Tema 8
Transformada de Laplace
8.1
Introducci´
on. Transformadas Integrales
Puede decirse que los m´etodos cl´asicos para la resoluci´on de problemas de valores en la frontera en la F´ısica Matem´atica se derivan del trabajo precursor de Fourier. Una nueva t´ecnica, la de las transformadas integrales, cuyo origen se encuentra en los trabajos de Heaviside (electrot´ecnico ingl´es de fines del siglo pasado), ha sido desarrollada durante los ´ultimos a˜nos, y tiene ciertas ventajas sobre el m´etodo cl´asico.
Heaviside (aproximadamente 1.890) se interes´o originalmente en la resoluci´on de E.D.O. con coeficientes constantes que aparecen en la teor´ıa de circuitos el´ectricos. M´as tarde, ´el mismo extendi´o su m´etodo a las E.D.P. que aparecen en electromagnetismo y conducci´on de calor. Fue tal el poder de su m´etodo, que resolvi´o muchos problemas hasta entonces irresolubles y obtuvo soluciones a problemas ya resueltos en una forma m´as adaptable al C´alculo Num´erico. Posteriores investigaciones efectuadas por Bronwich, Carson y Van der Pool, fundamentaron el c´alculo de Heaviside sobre una base m´as s´olida.
En un trabajo reciente, efectuado por Doetsch y otros, sobre la transformaci´on de Laplace, se unifica la teor´ıa desarrollada por Heaviside, Bronwich y Carson. General-mente, el empleo de una transformada integral reducir´a una E.D.P. en n variables independientes a una con n−1 variables, reduciendo por lo tanto, la dificultad del pro-blema en estudio. En algunos casos, operaciones sucesivas de este tipo pueden reducir el problema a la resoluci´on de una E.D.O. cuya teor´ıa ha sido ampliamente desarrollada. De hecho, operaciones sucesivas pod´ıan reducir el problema a la resoluci´on de una ecuaci´on algebraica, pero s´olo algunas veces merece la pena hacerlo.
A´un cuando la transformada de Laplace es de empleo m´as com´un y es particular (conveniente para problemas regidos por E.D.O. y para problemas sobre la conducci´on de calor), otras transformaciones integrales pueden ser de gran utilidad en la resoluci´on de problemas de valores en la frontera en la F´ısica Matem´atica. En la resoluci´on de este tipo de problemas se han empleado con ´exito diferentes transformaciones integrales y no existe raz´on alguna para que el m´etodo no pueda extenderse mediante el uso de otros n´ucleos.
En este tema no se har´a un estudio te´orico riguroso de la transformada de Laplace, sino su utilizaci´on pr´actica en la resoluci´on de E.D.O. con condiciones iniciales dadas.
8.1.1
Transformadas Integrales
Definici´on 8.1 Gran n´umero de importantes funciones del An´alisis Matem´atico pueden expresarse como integrales de la forma
g(y) =
Z ∞ −∞
K(x, y)·f(x)·dx
Una funci´on g definida por una ecuaci´on de este tipo (en la que la variable y puede ser real o compleja) se llama Transformada Integral de f .
La funci´on K se denomina N´ucleo de la Transformada.
Como se ha indicado anteriormente, las transformadas integrales se utilizan amplia-mente en las matem´aticas puras y aplicadas y son especialamplia-mente ´utiles en la resoluci´on de ciertos problemas de contorno y de ciertos tipos de ecuaciones integrables. Algunas de las transformadas m´as convenientemente usadas son:
• Transformada exponencial de Fourier: R∞ −∞e
−ixyf(x)dx
• Transformada coseno de Fourier: R∞
0 cos(xy)f(x)dx
• Transformada seno de Fourier: R∞
0 sen(xy)f(x)dx
• Transformada de Laplace: R∞
0 e
−xyf(x)dx
• Transformada de Mellin: R∞
0 xy
−1
f(x)dx
Como e−ixy = cos(xy)−isen(xy) , las transformadas seno y coseno son meros casos
particulares de la transformada exponecial de Fourier en las que la funci´on f se anula en el eje real negativo.
