Modelagem Epidemiológica Fuzzy

(1)

Modelagem Epidemiol´

ogica Fuzzy

Anna L´ıgia Oenning Soares

Universidade Federal de Mato Grosso

Av. Fernando Corrˆea da Costa, no 2367, Boa Esperan¸ca 78060-900, Cuiab´a, MT

E-mail: ligiaoenning@hotmail.com and Rodney Carlos Bassanezi

Univeridade Federal do ABC Av. dos Estados, no5001, Bangu

09210-580, Santo Andr´e, SP E-mail: rodney@ime.unicamp.br

Abstract. Utilizamos a teoria fuzzy de duas maneiras distintas (Sis-tema p-fuzzy e Extensão de Zadeh) para a modelagem de sistemas epi-demiológicos como alternativa para a modelagem dos sistemas clássicos. A subjetividade foi incorporada nos modelos na condi¸cão inicial dos in-div´ıduos infecciosos e na taxa da infeçcão considerando-as um conjunto fuzzy, cuja solu¸cões foram obtidas pelo Princ´ıpio de Extensão de Zadeh. Através do sistema p-fuzzy discreto obtemos as solu¸cões dos modelos clássicos onde as varia¸cões das entradas foram obtidas por meio de um controlador fuzzy.

Palavras-chave: Modelagem Epidemiol´ogica, sistema p-fuzzy, Extens˜ao de Zadeh.

1 Introdu¸

c˜

ao

Os modelos determin´ısticos epidemiológicos tem como caracter´ıstica a precisão obtida das solu¸cões, que por sua vez dependem de informa¸cões precisas que são inseridas na forma de média dos parâmetros, tornando menor a chance de acerto da previsão, além disso, neste modelos é considerado que os indiv´ıduos infecciosos estão distribu´ıdos homogeneamente em toda popula¸cão, têm a mesma chance de transmitir a doen¸ca e as condi¸cões iniciais são valores precisos, porém é bem razoável esperar o contrário, isto é, que os indiv´ıduos infecciosos possuam grau de infecciosidade diferentes e que os valores das condi¸cões iniciais sejam valores aproximados.

Em busca de incorporar diferentes graus de infecciosidade no modelo SI, Barros e Bassanezi (2006) consideraram que o coeficiente de transmiss˜ao da doen¸ca dependia da carga viral do indiv´ıduo, interpretando-a como uma fun¸c˜ao

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pertinência de algum subconjunto fuzzy e utilizaram a esperan¸ca fuzzy como deffuzificador da solu¸cão do modelo. Mais recentemente Cecconello (2010) anal-isa os pontos de equil´ıbrio do modelo SI e a estabilidade das solu¸cões do modelo SIR, onde são consideradas incertezas sobre as quantidades de suscet´ıveis e in-fecciosos.

Neste trabalho vamos analisar o comportamento da solu¸cão fuzzy de mode-los epidemiológicos SI e SIR considerando incertezas fuzzy tanto nas condi¸cões iniciais quanto no parâmetro β, que representa a taxa de transmissão da doen¸ca infecciosa. Além disso, faremos uma abordagem sobre a transmissão de doen¸cas infecciosas utilizando sistemas p-fuzzy.

2 Desenvolvimento

2.1 Modelo SI

A dinâmica do modelo SI consiste em analisar somente os indiv´ıduos infecta-dos, pois ele não nos fornece a recupera¸cão dos infecciosos, assim quando um indiv´ıduo suscet´ıvel adquire a doen¸ca, o mesmo não volta a pertencer a classe dos suscet´ıveis. Neste caso a classe dos recuperados está imbutido na classe dos infectados.

A gripe é uma doen¸ca que pode ser modelada por SI, pois quando adquirimos uma gripe não é poss´ıvel sermos infectados novamente pelo mesmo v´ırus.

