Lecture Notes on Decision Theory Gil Riella October 14, 2016

▲❡❝t✉r❡ ◆♦t❡s ♦♥ ❉❡❝✐s✐♦♥ ❚❤❡♦r②

Pr❡❢❛❝❡

❚❤❡s❡ ❛r❡ ❧❡❝t✉r❡ ♥♦t❡s ■ ✉s❡ ✐♥ ♠② ❉❡❝✐s✐♦♥ ❚❤❡♦r② ❝❧❛ss✳ ❚❤❡② ❛r❡ ❛ ✇♦r❦ ✐♥ ♣r♦❣r❡ss✱ s♦ s♦♠❡ ♣r♦♦❢s ❛♥❞ s❡❝t✐♦♥s ❛r❡ st✐❧❧ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡ ❝♦♥t❡♥t ♦❢ t❤❡s❡ ♥♦t❡s ✐s ❤❡❛✈✐❧② ✐♥✢✉❡♥❝❡❞ ❜② t❤❡ t♦♣✐❝s ■ ❤❛✈❡ ✇♦r❦❡❞ ♦♥ ✐♥ ♠② ❧✐❢❡✱ s♦ s❡✈❡r❛❧ ✈❡r② ✐♠♣♦rt❛♥t t♦♣✐❝s ❛r❡ ♥♦t ✐♥❝❧✉❞❡❞ ❥✉st ❜❡❝❛✉s❡ ■ ❞♦ ♥♦t ❦♥♦✇ ❡♥♦✉❣❤ ❛❜♦✉t t❤❡♠✳ ❆❧t❤♦✉❣❤ ■ ❤❛✈❡ ✇r✐tt❡♥ t❤❡s❡ ♥♦t❡s ❢♦r ♠② ♣❡rs♦♥❛❧ ✉s❡✱ ❢❡❡❧ ❢r❡❡ t♦ ✉s❡ t❤❡♠ ❛♥②✇❛② ②♦✉ ✇❛♥t✳ ❚❤❡ ❧❛t❡① ✜❧❡s ❛r❡ ❛❧s♦ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ ✉♣♦♥ r❡q✉❡st✳

■ ❤❛✈❡ ✇r✐tt❡♥ s❡✈❡r❛❧ s❡❝t✐♦♥s ✐♥ ❛ ❤✉rr②✱ s♦ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t❤❛t s♦♠❡t✐♠❡s ■ ❤❛✈❡ ❢♦r❣♦tt❡♥ t♦ ❣✐✈❡ t❤❡ ❞✉❡ ❝r❡❞✐t t♦ s♦♠❡ r❡s✉❧t✳ ■❢ t❤✐s ✐s t❤❡ ❝❛s❡✱ ❥✉st ❧❡t ♠❡ ❦♥♦✇ ❛♥❞ ■ ✇✐❧❧ ❜❡ ❤❛♣♣② t♦ ✜① ✐t✳

❈♦♥t❡♥ts

Pr❡❢❛❝❡ ✐

❈❤❛♣t❡r ✶✳ ❇✐♥❛r② ❘❡❧❛t✐♦♥s ✶

✶✳✶✳ ❇❛s✐❝ Pr♦♣❡rt✐❡s ✶

✶✳✷✳ ❚❤❡ ❆①✐♦♠ ♦❢ ❈❤♦✐❝❡ ✷

✶✳✸✳ ❊①❡r❝✐s❡s ✸

❈❤❛♣t❡r ✷✳ ❘❡✈❡❛❧❡❞ Pr❡❢❡r❡♥❝❡ ❚❤❡♦r② ✺

✷✳✶✳ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ✭■✮ ✻

✷✳✷✳ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ✭■■✮ ✼

✷✳✸✳ ❊①❡r❝✐s❡s ✽

❈❤❛♣t❡r ✸✳ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❜② ❯t✐❧✐t② ❋✉♥❝t✐♦♥ ✶✶

✸✳✶✳ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❜② ❛ ❙✐♥❣❧❡ ❯t✐❧✐t② ❋✉♥❝t✐♦♥ ✶✶

✸✳✷✳ ❖r❞✐♥❛❧ ▼✉❧t✐✲✉t✐❧✐t② ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s ✶✹

✸✳✸✳ ❊①❡r❝✐s❡s ✶✺

❈❤❛♣t❡r ✹✳ ❊①♣❡❝t❡❞ ❯t✐❧✐t② ❚❤❡♦r② ✶✼

✹✳✶✳ ❚❤❡ ❊①♣❡❝t❡❞ ❯t✐❧✐t② ❚❤❡♦r❡♠ ✶✼

✹✳✷✳ ❚❤❡ ❊①♣❡❝t❡❞ ▼✉❧t✐✲✉t✐❧✐t② ❚❤❡♦r❡♠ ✶✽

✹✳✸✳ ❊①♣❡❝t❡❞ ▼✉❧t✐✲✉t✐❧✐t② ❚❤❡♦r❡♠ ❢♦r ❙tr✐❝t P❛rt✐❛❧ ❖r❞❡rs ✷✵

✹✳✹✳ ❊①❡r❝✐s❡s ✷✷

❈❤❛♣t❡r ✺✳ ◆♦♥✲❊①♣❡❝t❡❞ ❯t✐❧✐t② ❚❤❡♦r② ✷✺

✺✳✶✳ ❲❡✐❣❤t❡❞ ❊①♣❡❝t❡❞ ❯t✐❧✐t② ❚❤❡♦r② ✷✺

❈❤❛♣t❡r ✻✳ ❈♦♠♣❧❡t❡ Pr❡❢❡r❡♥❝❡s ❯♥❞❡r ❯♥❝❡rt❛✐♥t② ✸✵

✻✳✶✳ ❚❤❡ ❙t❛t❡ ❉❡♣❡♥❞❡♥t ❆❞❞✐t✐✈❡ ❊①♣❡❝t❡❞ ❯t✐❧✐t② ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✸✵ ✻✳✷✳ ❚❤❡ ❆♥s❝♦♠❜❡✲❆✉♠❛♥♥ ❙✉❜❥❡❝t✐✈❡ ❊①♣❡❝t❡❞ ❯t✐❧✐t② ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✸✶

✻✳✸✳ ❊①❡r❝✐s❡s ✸✷

❈❤❛♣t❡r ✼✳ ■♥❝♦♠♣❧❡t❡ Pr❡❢❡r❡♥❝❡s ✉♥❞❡r ❯♥❝❡rt❛✐♥t② ✸✹

✼✳✶✳ ❚❤❡ ❙t❛t❡ ❉❡♣❡♥❞❡♥t ❊①♣❡❝t❡❞ ▼✉❧t✐✲✉t✐❧✐t② ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✸✹ ✼✳✷✳ ❚❤❡ ▼✉❧t✐✲♣r✐♦r ❊①♣❡❝t❡❞ ▼✉❧t✐✲❯t✐❧✐t② ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✸✺ ✼✳✸✳ ❚❤❡ ▼✉❧t✐✲♣r✐♦r ❊①♣❡❝t❡❞ ❙✐♥❣❧❡✲❯t✐❧✐t② ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✸✾ ✼✳✹✳ ❚❤❡ ❙✐♥❣❧❡✲♣r✐♦r ❊①♣❡❝t❡❞ ▼✉❧t✐✲✉t✐❧✐t② ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✹✵

✼✳✺✳ ❊①❡r❝✐s❡s ✹✶

❈❤❛♣t❡r ✽✳ ❯♥❝❡rt❛✐♥t② ❆✈❡rs❡ Pr❡❢❡r❡♥❝❡s ✹✷

✽✳✶✳ ❖❜❥❡❝t✐✈❡ ❛♥❞ ❙✉❜❥❡❝t✐✈❡ ❘❛t✐♦♥❛❧✐t② ✐♥ ❛ ▼✉❧t✐♣❧❡ Pr✐♦r ▼♦❞❡❧ ✹✷

✽✳✷✳ ▼❛①♠✐♥ ❊①♣❡❝t❡❞ ❯t✐❧✐t② ✇✐t❤ ◆♦♥✲✉♥✐q✉❡ Pr✐♦r ✹✹

❈❤❛♣t❡r ✾✳ Pr❡❢❡r❡♥❝❡s ♦✈❡r ▼❡♥✉s ✹✻

✾✳✶✳ ▼❡♥✉ Pr❡❢❡r❡♥❝❡s ✐♥ ❛ ❋✐♥✐t❡ ❲♦r❧❞ ✹✻

❈❖◆❚❊◆❚❙ ✐✐✐

✾✳✷✳ ▼❡♥✉s ♦❢ ▲♦tt❡r✐❡s ✹✾

❆♣♣❡♥❞✐① ❆✳ ❯s❡❢✉❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❘❡s✉❧ts ✺✶

❆✳✶✳ ❚❤❡ ❙❡♣❛r❛t✐♥❣ ❍②♣❡r♣❧❛♥❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✺✶

❆✳✷✳ ❯r②s♦❤♥✬s ▲❡♠♠❛ ✺✶

❆✳✸✳ Pr♦❜❛❜✐❧✐t② ▼❡❛s✉r❡s ✺✷

❈❍❆P❚❊❘ ✶

❇✐♥❛r② ❘❡❧❛t✐♦♥s

✶✳✶✳ ❇❛s✐❝ Pr♦♣❡rt✐❡s

▲❡t X ❜❡ ❛♥② s❡t✳ ❆ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ R ♦✈❡r X ✐s ❛♥② s✉❜s❡t ♦❢ X×X✳ ❆s ✐t ✐s ✉s✉❛❧✱ ✇❡ ✉s❡

t❤❡ ♥♦t❛t✐♦♥xRy t♦ ♠❡❛♥ t❤❛t (x, y)∈R✳ ❙♦♠❡ ❝♦♠♠♦♥ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥s ❛r❡✿

