MA211 - Cálculo II. Segundo semestre de 2020 Turmas D/E. Ricardo M. Martins

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Segundo semestre de 2020 Turmas D/E

Ricardo M. Martins rmiranda@unicamp.br

http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda Aula 2: Limites e continuidade

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Denotaremos porRk o conjunto R × · · · × R, onde existem k termos neste produto, ou seja,

Rk₌_{R × · · · × R = {(x}_{1, x2, . . . , x}

k), xi∈ R, i = 1, . . . , k} Assim_R2 _{é o plano cartesiano que já conhecemos,}_R3 _{é o “espaço”}

e por aí vai.

Por enquanto, chamaremos os elementos de_Rk _{de pontos. Mais} para frente, esta noção vai se confundir um pouco com a noção de vetor.

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Representamos geometricamenteR1 =R por uma reta, R2 pelo sistema de eixos cartesianos e_R3 _{por um sistema de três eixos}

mutualmente ortogonais.

Para medir distâncias entres pontos de_Rk_{, usaremos a norma} euclidiana, ou seja, dados x = (x₁, . . . , xk) e y = (y1, . . . , yk) em Rk_{, a distância entre x e y será medida por}

d(x, y) =||x − y|| =

√

(x1− y1)2+ . . . + (xk− yk)2. No começo do curso, nossas funções terão como domínio um subconjunto de_Rk _{para algum k e como contra-domínio}_R.

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Funções

R

2

→ R

Seja U⊂ Rn um conjunto e f : U⊆ R2 → R uma função. Muitas vezes escreveremos somente z = f(x, y) quando o domínio da função estiver claro pelo contexto (ou tomaremos o “maior domínio possível”).

As variáveis x, y são as variáveis independentes e z é a variável dependente.

desnecessárias no momento. Vamos falar sobre dimensões mais altas de vez em quando.

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Seja U⊂ Rn um conjunto e f : U⊆ R2 → R uma função. Muitas vezes escreveremos somente z = f(x, y) quando o domínio da função estiver claro pelo contexto (ou tomaremos o “maior domínio possível”).

As variáveis x, y são as variáveis independentes e z é a variável dependente.

Dúvida existencial: Não seria melhor estudar logo funções Rm _{→ R?} _Seria_{, mas os índices introduziriam complicações} desnecessárias no momento. Vamos falar sobre dimensões mais altas de vez em quando.

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O gráfico de f : U⊆ R2 → R é um subconjunto de R3=R2× R. As curvas de nível de z = f(x, y), que são uma boa forma de representar graficamente esta função, são as curvas no plano xy obtidas como soluções de equações da forma f(x, y) = k, com k variando no conjunto dos números reais.

Em geral representaremos tais curvas identificando cada uma delas pelo valor correspondente de k.

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Exemplo

Determine o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de f(x, y) =√9_{− x}2_{− y}2_.

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Exemplo

Determine o domínio, a imagem, as curvas de nível e o gráfico de f(x, y) =√9_{− x}2_{− y}2_.

# Precisamos que 9− x2− y2≥ 0, ou seja, que x2+ y2≤ 9. Logo o domínio de f é D(f) ={(x, y)∈ R2; x2+ y2 ≤ 9}.

# Como f(x, y) =√9_{− x}2_{− y}2 ₌√₉_{− (x}2_{+ y}2_{) e}

x2_{+ y}2 _{≥ 0, o valor máximo de f é} √_{9 = 3 e o mínimo é 0.} # As curvas de nível são as curvas √9_{− x}2_{− y}2_{= k no plano}

z = k, ou seja, as curvas x2+ y2 = 9− k2 com k∈ R (círculos).

# Para o gráfico, note que elevando z =√9_{− x}2_{− y}2 _ao

quadrado temos a equação de uma esfera de raio 3:

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Exemplo (Superfícies de nível)

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Quais são as superfícies de nível de f(x, y, z) = x2_{+ y}2_{− z}2_? k = 0: x2+ y2− z2= 0⇔ z = ±√x2_{+ y}2_.

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Quais são as superfícies de nível de f(x, y, z) = x2+ y2− z2?

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Quais são as superfícies de nível de f(x, y, z) = x2+ y2− z2?

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Seja f : D⊂ R2→ R uma função, (a, b)∈ D.

