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✷ ❙❡t✉♣
❲❡ ✇✐❧❧ ❢♦❧❧♦✇ t❤❡ s❡t✉♣ ❛♥❞ ♥♦t❛t✐♦♥ ✐♥ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮✳
✷✳✶ ❈❤♦✐❝❡ ❈♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s
▲❡tX ❜❡ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♥♦♥❡♠♣t② s❡t✳ ❲❡ ✐♥t❡r♣r❡tX ❛s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ✭♠✉t✉❛❧❧②
❡①❝❧✉s✐✈❡✮ ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s✳
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✶✳ ❆ ❝❤♦✐❝❡ ✜❡❧❞ ♦♥ X✱ ❤❡r❡❛❢t❡r ❞❡♥♦t❡❞ ❜② ΩX✱ ✐s ❛ s✉❜s❡t ♦❢
2X\{∅}✇✐t❤ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt✐❡s✿
✭■✮{x} ⊆ΩX,∀x∈X❀
✭■■✮∪n
i=1Ai∈ΩX ✇❤❡♥❡✈❡rAi∈ΩX, i= 1,2, ..., n, n∈N✳
❲❡ ✐♥t❡r♣r❡t ΩX ❛s t❤❡ s❡t ♦❢ ❛❧❧ ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s✳ ◆♦t❡ t❤❛t t❤❡
❛❜♦✈❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ❛❧❧ ✜♥✐t❡ s✉❜s❡ts ♦❢X ❛r❡ ✐♥ΩX✳ ❲❡ r❡❢❡r t♦ ❛♥②
♣❛✐r(X,ΩX)❛s ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛s ❧♦♥❣ ❛s|X|>3✳
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✷✳ ●✐✈❡♥ ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡(X,ΩX)✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡
♦♥ΩX ❛s ❛ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡C: ΩX⇒X ✇❤✐❝❤ s❛t✐s✜❡s
✭■✮C(S)6=∅,∀S∈ΩX❀
✭■■✮C(S)⊆S,∀S ∈ΩX✳
❙✐♥❝❡ ♦✉r ✐♥t❡♥t✐♦♥ ✐s t♦ ❞✐s❝✉ss t❤❡ ❜❛s✐❝ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡❢❡r✲ ❡♥❝❡s ♣r♦♣♦s❡❞ ❜② ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛❞♦♣t t❤❡✐r ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢
C(S)✿
❋♦r ❝♦♥❝r❡t❡♥❡ss✱ ✇❡ s✉❣❣❡st t❤✐♥❦✐♥❣ ❛❜♦✉tc(S)❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ t❤❡ ✜♥❛❧ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❛❣❡♥t ✐s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠❡♠❜❡rs ♦❢c(S)❀ t❤❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♠❛❦❡r ♠✐❣❤t ✜♥❛❧✐③❡ ❤❡r ❝❤♦✐❝❡ ❜② ✭s✉❜❥❡❝t✐✈❡❧②✮ r❛♥❞♦♠✐③✐♥❣ ✐♥ ❜❡✲ t✇❡❡♥ t❤❡ ♠❡♠❜❡rs ♦❢c(S)✭✳✳✳✮ ■♥ t❤❡ tr❛❞✐t✐♦♥❛❧ t❤❡♦r② ♦❢ r❡✈❡❛❧❡❞ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡✱ ♦♥❡ r❡❛❞s t❤❡ st❛t❡♠❡♥t ✏x∈c(S)✑ ❛s ✏x✐s r❡✈❡❛❧❡❞ t♦ ❜❡
❛t ❧❡❛st ❛s ❣♦♦❞ ❛s ❛❧❧ ♦t❤❡r ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡s ✐♥S✑ ❛♥❞ t❤✉s ✐♥❢❡rs ❢r♦♠
❛♥ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥ ❧✐❦❡ ✏{x, y} ⊆c(S)✑ t❤❛t x❛♥❞ y ❛r❡ ❡q✉❛❧❧② ❞❡s✐r✲
❛❜❧❡ ❢♦r t❤❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♠❛❦❡r✳ ❯♥❞❡r t❤✐s ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥✱ t❤❡r❡❢♦r❡✱ ✐t ✐s ♥♦t ❝♦♥❝❡✐✈❛❜❧❡ t❤❛t ❛♥ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ♠❛② ❛❝t✉❛❧❧② ❜❡ ✏✐♥❞❡❝✐s✐✈❡✑ ✐♥ ❛♥② ❝❤♦✐❝❡ s✐t✉❛t✐♦♥✳ ❇② ❝♦♥tr❛st✱ t❤❡ ✈✐❡✇♣♦✐♥t s✉❣❣❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ♣❛r❛❣r❛♣❤ ❞✉❧② ❛❧❧♦✇s ❢♦r ❛♥ ❛❣❡♥t t♦ ❜❡ ✐♥❞❡❝✐s✐✈❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❝❤♦♦s✐♥❣x❛♥❞ y✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡ s✉❣❣❡sts t❤❛t ✏x∈c(S)✑ s❤♦✉❧❞ ♠♦r❡ ♣r✉❞❡♥t❧② ❜❡ ✈✐❡✇❡❞ ❛s r❡✈❡❛❧✐♥❣ t❤❛t ✏x✐s ♥♦t str✐❝t❧② ✇♦rs❡ t❤❛♥
❛♥② ❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐♥S✑✳
✷✳✷ ❘❛t✐♦♥❛❧✐③❛t✐♦♥ ❛♥❞ r❡❣✉❧❛r ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥s
●✐✈❡♥ ❛ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ %⊆ X ×X✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ ≻:=% ∩ %−1c ❛♥❞∽:=%
∩ %−1✳✶ ❲❡ s❛② t❤❛t
%✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r ✭♦r ❛ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥✮ ✐❢ ✐t ✐s r❡✢❡①✐✈❡
❛♥❞ tr❛♥s✐t✐✈❡✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱x ⊲⊳ y♠❡❛♥s t❤❛t(x, y)∈/%∪%−1✳
❋♦r ❛♥② ♣r❡♦r❞❡r%⊆X×X ❛♥❞∅ 6=S ⊆X✱ t❤❡ s❡t ♦❢%✲♠❛①✐♠❛❧ ❡❧❡♠❡♥ts
♦❢S ✐s ❞❡♥♦t❡❞ ❜②M AX(S,%)✱ t❤❛t ✐s
M AX(S,%) :={x∈S: ¬(y≻x),∀y∈S}.