Este modelo, sem dinâmica vital, é o mais simples dos modelos epidemiológicos e pode ser descrito pelo sistema de duas equa¸cões diferenciais ordinárias não lin-eares,          dS dt = −βSI, S(0) = S0, dI dt = βSI, I(0) = I0, (1)

Como a popula¸cão total N (t) = S(t) + I(t) é constante, pois dN_dt = 0, as-sumiremos a equa¸cão na forma normal, isto é, N (t) = 1, para todo t ≥ 0. Assim S e I são entendidos como propor¸cões de indiv´ıduos suscet´ıveis e infectados, respectivamente, podemos escrever,

S(t) = 1 − I(t) ∀t. (2)

Substituindo a equa¸c˜ao (2) na segunda equa¸c˜ao do sistema (1) obtemos, dI

(3)

O sistema formado pelas equa¸cões (2) e (3) é equivalente ao sistema (1). O maior interesse em estudos epidemimiologicos é saber a quantidade de pes-soas que estão infectadas em um determinado tempo, por isso faremos o estudo do PVI,

dI

dt = β(1 − I)I, I(0) = I0. (4)

Temos que a solu¸c˜ao (4) ´e dada por,

It(I0) =

I0eβt

S0+ I0eβt

(5)

Princ´ıpio de Extensão de Zadeh Em uma epidemia é comum esperar que a taxa de transmissão da doen¸ca seja variável com o tempo e também que é prati-camente imposs´ıvel determinar a quantidade de infectados no in´ıcio da epidemia. Tentando levar essas considera¸cões para o modelo epidemiológico SI, consider-aremos que tanto a taxa de transmissão quanto o número inicial de infectados são números fuzzy e utilizaremos o princ´ıpio de extensão de Zadeh para resolvê-los e para isso apresentaremos algumas defini¸cões sobre a teoria de conjunto fuzzy.

Defini¸cão 21 Seja X um conjunto não vazio. Um subconjunto fuzzy A de X é um subconjunto {(x, µA(x)) : x ∈ X} não vazio de X × [0, 1] para alguma fun¸cão

µA: X → [0, 1]

A fun¸cão µA: X → [0, 1], denominada fun¸cão pertinência de A, associa para

cada x ∈ X o grau de pertinˆencia µA(x) de x em A.

Defini¸cão 22 (Princ´ıpio de Extensão de Zadeh): Sejam f : X → Y uma aplica¸cão e A um subconjunto f uzzy de X. A extensão de Zadeh de f é a fun¸cão ˆf que, aplicada a A, fornece o subconjunto fuzzy ˆf (A) de Y , cuja fun¸cão pertinência é dada por

µf (A)ˆ (y) =      sup {x:f (x)=y} µA(x) se {x : f (x) = y} 6= ∅, 0 se {x : f (x) = y} = ∅.

Defini¸cão 23 (n´ıvel): Seja A um subconjunto fuzzy de X e α ∈ [0, 1]. O α-n´ıvel de A é o subconjunto clássico de X definido por

[A]α= {x ∈ X : µA(x) ≥ α} 0 < α ≤ 1. (6)

O n´ıvel zero de um subconjunto fuzzy A é definido como sendo o menor subconjunto (clássico) fechado de X que contém o conjunto suporte de A1.

1 _{O conjunto suporte de A ´}_{e um subconjunto cl´}_{assico de X e ´}_{e definido por suppA =}

(4)

Defini¸cão 24 (Número fuzzy): Um subconjunto fuzzy A é chamado de número fuzzy quando o conjunto universo no qual µA está definida, é o conjunto dos

n´_{umeros reais R e satisfaz `as condi¸c˜oes:}

(i) todos os α-n´ıveis de A são não vazios, com 0 ≤ α ≤ 1; (ii) todos os α-n´ıveis de A s˜_{ao intervalos fechados de R;} (iii) suppA = {x ∈ R : µA(x) > 0} é limitado.

Iremos denotar os α-n´ıveis do n´umero fuzzy A por [A]α_{= [a}α 1, aα2].

Defini¸cão 25 (Número Triangular fuzzy): Um número fuzzy A é dito triangu-lar se sua fun¸cão de pertinência é da forma

ϕA(x) =              0 se x ≤ a x − a u − a se a < x ≤ u x − b u − b se u ≤ x < b 0 se x ≥ b.

Denotaremos um n´umero fuzzy triangular pelo terno (a; u; b).

O problema de valor inicial fuzzy autonômo quando o valor inicial é um número fuzzy é dado por

     dx dt = f (x(t)) x(a) = u0∈ F (R) (7)

onde f : [a, b] → R é cont´ınua e F(R) é a fam´ılia dos números fuzzy.