❘❡✢❡①✐✈✐t②✿ xRx ❢♦r ❛❧❧ x∈X✳

❙②♠♠❡tr②✿ xRy ✐♠♣❧✐❡syRx ❢♦r ❡✈❡r② x, y ∈X✳

❚r❛♥s✐t✐✈✐t②✿ xRy ❛♥❞ yRz ✐♠♣❧✐❡s xRz✳

❆♥t✐s②♠♠❡tr②✿ xRy ❛♥❞ yRx✐♠♣❧✐❡s x=y✳

❈♦♠♣❧❡t❡♥❡ss✿ ❡✐t❤❡rxRy ♦ryRx ❤♦❧❞ ❢♦r ❡✈❡r② x, y ∈X✳

■❢ ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ % s❛t✐s✜❡s ❘❡✢❡①✐✈✐t②✱ ❙②♠♠❡tr② ❛♥❞ ❚r❛♥s✐t✐✈✐t②✱ ✇❡ s❛② t❤❛t ✐t ✐s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥✳ ■❢ ✐t s❛t✐s✜❡s ❘❡✢❡①✐✈✐t②✱ ❚r❛♥s✐t✐✈✐t② ❛♥❞ ❆♥t✐s②♠♠❡tr②✱ ✇❡ ❝❛❧❧ ✐t ❛ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r ❛♥❞ s❛② t❤❛t (X,%) ✐s ❛ ♣♦s❡t ✭♣❛rt✐❛❧❧② ♦r❞❡r❡❞ s❡t✮✳ ■❢ % ✐s ❛ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r t❤❛t s❛t✐s✜❡s ❈♦♠♣❧❡t❡♥❡ss✱ ✇❡ s❛② t❤❛t % ✐s ❛ ❧✐♥❡❛r ♦r❞❡r ❛♥❞ ❝❛❧❧ (X,%) ❛ ❧♦s❡t ✭❧✐♥❡❛r❧② ♦r❞❡r❡❞ s❡t✮✳ ■❢ % s❛t✐s✜❡s ❘❡✢❡①✐✈✐t② ❛♥❞ ❚r❛♥s✐t✐✈✐t②✱ ✇❡ ❝❛❧❧% ❛ ♣r❡♦r❞❡r ❛♥❞ s❛② t❤❛t (X,%) ✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r❡❞ s❡t✳

❚❤❡ t❡r♠s ♣r❡♦r❞❡r ❛♥❞ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ✇✐❧❧ ❜❡ ✉s❡❞ ♠♦r❡ ♦r ❧❡ss ✐♥t❡r❝❤❛♥❣❡❛❜❧② ❢r♦♠ ♥♦✇ ♦♥✳ ❚❤❡ ❛s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥R ✐s t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥P ❞❡✜♥❡❞ ❜②

xP y ⇐⇒ xRy ❛♥❞ ✐t ✐s ♥♦t tr✉❡ t❤❛tyRx.

■❢ ✇❡ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ ❜② t❤❡ s②♠❜♦❧%✱ ✇❡ ✉s✉❛❧❧② ✉s❡ t❤❡ s②♠❜♦❧ ≻t♦ r❡♣r❡s❡♥t ✐ts

❛s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt✳

❚❤❡ s②♠♠❡tr✐❝ ♣❛rt ♦❢ ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥% ✐s t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥∼ ❞❡✜♥❡❞ ❜②∼:=%\ ≻✳ ❚❤❡

♣r♦♦❢s ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧ts ❛r❡ ❡❛s② ❛♥❞ ❛r❡ ❧❡❢t ❛s ❡①❡r❝✐s❡s✿

❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✶✳ ❙❤♦✇ t❤❛t✱ ❢♦r ❡✈❡r② ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ %✱ ≻ ✐s ❛s②♠♠❡tr✐❝✱ ✐✳❡✳ x ≻y ✐♠♣❧✐❡s ✐t

✐s ♥♦t tr✉❡ t❤❛t y≻x✱ ❛♥❞ ∼ ✐s s②♠♠❡tr✐❝✳

❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✷✳ ❙❤♦✇ t❤❛t ✐❢ % ✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r✱ t❤❡♥ ≻ ✐s tr❛♥s✐t✐✈❡ ❛♥❞ ∼ ✐s ❛♥ ❡q✉✐✈❛❧❡♥❝❡

r❡❧❛t✐♦♥✳

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✶✳✶✳ ▲❡t(X,%) ❜❡ ❛ ♣r❡♦r❞❡r❡❞ s❡t✳ ▲❡t S⊆X✱ S 6=∅✳ ❉❡✜♥❡

▼❆❳(S,%) := {y∈S |x≻y ✐s ❢❛❧s❡ ❢♦r ❡✈❡r② x∈S}

❛♥❞

max (S,%) :={y∈S |y%x✱ ❢♦r ❡✈❡r② x∈S}✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳✶✳ ❋♦r ❛ ♣r❡♦r❞❡r❡❞ s❡t (X,%)✱ max (X,%)⊆▼❆❳(X,%)✱ ❛♥❞ t❤❡② ❛r❡ ❡q✉❛❧

✐❢ % ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡✳

Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳✷✳ ❋♦r ❛ ♣r❡♦r❞❡r❡❞ s❡t(X,%)✱ ▼❆❳(X,%)6=∅✐❢|X|<∞❛♥❞max (X,%)6= ∅ ✐❢ |X|<∞ ❛♥❞ % ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡✳

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✶✳✷✳ ▲❡t X ❜❡ ❛ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡ ❛♥❞ % ❛ ♣r❡♦r❞❡r✱ ✇❡ s❛② t❤❛t % ✐s ✉♣♣❡r s❡♠✐✲ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✭❯❙❈✮ ✐❢ U%(x) := {y∈X |y%x} ✐s ❝❧♦s❡❞ ❢♦r ❛♥② x ∈ X✳ ❲❡ s❛② t❤❛t % ✐s ❧♦✇❡r

s❡♠✐✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✭▲❙❈✮ ✐❢L%(x) := {y∈X |y-x}✐s ❝❧♦s❡❞ ❢♦r ❛♥②x∈X✳ ■❢%✐s ❜♦t❤ ❯❙❈ ❛♥❞

✶✳✷✳ ❚❍❊ ❆❳■❖▼ ❖❋ ❈❍❖■❈❊ ✷ ▲❙❈ ✇❡ s❛② t❤❛t ✐t ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ s❛② t❤❛t%✐s ✈❡r② ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐❢{(x, y)∈X2 _|x%y}

✐s ❝❧♦s❡❞✳

❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✶✳ ▲❡tX ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❛❝t ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡ ❛♥❞ %❜❡ ❛♥ ❯❙❈ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ X✳ ❚❤❡♥ max (X,%)6=∅✳

Pr♦♦❢✳ ❙✉♣♣♦s❡ ♥♦t✱ t❤❛t ✐s✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t max (X,%) = ∅✳ ❋♦r ❡❛❝❤ x ∈X ❞❡✜♥❡ L≻(x) =

{y∈X |y≺x}✳ ❙✐♥❝❡ % ✐s ❯❙❈ ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t L≻(x) ✐s ♦♣❡♥ ❢♦r ❛♥② x ∈ X✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✐t✬s ❝❧❡❛r t❤❛t

X⊆ [

x∈X

L≻(x).

❇✉t t❤❡♥ t❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ {L≻(x) : x ∈ X} ✐s ❛♥ ♦♣❡♥ ❝♦✈❡r ♦❢ X✳ ❙✐♥❝❡ X ✐s ❝♦♠♣❛❝t✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐stsx1, . . . , xk∈X s✉❝❤ t❤❛t

X ⊆

k

[

i=1

L≻(xi).

❇✉t t❤❡♥max ({x1, . . . , xk},%)⊆max(X,%)✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛tmax (X,%) =

∅✳

✶✳✷✳ ❚❤❡ ❆①✐♦♠ ♦❢ ❈❤♦✐❝❡

❆①✐♦♠ ✶✳✶ ✭❚❤❡ ❆①✐♦♠ ♦❢ ❈❤♦✐❝❡✮✳ ■❢ A ✐s ❛ ♥♦♥❡♠♣t② ❝❧❛ss ♦❢ ♥♦♥❡♠♣t② s❡ts✱ t❤❡♥ t❤❡r❡

❡①✐sts f :A → ∪ A s✉❝❤ t❤❛t f(A)∈A ❢♦r ❡✈❡r② A∈ A✳

❚❛❦✐♥❣ ❛s ❣✐✈❡♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❛①✐♦♠s ♦❢ ❝❤♦✐❝❡ t❤❡♦r②✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ st❛t❡♠❡♥t ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❆①✐♦♠ ♦❢ ❈❤♦✐❝❡✿

▲❡♠♠❛ ✶✳✶ ✭❩♦r♥✬s ▲❡♠♠❛✮✳ ■❢ (X,<) ✐s ❛ ♣♦s❡t✱ ❛♥❞ ✐❢ ❡✈❡r② ❧♦s❡t ✐♥ (X,<) ✭t❤❛t ✐s✱ ❢♦r

❡✈❡r② Y ⊆X s✉❝❤ t❤❛t(Y,<)✐s ❛ ❧♦s❡t✮ ❤❛s ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ✐♥ X ✭t❤❛t ✐s✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts x∈X s✉❝❤

t❤❛t x < y ❢♦r ❡✈❡r② y ∈ Y ✮✱ t❤❡♥ (X,<) ❤❛s ❛ ♠❛①✐♠❛❧ ❡❧❡♠❡♥t ✭t❤❛t ✐s✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts x∗ _{∈ X} s✉❝❤ t❤❛t ❢♦r ♥♦ z ∈X ✐t ✐s tr✉❡ t❤❛t z ≻x∗_✮✳

✶✳✷✳✶✳ ❈♦♠♣❧❡t❡ ❊①t❡♥s✐♦♥s ♦❢ Pr❡♦r❞❡rs ❛♥❞ P❛rt✐❛❧ ❖r❞❡rs✳

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✶✳✸✳ ▲❡t % ❜❡ ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥ ❛ ♥♦♥❡♠♣t② s❡tX✳ ▲❡t %0:=%✱ ❛♥❞✱ ❢♦r ❡❛❝❤

♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r m✱ ❞❡✜♥❡ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ %m ♦♥X ❜② x%m y ✐✛ t❤❡r❡ ❡①✐stz1, ..., zm ∈X s✉❝❤ t❤❛t

x %z1, z1 %z2, . . . , zm−1 % zm ❛♥❞ zm %y✳ ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ tran(%) :=%0 ∪ %1 ∪. . . ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡

tr❛♥s✐t✐✈❡ ❝❧♦s✉r❡ ♦❢ %✳

❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✸✳ ❙❤♦✇ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿

✭❛✮ ❚❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ tran(%) ✐s tr❛♥s✐t✐✈❡✳