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✸✳ ▲❡t(X,ΩX)❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡✱ ❛♥❞C❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ♦♥
ΩX✳ ❲❡ s❛② t❤❛tC ✐s r❛t✐♦♥❛❧✐③❡❞ ❜② ❛ ♣r❡♦r❞❡r%⊆X×X ✐❢✱ ❢♦r ❛❧❧ S∈ΩX✱
C(S) =M AX(S,%).
■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ❢♦r t❤❡ ❝♦♥❝❡♣t ♦❢ r❛t✐♦♥❛❧✐③❛t✐♦♥ ❞❡s❝r✐❜❡❞ ❛❜♦✈❡ t❤❡ ♦♥❧② t❤✐♥❣ t❤❛t ♠❛tt❡rs ✐s t❤❡ str✐❝t ♣❛rt ♦❢ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥%✳ ❇❡❝❛✉s❡ ♦❢ t❤❛t✱ ✐♥ ♦r❞❡r
t♦ ♠❡❛♥✐♥❣❢✉❧❧② ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ❜❡t✇❡❡♥ ✐♥❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❛♥❞ ✐♥❞❡❝✐s✐✈❡♥❡ss✱ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❞❡✜♥✐t✐♦♥✿
❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✹✳ ❆ ♣r❡♦r❞❡r%♦♥ ❛ ♥♦♥❡♠♣t② s❡t X ✐s s❛✐❞ t♦ ❜❡ r❡❣✉❧❛r ✐❢✱ ❢♦r
❛♥②x, y∈X ✇✐t❤x ⊲⊳ y ✱ t❤❡r❡ ✐s ❛z∈X s✉❝❤ t❤❛t ❡✐t❤❡rx ⊲⊳ z❛♥❞z✱y ❛r❡
str✐❝t❧② ♦r❞❡r❡❞ ❜②%✱ ♦r y ⊲⊳ z❛♥❞z✱x❛r❡ str✐❝t❧② ♦r❞❡r❡❞ ❜②%✳
❚♦ ❜❡tt❡r ✉♥❞❡rst❛♥❞ t❤✐s ♣r♦♣❡rt② ✐t ✐s ✐♥s✐❣❤t❢✉❧ t♦ ❛♥❛❧②③❡ ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✇❤❡♥ t❤✐s ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✐s ♥♦t ♠❡t✳ ■❢ t❤✐s ✐s t❤❡ ❝❛s❡✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ✐sx, y∈X ✇✐t❤ x ⊲⊳ y✱ ❜✉t t❤❡r❡ ✐s ♥♦ z ∈ X s✉❝❤ t❤❛t ❡✐t❤❡r x ⊲⊳ z ❛♥❞ z✱ y ❛r❡ str✐❝t❧②
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♣♦ss✐❜❧❡ ❝❛s❡s✱ ♦♥❡ ✇♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ t❡❧❧ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ❛❣❡♥t ❞❡❡♠sx❛♥❞y
❛s ✐♥❝♦♠♣❛r❛❜❧❡ ♦r ❛s ✐♥❞✐✛❡r❡♥t ❥✉st ❜② ♦❜s❡r✈✐♥❣ ❤❡r ❝❤♦✐❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦r✳ ❲✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡C♦♥ΩX ❜② ❛
♣r❡♦r❞❡r%♦♥X✱ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ ♦❢ ❉❡✜♥✐t✐♦♥ ✸✱ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛t%❜❡ r❡❣✉❧❛r
✐♠♣♦s❡s ♥♦ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ r❡str✐❝t✐♦♥ ♦♥C✳ ❋♦r♠❛❧❧②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t✿
▲❡♠♠❛ ✶✳ ▲❡tX ❜❡ ❛♥② s❡t✳ ❚❤❡♥✱ ❢♦r ❡✈❡r② ♣r❡♦r❞❡r%⊆X×X✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts
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s✉❝❤ t❤❛ty∈C(T)❢♦r s♦♠❡T ∈ΩX ✇✐t❤ x∈T✱ t❤❡♥y∈C(S)✳
■t ✐s ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ t❤❛t ❛ ❈❤♦✐❝❡ ❈♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ C ❝❛♥ ❜❡ r❛t✐♦♥❛❧✐③❡❞ ❜② ❛
❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡♦r❞❡r ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ ✐t s❛t✐s✜❡s ❲❆❘P✳ ❋♦r♠❛❧❧②✿
❚❤❡♦r❡♠ ✶✳ ✭❋✉♥❞❛♠❡♥t❛❧ ❚❤❡♦r❡♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ Pr❡❢❡r❡♥❝❡s✮✳ ▲❡t(X,ΩX)❜❡
❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛♥❞C: ΩX ⇒X ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✳ C s❛t✐s✜❡s ❲❆❘P ✐❢✱
❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✭✉♥✐q✉❡✮ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ % ♦♥ X s✉❝❤
t❤❛tC(S) =M AX(S,%)✱ ❢♦r ❡✈❡r② S∈ΩX✳
❆s ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮ ♣♦✐♥t ♦✉t✱ t❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐✈❡ ❛♥❞ ♥♦r♠❛t✐✈❡ ❛♣♣❡❛❧ ♦❢ ❲❆❘P ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ ❤♦✇ ♦♥❡ ✐♥t❡r♣r❡ts ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ❝❡rt❛✐♥ ❜❡❤❛✈✐♦rs ✈✐♦❧❛t❡ ❲❆❘P✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡② ❝❛♥ ❜❡ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ✏♠❛①✐♠✐③✐♥❣ ♣❛r❛❞✐❣♠✑✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠s ✇❤✐❝❤ ✐♥✈♦❧✈❡ ♠✉❧✲ t✐♣❧❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ❝r✐t❡r✐❛✳ ■♥ ✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ♣r❡❝❡❞✐♥❣ r❡♠❛r❦s✱ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ♣r♦♣♦s❡ ❛ ✇❡❛❦❡r r❛t✐♦♥❛❧✐t② ♣r♦♣❡rt② ✇❤✐❝❤ ✐s ♠♦r❡ ❛❦✐♥ t♦ t❤❡✐r ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢C(S)✳ ❚❤❡② ❝❛❧❧ ✐t t❤❡ ❲❡❛❦ ❆①✐♦♠ ♦❢ ❘❡✈❡❛❧❡❞ ◆♦♥✲■♥❢❡r✐♦r✐t② ✭❲❆❘◆■✮✳
