Diretor de Educação e Tecnologia
SENAI-DN – SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAgEM INDuSTRIAL Conselho Nacional
Robson Braga de Andrade Presidente
SENAI – DEPARTAMENTO NACIONAL
Rafael Esmeraldo Lucchesi Ramacciotti Diretor-Geral
Gustavo Leal Sales Filho Diretor de Operações
SENAI
Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial Departamento Nacional
Sede
Setor Bancário Norte . Quadra 1 . Bloco C . Edifício Roberto Simonsen . 70040-903 . Brasília – DF . Tel.: (0xx61)3317-9190 http://www.senai.br
por escrito, do SENAI – Departamento Regional do Rio Grande do Sul.
Esta publicação foi elaborada pela equipe da Unidade Estratégica de Desenvolvimento Educacional – UEDE/Núcleo de Educação a Distância – NEAD, do SENAI do Rio Grande do Sul, com a coordenação do SENAI Departamento Nacional, para ser utilizada por todos os Departamentos Regionais do SENAI nos cursos presenciais e a distância.
SENAI Departamento Nacional
Unidade de Educação Profissional e Tecnológica – UNIEP SENAI Departamento Regional do Rio Grande do Sul
Unidade Estratégica de Desenvolvimento Educacional – UEDE/Núcleo de Educação a Distância – NEAD
FICHA CATALOGRÁFICA S491f
Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial. Departamento Nacional
Fundamentos da eletrotécnica / Serviço Nacional de Aprendizagem
Industrial.Departamento Nacional, Serviço Nacional de Aprendizagem
Industrial. Departamento Regional do Rio Grande do Sul. Brasília: SENAI/DN, 2012. 188 p.: il. (Série Automação Industrial)
ISBN 978-85-7519-502-4
1.Eletrotécnica 2. Matemática 3. Magnetismo 4. Eletromagnetismo. I.Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial.
Departamento Regional do Rio Grande do Sul. IITítulo .III.Série
CDU- 621.3 Bibliotecário Responsável: Enilda Hack- CRB 599/10
Figura 4 - Frações aparentes ...26
Figura 5 - Frações equivalentes ...26
Figura 6 - Números mistos ...27
Figura 7 - Decimais infinitos inteiros ...30
Figura 8 - Decimais infinitos fracionários ...30
Figura 9 - Conversão decimal binário ...36
Figura 10 - Conversão decimal hexadecimal ...37
Figura 11 - Função de 1º grau ...41
Figura 12 - Função de 1º grau - 1 ...42
Figura 13 - Função de 1º grau - 2 ...42
Figura 14 - Função de 1º grau - 3 ...43
Figura 15 - Função de 1º grau - 4 ...43
Figura 16 - Função de 2º grau ...43
Figura 17 - Vértice e eixo de simetria ...45
Figura 18 - Sistema com 2 LEDs ...45
Figura 19 - Gráfico da função logarítmica ...47
Figura 21 - Trigonometia básica arco ...49
Figura 22 - Trigonometia básica ângulo ...49
Figura 20 - Potenciômetro logarítmico ...49
Figura 23 - Trigonometia básica ...50
Figura 24 - Arco com o ângulo determindado ...50
Figura 25 - Pitágoras ...51
Figura 26 - Ciclo trigonométrico ...51
Figura 27 - Função seno ...52
Figura 28 - Valores notáveis do seno ...52
Figura 29 - Gráfico da função seno ...52
Figura 30 - Função cosseno ...53
Figura 31 - Valores notáveis do cosseno ...53
Figura 32 - Gráfico da função cosseno ...53
Figura 33 - Função tangente ...54
Figura 34 - Valores notáveis do tangente ...54
Figura 35 - Gráfico da função tangente ...54
Figura 36 - Relação trigonométrica ...55
Figura 37 - Teorema de Pitágoras ...55
Figura 38 - Bola de bilhar ...59
Figura 39 - Átomo ...60
Figura 40 - Experiência de Rutherford ...60
Figura 41 - Modelo planetário do átomo ...61
Figura 42 - Átomo 1 ...61
Figura 43 - Máquinas eletrostáticas antigas ...62
Figura 44 - Repulsão ...64
Figura 52 - Equacionamento da distribuição de cargas2 ...66
Figura 53 - Eletrização por atrito ...66
Figura 54 - Eletrização por indução ...67
Figura 55 - Tensão elétrica ...68
Figura 56 - Simbologia do voltímetro em um circuito elétrico ...69
Figura 57 - Simbologia de uma fonte ...69
Figura 58 - Pilha ...69
Figura 59 - Pilhas em série ...69
Figura 60 - Pilhas em série e contrapostas ...69
Figura 61 - Corrente elétrica ...70
Figura 62 - Simbologia do amperímetro no circuito elétrico ...70
Figura 63 - Simbologia do amperímetro ligado em série a um circuito elétrico ...70
Figura 64 - Caminho do elétron livre ...71
Figura 65 - Simbologia do ohmímetro no circuito ...71
Figura 66 - Simbologia do ohmímetro ligado em paralelo no circuito elétrico ...71
Figura 67 - Resistência elétrica ...73
Figura 68 - Tensão alternada ...74
Figura 69 - Determinação da corrente elétrica ...77
Figura 70 - Determinação da tensão elétrica ...78
Figura 71 - Determinação da resistência elétrica ...79
Figura 72 - Multímetro ...80
Figura 73 - Osciloscópio ...83
Figura 74 - Osciloscópio 1 ...83
Figura 75 - Represenção característica Lei de Ohm ...88
Figura 76 - Bipolo ôhmico ...88
Figura 77 - Bipolo ôhmico 1 ...89
Figura 78 - Resistores em série ...89
Figura 79 - Resistores em paralelo ...90
Figura 80 - Resistores em paralelo 1 ...90
Figura 81 - Resistores em paralelo 2 ...91
Figura 82 - Resistores em paralelo 3 ...91
Figura 83 - Circuito elétrico ...92
Figura 84 - Rede elétrica ...92
Figura 85 - Circuito elétrico 1 ...93
Figura 86 - Representação de circuitos elétricos ...93
Figura 87 - Circuito ...94
Figura 88 - Representação das malhas ADEFA e BCDEB ...94
Figura 89 - Malha ...95
Figura 90 - Malha 1 ...95
Figura 91 - Malha 2 ...95
Figura 92 - Malha 3 ...95
Figura 100 - Circuito ligado em série 1 ...104
Figura 101 - Circuito ...105
Figura 102 - Circuito 1 ...106
Figura 103 - Divisores de tensão e corrente ...109
Figura 104 - Divisor de corrente ...109
Figura 105 - Circuito misto ...110
Figura 106 - Circuito 3 ...111
Figura 107 - Circuito 4 ...111
Figura 108 - Circuito misto 1 ...111
Figura 109 - Circuito 5 ...111
Figura 110 - Circuito equivalente ...112
Figura 111 - Teorema da superposição - circuito ...112
Figura 112 - Teorema da superposição - circuito 1 ...113
Figura 113 - Teorema da superposição - circuito 2 ...113
Figura 114 - Teorema de Thévenin - circuito ...115
Figura 115 - Teorema de Thévenin - circuito 1 ...115
Figura 116 - Teorema de Thévenin - circuito 2 ...116
Figura 117 - Teorema de Thévenin - circuito 3 ...116
Figura 118 - Teorema de Thévenin - circuito 4 ...116
Figura 119 - Teorema de Norton - circuito ...117
Figura 120 - Teorema de Norton - circuito 1 ...118
Figura 121 - Teorema de Norton - circuito 2 ...118
Figura 122 - Teorema de Norton - circuito 3 ...118
Figura 123 - Teorema de Norton - circuito 4 ...119
Figura 124 - Hidrelétrica ...121
Figura 125 - Gráfico da tensão alternada em graus ...121
Figura 126 - Gráfico da tensão alternada em radiano...121
Figura 127 - Tensão e corrente alternada - gráfico 1 ...122
Figura 128 - Gráficos de ciclos e períodos de diversas formas de onda CA ...122
Figura 129 - Circuito resistivo puro ...124
Figura 130 - Circuito resistivo puro - grafico senoidal ...124
Figura 131 - Circuito resistivo puro - gráfico fasorial ...124
Figura 132 - Circuito indutivo puro ...125
Figura 133 - Circuito induivo puro - diagrama fasorial ...126
Figura 134 - Circuito capacitivo puro ...126
Figura 135 - Circuito capacitivo puro - diagrama fasorial ...126
Figura 136 - Circuito RLC em paralelo 2 ...127
Figura 137 - Fios enrolados em forma helicoildal ...131
Figura 138 - Simbologia de bobinas ...131
Figura 139 - Indutores ...133
Figura 140 - Associação em série aditiva ...134
Figura 148 - Capacitores de diferentes capacitancias ...137