Asimismo, la transformada de Laplace est´a relacionada con la transformada de Fourier: si consideramos un valor complejo de y, y =u+iv, u, v ∈ IR podemos escribir
Z ∞
0
e−xyf(x)dx = Z ∞
0
e−ixv·e−xuf(x)dx = Z ∞
0
e−ixvφ
u(x)dx
donde φu(x) =e
−xu
f(x) . Luego la transformada de Laplace puede considerarse como un caso particular de la transformada exponencial de Fourier.
Nota Una ecuaci´on del tipo g(y) = R∞
−∞K(x, y)·f(x)·dx puede escribirse en la
forma g =T(f) ´o g =T f donde T representa el”operador” que convierte f en g . Ya que la integraci´on est´a involucrada en esa ecuaci´on, el operador T se designa con el nombre de Operador Integral.
Es evidente que T es lineal, es decir T(af1+bf2) = aT(f1) +bT(f2), a, b ∈ IR
8.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE 3
8.2
Transformada de Laplace
Definici´on 8.2 Sea f(t) una funci´on definida en [0,+∞) . Se define la transformada de Laplace de f(t) a la funci´on F(s) o L{f(t)} definida por la integral
F(s) =
Z ∞
0
e−stf(t)dt
para aquellos valores de s ∈ IR ( o lC) para los que est´e definida la integral.
N´otese que la integral que aparece es una integral impropia, que est´a definida por
Z ∞
0
e−stf
(t)dt = lim
A→∞ Z A
0
e−stf
(t)dt siempre que el l´ımite exista.
Antes de discutir sobre la existencia o no de la transformada de Laplace, resulta conveniente definir ciertos t´erminos.
Definici´on 8.3 Se dice que una funci´on f(t) es continua por segmentos o seccional-mente continua en un intervalo cerrado [a,b] si f(t) es continua en todo punto de [a,b], excepto en un n´umero finito de puntos en los que f(t) tiene una discontinuidad de salto.
Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0,∞) si lo es en cada intervalo de la forma [0,N] con N >0.
Definici´on 8.4 Se dice que una funci´on f(t) es de orden exponencial α si existen cons-tantes positivas T y M tales que |f(t)|≤M eαt ∀t≥T.
8.2.1
Condiciones suficientes para la existencia de la
transfor-mada de Laplace
La forma m´as conveniente para probar la convergencia o divergencia de una integral impropia es por medio del siguiente teorema de comparaci´on, que es an´alogo a un teorema similar para series infinitas.
Teorema 8.1 (Criterio de comparaci´on para integrales impropias)
Si f es seccionalmente continua para t ≥ a, si | f(t) |≤ g(t) cuando t > M, para alguna constante M > 0 y si R∞
M g(t)dt converge, entonces
R∞
a f(t)dt tambi´en converge.
Por otra parte, si f(t)≥g(t) ≥0 para t ≥M y si R∞
M g(t)dt diverge, entonces
R∞
a f(t)dt
tambi´en diverge.
Teorema 8.2 Si f(t) es continua por segmentos en [0,∞) y de orden exponencial α, entonces L{f}(s) existe ∀s > α.
Teorema 8.3 Supongamos que f(t) no est´a acotada cuando t → 0. Adem´as: f(t) es continua por segmentos en cualquier intervaloN1 ≤t ≤N con N1 >0, limt→0tnf(t) = 0 para cualquier n con 0< n <1 y f(t) es una funci´on de orden exponencial α.
Entonces, existe L{f(t)} ∀s > α.
Nota:
Estas condiciones son suficientes, no necesarias.
8.3
Propiedades de la transformada de Laplace
Siempre que no se diga lo contrario, supondremos en esta secci´on que f es seccionalmente continua y de orden exponencial.