❆①✐♦♠ ✷✳ ✭❲❆❘◆■✮ ❋♦r ❛♥②S ∈ΩX ❛♥❞ y∈S✱ ✐❢∀x∈C(S) t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛
Tx∈ΩX ✇✐t❤y∈C(Tx)❛♥❞x∈Tx✱ t❤❡♥y∈C(S)✳
❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮ ❛r❣✉❡ t❤❛t ❲❆❘◆■ ✐s ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ❛❞❛♣t❛t✐♦♥ ♦❢ ❲❆❘P ❢♦r ❛ ♠♦❞❡❧ t❤❛t ❞✐st✐♥❣✉✐s❤❡s ❜❡t✇❡❡♥ r❡✈❡❛❧❡❞ s✉♣❡r✐♦r✐t② ❛♥❞ r❡✈❡❛❧❡❞ ♥♦♥✲ ✐♥❢❡r✐♦r✐t②✳ ❚❤❡ ❛✉t❤♦rs t❤❡♥ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ r❡s✉❧t ✭❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦✱ ✷✵✵✻✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✮✿
❚❤❡♦r❡♠ ✷✳ ▲❡t (X,ΩX) ❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛♥❞C : ΩX ⇒X ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡✲
s♣♦♥❞❡♥❝❡✳ ■❢ C s❛t✐s✜❡s ❲❆❘◆■✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡ ✭♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧②
❝♦♠♣❧❡t❡✮ r❡❣✉❧❛r ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ % ♦♥ X s✉❝❤ t❤❛t C(S) = M AX(S,%)✱ ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ ΩX✳ ❈♦♥✈❡rs❡❧②✱ ✐❢ ΩX ✐♥❝❧✉❞❡s ❛❧❧ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s✉❜s❡ts ♦❢ ❳ ❛♥❞
t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥ %♦♥ X s✉❝❤ t❤❛t C(S) = M AX(S,%)✱ ❢♦r ❡✈❡r②S∈ΩX✱ t❤❡♥C s❛t✐s✜❡s ❲❆❘◆■✳
❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦✬s r❡s✉❧t s❤♦✇s t❤❛t ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ t❤❛t s❛t✐s✜❡s ❲❆❘◆■ ❝❛♥ ❜❡ r❛t✐♦♥❛❧✐③❡❞ ❜② ❛ r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r%✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ♦♥❧② ❤♦❧❞s
✐❢ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ΩX ✐♥❝❧✉❞❡s ❛❧❧ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s✉❜s❡ts ♦❢X✳ ❚❤✐s s✉❣❣❡sts t❤❛t
✐❢ ♦♥❡ ✐s ✐♥t❡r❡st❡❞ ♦♥ t❤❡ r❛t✐♦♥❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ❜② ❛ ✭♣♦s✲ s✐❜❧② ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡✮ r❡❣✉❧❛r ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥✱ ❲❆❘◆■ ♠❛② ❜❡ t♦♦ str♦♥❣ ♦❢ ❛ ♣r♦♣❡rt②✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ ✇❤❡♥ ♣✉t t♦❣❡t❤❡r ✇✐t❤ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ✐s ♥♦♥❡♠♣t② ❢♦r ❡✈❡r② ❝❤♦✐❝❡ ♣r♦❜❧❡♠✱ t❤❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥t t❤❛tΩX ✐♥❝❧✉❞❡s ❛❧❧ ❝♦✉♥t❛❜❧❡ s✉❜s❡ts ♦❢X s❡❡♠s t♦ ❜❡ r❡str✐❝t✐✈❡✳ ❚❤✐s ❝❛♥ ❜❡
❡❛s✐❧② ✜①❡❞ ❜② t✇♦ ♥❛t✉r❛❧ r❡❧❛①❛t✐♦♥s ♦❢ ❲❆❘◆■✳ ❈♦♥s✐❞❡r t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t✇♦ ♣♦st✉❧❛t❡s✿
❆①✐♦♠ ✸✳ ✭❲❲❆❘◆■✮ ❋♦r ❛♥②S ∈ΩX ❛♥❞ y ∈S✱ ✐❢ ❢♦r ❡✈❡r②x∈S t❤❡r❡
❡①✐sts ❛Tx∈ΩX s✉❝❤ t❤❛ty∈C(Tx)❛♥❞x∈Tx✱ t❤❡♥y∈C(S)✳
❆①✐♦♠ ✹✳ ✭❙tr✐❝t ❈❤♦✐❝❡ ❚r❛♥s✐t✐✈✐t② ✲ ❙❈❚✮ ❋♦r ❛♥②x, y, z∈X✱ ✐❢C({x, y}) =
{x}❛♥❞ C({y, z}) ={y}✱ t❤❡♥C({x, z}) ={x}✳
❲❤✐❧❡ ❲❆❘◆■ ❞❡♠❛♥❞s ♦♥❧② t❤❛ty❜❡ r❡✈❡❛❧❡❞ ♥♦♥✲✐♥❢❡r✐♦r t♦ ❡✈❡r② ❡❧❡♠❡♥t
✐♥C(S)❢♦ryt♦ ❜❡ ❛♠♦♥❣ t❤❡ ❝❤♦s❡♥ ❡❧❡♠❡♥ts ❢r♦♠S✱ ❲❲❆❘◆■ ❞❡♠❛♥❞s t❤❛t y ❜❡ r❡✈❡❛❧❡❞ ♥♦♥✲✐♥❢❡r✐♦r t♦ ❡✈❡r② ❡❧❡♠❡♥t ✐♥S ❢♦r t❤✐s t♦ ❤❛♣♣❡♥✳ ■t ✐s ❡❛s✐❧②