✭❜✮ ■❢_%ˆ _{✐s ❛ tr❛♥s✐t✐✈❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ ♦♥X ❛♥❞ %⊆%}ˆ_{✱ t❤❡♥ tran(%)⊆%}ˆ_{✳ ✭❚❤❛t ✐s✱tran(%)}

✐s t❤❡ s♠❛❧❧❡st tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t%⊆tran(%)✮✳

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✶✳✹✳ ▲❡t(X,%)❜❡ ❛ ♣r❡♦r❞❡r❡❞ s❡t✳ ❆ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥%∗✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ % ✐❢ ≻⊆≻∗ _{❛♥❞ %⊆%}∗_✳

❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✷ ✭❙③♣✐❧r❛❥♥✬s ❚❤❡♦r❡♠✮✳ ❊✈❡r② ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❞ ✭ ✐✳❡✳ ❢♦r ❛♥② ♣♦s❡t

(X,<)✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥<∗ ♦❢ < s✉❝❤ t❤❛t (X,<∗) ✐s ❛ ❧♦s❡t✮✳

Pr♦♦❢✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ A := {Q⊆ X×X :Q ✐s ❛ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r t❤❛t ❡①t❡♥❞s <}✳ ❖❜✲

✈✐♦✉s❧②✱ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ⊇ ✐s ❛ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r ♦✈❡r A✳ ❙✉♣♣♦s❡✱ t❤❡♥✱ t❤❛t B ⊆ A ✐s s✉❝❤ t❤❛t (B,⊇)

✐s ❛ ❧♦s❡t✳ ❉❡✜♥❡ Qˆ := S

✶✳✸✳ ❊❳❊❘❈■❙❊❙ ✸ ❛ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r <∗ _{♦♥X t❤❛t ✐s ♠❛①✐♠❛❧ ✐♥ A ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ⊇✳ ❲❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t <}∗ _{♠✉st ❜❡} ❝♦♠♣❧❡t❡✳ ❚♦ s❡❡ t❤❛t✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t x, y ∈ X ❛r❡ ♥♦t ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ <∗✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ _<ˆ _{❜② <}ˆ _:=tran(<∗ _{∪{(x, y)}) ✳ ❲❡ ❝❛♥ ❝❤❡❝❦ t❤❛t <ˆ ✐s ❛ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r t❤❛t ❡①t❡♥❞s <✳} ❙✐♥❝❡ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t <∗_{⊆<ˆ✱ t❤✐s ❝♦♥tr❛❞✐❝ts t❤❡ ♠❛①✐♠❛❧✐t② ♦❢<}∗_{✳ ❲❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t<}∗ _{♠✉st ❜❡}

❝♦♠♣❧❡t❡✳

❈♦r♦❧❧❛r② ✶✳✶✳ ❊✈❡r② ♣r❡♦r❞❡r ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♠♣❧❡t❡❞ ✭ ✐✳❡✳ ❢♦r ❛♥② ♣r❡♦r❞❡r❡❞ s❡t (X,%)✱ t❤❡r❡

❡①✐sts ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ %∗ ♦❢ % s✉❝❤ t❤❛t (X,%∗) ✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r❡❞ s❡t ❛♥❞ %∗ ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡✮✳

Pr♦♦❢✳ ▲❡t%❜❡ ❛ ♣r❡♦r❞❡r❡❞ ♦♥ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② s❡tX✳ ❉❡✜♥❡[x]∼:={y∈X :x∼y}✱ ❢♦r ❡❛❝❤

x ∈ X✳ ▲❡t X/_∼ :={[x]∼ : x ∈ X}✳ ❉❡✜♥❛ <⊆ X/_∼× X/_∼ ❜② [x]∼ < [y]∼ ✐✛ x % y✳ ❇❡❝❛✉s❡ % ✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r✱ ✐t ✐s ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t < ✐s ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❤❡❝❦ t❤❛t (X/_∼,<)

✐s ❛ ♣♦s❡t✳ ❇② ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✷✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❧✐♥❡❛r ♦r❞❡r <∗ _{♦♥ X/}

∼ t❤❛t ❡①t❡♥❞s <✳ ◆♦✇ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ %∗_{⊆X ×X ❜② x% y ✐✛ [x]}

∼ <∗ [y]∼✳ ■t ✐s ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t%∗ ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡

♣r❡♦r❞❡r t❤❛t ❡①t❡♥❞s %✳

✶✳✷✳✷✳ ❊①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ▼❛①✐♠❛❧ ❊❧❡♠❡♥ts✳

❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✸✳ ▲❡t X ❜❡ ❛ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✳ ■❢ % ✐s ❛♥ ✉♣♣❡r s❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♣r❡♦r❞❡r ♦♥X✱ t❤❡♥

▼❆❳(S,%)6=∅ ❢♦r ❡✈❡r② ❝♦♠♣❛❝t S ⊆X✳

Pr♦♦❢✳ ❲✐t❤♦✉t ❧♦ss ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐t②✱ s❛② t❤❛t X ✐s ❝♦♠♣❛❝t✳ ❖❜✈✐♦✉s❧②✱ ({U%(x) : x∈ X},⊆)

✐s ❛ ♣♦s❡t✳ ▲❡t A ⊆ {U%(x) : x ∈ X} ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t (A,⊆) ✐s ❛ ❧♦s❡t✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤✐s ❝❛♥ ❤❛♣♣❡♥

♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts Y ⊆ X s✉❝❤ t❤❛t % ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ♦♥ Y ❛♥❞ A = {U%(x) : x ∈ Y}✳ ❇✉t t❤❡♥✱

❢♦r ❛♥② ✜♥✐t❡ s✉❜s❡t Z ♦❢ Y✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts z ∈ Z s✉❝❤ t❤❛t z % y ❢♦r ❡✈❡r② y ∈ Z✳ ■♥ t✉r♥✱ t❤✐s

✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ❢♦r ❛♥② ✜♥✐t❡ s✉❜s❡t B ♦❢ A ✇❡ ❤❛✈❡ T

B 6=∅✳ ❚❤❛t ✐s✱ t❤❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ A s❛t✐s✜❡s t❤❡

✜♥✐t❡ ✐♥t❡rs❡❝t✐♦♥ ♣r♦♣❡rt②✳ ❙✐♥❝❡ X ✐s ❝♦♠♣❛❝t✱ ❛♥❞ ❡❛❝❤ A ∈ A ✐s ❝❧♦s❡❞✱ t❤✐s ❝❛♥ ❤❛♣♣❡♥ ♦♥❧②

✐❢ T

A 6= ∅✳ P✐❝❦ ❛♥② x ∈ T

A✳ ❲❡ ♠✉st ❤❛✈❡ t❤❛t U%(x) ⊆ U%(y) ❢♦r ❡✈❡r② y ∈ Y✳ ❚❤❛t ✐s✱

U%(x) ✐s ❛♥ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r A ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ⊆✳ ❇② ❩♦r♥✬s ▲❡♠♠❛✱ t❤❡r❡ ♠✉st ❡①✐st x∗ ∈ X

s✉❝❤ t❤❛t U%(x∗) ✐s ♠❛①✐♠❛❧ ✐♥ {U%(x) : x ∈ X} ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ ⊆✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❤❛♣♣❡♥ ♦♥❧② ✐❢

x∗ _{∈▼❆❳(X,%)✳}

✶✳✸✳ ❊①❡r❝✐s❡s

❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✹✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t (X,%) ✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r❡❞ s❡t ✭% ✐s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❝♦♠♣❧❡t❡✮ ❛♥❞

|X|<∞✳ ❙❤♦✇ t❤❛t ▼❆❳(X,%)6=∅✳ ❍✐♥t✿ ❲❤❛t ❛❜♦✉t ❛♥ ✐♥❞✉❝t✐♦♥ ❛r❣✉♠❡♥t❄

❊①❡r❝✐s❡ ✶✳✺ ✭❇❛s❡❞ ♦♥ ❖❦ ❛♥❞ ❘✐❡❧❧❛ ✭✷✵✶✹✮✮✳ ❙✉♣♣♦s❡%⊆Rn_×Rn_{✐s ❛ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t} ♣r❡♦r❞❡r✳ ❚❤❛t ✐s✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t%✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r s✉❝❤ t❤❛tx%y✐♠♣❧✐❡s t❤❛tx+z %y+z ❢♦r ❡✈❡r② x, y, z ∈Rn_{✳ ❚❤❡ st❡♣s ❜❡❧♦✇ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♣r❡♦r❞❡r %}ˆ t❤❛t ❡①t❡♥❞s %✳

✭❛✮ ❆❞❛♣t t❤❡ st❡♣s ✐♥ t❤❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❙③♣✐❧r❛❥♥✬s ❚❤❡♦r❡♠ t♦ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♠❛①✐♠❛❧ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♣r❡♦r❞❡r_%ˆ _{t❤❛t ❡①t❡♥❞s %✳}

✭❜✮ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t x∈Rn _{s✉❝❤ t❤❛tx ✐s ♥♦t%}ˆ_{✲❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ t♦ 0✳ ❚❤❛t} ✐s✱ ♥❡✐t❤❡r x%ˆ0 ♥♦r 0 ˆ%x ❛r❡ tr✉❡✳ ❲❡ ✇✐❧❧ s❤♦✇ t❤❛t t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t kx≻ˆ0 ❢♦r s♦♠❡ k∈N✳ ❋♦r t❤❛t✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t ❢♦r ♥♦ k∈N ✇❡ ❤❛✈❡kx≻ˆ0✳ ❉❡✜♥❡0↑,%ˆ _:={y∈Rn_:y%ˆ_0}

❛♥❞ [[x]] := {kx : k ∈ Z+}✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❞❡✜♥❡ %∗ ❜② y %∗ z ⇐⇒ y−z ∈ (0↑, ˆ

% _−[[x]])✳✶

❙❤♦✇ t❤❛t %∗ _{✐s ❛ tr❛♥s❧❛t✐♦♥ ✐♥✈❛r✐❛♥t ♣r❡♦r❞❡r t❤❛t ❡①t❡♥❞s %}ˆ_{✱ ✇❤✐❝❤ ❝♦♥tr❛❞✐❝ts ✐ts} ♠❛①✐♠❛❧✐t②✳ ❈♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛tkx≻ˆ0 ❢♦r s♦♠❡k ∈N✳

✶_{◆♦t❛t✐♦♥✿ ❋♦r ❛♥② t✇♦ s❡ts A ❛♥❞ B✱ ✇❡ ✇r✐t❡ A−B t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ s❡t C ❣✐✈❡♥ ❜② C := {x−y : x ∈}

