Mecânica dos Sólidos 2
Notas de aula
Fernando P. Duda
Programa de Engenharia Mecânica - COPPE Departamento de Engenharia da Mecânica - POLI
Universidade Federal do Rio de Janeiro duda@mecanica.coppe.ufrj.br
Conteúdo:
1 Tensões em barras
2 Deslocamentos e rotações em barras 3 Flambagem de colunas
Bibliografia recomendada:
Crandall, S. H., Lardner, T. J., Archer, R. R., Cook, N. H.,&
Dahl, N. C. (1978). An introduction to the mechanics of solids.
Sugestão de leitura e exercícios
Sugestão de leitura:
Livro do Crandall et al:
Capítulos: 3 (exceto 3.6), 6 (exceto 6.10, 6.11 e 6.12), 7 (exceto 7.10), 8 (exceto 8.7) , 9 (9.1 até 9.4)
Livro do Feodosiev
Capítulos II, IV, XI - (seções 73 e 74), XIV (seções 89, 90, 92, 99 e 100)
Exercícios recomendados do livro do Crandall: Capítulo 6: 6.10, 6.26, 6.42
Capítulo 7: 7.1, 7.2, 7.3, 7.5, 7.7 (revisão) ; 7.59, 7.62, 7.64, 7.70, 7.75, 7.76, 7.77, 7.78, 7.79, 7.80 e 7.81 Capítulo 8: 8.1, 8.2, 8.11, 8.15 e 8.40
Problema típico de mecânica dos sólidos 3D
Dados
Geometria, carregamento e apoios Comportamento material
Obter
Distribuição de tensões:
σx τxy τxz τyx σy τyz τzx τzy σz
(τxy =τyx, τxz =τzx, τyz =τzy)
(funções de(x,y,z)) Campo de deslocamentos
Ferramenta fundamental para análise e projeto de componentes mecânicos
Resistência e integridade Estabilidade
Solução do problema 3D:
Analítica para casos especiais
Numérica (via elementos finitos por exemplo) para casos complexos
Realmente necessária?
Simplificações podem ser introduzidas?
Antes porém...
Definição clara do problema de interesse Introdução de idealizações pertinentes
(geometria, carregamento, comportamento ...) Seleção do modelo mecânico apropriado (ex. 3D, 2D, 1D)
Membros esbeltos (barras)
Corpo sólido muito especial: Geometria
Uma das dimensões (comprimento) muito maior que as outras duas:
L/b&L/t ≫1 (≥5)
Sistema coordenadas cartesiano x: eixo centroidal
Tensões em barras
(Truck Bed Failure due to Loading, Kurt Gramoll, 2003)∗
∗
Método de análise Teoria 3D
Carregamento 3D
(forças de superfícies e de volume) Esforços internos 3D (tensões)
(σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz)
Teoria reduzida (aproximada) Carregamento 1D
Esforços internos 1D
(N,Vy,Vz,mx,my,mz)
Na teoria reduzida
Premissas gerais: σy =σz =τyz =0 Carregamento 1D
(redução estática do carregamento 3D) Esforços 1D
N =
Z
A
σxdA, Vy = Z
A
τxydA, Vz = Z
A τxzdA
mx = Z
A
(yτxz−zτxy)dA, my = Z
zσxdA, mz =− Z
A
yσxdA
1 Identificar a geometria e carregamento considerando a barra como objeto 3D
(diagrama de corpo livre é fundamental!) 2 Identificar o eixo da barra (eixox)
3 Obter carregamento 1D
(redução estática do carregamento 3D) 4 Calcular distribuição dos esforços internos
(N,Vy,Vz,mx,my,mz)ao longo do eixox
5 Obter(σx, τxy, τxz)em termos de(N,Vy,Vz,mx,my,mz)
