Matem´
aticas Gerais
(Licenciatura em Geologia)
Texto de apoio `
as aulas te´
oricas
Armando Gon¸calves e Maria Jo˜
ao Rodrigues
Departamento de Matem´
atica da FCTUC
Matem´
aticas Gerais
Licenciatura em Geologia
Texto de apoio `as aulas te´oricas
Ano lectivo 2013/2014
Nota dos autores
Neste texto, os alunos podem encontrar os principais conceitos e resultados apresentados nas aulas
te´oricas, assim como alguns exemplos.
Trata-se de um texto que pretende auxiliar os alunos na compreens˜ao dos conte´
udos te´oricos, mas n˜ao
´e exaustivo, n˜ao devendo os alunos pensar que substitui a presen¸ca nas aulas te´oricas.
1. Fun¸c˜
oes reais de vari´
avel real
1.1. Algumas revis˜
oes
Fun¸c˜
ao
Uma fun¸c˜ao de um conjunto A num conjunto B ´e uma correspondˆencia que associa a cada elemento
de A exactamente um elemento de B, isto ´e,
∀x ∈ A, ∃
1
y
∈ B : f(x) = y.
Usa-se a nota¸c˜ao
f : A
→ B
x
7→ f(x)
.
Ao conjunto A chama-se dom´ınio da fun¸c˜ao f , a B conjunto de chegada e a
f (A) =
{f(x), x ∈ A}
chama-se contradom´ınio de f .
O gr´afico de f ´e o conjunto
graf f =
{(x, f(x)) | x ∈ A}.
Se A e B s˜ao subconjuntos de R, f diz-se uma fun¸c˜ao real de vari´avel real.
Exemplos:
... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
...... ... ...... ...... ... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... ...... ... ...... ......´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao
n˜ao ´e o gr´afico de uma fun¸c˜ao
A partir deste momento consideraremos sempre fun¸c˜oes reais de vari´avel real.
Paridade de uma fun¸c˜
ao
Uma fun¸c˜ao f , definida num conjunto A
⊆ R, diz-se par se, para cada x ∈ A, f(−x) = f(x); diz-se
´ımpar se, para cada x
∈ A, f(−x) = −f(x).
Exemplos:
Fun¸c˜ao par
Fun¸c˜ao ´ımpar
f : R
−→ R
x
7−→ f(x) = x
2
f : R
\ {0} −→ R
x
7−→ f(x) =
1
x
Fun¸c˜
ao mon´
otona
Uma fun¸c˜ao f : A
→ B diz-se mon´otona crescente ou simplesmente crescente, em A, se para quaisquer
x, y
∈ A tais que x < y, ent˜ao f(x) ≤ f(y). A fun¸c˜ao f diz-se decrescente em A se para quaisquer
x, y
∈ A tais que x < y, ent˜ao f(x) ≥ f(y).
Extremos
Uma fun¸c˜ao f tem um
• m´aximo local (ou m´aximo relativo) em c se f(c) ≥ f(x) para qualquer ponto x (do dom´ınio de
f) que perten¸ca a algum intervalo aberto contendo c;
• m´ınimo local (ou m´ınimo relativo) em c se f(c) ≤ f(x) para qualquer ponto x (do dom´ınio de
f) que perten¸ca a algum intervalo aberto contendo c.
• m´aximo absoluto (ou m´aximo global) em c se f(c) ≥ f(x) para todo o x ∈ D
f
. O valor f (c) ´e
chamado m´aximo de f em D
f
;
• m´ınimo absoluto (ou m´ınimo global) em c se f(c) ≤ f(x) para todo o x ∈ D
f
. A f (c) chama-se
m´ınimo de f em D
f
.
Os valores m´aximos e m´ınimos de f , se existirem, s˜ao chamados extremos de f .
Exemplo: A fun¸c˜ao com a representa¸c˜ao gr´afica
... ...
x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ......... ...... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... .. ... .. ... ... .. ... .. ... ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ...... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ..•
•
x
0x
1x
2x
3x
4x
5x
6x
7tem como m´aximos locais f (x
1
), f (x
3
) e f (x
5
); os m´ınimos locais s˜ao: f (x
0
), f (x
2
) e f (x
4
). O m´aximo
absoluto ´e f (x
7
) e o m´ınimo absoluto ´e f (x
6
).
Fun¸c˜
ao injectiva
Uma fun¸c˜ao f : A
→ B ´e injectiva se, para quaisquer x, y em A, f(x) = f(y) implica x = y, ou, de
um modo equivalente, sempre que x
6= y ent˜ao f(x) 6= f(y).
Exemplo:
... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
...... ...... ... ...... ... ... ... ... ... ... ... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
... ... ... ... ... ... ... ... ...n˜ao ´e injectiva
´e injectiva
Fun¸c˜
ao sobrejectiva
Uma fun¸c˜ao f : A
→ B ´e sobrejectiva se para todo o y ∈ B existe x ∈ A tal que f(x) = y.
Exemplos:
f : R
→ R
id
R
: R
→ R
x
7→ x
2
x
7→ x
Fun¸c˜
ao bijectiva
Uma fun¸c˜ao f : A
→ B ´e bijectiva se ´e simultaneamente injectiva e sobrejectiva.
Exemplo: A fun¸c˜ao
id
A
: A
→ A
x
7→ x
´e bijectiva.
Composi¸c˜
ao de fun¸c˜
oes
Sejam f : A
→B e g : C→D duas fun¸c˜oes tais que f(A) ∩ C 6= ∅. Neste caso podemos definir a fun¸c˜ao
composta h = g
◦ f : {x ∈ A | f(x) ∈ C}→D tal que h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)), para todo o x ∈ D
h
.
Fun¸c˜
ao invert´ıvel
Uma fun¸c˜ao f : A
→ B ´e invert´ıvel se existe uma fun¸c˜ao g : B → A tal que g ◦ f = id
A
e f
◦ g = id
B
.
Se existir uma tal fun¸c˜ao denota-se por f
−1
.
Teorema. Se uma fun¸c˜ao admitir fun¸c˜ao inversa, a fun¸c˜ao inversa ´e ´
unica.
Teorema. Uma fun¸c˜ao f : A
→ B possui inversa se e s´o se ´e bijectiva.