Supondo que para cada condi¸c˜ao x0∈ R o problema do valor determin´ıstico

     dx dt = f (x(t)) x(a) = x0 (8)

admita solu¸cão única ϕtentão, para cada t, a solu¸cão fuzzy ψtde (7) é definida

como a extensão de Zadeh da solu¸cão determin´ıstica ϕt. Isto é, se u0 ∈ F (R)

ent˜ao

ψt(u0) = ˆϕ(u0).

Como ϕté cont´ınua em rela¸cão a condi¸cão inicial, temos que

[ψt(u0)]α= [ ˆϕt(u0)]α= ϕt([u0]α) = ϕt([uα01, u α 02]).

(5)

Desta forma temos que o PVI fuzzy de (4), quando I(0) é fuzzy é formalmente dado por    dI dt = β(1 − I)I I(0) = Iˆ0 (9) onde Î0∈ F (R).

Como para cada I0∈ R∗+ o PVI (4) admite solu¸cão única It(I0), então para

cada t, a solu¸cão fuzzy de (9) será a extensão de Zadeh com rela¸cão a condi¸cão incial da solu¸cão determin´ıstica de (4) dada por,

ˆ It( ˆI0) = ˆ I0eβt S0+ ˆI0eβt . (10)

Onde S0na equa¸cão (10) é visto como um subconjunto crisp de R, isto é, S0

´

e um subconjunto fuzzy de R com fun¸c˜ao de pertinˆencia dada por,

χ{S0}(x) =

1 se x ∈ S0,

0 se x /∈ S0

(11) A fun¸cão de pertinência definida em (11) é denominada fun¸cão caracter´ıstica de S0.

As opera¸cões aritméticas com número fuzzy podem ser vista em [1]. Como Ité cont´ınua e monótona crescente para todo I0> 0 temos que

[ Ît( Î0)]α= It([ Î0]α) = It([ Î01α, Î α

02]) = [It(I01α), It(I02α)]. (12)

Portanto para cada t fixo, não temos mais um número real representando a quantidade de infectados, mas sim um intervalo de valores representando limites inferior e superior da quantidade de infectados, sendo que cada número real deste intervalo possui um grau de confiabilidade através da fun¸cão de pertinência de Î0.

Agora veremos a estabilidade de um PVI fuzzy autonômo quando a condi¸cão inicial é um número fuzzy, esses resultados podem ser encontrados em Mizukoshi (2004).

Defini¸cão 26 : Dizemos que um número fuzzy ¯_{x ∈ F (R) é um ponto de equil´ıbrio} fuzzy de (7) se

ˆ

ϕt(¯x) = ¯x, para todo t ≥ a.

Defini¸c˜_{ao 27 Seja U ⊂ R}n _{aberto e x}

0∈ U . Dizemos que ˆϕt: F (U ) → F (U ),

t ∈ R+, é uma solu¸cão fuzzy para a Equa¸cão (13) quando ˆϕt(χ{x0}) = χ{ϕt(x0)},

onde ϕt: U → U é solu¸cão da equa¸cão autônoma

dx

(6)

Proposi¸cão 21 : Seja xe∈ R. Então xeé um ponto de equil´ıbrio para ϕtobtida

de (8) se, e somente se, χ{xe} ´e um ponto de equil´ıbrio para ˆϕt

Teorema 21 : Sejam xe ∈ [a, b] um ponto de equil´ıbrio para (8) e ˆϕt o fluxo

fuzzy associado ao fluxo determin´ıstico ϕt. Ent˜ao valem as seguintes afirma¸c˜oes:

i) xeé estável para ϕt se, e somente se, χ{xe} é estável para ˆϕt;

ii) xe é assintoticamente estável para ϕt se, e somente, se χ{xe} é

assintotica-mente est´avel para ˆϕt

Como os pontos de equil´ıbrio de (4) s˜ao I = 0 e I = 1 e o fluxo determin´ıstico It(I0) → 1 quando t → ∞, segue que os pontos de equil´ıbrio fuzzy de (9) s˜ao

χ{0} e χ{1} e a solu¸cão fuzzy Ît( Î0) → χ{1} quando t → ∞.

Agora iremos contruir a solu¸cão fuzzy de (9) através do software Matlab e consideraremos Î0um número triangular fuzzy.