Estipula variação das tensões na seção transversalx (Casos simples e casos combinados)
Comentários:
Tensões via teoria reduzida
Casos básicos: Esforço axial
N 6=0, Vy =Vz =0, mx =my =mz =0
Flexão
N =0, mx =0 m2y+m2z 6=0 Torção
mx 6=0, N =Vy =Vz =0, my =mz =0
Comentários:
Premissas:
Barra prismática e reta
Material elástico, linear, isotrópico e homogêneo Hipótese fundamental:
A tensão normal à seção transversalσx pode ser escrita como
σx(x,y,z) =a(x) +b(x)y+c(x)z
Os “coeficientes"a,b ec são obtidos através do uso das equações:
N(x) = Z
A
σx(x,y,z)dA
my(x) = Z
A
zσx(x,y,z)dA, mz(x) =− Z
A
Caso 1: Esforço axial e flexão
Considerando o eixox como sendo centroidal
( Z
A
y da= Z
A
z dA=0),
tem-se que:
a(x) = N(x)
A ,
b(x) =−Iyzmy(x) +Iymz(x)
IyIz−Iyz2
, c(x) = Izmy(x) +Iyzmz(x)
IyIz−Iyz2 onde:
A=R
AdA: área da seção transversal
Iyz =RAyz dA: produto de inércia
Iy = R
Az
2dA: momento de inércia com respeito ao eixoy
Iz = R
Ay
Comentários:
Valores máximo e mínimo deσx na seção transversalx:
Pontos da seção mais afastados da linha neutra, i.e., da reta formada pelos pontos(y,z)
σx(x,y,z) =a(x) +b(x)y+c(x)z =0
Eixos principais de inércia: Iyz =0
σx(x,y,z) =
N(x)
A −
mz(x)
Iz
y+ my(x)
Iy
z
Como determinar os eixos principais? Seção simétrica
Trivial: y ouz como eixo de simetria Seção não-simétrica
Caso 1: Esforço axial e flexão
Em resumo, para avaliarσx dois tipos de ingredientes são necessários:
Propriedades geométricas da seção tranversal
(A,Iy,Iz,Iyz)
sendo a origem(0,0)das coordenadas(y,z)localizada no centróide da seção transversal
Esforços internos
(N(x),my(x),mz(x))
em qualquer seçãox da barra Como obter ?
Considere uma barra de comprimentoLsob a ação do seguinte carregamento:
Forças e momentos concentrados extremidades: x =0 ex =L
interior: x0
Força e momento distribuídos no interior da barra (por unidade de comprimento)
Os esforços internos são obtidos pela condições de equilíbrio: X
F=0 XMQ =0
Caso 1: Esforço axial e flexão
Usando as condições mencionadas anteriormente, pode ser mostrado que:
Emx =0
N(0) =−Fx0, Vy(0) =−Fy0, Vz(0) =−Fz0
mx(0) =−Mx0, my(0) =−My0, mz(0) =−Mz0 Emx =L
N(L) =FxL, Vy(L) =FyL, Vz(L) =FzL
mx(L) =MxL, my(L) =MyL, mz(L) =MzL
Emx =x0
N(x0+)−N(x0−) =−Fx(x0), etc
Já para qualquerx diferente dos anteriores: Método das seções
X
F=0 XMQ =0
para o pedaço[0,x]ou o pedaço[x,L] Equilíbrio na forma diferencial
dN(x)
dx +fx =0,
dVy(x)
dx +fy =0,
dVz(x)
dx +fz =0
dmx(x)
dx +cx =0
dmy(x)
dx +cy −Vz(x) =0,
dmz(x)
dx +cz+Vy(x) =0
Caso 1: Esforço axial e flexão
E as tensões de cisalhamentoτxy(x,y,z)eτxz(x,y,z)?
Fórmulas de Jourawski†:
τxy(x,y) = 1 δ(y)
Qz(y)
Iz
Vy(x) +
Qy(y)
Iy
Vz(x)
τxy(x,z) = 1 δ(z)
Qz(z)
Iz
Vy(x) +
Qy(z)
Iy
Vz(x)
No caso de um perfil aberto de parede delgada
τxs(x,s) = 1 δ(s)
Qz(s)
Iz
Vy(x) +
Qy(s)
Iy
Vz(x)
δ,Qy eQz?