Exemplo:
A fun¸c˜ao
f : R
→ R
+
0
x
7→ x
2
n˜ao ´e bijectiva, mas se considerarmos a sua restri¸c˜ao a R
+
0
ficamos com a fun¸c˜ao
g : R
+
0
→ R
+
0
x
7→ x
2
que j´a ´e bijectiva, logo tem inversa
g
−1
: R
+
0
→ R
+
0
x
7→
√
x
... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
y
= g(x)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...y
= g
−1(x)
1.2. Fun¸c˜
oes exponenciais e logar´ıtmicas
Fun¸c˜
ao exponencial
Se a ´e um n´
umero real positivo diferente de 1, chama-se fun¸c˜ao exponencial de base a `a fun¸c˜ao
f : R
→ R
x
7→ a
x
.
Se a = e, diz-se que f ´e a fun¸c˜ao exponencial natural.
Exemplos:
Gr´aficos das fun¸c˜oes definidas por f
1
(x) = e
x
, f
2
(x) = 10
x
e f
3
(x) = (
10
1
)
x
, no intervalo [
−1, 1.5].
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2
4
6
8
10
0.1
x10
xe
xPropriedades: Se a
∈ R
+
\ {1} e x, y ∈ R, ent˜ao
(1) a
0
= 1 e a
1
= a;
(2) a
x
a
y
= a
x+y
;
(3)
a
x
a
y
= a
x−y
;
(4) (a
x
)
y
= a
xy
.
Se a > 1 a fun¸c˜ao exponencial de base a ´e crescente e se 0 < a < 1 a fun¸c˜ao ´e decrescente.
A fun¸c˜ao exponencial ´e uma fun¸c˜ao injectiva com dom´ınio R e contradom´ınio ´e R
+
, assim a fun¸c˜ao
g : R
→ R
+
x
7→ a
x
´e bijectiva, logo invert´ıvel. A sua inversa ser´a designada por fun¸c˜ao logar´ıtmica de base a.
Fun¸c˜
ao logaritmo
Se a ´e um n´
umero real positivo diferente de 1, chama-se fun¸c˜ao logaritmo de base a `a fun¸c˜ao
g
−1
: R
+
→ R
x
7→ y = log
a
x
.
Se a = e, a fun¸c˜ao logaritmo representa-se por y = ln x e designa-se por logaritmo natural ou logaritmo
neperiano.
Exemplos:
Gr´aficos das fun¸c˜oes definidas por g
1
(x) = ln x, g
2
(x) = log x e g
3
(x) = log
(0.1)x, no intervalo ]0, 3].
-1
1
2
3
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
log
0.1
x
log x
ln x
Por defini¸c˜ao de inversa de uma fun¸c˜ao, temos que
(1) y = log
a
x
⇔ a
y
= x;
(2) a
log
ax
= x, para x > 0;
(3) log
a
(a
x
) = x, para todo x
∈ R.
Propriedades: Se a, b
∈ R
+
\ {1}, x, y ∈ R
+
e p
∈ R, ent˜ao
(1) log
a
1 = 0 e log
a
a = 1;
(2) log
a
xy = log
a
x + log
a
y;
(3) log
a
x
y
= log
a
x
− log
a
y;
(4) log
a
x
p
= p log
a
x;
(5) log
b
x =
log
a
x
log
a
b
.
Se a > 1 a fun¸c˜ao logaritmo de base a ´e crescente e se 0 < a < 1 a fun¸c˜ao ´e decrescente.
1.3. Fun¸c˜
oes trigonom´
etricas e trigonom´
etrica inversas
Fun¸c˜
ao peri´
odica
Uma fun¸c˜ao f : R
→ R diz-se peri´odica se existir T ∈ R tal que, para qualquer x ∈ R, f(x+T ) = f(x).
T designa-se por per´ıodo.
Nota Muitos autores designam por per´ıodo, o menor valor positivo T , que safisfa¸ca a igualdade
da defini¸c˜ao anterior.
Fun¸c˜
ao limitada
Uma fun¸c˜ao f : A
→ B diz-se limitada se o conjunto dos valores que a fun¸c˜ao assume for um conjunto
limitado, isto ´e, se existir um n´
umero real positivo M tal que para todo o x
∈ A se tiver
|f(x)| ≤ M.
As representa¸c˜oes gr´aficas das fun¸c˜oes trigonom´etricas e correspondentes inversas, podem ser
con-sultados no Mini-atlas de fun¸c˜oes disponibilizado no final do caderno de exerc´ıcios.
1.3.1. Fun¸c˜
ao seno e a sua inversa arco seno
A fun¸c˜ao seno ´e a fun¸c˜ao
sen : R
→ [−1, 1]
x
7→ y = sen x
,
com a seguinte representa¸c˜ao gr´afica
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .
y = sen x
... ... ...... ...... ......... ... ... ...... ...... ......... ... | | | | | | | | −2π −3π 2 −π − π 2 π 3π2 2π π 2 − − 1 −1 y xA fun¸c˜ao seno tem dom´ınio R, contradom´ınio [
−1, 1], ´e ´ımpar ( sen (−x) = − sen x) e ´e uma fun¸c˜ao
peri´odica de per´ıodo 2π, logo n˜ao ´e injectiva. Mas se restringirmos o dom´ınio ao intervalo [
−
π
2
,
π
2
],
obtemos a restri¸c˜ao principal do seno
sen : [
−
π
2
,
π
2
]
→ [−1, 1]
x
7→ y = sen x
,
que ´e uma fun¸c˜ao bijectiva, logo invert´ıvel.
Fun¸c˜
ao arco seno
A fun¸c˜ao arco seno ´e a fun¸c˜ao inversa da restri¸c˜ao principal do seno, sendo definida por
arc sen : [
−1, 1] → [−
π
2
,
π
2
]
x
7→ y = arc sen x
,
onde y = arc sen x
⇔ sen y = x.
Por defini¸c˜ao de inversa, temos que, se
−1 ≤ x ≤ 1 e −
π
2
≤ y ≤
π
2
, ent˜ao
sen ( arc sen x) = x e arc sen ( sen y) = y.
1.3.2. Fun¸c˜
ao co-seno e a sua inversa arco co-seno
A fun¸c˜ao co-seno ´e a fun¸c˜ao
cos : R
→ [−1, 1]
x
7→ y = cos x
,
com a seguinte representa¸c˜ao gr´afica
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .
y = cos x
... ...... ...... ... ... ... ...... ...... ......... ... ... ... | | | | | | | | −2π −3π 2 −π − π 2 2π 3π 2 π π 2 − − 1 −1 y xA fun¸c˜ao co-seno tem dom´ınio R, contradom´ınio [
−1, 1], ´e par (cos(−x) = cos x) e ´e uma fun¸c˜ao
peri´odica de per´ıodo 2π, logo n˜ao ´e injectiva.
