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Professora Bruna Rodrigues
Disciplina: Álgebra Linear
Tema 1 - Matrizes
A ideia geral de matriz do tipo m x n é a de um quadro retangular com mn elementos (que na maioria das vezes são números), dispostos em m linhas e n colunas. As matrizes são frequentemente utilizadas para organizar dados.
No Ensino Médio, as matrizes ocorrem, especialmente, como quadros dos coeficientes de sistemas de equações lineares. Elas também podem surgir em situações como as seguintes: os vetores u = (a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2) podem formar as linhas de uma matriz 2 x 3 ou as colunas de uma matriz 3 x 2.
Desta maneira, na definição adotada, uma matriz m x n é uma lista de números aij, com
índices duplos, onde 1≤ i ≤ m e 1≤ j ≤ n. A matriz A é representada por um quadro numérico com m linhas e n colunas, no qual o elemento aij situa-se no cruzamento da i-ésima linha com a j-ésima coluna:
mn 3
m 2 m 1 m
n 3 33
32 31
n 2 23
22 21
n 1 13
12 11
a a
a a
a a a a
a a a a
a a a a
A
É válido ressaltar que:
A lista (ai1, ai2, ..., ain) chama-se i-ésima linha ou o i-ésimo vetor-linha da matriz A enquanto (a1j, a2j, ..., amj) é a j-ésima coluna ou o j-ésimo vetor-coluna da mesma;
Em uma matriz, o elemento aijchama-se o ij-ésimo elemento da mesma e escreve-se A
= [aij].
1.1.Exemplos de matrizes:
1.
1 8 0
3 2 1
A é uma matriz 2 x 3;
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1. Definição: Uma matriz A consiste em um agrupamento retangular de elementos dispostos
2
2.
1 1
7 4
B é uma matriz 2 x2;
3.
5 1 2 1
3 7 0
6 0 1
9 2 3
C
é uma matriz 4 x 3.
1.2.Matrizes especiais:
a) Uma matriz é quadrada quando tem o mesmo número de linhas e colunas (m = n).
Ex:
2 2 1 1
6 5
x
C
3 3 8 5 6
3 0
0 1 4
x D
Matriz de ordem 2 Matriz de ordem 3
Obs.:
Seja A uma matriz quadrada de ordem n:
i) Diagonal principal de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i = j.
ii) Diagonal secundária de uma matriz quadrada é o conjunto de elementos dessa matriz, tais que i + j = n + 1.
Exemplo:
8 7 5
3 0 3
5 2 3 3
A
Descrição da matriz:
- O subscrito 3 indica a ordem da matriz;
- A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –3, 0 e -8; - A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5; - a = -1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1; 11
- a31= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 = 3 + 1.
b) Uma matriz é uma matriz linha quando m = 1. Ex.: A
4 7 3 4
1x4.3 Ex.:
1 x 3 0
1 4 B
.
d) Uma matriz é nula quando todos os seus elementos são iguais a zero.
Ex.:
0 0 0
0 0 0 O2x3
e) Uma matriz quadrada é uma matriz diagonal quando apenas os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.
Ex.:
1 0
0 2
A2
7 0 0
0 3 0
0 0 4
B3 .
f) Diz-se que uma matriz quadrada é uma matriz identidade quando todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1. Notação: I , onde n indica a ordem da matriz identidade. n
Ex.:
1 0
0 1
I2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I3
ou :
j i se 0,
j i se , 1 a , a In ij ij
g) Chamamos de matriz transposta de uma matriz A é a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.
Notação: A . t
Ex.: Se
1 2 1
0 3 2
A então A =t
1 0
2 3
1 2
Desta maneira, se a matriz A é do tipo m x n, A é do tipo n x m. Note que a primeira linha de t A corresponde à primeira coluna de A e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna t de A . t
h) Uma matriz quadrada de ordem n é uma matriz simétrica quando A=A . t Obs.: Se A = -A , dizemos que a matriz A é anti-simétrica. t
Ex.: Se
3 x 3 5 4 1
4 2 3
1 3 2 A
então
3 x 3 t
5 4 1
4 2 3
1 3 2 A
i) Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos.
4
Ex.: Se
1 -4
0 3
A então A=
1 4
0 3
j) Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são idênticos.
Notação: A = B.
Ex.: Se
b 1
0 2
A
3 1 2 c
B e A = B, então c = 0 e b = 3
Simbolicamente: ABaij bij para todo 1im e todo 1in.
2. Operações com matrizes
Ao utilizarmos matrizes, surge naturalmente a necessidade de efetuarmos algumas operações.
2.1.Soma de matrizes
Definição:
Se A = [aij] e B = [bij] são matrizes m x n então A + B = [aij + bij], para todo 1im e todo 1in.
Sejam A, B e C matrizes do mesmo tipo (m x n), temos as seguintes propriedades: 1) Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
2) Comutativa: A + B = B + A
3) Elemento Neutro: A + O = O + A = A, onde O é a matriz nula m x n. 4) Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O
Exemplo:
1 -1 2
1 1 3 1 1 0
0 3 2
2.2.Subtração de matrizes
Se A = [aij] e B = [bij] são matrizes m x n então A - B = A + (-B) = [aij + (- bij)], para todo 1im e todo 1in.
Exemplo:
0 -2
2 1 7 4
5
2.3.Multiplicação de um número real por uma matriz
Dados um número real k e uma matriz A do tipo m x n, o produto de k por A é uma matriz do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por k.
Propriedades:
Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e k e l números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
1) Associativa: k.(l.A) = (k.l).A
2) Distributiva de um número real em relação a adição de matrizes: k.(A+B) = k.A + k.B. 3) Distributiva de uma matriz em relação a soma de dois números reais: (k + l).A = k.A + l.A 4) Elemento Neutro:k.A = A, para k = 1, ou seja: 1.A = A
Exemplo:
1 4 5 2 . 3
2.4.Multiplicação de matrizes:
O produto das matrizes A=
aij mxp e B=
bij p x n é a matriz C=
cij mxn, onde cada elemento c é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima ij linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.É válido ressaltar que a matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz (A) é igual ao número de linhas da segunda matriz (B).
Assim: Am x peBp x n
A.B m x nNote que a matriz produto terá o número de linhas (m) do primeiro fator e o número de colunas (n) do segundo fator.
Exemplos:
1) Se A3 x 2 eB2 x 5
A.B 3 x 5 2) A4 x 2 eB2 x 1
A.B 4 x 1Propriedades:
Verificadas as condições de existência, para a multiplicação de matrizes são válidas as seguintes propriedades:
1) Associativa: (A.B).C = A.(B.C). 2) Distributiva em relação à adição:
6 3) Elemento Neutro: A.I = n I .A = A n Não são válidas as seguintes propriedades:
1) Comutativa, pois, em geral, A.B B.A
2) Sendo Om x n uma matriz nula, A.B = Om x n não implica, necessariamente, que A =
n x m
O ou B = Om x n.
Exemplo:
Seja A=
3 x 2 2
x 3
4 0 2
3 2 1 B e 4 1
1 0
3 2
, determine:
a) A.B
b) B.A
2.5. Matriz Inversa:
Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A , de mesma ordem, ' tal que A.A = ' A'.A =
n
I , então A é matriz inversa de ' A. (Em outras palavras: Se A.A = ' A'
.A = I , isto implica que n A é a matriz inversa de ' A, e é indicada por A1). Notação: A1
Obs.: A divisão de matrizes não está definida. O conceito de matriz inversa satisfaz a necessidade da utilização de um produto pelo inverso multiplicativo.
Exemplo:
Sendo A =
2 x 2 2 4
4 2
, determine a matriz inversa de A, se existir.
Exercícios:
1) Sejam as matrizes A e B definidas por: A = (aij)3x2 tal que aij=2i – j e B = (bij)3x2 tal que bij= {𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≥ 𝑗𝑖 − 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 < 𝑗. Determine:
a) A b) B c) A – B d) A + B e) At
f) 2A – 4 B
2) (UFPA) A matriz A=
aij 3x3 é definida de tal modo que
j i se , 0
j i se , ) 1 ( a
j i
ij . Então, A é
igual a: a)
0 1 1
1 0 1
1 1
0 b)
1 0 1
0 1 1
0 0 1
c)
0 1 1
1 0 1
1 1 0
d)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
e)
0 1 1
1 0 1
7
3) Determine a, b, x e y, tais que: . 1 1 2 3 y x 2 b a y x b a
4) Seja A=
aij 2x3, onde a =i + j. Determine m, n e p em B=ij 5 p 2 m 1 n 4 3 n ma fim de que tenhamos A=B.
5) Dadas as matrizes A= 3 a 2 1
e
3 b 3 x
B , determinar a, b e x para que A=B . t 6) Dadas as matrizes A=
1 0 3 2 , 2 3 4 0
B e C=
18 0 14 15
calcule a matriz X2x2, tal que: 3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C).
7) Dadas as matrizes A=
5 3 1 5 3 1 5 3 1 B , 4 3 1 5 4 1 5 3 2 3 x 3 e C= 3 2 1 4 3 1 4 2 2 . Calcule: a) A.B b) B.A c) A.C d) C.A
8) Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela:
Camisa A Camisa B Camisa C
Botões p 3 1 3
Botões G 6 5 5
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela tabela:
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B 50 100
Camisa C 50 50
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho.
9) PUC-SP) Dadas as matrizes A=
a e B=ij
b , quadradas de ordem 2, com ij j 3 i 4 b e j 4 i 3aij ij , se C=A + B, então 2
C é igual a:
a) 1 0 0 1 b)
1 0 0 1 c)
0 1 1 0 d)
0 1 1 0 e)