s❡❡♥ t❤❛t ❲❆❘◆■ ✐♠♣❧✐❡s ❲❲❆❘◆■✱ ❜✉t t❤❛t t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡ ✐s ♥♦t tr✉❡✳ ❚❤❡ ❙tr✐❝t ❈❤♦✐❝❡ ❚r❛♥s✐t✐✈✐t② ❛①✐♦♠ ✐♠♣♦s❡s ❛ ♥❛t✉r❛❧ ❢♦r♠ ♦❢ tr❛♥s✐t✐✈✐t② ♦♥ ❝❤♦✐❝❡s ❢r♦♠ s❡ts ♦❢ t✇♦ ❡❧❡♠❡♥ts✳ ■t ✐s ❛❧s♦ ❡❛s② t♦ s❡❡ t❤❛t ❲❆❘◆■ ✐♠♣❧✐❡s ❙❈❚✱ s♦ t❤❛t t❤❡ ♣❛✐r ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚ ✐s ❛ r❡❧❛①❛t✐♦♥ ♦❢ ❲❆❘◆■✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ❛s t❤❡ r❡s✉❧t ❜❡❧♦✇ s❤♦✇s✱ ✐t ✐s t❤❡ ❡①❛❝t r❡❧❛①❛t✐♦♥ t❤❛t ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡s r❛t✐♦♥❛❧✐③❛t✐♦♥ ❜② ❛ ✭♣♦ss✐❜❧② ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡✮ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥✳
❚❤❡♦r❡♠ ✸✳ ▲❡t (X,ΩX) ❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛♥❞ C : ΩX ⇒ X ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦r✲
r❡s♣♦♥❞❡♥❝❡✳ C s❛t✐s✜❡s ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚ ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛
✉♥✐q✉❡ r❡❣✉❧❛r ✭♥♦t ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ❝♦♠♣❧❡t❡✮ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡ r❡❧❛t✐♦♥%♦♥ X s✉❝❤ t❤❛t C(S) =M AX(S,%)✱ ❢♦r ❡✈❡r② S∈ΩX✳
❚❤❡♦r❡♠s ✷ ❛♥❞ ✸ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts s♦♠❡ r❡s✐❞✉❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐♥ ❲❆❘◆■ ✇❤❡♥ ❝♦♠♣❛r❡❞ ✇✐t❤ ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚✳ ■♥ t❤❡ ♥❡①t s❡❝t✐♦♥ ✇❡ ❞✐s❝✉ss t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♣r♦♣❡rt✐❡s ✇✐t❤ st❛♥❞❛r❞ ♣♦st✉❧❛t❡s ♦❢ ❝❤♦✐❝❡ t❤❡♦r② ❛♥❞ ✐❞❡♥t✐❢② t❤❡ ❡①❛❝t ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤✐s r❡s✐❞✉❡✳
✸✳✷ ❲❆❘◆■✱ ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙t❛♥❞❛r❞ ❆①✐♦♠s ♦❢ ❈❤♦✐❝❡
❚❤❡♦r②
■t ✐s ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥ t❤❛t ❲❆❘P ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✐♥t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t✇♦ ♣r♦♣❡r✲ t✐❡s✿
❆①✐♦♠ ✺✳ ✭α✲❛①✐♦♠✮ ❋♦r ❛♥② S, T ∈ ΩX✱ ✐❢ x∈ T ⊆S ❛♥❞x∈ C(S)✱ t❤❡♥
x∈C(T)✳
❆①✐♦♠ ✻✳ ✭β✲❛①✐♦♠✮ ❋♦r ❛♥② S, T ∈ ΩX✱ ✇✐t❤ T ⊆ S✱ ✐❢ x, y ∈ C(T) ❛♥❞
x∈C(S)✱ t❤❡♥y∈C(S)✳
❚❤❡ α✲❛①✐♦♠ ✐♠♣♦s❡s ❛ ❦✐♥❞ ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ♦♥ t❤❡ ❛❣❡♥t✬s ♦❜✲
s❡r✈❡❞ ❝❤♦✐❝❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r✱ ✇❤✐❧❡ t❤❡β✲❛①✐♦♠ ❞❡♠❛♥❞s t❤❛t t❤❡ ❛❣❡♥t✬s ❝❤♦✐❝❡s
♠✉st ❝♦♥❢♦r♠ t♦ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❦✐♥❞ ♦❢ ❡①♣❛♥s✐♦♥ ❝♦♥s✐st❡♥❝②✳ ❇♦t❤ ♥♦r♠❛t✐✈❡❧② ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❞❡s❝r✐♣t✐✈❡❧②✱ t❤❡ ♣❧❛✉s✐❜✐❧✐t② ♦❢αs❡❡♠s t♦ ❜❡ ♠✉❝❤ ❤✐❣❤❡r t❤❛♥ t❤❛t
♦❢β✳ ■t ✐s ♥❛t✉r❛❧✱ t❤❡r❡❢♦r❡✱ t❤❛t ♠♦st r❡❧❛①❛t✐♦♥s ♦❢ ❲❆❘P t❤❛t ❤❛✈❡ ❛♣♣❡❛r❡❞
✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ♣r❡s❡r✈❡α❛♥❞ r❡❧❛① β✳ ❈♦♥s✐❞❡r✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣
t✇♦ ♣♦st✉❧❛t❡s✿
❆①✐♦♠ ✼✳ ✭γ✲❛①✐♦♠✮ ❙✉♣♣♦s❡ V ∈ ΩX ✐s s✉❝❤ t❤❛t V = ∪ {S:S∈ M} ❢♦r
s♦♠❡M ⊆ΩX✳ ■❢x∈C(S)✱∀S ∈ M✱ t❤❡♥x∈C(V)✳
❆①✐♦♠ ✽✳ ✭η✲❛①✐♦♠✮ ❋♦r ❛♥② S ∈ΩX ❛♥❞x∈S✱ ✐❢ x∈ C(T ∪ {x})✱ ❢♦r ❛❧❧
T ⊆C(S)✇✐t❤ T ∈ΩX✱ t❤❡♥x∈C(S)✳
❚❤❡ γ✲❛①✐♦♠ ❛❧s♦ ❞❡♠❛♥❞s t❤❛t t❤❡ ❛❣❡♥t✬s ❝❤♦✐❝❡s ❝♦♥❢♦r♠ t♦ ❛ ❦✐♥❞ ♦❢
❡①♣❛♥s✐♦♥ ❝♦♥s✐st❡♥❝② ❜✉t ✐♥ ❛ ✇❡❛❦❡r s❡♥s❡✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ✐❢α❤♦❧❞s✱ t❤❡♥β ✐♠♣❧✐❡s γ✳ ❇✉tγ❞♦❡s ♥♦t ✐♠♣❧②β❛s ❝❛♥ ❜❡ ❡❛s✐❧② s❡❡♥ ❜② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣X={x, y, z}❛♥❞
❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡C♦♥ΩX ❣✐✈❡♥ ❜②C({x, y}) ={x, y}✱C({x, z}) ={x}✱
C({y, z}) ={z} ❛♥❞C({x, y, z}) ={x}✳
❚❤❡η✲❛①✐♦♠ ❝❛♥ ❜❡ ♠♦r❡ ❡❛s✐❧② ✉♥❞❡rst♦♦❞ ✐❢✱ ❢♦r ❛ ♠♦♠❡♥t✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t S∈ΩX ✐s s✉❝❤ t❤❛tC(S)∈ΩX✳ ❚❤❡♥✱ ✇❤❛tη st❛t❡s ✐s t❤❛t ✐❢x✐s ❛♥ ❡❧❡♠❡♥t
♦❢ S ✇❤✐❝❤ ✐s ❝❤♦s❡♥ ❜② t❤❡ ❛❣❡♥t ❢r♦♠ C(S)∪ {x}✱ t❤❡♥ x ♠✉st ❜❡ ❝❤♦s❡♥