Mas se restringirmos o dom´ınio ao intervalo [0, π], obtemos a restri¸c˜ao principal do co-seno
cos : [0, π]
→ [−1, 1]
x
7→ y = cos x
,
que ´e uma fun¸c˜ao bijectiva, logo invert´ıvel.
Fun¸c˜
ao arco co-seno
A fun¸c˜ao arco co-seno ´e a fun¸c˜ao inversa da restri¸c˜ao principal do co-seno, sendo definida por
arc cos : [
−1, 1] → [0, π]
x
7→ y = arc cos x
,
onde y = arc cos x
⇔ cos y = x.
Se
−1 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ π, ent˜ao
cos( arc cos x) = x e arc cos (cos y) = y.
As fun¸c˜oes seno e co-seno est˜ao relacionadas pela conhecida f´ormula fundamental da trigonometria
sen
2
x + cos
2
x = 1.
1.3.3. Fun¸c˜
ao tangente e a sua inversa arco tangente
A fun¸c˜ao tangente ´e a fun¸c˜ao definida pelo quociente entre a fun¸c˜ao seno e a fun¸c˜ao co-seno, isto ´e,
tg x =
sen x
cos x
.
A fun¸c˜ao tangente tem dom´ınio R
\ {x : x =
π
2
+ kπ, k
∈ Z}, contradom´ınio R, ´e ´ımpar e ´e
uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo π, logo n˜ao ´e injectiva. Mas se restringirmos o dom´ınio ao intervalo
]
−
π
2
,
π
2
[, obtemos a restri¸c˜ao principal da tangente
tg : ]
−
π
2
,
π
2
[
→ R
x
7→ y = tg x
,
que ´e uma fun¸c˜ao bijectiva, logo invert´ıvel.
Fun¸c˜
ao arco tangente
A fun¸c˜ao arco tangente ´e a fun¸c˜ao inversa da restri¸c˜ao principal da tangente, sendo definida por
arc tg : R
→ ] −
π
2
,
π
2
[
x
7→ y = arc tg x
,
onde y = arc tg x
⇔ tg y = x.
Se x
∈ R e −
π
2
< y <
π
1.3.4. Fun¸c˜
ao co-tangente e a sua inversa arco co-tangente
Fun¸c˜
ao co-tangente
A fun¸c˜ao co-tangente ´e a fun¸c˜ao definida pelo quociente entre a fun¸c˜ao co-seno e a fun¸c˜ao seno, isto ´e,
cotg x =
cos x
sen x
.
A fun¸c˜ao co-tangente tem dom´ınio R
\ {x : x = kπ, k ∈ Z}, contradom´ınio R, ´e ´ımpar e ´e uma
fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo π, logo n˜ao ´e injectiva. Mas se restringirmos o dom´ınio ao intervalo ]0, π[,
obtemos a restri¸c˜ao principal da co-tangente
cotg : ]0, π[
→ R
x
7→ y = cotg x
,
que ´e uma fun¸c˜ao bijectiva, logo invert´ıvel.
Fun¸c˜
ao arco co-tangente
A fun¸c˜ao arco co-tangente ´e a fun¸c˜ao inversa da restri¸c˜ao principal da co-tangente, sendo definida por
arc cotg : R
→ ]0, π[
x
7→ y = arc cotg x
,
onde y = arc cotg x
⇔ cotg y = x.
Se x
∈ R e 0 < y < π, ent˜ao cotg ( arc cotg x) = x e arc cotg ( cotg y) = y.
1.3.5. Fun¸c˜
ao co-secante e a sua inversa arco co-secante
Fun¸c˜
ao co-secante
A fun¸c˜ao co-secante ´e a o inverso aritm´etico do seno, isto ´e,
cosec x =
1
sen x
.
A fun¸c˜ao co-secante tem dom´ınio R
\ {x : x = kπ, k ∈ Z}, contradom´ınio ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, ´e
´ımpar e ´e uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, logo n˜ao ´e injectiva. Mas se restringirmos o dom´ınio
ao intervalo [
−
π
2
, 0[
∪]0,
π
2
], obtemos a restri¸c˜ao principal da secante
cosec : [
−
π
2
, 0[
∪]0,
π
2
]
→ ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
x
7→ y = cosec x
,
Fun¸c˜
ao arco co-secante
A fun¸c˜ao arco co-secante ´e a fun¸c˜ao inversa da restri¸c˜ao principal da co-secante, sendo definida por
arc cosec : ]
− ∞, −1] ∪ [1, +∞[ → [−
π
2
, 0[
∪]0,
π
2
]
x
7→ y = arc cosec x
,
onde y = arc cosec x
⇔ cosec y = x.
Se
|x| ≥ 1 e y ∈ [−
π
2
, 0[
∪]0,
π
2
], ent˜ao
cosec ( arc cosec x) = x e arc cosec ( cosec y) = y.
1.3.6. Fun¸c˜
ao secante e a sua inversa arco secante
Fun¸c˜
ao secante
A fun¸c˜ao secante ´e a o inverso aritm´etico do co-seno, isto ´e,
sec x =
1
cos x
.
A fun¸c˜ao secante tem dom´ınio R
\ {x : x =
π
2
+ kπ, k
∈ Z}, contradom´ınio ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, ´e
par e ´e uma fun¸c˜ao peri´odica de per´ıodo 2π, logo n˜ao ´e injectiva. Mas se restringirmos o dom´ınio ao
intervalo [0,
π
2
[
∪]
π
2
, π], obtemos a restri¸c˜ao principal da secante
sec : [0,
π
2
[
∪]
π
2
, π]
→ ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
x
7→ y = sec x
,
que ´e uma fun¸c˜ao bijectiva, logo invert´ıvel.
Fun¸c˜
ao arco secante
A fun¸c˜ao arco secante ´e a fun¸c˜ao inversa da restri¸c˜ao principal da secante, sendo definida por
arc sec : ]
− ∞, −1] ∪ [1, +∞[ → [0,
π
2
[
∪]
π
2
, π]
x
7→ y = arc sec x
,
onde y = arc sec x
⇔ sec y = x.
Se
|x| ≥ 1 e y ∈ [0,
π
2
[
∪]
π
2
, π], ent˜ao
2. Derivadas
2.1. Algumas revis˜
oes
Derivada
Sejam a
∈ R e f uma fun¸c˜ao definida num intervalo aberto contendo a. Chama-se derivada de f num
ponto a e denota-se por f
′
(a) ou
df
dx
(a), ao limite, se existir e for finito,
lim
x→a
f (x)
− f(a)
x
− a
ou, fazendo x
− a = h,
lim
h→0
f (a + h)
− f(a)
h
.