I. Linealidad
Teorema 8.4 Si c1, c2 ∈ IR y f1(t), f2(t) son funciones cuyas transformadas respectivas
son F1(s), F2(s), entonces
L(c1f1(t) +c2f2(t)) =c1L(f1) +c2L(f2) =c1F1(s) +c2F2(s)
II. Traslaci´on
Teorema 8.5 Si L{f(t)}=F(s), entonces L{eatf(t)}=F(s−a).
Teorema 8.6 Si L{f(t)} = F(s) y g(t) =
(
f(t−a) t > a
0 t < a entonces L{g(t)} = e−asF(s).
III. Cambio de Escala
Teorema 8.7 Si L{f(t)}=F(s) =⇒ L{f(at)}= 1 aF(
s a)
IV. Transformada de la derivada
Teorema 8.8 Supongamos que f y f ’ son seccionalmente continuas en [0,∞) y de orden exponencial. Entonces existe L{f′
(t)} y
L{f′
8.4. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 5
Teorema 8.9 Si en el teorema anterior f(t) no es continua en x= 0, pero en lim
t→0+
f(t) = f(0+) entonces
L{f′
(t)}=sF(s)−f(0+)
Teorema 8.10 Si en las condiciones anteriores (teorema 11.8), f(t) no es continua en t=a, entonces
L{f′
(t)}=sF(s)−f(0)−e−as
[f(a+)−f(a−
)]
Teorema 8.11 Si f, f ’ y f ” son seccionalmente continuas en [0,∞) y de orden exponen-cial, entonces existe L{f′′
(t)} y
L{f′′
(t)}=s2L{f(t)} −sf(0)−f′
(0)
Corolario 8.12 Si f, f′
, . . . , fn−1
son continuas y f(n) es seccionalmente continua en
[0,∞) y de orden exponencial, entonces existe L{f(n)(t)} y se verifica
L{f(n)(t)}=snL{f(t)} −sn−1
f(0)−sn−2
f′
(0)−. . .−sf(n−2)
(0)−f(n−1)
(0)
V. Transformada de Laplace de una integral
Teorema 8.13 Si L{f(t)}=F(s) =⇒ L{Rt
0f(u)du}=
F(s)
s
VI. Derivada de la transformada
Teorema 8.14 Supongamos que f(t) es continua por segmentos en [0,∞) y de orden exponencial α. Entonces ∀s > α
F′
(s) = L{−tf(t)}(s)
Corolario 8.15 Supongamos que f(t) es continua por segmentos y de orden exponencial
α. Entonces ∀s > α
(−1)nd nF
dsn =L{t
nf(t)}(s)
8.4
Transformada inversa de Laplace
Definici´on 8.5 La transformada inversa de Laplace de F(s) es aquella funci´on ´unica f(t) que es continua en [0,∞) y satisface
L{f(t)}(s) =F(s) (∗)
La funci´on se denota L−1
{F}(t).
Si todas las funciones que satisfagan (*) son discontinuas en[0,∞), se elige a L−1
{F}
como una funci´on continua por segmentos que satisfaga(*).
Aclaremos la definici´on.
Dos funciones distintas f(t) y g(t) pueden tener la misma transformada de Laplace
Ejemplo:
f(t) =
(
0 si t6=kπ
1 si t=kπ L{f}= 0 g(t) =
(
0 si t6=kπ2
1 si t=kπ2 L{g}= 0 g 6=f LuegoL−1
{0}, para estar bien definida, tendr´ıa que tener un valor, es decir, una ´unica funci´on soluci´on. Dicha soluci´on ser´ıah(t) = 0 ∀t, la ´unica funci´on continua que verifica queL{h}= 0.