Fig. 1. Fluxo fuzzy ˆϕt( ˆI0) quando ˆI0= (0.1, 0.2, 0.3) e β = 0.5

Temos que I0 = 0.2 possui grau de pertinência 1 e o gráfico de sua solu¸cão

determin´ıstica ´e o mais escuro, conforme os valores de I0 v˜ao se distanciando de

0.2 o grau de pertinência das solu¸cões destes valores vão diminuindo, este fato é representado pelo clareamento do gráfico de solu¸cão de ˆϕt( Î0).

Agora iremos aplicar a subjetividade no coeficiente de transmiss˜ao da doen¸ca β, considerando-o um n´umero triangular fuzzy.

Comecemos considerando o PVI ampliado de (4),          dI dt = β(1 − I)I, I(0) = I0, ∈ R dβ dt = 0, β(0) = β, (14)

(7)

Temos que a solu¸cão do PVI (14) é dada por ϕt(I0, β) = I0eβt S0+ I0eβt , β . O problema de valor inicial fuzzy autonômo quando somente algum parâmetro (β) é um número fuzzy é dado por

         dx dt = f (x(t), β) x(0) = x0∈ R dβ dt = 0 β(0) = ˆβ ∈ F (R) (15)

Assim o parâmetro é visto como uma variável no modelo determin´ıstico e o par (x0, β) como condi¸cão inicial.

Desta forma, o PVI fuzzy de (14), quando somente o parâmetro β é um número fuzzy, toma a forma:

         dI dt = β(1 − I)I, I(0) = I0∈ R dβ dt = 0, β(0) = ˆβ (16)

Como para cada (I0, β) ∈ R2 o PVI (14) admite solu¸c˜ao ´unica ϕt(I0, β),

então para cada t, a solu¸cão fuzzy de (16) é dado pela extensão de Zadeh com rela¸cão ao parâmetro β da solu¸cão determin´ıstica de (14), isto é,

ˆ

ϕt: F (R2) → F (R2)

( ˆI0, ˆβ) → ˆϕt( ˆI0, ˆβ)

(17)

onde ˆI0 ´e um subconjunto crisp de R.

Como [β]α= [β₁α, β₂α] temos que,

[ ˆϕt( ˆβ, ˆI0)]α= ϕt([β]α, ˆI0)

Tanto a proposi¸c˜ao 2.1 quanto o teorema 2.1 podem ser estendidos para os respectivos PVI’s (14) e (16), para um formalismo matem´atico desses resultados consultar Misukoshi(2004).

Os pontos de equil´ıbrio do PVI (14) s˜ao (1, β) e (0, β), como ϕt(I0, β) → (1, β)

quando t → ∞ temos que os pontos de equil´ıbrio do PVI (16) s˜ao χ(1,β)e χ(0,β)

e ˆϕt( ˆI0, ˆβ) → χ(1,β) quando t → ∞.

O gráfico da proje¸cão ˆϕt( ˆβ) também constru´ıdo no software Matlab, onde ˆβ

´

(8)

Fig. 2. Proje¸c˜ao ˆϕt( ˆβ) quando ˆβ = (0.3, 0.4, 0.5) e I0= 0.1

Para cada t ≥ 0 temos um intevalo representando a quantidade de infectados naquele instante sendo que cada valor deste intervalo possui seu grau de confia-bilidade atrav´es do n´umero trianguar ˆβ.

Sistema p-fuzzy : Base de Regras Um sistema p-fuzzy ´e um sistema dinˆamico discreto que tem a forma,

xt+1= F (xt)

x(0) = x(t0)

(18) onde F : Rn → Rn _´_{e dada por F (x}

k) = xk+ ∆(xk) e ∆(xk) ´e obtida por um

sistema baseado em regras fuzzy.

Para melhor compreens˜ao sobre sistemas dinˆamicos p-fuzzy o leitor deve con-sultar [6].

Através de um sitema p-fuzzy discreto podemos estimar as solu¸cões dos mod-elos epidemiológicos clássicos, sem precisar utilizar de ferramentas matemáticas sofisticadas e nem realizar cálculos ma¸cantes e exaustivos.