Figura 149 - Capacitor em paralelo ...138
Figura 150 - Capacitor em paralelo 1 ...138
Figura 151 - Associação de capacitores em série ...139
Figura 152 - Capacitor ...140
Figura 153 - Capacitor eletrolítico de 25uF 100V ...140
Figura 154 - Capacitores cerâmicos ...141
Figura 155 - Capacitores plásticos ...141
Figura 157 - Capacitor de Von Musschenbroek ...142
Figura 156 - Capacitores eletrolíticos...142
Figura 158 - Esquema elétrico ...145
Figura 159 - Esquema elétrico 1 ...146
Figura 160 - Gráfico senoidal ...146
Figura 161 - Representação fasorial ...146
Figura 162 - Gráfico senoidal 1 ...147
Figura 163 - Representação fasorial 1 ...147
Figura 164 - Gráfico senoidal 2 ...148
Figura 165 - Representação fasorial 2 ...148
Figura 166 - Gráfico senoidal com três tensões ...148
Figura 167 - Representação fasorial 3 ...148
Figura 168 - Resolução de circuitos RLC - circuito ...149
Figura 169 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial ...149
Figura 170 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 1 ...149
Figura 171 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 2 ...150
Figura 172 - Resolução de circuitos RLC - circuito 1 ...150
Figura 173 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 3 ...150
Figura 174 - Resolução de circuitos RLC - representação fasorial 4 ...150
Figura 175 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial ...151
Figura 176 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 1 ...151
Figura 177 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 2 ...152
Figura 178 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 3 ...152
Figura 179 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 4 ...152
Figura 180 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 5 ...152
Figura 181 - Impedância no circuito RLC em série - representação fasorial 6 ...152
Figura 182 - Impedância da associação - Pitágoras ...153
Figura 183 - Impedância da associação - Pitágoras 1 ...153
Figura 184 - Impedância no circuito RLC em série - circuito ...153
Figura 185 - Circuito RLC em paralelo ...154
Figura 186 - Circuito RLC em paralelo 1 ...155
Figura 187 - Circuito RLC em paralelo - gráfico senoidal ...155
Figura 188 - Circuito RLC em paralelo - representação fasorial ...155
Figura 196 - Ressonância - circuito ...159
Figura 197 - Imã ...163
Figura 198 - Material ferromagnético ...164
Figura 199 - Material paramagnético...164
Figura 200 - Imã 2 ...164
Figura 201 - Imã 3 ...164
Figura 202 - Divisão de Imã ...164
Figura 203 - Propriedades dos imãs ...165
Figura 204 - Linhas de força representando o campo magnético ...165
Figura 205 - Experiência ...165
Figura 206 - Imã 4 ...165
Figura 207 - Circuito não-energizado ...166
Figura 208 - Circuito energizado ...166
Figura 209 - Limalhas de ferro distribuídas aleatoriamente ...166
Figura 210 - Circuito energizado com linhas de indução do campo magnético ...167
Figura 211 - Regra da mão direita ...167
Figura 212 - Atração ...167
Figura 213 - Repulsão ...168
Figura 214 - Campo eletromagnético em espira ...168
Figura 215 - Direção campo eletromagnético em espira ...169
Figura 216 - Campo eletromagnético em espira 1 ...169
Figura 217 - Carretel ...170
Figura 218 - Bobina sem núcleo de ferro...170
Figura 219 - Bobina com núcleo de ferro ...170
Figura 220 - Espiral da bobina ...170
Figura 221 - Espiral da bobina 1 ...170
Figura 222 - Representação da regra da mão direita ...171
Figura 223 - Representação da regra da mão direita 1 ...171
Figura 224 - Eletroimã ...172
Figura 225 - Eletroimã 1 ...172
Figura 226 - Circuito Magnético ...172
Figura 227 - Entreferro ...173
Figura 228 - Entreferro 1 ...173
Figura 229 - Tipos de núcleo ...175
Figura 230 - Forma de onda ...175
Figura 231 - Transformador com mais de uma bobina ...175
Figura 232 - Derivação central...175
Figura 233 - Transformador trifásico ...176
Tabela 3: Múltiplos e submúltiplos do sistema métrico ...32
Tabela 4: Prefixos de conversões ...33
Tabela 5: Dígitos hexadecimais ...36
Tabela 6: Resistividade dos principais tipos de condutores ...73
Tabela 7: Força eletromotriz gerada por diferentes eletrodos ...74
Tabela 8: Relação dos resultados adquiridos ...100
IHM: Interface homem máquina.
ANEEL: Agencia Nacional de Energia Elétrica. CLP: Controlador lógico programável. MVA: Mega Volt Amper.
Y: Estrela. Δ: Triângulo.
PVI: Parcela variável por indisponibilidade. VE: Tensão de entrada.
VS: Tensão de saída.
FCA: Fator de correção de agrupamento. FCT: Fator de correção de temperatura. RFF: Relé falta de fase.
TC: Transformador de corrente. S: Potência aparente.
PE: Proteção equipotencial
NBR: Norma Brasileira Regulamentadora. Nº: Número.
NA: Normalmente Aberto NF: Normalmente Fechado A/D: Analógico para digital Term.: Termomagnético Q.T: Queda de tensão
IEC: International Electrotechnical Commission (Comissão Eletrotécnica Internacional). CC ou DC: Corrente contínua
I: Entrada analógica
IRR: Receptor Infravermelho (Infrared Receiver) IRT: Transmissor Infravermelho (Infrared Transmiter) LED: Diodo emissor de luz (Ligth Emmiting Diode)
CI: Circuito integrado GND: Ponto comum ou terra MOS: Metal oxide semiconductor A: ampère
Ca: Corrente alternada Cc: Corrente contínua ℓ: Litro
RPM- Rotações por minuto V: volt
W: watt
Ladder: Linguagem de contatos elétricos R: Resistor
Vs/Vo: Tensão de saída Ve/Vi: Tensão de entrada
2 Conceitos ...21
2.1 Potência de base dez ...21
2.1.1 Representando quantidades numéricas com potência de dez ...22
2.1.2 Operações aritméticas com potências de dez ...24
2.2 Números fracionários e decimais ...25
2.2.1 Números fracionários ...25
2.2.2 Números decimais ...29
2.3 Múltiplos e submúltiplos ...32
2.3.1 Características do sistema métrico decimal ...32
2.3.2 Prefixos métricos ...32
2.4 Conversão de base numérica ...34
2.4.1 Sistema de numeração binário ...35
2.4.2 Conversão binário decimal ...35
2.4.3 Conversão decimal binário ...36
2.4.4 Sistema de numeração hexadecimal ...36
2.4.5 Conversão de hexadecimal para decimal ...37
2.4.6 Conversão de decimal para hexadecimal ...37
2.5 Sistema linear ...37
2.5.1 Classificação dos sistemas lineares ...38
2.5.2 Equação linear ...38
2.5.3 Sistema linear com solução por matrizes ...39
2.6 Funções de 1º grau, 2º grau, exponencial, logarítmica e trigonométricas ...41
2.6.1 Função de 1º grau ...41 2.6.2 Função de 2º grau ...43 2.6.3 Função exponencial ...45 2.6.4 Propriedades de potenciação ...46 2.6.5 Equações exponenciais...46 2.6.6 Função logarítmica ...46 2.6.7 Trigonometria básica ...49
2.7 Representação gráfica de funções ...51
2.7.1 Função seno ...51
2.7.2 Função cosseno ...52
2.7.3 Função tangente ...53
2.8 Relações trigonométricas ...55
2.8.1 Teorema de Pitágoras ...55
3.2.1 Tensão elétrica...68
3.2.2 Corrente elétrica ...70
3.2.3 Resistência elétrica ...71
3.3 Fontes de energia ...73
3.4 Potência e energia elétrica ...75
3.5 Instrumentos de medidas ...77
3.5.1 Classificação dos instrumentos de medidas elétricas ...77
3.5.2 Medição de corrente ...77
3.5.3 Medição de tensão ...78
3.5.4 Medição da resistência ...79
3.5.5 Medição por meio de multímetro digital ...80
3.5.6 Osciloscópio ...82
4 Lei de Ohm e Kirchhoff ...87
4.1 Lei de Ohm ...87
4.2 Associação dos resistores ...89