Perfil de parede delgada?
Viga engastada submetida a um carga transversalP na sua extremidade livre. A seção transversal é um perfil de parede fina do tipo “C”. A distribuição da tens ˜es de cisalhamento é ilustrada na figura.
Note que:
Pelo equilíbrio,mx =0
Tensões de cisalhamento
Na verdade tensões adcionais de torção aparecem para garantir que o equilíbrio seja satisfeito!
τxs =τxsF +τxsT, mFx +mxT =mx =0.
Ponto da seção onde as cargas transversais devem ser aplicadas para evitar torção. Coordenadas:
ey = 1
IyIz−Iyz2
(IzKy −IyzKz), ez = 1
IyIz−Iyz2
(IyKz −IyzKy)
Ky = Rsf
0 r(s)Qy(s)ds;Kz =
Rsf
Caso 2: Torção (
m
x6
=
0)
Hipóteses:
Comportamento elástico linear, isotrópico e homogêneo A tensão normal à seção transversal é nula
σx(x,y,z) =0
Determinação das tensões de cisalhamentoτxy eτxz? Uma tentativa seria admitir algo do tipo:
τxy(x,y,z) =−a(x)z, τxz(x,y,z) =a(x)y. Neste caso, segue demx =RA(τxzy−τxyz)dAque
a(x) = mx(x)
J
onde
J =
Z
A
(y2+z2)dA=Iy+Iz
Tensões de cisalhamento: τxy(x,y,z) =−
mx(x)
J z, τxz(x,y,z) = mx(x)
J y,
J =
Z
A
(y2+z2)dA
Cuidado!!
Pode ser mostrado que expressões acima só podem ser usadas quando a seção transversal é circular.
Torção
Um boa aproximação pode ser obtida quando a seção transversal é um perfil de parede fina:
Perfil aberto
τxs(x,s, ξ) =
mx(x)
J ξ, J =
1 3
Z
t3(s)ds
ξ: coordenada ao longo da espessura Perfil fechado
τxs(x,s) = mx
(x) 2t(s)Am
Questão:
Aplicação 1
Idealizações:
A carroceria é uma viga de seção retangular simplesmente apoiada e submetida a um carrregamento uniformemente distribuído.
Considerando que o carregamento ocorre no planoxy,
σx =−
mz
Iz
y
a falha ocorre na seção onde|mz|é máximo (seção crítica).
Aplicação 2
Determinar o estado de tensões para a viga mostrada na figura.
Determinar o estado de tensões para a viga mostrada na figura.
Aplicação 3
Obter o estado de tensões em uma viga engastada, de comprimentoLcom seção transversal mostrada na figura, submetida a uma carga verticalP. Dados:y¯ = (2/3)a; ¯
z=a/6;Iy = (1/4)a3t;Iz = (4/3)a3t;Iyz =−(1/3)a3t.
Considere as seguintes situações:
Revisão
A representação do estado de tensões em um corpo 3D no sistema de coordenadas cartesiano(x,y,z)é dada pela matriz:
σx τxy τxz τxy σy τyz τxz τyz σz
No caso de uma barra reta, cujo eixo é identificado com o eixo
x, é frequentemente assumido que
σy =σz =τyz =0
Nesto caso, o estado de tensões é completamente determinado pela tensão normalσx, e pelas tensões de cisalhamento‡τ
xy eτxz.