❢r♦♠ S✳ ❚❤✐s ✐s ❝♦♥s✐st❡♥t ✇✐t❤ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦✬s ✐♥t❡r♣r❡t❛t✐♦♥ ♦❢ ✏x ∈ C(S)✑✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣❧②✱ ✏x∈C(C(S)∪ {x})✑ ♠❡❛♥s t❤❛t x✐s ♥♦t str✐❝t❧② ✇♦rs❡ t❤❛♥ ❛♥②
❛❧t❡r♥❛t✐✈❡ ✐♥ C(S)∪ {x} ❛♥❞ t❤✉s ✐♥ C(S)✳ ❍❡♥❝❡✱ ❜② η✱ ✇❡ ♠❛② ❝♦♥❝❧✉❞❡
t❤❛tx✐s ♥♦t str✐❝t❧② ✇♦rs❡ t❤❛♥ ❛♥②y∈S✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ❣✉❛r❛♥t❡❡ t❤❛t ✐❢ S∈ΩX✱ t❤❡♥C(S)∈ΩX✱ ✇❡ ❤❛❞ t♦ ❢♦r♠✉❧❛t❡η ✐♥ ❛ r♦✉♥❞❛❜♦✉t ♠❛♥♥❡r✳ ❇✉t
✐ts ✐♥t✉✐t✐✈❡ ♠❡❛♥✐♥❣ r❡♠❛✐♥s ❜❛s✐❝❛❧❧② ✉♥❛❧t❡r❡❞✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛tγ❛♥❞η❛r❡ t❤❡ ❡①❛❝t r❡❧❛①❛t✐♦♥s ♦❢β t❤❛t ❣✐✈❡ ✉s ❲❆❘◆■✿
❚❤❡♦r❡♠ ✹✳ ❆ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡C ♦♥ Ωx s❛t✐s✜❡s ❲❆❘◆■ ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧②
✐❢✱ ✐t s❛t✐s✜❡sα✱γ ❛♥❞η✳
❚❤❡ r❡s✉❧t ❛❜♦✈❡ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❲❆❘◆■ ❛①✐♦♠ ♦❢ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮ ❝❛♥ ❜❡ ❞❡❝♦♠♣♦s❡❞ ✐♥t♦ t✇♦ st❛♥❞❛r❞ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❝❤♦✐❝❡ t❤❡♦r② ♣❧✉s t❤❡ ♥❡✇η✲
❛①✐♦♠ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ❤❡r❡✳ ❲❡ ❝❛♥ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❲❲❆❘◆■✱ r❡s✐❞❡s ❡♥t✐r❡❧② ✐♥ t❤❡ η✲❛①✐♦♠✳ ❋♦r♠❛❧❧②✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣
❞❡❝♦♠♣♦s✐t✐♦♥ ♦❢ ❲❲❆❘◆■✿
❚❤❡♦r❡♠ ✺✳ ❆ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡C♦♥Ωxs❛t✐s✜❡s ❲❲❆❘◆■ ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧②
✐❢✱ ✐t s❛t✐s✜❡sα❛♥❞γ✳
❚❤❡♦r❡♠s ✹ ❛♥❞ ✺ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❲❲❆❘◆■ ✐s ❡♥t✐r❡❧② ❝❛♣t✉r❡❞ ❜②η✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ t❤❡② s✉❣❣❡st t❤❛t✱ ✇❤❡♥ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ❙❈❚✱
t❤❡r❡ ❡①✐sts s♦♠❡ r❡s✐❞✉❛❧ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐♥ t❤❡η ♣♦st✉❧❛t❡✳ ■♥ ❢❛❝t✱ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡
❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣r♦♣❡rt②✿
❆①✐♦♠ ✾✳ ✭❈❤♦s❡♥ ❊❧❡♠❡♥t ❉♦♠✐♥❛♥❝❡ ✲ ❈❊❉✮ ❋♦r ❡✈❡r②S ∈ΩX,✐❢C({x, z}) =
{x}❢♦r s♦♠❡x∈S\C(S)❛♥❞z∈S\ {x}✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ❡①✐stsy∈C(S)s✉❝❤ t❤❛t
C({x, y}) ={y}✳
❲❡ ❝❛♥ ♥♦✇ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶✳ ❙✉♣♣♦s❡ C s❛t✐s✜❡s α❛♥❞γ✳ ❚❤❡♥ C s❛t✐s✜❡sη ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧②
✐❢✱ ✐t s❛t✐s✜❡s ❙❈❚ ❛♥❞ ❈❊❉✳
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶ s❤♦✇s t❤❛t t❤❡ ❡①tr❛ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐♥η ✇❤❡♥ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ❙❈❚
✐s ❝❛♣t✉r❡❞ ❜② ❈❊❉✳ ■t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t✱ ✐♥ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ α ❛♥❞ γ✱ ❙❈❚ ✐s
❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❛♥♦t❤❡r ♣♦st✉❧❛t❡ t❤❛t ❛♣♣❡❛r❡❞ ✐♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❙❡♥ ✭✶✾✼✶✮✳
❆①✐♦♠ ✶✵✳ ✭δ✲❛①✐♦♠✮ ❋♦r ❛♥② ♣❛✐r ♦❢ ✜♥✐t❡ s❡ts S, T ∈ ΩX ❛♥❞ ❢♦r ❛♥② ♣❛✐r
x, y∈C(S)✱ ✐❢ S⊆T✱ t❤❡♥C(T)6={x}✳
Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳ ▲❡t (X,ΩX) ❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛♥❞ C : ΩX ⇒ X ❛ ❝❤♦✐❝❡
❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ♦♥ΩX✳ ❙✉♣♣♦s❡ C s❛t✐s✜❡sα ❛♥❞γ✳ ❚❤❡♥✱ ❙❈❚ ❤♦❧❞s ✐❢✱ ❛♥❞
♦♥❧② ✐❢✱δ ❤♦❧❞s✳
✹ ❈♦♥❝❧✉s✐♦♥
■♥ t❤✐s ♥♦t❡✱ ✇❡ s❤♦✇❡❞ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ❛✈♦✐❞ t❤❡ ❝♦✉♥t❛❜✐❧✐t② r❡q✉✐r❡♠❡♥t ✐♥ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦✬s ♠❛✐♥ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠ ✭s❡❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✷ ❛❜♦✈❡✮ ❜② ❛ s✉✐t❛❜❧❡