Uma fun¸c˜ao que possui derivada num ponto a do seu dom´ınio diz-se deriv´avel ou diferenci´avel em a.
`
A raz˜ao
f(a+h)−f (a)
h
chama-se raz˜ao incremental.
Propriedades:
Sejam f e g duas fun¸c˜oes deriv´aveis em a
∈ R. Ent˜ao:
(1) f + g ´e deriv´avel em a e tem-se (f + g)
′
(a) = f
′
(a) + g
′
(a);
(2) f g ´e deriv´avel em a e tem-se (f g)
′
(a) = f
′
(a)g(a)+f (a)g
′
(a), em particular, se c ´e uma constante,
(cf )
′
(a) = cf
′
(a);
(3) se g(a)
6= 0 ent˜ao
f
g
´e deriv´avel em a e tem-se
f
g
′
(a) =
f
′
(a)g(a)
− f(a)g
′
(a)
g(a)
2
, em particular,
se f (a)
6= 0,
1
f
′
(a) =
−
f
′
(a)
f (a)
2
.
Interpreta¸c˜
ao geom´
etrica da derivada
Seja f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real. A raz˜ao incremental
f (a + h)
− f(a)
h
,
coincide com o declive da recta secante ao gr´afico de f que passa pelos pontos (a, f (a)) e (a+h, f (a+h)),
ou seja, com tg θ. Quando h tende para zero, a recta tende para a tangente `a curva no ponto (a, f (a)).
Logo, quando f
′
(a) existe, coincide com o declive da recta tangente ao gr´afico da fun¸c˜ao no ponto
(a, f (a)).
... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... . .y
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .θ
a
←
a
+ h
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...Fun¸c˜
ao deriv´
avel num intervalo
Diz-se que uma fun¸c˜ao f ´e deriv´avel num intervalo aberto ]a, b[ (finito ou n˜ao), se o ´e em todos os
pontos desse intervalo.
Uma fun¸c˜ao f ´e deriv´avel num intervalo fechado [a, b] se ´e deriv´avel em ]a, b[ e se existem derivadas `a
direita de a e `a esquerda de b, isto ´e, se existem e s˜ao finitos os limites
f
′
d
(a) := lim
h→0
+f (a + h)
− f(a)
h
e f
′
e
(b) := lim
h→0
−f (b + h)
− f(b)
h
.
´
E ´obvio que se f for uma fun¸c˜ao definida num intervalo contendo a, f
′
(a) existe se e s´o se existirem
e forem iguais as derivadas `a esquerda e `a direita de a.
Exemplos:
... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
...... ...... ...... ... ... ... ... ... ...0
... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ...a
... .. ... .. ... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
...... ...... ...... ... ...... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...0
N˜ao tˆem derivada em 0 e a, respectivamente.
A derivada em 0 ´e igual a 0.
Fun¸c˜
ao derivada
Seja D
f
′o maior intervalo, ou a uni˜ao de intervalos, onde f ´e deriv´avel. Podemos definir a fun¸c˜ao
derivada de f :
f
′
: D
f
′→ R
x
7→ f
′
(x)
,
onde f
′
(x) := lim
h→0
f
(x+h)−f (x)
h
ou um limite lateral apropriado.
Derivada de ordem n
A derivada de uma fun¸c˜ao f conduz a outra fun¸c˜ao denotada por f
′
. Se f
′
tem derivada denotamo-la
por f
′′
e designamo-la por segunda derivada de f .
De um modo geral, se n ´e um inteiro positivo ent˜ao f
(n)
(ou
d
nf
dx
n(x)) denota a derivada de ordem n de
f que se obt´em partindo de f e derivando sucessivamente f n vezes, isto ´e,
f
(n)
(x) = f
(n−1)
(x)
′
.
2.2. Regra da cadeia
Teorema da fun¸c˜
ao composta ou regra da cadeia
Sejam f e g duas fun¸c˜oes tais que g ´e deriv´avel em a e f ´e deriv´avel em g(a). Ent˜ao a fun¸c˜ao
composta f
◦ g (caso se possa definir) ´e deriv´avel em a e
f
◦ g
′
(a) = f
′
(g(a))g
′
(a).
Se considerarmos y = f (u) e u = g(x) tal que y = f (g(x)) ent˜ao o resultado anterior pode ser
apresentado do seguinte modo:
dy
dx
=
dy
du
du
dx
.
Exemplo: Aplicando o resultado anterior, calculemos a derivada de y =
√
5x
3
− 4x + 1. Esta fun¸c˜ao
pode ser vista como a composta das fun¸c˜oes: y =
√
5u, com u = x
3
− 4x + 1. Ent˜ao
dy
dx
=
dy
du
du
dx
=
1
5
u
1 5−1
.(3x
2
− 4) =
1
5
(x
3
− 4x + 1)
−
45(3x
2
− 4).
Como consequˆencia do Teorema da fun¸c˜ao composta temos:
Derivada da fun¸c˜
ao inversa
Seja f uma fun¸c˜ao invert´ıvel e seja f
−1
a sua inversa. Se f ´e deriv´avel em a e f
−1
´e cont´ınua em
b = f (a) ent˜ao f
−1
´e deriv´avel em b se e s´o se f
′
(a)
6= 0 e nesse caso
(f
−1
)
′
(b) =
1
f
′
(a)
=
1
f
′
(f
−1
(b))
.
Exemplo: Determinar a derivada da fun¸c˜ao y = ln x:
Se y = ln x ent˜ao x = e
y
. Temos que (e
y
)
′
= e
y
e, aplicando o teorema anterior,
(ln x)
′
=
1
(e
y
)
′
=
1
e
y
=
1
x
.
2.3. Derivadas das fun¸c˜
oes trigonom´
etricas e das fun¸c˜
oes trigonom´
etricas
inversas
Derivadas das fun¸c˜oes trigonom´etricas e das suas inversas podem ser consultadas na Tabela de
derivadas disponibilizada.
Para determinar as derivadas das fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas basta aplicar o Teorema da derivada
da fun¸c˜ao inversa.
Por exemplo, determinemos a derivada da fun¸c˜ao y = arc sen x:
Se y = arc sen x ent˜ao x = sen y para
−
π
2
≤ x ≤
π
2
. Temos que ( sen y)
′
= cos y e cos y
6= 0 se e s´o se
y
6= −
π
2
e y
6=
π
2
. Aplicando o teorema anterior, temos que , para y
6= −
π
2
e y
6=
π
2
,
( arc sen x)
′
=
1
( sen y)
′
=
1
cos y
=
1
√
1
− x
2
,
uma vez que cos y =
p
1
− sen
2
y.
