CÁLCULO I. Aula n o 29: Volumes. A(x i ) x = i=1. Para calcularmos o volume, procedemos da seguinte maneira:

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Aula no _{29: Volumes}

Objetivos da Aula

• Calcular o volume de sólidos de revolução utilizando o método dos discos;

• Calcular o volume de sólidos de revolução utilizando a técnica das cascas cilíndricas.

1 Volume por discos.

Suponha que desejemos calcular o volume de um sólido qualquer. A seção transversal do sólido em cada ponto x no intervalo [a, b] é uma região R(x) de área A(x). Se A for uma função contínua de x , podemos usá-la para denir e calcular o volume do sólido como uma integral, da maneira a seguir.

Dividimos [a, b] em subintervalos de comprimento ∆x e fatiamos o sólido por planos perpendiculares ao eixo x nos pontos de partição (x∗

i). A i-ésima fatia, que está entre os planos xi−1e xi, tem aproximadamente

o mesmo volume que o cilindro compreendido entre os dois planos com base na região R(x). O volume do cilindro é: Vi = A(xi) × ∆x.

A soma

X Vi=

X

A(xi) × ∆x

é uma aproximação do volume do sólido. Isso é uma soma de Riemann para A(x) em [a, b]. Espera-se que as aproximações melhorem o comprimento de cada subintervalo tenda a zero, portanto, denimos a integral que é o limite dessas somas como o volume do sólido.

Denição 1 (Volume). Seja S um sólido que está entre x = a e x = b. Se a área da seção transversal de S no plano Px, passando por x e perpendicular ao eixo x, é A(x), onde A é uma função contínua, então o

volume V é: V = lim n→∞ ∞ X i=1 A(x∗_i)∆x = Z b a A(x) dx. Para calcularmos o volume, procedemos da seguinte maneira:

1. Esboce o sólido e uma seção transversal. 2. Encontre uma fórmula para A(x). 3. Encontre os limites de integração.

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4. Integre A(x) para encontrar o volume.

Exemplo 1. Mostre que o volume de uma esfera de raio r é 4 3πr

3_.

Solução: O sólido que queremos calcular o volume é:

Se colocarmos a esfera de modo que o seu centro se encontre na origem, então o plano Px intercepta

a esfera em um círculo cujo raio é y =√r2_{− x}2. Portanto, a área da seção transversal é:

A = πy2 = π(r2− x2). Usando a denição de volume com a = −r e b = r, temos:

V = Z r −r π(r2− x2_{) dx} = 2π Z r −r (r2− x2) dx = 2π r2x −x 3 3 r 0 = 2π r3−r 3 3 = 4 3πr 3_. Exemplo 2. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região sob a curva y =√x de 0 a 1.

Solução: O sólido que queremos calcular o volume é dado abaixo:

Quando fatiamos pelo ponto x, obtemos um disco com raio √x. A área da seção transversal é: A(x) = π(√x)2 = πx

O sólido encontra-se entre 0 e 1, logo seu volume será: V = Z 1 0 πx dx = π x 2 2 1 0 = π 2.

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Exemplo 3. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada por y = x3_{, y = 8 e}

x = 0 em torno do eixo y.

Solução: O sólido que queremos calcular o volume é dado abaixo:

Como a região é rotacionada em torno do eixo y, faz sentido fatiar o sólido perpendicularmente ao eixo y e, portanto, integrar em relação a y. Se fatiarmos a uma altura y, obteremos um disco circular com raio x, onde x = √3y. Então a área da seção transversal é:

A(x) = πx2= π(√3

x)2 = πy2/3. Como o sólido encontra-se entre y = 0 e y = 8, seu volume é:

V = Z 8 0 πy2/3dy = π 3 5y 5/3 8 0 = 96π 5 . Exemplo 4. A região R, delimitada pelas curvas y = x e y = x2_{, é girada ao redor do eixo x. Encontre o}

volume do sólido resultante.

O sólido que queremos calcular o volume é dado abaixo:

As curvas se interceptam em (0, 0) e (1, 1). A seção transversal perpendicular ao eixo x tem o formato de uma coroa (ou arruela, anel) com raio interno x2 _{e raio externo x, de modo que calculamos a área da}

seção transversal subtraindo a área do círculo interno da área do círculo externo: A(x) = πx2− π(x2)2= π(x2− x4). Portanto: V = Z 1 0 π(x2− x4) dx = π x 3 3 − x5 5 1 0 = 2π 15.