8.5
Propiedades de la transformada inversa de Laplace
I. Linealidad
Teorema 8.16 Seanc1, c2 constantes arbitrarias yf1(t), f2(t)tales queL{f1(t)}=F1(s),L{f2(t)}=
F2(s) entonces
L−1
{c1F1(s) +c2F2(s)}=c1f1(t) +c2f2(t)
II. Teoremas de Traslaci´on
(a) Si L−1
{F(s)}=f(t) =⇒ L−1
{F(s−a)}=eatf(t)
(b) Si L−1
{F(s)}=f(t) =⇒ L−1
{e−asF(s)}=
(
f(t−a) t > a
0 t≤a
III. Cambio de escala
Teorema 8.17 Si L−1
{F(s)}=f(t) =⇒ L{F(ks)}= k1f(kt)
IV. Transformada inversa de Laplace de una derivada
Teorema 8.18 Si L−1
{F(s)}=f(t) =⇒ L−1
{F(n)(s)}=L−1
{ d
n
dsnF(s)}= (−1) ntnf
(t)
V. Transformada inversa de Laplace de una integral
Teorema 8.19 Si L−1
{F(s)}=f(t) =⇒ L−1
{Rs
0 F(u)du}=−
8.5. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE 7
8.5.1
Transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones
racionales algebraicas
En la pr´actica, al aplicar transformada de Laplace, dado que sea posible, nos conduce a tener que aplicar transformadas inversas a funciones racionales algebraicas de la forma F(s) = p(s)
q(s) con grado(q(s))>grado(p(s)). Para calcular L−1
{F(s)}, descomponemos p(s)
q(s) en fracciones simples. Los tipos de fracciones que pueden presentarse en la descomposici´on son:
• (a) Raices reales simples: A s−a • (b) Raices reales m´ultiples: A
(s−a)m, m∈N, m >1 • (c) Raices complejas simples: M s+N
(s−a)2+b2
• (d) Raices complejas m´ultiples: M s+N
((s−a)2+b2)m m∈N, m >1
Calculemos la transformada de cada una de ellas.
(a) A
s−a L−1
{ A
s−a}=AL
−1
{ 1
s−a}=Ae
at
(b) A
(s−a)n
Sabemos que L{tn}= n!
sn+1 , n ∈N. Por la propiedad de traslaci´on
L{eatf(t)} =F(s−a) =⇒ L{eattn}= n!
(s−a)n+1 =⇒ L{e
attm−1
} = (m−1)! (s−a)m =⇒ L−1
{ A
(s−a)m}= A (m−1)!e
attm−1
(c) M s+N
(s−a)2+b2
M s+N (s−a)2+b2 =
M s
(s−a)2+b2 +
N
(s−a)2+b2 =
M(s−a) (s−a)2+b2 +
Recordemos queL{cosbt}= s
s2+b2 y L{e
atcosbt}= s−a
(s−a)2+b2
An´alogamente L{eatsenbt}= b
(s−a)2+b2
Luego:
L−1
{ M s+N
(s−a)2+b2} = ML
−1
{ s−a
(s−a)2+b2}+
aM +N
b L
−1
{ b
(s−a)2+b2}
= M eatcosbt+aM +N b e
at
senbt
(d) M s+N
((s−a)2+b2)m
S´olo vamos a considerar los tipos que aparecen con mucha frecuencia, que son:
d.1) s
(s2+a2)2 d.2)
s2
(s2+a2)2 d.3)
1 (s2+a2)2
Estos tres casos lo dejaremos para m´as adelante cuando veamos en qu´e consiste la
Convoluci´on.
8.6
Resoluci´
on de problemas de valor inicial
Vamos a aplicar la transformada de Laplace para resolver problemas de valor incial sin tener que calcular previamente la integral general de sistema o ecuaci´on diferencial.
8.6.1
M´
etodo de la transformada de Laplace
Para resolver un problema de valor inicial:
• Tomar transformadas de Laplace en ambos miembros de la ecuaci´on.
• Aplicar las propiedades de la transformada de Laplace y las condiciones iniciales para obtener una ecuaci´on de la transformada de Laplace de la soluci´on, y despejar la transformada en esta ecuaci´on.
• Calcular la transformada inversa de Laplace de la soluci´on.