r❡❧❛①❛t✐♦♥ ♦❢ ❲❆❘◆■✱ ♥❛♠❡❧② ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✇❡ ✐❞❡♥t✐✜❡❞ t❤❡ ❡①❛❝t ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ r❡s✐❞✉❡ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ✐♥ ❲❆❘◆■ ✇❤❡♥ ❝♦♠♣❛r❡❞ ✇✐t❤ ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚✳ ❲❡ ❛❧s♦ s❤♦✇❡❞ ❤♦✇ ❲❆❘◆■✱ ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚ ❛r❡ r❡❧❛t❡❞ t♦ st❛♥❞❛r❞ ❛①✐♦♠s ♦❢ ❝❤♦✐❝❡ t❤❡♦r②✳
■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t ❢♦r t❤❡ t②♣❡ ♦❢ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ st✉❞✐❡❞ ✐♥ t❤✐s ♥♦t❡✱ ♦♥❧② t❤❡ str✐❝t ♣❛rt ♦❢ t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ % ♦❜t❛✐♥❡❞ ✐♥ t❤❡ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠s
❛❜♦✈❡ ♠❛tt❡rs✱ ✐♥ t❤❡ s❡♥s❡ t❤❛t ❛♥② ♦t❤❡r ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥ t❤❛t s❤❛r❡s t❤❡ s❛♠❡ str✐❝t ♣❛rt ✇✐t❤ % ❝❛♥ ❛❧s♦ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ r❡♣r❡s❡♥t t❤❡ s❛♠❡ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥✲
❞❡♥❝❡✳ ■♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r✱ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥ ❞❡✜♥❡❞ ❜② x y ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ y ✐s ♥♦t
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❚❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ❝❛❧❧s s✉❝❤ r❡❧❛t✐♦♥s q✉❛s✐✲tr❛♥s✐t✐✈❡✳ ❙❡♥ ✭✶✾✼✶✮✱ ❙❝❤✇❛rt③ ✭✶✾✼✻✮✱ ❛♥❞ ❇❛♥❞②♦♣❛❞❤②❛② ❛♥❞ ❙❡♥❣✉♣t❛ ✭✶✾✾✸✮ ♣r♦✈❡❞ r❡♣r❡s❡♥t❛t✐♦♥ t❤❡♦r❡♠s t❤❛t ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡s t❤❛t ❝❛♥ ❜❡ r❛t✐♦♥❛❧✐③❡❞ ❜② ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛♥❞ q✉❛s✐✲tr❛♥s✐t✐✈❡ r❡❧❛t✐♦♥✳ ▲❡♠♠❛ ✶ ❛❜♦✈❡ ♠❛❦❡s ✐t ❝❧❡❛r t❤❛t ❛❧❧ t❤♦s❡ r❡s✉❧ts ❝♦✉❧❞ ❜❡ r❡♣❤r❛s❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❛ r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r✳
❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ♥♦t❡ t❤❛t ❛❧❧ ❊❧✐❛③ ❛♥❞ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮✬s r❡s✉❧ts ❛❜♦✉t t❤❡ ❝❧❛ss ♦❢
C✲✐♥❝♦♠♣❛r❛❜✐❧✐t✐❡s r❡♠❛✐♥ ✈❛❧✐❞ ✐❢ ✇❡ s✉❜st✐t✉t❡ ❲❆❘◆■ ❢♦r ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞
❙❈❚✳
❆ Pr♦♦❢s
❆✳✶ Pr♦♦❢ ♦❢ ▲❡♠♠❛ ✶
❋✐① ❛♥② ♣r❡♦r❞❡r%⊆X×X✳ ❉❡✜♥❡ t❤❡ ❜✐♥❛r② r❡❧❛t✐♦♥%ˆ ⊆X×X ❜②x%ˆy✐✛ x%y ♦rx ⊲⊳ y ❛♥❞✱ ❢♦r ❡✈❡r② z∈X✱z≻x⇔z≻y ❛♥❞ x≻z⇔y ≻z✳ ■t ✐s
❝❧❡❛r t❤❛t%ˆ ⊆%❛♥❞≻= ˆ≻✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ♦♥❡ ❝❛♥ ❡❛s✐❧② ❝❤❡❝❦ t❤❛t%ˆ ✐s ❛ r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r✳ ■t r❡♠❛✐♥s t♦ s❤♦✇ t❤❛t%ˆ ✐s ✉♥✐q✉❡✳ ❋♦r t❤❛t✱ ❧❡t %¯ ❜❡ ❛♥② ♦t❤❡r r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r ✇✐t❤%⊆%¯ ❛♥❞≻= ¯≻✳ ❚❤❡ ❢❛❝t t❤❛t%¯ ✐s r❡❣✉❧❛r ✐♠♠❡❞✐❛t❡❧②
✐♠♣❧✐❡s t❤❛t∽ˆ ⊆∽¯✳ ❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ♥♦t❡ t❤❛t ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐st❡❞ x, y∈X s✉❝❤ t❤❛t x∽¯y✱ ❜✉t ✐t ✇❛s ♥♦t t❤❡ ❝❛s❡ t❤❛tx∽ˆy✱ t❤❡♥ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ %ˆ ✇♦✉❧❞ ✐♠♣❧②
t❤❛t%¯ ✐s ♥♦t tr❛♥s✐t✐✈❡✱ ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳
❆✳✷ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✸
■t ✐s ❡❛s✐❧② ❝❤❡❝❦❡❞ t❤❛t ✐❢ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ♣r❡♦r❞❡r% ♦♥ X s✉❝❤ t❤❛t C(S) =
M AX(S,%)✱ ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ ΩX✱ t❤❡♥ C s❛t✐s✜❡s ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚✳ ❈♦♥✲
✈❡rs❡❧②✱ s✉♣♣♦s❡C: ΩX ⇒X s❛t✐s✜❡s ❲❲❆❘◆■ ❛♥❞ ❙❈❚✳ ❉❡✜♥❡
x<y⇔C({x, y}) ={x}.