4.3 Leis de Kirchhoff ...91
4.3.1 Aplicação das leis de Kirchhoff para a determinação de intensidades de correntes e tensões em redes elétricas ...93
5 Circuitos de corrente contínua ...103
5.1 Circuitos série de corrente contínua ...103
5.1.1 Cálculo da tensão na associação em série ...103
5.1.2 Cálculo da resistência equivalente de associação em série ...104
5.2 Circuito paralelo de corrente contínua ...106
5.2.1 Resistência equivalente de associação paralela ...107
5.2.2 Associação paralela de resistores de mesmo valor ...108
5.2.3 Associação paralela de dois resistores ...108
5.2.4 Divisores de tensão e corrente ...109
5.2.5 Divisor de corrente ...109
5.3 Circuito misto ...110
5.4 Teorema da superposição ...112
5.5 Teorema de Thévenin ...115
5.6 Teorema de Norton ...117
5.7 Circuitos corrente alternada ...120
5.7.1 Tensão e corrente alternada ...121
6.1 Indutores ...131 6.1.1 Indutância (L) ...132 6.1.2 Associação de indutores ...133 6.2 Capacitores ...136 6.2.1 Capacitância ...137 6.2.2 Associação de capacitores ...137 6.2.3 Reatância capacitiva (XC) ...139
6.2.4 Principais tipos de capacitores ...140
7 Circuitos RLC em corrente alternada ...145
7.1 Circuitos RLC em CA ...145
7.1.1 Associação RLC em série...145
7.1.2 Resolução de circuitos RLC ...149
7.1.3 Impedância no circuito RLC em série ...151
7.1.4 Circuito RLC em paralelo ...154
7.1.5 Circuito RLC série na ressonância ...157
8 Magnetismo, eletromagnetismo e transformadores ...163
8.1 Magnetismo e eletromagnetismo ...163
8.1.1 Campo magnético ...165
8.1.2 Eletromagnetismo ...166
8.1.3 Campo eletromagnético em espiras ...168
8.1.4 Força de atração eletromagnética em eletroimãs ...171
8.2 Transformadores...173
8.2.1 Transformador monofásico ...173
8.2.2 Transformadores com mais de uma bobina no primário e no secundário ...175
8.2.3 Transformador trifásico ...176
8.2.4 Autotransformador trifásico...176
Referências ...179
Minicurrículo dos Autores ...180
Nesta unidade curricular conheceremos os principais assuntos que contribuem para o desen-volvimento das competências de um técnico em Automação Industrial, que proporcionará a aqui-sição de fundamentos técnicos e científi cos necessários à Automação Industrial, bem como capaci-dades sociais, organizativas e metodológicas adequadas a diferentes situações profi ssionais.
Esta unidade curricular “Fundamentos da Eletrotécnica” permite aos alunos, por meio dos fundamen-tos de eletroeletrônica aplicáveis aos sistemas de controle e automação, a construção de uma base con-sistente que possibilite o desenvolvimento das competências profi ssionais do Técnico em Automação Industrial. Considera o desenvolvimento de fundamentos matemáticos, elétricos e eletrônicos. (DCN-DN)
Ainda nesta unidade curricular iremos reconhecer fundamentos de eletricidade aplicáveis aos sistemas de controle e automação. É importante identifi car os tipos de instrumentos de teste. Aplicar fundamentos de eletricidade na medição de grandezas elétricas. E ainda, inter-pretar representações gráfi cas aplicáveis aos sistemas automatizados de manufatura.
A seguir são descritos na matriz curricular os módulos e as unidades curriculares previstos e as respectivas cargas horárias.
Tabela 1: Técnico em Automação Industrial
MóDuLOS DENOMINAÇÃO uNIDADES CuRRICuLARES CARgA
HORÁRIA CARgA HORÁRIAMóDuLO Módulo Básico Fundamentos Técnicos e
Científi cos • Fundamentos da Comunicação 100h 140h 100h 340h • Fundamentos da Eletrotécnica • Fundamentos da Mecânica Módulo Introdutório Fundamentos Técnicos e Científi cos • Acionamento de Dispositivos Atuadores • Processamento de Sinais 160 h 180 h 340h
Específi co I Manutenção e Implemen-tação de Equipamentos e Dispositivos • Gestão da Manutenção • Implementação de Equipamentos Dispositivos • Instrumentação e Controle • Manutenção de Equipamentos e Dispositivos 34h 136h 102h 68h 340 h Específi co II Desenvolvimento de Sistemas de Controle e Automação • Desenvolvimento de Sistemas de Controle
• Sistemas Lógicos Programáveis • Técnicas de Controle 100h 160h 80h 340h Fonte: SENAI
1
2
Para iniciarmos os estudos de Fundamentos de Eletrotécnica há a necessidade da compre-ensão de alguns conhecimentos relativos aos fundamentos técnicos e científi cos, são eles:• Potência de base dez;
• Números decimais e fracionários;
• Múltiplos e submúltiplos;
• Conversão de base numérica;
• Resolução de sistemas lineares;
• Funções de 10 grau, 20 grau, exponencial, logarítmica e trigonométricas;
• Representação gráfi ca de funções;
• Relações trigonométricas.
2.1 pOTêNCIA DE bASE DEz
Potência de base dez é uma forma prática de representar e utilizar algebricamente quanti-dades numéricas e também converter uniquanti-dades de medidas maiores em uniquanti-dades de medidas menores e vice-versa. A potência de base dez possui algumas propriedades que são utilizadas nestas conversões, são elas:
Propriedades:
• Multiplicação de potências = conserva a base e soma os expoentes. 10m x 10n = 10(m+n)
• Divisão de potências = conserva a base e diminui os expoentes. 10m : 10n = 10m / 10n = 10(m-n)
• Potência de potências = conserva a base e multiplica os expoentes. (10m)n = 10(m.n)
Veja alguns exemplos destas propriedades: 102 x 103 = 10(2+3) = 105
103 : 102 = 10(3-2) = 101
(102)3 = 10(2x3) = 106
Compreenda, ainda, as seguintes propriedades:
• 100 = 1 • 101 = 10 • 10-1 = 1/10 • 10-n = (10-1)n = 1 / 10n • 10n = 10 x 10 x 10 x 10... x 10 nº de fatores Sendo n>0:
O “n” indica quantas vezes multiplicamos um número pela base dez. Assim: 1x100 =1x1=1 1x101 =1x10=10 1x102 =1x10 x 10=100 2x102 =2x10x10=200 Sendo n<0:
O “n” indica quantas vezes dividimos um número pela base dez. Assim: 1x10-1 = 1 / 101 =1 / 10 =0,1
1x10-2 = 1 / 102 =1 / 10x10 =1/100=0,01
1x10-3 = 1 / 103 =1 / 10x10x10=1/1000=0,001
2.1.1 RepResentando quantidades numéRicas com potência de dez
Considere a necessidade de efetuar uma operação algébrica (soma, subtração, divisão ou multiplicação) com uma carga elétrica elementar, E=0,00000000000000000016C (Coulomb). A utilização dessa quantidade na for-ma como foi expressa é, na prática, inviável. Para viabilizar sua utilização, vamos reescrevê-la na forma de potência de dez.Para representar numerais menores que a unidade (1) como numerais inteiros, devemos deslocar a casa decimal, ou seja, deslocar a vírgula para a direita, até ob-ter uma casa de inteiros. A seguir, multiplicamos o número obtido por 10 elevado a uma potência negativa igual ao número de casas decimais deslocadas.
Observe:
0, 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 6
0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
>
Deslocamos a vírgula 19 vezes para a direita 1,6
Agora, devemos multiplicar o numeral obtido (1,6) por 10, 10 elevado a uma potência negativa igual ao número de casas deslocadas (19). Fica, por-tanto, 1,6x10-19.
Considere, agora, a distância percorrida pela luz durante um ano. Essa gran-deza é denominada 1 ano-luz e equivale à distância de 94600000000000 metros. Para representar essa distância em metros com potência de dez, devemos des-locar a casa decimal, ou seja, a vírgula para a esquerda, até obter uma casa de inteiros. A seguir, multiplicamos o número obtido por 10, elevado a uma potência igual ao número de casas deslocadas.