No modelo SI temos que a entrada ´e a popula¸c˜ao de infectados (I) e a sa´ıda ´

e a varia¸cão da popula¸cão de infectados (∆I), a figura 3 representa a fun¸cão pertinência de ∆I:

A base de regras utilizada deve ser coerente com o modelo SI, onde a principal suposi¸cão é que, em cada instante t, a taxa crescimento de infectados é direta-mente proporcional à popula¸cão de infectados, porém para valores “grandes” de

(9)

Fig. 3. Fun¸cão pertinência da varia¸cão da popula¸cão de infectados

I a taxa de crescimento sofre uma penaliza¸c˜ao. Desta forma, a base de regras ser´a dada por:

R1: Se I é B então ∆I é M R2: Se I é M então ∆I é A R3: Se I é A então ∆I é B R4: Se I é AT então ∆I é N

Table 1. Base de regras para modular a varia¸c˜ao da popula¸c˜ao de infectados

onde B, M, A, AT e N são as qualifica¸cões das variáveis lingu´ısticas que sig-nificam, respectivamente, baixa, média, alta, alt´ıssima e negativa.

A fun¸cão de pertinência da variável de entrada, que é a popula¸cão de infec-tados, pode ser vista na figura 4.

Adotando o método de Mandani como método de inferência, o centro de ´

area como defuzzificador, combinado com o sistema p-fuzzy discreto, chegamos que a solu¸cão estimada para o modelo SI, através de um controlador fuzzy está representada na figura 5.

2.2 Modelo SIR

A dinˆamica deste modelo consiste tanto em analisar os indiv´ıduos infecciosos quanto os que se recuperam da doen¸ca.

(10)

Fig. 4. Fun¸cão pertinência da popula¸cão de infectados

Fig. 5. Solu¸c˜ao I do modelo SI, atrav´es de um controlador fuzzy

O modelo SIR comtempla também o compartimento R, separado de I, ou seja, permite que o indiv´ıduo se recupere da doen¸ca, ficando imune a reinfeçcão, este modelo nos permite computar a quantidade de infectados que se recuperam.

Doen¸cas como Rub´eola, Sarampo, Catapora, Cachumba e Gripe s˜ao bem modeladas por SIR.

Desconsiderando as taxas de mortalidade e natalidade, podemos tornar o modelo SIR mais simples, sendo formulado pelas equa¸c˜oes,

(11)

                   dS dt = −βSI, S(0) = S0≥ 0 dI

dt = βSI − αI, I(0) = I0≥ 0 dR

dt = αI, R(0) = R0≥ 0

(19)

onde β é a taxa de transmissão da doen¸ca, α é a taxa de remo¸cão dos infecciosos para a classe dos recuperados.

Note quedS_dt+dI_dt+dR_dt = 0 = dN_dt, então podemos dizer que N é constante em rela¸cão ao tempo, isto é, N (t) = S(t)+I(t)+R(t) = S0+I0+R0para todo t ≥ 0.

Observe também que as duas primeiras equa¸cões de (19) não dependem de R(t), então o sistema (19) se reduz a

         dS dt = −βSI, S(0) = S0≥ 0 dI

dt = βSI − αI, I(0) = I0≥ 0

(20)

com R(t) = N − (S(t) + I(t)) para todo t ≥ 0.

A análise do comportamento assintótico da solu¸cão ϕt(S0, I0, R0) quando

t → ∞ e pontos de equil´ıbrio do modelo SIR podem ser visto em [4] que afirma o seguinte:

A solu¸c˜ao z(t) = (S(t), I(t)) do sitema (20) converge para um ponto do con-junto [0, ρ] × {0} e

i) I(t) → 0 quando t → ∞, se S0≤ ρ;

ii) I(t) cresce atingindo o valor m´aximo N − ρ 1 + ln ρ S0 e depois de-cresce para 0, se S0>α_β;

iii) S(t) é decrescente e converge para S ∈ [0, ρ] para o quel é solu¸cão de N − S = ρlnS0

S

.

iv)R(t) ´e crescente e converge para N − S.

Desta forma podemos concluir que a solu¸c˜ao determin´ıstica ϕt(S0, I0, R0) de

(19) converge para o ponto de equil´ıbrio (S, 0, ρlnS0

S ) e isto significa que a

(12)

iniciais.