■t ✐s ❝❧❡❛r t❤❛t<✐s r❡✢❡①✐✈❡ ❛♥❞✱ ❜② ❙❈❚✱ tr❛♥s✐t✐✈❡✳ ❚❤✉s<✐s ❛ ♣r❡♦r❞❡r✳
◆♦✇ ✜①S∈ΩX ❛♥❞ x∈C(S)✳ ❇② ❲❲❆❘◆■✱x∈C({x, y})❢♦r ❡✈❡r②y∈S✱
s♦ t❤❛tx∈M AX(S,<)✳ ◆♦✇ ♣✐❝❦ ❛♥②x∈M AX(S,<)✳ ❇② t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢
<✱ ✇❡ ❤❛✈❡ x∈ C({x, y})✱ ❢♦r ❡✈❡r② y ∈ S✳ ❍❡♥❝❡✱ ❜② ❲❲❆❘◆■✱ x∈ C(S)✳ ❲❡ ❤❛✈❡ t❤✉s s❤♦✇♥ t❤❛tC(S) =M AX(S,<)✳ ❲❡ ♥♦t❡ t❤❛t✱ ❢♦r ❛♥② ♣r❡♦r❞❡r
ˆ
%✱ s✉❝❤ t❤❛t C(S) = M AX(S,%ˆ) ❢♦r ❡✈❡r② S ∈ ΩX✱ ✇❡ ♠✉st ❤❛✈❡ x≻ˆy ⇔
C({x, y}) = {x} ⇔ x≻ y✳ ◆♦✇ ▲❡♠♠❛ ✶ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ✉♥✐q✉❡
r❡❣✉❧❛r ♣r❡♦r❞❡r%s✉❝❤ t❤❛tC(S) =M AX(S,%)✱ ❢♦r ❡✈❡r② S∈ΩX✳
❆✳✸ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✹
■t ✐s ❡❛s✐❧② ❝❤❡❝❦❡❞ t❤❛t ❲❆❘◆■ ✐♠♣❧✐❡sα✱γ ❛♥❞η✱ s♦ ✇❡ ✇✐❧❧ ♦♥❧② s❤♦✇ t❤❛t
t❤❡s❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ✐♠♣❧② ❲❆❘◆■✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛tα✱γ✱ ❛♥❞η❤♦❧❞✳ ▲❡tS∈ΩX❛♥❞
y∈S✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r②x∈C(S)t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛Tx∈ΩX ✇✐t❤y∈C(Tx)
❛♥❞x∈Tx✳ ❙✐♥❝❡{x, y} ⊆Tx❛♥❞y∈C(Tx)✱α❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛t y∈C({x, y})✱
❢♦r ❡✈❡r②x∈C(S)✳ ▲❡tT ⊆C(S)✇✐t❤ T ∈ΩX✳ ❇② γ✱ y∈C(∪x∈T{x, y}) =
C(T∪ {y})✳ ❚❤❡η✲❛①✐♦♠ ♥♦✇ ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛ty∈C(S)✳
❆✳✹ Pr♦♦❢ ♦❢ ❚❤❡♦r❡♠ ✺
❆❣❛✐♥✱ ✐t ✐s ❡❛s② t♦ ❝❤❡❝❦ t❤❛t ❲❲❆❘◆■ ✐♠♣❧✐❡sα❛♥❞γ✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛tα❛♥❞ γ ❤♦❧❞✳ ▲❡t S ∈ΩX ❛♥❞ y ∈S✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❢♦r ❡✈❡r②x∈S t❤❡r❡
❡①✐sts ❛Tx∈ΩX ✇✐t❤y∈C(Tx)❛♥❞x∈Tx✳ ❙✐♥❝❡{x, y} ⊆Tx❛♥❞y∈C(Tx)✱
t❤❡α✲❛①✐♦♠ ❣✉❛r❛♥t❡❡s t❤❛t y ∈C({x, y})✱ ❢♦r ❡✈❡r②x∈S✳ ❇② t❤❡ γ✲❛①✐♦♠✱ y∈C(∪x∈S{x, y}) =C(S)✱ ❛s ❞❡s✐r❡❞✳
❆✳✺ Pr♦♦❢ ♦❢ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✶
▲❡t C ❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ s❛t✐s❢②✐♥❣ α ❛♥❞ γ✳ ❙✉♣♣♦s❡ ✜rst t❤❛t ✐t
❛❧s♦ s❛t✐s✜❡s η✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛t C({x, y}) = {x} ❛♥❞ C({y, z}) = {y}✳ ❇② α✱ C({x, y, z}) = {x}✳ ◆♦✇ η ✐♠♣❧✐❡s t❤❛tC({x, z}) ={x}✳ ❚❤❛t ✐s✱ C s❛t✐s✜❡s
❙❈❚✳ ❋✐①S ∈ΩX✱x∈S\C(S)❛♥❞z∈S\ {x}✳ ❙✉♣♣♦s❡ t❤❛tC({x, z}) ={x}✱
❜✉t t❤❛t✱ ❢♦r ❡✈❡r② y ∈ C(S)✱ x ∈ C({x, y})✳ ▲❡t T ⊆ C(S) ✇✐t❤ T ∈ ΩX✳
❇② γ✱ x ∈ C(T∪ {x})✳ ❙✐♥❝❡ ❚ ✇❛s ❛r❜✐tr❛r②✱ η ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t x ∈ C(S)✱ ❛ ❝♦♥tr❛❞✐❝t✐♦♥✳