Ejemplo:
Resolver el problema de valor inicial ay′′
+by′
+cy =f y(0) =y0 y′
(0) =y′
8.7. TRANSFORMADA DE LAPLACE Y FUNCIONES ESPECIALES 9
Sean Y(s) y F(s) las transformadas de laplace de y(t) y f(t) respectivamente. L{ay′′
+by′
+cy}=L{f}=F(s) aL{y′′
}+bL{y′
}+cL{y}=F(s) as2Y(s)−asy0−ay′
0+bsY(s)−by0+cY(s) =F(s)
DespejandoY(s):
Y(s) = (as+b)y0 as2+bs+c+
ay′
0
as2+bs+c +
F(s) as2+bs+c
y aplicar ahora la transformada inversa.
El m´etodo se puede aplicar tambi´en a sistemas.
Ejemplo:
Resolver el problema de valor inicial ˙
x=Ax+f(t) x(0) = ¯x0
Sea X(s) =
x1(s)
... xn(s)
=L{
x(t)}=
L{x1(t)}
... L{xn(t)}
F(s) =
F1(s) ... Fn(s)
=L{f(t)}=
L{f1(t)} ... L{fn(t)}
Tomando transformadas
L{x˙}=L{Ax+f}=⇒sX(s)−X(0) =AX(s)−F(s) =⇒(sI −A)X(s) =X(0)− F(s) =⇒X(s) = (sI−A)−1
(X(0)−F(s))
8.7
Transformada de Laplace y funciones especiales
En la pr´actica, ocurre frecuentemente, aparecen ecuaciones diferenciales con t´ermino no homog´eneo con discontinuidades de salto. Estas discontinuidades aparecen de forma nat-ural en circuitos el´ectricos (apagar/encender el interruptor, etc). Para tratar este tipo de comportamientos, Heaviside introdujo la siguiente funci´on escal´on:
Definici´on 8.6 La funci´on escal´on unitario u(t)(´o funci´on de Heaviside) se define me-diante
u(t) =
(
0 si t <0 1 si t >0
Desplazando el argumento, se puede trasladar el salto a una posici´on diferente
u(t−a) =
(
Muchas funciones discontinuas se pueden expresar en t´erminos de funciones escal´on unitario
Teorema 8.20
L{u(t−a)}= e
−as
s a >0
Propiedad de desplazamiento
Teorema 8.21 Supongamos que para s > α ≥ 0, existe la transformada de Laplace de f(t) , F(s). Si ”a” es una constante positiva, entonces
L{f(t−a)u(t−a)}(s) = e−asF
(s)
y si f(t) es continua en [0,∞), entonces L−1
{e−asF(s)}(t) = f(t−a)u(t−a)
En la pr´actica, aparece m´as el tener que calcular transformadas de funciones del tipo g(t)u(t−a). Dichas transformadas vienen dadas por la expresi´on
L{g(t)u(t−a)}=e−as
L{g(t+a)}(s)
Funci´on Gamma
La funci´on gamma Γ(t) se define mediante Γ(t) =
Z ∞
0 e
−u
ut−1
du t >0 que converge∀t >0.
La funci´on gamma goza de la propiedad Γ(t+ 1) =tΓ(t) (basta integrar por partes en la expresi´on anterior)
Es pues, una generalizaci´on del factorial de un n´umero. Si n∈IN, Γ(n) = (n−1)! La funci´on gamma aparece al hallar la transformada de Laplace de la potencial tn,
pues
L{tn}=R∞
0 e
−sttndt = (st=u) = 1
sn+1
R∞
0 e
−uundu
L{tn−1
}= 1
sn
R∞
0 e
−uun−1
du La integral R∞
0 e
−u
un−1
du es una integral euleriana de segunda especie.