2.4. Aplica¸c˜
oes da derivada
Taxa de varia¸c˜
ao
Seja f uma fun¸c˜ao definida num intervalo I e sejam x
1
, x
2
∈ I. A taxa de varia¸c˜ao m´edia de f
em rela¸c˜ao a x no intervalo [x
1
, x
2
] ´e igual a
f (x
2
)
− f(x
1
)
x
2
− x
1
A taxa de varia¸c˜ao instantˆanea de f em rela¸c˜ao a x em x = x
1
´e igual a
lim
x→x
1f (x)
− f(x
1
)
x
− x
1
,
se f
′
(x
1
) existir.
Exemplo: Seja n = f (t) o n´
umero de indiv´ıduos numa popula¸c˜ao, vegetal ou animal, no instante t. A
varia¸c˜ao do tamanho da popula¸c˜ao entre os instantes t = t
1
e t = t
2
´e ∆n = f (t
2
)
− f(t
1
), e a taxa
m´edia de crescimento no per´ıodo de tempo [t
1
, t
2
] ´e dada por
∆n
∆t
=
f (t
2
)
− f(t
1
)
t
2
− t
1
.
A taxa de crescimento instantˆaneo obt´em-se da taxa m´edia de crescimento fazendo ∆t tender para
zero:
lim
∆t→0
∆n
∆t
=
dn
dt
.
Suponhamos que uma popula¸c˜ao de bact´erias num certo meio ambiente, duplica a cada hora. Se a
popula¸c˜ao inicial for de 100 bact´erias e t for medido em horas, ent˜ao f (t) = 2
t
100 d´a-nos o n´
umero
de bact´erias ap´os t horas. A taxa de crescimento da popula¸c˜ao no instante t ´e dada por
f
′
(t) = 100. ln 2.2
t
,
logo a taxa de crescimento da popula¸c˜ao ap´os 4 horas ´e igual a f
′
(4) = 100. ln 2.2
4
≈ 1104, isto ´e,
depois de 4 horas a popula¸c˜ao de bact´erias est´a a crescer a uma taxa de cerca de 1104 bact´erias por
hora.
Extremos
A primeira derivada de uma fun¸c˜ao ´e importante para estudar o crescimento da fun¸c˜ao e
conse-quentemente para a determina¸c˜ao dos seus extremos.
Teorema de Fermat
1
Seja f uma fun¸c˜ao deriv´avel num ponto c de um intervalo aberto I. Ent˜ao, se f atinge um m´aximo
local ou um m´ınimo local nesse ponto temos que f
′
(c) = 0.
O rec´ıproco do teorema anterior n˜ao ´e verdadeiro: podemos ter fun¸c˜oes com derivada nula em c
sem que c seja um extremo local.
Exemplo: y = x
3
, a derivada em zero existe e ´e igual a zero, mas n˜ao tem nenhum extremo em zero:
... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
... .... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ... ...0
´
E tamb´em de notar que existem fun¸c˜oes com extremos que n˜ao podem ser encontrados pelos zeros da
derivada:
Exemplo: y =
|x|. A fun¸c˜ao tem um m´ınimo em zero, mas n˜ao ´e deriv´avel em zero.
... ...
x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ...0
Teorema. Seja f uma fun¸c˜ao definida num intervalo. Se f atinge um m´aximo ou um m´ınimo num
ponto c desse intervalo ent˜ao uma das seguintes situa¸c˜oes acontece:
(1) f
′
(c) = 0;
(2) f n˜ao ´e deriv´avel em c;
(3) c ´e um dos extremos do intervalo (se o intervalo for fechado).
Teorema de Rolle
2
Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e deriv´avel em ]a, b[. Se f (a) = f (b) ent˜ao existe pelo menos
um ponto c em ]a, b[ tal que f
′
(c) = 0.
Interpreta¸c˜
ao geom´
etrica do Teorema de Rolle
Tendo em conta o significado geom´etrico da derivada de uma fun¸c˜ao num ponto, o que o Teorema
de Rolle nos diz ´e que no gr´afico de uma fun¸c˜ao que, em [a, b], satisfaz as condi¸c˜oes do teorema, h´a pelo
menos um ponto (c, f (c)), com c
∈]a, b[, em que a tangente ´e horizontal (f
′
(c) = 0). Esta tangente ´e
paralela `a recta definida pelos ponto (a, f (a)) e (b, f (b)). Os seguintes gr´aficos s˜ao elucidativos deste
resultado:
... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
...•
•
.... .... .... .... .... .. .... .... .... .... .... ..a
c
b
... .. ... .. ... ... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... . .y
... ... ...... .......•
•
a
c
b
.... .... .... .... .... .. .... .... .... .... .... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... .. ... ... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... . .y
... ... ...... ...... ...... ... ...•
•
a
b
c
1c
2 ... .. ... .. ... ... ... ... ... ...´
E de observar que quando n˜ao existe derivada num ponto de ]a, b[, pode ficar comprometida a
existˆencia em ]a, b[ de um ponto com derivada nula.
Exemplos:
... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
...... ...... ...... ... ... ... ... ...0
... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ...... ...O pr´oximo resultado generaliza o Teorema de Rolle ao caso em que f (a)
6= f(b).
Teorema do valor m´
edio (ou de Lagrange
3
)
Se f ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua no intervalo [a, b] e deriv´avel em ]a, b[, ent˜ao existe, pelo menos um
ponto c no intervalo ]a, b[ tal que
f
′
(c) =
f (b)
− f(a)
b
− a
.
Interpreta¸c˜
ao geom´
etrica do Teorema do valor m´
edio
Como
f
(b)−f (a)
b−a
´e o declive do segmento cujos extremos s˜ao os pontos (a, f (a)) e (b, f (b)), o teorema
garante que no gr´afico de uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e deriv´avel em ]a, b[, existe pelo menos um
ponto (c, f (c)) cuja tangente ao gr´afico ´e paralela `a secante que passa por (a, f (a)) e (b, f (b)).
... ...
x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
... ... ... ... ...... ...... ... ...... ... ...... ...... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ...x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... . .y
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... ...... ...... ... ...... ... ...... ...... ...... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ...Temos a seguinte consequˆencia do teorema anterior:
Corol´
ario. Se f
′
(x) = 0, para todo o x
∈]a, b[ ent˜ao f ´e constante em ]a, b[.
Vamos agora ver como as derivadas afectam o gr´afico de uma fun¸c˜ao.
Corol´
ario.