✶✳✸✳ ❊❳❊❘❈■❙❊❙ ✹ ✭❝✮ ❯s❡ ❛♥ ❛r❣✉♠❡♥t ✈❡r② s✐♠✐❧❛r t♦ t❤❡ ♦♥❡ ✐♥ ♣❛rt ✭❜✮ t♦ s❤♦✇ t❤❛t 0 ˆ≻kx ❢♦r s♦♠❡ k∈N✳

❈❍❆P❚❊❘ ✷

❘❡✈❡❛❧❡❞ Pr❡❢❡r❡♥❝❡ ❚❤❡♦r②

▲❡tX ❜❡ ❛ s❡t✳ ▲❡t ΩX ⊆2X \ {∅}✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ΩX ✐s ❛ ❝❤♦✐❝❡ ✜❡❧❞ ✐❢ ✭✶✮ {x} ∈ΩX✱ ❢♦r ❡✈❡r② x∈X❀

✭✷✮ A∪B ∈ΩX ❢♦r ❡✈❡r② A, B ∈ΩX✳ ❲❡ ❝❛❧❧(X,ΩX) ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡✳

❊①❛♠♣❧❡ ✷✳✶ ✭❋✐♥✐t❡ ❈❤♦✐❝❡ ❋✐❡❧❞s✮✳ ΩX :={S ⊆X :|S|<∞} ✳

❊①❛♠♣❧❡ ✷✳✷ ✭❈♦♠♣❛❝t ❈❤♦✐❝❡ ❋✐❡❧❞s✮✳ ΩX :={S ⊆X:S 6=∅ ❛♥❞ S ✐s ❝♦♠♣❛❝t}✳

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✷✳✶✳ ❆ ♠❛♣♣✐♥❣c: ΩX →2X \ {∅}s✉❝❤ t❤❛t c(S)⊂S ❢♦r ❡✈❡r② S∈ΩX ✐s ❝❛❧❧❡❞ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✳

❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧                                                   

(I) (X ✐s ✜♥✐t❡)✳ c(S) = max(S,%)✱ ✇❤❡r❡ % ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r ♦♥X,

♦r

(X,ΩX)✐s ❛ ❝♦♠♣❛❝t ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡✳

c(S) = max(S,%)✱ ✇❤❡r❡ % ✐s ❛♥ ✉♣♣❡r s❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r✳

(II) (X ✐s ✜♥✐t❡)✳ c(S) = ▼❆❳(S,%)✱ ✇❤❡r❡ % ✐s ❛ ✱ ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❝♦♠♣❧❡t❡✱ ♣r❡♦r❞❡r✳

♦r

(X,ΩX)✐s ❛ ❝♦♠♣❛❝t ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡✳

c(S) = ▼❆❳(S,%)✱ ✇❤❡r❡ % ✐s ❛♥ ✉♣♣❡r s❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❝♦♠♣❧❡t❡✱ ♣r❡♦r❞❡r✳

❊①❛♠♣❧❡ ✷✳✸ ✭▼rs✳ ❲❛ts♦♥ Pr♦❜❧❡♠✮✳ ▼rs✳ ❲❛ts♦♥ ❤❛s t✇♦ s♦♥s ✇✐t❤ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s

A: x≻y≻z T : y≻z ≻x .

■t ✇♦✉❧❞ ❜❡ r❡❛s♦♥❛❜❧❡ ❢♦r ❤❡r t♦ ❤❛✈❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ s✉❝❤ t❤❛t

c({x, y, z}) ={x, y} ❛♥❞ c({x, z}) = {x, z}.

❚❤✐s ♠♦❞❡❧ ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ✭■■✮✱ ❜✉t ♥♦t ❜② t❤❡ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ✭■✮✳

✷✳✶✳ ❘❆❚■❖◆❆▲ ❈❍❖■❈❊ ▼❖❉❊▲ ✭■✮ ✻ ❊①❛♠♣❧❡ ✷✳✹ ✭❚❤❡ ❆ttr❛❝t✐♦♥ ❊✛❡❝t✮✳ ❆♥♦t❤❡r ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② ✇❤❛t ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❛ttr❛❝t✐♦♥ ❡✛❡❝t✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ ❝❤♦✐❝❡s ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❜②

c({x, y}) ={x}

c({x, z}) ={x}

c({y, z}) ={y}

c({x, y, z}) ={y}

.

❚❤❡ ✐❞❡❛ ✐s t❤❛t t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢z ✐♥ t❤❡ ❧❛st ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠ ❤❡❧♣s t❤❡ ❛❣❡♥t t♦ ❥✉❞❣❡y❜❡tt❡r t❤❛♥ x✳ ❈♦♥tr❛r② t♦ ▼rs✳ ❲❛ts♦♥✬s ♣r♦❜❧❡♠✱ ♥♦r ❡✈❡♥ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ✭■■✮ ❝❛♥ ❡①♣❧❛✐♥ t❤❡s❡

❝❤♦✐❝❡s ✭❙❡❡ ❖❦ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✺✮✮✳

✷✳✶✳ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ✭■✮

▲❡t (X,ΩX) ❜❡ ❛♥② ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ c ♦♥(X,ΩX)✳ ❲❡ ✇✐❧❧ st✉❞② t❤❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣♦st✉❧❛t❡ ✇❤❡♥ ✐♠♣♦s❡❞ ♦♥ X✳

❆①✐♦♠ ✷✳✶ ✭❲❡❛❦ ❆①✐♦♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ Pr❡❢❡r❡♥❝❡ ✭❲❆❘P✮✮✳ ❆ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ s❛t✐s✜❡s t❤❡ ❲❡❛❦ ❆①✐♦♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ Pr❡❢❡r❡♥❝❡ ✭❲❆❘P✮ ✐❢✱ ❢♦r ❡✈❡r② S, T ∈ΩX ❛♥❞ x, y ∈X✱ {x, y} ⊆

S∩T✱ x∈c(S) ❛♥❞ y ∈c(T) ✐♠♣❧✐❡s x∈c(T)✳

❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✿

❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶ ✭❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ Pr❡❢❡r❡♥❝❡✮✳ ▲❡t c ❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥✲

❞❡♥❝❡ ♦♥ ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ (X,ΩX)✳ ❚❤❡♥✱ c s❛t✐s✜❡s ❲❆❘P ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r %⊆X×X s✉❝❤ t❤❛t c(S) = max(S,%) ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ΩX✳

Pr♦♦❢✳ ■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ✐❢ c(S) = max(S,%) ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ ΩX✱ ❢♦r ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r %✱ t❤❡♥ c s❛t✐s✜❡s ❲❆❘P✳ ❙✉♣♣♦s❡ ♥♦✇ t❤❛t c s❛t✐s✜❡s ❲❆❘P✳ ❉❡✜♥❡ %⊆ X ×X ❜② x % y ⇐⇒

x ∈ c({x, y})✱ ❢♦r ❡✈❡r② x, y ∈ X✳ ❙✐♥❝❡✱ ❜② ❞❡✜♥✐t✐♦♥✱ c(S) 6= ∅ ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ ΩX✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t % ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛♥❞ r❡✢❡①✐✈❡✳ ▲❡t✬s ♥♦✇ s❤♦✇ t❤❛t % ✐s tr❛♥s✐t✐✈❡✳ ❋♦r t❤❛t✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t

x, y, z ∈ X ❛r❡ s✉❝❤ t❤❛t x % y ❛♥❞ y % z✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t x ∈ c({x, y}) ❛♥❞ y ∈ c({y, z})✳

❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t ✐❢ y ∈c({x, y, z})✱ t❤❡♥ ❲❆❘P ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t x∈ c({x, y, z})✳ ■❢✱ ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱

✇❡ st❛rt ✇✐t❤ t❤❡ ❛ss✉♠♣t✐♦♥ t❤❛t z ∈ c({x, y, z})✱ t❤❡♥ ❲❆❘P ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t y ∈c({x, y, z}) ❛♥❞

♦✉r ♣r❡✈✐♦✉s ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ♥♦✇ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t x ∈ c({x, y, z})✳ ❲❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t ✐t ✐s ❛❧✇❛②s t❤❡

❝❛s❡ t❤❛t x ∈ c({x, y, z})✳ ◆♦✇ ♦♥❡ ❧❛st ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❲❆❘P ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t x ∈ c({x, z})✱ ✇❤✐❝❤

✐s t❤❡ s❛♠❡ ❛s x % z✳ ❲❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t % ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r✳ ◆♦✇ ♣✐❝❦ ❛♥② S ∈ ΩX ❛♥❞

(x, y) ∈c(S)×S✳ ❇② ❲❆❘P✱ ✇❡ ♠✉st ❤❛✈❡ x ∈c({x, y}) ❛♥❞✱ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ x% y✳ ❚❤✐s s❤♦✇s

t❤❛t c(S)⊆max(S,%)✳ ◆♦✇ ♣✐❝❦ (x, y)∈max(S,%)×c(S)✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t x∈c({x, y}) ❛♥❞

♥♦✇ ♦♥❡ ♠♦r❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ ♦❢ ❲❆❘P ❣✐✈❡s ✉s t❤❛t x∈ c(S)✳ ❲❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t max(S,%)⊆ c(S)

❛♥❞✱ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱c(S) = max(S,%)✳

▲❡tS ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❛❝t s✉❜s❡t ♦❢ ❛ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡X ❛♥❞ ✜①x∈X✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ x ❛♥❞ S ❜② d(x, S) := min{d(x, y) : y∈S}✳ ◆♦✇ ❧❡t S ❛♥❞ T ❜❡ t✇♦ ❝♦♠♣❛❝t s✉❜s❡ts ♦❢ X✳ ❚❤❡

❍❛✉s❞♦r✛ ❞✐st❛♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ S ❛♥❞ T ✐s ❞❡✜♥❡❞ ❜② dH(S, T) := max{max

x∈S d(x, T),maxx∈T d(x, S)}.