Extensão de Zadeh O modelo SIR, sem dinâmica vital, quando I0 é fuzzy

toma a forma                    dS dt = −βSI, S(0) = S0∈ R+ dI

dt = βSI − αI, I(0) = ˆI0∈ F (R+) dR

dt = αI, R(0) = R0∈ R+.

(21)

Para cada (S0, I0, R0) ∈ R3o sistema (19) admite solu¸c˜ao ´unica ϕt(S0, I0, R0),

então para cada t, a solu¸cão fuzzy de (21) é a extensão de Zadeh com rela¸cão a condi¸cão inicial da solu¸cão determin´ıstica ϕt(S0, I0, R0), isto é,

ˆ

ϕt: F (R3) → F (R3)

( ˆS0, ˆI0, ˆR0) → ˆϕt( ˆS0, ˆI0, ˆR0)

(22)

onde ˆS0 e ˆR0s˜ao subconjuntos crisp de R.

Como ϕt(S0, I0, R0) → (S, 0, ρlnS_S0) quando t → ∞ temos que ˆϕt( ˆS0, ˆI0, ˆR0) →

χ{S,0,ρlnS0

S} quando t → ∞.

Através do software Matlab construiremos as proje¸cões da solu¸cão fuzzy ˆ

ϕt( ˆS0, ˆI0, ˆR0) do modelo SIR apresentado acima, considerando ˆI0 = (5; 10; 15),

S0= 40, N = 50, β = 0.2 e α = 1.5.

Sistema p-fuzzy : Base de Regras Para estimarmos as solu¸cões S, I e R do modelo SIR, sem dinâmica vital, utilizaremos como entradas os compartimentos S e I e como sa´ıdas suas respectivas varia¸cões, a solu¸cõa R será dada através das solu¸cões S e I visto que R = N − (S + I).

As regras ter˜ao como base as seguintes hip´oteses:

(1) Como não existe fluxo entrando no compartimento S, sua varia¸cão sem-pre decrescerá em fun¸cão do tempo e será praticamente nula quando não houver mais indiv´ıduos infecciosos.

(2) No compartimento I existem fluxos entrando e saindo, assim a sua varia¸cão crescerá proporcionalmente a quantidade de suscet´ıveis, atigindo seu valor máximo

(13)

Fig. 6. Solu¸c˜ao S, I e R do modelo SIR, sem dinˆamica vital, com I0 fuzzy

aproximadamente quando as popula¸cões S e I forem iguais e decrescerá propor-cionalmente à quantidade dos recuperados.

Desta forma, o sistema de base regras ser´a:

onde B, MB, M−, M+_{, MA e A s˜}_{ao as qualifica¸}_c˜_{oes das vari´}_{aveis lingu´ısticas}

R1: Se S é A e I é B então ∆S é NA e ∆I é MB R2: Se S é MA e I é MB então ∆S é NMA e ∆I é A R3: Se S é M+ _{e I ´}_{e M}−

então ∆S é NMA e ∆I é B R4: Se S é M−e I é M+ então ∆S é NMB e ∆I é NB R5: Se S é MB e I é MB então ∆S é NMB e ∆I é NA R6: Se S é B e I é B então ∆S é NB e ∆I é NMB

Table 2. Base de regras para modular a varia¸c˜ao da popula¸c˜ao dos suscet´ıveis e infec-tados

que significam, em ordem crescente, baixa, média baixa, média menos, média mais, média alta e alta respectivamente, a letra N na frente das qualifica¸cões representa que a varia¸cão é negativa.

As fun¸cões de pertinência para as variáveis de entrada, podem ser vistas na figura 7, sendo que o gráfico da figura (a) é referente a variável I e o da figura (b) a variável S, sendo que as variáveis de sa´ıda, estão dispostas na figura 8, onde a figura (a) representa a varia¸cão ∆I e a figura (b) a varia¸cão ∆S.

Atrav´es do sistema p-fuzzy discreto e do software Matlab, obtemos a solu¸c˜ao S, I e R estimadas pelo controlador fuzzy, como pode ser vito na figura 9.

(14)

Fig. 7. Fun¸cões de pertinência das variáveis de entrada

Modelando a taxa de infeçcão β por Base de Regras Um dos parâmetros mais dif´ıcieis em quantificar é a taxa de infe¸cão das doen¸cas (β) e quando o mesmo é determinado, geralmente é dado como um valor constante.