(1) Se f
′
(x)
≥ 0, para todo o x ∈]a, b[ ent˜ao f ´e crescente em ]a, b[.
(2) Se f
′
(x)
≤ 0, para todo o x ∈]a, b[ ent˜ao f ´e decrescente em ]a, b[.
Exemplo: A fun¸c˜ao f (x) = ln x ´e crescente no seu dom´ınio pois a sua derivada f
′
(x) =
1
x
´e positiva
em ]0, +
∞[.
Teste da primeira derivada para a determina¸c˜
ao de extremos locais:
Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua em [a, b] e deriv´avel em ]a, b[, excepto possivelmente em c
∈]a, b[,
ent˜ao:
(1) se o sinal de f
′
mudar de positivo para negativo em c, f tem um m´aximo local em c;
(2) se o sinal de f
′
mudar de negativo para positivo em c, f tem um m´ınimo local em c;
(3) se f
′
n˜ao muda de sinal em c, isto ´e, f
′
tem o mesmo sinal de ambos os lado de c, ent˜ao f n˜ao
tem m´aximo ou m´ınimo local em c.
Exemplo: Mostre que de todos os rectˆangulos com ´area igual a 4 m
2
o que tem menor per´ımetro ´e
um quadrado.
Sentido das concavidades do gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Concavidades
Seja f uma fun¸c˜ao definida num intervalo I. Se o gr´afico de f estiver acima de todas as suas tangentes
no intervalo I, diz-se que (o gr´afico de) f tem a concavidade para cima em I.
Se o gr´afico de f estiver abaixo de todas as suas tangentes no intervalo I, diz-se que (o gr´afico de) f
tem a concavidade para baixo em I.
A segunda derivada d´a-nos informa¸c˜ao sobre o sentido das concavidades do gr´afico de uma fun¸c˜ao:
Teste da concavidade:
(1) Se f
′′
(x) > 0 para todo o x num intervalo I, ent˜ao o gr´afico de f tem a concavidade para cima
em I;
(2) Se f
′′
(x) < 0 para todo o x num intervalo I, ent˜ao o gr´afico de f tem a concavidade para baixo
em I.
Exemplo: O gr´afico da fun¸c˜ao f (x) = x
2
tem a concavidade para cima em R uma vez que f
′′
(x) =
2 > 0, para x
∈ R.
Ponto de inflex˜
ao
Seja f uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo aberto I e seja a
∈ I. Se o gr´afico de f mudar o sentido
da concavidade em (a, f (a)) diz-se que f tem um ponto de inflex˜ao em (a, f (a)).
Exerc´ıcio: Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico da fun¸c˜ao definida por f (x) = x
3
− 3x, depois de analisar os
intervalos de monotonia de f e o sentido das concavidades do seu gr´afico.
Resposta:
-2
-1
1
2
-2
-1
1
2
3. C´
alculo Integral
3.1. Integral indefinido
No cap´ıtulo anterior, vimos como `a custa de uma fun¸c˜ao f podemos determinar uma nova fun¸c˜ao f
′
, a
derivada de f . Vamos agora estudar o problema inverso, primitiva¸c˜ao: dada uma fun¸c˜ao f encontrar
uma fun¸c˜ao F tal que F
′
= f .
3.1.1. Defini¸c˜
oes
Primitiva
Seja f : I
⊆ R→R uma fun¸c˜ao, onde I ´e um intervalo ou uma uni˜ao finita de intervalos disjuntos dois
a dois. Uma fun¸c˜ao F : I
→R ´e chamada uma primitiva (ou anti-derivada ou integral indefinido) de f
em I se F
′
= f. Neste caso, diz-se que f ´e primitiv´avel em I.
Exemplo: A fun¸c˜ao F (x) = 2x ´e uma primitiva da fun¸c˜ao f (x) = 2 em R. Mas a fun¸c˜ao G(x) = 2x+1
tamb´em satisfaz F
′
(x) = 2 = f (x), para todo o x
∈ R, logo ´e uma outra primitiva de f em R. Mais,
todas as fun¸c˜oes do tipo H(x) = 2x + c, com c uma constante real, s˜ao primitivas de f .
Podemos assim concluir que se uma fun¸c˜ao admitir uma primitiva, essa primitiva n˜ao ´e ´
unica.
Teorema. Seja F uma primitiva de f num intervalo I. Se G ´e outra primitiva de f em I, ent˜ao
existe uma constante real c tal que
G(x) = F (x) + c, para todo o x
∈ I.
Como consequˆencia deste resultado, ficamos a saber que se F for uma primitiva de uma fun¸c˜ao f
num intervalo I, ent˜ao todas as outras primitivas de F s˜ao da forma
F (x) + c, para todo o x
∈ I,
sendo c uma constante real arbitr´aria. Denota-se esta fam´ılia de primitivas de F no intervalo I por
Z
f ou
Z
f (x) dx ou P f (x).
No caso de I n˜ao ser um intervalo, mas sim uma reuni˜ao de intervalos, o resultado anterior n˜ao
´e v´alido. Podemos ter duas primitivas de uma fun¸c˜ao que n˜ao diferem de uma constante. Exemplo:
Seja f a fun¸c˜ao definida em I =]0, 1[
∪]4, 5[ por f(x) = 2. As fun¸c˜oes F (x) = 2x, x ∈ I e G(x) =
2x,
0 < x < 1
2x
− 2, 4 < x < 5
s˜ao duas primitivas de f em I e n˜ao diferem por uma constante.
O c´alculo de primitivas vai basear-se num conjunto de regras: regras de primitiva¸c˜ao. As regras
mais simples, primitiva¸c˜ao imediata, consistem em inverter a tabela de deriva¸c˜ao, isto ´e, identificar
uma fun¸c˜ao como a derivada de outra.
Exemplos:
1.
Z
0 dx = c, c
∈ R.
2.
Z
x dx =
x
2
2
+ c, c
∈ R.
De um modo mais geral
Z
x
p
dx =
x
p+1
p + 1
+ c, p
6= −1, c ∈ R.
3.
Z
e
x
dx = e
x
+ c, c
∈ R.
4.
Z
1
x
dx = ln
|x| + c, c ∈ R, x ∈ R \ {0}.
5.
Z
sen x dx =
− cos x + c, c ∈ R.
6.
Z
cos x dx = sen x + c, c
∈ R.
7.
Z
sec
2
x dx = tg x + c, c
∈ R.