■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t t❤❡ ❍❛✉s❞♦r✛ ❞✐st❛♥❝❡ ♠❛❦❡s t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ❝♦♠♣❛❝t s✉❜s❡ts ♦❢ ❛ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡

X ❛❧s♦ ❛ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✳ ◆♦✇ ❧❡t (X,ΩX) ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❛❝t ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡✳ ❲❡ ❝❛♥ st❛t❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣♦st✉❧❛t❡✿

❆①✐♦♠ ✷✳✷✳ ❆ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ c ♦♥ (X,ΩX) ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐❢

✷✳✷✳ ❘❆❚■❖◆❆▲ ❈❍❖■❈❊ ▼❖❉❊▲ ✭■■✮ ✼

✇❤❡r❡ H

→ ♠❡❛♥s ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ✐♥ t❤❡ ❍❛✉s❞♦r✛ ♠❡tr✐❝✳

❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ st❛t❡ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ Pr❡❢❡r❡♥❝❡✳ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✷✳ ▲❡t (X,ΩX) ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❛❝t ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡

c ♦♥ ✐t✳ ❚❤❡♥✱ c ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ s❛t✐s✜❡s ❲❆❘P ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞

❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r %⊆X×X s✉❝❤ t❤❛t c(S) = max(S,%) ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ΩX✳

Pr♦♦❢✳ ❙✉♣♣♦s❡ ✜rst t❤❛tc✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ s❛t✐s✜❡s ❲❆❘P✳ ❇② t❤❡ ❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❚❤❡♦r❡♠

♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ Pr❡❢❡r❡♥❝❡✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r %⊆X ×X s✉❝❤ t❤❛t✱ ❢♦r

❡✈❡r② S ∈ ΩX✱ c(S) = max(S,%)✳ ■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t✱ ❢♦r ❡✈❡r② x, y ∈ X✱ x % y ✐✛ x ∈ c({x, y})✳ ◆♦✇ ❝♦♥s✐❞❡r t✇♦ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t s❡q✉❡♥❝❡s (xm_{) ❛♥❞ (y}m_{) s✉❝❤ t❤❛t x}m _{% y}m _{❢♦r ❡✈❡r② m✳ ❚❤❛t ✐s✱}

xm _{∈ c({x}m_{, y}m_{}) ❢♦r ❡✈❡r② m✳ ■t ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❡❝❦❡❞ t❤❛t {x}m_{, y}m_{} → {}H _limxm_,limym_{}✳ ❙✐♥❝❡ c ✐s} ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱ ✇❡ ♠✉st ❤❛✈❡ limxm _∈c({limxm_,limym_{}) ❛♥❞✱ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ limx}m _{% limy}m_{✳ ❚❤✐s} s❤♦✇s t❤❛t% ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳

❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t % ✐s ❛ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r ♦♥ X s✉❝❤ t❤❛t c(S) = max({S,%}) ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ ΩX✳ ❲❡ ❛❧r❡❛❞② ❦♥♦✇ t❤❛t t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t c s❛t✐s✜❡s ❲❆❘P✳ ◆♦✇ ❧❡t (Sm_{) ∈Ω}∞

X ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t Sm H→ S ∈ΩX ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t (xm) ✐s ❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥t s❡q✉❡♥❝❡ s✉❝❤ t❤❛t xm _{∈ c(S}m_{) ❢♦r ❡✈❡r② m✳ ❲❡ ✜rst s❤♦✇ t❤❛t limx}m _{=: x∈ S✳ ❚♦ s❡❡ t❤❛t✱ ♥♦t✐❝❡ ✜rst t❤❛t}

Sm H_{→S✐♠♣❧✐❡s t❤❛td}

H(Sm, S)→0✳ ❇✉t✱ ❢♦r ❡❛❝❤m✱d(xm, S)≤dH(Sm, S)✱ s♦ t❤❛t ✇❡ ❛❧s♦ ❤❛✈❡

d(xm_{, S)→0✳ ❚❤✐s ♥♦✇ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t d(x, S) = 0✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❤❛♣♣❡♥ ♦♥❧② ✐❢ x∈S✳ ◆♦✇ ✜① y∈S✳} ❋♦r ❡❛❝❤ m✱ ❧❡t ym _{∈ S}m _{❜❡ s✉❝❤ t❤❛t d(y, y}m_{) = d(y, S}m_{) ≤ d}

H(Sm, S)✳ ❙✐♥❝❡ dH(Sm, S) → 0✱ ✇❡ ♠✉st ❤❛✈❡ ym _{→y✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t✱ ❢♦r ❡❛❝❤ m✱ ✇❡ ❤❛✈❡ x}m _%ym_{✳ ❙✐♥❝❡ %✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✱} t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛tx%y✳ ❙✐♥❝❡ y✇❛s ❛r❜✐tr❛r✐❧② ❝❤♦s❡♥✱ t❤✐s s❤♦✇s t❤❛t x∈max(S,%) =c(S)✳ ❲❡

❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t c ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s✳

✷✳✷✳ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ✭■■✮

▲❡t (X,ΩX) ❜❡ ❛♥② ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛♥❞ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t % ✐s ❛ ✭♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❝♦♠♣❧❡t❡✮ ♣r❡♦r❞❡r ♦♥ X✳ ◆♦✇ s✉♣♣♦s❡ t❤❛t x ❛♥❞ y ✐♥ X ❛r❡ ♥♦t ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ % ❛♥❞✱ ❢♦r ❡✈❡r②

z ∈ X\ {x, y}✱ z ✐s ♥♦t %✲❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ t♦ x ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ z ✐s ♥♦t %✲❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ t♦ y✳ ❉❡✜♥❡ ❛

♥❡✇ r❡❧❛t✐♦♥ _%ˆ _{❜② %}ˆ _{:=% ∪{(x, y),(y, x)}✳ ❚❤❛t ✐s✱ %}ˆ _{❛❧♠♦st ❛❧✇❛②s ❛❣r❡❡ ✇✐t❤ % ❡①❝❡♣t ✇✐t❤}

r❡s♣❡❝t t♦ x ❛♥❞ y t❤❛t %ˆ s❛②s t❤❡② ❛r❡ ✐♥❞✐✛❡r❡♥t ✐♥st❡❛❞ ♦❢ ✐♥❝♦♠♣❛r❛❜❧❡✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t %ˆ ✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r t❤❛t ✐s ❜❡❤❛✈✐♦r❛❧❧② ✐♥❞✐st✐♥❣✉✐s❤❛❜❧❡ ❢r♦♠ %✳ ❋♦r♠❛❧❧②✱ ✇❡ ❝❛♥ ❝❤❡❝❦ t❤❛t %ˆ ✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r ♦♥ X s✉❝❤ t❤❛t ▼❆❳(S,%ˆ) = ▼❆❳(S,%) ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ ΩX✳ ■♥ ❛ s❡♥s❡✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ % s❛②s t❤❛t x ❛♥❞ y ❛r❡ ♥♦t ❝♦♠♣❛r❛❜❧❡✱ t❤✐s ✐♥❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t② ❝❛♥ ♥❡✈❡r ❜❡ ♦❜s❡r✈❡❞ ❢♦r ❛ ❞❡❝✐s✐♦♥

♠❛❦❡r t❤❛t ❢♦❧❧♦✇s ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ■■ ❛❜♦✈❡✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ♠❡❛♥✐♥❣❢✉❧❧② ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ✐♥❞❡❝✐s✐✈❡♥❡ss ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✿

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✷✳✷✳ ❆ ♣r❡♦r❞❡r %♦♥ ❛ s❡t X ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ r❡❣✉❧❛r ✐❢✱ ❢♦r ❡✈❡r② ♣❛✐rx ❛♥❞ y ✐♥X

s✉❝❤ t❤❛t x ❛♥❞ y ❛r❡ ♥♦t %✲❝♦♠♣❛r❛❜❧❡✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts z ∈ X s✉❝❤ t❤❛tz ✐s str✐❝t❧② %✲❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ t♦x✱ ❜✉t ♥♦t %✲❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ t♦y ♦rz ✐s str✐❝t❧② %✲❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ t♦ y✱ ❜✉t ♥♦t %✲❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ t♦ x✳

■♥t✉✐t✐✈❡❧②✱ ❢♦r ❛ r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r ❡✈❡r② ✐♥❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t② ❤❛s t♦ ❜❡ ♦❜s❡r✈❛❜❧❡✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ■■ ❛❜♦✈❡ ❛s❦✐♥❣ ❢♦r ❛ r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r ✐♠♣♦s❡s ♥♦ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ r❡str✐❝t✐♦♥✳ ❋♦r♠❛❧❧②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧❡♠♠❛✿

▲❡♠♠❛ ✷✳✶ ✭❘✐❜❡✐r♦ ❛♥❞ ❘✐❡❧❧❛ ✭✷✵✶✻✮✮✳ ▲❡tX ❜❡ ❛♥② s❡t✳ ❚❤❡♥✱ ❢♦r ❡✈❡r② ♣r❡♦r❞❡r%⊆X×X✱

t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r _%ˆ _{⊆X×X s✉❝❤ t❤❛t %⊆%}ˆ _{❛♥❞ ≻= ˆ≻✳}

Pr♦♦❢✳ ❋✐① ❛♥② ♣r❡♦r❞❡r%⊆X×X✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ %ˆ ⊆X×X ❜②x%ˆy✐✛ x%y

✷✳✸✳ ❊❳❊❘❈■❙❊❙ ✽

≻= ˆ≻✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❝❤❡❝❦ t❤❛t %ˆ ✐s ❛ r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❛t %ˆ ✐s ✉♥✐q✉❡✳ ❋♦r t❤❛t✱ ❧❡t _%¯ _{❜❡ ❛♥② ♦t❤❡r r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r ✇✐t❤ %⊆%}¯ _{❛♥❞ ≻= ¯≻✳ ❚❤❡ ❢❛❝t t❤❛t %}¯

✐s r❡❣✉❧❛r ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧② ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ∽ˆ ⊆ ∽¯✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ♥♦t❡ t❤❛t ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐st❡❞ x, y ∈ X s✉❝❤

t❤❛t x∽¯y✱ ❜✉t ✐t ✇❛s ♥♦t t❤❡ ❝❛s❡ t❤❛t x∽ˆy✱ t❤❡♥ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ %ˆ ✇♦✉❧❞ ✐♠♣❧② t❤❛t %¯ ✐s ♥♦t

tr❛♥s✐t✐✈❡✱ ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳

❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t✱ s✐♥❝❡ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s%❛♥❞%ˆ ✐♥ ▲❡♠♠❛ ✷✳✶ s❛t✐s❢② t❤❛t≻= ˆ≻✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ▼❆❳(S,%