‡No caso onde a seção transversal da barra é um perfil de parede fina, é
Considerando o eixox como sendo centroidal e, por conveniência, quey ez são eixos principais de inércia:
Tensão normal
σx(x,y,z) =
N(x)
A −
mz(x)
Iz
y+ my(x)
Iy
z
Tensões de cisalhamento (flexão)
τxyF(x,y) = 1 δ(y)
Qz(y)
Iz
Vy(x) +
Qy(y)
Iy
Vz(x)
τxyF(x,z) = 1 δ(z)
Qz(z)
Iz
Vy(x) +
Qy(z)
Iy
Vz(x)
No caso de um perfil aberto de parede delgada
τxsF(x,s) = 1 δ(s)
Qz(s)
Iz Vy
(x) +Qy(s)
Iy Vz
Revisão
Tensões de cisalhamento (torção)
τxyT(x,y,z) =
mt(x)
J
∂φ(y,z)
∂z , τ
T
xz(y,z) =−
mt(x)
J
∂φ(x,y,x) ∂y
onde
△φ=−2, no interior da ST φ=ki no contorno da ST J
=− Z
A
y∂φ
∂y +z
∂φ ∂z
dA
φ: funcão tensão de Prandtl
mt(x): momento torsor na seçãox
mt(x) =mx(x)exceto no caso de perfis abertos de parede
delgada. Neste caso,
mt(x) =mx(x)−mxF(x)
Tensões de cisalhamento (torção) Seção circular
τT
xy(x,y,z) =−
mx(x)
J z τ
T
xz(x,y,z) =
mx(x)
J y onde
J=
Z
A
y2+z2
dA (momento polar de inércia)
Perfil aberto
τxs(x,s, ξ) = mt(x)
J ξ, J = 1 3
Z
t3(s)ds, mt(x) =mx(x)−mFx(x)
ξ: coordenada ao longo da espessura Perfil fechado
τxs(x,s) = mx(x)
2t(s)Am ,
Revisão
Portanto, para um perfil aberto de parede fina
τxs =τxsF +τxsT
Para evitar torção, é necessão quemx(x) =mxF(x).
A linha de ação do carregamento transversal deve passar pelo centro de cisalhamento:
ey = 1
IyIz−Iyz2
(IzKy −IyzKz), ez = 1
IyIz−Iyz2
(IyKz −IyzKy)
onde
Ky = Z sf
0
r(s)Qy(s)ds Kz = Z sf
0
Barra como um contínuo 1D
Barra como um contínuo 1D
(problema no planoxy por simplicidade) Cinemática :
deslocamentos nas direçõesx,y:(u(x),v(x)) rotações em torno dos eixosx ez:(θx(x), θz(x)) Equilíbrio
N′(x) +fx(x) =0, Vy′(x) +fy(x) =0
mx′(x) +cx(x) =0, mz′(x) +Vy(x) +cz(x) =0 Teoria Constitutiva
Hipótese de Euler-Bernoulli
θz(x) =v′(x)
Relações constitutivas
N=EAu′, m
No caso de uma barra reta, as equações de governo parau,v
eθx são dadas por:
(EAu′)′+fx =0, (EIzv′′)′′−fy +cz′ =0, (GJθ′x)′+cx =0,
para pontos no interior da barra (exceto nos pontos de descontinuidade) as quais devem ser suplementadas por condições de contorno. Essas condições são de dois tipos:
Geométricas
Prescrição deu,v,θz =v′ eθx Naturais
Prescrição deN,Vy,mz emx
Em um ponto do contorno (extremidade) deve ser prescrito:
Exemplos
Obter tensão máxima na barra mostrada na figura.
Flambagem de colunas
Como obter a carga crítica de flambagem? Pertuba a configuração equilíbrio reta (compatível com os vínculos)
Escreve equilíbrio equilíbrio na configuração perturbada
N′+fx =0, m′+V−Nv′=0
Adiciona equação constitutivam=EIv′′
Assim você obtém uma equação diferencial homogênea para
No caso onde a carga axial é aplicada (e cuja linha de ação permance inalterada) em uma das extremidades de uma barra homogênea, a equação parav pode ser escrita como
v(iv)+κ2v′′ =0, κ=pP/EI
A solução mais geral da equação admite a seguinte representação
v(x) =C1+C2x+C3sin(κx) +C4cos(κx)
Considerando as condições de corntono nas extremidades, temos quatro equações envolvendoC= (C1,C2,C3,C4):
A(κ,L)C=0
Flambagem de colunas
Para obter a carga crítica de flambagem: 1 Monta a matrizA(κ,L)
2 Encontra as raizes da equação detA(κ,L) =0
3 Seleciona a menor raíz positiva, digamosκ1 4 Avalia a expressão