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Exemplo 5. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região do exemplo anterior em torno da reta y = 2.

Solução: O sólido obtido é:

Novamente a seção transversal é uma arruela, mas desta vez o raio interno é 2 − x e o raio externo é 2 − x2. Assim: V = π Z 1 0 (2 − x2)2− (2 − x)2dx = π Z 1 0 x4− 5x2+ 4x dx = 8π 15 Exemplo 6. Encontre o volume de uma pirâmide de base quadrada com lado L e cuja altura seja h. Solução: Vamos colocar a origem no vértice da pirâmide e o eixo x ao longo do seu eixo central.

Qualquer plano Px que passa por x e é perpendicular ao eixo x intercepta a pirâmide em um quadrado

com lado de comprimento s. Podemos expressar s em termos de x observando que, por semelhança de triângulos: x h = s/2 L/2 = s L de modo que s = Lx/h. Portanto, a área da seção transversal é:

A(x) = s2= L

2

h2x 2

A pirâmide está entre 0 e h. Logo: V = Z h 0 L2 h2x 2_{dx =} L2 h2. x3 3 3 0 = L 2_h 3 .

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2 Volume por Casca Cilíndrica

Considere f uma função contínua e positiva, S a superfície dada por: S = {(x, y) ∈ R2| 0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}

e R o sólido de revolução obtido pela rotação de S em torno do eixo y, cujo volume V se quer calcular.

1. Divide-se o intervalo [a, b] em n subintervalos com extremidades x0, x1, ..., xne com larguras iguais a

∆x = b − a n ; 2. Seja Si o retângulo de base ∆x e altura f(xi), onde

xi=

xi−1+ x1

2

é o ponto médio do intervalo [xi−1, xi]e Ri o sólido obtido pela rotação de Si em torno do eixo y;

O sólido Ri é chamado casca cilíndrica - dois cilindros concêntricos com mesma altura - com volume

dado por: VRi = πx 2 if (xi) − πx2i−1f (xi) = πf (xi)(x2i − x2i−1) = 2πxif (xi)∆x Assim, V ≈ n X 2πxif (xi)∆x

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Quanto menor for ∆x → 0, melhor é a aproximação, então denimos: V = lim x→∞ n X i=1 2πxif (xi)∆x = Z b a 2πxf (x) dx

Denição 2. O volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região sob a curva y = f(x) de a até b, é: V = Z b a 2πxf (x) dx, onde 0 ≤ a < b.

A melhor maneira de se lembrar desta denição é pensar em uma casca típica, cortada e achatada como na gura abaixo.

Com raio x, circunferência 2πx, altura f(x), e espessura ∆x ou dx: V = Z b a 2πx |{z} Circunferência f (x) | {z } Altura dx |{z} Espessura

Exemplo 7. Determine o volume de sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região S = {(x, y) ∈ R2| 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2x + 1}.

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Usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido é: V = Z b a 2πxf (x) dx = Z 3 1 2πx(2x + 1) dx = Z 3 1 2π(2x2+ x) dx = 2π 2x 3 3 + x2 2 3 1 = 128π 3 . Exemplo 8. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por y = 0, y = 2x2− x3_{, x = 0 e x = 2.}

Solução: Gracamente, a superfície é:

Usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido é: V = Z b a 2πxf (x) dx = Z 2 0 2πx(2x2− x3) dx = Z 2 0 2π(2x3− x4) dx = 2π x 4 2 − x5 5 2 0 = 16π 5 . Exemplo 9. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto de todos os pares (x, y) tais que x2 _{≤ y ≤ 4}_{, x ≥ 0.}

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Usando o método das cascas cilíndricas, o volume do sólido é: V = Z b a 2πxf (x) dx = Z 2 0 2πx(4 − x2) dx = Z 2 0 2π(4x − x3) dx = 2π 2x2−x 4 4 2 0 = 8π. Resumo

Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.

Aprofundando o conteúdo

Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 382 − 386 e 399 − 407 do livro texto.

Sugestão de exercícios