) =▼❆❳(S,%ˆ) ❢♦r ❡✈❡r② S ∈2X_{✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❜❡✐♥❣ r❡♣r❡s❡♥t❛❜❧❡✱ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡} ▼♦❞❡❧ ■■✱ ❜② ❛ r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r ✐s ✐♥ ♥♦ ✇❛② ♠♦r❡ r❡str✐❝t✐✈❡ t❤❛♥ ❜❡✐♥❣ r❡♣r❡s❡♥t❛❜❧❡ ❜② ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♣r❡♦r❞❡r✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ♥♦✇ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡ t❤❡ ❜❡❤❛✈✐♦r❛❧ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥s ❢♦r ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ t♦ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❛❜❧❡ ❜② ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ■■✳

▲❡t (X,ΩX) ❜❡ ❛♥② ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ c ♦♥(X,ΩX)✳ ❲❡ ✇✐❧❧ st✉❞② t❤❡ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡s ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣♦st✉❧❛t❡s ✇❤❡♥ ✐♠♣♦s❡❞ ♦♥ X✳

❆①✐♦♠ ✷✳✸ ✭❲❡❛❦ ❲❆❘◆■ ✭❲❲❆❘◆■✮✮✳ ❋♦r ❛♥② S ∈ΩX ❛♥❞ x∈S✱ ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r② y∈S t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ T ∈ΩX ✇✐t❤ y∈T ❛♥❞ x∈c(T)✱ t❤❡♥ x∈c(S)✳

❆①✐♦♠ ✷✳✹ ✭❙tr✐❝t ❈❤♦✐❝❡ ❚r❛♥s✐t✐✈✐t② ✭❙❈❚✮✮✳ ❋♦r ❡✈❡r② x, y, z ∈ X✱ {x} = c({x, y}) ❛♥❞ {y}=c({y, z}) ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t {x}=c({x, z})✳

❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✿

❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✸ ✭❘✐❜❡✐r♦ ❛♥❞ ❘✐❡❧❧❛ ✭✷✵✶✻✮✮✳ ▲❡t (X,ΩX) ❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡✳ ❆ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥✲ ❞❡♥❝❡ c ♦♥ ΩX s❛t✐s✜❡s ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚ ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r %⊆X×X s✉❝❤ t❤❛t c(S) =▼❆❳(S,%) ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ΩX✳

Pr♦♦❢✳ ■t ✐s ❡❛s✐❧② ❝❤❡❝❦❡❞ t❤❛t ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣r❡♦r❞❡r%♦♥Xs✉❝❤ t❤❛tc(S) =▼❆❳(S,%)✱

❢♦r ❡✈❡r②S ∈ΩX✱ t❤❡♥cs❛t✐s✜❡s ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ s✉♣♣♦s❡c: ΩX ⇒X ✐s ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ t❤❛t s❛t✐s✜❡s ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚✳ ❉❡✜♥❡

x<y⇔c({x, y}) ={x}.

■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t < ✐s r❡✢❡①✐✈❡ ❛♥❞✱ ❜② ❙❈❚✱ tr❛♥s✐t✐✈❡✳ ❚❤✉s< ✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r ✭❛❝t✉❛❧❧②✱ <✐s ❡✈❡♥ ❛ ♣❛rt✐❛❧ ♦r❞❡r✮✳ ◆♦✇ ✜①S ∈ΩX ❛♥❞ x∈c(S)✳ ❇② ❲❲❆❘◆■✱x∈c({x, y})❢♦r ❡✈❡r②y∈S✱ s♦ t❤❛t

x ∈ ▼❆❳(S,<)✳ ◆♦✇ ♣✐❝❦ ❛♥② x ∈ ▼❆❳(S,<)✳ ❇② t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ <✱ ✇❡ ❤❛✈❡ x ∈ c({x, y})✱

❢♦r ❡✈❡r② y ∈ S✳ ❍❡♥❝❡✱ ❜② ❲❲❆❘◆■✱ x ∈ c(S)✳ ❲❡ ❤❛✈❡ t❤✉s s❤♦✇♥ t❤❛t c(S) = ▼❆❳(S,<)✳

❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t✱ ❢♦r ❛♥② ♣r❡♦r❞❡r _%ˆ_{✱ s✉❝❤ t❤❛t c(S) = ▼❆❳(S,%}ˆ_{) ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ ΩX✱ ✇❡ ♠✉st ❤❛✈❡} x≻ˆy ⇔ c({x, y}) = {x} ⇔ x ≻ y✳ ◆♦✇ ▲❡♠♠❛ ✷✳✶ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ r❡❣✉❧❛r

♣r❡♦r❞❡r % s✉❝❤ t❤❛t c(S) =▼❆❳(S,%)✱ ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ΩX✳ ❘❡♠❛r❦ ✷✳✶✳ ❲❆❘◆■ st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ ❲❡❛❦ ❆①✐♦♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ ◆♦♥ ■♥❢❡r✐♦r✐t②✱ ✇❤✐❝❤ ✇❛s ❛ ♣r♦♣❡rt② ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❜② ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ■■✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t t❤✐s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ✐s ♥♦t t✐❣❤t✱ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ ❡✈❡r② ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ t❤❛t s❛t✐s✜❡s ❲❆❘◆■ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ■■✱ ❢♦r ❛❜✐tr❛r② ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡s ✐t ✐s ♥♦t tr✉❡ t❤❛t ❡✈❡r② ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❛s ✐♥ ❘❛t✐♦♥❛❧ ❈❤♦✐❝❡ ▼♦❞❡❧ ■■ s❛t✐s✜❡s ❲❆❘◆■✳

✷✳✸✳ ❊①❡r❝✐s❡s

✷✳✸✳ ❊❳❊❘❈■❙❊❙ ✾ Pr♦♣❡rt② β✳ ❋♦r ❛♥② x, y ∈ X✱ ✐❢ A, B ∈ ΩX ❛r❡ s✉❝❤ t❤❛t A ⊆ B✱ x, y ∈ c(A) ❛♥❞ y ∈ c(B)✱ t❤❡♥ x∈c(B).

❙❤♦✇ t❤❛t α ❛♥❞ β ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❲❆❘P✳ ❚❤❛t ✐s✱ s❤♦✇ t❤❛t c s❛t✐s✜❡s α ❛♥❞ β ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ cs❛t✐s✜❡s ❲❆❘P✳

❊①❡r❝✐s❡ ✷✳✷ ✭❇❛s❡❞ ♦♥ ▼❛♥❞❧❡r ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✷✮✮✳ ▲❡t X ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s✳ ❆

❝❤❡❝❦❧✐st ✐s ❛ ✜♥✐t❡ ❧✐st ♦❢ ♣r♦♣❡rt✐❡s t❤❛t ❡❛❝❤ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ♠✐❣❤t ♣♦ss❡s ♦r ♥♦t✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢

X ✐s ❛ s❡t ♦❢ ❝❛rs✱ t❤❡ ✜rst ✐t❡♠ ✐♥ t❤❡ ❧✐st ❝♦✉❧❞ ❜❡ ✐❢ t❤❡ ❝❛r ❤❛s ✹ ❞♦♦rs ♦r ♥♦t✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞

❝♦✉❧❞ ❜❡ ✐❢ t❤❡ ♣r✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝❛r ✐s ❜❡❧❧♦✇ ✺✵✳✵✵✵ r❡❛✐s ♦r ♥♦t✱ ❡t❝✳✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡✿ ●✐✈❡♥ ❛ s❡t ♦❢ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s A✱ t❤❡ ❛❣❡♥t ✜rst s❡❡s ✐❢ s♦♠❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐♥ A s❛t✐s✜❡s t❤❡

✜rst ♣r♦♣❡rt② ✐♥ t❤❡ ❝❤❡❝❦❧✐st✳ ■❢ t❤✐s ✐s tr✉❡✱ t❤❡♥ t❤❡ ❛❣❡♥t ❡❧✐♠✐♥❛t❡s ❛❧❧ t❤❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s ✐♥At❤❛t

❞♦ ♥♦t s❛t✐s❢② t❤❡ ✜rst ♣r♦♣❡rt② ❛♥❞ ♠♦✈❡s ♦♥ t♦ t❤❡ ♥❡①t ✐t❡♠ ✐♥ t❤❡ ❝❤❡❝❦❧✐st✳ ■❢ ♥♦ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐♥A s❛t✐s✜❡s t❤❡ ✜rst ♣r♦♣❡rt②✱ t❤❡♥ t❤❡ ❛❣❡♥t ♠♦✈❡s ♦♥ t♦ t❤❡ ♥❡①t ✐t❡♠ ✐♥ t❤❡ ❝❤❡❝❦❧✐st ✇✐t❤♦✉t

❡❧✐♠✐♥❛t✐♥❣ ❛♥② ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡✳ ❘❡♣❡❛t t❤✐s ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✉♥t✐❧ t❤❡ ❡♥❞ ♦❢ t❤❡ ❝❤❡❝❦ ❧✐st✳ ❚❤❡ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s t❤❛t s✉r✈✐✈❡ t❤❡ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ✉♥t✐❧ t❤❡ ❡♥❞ ❛r❡ t❤❡ ❛❣❡♥t✬s ❝❤♦✐❝❡✳

✭❛✮ ❙❤♦✇ t❤❛t ✐❢ t❤❡ ❛❣❡♥t ♠❛❦❡s ❤❡r ❝❤♦✐❝❡s ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❛ ❝❤❡❝❦❧✐st✱ t❤❡♥ ❤❡r ❝❤♦✐❝❡s ❣❡♥❡r❛t❡ ❛ ✇❡❧❧✲❞❡✜♥❡❞ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❛♥❞ t❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ s❛t✐s✜❡s ❲❆❘P✳ ✭❜✮ ❙❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ✐s ❛❧s♦ tr✉❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✐❢c✐s ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ♦♥ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t

X ❛♥❞ c s❛t✐s✜❡s ❲❆❘P✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝❤❡❝❦❧✐st t❤❛t ❣❡♥❡r❛t❡s c✳ ✭❍✐♥t✿ ❯s❡ t❤❡

s✉❜s❡ts str✉❝t✉r❡ ♦❢X t♦ ❞♦ t❤❛t✱ ❣♦✐♥❣ ❢r♦♠ t❤❡ ❧❛r❣❡st s✉❜s❡t t♦ t❤❡ s♠❛❧❧❡st✳ ❍❛✈❡ ♥♦

s❤❛♠❡✱ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐♥ t❤❡ ❝❤❡❝❦❧✐st ❝❛♥ ❜❡ ❛♥②t❤✐♥❣ ②♦✉ ✇❛♥t✳✮