Dizemos que o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (a, b) é igual a L se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que

0 <||(x, y) − (a, b)|| < δ implica |f(x, y) − L| < ε, onde_{||(x, y) − (a, b)|| =}√(x− a)2+ (y− b)2.

A notação para isto é

lim

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# A exigência “(a, b)_{∈ D” não é suficiente: (a, b) não pode ser} um ponto isolado. Não falaremos muito sobre isto, mas fique com o seguinte problema na cabeça: se

D = [0, 1]_{× [0, 1] ∪ {(2, 2)} ,}

como fazemos para calcular limite com (x, y)→ (2, 2)?

# A função não precisa estar definida em (a, b) para o limite existir.

# Como já observamos, existem infinitas formas de

(x, y)→ (a, b), ao contrário do caso de funções R → R. Se percorrendo caminhos distintos, os limites forem diferentes, entãoo limite não existirá.

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Seja f : U⊂ R2 → R e (a, b) ∈ U. Diremos quef é contínua em

(a, b)se

lim

(x,y)→(a,b)f(x, y) = f(a, b).

Diremos que f écontínuase for contínua em todos os pontos de seu domínio.

A função f será contínua em (a, b) se:

# f(a, b) existir, # lim (x,y)→(a,b) f(x, y) existir, # lim (x,y)→(a,b) f(x, y) = f(a, b).

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Exercício

O limite abaixo existe?

lim (x,y)→(0,0)

x2_{− y}2

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Exercício

lim (x,y)→(0,0)

xy x2_{+ y}2

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Exercício

lim (x,y)→(0,0)

xy2

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Exercício

lim (x,y)→(0,0)

3x2_y

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Observações importantes

# As propriedades que usávamos no Cálculo I continuam válidas aqui: limite da soma é a soma dos limites (se ambos

existirem), etc.

# Pode-se passar o limite para “dentro” de funções contínuas, lim

(x,y)→(a,b)f(g(x, y)) = f

( lim

(x,y)→(a,b)g(x, y)

) se f é contínua em g(a, b).

# O teorema do sanduíche ainda é verdadeiro: se

f(x, y)≤ g(x, y) ≤ h(x, y) então lim (x,y)→(a,b) f(x, y)_≤ lim (x,y)→(a,b) g(x, y) lim (x,y)→(a,b) h(x, y).

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Observações importantes

existirem), etc.

# Polinômios, funções trigonométricas, etc em várias variáveis são funções contínuas.

lim

(x,y)→(a,b)f(g(x, y)) = f (x,y)lim→(a,b)g(x, y)

se f é contínua em g(a, b).

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Observações importantes

existirem), etc.

(x,y)→(a,b)f(g(x, y)) = f

( lim (x,y)→(a,b)g(x, y) ) se f é contínua em g(a, b). lim (x,y)→(a,b) f(x, y)_≤ lim (x,y)→(a,b) g(x, y) lim (x,y)→(a,b) h(x, y).

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existirem), etc.

(x,y)→(a,b)f(g(x, y)) = f

( lim

(x,y)→(a,b)g(x, y)

) se f é contínua em g(a, b).

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Exercícios

Exemplo

Mostre que a função

f(x, y) =    x2_{− y}2 x2_{+ y}2 , (x, y)̸= (0, 0), 0 , (x, y) = (0, 0) não é contínua. f(x, y) = { x2+ y2 , x + y∈ Q, 0 , x + y_{̸∈ Q} é contínua na origem.

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Exemplo

f(x, y) =    x2_{− y}2 x2_{+ y}2 , (x, y)̸= (0, 0), 0 , (x, y) = (0, 0) não é contínua. Exemplo

f(x, y) =

{

x2+ y2 , x + y∈ Q,

0 , x + y_{̸∈ Q} é contínua na origem.

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Questão O domínio da função f(x, y) = √ 25_{− x}2_{− y}2 x2_{+ y}2 é △ um quadrado ⋄ um disco

◦ um disco menos um ponto

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Questão

Se

z = f(x, y) = 1 x2_{+ y}2

então f é contínua em todos os pontos de seu domínio.

△ falso

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Questão

Qual o valor do limite de

f(x, y) = x 3_y3 2 + x2_{+ y}2 quando (x, y)_{→ (0, 0)?} △ não existe ⋄ 0 ◦ 1 □ 2

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Se cuidem: usem máscaras, limpem as mãos com álcool em gel. Fique em casa.