❋♦r t❤❡ ❝♦♥✈❡rs❡✱ s✉♣♣♦s❡ ❙❈❚ ❛♥❞ ❈❊❉ ❜♦t❤ ❤♦❧❞✳ ❋✐① S ∈ ΩX ❛♥❞
s✉♣♣♦s❡x∈S∩C(T∪ {x})❢♦r ❛❧❧T ⊆C(S)✇✐t❤T ∈ΩX✳ ❇② ❈❊❉✱ ✐❢ t❤❡r❡
❡①✐st❡❞ y ∈S\C(S) ✇✐t❤C({x, y}) ={y}✱ t❤❡♥ t❤❡r❡ ✇♦✉❧❞ ❡①✐st ❛ z ∈C(S) ✇✐t❤C({y, z}) ={z}✳ ❇② ❙❈❚✱ ✇❡ ✇♦✉❧❞ ❣❡tC({x, z}) ={z}✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥♥♥♦t
❜❡ tr✉❡✳ ❲❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛tx∈C({x, y})❢♦r ❡✈❡r②y ∈S\C(S)✳ ◆♦✇γ✐♠♣❧✐❡s
t❤❛tx∈C(S)✳
❆✳✻ Pr♦♦❢ ♦❢ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷
▲❡t(X,ΩX)❜❡ ❛ ❝❤♦✐❝❡ s♣❛❝❡ ❛♥❞C: ΩX⇒X ❛ ❝❤♦✐❝❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞❡♥❝❡ ♦♥ΩX✳
❙✉♣♣♦s❡C s❛t✐s✜❡s α ❛♥❞γ✳ ❆ss✉♠❡ t❤❛tδ ❤♦❧❞s ❛♥❞ t❤❛t C({x, y}) = {x}✱
C({y, z}) ={y}✳ ❇②α✱C({x, y, z}) ={x}❛♥❞✱ ✉s✐♥❣α♦♥❡ ♠♦r❡ t✐♠❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡
t❤❛tx∈C({x, z})✳ ❇②δ✱ ✇❡ ♠✉st ❤❛✈❡C({x, z}) ={x}❛♥❞ ❙❈❚ ❤♦❧❞s✳
❆ss✉♠❡ t❤❡♥ t❤❛t ❙❈❚ ❤♦❧❞s✳ ▲❡t S, T ∈ ΩX ❜❡ ✜♥✐t❡ s❡ts ✇✐t❤ S ⊆ T
❛♥❞ x, y ∈ C(S)✳ ◆♦t❡ t❤❛t✱ ❜② α✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❛t y ∈ C({y, z}),∀z ∈ S✳ ■♥
♣❛rt✐❝✉❧❛r✱C({x, y}) ={x, y}✳ ❙✉♣♣♦s❡C(T) ={x}✳ ❙✐♥❝❡y /∈C(T)✱γ✐♠♣❧✐❡s
t❤❛t ∃z1 ∈ T\{x} s✉❝❤ t❤❛t C({y, z1}) = {z1}✳ ❙✐♥❝❡ z1 ∈/ C(T)✱ γ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t ∃z2 ∈ T\{y, z1} s✉❝❤ t❤❛t C({z1, z2}) = {z2}✳ ❚❤✉s ❙❈❚ ✐♠♣❧✐❡s t❤❛t
C({z2, y}) ={z2}❛♥❞✱ ❝♦♥s❡q✉❡♥t❧②✱z26=x✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❝❛♥ ♣r♦❝❡❡❞ ✐♥❞❡✜♥✐t❡❧② ✐♥ t❤✐s ✇❛② ❛♥❞T ✐s ✜♥✐t❡✱ ✇❡ ❝♦♥❝❧✉❞❡ t❤❛tC(T)6={x}✳
❘❡❢❡r❡♥❝❡s
❇❛♥❞②♦♣❛❞❤②❛②✱ ❚✳ ❛♥❞ ❑✳ ❙❡♥❣✉♣t❛ ✭✶✾✾✸✮✳ ❈❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ✇❡❛❦ ♦r❞❡rs ❛♥❞ r❡✈❡❛❧❡❞ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡✳ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❚❤❡♦r② ✸ ✭✺✼✶✲✺✼✻✮✳
❊❧✐❛③✱ ❑✳ ❛♥❞ ❊✳ ❆✳ ❖❦ ✭✷✵✵✻✮✳ ■♥❞✐✛❡r❡♥❝❡ ♦r ✐♥❞❡❝✐s✐✈❡♥❡ss❄ ❝❤♦✐❝❡✲t❤❡♦r❡t✐❝ ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥s ♦❢ ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡s✳ ●❛♠❡s ❛♥❞ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❇❡❤❛✈✐♦r ✺✻✱ ✻✶✕✽✻✳
❙❝❤✇❛rt③✱ ❚✳ ✭✶✾✼✻✮✳ ❈❤♦✐❝❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✏r❛t✐♦♥❛❧✐t②✑ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ✈❛r✐❛t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ✇❡❛❦ ❛①✐♦♠ ♦❢ r❡✈❡❛❧❡❞ ♣r❡❢❡r❡♥❝❡✳ ❏♦✉r♥❛❧ ♦❢ ❊❝♦♥♦♠✐❝ ❚❤❡♦r② ✶✸ ✭✸✮✱ ✹✶✹✕✹✷✼✳
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