✭❝✮ ❙♦✱ ✐❢ X ✐s ✜♥✐t❡✱ ❜② s♦♠❡ r❡s✉❧ts ✇❡ ❤❛✈❡ st✉❞✐❡❞ ❜❡❢♦r❡✱ t❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦r✲

r❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❤❛s ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❜② ❛ ❝❤❡❝❦❧✐st ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ♠❛①✐♠✐③❡s s♦♠❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡✱ ✇❤✐❝❤ ❤❛♣♣❡♥s ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤✐s ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥✲ ❞❡♥❝❡ ♠❛①✐♠✐③❡s s♦♠❡ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s s❤♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❛ s✉r♣r✐s❡ ❛t ❛❧❧✳ ❲❤②❄ ✭❍✐♥t✿ ❚❤❡ ❛♥s✇❡r ❝♦♠❡s ❢r♦♠ ❛ s✐♠♣❧❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥✱ s♦ ♣❧❡❛s❡ ❞♦ ♥♦t ❡❧❛❜♦r❛t❡ ♦♥ ②♦✉r ❛r❣✉♠❡♥t✳ ❨♦✉ ♠❛② s❡❡ t❤❡ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ♦r ♥♦t✱ ❜✉t✱ ✐♥ ❜♦t❤ ❝❛s❡s✱ ②♦✉r ❛♥s✇❡r s❤♦✉❧❞ ❜❡ ✈❡r② s❤♦rt✳✮

❊①❡r❝✐s❡ ✷✳✸ ✭❇❛s❡❞ ♦♥ ❘✐❜❡✐r♦ ❛♥❞ ❘✐❡❧❧❛ ✭✷✵✶✻✮✮✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛t (X,ΩX) ✐s ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛♥❞ t❤❛t c : ΩX → 2X \ {∅} ✐s ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ❛♥② A ∈ ΩX✱ c(A) ⊆ A✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt② ♦❢ c:

Pr♦♣❡rt② γ✳ ❙✉♣♣♦s❡ S∈ΩX ✐s s✉❝❤ t❤❛t S =

S

{T :T ∈ M} ❢♦r s♦♠❡ ♥♦♥❡♠♣t② M ⊆ ΩX✳ ■❢

x∈c(T)∀T ∈ M✱ t❤❡♥ x∈c(S)✳

❙❤♦✇ t❤❛t α ❛♥❞ γ ❛r❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❲❲❆❘◆■✳ ❚❤❛t ✐s✱ s❤♦✇ t❤❛tcs❛t✐s✜❡s α ❛♥❞ γ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧②

✐❢ c s❛t✐s✜❡s ❲❲❆❘◆■✳

❊①❡r❝✐s❡ ✷✳✹ ✭❇❛s❡❞ ♦♥ ❙❡♥ ✭✶✾✼✶✮✮✳ ▲❡t (X,ΩX) ❜❡ ❛♥② ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ c ♦♥ (X,ΩX) ✐s r❡❣✉❧❛r ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✭❜✉t ♣❡r❤❛♣s ♥♦t tr❛♥s✐t✐✈❡✮ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ %⊆ X×X s✉❝❤ t❤❛t c(S) = max(S,%) ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ ΩX✳ ❙❤♦✇ t❤❛t ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ c✐s r❡❣✉❧❛r ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ ✐t s❛t✐s✜❡s ♣r♦♣❡rt✐❡sα ❛♥❞ γ✳

❊①❡r❝✐s❡ ✷✳✺ ✭❇❛s❡❞ ♦♥ ❑r❡♣s ✭✶✾✼✾✮✮✳ ▲❡t X ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ♦❢ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s ❛♥❞ ❞❡✜♥❡ A:= 2X _{\ {∅}✳ ❲❡ ❝❛❧❧ t❤❡ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ A ♠❡♥✉s ❛♥❞ ♦✉r ♦❜❥❡❝t ♦❢ st✉❞② ✇✐❧❧ ❜❡ ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥} %⊆ A × A. ❲❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t②♣❡ ♦❢ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❢♦r %✳ ❚❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r %∗_{⊆X×X s✉❝❤ t❤❛t✱ ❢♦r ❛♥② t✇♦ ♠❡♥✉s A ❛♥❞ B✱A%B ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛♥} ❡❧❡♠❡♥t x∈A s✉❝❤ t❤❛tx%y ❢♦r ❡✈❡r② y∈B✳

✷✳✸✳ ❊❳❊❘❈■❙❊❙ ✶✵ ✭❜✮ ❈❛♥ ②♦✉ ❛①✐♦♠❛t✐③❡ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❛❜♦✈❡❄ ❨♦✉ ❝❛♥ ❞♦ t❤❛t ✇✐t❤ ❛ s✐♥❣❧❡ s✐♠♣❧❡ ❛①✐♦♠ ✭❛❢t❡r ②♦✉ ✐♠♣♦s❡ t❤❛t % ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r✮✱ ❜✉t ❛♥②✇❛② ②♦✉ ❞♦ t❤❛t ✇✐❧❧ ❜❡ ✐♥t❡r❡st✐♥❣✳ ■❢ ②♦✉ ❝❛♥♥♦t ❝♦♠❡ ✉♣ ✇✐t❤ t❤❡ ❛①✐♦♠ ②♦✉ ❝❛♥ ✜♥❞ ✐t ✐♥ ❑r❡♣s ✭✶✾✼✾✮✳ ❊①❡r❝✐s❡ ✷✳✻ ✭❇❛s❡❞ ♦♥ ❆✐③❡r♠❛♥ ❛♥❞ ▼❛❧✐s❤❡✈s❦✐ ✭✶✾✽✶✮ ❛♥❞ ❋✉rt❛❞♦ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✻✮✮✳ ▲❡t

X ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ c ♦♥ (X,2X _{\ {∅})✳ ❲❡ s❛② t❤❛t c ❤❛s ❛} ♣s❡✉❞♦✲r❛t✐♦♥❛❧ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ R♦❢ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡rs ♦♥ X s✉❝❤ t❤❛t✱

❢♦r ❡✈❡r② ♥♦♥❡♠♣t② s✉❜s❡t A ♦❢ X✱

c(A) = [ %∈R

max(A,%).

❙❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣♦st✉❧❛t❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s t❤❛t ❛❞♠✐t s✉❝❤ ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥ t❤✐s s❡t✉♣✿

❆①✐♦♠ ✷✳✺ ✭Ps❡✉❞♦✲❲❆❘P✮✳ ❋♦r ❛❧❧ ♥♦♥❡♠♣t②A, B ⊆X✱ ✐❢ x∈c(B)∩A ❛♥❞c(B∪ {y})⊆B

❢♦r ❡✈❡r② y ∈A✱ t❤❡♥ x∈c(A)✳

❊①❡r❝✐s❡ ✷✳✼ ✭❇❛s❡❞ ♦♥ ❋✉rt❛❞♦ ❡t ❛❧✳ ✭✷✵✶✻✮✮✳ ▲❡t X ❜❡ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❝❤♦✐❝❡

❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡c♦♥(X,2X _{\ {∅})✳ ❲❡ s❛② t❤❛t c❤❛s ❛ ✇❡❛❦ ❝❛t❡❣♦r✐③❛t✐♦♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐❢ t❤❡r❡} ❡①✐sts ❛ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ S ♦❢ ♥♦♥❡♠♣t② s✉❜s❡ts ♦❢ X ❛♥❞ ❛ ♣r❡♦r❞❡r % ♦♥ X s✉❝❤ t❤❛t % ✐s ❝♦♠♣❧❡t❡ ✐♥s✐❞❡ ❡❛❝❤S ∈ S ❛♥❞✱ ❢♦r ❡✈❡r② ♥♦♥❡♠♣t② s✉❜s❡t A ♦❢ X✱

c(A) = [

S∈S

max(A∪S,%).

❉❡✜♥❡ t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ ⊲⊆ X × X ❜② x ⊲ y ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts A ⊆ X ✇✐t❤ y ∈ c(A)✱ ❜✉t y /∈ c(A∪ {x})✳ ❙❤♦✇ t❤❛t Ps❡✉❞♦✲❲❆❘P ♣❧✉s t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣♦st✉❧❛t❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡

❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s t❤❛t ❛❞♠✐t s✉❝❤ ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ✐♥ t❤✐s s❡t✉♣✿

❆①✐♦♠ ✷✳✻ ✭❆❝②❝❧✐❝✐t②✮✳ ❚❤❡ r❡❧❛t✐♦♥⊲✐s ❛❝②❧✐❝✐❝✳ ❚❤❛t ✐s✱ ❢♦r ♥♦ ✜♥✐t❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥{x1, . . . , xn} ⊆

❈❍❆P❚❊❘ ✸

❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❜② ❯t✐❧✐t② ❋✉♥❝t✐♦♥

✸✳✶✳ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❜② ❛ ❙✐♥❣❧❡ ❯t✐❧✐t② ❋✉♥❝t✐♦♥

✸✳✶✳✶✳ ◆♦♥❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥s✳ ▲❡tX❜❡ ❛♥② s❡t ❛♥❞ ❧❡t%⊆X×X ❜❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡

♣r❡♦r❞❡r✳ ❲❡ ✇❛♥t t♦ ❦♥♦✇ ✇❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ u :X → R t❤❛t r❡♣r❡s❡♥ts %✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✇❡ ✇❛♥t t♦ ❦♥♦✇ ✇❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ u:X →R s✉❝❤ t❤❛t✱ ❢♦r ❡✈❡r② x, y ∈X✱

x%y ⇐⇒ u(x)≥u(y)✳

❲❡ ✇✐❧❧ st❛rt ✇✐t❤ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡♥ X ✐s ❛ ✜♥✐t❡ s❡t✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t ✇❤❡♥ X ✐s ✜♥✐t❡✱ t❤❡♥ ❛♥②

❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r ♦♥X ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❋♦r♠❛❧❧②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

r❡s✉❧t✿

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✶✳ ■❢ X ✐s ❛ ✜♥✐t❡ s❡t✱ t❤❡♥ ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ %⊆ X×X ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r

✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts u:X→R t❤❛t r❡♣r❡s❡♥ts ✐t✳

Pr♦♦❢✳ ■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ✐❢ % ❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥ % ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r✳ ❙✉♣♣♦s❡ ♥♦✇ t❤❛t % ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r✳ ❋♦r ❡❛❝❤x∈X✱ ❞❡✜♥❡ u(x) := #{y∈X :

x%y}✳ ■t ✐s ❡❛s② t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t u r❡♣r❡s❡♥ts%✳