Regras de primitiva¸c˜
ao
1. Sejam f e g duas fun¸c˜oes primitiv´aveis em I e k
∈ R. Ent˜ao as fun¸c˜oes kf e f + g tamb´em tˆem
primitivas em I e
Z
k f (x) dx = k
Z
f (x) dx,
Z
f (x) + g(x)
dx =
Z
f (x) dx +
Z
g(x) dx.
2. Se F ´e uma primitiva de f em I e g ´e deriv´avel em I ent˜ao
Z
f (g(x)) g
′
(x) dx = F (g(x)) + c, c
∈ R.
Exemplos:
1.
Z
3x + 1 dx =
Z
3x dx +
Z
1 dx = 3
Z
x dx + x + c
1
= 3
x
2
2
+ c
1
+ x + c
1
=
=
3
2
x
2
+ x + c
1
+ c
2
| {z }
c
=
3
2
x
2
+ x + c, c
∈ R.
2.
Z
e
x
cos e
x
dx = sen e
x
+ c, c
∈ R.
3.1.2. Primitiva¸c˜
ao por partes
Vimos que a primitiva da soma ´e a soma das primitivas (consequˆencia imediata da correspondente
propriedade para as derivadas). Ser´a que o mesmo se passa para o produto? N˜ao, o que temos ´e o
seguinte resultado:
Teorema. [Primitiva¸c˜ao por partes] Sejam f e g duas fun¸c˜oes definidas num intervalo I tais que f
admite uma primitiva F em I e g ´e deriv´avel em I. Ent˜ao
Z
f (x) g(x) dx = F (x) g(x)
−
Z
F (x) g
′
Exemplos:
1.
Z
x e
x
dx = e
x
x
−
Z
e
x
1 dx = x e
x
− e
x
+ c, c
∈ R.
2.
Z
ln x dx =
Z
1 ln x dx = x ln x
−
Z
x
1
x
dx = x ln x
−
Z
1 dx = x (ln x
− 1) + c, c ∈ R.
3.
Z
e
x
cos x dx = e
x
cos x +
Z
e
x
sen x dx = e
x
cos x + e
x
sen x
−
Z
e
x
cos x dx.
Logo
Z
e
x
cos x dx =
1
2
e
x
(cos x + sen x) + c, c
∈ R.
3.1.3. Primitiva¸c˜
ao de fun¸c˜
oes trigonom´
etricas
Para primitivar fun¸c˜oes algumas fun¸c˜oes trigonom´etricas podem ser necess´arias as rela¸c˜oes usuais
entre as diversa fun¸c˜oes trigonom´etrica.
Na Tabela de Primitivas s˜ao descritas algumas regras para primitivar fun¸c˜oes deste tipo.
Exemplos:
1.
Z
cos
3
x dx =
Z
cos x cos
2
x dx =
Z
cos x (1
− sen
2
x) dx =
=
Z
cos x dx
−
Z
cos x sen
2
x dx = sen x
−
sen
3
3
+ c.
2.
Z
sen
2
x dx =
Z 1
2
(1
− cos 2x) dx =
1
2
x
−
sen 2x
2
+ c.
3.1.4. Primitiva¸c˜
ao de fun¸c˜
oes racionais
Se h ´e uma fun¸c˜ao racional definida num intervalo I ent˜ao
h(x) =
f (x)
g(x)
,
onde f (x) e g(x) s˜ao polin´omios em x e g(x)
6= 0, x ∈ I. Vamos apresentar algumas regras para o
c´alculo de
Z
h(x) dx.
O primeiro passo ´e averiguar se h(x) ´e uma frac¸c˜ao pr´opria, isto ´e, se o grau do numerador ´e
inferior ao grau do denominador e estes n˜ao tˆem ra´ızes em comum.
Se o grau do numerador, f (x), for superior ao grau do denominador, g(x), podemos efectuar a
divis˜ao de f (x) por g(x). Seja Q(x) o quociente e R(x) o resto. Ent˜ao
h(x) =
f (x)
g(x)
= Q(x) +
R(x)
g(x)
e
R(x)
g(x)
´e j´a uma frac¸c˜ao pr´opria. Como
Z
Q(x)
dx ´e uma primitiva imediata, resta calcular
Z R(x)
Exemplo:
Z x
5
+ x
3
+ x
x
4
+ 1
dx.
Como n˜ao temos uma frac¸c˜ao pr´opria, temos que efectuar a divis˜ao e obtemos
x
5
+ x
3
+ x
x
4
+ 1
= x +
x
3
x
4
+ 1
.
Logo
Z x
5
+ x
3
+ x
x
4
+ 1
dx =
Z
x +
x
3
x
4
+ 1
dx
=
x
2
2
+
1
4
ln
|x
4
+ 1
| + c, c ∈ R
=
x
2
2
+
1
4
ln(x
4
+ 1) + c, c
∈ R.
No caso anterior
Z R(x)
g(x)
dx era uma primitiva imediata, mas nem sempre isso acontece. Nessas
situa¸c˜oes vamos proceder do seguinte modo:
1. Decomp˜oe-se g(x) em factores.
g(x) = (x
− a
1
)
m
1. . . (x
− a
s
)
m
s[(x
− p
1
)
2
+ q
1
2
]
n
1. . . [(x
− p
t
)
2
+ q
t
2
]
n
t,
onde cada factor do tipo (x
− a)
m
correspondendo a ra´ızes reais a de multiplicidade m, e cada factor
do tipo [(x
− p)
2
+ q
2
]
n
corresponde a ra´ızes complexas p
± q i de multiplicidade n.
Exemplo: x
5
− x
4
+ 2x
3
− 2x
2
+ x
− 1 = (x − 1)(x
2
+ 1)
2
, onde x
− 1 corresponde `a raiz real 1 de
multiplicidade 1 e (x
2
+ 1)
2
corresponde `as ra´ızes complexas
±i de multiplicidade 2.
2. Decomp˜oe-se a frac¸c˜ao pr´opria numa soma de elementos simples do seguinte modo:
(a) cada factor do tipo (x
− a)
m
d´a origem a
A
1
(x
− a)
m
+
A
2
(x
− a)
m−1
+
· · · +
A
m
(x
− a)
,
onde A
1
, A
2
, . . . , A
m
s˜ao constantes;
(b) cada factor do tipo [(x
− p)
2
+ q
2
]
n
d´a origem a
P
1
x + Q
1
[(x
− p)
2
+ q
2
]
n
+
P
2
x + Q
2
[(x
− p)
2
+ q
2
]
n−1
+
· · · +
P
n
x + Q
n
[(x
− p)
2
+ q
2
]
,
onde P
1
, Q
1
, P
2
, Q
2
, . . . , P
n
, Q
n
s˜ao constantes.