Assim:
9 4 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9, 4, 6, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
>
9,46 Deslocamos a vírgula 13 vezes para a esquerda
Agora, multiplicamos o número obtido por 10, elevado a uma potência igual ao número de casas deslocadas. Fica, portanto, a distância percorrida pela luz du-rante um ano, igual a 9,46x1013 metros.
Para converter um número expresso como uma potência positiva de 10 num número decimal, deslocamos a casa decimal para a direita tantas casas ou posi-ções quanto o valor do expoente.
Exemplos: 3,14x102 = 314
Para converter um número expresso como uma potência negativa de 10 num número decimal, deslocamos a vírgula para a esquerda tantas casas quanto o valor do expoente.
Exemplos:
567,67x10-2 = 5,6767
345,8x10-3 = 0,3458
2.1.2 opeRações aRitméticas com potências de dez
• Adição e subtração:
Para efetuar a adição de dois ou mais numerais expressos em potência de 10, somamos ou subtraímos os numerais conservando o expoente, quando estes fo-rem iguais, conforme demonstrado no exemplo a seguir.
Exemplos:
5x103 +15x103 = (5+15)x103 = 20x103
5x103 - 15x103 = (5-15)x103 = -10x103
Porém, quando os expoentes não são iguais, devemos ajustá-los ao mesmo ex-poente antes de efetuar a adição, conforme é demonstrado no exemplo a seguir.
Exemplo: 6x103 + 9x102 -> 60x102 + 9x102 = (60+9)x102 = 69x102 > > > >
Observe que 6x103 = 60x102. Quando diminuímos em uma vez o expoente
devemos aumentar uma casa decimal.
• Multiplicação:
Para efetuar a multiplicação de dois ou mais numerais expressos em potência de 10, multiplicamos os coeficientes e somamos os expoentes.
Exemplo:
8x102 x 4x105 = (8x4)(2+5) = 32x107
• Divisão:
Para efetuar a divisão de dois ou mais numerais expressos em potência de 10, dividimos os coeficientes e subtraímos os expoentes.
Exemplo:
A divisão de dois ou mais numerais expressos em potência de 10 resolveram, por exemplo, o problema de repartir grandes quantidades de terras em pedaços menores.
SAIBA
MAIS
SAIBA
MAIS
Vamos compreender melhor a importância do uso destes números.
2.2 NÚMEROS FRACIONáRIOS E DECIMAIS
Por muito tempo o ser humano utilizou apenas os números inteiros; porém, com o passar do tempo e a necessidade de efetuar medições, foi necessária a criação de outros tipos de números, surgindo, então, os números fracionários ou racionais. Eles resolveram o problema, de por exemplo, repartir grandes quanti-dades de terras em pedaços menores. Vamos compreender melhor a importância do uso destes números.
2.2.1 númeRos FRacionáRios
Os numerais fracionários surgiram para facilitar a representação e a opera-ção com os números não-inteiros utilizados no cotidiano.
Quando dividimos a unidade (inteiro) em partes iguais e tomamos uma ou mais partes, estamos tomando uma fração da unidade. Fazendo uma analogia com uma pizza, ela inteira é a unidade, e cada pedaço cortado dela é uma fração da pizza.
Figura 1 - Pizza Fonte: Autor
As frações são representadas pelo conjunto dos números racionais, represen-tado pela letra Q.
Defi nimos os números racionais como: Q= { ab a Z; b Z* }
Dos resultados acima temos, então, que: Q vem de “quotient” e signifi ca quociente. Z representa o conjunto dos números inteiros
No exemplo da pizza, dividimos a unidade em seis partes iguais e tomamos uma parte. O pedaço da pizza que tomamos é representado pela fração: a/b , onde: “a” é o “numerador” e “b” é o denominador. Numa fração, lemos em primeiro lugar o numerador e em segundo lugar o denominador. Quando o denominador é um número natural entre 2 e 9, devemos ler como: 2 = meio; 3 = terço; 4 = quar-to; 5= quinquar-to; 6 = sexquar-to; 7 = sétimo; 8 = oitavo e 9 = nono.
Como exemplo temos: 1/6, neste caso lemos: “um sexto”. Porém quando o de-nominador é maior do que 10, lemos o numeral, acompanhado da palavra “avos”. Retomando o exemplo da pizza se fosse tamanho família, ela estaria dividida em 12 pedaços, ou seja, cada pedaço desta pizza seria representado como 1/12 e sendo assim, lemos “um doze avos”.
• Frações próprias: são as frações menores que a unidade.
Figura 2 - Frações prórias Fonte: Autor
1 V Numerador Nas frações próprias, o numerador
é menor que o denominador. 2 V Denominador
• Frações impróprias: são frações maiores que a unidade.
Figura 3 - Frações imprórias Fonte: Autor
7 Nas frações impróprias, o numerador é maior que o denominador.
4
• Frações aparentes: são frações em que o numerador é sempre múltiplo do denominador.
Figura 4 - Frações aparentes Fonte: Autor
12 As frações aparentes repre-sentam inteiros.
4
• Frações equivalentes: são frações que representam o mesmo valor.
Figura 5 - Frações equivalentes Fonte: Autor
Para obtermos uma fração equivalente a outra, bas-ta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número.
• Números mistos: são números que representam uma parte inteira e mais uma fração.
=
Figura 6 - Números mistos Fonte: Autor
• Extração de inteiros: é a representação de uma fração imprópria por um número misto. Sendo a fração imprópria 34 , representá-la com um número misto significa evidenciar a parte inteira e a parte fracionária. Para tanto, devemos divi-dir o numerador pelo denominador. O quociente será a parte inteira. O resto será o numerador e conservamos o mesmo denominador.
Assim:
4 3
3 1 quociente
1 resto
1 inteiro , sobra 1 Dai: inteiro V 1 1 sobra 3 denominador
obtendo uma fração imprópria a partir de um número misto:
Multiplicamos a parte inteira pelo denominador e adicionamos o numerador ao produto obtido, mantendo o denominador.
Considere agora o número misto 1 13
1 x 3 + 1 = 4
parte inteira denominador numerador (numerador da fração) Executando:
Dai: 1 13 -> 43
Redução de frações ao mesmo denominador
Para reduzir duas os mais frações ao mesmo denominador, devemos efetuar três procedimentos:
1º Calcular o m.m.c. (mínimo múltiplo comum).
3º Multiplicar o quociente encontrado em cada divisão pelo numerador da res-pectiva fração. O produto encontrado é o novo numerador.
Tendo as frações: 34 ; 12 ; 56 1º Determinação do m.m.c: 4 2 6 2 2 1 3 2 1 1 3 3 1 1 1 12
2º Divisão do mmc pelos respectivos denominadores: 12 ÷ 4 = 3
12 ÷ 2 = 6
12 ÷ 6 = 2
3º Multiplicação dos respectivos numeradores pelo quociente encontrado: 3x3
12 6x112 2x512 Ficando, então: 12 9 12 6 1012
operação com frações
• Adição e subtraçãoAdição e subtração com o mesmo denominador: Adicionamos ou subtraímos os numeradores e mantemos o denominador.
Assim: 78 + 8 = 5 128 ou 78 - 58 = 28
Adição e subtração de frações com denominadores diferentes: reduzimos as frações ao mesmo numerador calculando o mmc e procedemos, agora, à soma ou à subtração de frações com o mesmo denominador.
Assim: 34 + 5 = 2 1520 + 20 = 8 2320 ou 34 - 25 = 1520 - 20 = 8 207
• Multiplicação:
A multiplicação de frações é efetuada multiplicando os numeradores entre si e os denominadores entre si.
Assim: 56 x 74 = 2435
Numa multiplicação de frações, costumamos simplificar os fatores comuns ao numerador e ao denominador antes de efetuá-la. Exemplo:
Simplificado
>
4
• Divisão de frações:
A divisão de duas frações é efetuada multiplicando a primeira fração pela fra-ção inversa da segunda.
Alguns procedimentos devem ser observados:
1º Transformar os números mistos em frações impróprias, se for o caso. 2º Transformar os números inteiros em frações aparentes, se for o caso. 3º Simplificar.
4º Multiplicar os numeradores e os denominadores entre si. 5º Extrair os inteiros.
Exemplo: 47 35 = 47 x 53 = 2021
34 57 = 34 x 75 = 2120 = 1201
2.2.2 númeRos decimais
Os numerais decimais surgiram da necessidade de efetuar operações aritméti-cas por meio de números inteiros sem o uso de frações. O método foi desenvolvi-do por Simon Stevin (1548-1620), matemático e engenheiro holandês.
Os números decimais têm origem nas frações decimais. Como por exemplo: A fração 12 dá origem ao numeral decimal 0,5.
casa decimal:
Casa decimal é a posição que um algarismo (signo gráfico que representa um núme-ro) ocupa após a vírgula. A vírgula separa a parte inteira da parte fracionária do número.
Tabela 2: Nomenclatura das casas decimais
VALOR NOME CASAS DECIMAIS
1x10-1 décimo 1 1x10-2 centésimo 2 1x10-3 milésimo 3 1x10-4 décimo de milésimo 4 1x10-5 centésimo de milésimo 5 1x10-6 milionésimo 6 1x10-7 décimo de milionésimo 7 1x10-8 centésimo de milionésimo 8 1x10-9 bilionésimo 9
CONTINuAÇÃO TAbELA 2: Nomenclatura das casas decimais
VALOR NOME CASAS DECIMAIS
1x10-10 décimo de bilionésimo 10 1x10-11 centésimo de bilionésimo 11 1x10-12 trilionésimo 12 1x10-13 décimo de trilionésimo 13 1x10-14 centésimo de trilionésimo 14 1x10-15 quatrilhonésimo 15 1x10-16 décimo de quatrilhonésimo 16 1x10-17 centésimo de quatrilhonésimo 17 1x10-18 quintilhonésimo 18 1x10-19 décimo de quintilhonésimo 19 1x10-20 centésimo de quintilhonésimo 20 Fonte: Autor
Decimais Infinitos
Também chamados de dízima periódica, apresentam repetição de algarísmos. Exemplo:
2,222222222222... Representação:
INTEIROS FRACIONADOS
Classe dos milhões Classe dos milhares Classe das unidades
décimo centésimos milésimos
c d u c d u c d u
c: centena d: dezena u: unidade Figura 7 - Decimais infinitos inteiros
Fonte: Autor
Para separar as classes dos inteiros usamos o ponto, e para separar a parte in-teira da parte fracionária usamos a vígula.
Exemplo:
Figura 8 - Decimais infinitos fracionários Fonte: Autor
operações com números decimais
• Adição e subtraçãoPara adicionar números decimais, devemos posicionar o número inteiro abaixo de número inteiro, vírgula abaixo de vírgula e casa decimal abaixo de casa decimal.
Exemplos:
Somando os números:
3, 456 <- três casas decimais 3, 456
+ 20, 12 <- duas casas decimais + 20, 12 acertando a posição da virgula
23, 576 23, 576
Subtraindo os números:
33, 456 <- três casas decimais 33, 456
- 20, 12 <- duas casas decimais - 20, 12 acertando a posição da virgula
13, 336 13, 336
• Multiplicação e divisão
Para multiplicar números decimais, multiplicamos os números decimais como se fossem naturais e no produto colocamos a vírgula contando da di-reita para a esquerda um número de casas decimais igual à soma das casas decimais dos fatores.
Exemplo: 3,456 x 20,12
3, 456 <- três casas decimais
- 20, 12 <- duas casas decimais
69,53472 <- cinco casas decimais
Para multiplicar um número decimal por 10,100,1000,.... deslocamos a vírgula para a direita tantas casas quantos forem os zeros do multiplicador.
Exemplo: 2,35x100 = 235
Para dividir um número decimal por 10,100,1000,.... deslocamos a vírgula no dividendo para a esquerda tantas casas quantos forem os zeros do divisor.
2.3 MÚLTIpLOS E SUbMÚLTIpLOS
Em 1795 foi introduzido na França o Sistema Métrico Decimal que, por sua ra-cionalidade, logo se espalhou por todo o mundo. Vários sistemas foram utilizados desde então, a exemplo do Metro-Quilograma-Segundo (MKS) e do Centímetro--Grama-Segundo (CGS), que usavam as bases do sistema métrico decimal, até que em 1960, durante a 11ª Conferência de Pesos e Medidas realizada em Paris, foi formulado um novo sistema baseado também do Sistema Métrico Decimal, ao qual se denominou Sistema Internacional de Unidades (SI). Este Sistema passa por revisões periódicas.
Até meados do século XVIII, as unidades de medida eram arbitrárias, variando de um país para outro, o que trazia enormes transtornos nas conversões. Por causa disso, os cientistas propuseram unidades de medida universais.
VOCÊ
SABIA?
2.3.1 caRacteRÍsticas do sistema métRico decimal
O sistema métrico é de base decimal e apresenta múltiplos e submúltiplos, ra-cionalmente escolhidos, utilizando prefi xos gregos e latinos, segundo potências de dez, conforme demonstrado no quadro a seguir:
Tabela 3: Múltiplos e submúltiplos do sistema métrico
Valores Prefi xos Símbolos Valores Prefi xos Símbolos
1018 exa E 100 1 unidade fundamental 1015 peta P 10-1 deci d 1012 tera T 10-2 centi c 109 giga G 10-3 mili m 106 mega M 10-6 micro μ 103 quilo k 10-9 nano n 102 hecto h 10-12 pico p 101 deca d 10-15 femto f 100 1 unidade fundamental 10 -18 atto a Fonte: Autor
2.3.2 pReFixos métRicos
Em eletricidade básica algumas unidades de medidas podem ser ou muito pequenas ou muito grandes para serem expressas. Por exemplo: no caso de resis-tência frequentemente são utilizados valores de resisresis-tência da ordem de milhares de ohms. O prefi xo “k” (quilo) é uma forma conveniente de se representar mil, assim como o prefi xo “M” (mega), milhão.
Dessa forma, um resistor de 12.000 Ω (ohm: unidade de medida para resistência elétrica) pode ser representado, convenientemente, por 12k Ω (doze quiloohm), e um resistor de 1.000.000 de ohms pode ser representado por 1M Ω (um megaohm). Os prefi xos “kilo” e mega referem-se aos múltiplos da unidade fundamental.
No caso da corrente elétrica, é muito frequente a utilização de milésimos ou milionésimos de ampères (A = unidade de medida de intensidade de corrente elétrica). Assim, uma corrente de 0,001A pode ser representada por 1mA (miliam-père), que é um submúltiplo da unidade fundamental, enquanto uma corrente de 0,000002A pode ser representada por 2μA (microampères).
Veja a seguir alguns exemplos do uso destes prefi xos nas conversões:
Tabela 4: Prefi xos de conversões
12.500 Ω 12,5k Ω ou 12k5 Ω 4.700.000 Ω 4,7M Ω ou 4M7 Ω 35.000V 35kV 1.500V 1,5kV 0,0034 A 3,4mA 200mA 0,2A
14.000μA 0,014A ou 14mA 2.200W 2,2kW
Fonte: Autor
Frequentemente é necessário converter uma unidade de medida maior em outra menor ou vice-e-versa, principalmente quando desejamos efetuar opera-ções como soma e subtração.
Assim, para somar 0,23V (V (volt) = unidade de medida de tensão elétrica) com 2mV, é necessário que as unidades de medidas sejam iguais, ou V (volt) ou mV (milivolt), ou seja necessitamos igualar as unidades de medida. E para tal deve-mos fazer com que 0,23V se transforme em 230mV.
Logo: 230mV + 2mV = 232mV ou, ainda, podemos transformar 2mV em 0,002V, neste caso temos: 0,23V + 0,002V = 0,232V.
FIQUE
ALERTA
Quando o deslocamento no sentido vertical for para cima, desloque a vírgula para a esquerda.
Quando o deslocamento no sentido vertical for para baixo, desloque a vírgula para a direita.
Considere sempre a unidade fundamental (UF) = 100.
Lembre-se de que qualquer número inteiro pode ser mentalizado como um número precedido de uma vírgula e zeros, em conformidade com a aproximação desejada. Vejamos os exemplos de conversão de unidades a seguir:
Analisando a Tabela 4, anterior, verificamos que, para converter 12.000mV para V (volt), o deslocamento no sentido vertical ocorre para cima. Isto significa que devemos deslocar a vírgula para a esquerda. Mas, quantas casas devemos deslo-car à esquerda? A diferença entre os expoentes do mV (10-3) para a unidade
fun-damental (100) é 3. Logo, deverão ser deslocadas três casas à esquerda.
Assim: 12.000mV = 12V
Levando em conta que 12.000 pode ser escrito como 12.000,00... e deslocando a vírgula 3 casas à esquerda, teremos então 12,000, que é representado por 12.
• Converter 4.500V em kV (kilovolt):
Neste caso, o deslocamento vertical também é para cima e por isso a vírgu-la deve ser deslocada à esquerda. A diferença entre os expoentes também é 3. Logo: 4.500V = 4,5kV.
• Um resistor de 33.000 Ω pode ser representado como 33x(1x103) onde na base
10, o expoente 3 faz o deslocamento em três casas, sendo assim: 33.000 Ω = 33k Ω.
2.4 CONvERSÃO DE bASE NUMéRICA
Na grande maioria das vezes, ao ouvirmos a palavra “números”, a associamos ao sistema decimal, porque é com ele que estamos acostumados a operar. O sis-tema decimal está fundamentado em algumas regras que são base para qualquer outro sistema. Sendo assim, é importante estudar estas regras e aplicá-las aos sis-temas de numeração binária, decimal e hexadecimal.
Uma das regras demonstra que um dígito (numeral) no sistema decimal (base 10) tem dois significados: um é o valor propriamente dito do dígito, e o outro está relacionado com a posição do dígito no número (peso).
Vamos compreender melhor com o seguinte exemplo:
O numeral 7 no número 70 corresponde a sete dezenas, ou seja 7 x 10, de-vido à posição que ele ocupa no número. Este princípio é aplicável a qualquer sistema de numeração onde os dígitos possuem “pesos” determinados por seu posicionamento. Sendo assim, um sistema de numeração genérico pode ser expresso da seguinte maneira:
N = dn . Bn + . . . + d3. B3 + d2. B2 + d1 . B1 + d0 . B0
Onde:
N = representação do número na base B dn = dígito na posição n
B = base do sistema utilizado n = valor posicional do dígito.
Veja como o número 1587 fica representado no sistema decimal: N = d3 . B3 + d2 . B2 + d1 . B1 + d0 . B0
1587 = 1 . 103 + 5 . 102 + 8 . 101 + 7 . 100
1000 + 500 + 80 + 7
2.4.1 sistema de numeRação bináRio
O sistema binário utiliza dois dígitos (base 2) para representar qualquer quan-tidade. De acordo com a definição de um sistema de numeração qualquer, o nú-mero binário 1101 pode ser representado da seguinte forma:
1101 = 1 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 1 . 20
1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
Note que os índices foram especificados em notação decimal, o que possibilita a con-versão binária-decimal como descrito acima. Através do exemplo anterior, podemos no-tar que a quantidade de numerais necessária para represenno-tar um número qualquer, no sistema binário, é muito maior quando comparada ao sistema decimal. A grande vanta-gem do sistema binário reside no fato de que, possuindo apenas dois dígitos, eles são fa-cilmente representados por uma chave aberta e uma chave fechada, ou um relé ativado e um relé desativado, ou um transistor saturado e um transistor cortado; o que torna sim-ples a implementação de sistemas digitais mecânicos, eletromecânicos ou eletrônicos.
Em sistemas eletrônicos, o dígito binário (0 ou 1) é chamado de BIT, enquanto um conjunto de 8 bits é denominado BYTE.
2.4.2 conveRsão bináRio decimal
A conversão de um número do sistema binário para o sistema decimal é efe-tuada simplesmente adicionando os pesos dos dígitos binários 1, como mostra-mos os exemplos a seguir:
Solução: a) 11010 = 1 . 24 + 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 21 + 0 . 20 11010 = 16 + 8 + 0 + 2 + 0 11010 = 26 (D) b) 1100100 = 1 . 26 + 1 . 25 + 0 . 24 + 0 . 23 + 1 . 22 + 0 . 21 + 0 . 20 1100100 = 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 0 1100100 = 100 (D)
2.4.3 conveRsão decimal bináRio
Para converter um número decimal em binário, dividimos sucessivamente o número decimal por 2 (base do sistema binário), até que o último quociente seja 1. Os restos obtidos das divisões e o último quociente compõem um número bi-nário equivalente, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo: Converter os seguintes números decimais em binário:
Figura 9 - Conversão decimal binário Fonte: Autor
2.4.4 sistema de numeRação hexadecimal
O sistema hexadecimal, ou sistema de base 16, é largamente utilizado nos compu-tadores de grande porte e em vários microcompucompu-tadores. Neles são utilizados 16 sím-bolos para representar cada um dos dígitos hexadecimais, conforme a tabela a seguir:
Tabela 5: Dígitos hexadecimais
Nº DECIMAL DÍgITO HEXADECIMAL Nº bINÁRIO
Decimal Hexa Binário
0 0 0000 1 1 0001 2 2 0010 3 3 0011 4 4 0100 5 5 0101 6 6 0110 7 7 0111 8 8 1000 9 9 1001 10 A 1010 11 B 1011 12 C 1100 13 D 1101 14 E 1110 15 F 1111 Fonte: Autor
Note que as letras A, B, C, D, E, F representam dígitos associados às quantida-des 10, 11, 12,13, 14, 15, respectivamente.
2.4.5 conveRsão de hexadecimal paRa decimal
Novamente aplicamos a Tabela 2 para o sistema hexadecimal a definição de um sistema de numeração qualquer. Assim, temos:
N = d3.163 + d2.162 + d1.161 + d0.160
Para efetuar a conversão, basta adicionar os membros da segunda parcela da igualdade, como ilustrado nos exemplos a seguir:
Converter em decimal os seguintes números hexadecimais: a) 23 (H) = 2 . 161 + 3 . 160 23 (H) = 2 . 16 + 3 . 1 23 (H) = 32 + 3 23 (H) = 35(D) b) 3B (H) = 3 . 161 + B . 160 3B (H) = 3 . 16 + B . 1 3B (H) = 48 + 11 3B (H) = 59 (D)
Observe que o dígito hexadecimal “B”, no exemplo (b), equivale ao número 11 decimal, como indica na Tabela 2.
2.4.6 conveRsão de decimal paRa hexadecimal
A conversão decimal hexadecimal é efetuada através das divisões sucessivas do número decimal por 16, como demonstrado no exemplo a seguir.
Exemplo: Converter os seguintes números decimais em hexadecimal:
Figura 10 - Conversão decimal hexadecimal Fonte: Autor
2.5 SISTEMA LINEAR
Sistema linear é um método algébrico para solucionar equações matemáticas com duas ou mais variáveis.
2.5.1 classiFicação dos sistemas lineaRes
Os sistemas lineares são classificados, quanto ao número de soluções, da seguinte forma:
Sistema linear
Possível ou compatível quando admite solução
Determinado
Admite uma única solução Indeterminado
Admite infi nitas soluções Impossível ou incompatível
quando não admite solução
2.5.2 equação lineaR
Toda equação da forma a1x1 + a2x2 + ... + axxx = b é denominada equação linear, em que:
a1, a2, ..., an são coefi cientes. x1, x2, ..., xn são as incógnitas.
b é um termo independente.
Exemplo:
a) 2x1 - 3x2 + x3 = 5 é uma equação linear de três incógnitas. b) x + y - z + t = 1 é uma equação linear de quatro incógnitas.
FIQUE
ALERTA
Quando o termo independente “b” for igual a zero, a equação linear será denominada equação linear homogênea. Exemplo: 5x+y = 0 .
Uma equação linear não apresenta termos da forma
x2, x3, x5,
1 2 3 etc.; isto é, cada termo da equação tem uma única
incógnita cujo expoente é sempre 1.
As equações 3x12 + 2x2 = -3 e 4x.y + z = 2 não são lineares.
A solução de uma equação linear a “n” incógnitas é a sequência de números reais que, colocados respectivamente no lugar de x1, x2, ..., xn, tornam verdadeira a igualdade dada.
Uma solução evidente da equação linear homogênea 3x + y = 0 é (0,0).
Exemplos:
1) Dada a equação linear 4x - y + z = 2, encontre uma de suas soluções. Resolução: Vamos atribuir valores arbitrários a x e y e obter o valor de z.
x = 2 4.2 - 0 + z = 2
V
y = 0 z = -6
Resposta: Uma das soluções é a tripla ordenada (2, 0, -6).
2) Dada a equação 3x - 2y = 5, determine a para que a dupla (-1,a ) seja a solução da equação. Resolução: (-1, a) V x = -1 V y = a 3.(-1) - 2a = 5 -3 - 2a = 5 -2a = 8 -> a = -4 Resposta:a= – 4
2.5.3 sistema lineaR com solução poR matRizes
Denominamos sistema linear de m equações nas n incógnitas x1, x2, ..., xX todo sistema da forma:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
... V a11, a12, ..., a1n, b1, b2, ..., bn são números reais. ...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn
Se o conjunto ordenado de números reais a satisfizer todas as equações do sistema, será denominado solução do sistema linear.
Observações:
Se o termo independente de todas as equações do sistema for nulo, isto é, b1 = b2 = ... = bn, o sistema linear será dito homogêneo. Veja o exemplo:
2x + y - z = 0 x + y + 4z = 0 5x - 2y + 3z = 0
Uma solução evidente do sistema linear homogêneo é x = y = z = 0.
Esta solução chama-se solução trivial do sistema homogêneo. Se o sistema ho-mogêneo admitir outra solução em que as incógnitas não forem todas nulas, a solução será chamada de solução não trivial.
Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma solução, eles são ditos sis-temas equivalentes. Veja o exemplo:
S1: x + 3y = -5 V S1 = {(1,-2)} S2:
3x + y = 2 2
V S2 = {(1,-2)}
2x - y = 4 -x + y = -13
Como os sistemas admitem a mesma solução {(1, -2)}, S1 e S2 são equivalentes. Dentre suas variadas aplicações, as matrizes são utilizadas na resolução de um sistema de equações lineares por ser um processo mais adequado.
Retomando o sistema linear especificado, temos: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 ...
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bn
Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma: a11 a12 ... a1n . x1 = b1 a21 a22 ... a2n x2 b2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... am1 am2 ... amn xn bn v v v
matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas
matriz coluna consti-tuída pelas incógnitas
matriz coluna dos ter-mos independentes
Observe que, se você efetuar a multiplicação das matrizes indicadas, obterá a solução do sistema apresentado. Se a matriz constituída pelos coeficientes das incógnitas for quadrada, seu determinante será o principal do sistema.
Exemplo:
Seja o sistema:
2x1 + 5x2 - x3 = 0 4x1 - 3x2 + 6x3 = -1 7x1 + x2 - 2x3 = 8
2 5 -1 x1 =
0
4 -3 6 x2 -1
7 1 -2 x3 8
2.6 FUNÇõES DE 1º gRAU, 2º gRAU, ExpONENCIAL, LOgARíTMICA E
TRIgONOMéTRICAS
As funções são importantes como modelos de fenômenos naturais.
2.6.1 Função de 1º gRau
A função linear é determinada pela expressão y = A.x + B. As variáveis “x” e “y” têm domínio no conjunto dos números reais R. As constantes A e b são os coeficientes da função. A variável y é a variável dependente; ou seja, o valor de y depende do valor atribuído a x. Então, dizemos que y é função de x.
O conjunto de valores conferidos a x deve ser chamado de domínio da função, e os valores determinados de y formam o conjunto imagem da função. O gráfico de uma função linear é uma reta; isto significa que a variável dependente y tem variação constante, dada pelo valor do coeficiente A. Veremos que a relação linear entre duas variáveis tem muita aplicabilidade em modelos eletrônicos.
Exemplos:
A>0, função crescente A<0, funções decrescente
Figura 11 - Função de 1º grau Fonte: Autor
O valor do coeficiente A indica se a função é crescente ou decrescente, e o va-lor de b indica o ponto de intersecção da função com o eixo y do plano cartesiano.
Aplicações:
A partir da expressão, podemos construir uma tabela com os valores de y em função de x. Observe que o coeficiente A é positivo; portanto, y cresce com x (função crescente).
x 0 1 2 3
Y = 2x + 5 5 7 9 11
Graficamente teremos: y
x
Figura 12 - Função de 1º grau - 1 Fonte: Autor
B) Considere: y = -2x + 5, x R.
Observe que o coeficiente A é negativo; portanto, y decresce com x (função decrescente). x 0 1 2 3 Y = -2x + 5 5 3 1 -1 Graficamente teremos: y x
Figura 13 - Função de 1º grau - 2 Fonte: Autor
casos particulares da função linear
1) A = 0Com A = 0, a equação y = A.x + B fica reduzida a y = B. A função y = B recebe o nome de função constante. Observe que o valor de y não varia com o aumento de x.
Exemplo: Considere: y = 5
x 0 1 2 3
Graficamente teremos: y
x
Figura 14 - Função de 1º grau - 3 Fonte: Autor
2) B = 0
Se B = 0, a equação y = A.x + B fica reduzida a y = A.x. Seu gráfico é uma reta pela origem. Exemplo: y = 2x x 0 1 2 3 Y 0 2 4 6 Graficamente teremos: y x
Figura 15 - Função de 1º grau - 4 Fonte: Autor
2.6.2 Função de 2º gRau
A função de 2º grau, também chamada de quadrática, é obtida pela expressão y = A.x2 + B.x + C, com domínio em R, sendo A, B e C números reais e A≠0. O gráfico
da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima caso A seja positivo, e concavidade para baixo caso A seja negativo, como representado abaixo:
y = +x2 -2x -3 y = -x2 +2x +3
Figura 16 - Função de 2º grau Fonte: Autor
O ponto v representado nas figuras 1 e 2 é o vértice da parábola. A pa-rábola apresenta uma simetria em relação à reta que passa pelo vértice e é perpendicular ao eixo x.
Para representar graficamente uma função de 2º grau precisamos deter-minar as intersecções da parábola com o eixo x, sua intersecção com o eixo y e o seu vértice.
determinação das intersecções com o eixo x
Para determinar os cruzamentos com o eixo x devemos fazer y = 0. Tomemos como exemplo a função de 2º grau: y = x2 – 2x -3.
Fazendo y = 0, obtemos a equação de 2º grau: 0 = x2 -2x – 3.
Para determinar os valores que x pode assumir para fazer y=0, usaremos a fór-mula de Báskara:
= B2 - 4AC x = -B+
2A
2
-Efetuando o equacionamento, determinaremos que a parábola cruza o eixo x nos pontos (-2,0) e (3,0).
Os pontos (-2,0) e (3,0) são ditos raízes da função.
determinação da intersecção com o eixo y
O cruzamento com o eixo y é determinado quando fazemos x = 0. Tomando como exemplo a função de 2º grau y = x2 -2x -3, temos: y = 02 -2x0 -3.
Fica: y = -3
Então a parábola cruza o eixo y no ponto (0,-3).
determinação do vértice e eixo de simetria
O vértice da parábola tem coordenadas:Abscissa: Ordenada:
x = -B2A y = -4A
Para o exemplo dado, temos: V = (1,-4) . O eixo de simetria passa por x= 1
Representação gráfica:
Figura 17 - Vértice e eixo de simetria Fonte: Autor
2.6.3 Função exponencial
O circuito abaixo simula o acionamento de LEDs que é um diodo emissor de luz que estudaremos em outra unidade curricular - processamentos de sinais. O número de possibilidades distintas de acionamento é dado em função do número de LEDs.
1 LED V 21 = duas possibilidades de acionamento.
2 LED V 22 = quatro possibilidades de acionamento, (figura abaixo).
3 LED V 23 = oito possibilidades de acionamento.
Figura 18 - Sistema com 2 LEDs Fonte: Autor
Podemos então escrever: f(n)=22 ou y = 2n, com n = 1,2,... A expressão y = 2n é uma
2.6.4 pRopRiedades de potenciação
Dados a e b reais e m e n naturais, são verifi cadas as seguintes propriedades: am x an = am+n am = am-n an (ab)m = am x bm ( a )m= am b bm (para b≠0) (am)n = am.n a0 = 1 a-n = 1 an (para a≠0) n 1 a a =n n m a am
a =( )n m = n com sendo Real positivo e m, n = 1,2,3,....
2.6.5 equações exponenciais
Equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoen-tes. O equacionamento consiste em reduzir os membros da equação a potências de mesma base a (a>0, a≠1).
Exemplo de aplicação:
5x-1 = 125 solução: 5x-1 = 53 V x – 1 = 3 V x = 4
São vários os fenômenos naturais e as aplicações cotidianas que têm equacio-namento exponencial.
2.6.6 Função logaRÍtmica
O termo logaritmo vem do grego: logos = razão e arithmos = número.
A função logarítmica é o modelo adequado para estudar e explicar muitos fe-nômenos naturais.
Os logarítmicos são utilizados, também, em equacionamentos matemáticos em que não é possível resolver equacionamentos exponenciais por simples igualdade de potências.
VOCÊ
SABIA?
A função logarítmica é defi nida como sendo a função g que associa a cada nú-mero real x>0, o núnú-mero real loga x, com domínio em R+ (Reais positivos, excluído o zero) e imagem em R(Reais).
Exemplos:
g(x) = log2 x g(x) = log1/2 x
O gráfico da função logarítmica é uma hipérbole, conforme demonstrado nas figuras a seguir:
Figura 19 - Gráfico da função logarítmica Fonte: Autor
Fique atento para as informações a seguir:
• O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0).
• O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III.
• Quando a base (a) é maior que um, a função logarítmica é crescente.
• Quando a base (a) é maior que zero e menor que um, a função logarít-mica é decrescente.
Definição de logaritmo de um número
Denomina-se logarítmo de um número a, na base b, o número real c que deve ser o expoente de b para que a potência seja igual ao número a.
Ou seja:
logb a = c V V bc = a com a > 0, b > 0, b ≠ 1;
Onde: c: logaritmo;
b: base do logaritmo; a: logaritmando. Veja alguns exemplos de aplicação:
• Vamos calcular o logaritmo de 81 na base 3. Log381 = x
Para calcularmos devemos fatorar o número 81: 81 3 0 27 3 0 9 3 0 3 3 0 1
Assim, podemos escrever que 81 = 34 Lembrando que: logb a = c V V bc = a ;
Então: 3x = 81
Daí: 3x = 34
Donde: x = 4 Logo, log3 81 = 4.
Veja este segundo exemplo: Determinar o valor de log 3 31 9
log 3 3 = log ( 31. 3 ) = log 3 = 1 9 1 2 3 4 -2 3 -2 3 3 2
Usando as propriedades anteriores { log ba = c bc = a }
1 9 b= a= 3 3 c= 43 9 13/4 = -0,75
Para que possamos efetuar alguns cáculos de logarítimos existem algumas propriedades que são aplicadas, veja:
Propriedades dos logarítmos 1ª loga1 = 0 2ª loga a = 1 3ª loga an = n 4ª alog a N = N, com N>0 5ª loga X= loga Y V V X = Y 6ª loga (M.N)= loga M+ loga N 7ª loga M
N = loga M- loga N
8ª loga MN = N . log a M
9ª loga M = loga MN = 1 . log a M N 1 N 10ª logb N = loga N loga b
Exemplos nos quais podemos aplicar funções logarítmicas: Na economia, resolvendo a equação C = C0(1+r)n, onde C
o capital montante futuro resultante de um investimento inicial C0, com taxas de juros de r% em cada período de tempo contratado, passados n desses períodos.
Na arqueologia, para datar achados arqueológicos através do método do carbono 14(C14). Os arqueólogos usam a equação:
N(t) = N0.e(-kt), onde N(t) é a quantidade de C14 presente numa
amostra no instante t e N0 a quantidade de C14 presente no
instante t=0, k é a constante de desintegração radioativa de C14 e a quantidade e é o número de Euler e vale 2,718.
Na construção de escalas para fenômenos naturais. A escala Ritcher, chamada assim em homenagem ao sismólogo americano Charles F. Ritcher, baseia a medida da magnitude de um terremoto numa escala logarítmica de base 10. Na engenharia, como modelo matemático de funcionamento
de componentes e circuitos. Os
potenciômetros logarítmicos são elementos de circuitos eletrônicos que variam sua resistência elétrica numa escala logarítmica, também de base dez.
Figura 20 - Potenciômetro logarítmico Fonte: Autor
SAIBA
MAIS
SAIBA
MAIS
2.6.7 tRigonometRia básica
A palavra trigonometria vem do grego e significa medida (metria) em tri-ângulos (trigon).
Figura 21 - Trigonometia básica arco Fonte: Autor
ARCO é uma parte da circunferência determi-nada por dois de seus pontos.
Figura 22 - Trigonometia básica ângulo Fonte: Autor
ÂNGULO é uma abertura determinada pelo arco de uma circunferência.
O arco AB determina o ângulo AôB.
Usamos duas unidades para determinar arcos e ângulos: Grau: um grau (1º) é a 1360 parte de uma circunferência.
Radiano: Um radiano (1rad) é determinado por um arco cujo comprimento é igual ao comprimento do raio da circunferência que contém esse arco.
0 r
Figura 23 - Trigonometia básica Fonte: Autor
“Esticando” o arco AB , sendo seu comprimento igual ao segmento 0A , como 0A =r. Então, a medi-da do arco AB é um radiano.
Anotamos assim: AB = 1 rad
O comprimento da circunferência (C) é dado por C= 2πr, sendo o raio da circunfe-rência r = 1 rad. Então a medida do comprimento da circunfecircunfe-rência em radianos fica C = 2π rad. Como a circunferência tem 360 graus (360º), podemos escrever a relação:
2π rad = 360º
Essa relação possibilita a conversão de radianos em graus e vice-versa. Como exemplo, vamos converter 30º em radianos.
Como 2π rad V 360º, então 2π rad V 360º,
x V 30º.
Fazendo: 30º . 2π rad = x . 360º
Determinando x, teremos: x = (30º . 2π rad)360º Fica: x = (30º . 2π rad)360º e x = (60π rad)360 Simplificando: x = (60π rad)360
Finalmente: x = π 6 rad.
Relação do comprimento de um arco com o ângulo determinado
Na circunferência abaixo, o arco S determina o ângulo a, a relação algébrica entre o comprimento do arco S e o ângulo a é dada por: S = a . R.
Figura 24 - Arco com o ângulo determindado Fonte: Autor
Teorema de Pitágoras:
O “teorema de Pitágoras” trabalha apenas com os lados do triângulo, não en-volvendo os ângulos. c2= a2 + b2 Figura 25 - Pitágoras Fonte: Autor Exemplos: a = cateto oposto b = cateto adjacente c = hipotenusa
2.7 REpRESENTAÇÃO gRáFICA DE FUNÇõES
As funções podem ser representadas geometricamente por gráficos. An-tes de vermos as representações das funções, é importante recapitular o que é o ciclo trigonométrico.
ciclo tRigonométRico
Denomina-se ciclo trigonométrico a circunferência orientada de raio 1 na qual o sentido positivo é o anti-horário. No ciclo trigonométrico abaixo, as coordena-das cartesianas x e y determinam quatro quadrantes com origem no ponto A.
em graus em radianos
Figura 26 - Ciclo trigonométrico Fonte: Autor
2.7.1 Função seno
Y = sen X
No ciclo trigonométrico abaixo, definimos como seno do ângulo x determi-nado pelo arco AP como sendo a medida do segmento de reta orientado OY1 .
no ciclo trigonometrico no triângulo retângulo
Notação: sen x = OY1
sen = cateto oposto hipotenusa
ou sen = a
c
Figura 27 - Função seno Fonte: Autor
valores notáveis do seno
Figura 28 - Valores notáveis do seno Fonte: Autor
O conjunto imagem da função seno y = sen x é o intervalo [-1, 1]. Gráfico da função seno: senóide.
Figura 29 - Gráfico da função seno Fonte: Autor
2.7.2 Função cosseno
y = cos xNo ciclo trigonométrico abaixo, definimos como cosseno do ângulo x determi-nado pelo arco AP como sendo a medida do segmento de reta orientado OX1 .
no ciclo trigonometrico no triângulo retângulo
Notação: cos x = OX1
cos = cateto adiacente hipotenusa
ou cos = b
c
Figura 30 - Função cosseno Fonte: Autor
valores notáveis do cosseno
Figura 31 - Valores notáveis do cosseno Fonte: Autor
O conjunto imagem da função seno y = cos x é o intervalo [ -1, 1 ]. Gráfico da função seno: cossenoide.
Figura 32 - Gráfico da função cosseno Fonte: Autor
2.7.3 Função tangente
y = tan xNo ciclo trigonométrico abaixo, definimos como tangente do ângulo x deter-minado pelo arco AP como sendo a medida do segmento de reta orientado At .
no ciclo trigonometrico no triângulo retângulo
Notação: y = tan x
tan = cateto oposto cateto adiacente
ou tan = a
b
Figura 33 - Função tangente Fonte: Autor
valores notáveis da tangente
Figura 34 - Valores notáveis do tangente Fonte: Autor
O conjunto imagem da função tangente y = tan x é o conjunto dos números reais R. Gráfico da função:
Figura 35 - Gráfico da função tangente Fonte: Autor