■♥ ❢❛❝t✱ t❤❡ ✜♥✐t❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ s❡tX✐♥ t❤❡ r❡s✉❧t ❛❜♦✈❡ ❝❛♥ ❜❡ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ❝♦✉♥t❛❜✐❧✐t②✳ ❋♦r♠❛❧❧②✿

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✳ ■❢X ✐s ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s❡t✱ t❤❡♥ ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥%⊆X×X ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r

✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts u:X→R t❤❛t r❡♣r❡s❡♥ts ✐t✳

Pr♦♦❢✳ ❆❣❛✐♥✱ ✐t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ✐❢%❝❛♥ ❜❡ r❡♣r❡s❡♥t❡❞ ❜② ❛ ✉t✐❧✐t② ❢✉♥❝t✐♦♥✱ t❤❡♥ ✐t ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r✳ ❙✉♣♣♦s❡✱ t❤❡♥✱ t❤❛t%✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r ♦♥ ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s❡tX✳ ❙✐♥❝❡X✐s ❝♦✉♥t❛❜❧❡✱

✇❡ ❝❛♥ ❡♥✉♠❡r❛t❡ X✳ ❚❤❛t ✐s✱ ✇❡ ❝❛♥ ✇r✐t❡ X ❛s X :={x1, x2, ...}✳ ◆♦✇✱ ❢♦r ❡❛❝❤ x∈ X✱ ❞❡✜♥❡

L%(x) :={y∈X :x%y}✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ❞❡✜♥❡

u(x) := X

xi∈L_%(x) 1 2i.

■t ✐s ❡❛s② t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t u r❡♣r❡s❡♥ts %✳

◆♦✇ ❧❡t X ❜❡ ❛♥② s❡t ❛♥❞ ❧❡t %∈ X ×X ❜❡ ❛♥② ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥✳ ❲❡ ♥❡❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

❞❡✜♥✐t✐♦♥s✿

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✸✳✶✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ s✉❜s❡t Y ♦❢ X ✐s%✲❞❡♥s❡ ✐♥ X ✐❢✱ ❢♦r ❡✈❡r② x❛♥❞ z ✐♥X ✇✐t❤ x≻z✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts y∈Y ✇✐t❤ x%y%z✳

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✸✳✷✳ ●✐✈❡♥ ❛ s❡tX❛♥❞ ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥%⊆X×X✱ ✇❡ s❛② t❤❛tX✐s%✲s❡♣❛r❛❜❧❡ ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s✉❜s❡tY ♦❢ X s✉❝❤ t❤❛t Y ✐s%✲❞❡♥s❡ ✐♥ X✳

❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡♦r❡♠✿

❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✸✳ ❋♦r ❛♥② s❡t X✱ ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ %⊆ X×X ❤❛s ❛ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❜② ❛ ✉t✐❧✐t②

✸✳✶✳ ❘❊P❘❊❙❊◆❚❆❚■❖◆ ❇❨ ❆ ❙■◆●▲❊ ❯❚■▲■❚❨ ❋❯◆❈❚■❖◆ ✶✷ Pr♦♦❢✳ ❙✉♣♣♦s❡ ✜rst t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ u : X → R t❤❛t r❡♣r❡s❡♥ts %✳ ❙✐♥❝❡

u(X)⊆R❛♥❞ R ✐s ❛ s❡♣❛r❛❜❧❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t u(X) ✐s ❛❧s♦ ❛ s❡♣❛r❛❜❧❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✳

❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s✉❜s❡t ♦❢ u(X)✱ s❛② U˜✱ t❤❛t ✐s ❞❡♥s❡ ✐♥ u(X)✳ ◆♦✇

❞❡✜♥❡ U := ˜U ∪ {a ∈ u(X) : t❤❡r❡ ❡①✐sts ba ∈ u(X)✇✐t❤ u(X)∩(a, ba) = ∅}✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t t❤❡ s❡t {a ∈ u(X) : t❤❡r❡ ❡①✐sts ba ∈ u(X)✇✐t❤ u(X)∩(a, ba) = ∅} ✐s ❝♦✉♥t❛❜❧❡✱ s✐♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ♠❛♣ ❡❛❝❤a✐♥ t❤✐s s❡t t♦ ❛ ❞✐st✐♥❝t r❛t✐♦♥❛❧ ♥✉♠❜❡r qa∈(a, ba)✳ ❚❤✐s ✐♠♣❧✐❡s t❤❛tU ✐s ❛❧s♦ ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s❡t✳ ❋♦r ❡❛❝❤ a ∈U✱ ❧❡t ya∈ X ❜❡ s✉❝❤ t❤❛t u(ya) =a✳ ❉❡✜♥❡ Y :={ya :a∈ U}✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t

Y ✐s ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s❡t✳ ▲❡t✬s ♥♦✇ s❤♦✇ t❤❛tY ✐s %✲❞❡♥s❡ ✐♥X✳ ❚♦ s❡❡ t❤❛t✱ ♣✐❝❦ ❛♥② x, z∈X ✇✐t❤ x ≻ z✳ ■❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts w ∈ X ✇✐t❤ u(x) > u(w) > u(z)✱ t❤❡♥✱ ❜❡❝❛✉s❡ U˜ ✐s ❞❡♥s❡ ✐♥ u(X)✱ t❤❡r❡

❡①✐sts y ∈Y ✇✐t❤ u(x)> u(y)> u(z)✱ ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t x ≻y ≻ z✳ ■❢ s✉❝❤ ❛ w ❞♦❡s ♥♦t ❡①✐st✱

t❤❡♥ u(z) ∈U ❛♥❞✱ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts y ∈ Y ✇✐t❤ u(y) = u(z)✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t y∼z✳ ❲❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛t Y ✐s %✲❞❡♥s❡ ✐♥ X✳

❙✉♣♣♦s❡ ♥♦✇ t❤❛t % ✐s ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r ♦♥ X s✉❝❤ t❤❛t X ✐s %✲s❡♣❛r❛❜❧❡✳ ▲❡t Y ❜❡

❛ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s✉❜s❡t ♦❢ X t❤❛t ✐s %✲❞❡♥s❡ ✐♥ X✳ P✐❝❦ ❛♥② ❡♥✉♠❡r❛t✐♦♥ {y1, y2, ...} ♦❢ Y✳ ❉❡✜♥❡

u:X →R ❜②

u(x) := X

{yi∈Y:x%yi} 1 2i −

X

{yi∈Y:yi%x} 1 2i,

❢♦r ❡✈❡r② x∈X✳ ■t ✐s ❡❛s② t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t u r❡♣r❡s❡♥ts%✳

❋r♦♠ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✷✱ ✇❡ ❦♥♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ v : Y → R t❤❛t r❡♣r❡s❡♥ts t❤❡

r❡str✐❝t✐♦♥ ♦❢ % t♦ Y✳ ❚❤✐s ♠❛❦❡s ♦♥❡ ✇♦♥❞❡r ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ ✇❛② t♦ ❡①t❡♥❞ v t♦ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ t❤❛t

r❡♣r❡s❡♥ts %♦♥ X✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❡ ❝♦✉❧❞ tr② t♦ ❞❡✜♥❡ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ u:X →R ❜② u(x) := sup{v(y) :y∈Y ❛♥❞ x%y}.

■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t t❤✐s ❢✉♥❝t✐♦♥ ❞♦❡s ♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② r❡♣r❡s❡♥t % ♦♥X✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✐t ✐s ♥♦t ❝❧❡❛r ❤♦✇

t♦ ✉s❡ v t♦ ❝♦♥str✉❝t s✉❝❤ ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥✳ ❋♦r ♠♦r❡ ❞❡t❛✐❧s✱ s❡❡ ❊①❡r❝✐s❡ ✸✳✶✳

✸✳✶✳✷✳ ❘❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ❜② ❛ ❙❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❯t✐❧✐t② ❋✉♥❝t✐♦♥✳ ❲❡ ✜rst ♥❡❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✲ ✐♥❣ ❧❡♠♠❛✳

▲❡♠♠❛ ✸✳✶✳ ▲❡t X ❜❡ ❛ s❡♣❛r❛❜❧❡ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✳ ❚❤❡♥✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❝♦❧❧❡❝t✐♦♥ O ♦❢

♦♣❡♥ s✉❜s❡ts ♦❢ X s✉❝❤ t❤❛t✱ ❢♦r ❡✈❡r② ♦♣❡♥ s✉❜s❡t V ♦❢ X ✇❡ ❤❛✈❡ V =[{o ∈ O:o ⊆V}.

■♥ ✇♦r❞s✱ ✇❡ s❛② t❤❛t t❤❡ t♦♣♦❧♦❣② ♦❢ t❤❡ s♣❛❝❡ X ❤❛s ❛ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❜❛s✐s✳

Pr♦♦❢✳ ▲❡tY ⊆X ❜❡ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ ❛♥❞ ❞❡♥s❡ ✐♥ X✳ ❉❡✜♥❡

O :={BX(y,

1

n) :y ∈Y ❛♥❞ n∈N}.

❇❡❝❛✉s❡ Y ❛♥❞ N ❛r❡ ❝♦✉♥t❛❜❧❡✱ O ✐s ❝♦✉♥t❛❜❧❡✳ ■t ✐s ❛❧s♦ ❡❛s② t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t O ✐s ❛ ❜❛s✐s ❢♦r t❤❡

t♦♣♦❧♦❣② ♦❢ X✳

❲❡ ✜rst ♥❡❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐t✐♦♥s✿

❉❡❢✐♥✐t✐♦♥ ✸✳✸✳ ▲❡t X ❜❡ ❛ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✳ ❲❡ s❛② t❤❛t ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ f : X → R ✐s ✉♣♣❡r

✭❧♦✇❡r✮ s❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐♥ x ∈X ✐❢✱ ❢♦r ❡✈❡r②ε > 0✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts δ > 0s✉❝❤ t❤❛t f(y)< f(x) +ε

✭f(y)> f(x)−ε✮ ❢♦r ❡✈❡r② y∈BX(x, δ)✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥f ✐s ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ ✐t ✐s ❜♦t❤ ✉♣♣❡r s❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✭❯❙❈✮ ❛♥❞ ❧♦✇❡r s❡♠✐❝♦♥t✐♥✉♦✉s ✭▲❙❈✮✳