As constantes podem ser determinadas pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados. Existem
outros m´etodos para a determina¸c˜ao destas constantes como iremos ver nos exemplos seguintes.
Exemplos:
1.
Z
3x + 6
x
3
+ 2x
2
− 3x
dx
Como j´a estamos na presen¸ca de uma frac¸c˜ao pr´opria, vamos factorizar o denominador:
x
3
+ 2x
2
− 3x = x (x − 1) (x + 3).
Ent˜ao
3x + 6
x
3
+ 2x
2
− 3x
=
A
1
x
+
B
1
x
− 1
+
C
1
x + 3
e, pelo m´etodo dos coeficientes indeterminados, obtemos
A
1
=
−2
B
1
=
9
4
C
1
=
−
1
4
.
Ent˜ao
3x + 6
x(x
− 1)(x + 3)
=
−2
x
+
9/4
x
− 1
+
−1/4
x + 3
.
Vamos agora determinar a primitiva.
Z
3x + 6
x(x
− 1)(x + 3)
dx =
Z −2
x
dx +
Z
9/4
x
− 1
dx +
Z −1/4
x + 3
dx
=
−2 ln |x| +
9
4
ln
|x − 1| −
1
4
ln
|x + 3| + c, c ∈ R.
2.
Z
x
2
+ 2x + 3
(x
− 1)(x + 1)
2
dx
Como j´a temos uma frac¸c˜ao pr´opria e o denominador est´a factorizado, vamos determinar os
ele-mentos simples:
x
2
+ 2x + 3
(x
− 1)(x + 1)
2
=
A
1
x
− 1
+
B
1
(x + 1)
2
+
B
2
x + 1
,
onde A
1
=
3
2
, B
1
=
−1 e B
2
=
−
1
2
.
Calculando agora a primitiva vem
Z
x
2
+ 2x + 3
(x
− 1)(x + 1)
2
dx =
Z
3/2
x
− 1
dx +
Z
−1
(x + 1)
2
dx +
Z −1/2
x + 1
dx
=
3
2
ln
|x − 1| +
1
x + 1
−
1
2
ln
|x + 1| + c, c ∈ R.
3.
Z
x
5
16
− x
4
dx.
Como a frac¸c˜ao n˜ao ´e pr´opria, depois de efectuar a divis˜ao vem:
x
5
16
− x
4
=
−x +
16x
16
− x
4
.
As ra´ızes do denominador s˜ao: 2,
−2, 2i e −2i. Ent˜ao:
16x
16
− x
4
=
A
1
2 + x
+
B
1
2
− x
+
P
1
x + Q
1
4 + x
2
,
onde A
1
=
−1, B
1
= 1, P
1
= 2 e Q
1
= 0.
Calculemos, agora, a primitiva pretendida:
Z
x
5
16
− x
4
dx =
Z
−x dx +
Z
−1
2 + x
dx +
Z
1
2
− x
dx +
Z
2x
4 + x
2
dx
=
−
x
2
2
− ln |2 + x| − ln |2 − x| + ln(4 + x
2
) + c, c
∈ R.
3.1.5. Primitiva¸c˜
ao por substitui¸c˜
ao
Para simplificar o calculo de certas primitivas que n˜ao sejam imediatas, ´e por vezes ´
util fazer uma
mudan¸ca de vari´avel.
Seja f uma fun¸c˜ao primitiv´avel no intervalo I e seja x = φ(t) uma fun¸c˜ao bijectiva de I
1
em I e
deriv´avel.
I
1
−→
φ
I
−→
f
R
t
7→
φ(t) = x
7→
f (x)
Se F ´e uma primitiva de f em I temos
h
F (φ(t))
i
′
= F
′
(φ(t)) φ
′
(t) = f (φ(t)) φ
′
(t).
Logo
F (φ(t)) + c =
Z
f (φ(t)) φ
′
(t) dt.
Acab´amos, assim, de demonstrar o seguinte resultado:
Teorema. [Primitiva¸c˜ao por substitui¸c˜ao] Seja f uma fun¸c˜ao primitiv´avel no intervalo I e φ uma
fun¸c˜ao bijectiva e deriv´avel no intervalo I
1
e tal que φ(I
1
) = I. Ent˜ao
Z
f (x) dx =
"Z
f (φ(t)) φ
′
(t) dt
#
t=φ
−1(x)
.
Exemplo: Calcular
Z √
1
− x
2
dx.
Como a primitiva n˜ao ´e imediata vamos tentar fazer uma substitui¸c˜ao. Seja f (x) =
√
1
− x
2
.
Temos que D
f
= [
−1, 1] e consideremos a fun¸c˜ao
φ : [
−
π
2
,
π
2
]
→ [−1, 1]
t
7→ x = φ(t) = sen t
cuja inversa ´e a fun¸c˜ao
φ
−1
: [
−1, 1] → [−
π
2
,
π
2
]
x
7→ t = φ
−1
(x) = arc sen x
e φ
′
(t) = cos t. Ent˜ao
R
f (φ(t)) φ
′
(t) dt =
Z √
1
− sen
2
t cos t dt
=
Z
cos
2
t dt
1
1
Por fim
Z √
1
− x
2
dx =
"Z √
1
− sen
2
t cos t dt
#
t= arc sen x
=
1
2
arc sen x +
1
4
sen (2 arc sen x) + c, c
∈ R
=
1
2
arc sen x +
1
2
x
√
1
− x
2
+ c, c
∈ R
3.2. Integral definido
3.2.1. Motiva¸c˜
ao: ´
area de uma figura plana
Uma das motiva¸c˜oes para o estudo dos integrais tem a ver com o problema do c´alculo da medida da
´area (ou simplesmente ´area) de uma regi˜ao plana. Consideremos o seguinte problema.
Seja f : [a, b]
→R uma fun¸c˜ao cont´ınua n˜ao negativa, isto ´e, f(x) ≥ 0 para todo o x ∈ [a, b]. Como
determinar a ´area da regi˜ao limitada pelo gr´afico de f ,a recta horizontal y = 0 (eixo dos xx) e as
rectas verticais x = a e x = b?
Designemos a regi˜ao considerada por S.
... ...
x
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . .y
y
= f (x)
S
... ... ...... ...... ...... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...a
b
... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...A ´area A desta regi˜ao ser´a um n´
umero real. Para definir este n´
umero, vamos considerar rectˆangulos
(cuja ´area sabemos determinar) inscritos na regi˜ao S e rectˆangulos circunscritos na mesma regi˜ao:
... ...
