�
.
...
12..
.�
.
... ∴ ..
.
...
Como ϕ é o ângulo de afastamento do fio da vertical, e ϕϕϕϕ0 é o ângulo de afastamento máximo.:
↔ 12..
.
... ...
↔
↔ 12..
.
...
↔
2..
↔
↔ 2..
↔ 2..
. ↔
↔ 2..
↔ 2..
Só queT=4.t
, então 4 2..
Fazendo
1 2.
e 1 2.
�
ϕϕϕϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
�
ll l ll
ll
l
� � � ���������� ������ �������� ������ 1� Temos:
= � 2..
1 −2.
2−1+2.
2
↔
↔ = � 2..
2.
2 −
2
↔
↔ = � 1√ 2.1√ 2 .
2 −
2
↔
↔ = 2. .
2 −
2
↔
= 2. . 1
2
1−
2
2
Com a seguinte substituição
= 2
2
↔
.
=
2
2 = . ↔ 2.2= .
∴ = 2..
2
E os intervalos da integração como:
→ 0 ã → 0
→
=
ã =
,
. =
Esta integral fica:
= 2. . 1
2
1
1−
.
.2..
2
↔
↔ = �. .
1−
.
. .
.2
∗∗
������� ������ �������� ������ 1�
** para pequenos ângulos, temos
.
.
→ 1
∴ = �. .
1−
.
Que é uma Integral elíptica completa de 1º espécie (ver anexo 7), cuja solução é:
= . .+
+.
… ,
2
≈
2 ≪ 1 → =
2 ∴
= 2.
Ficando:
= . .+ .
+ .
+⋯
Observação:
A integral acima é denominada integral elíptica e não possui solução analítica, devendo ser calculada utilizando-se métodos numéricos. No caso em que θ é pequeno obtém-se
= .
.Na verdade a solução numérica do período é obtida resolvendo-se diretamente a equação diferencial que descreve o movimento do pêndulo
+
. = 0
, uma vez que os métodos de solução de equação diferencial são mais robustos do que os métodos usados na solução numérica da integral elíptica. Esse é um exemplo simples que ilustra a necessidade de se conhecer com mais detalhes, em termos de eficiência e robustez, os métodos numéricos disponíveis. = +
.
+..
.
+⋯+.−!
.!
.
.
+⋯
2) Determinar o período das oscilações em função da energia, por ocasião do movimento de uma partícula de massa m num campo onde a energia potencial seja:
Solução: a)
= .||
=
+ ⇔
= − ⇔ 12..
= − ⇒ = 2. − ⇒ = 2. − ⇔
⇔ =
2. − ⇔ =
2 . − ⇒ = 2 . − ⇔
⇔ = 2 .
−+
Só queT=4.t
, então = �.
.
+
, fazendo = ⇒ = .
⇒ =
Vem: = 2.√ 2.. �
−.�
= 2.√ 2.. 1√ . �
1− .�
Fazendo: =
� ⟶ 0 ⟶ 0
.� ⇒ =
�
� ⟶ ⟶ 1
������� ������ �������� ������ 1�
= 2.√ 2..
. .
1−
⇒ = 2.√ 2..
.
1−
Fazendo: =
=
⇒ = .
⇒ = .
⇒ = ..
⇔ =
..⇔
=
.
e ⟶ 0 ⟶ 0
⟶ 1 ⟶ 1
Portanto temos: = 2.√ 2..
.
.√
.
, que é uma integralEULERIANA B
, que se expressa por meio das funções Γ ΓΓ Γ (função gama - letra grega maiúscula) ver anexo 4.A função
B
será:B =
√
.
= √ π .
com
= √
, então temos: = .√ ..
.
.√ .
+ ⇒ = .√ .. .
.
.
+
b) = −
,−
< <
=
+ ⇔
= − ⇔ 12..
= − ⇒ = 2. − ⇒ = 2. − ⇔
⇔ =
2. − ⇔ =
2 . − ⇒ = 2 . − ⇔
⇔ = 2 .
−+
Só queT=4.t
, então = �.
.
+
, fazendo = ⇒ = −
.
.
Vem: = 2.√ 2.. �
+
ℎ
�
e a solução dessa integral é:
�
+
ℎ
�
=
ℎ
��
.
ℎ
�+
=
2.
. ||
= 2.√ 2..
2.
. || ∴ = .√ .
. ||
������� ������ �������� ������ 20 c)
=
.
.
=
+ ⇔
= − ⇔ 12..
= − ⇒ = 2. − ⇒ = 2. − ⇔
⇔ =
2. − ⇔ =
2 . − ⇒ = 2 . − ⇔
⇔ = 2 .
−+
Só queT=4.t
, então d) = �.
.
+
, fazendo = ⇒ =
�
.t
�
α
.
�
Vem: = 2.√ 2.. �
−
�
.t
�
α
.
�
�
e a solução dessa integral é:
�
−
�
.t
�
α
.
�
�
=
2.
. +
= 2.√ 2..
2.
. +
∴ = .√ .
. +
Página 43 - parágrafo 13 – Massa reduzida
PROBLEMA UNICO
Um sistema é composto de uma partícula de massa
M
e den
partículas de mesma massam
. Eliminar o movimento do centro de inércia e reduzir o problema ao do movimento den
partículas.Solução: ‘
Seja
r
αααα o novo vetor que mede a distância entre a partículaM
em
.
=
−
Se situarmos a origem das coordenas no centro de massa deste sistema temos:
. +.
=
� � ���� � � ���� ����� �� � �� ����� �� ���� �� �� ����� ������� ��� ���������� �� ����� �� ������������� �� ���������� �� ��������� � �� ���������� ��������� ������ �������� ������ 21 Disto temos:
. +.
= ⇔ . +.
+
= ⇔ . +.
+.
= ⇔
⇔ . +.
+.
= ⇔ . +.
+..= ⇔
+..= −∑ .
⇔ =
.
.∑
= −
.∑
, onde = +.
Como
=
−⇔
=
+⇔
=
−
.∑
A função de
LAGRANGE
para este sistema é: = .
+ .
−
Fazendo as substituições temos:
= −.
.
+ .
+
−
Sendo:
=
− .
=
−.
. .
+
.
=
.
−.
.
+ .
−.
. .
+
.
−
= .
−..
+
...
.
−.
.
+
.
−
= .
−.−+
+.
−
= .
−
.+.
−
������� ������ �������� ������ 22
Página 49 - parágrafo 14 – Movimento num Campo Central
1)
Integrar as equações do movimento de um pêndulo esférico: ponto materialm
se deslocando sobre a superfície de uma esfera de raio l, colocada num campo de gravidade.Solução:
Em coordenas esféricas (origem no centro da esfera e eixo polar dirigido verticalmente para a base) a função de LAGRANGE do pêndulo é:
Seu vetor posição é:
=
.̂
..̂
..
∅
.̂
E seu vetor velocidade será:
.̂
. .̂
..
∅
.̂
∴
�
�
.
θ
.�
�
.��
�θ
.
∅
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Portanto sua Energia cinética poderá ser descrita forma:
