ALGEBRA LINEAR
DEFINIÇÃO
Chama-se matriz de ordem m por n a um quadro de m x n
elementos dispostos em m linhas e n colunas.
REPRESENTAÇÃO DOS ELEMENTOS
Cada elemento da matriz A está afetado de dois índices: aij
ij
a
Linha
REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ
A matriz A pode ser representada abreviadamente por A = [aij], i variando de 1 a m e j variando de 1 a n
ORDEM DA MATRIZ
Se a matriz A é de ordem m por n, costuma-se escrever simplesmente A(m, n).
56
a
MATRIZES
• A Matriz na qual é denominada matriz retangular. m n
• A Matriz de ordem n por 1 é uma matriz coluna. • A Matriz de ordem 1 por n é uma matriz linha.
ALGUMAS MATRIZES
• A Matriz quadrada A = [aij] que tem os elementos aij = 0 quando é uma matriz diagonal.i j
mn
a
a
a
0
0
0
0
0
0
22 11
• A Matriz diagonal que tem os elementos aij iguais entre si para i = j é uma matriz escalar.
• A Matriz escalar de qualquer ordem que tem os elementos aij = 1 para i = j é uma matriz unidade (Identidade). Indica-se a matriz identidade por In ou simplesmente I.
1 0
0
0 1
0
0 0
1
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes A = [aij] e B = [bij], de ordem (m, n) são iguais, se e somente se, aij = bij.
4
9
5
3
4
9
ADIÇÃO DE MATRIZES
A soma de duas matrizes A = [aij] e B = [bij], de ordem (m, n) é uma matriz C = [cij] tal que: cij = aij + bij
Seja A = e B = 4 9 5 3 4 3 3 2 8 12 2 5 4 3 3 2 4 9 5 3 B A
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE
MATRIZES
• A + (B + C) = (A + B) + C
• A + 0 = 0 + A = A
• - A + A = A - A = 0
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR UM
ESCALAR
Se é um escalar, o produto de uma matriz A = [aij] por esse escalar é uma matriz B = [bij] tal que:
ij
ij
a
b
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR
PRODUTO DE UMA MATRIZ POR
OUTRA MATRIZ
Sejam as matrizes A(1, 3) e B(3, 1) como seguem:
6 4 2 5
3
1 e B
A
• Condição de existência
A
(1, 3)B
(3, 1)• Ordem da matriz resultante
A
(1, 3)B
(3, 1)Sendo
6 4 2 5 31 e B
A
O produto AB é, por definição, uma matriz C(1, 1) tal que
44
6
.
5
4
.
3
2
.
1
11
c
61
CÁLCULO DE UM ELEMENTO
QUALQUER DA MATRIZ PRODUTO
Sejam as matrizes A = e B =
2 5 4
3 1 2
4 9
5 3
Calcular o elemento c32
Basta encontrarmos o resultado do produto da 3ª linha de A pela 2ª coluna de B
COMUTATIVIDADE DA
MULPLICAÇÃO DE DUAS MATRIZES
A existência do produto AB
A
(3, 5)x B
(5, 6)= C
(3, 6)B
(5, 6)x A
(3, 5)Observações:
• Mesmo quando AB e BA são possíveis, os dois produtos são em geral diferentes.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
DE UMA MATRIZ POR OUTRA MATRIZ
• Dadas as matrizes A, B e C de ordem (m, n), (n, p) e (p, r) respectivamente, tem-se:
(AB)C = A(BC)
• Dadas as matrizes A, B e C de ordem (m, n), (m, n) e (n, p) respectivamente, tem-se:
(A + B)C = AC + BC
• Dadas as matrizes A, B e C de ordem (n, p), (n, p) e (m, n) respectivamente, tem-se:
EXERCÍCIOS
1- Dadas as matrizes A = e B = 16 9 5 7 9 9 5 2 2 y x
Calcular x e y de modo que A seja igual a B 2- Sejam as matrizes A = e B =
3 5 9 8 5 1 2 3 5 1 3 2 8 2 5 3 0 8
Calcular 1- A + B 2- B – A 3- 3A – 2B
4- Sejam as matrizes A = e B = 3 1 1 1 1 0 0 1 1 1 2 1 1 3 1 1 3 2