Algumas doen¸cas como a Hepatite B e a Aids possuem longos e variáveis per´ıodos infecciosos, sendo assim, essas doen¸cas seriam melhor modeladas se houvesse reparti¸cões no compartimento I, onde cada compartimento representa o grau de infeçcão dos indiv´ıduos infecciosos, porém um modelo desta forma se torna muito complexo.

No intuito de modelar essa taxa de infeçcão, sem utilizar ferramentas matemáticas complexas, utilizaremos uma base de regras, onde utilizaremos como entrada as variáveis S, I e R e sa´ıda a taxa de infe¸cão β.

As fun¸cões de pertinência para as variáveis de entrada são dadas por:

Na figura (a) as fun¸cões de pertinência representam as variáveis lingu´ısticas das variáveis S e R e figura (b) da variável I.

A fun¸cão de pertinência da variável de sa´ıda β é dado por:

(15)

Fig. 8. Fun¸cões de pertinência das variáveis de sa´ıda R1: Se S é A, I é B e R é B então β é B R2: Se S é M+_{, I ´}_{e M}− e R é B então β é M R3: Se S é M, I é M e R é M−então β é A R4: Se S é M−, I é M e R é M então β é A R5: Se S é B, I é M−e R é M+ então β é M R6: Se S é M−, I é B e R é A então β é B R7: Se S é M, I é B e R é A então β é B

Table 3. Base de regras para modular a varia¸c˜ao da popula¸c˜ao dos suscet´ıveis e infec-tados

onde B, M−, M, M+ e A são as qualica¸cões das variáveis lingu´ısticas que significam, respectivamente, baixa, média baixa, média, média alta e alta.

Atrav´es do sistema p-fuzzy discreto

   xi+1= xi− βxiyi+ γri yi+1= yi+ βxiyi− θyi ri+1 = ri+ θyi− γri (23)

onde γ é a taxa de imunidade perdida dos recuperados e θ é a taxa de recu-pera¸cão dos indiv´ıduos infectados.

Fazendo γ = 0.002 e θ = 0.003 obtemos a solu¸c˜ao

Temos que a fun¸cão β é crescente até quando a popula¸cão dos indiv´ıduos suscet´ıveis chega a metade de seu valor inicial, atingindo o valor máximo de 0,0154 em seguida a fun¸cão descrece atingindo um m´ınimo local de 0,01, sendo

(16)

Fig. 9. Solu¸c˜ao S, I e R do modelo SIR, atrav´es do controlador fuzzy

Fig. 10. Fun¸cões de pertinência das variáveis de entrada.

que o m´ınimo global de 0,0078 se apresenta no in´ıcio da doen¸ca como pode ser visto na figura abaixo.

3 Conclus˜

ao

Na prática percebemos o quanto é dif´ıcil determinar valores de parâmetros e quantificar em um determinado momento quantas pessoas estão suscet´ıveis, in-fectadas e/ou recuperadas, pois a partir do momento que determinamos esses valores o modelo corre risco.

Com a incorpora¸c˜ao de subjetividade na condi¸c˜ao inicial I0 e na taxa de

in-feçcão nos modelos determin´ısticos, obtivemos através do Princ´ıpio de Extensão de Zadeh, modelos em que para cada instante t existe um intervalo representando

(17)

Fig. 11. Fun¸cão pertinência da variável β.

Fig. 12. Solu¸c˜ao S, I e R, onde β ´e gerado por um controlador fuzzy.

o limite superior e inferior da quantidade de infectados, sendo que cada n´umero real deste intervalo possui um grau de confiabilidade, fazendo destes modelos mais realistas, pois aumentam a chance de acerto das previs˜oes.

Atrav´es do sistema p-fuzzy pudemos modelar fenˆomenos cujo comportamento ´

e parcialmente conhecido, pois informa¸cões subjetivas são incorporadas tanto nas variáveis quanto nas varia¸cões e suas rela¸cões com as variáveis, tornando assim os modelos mais simples, não exigindo ferramentas matemáticas complexas e cálculos exaustivos.

References

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Fig. 13. Gr´afico da fun¸c˜ao β gerado por um controlador fuzzy.

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