Integrales del tipo R∞
0
f(x)
x dx
Mediante transformadas de Laplace se pueden resolver integrales del tipo R∞
0
f(t)
t dt
Supuesto que exista la transformada de Laplace de f(x), L{f(t)}= R∞
0 e
−stf(t)dt =
8.8. LA FUNCI ´ON DELTA DE DIRAC 11
Integrando en el intervalo [0,∞) se tiene
R∞
0 (
R∞
0 e
−stf(t)dt)ds =R∞
0 F(s)ds =⇒
R∞
0 (
R∞
0 e
−stds)f(t)dt) =R∞
0 F(s)ds
ComoR∞
0 e
−stds= 1
t se tiene que
R∞
0
f(t)
t dt =
R∞
0 F(s)dsque tiene sentido siempre que
existan ambas integrales impropias.
8.8
La funci´
on Delta de Dirac
En muchas aplicaciones f´ısicas y biol´ogicas aparece a menudo el problema de valor inicial ay′′
+by′
+cy=f(t) y(0) =y0 y′
(0) =y′
0
donde f(t) no se conoce expl´ıcitamente( aparece cuando se trabaja con fen´omenos de naturaleza impulsiva). La ´unica informaci´on que poseemos de f es que es nula excepto en un intervalo muy peque˜no de tiempo [t0, t1] y que su integral sobre dicho intervalo es no
nula.
Si el intervalo I0 es peque˜no, al ser la integral no nula, ha de ser f(t) muy grande.
Estas funciones se conocen con el nombre de funciones impulso.
Definici´on 8.7 La funci´on Delta de Dirac δ(t) se caracteriza por las dos propiedades siguientes:
1) δ(t) =
(
0 si t6= 0 1 si t= 0
2) R∞
−∞f(t)δ(t)dt =f(0) para cualquier f(t)continua en alg´un abierto que contenga al cero.
An´alogamente a la funci´on de Heaviside se puede hacer una traslaci´on 1)δ(t−a) =
(
0 si t6=a 1 si t=a 2)R∞
−∞f(t)δ(t−a)dt=f(a)
Nuestro objetivo es resolver ay′′
+by′
+cy =f(t) por el m´etodo de la transformada de Laplace.
Para ello hay que conocerL{δ(t−t0)}: L{δ(t−t0)}=R∞
0 e
−stδ(t−t
8.9
La integral de convoluci´
on
Ya ve´ıamos anteriormente, que al resolver problemas de valor inicial, pod´ıamos encon-trarnos el tener que hallar transformadas inversas de funciones de la forma
s (s2+a2)2 ;
1 (s2+a2)2 ;
1
s2+a2G(s) , etc.
Ejemplo:
Y(s) = 1
s2+ 1G(s) con L
−1
{ 1
s2+ 1}= sent , L
−1
{G(s)}=g(t)
Nos preguntamos, ¿qu´e relaci´on existe entre L{Y(s)},sent y g(t)? Esta relaci´on nos la a resolver la siguiente
Definici´on 8.8 Sean f(t) y g(t) continuas por segmentos en [0,∞). El producto de con-voluci´on de f(t) y g(t) denotado por f ∗g se define mediante
(f∗g)(t) =
Z t
0 f(t−τ)g(τ)dτ
8.9.1
Propiedades de la convoluci´
on
Teorema 8.22 Sean f(t), g(t) y h(t) seccionalmente continuas en [0,∞). Entonces
f∗g=g∗f
f ∗(g+h)=f∗g+f ∗h (f∗g)∗h=f∗(g∗h)
f∗0=0
Nota: El operador convoluci´on difiere del operador producto en que f ∗ 1 6= f y f∗f 6=f2. De hecho, la convoluci´on de una funci´on con ella misma puede no ser positiva.
Teorema 8.23 (Teorema de convoluci´on)
Supongamos que f(t) y g(t) son continuas por segmentos en [0,∞) y de orden expo-nencial α. Sean F(s) y G(s) las transformadas de Laplace de f(t) y g(t) respectivamente. Entonces
L{f ∗g}=F(s)G(s)
o, de forma equivalente,
L−1
