Hipóteses fundamentais do modelo

Ibmec/RJ

Professor Christiano Arrigoni

Hipóteses fundamentais do modelo

2. Modelo AS x AD (y x p).

3. Economia fechada sem investimento.

4. Microfundamentação da demanda e da oferta.

5. Ampla tributação do governo que distorce decisões econômicas de famílias e firmas.

6. Firmas: concorrência monopolista + rigidez de preços no curto prazo.

7. Política monetária não neutra no curto prazo feita por meio do controle da taxa nominal e real de juros.

Problema de otimização do agente

representativo:

𝑚𝑎𝑥𝐶, 𝐶,𝐿, 𝐿 𝑢 𝐶 − 𝑣 𝐿 + 𝛽 𝑢 𝐶 − 𝑣 𝐿 (1)

𝑠. 𝑎. 1 + 𝜏_𝐶 𝑃𝐶 + 1+ 𝜏𝐶 𝑃 𝐶

1+𝑖 = 1 − 𝜏𝑙 𝑊𝐿 +

1− 𝜏_𝑙 𝑊 𝐿

Notação: variáveis

𝐶 = Consumo do período atual (curto prazo) 𝐶= Consumo do período futuro (longo prazo)

𝐿 = Trabalho do período atual (curto prazo)

𝐿= Trabalho do período futuro (longo prazo)

𝑃 = Nível de preços do período atual (curto prazo)

𝑃= Nível de preços do período futuro (longo prazo)

𝑊 = Salário nominal do período atual (curto prazo) 𝑊= Salário nominal do período futuro (longo prazo)

Notação: variáveis

𝜏_𝐶 = Alíquota de imposto sobre C do período atual (curto prazo)

𝜏 _𝐶= Alíquota de imposto sobre C do período futuro(longo prazo)

𝜏_𝐿 = Alíquota de imposto sobre 𝐿 do período atual (curto prazo)

𝜏 𝐿= Alíquota de imposto sobre 𝐿 do período futuro(longo

prazo)

CPOs

𝜕ℒ

𝜕𝐶 = 0 → 𝑢𝐶 𝐶 − 𝜆𝑃 1 + 𝜏𝐶 = 0 (3.1) 𝜕ℒ

𝜕 𝐶 = 0 → 𝛽𝑢 𝐶 𝐶 −

𝜆 𝑃 1+ 𝜏_𝐶

1+𝑖 = 0 (3.2)

CPOs

𝜕ℒ

𝜕𝐿 = 0 → −𝑣𝐿 𝐿 + 𝜆 1 − 𝜏𝑙 𝑊 = 0 (3.3)

𝜕ℒ

𝜕 𝐿 = 0 → −𝛽𝑣 𝐿 𝐿 + 𝜆 1 − 𝜏

𝑙 𝑊

1 + 𝑖 = 0 (3.4)

Equação de Euler

• Juntando (3.1) e (3.2), temos:

𝑢_𝐶 𝐶

𝛽𝑢 _𝐶 𝐶 =

1 + 𝑖 𝑃 𝑃

1 + 𝜏_𝐶

1 + 𝜏_𝐶 (4)

• A equação (4) é a equação de Euler do consumo que diz que no ótimo a família escolherá _𝐶 e 𝐶 de forma a igualar a TMS [lado esquerdo de (4)] à

Oferta de trabalho

• Juntando as CPOs de C e L, temos:

𝑣_𝐿 𝐿

𝑢_𝐶 𝐶 =

1 − 𝜏_𝑙 1 + 𝜏_𝐶

𝑊

𝑃 (7)

• A equação (7) é a CPO padrão que diz que no

ótimo a família escolherá _𝐶 e _𝐿 de forma a igualar a TMS [lado esquerdo de (7)] ao salário real

Hipóteses sobre a função utilidade

𝑢 𝐶 = 𝐶1−1 𝜎

Interpretação econômica das

hipóteses

• A elasticidade de substituição intertemporal do consumo 𝜎 é constante, maior do que zero e diferente de 1. Nessa função, pode-se mostrar que 𝜎 = 1

𝜃, aonde 𝜃 é o coeficiente

de aversão ao risco relativo.

𝜎 = − _𝐶𝑢𝑢𝑐

𝐶𝐶 ; 𝜃 = −

Interpretação econômica das

hipóteses

• A elasticidade da oferta de trabalho 1

𝜂 é

constante e maior do que zero.

1

𝜂 =

Interpretação econômica das

hipóteses

• Além das hipóteses comentadas, há uma outra hipótese na formulação feita: a utilidade é separável entre consumo e trabalho (=Total de horas – Lazer).

• Isso significa que não há

Derivadas parciais

Equação de Euler com a função

utilidade usada

𝐶−1 𝜎

𝛽 𝐶−1 𝜎 =

1 + 𝑖 𝑃 𝑃

1 + 𝜏_𝐶

Versão em Ln da Equação de Euler

1

𝜎 𝑙𝑛 𝐶 − 𝑙𝑛 𝐶 − 𝑙𝑛𝛽

= 𝑙𝑛 1 + 𝑖 − 𝑙𝑛 _{𝑃 + 𝑙𝑛 1 + 𝜏} 𝑃 _𝐶 − 𝑙𝑛 1 + 𝜏_𝐶

Notaçao do Ln de variáveis

• Denotaremos o logaritmo natural das variáveis como letras minúsculas das variáveis originais:

𝑐 = 𝑙𝑛 𝐶 ; 𝑐 = 𝑙𝑛 𝐶

• Aproximação: sempre utilizaremos a

Versão final da equação de Euler

em Ln

• Logo:

𝑐 − 𝑐 = 𝜎 𝑖 − 𝑝 − 𝑝 + 𝜏_𝐶 − 𝜏_𝐶 + 𝑙𝑛𝛽 (6)

Equilíbrio do mercado de bens

𝑌 = 𝐶 + 𝐺

Aproximação log-linear do equilíbrio no mercado de bens

𝑐 − 𝑐 = _𝑠1

𝐶 𝑦 − 𝑦 − 𝑔 − 𝑔 (9)

Curva AD

• Substituindo (9) em (6) e rearranjando os termos:

𝑦 = 𝑦 + 𝑔 − 𝑔 − 𝜎 𝑖 − 𝑝 − 𝑝 + 𝜏𝐶 − 𝜏𝐶 + 𝑙𝑛𝛽 (8)

Onde:

Intuição da AD

• No plano p x y:

↑ 𝑝 𝑒𝑚 1 𝑝. 𝑝. →↓ 𝜋 𝑒𝑚 1 𝑝. 𝑝. →↑ 𝑟 𝑒𝑚 1 𝑝. 𝑝. → ↓ 𝑐 𝑒𝑚 𝜎 𝑝. 𝑝. →↓ 𝑦 𝑒𝑚 𝜎 . 𝑝. 𝑝.

• No plano y x p:

↑ 𝐴𝐷 = 𝑦 𝑒𝑚 1 𝑝. 𝑝. →↑ 𝑐 𝑒𝑚 _𝑠1

𝐶 →↓ 𝑟 𝑒𝑚

1

𝑠_𝐶 𝜎 →

↓ 𝑝 𝑒𝑚 _𝑠1

𝐶 𝜎 =

1

Representação gráfica da AD

p

y

𝐴𝐷 𝑖 = −𝑙𝑛𝛽, 𝜏_𝐶 = 𝜏_𝐶, 𝑔 = 𝑔

= −_𝜎1

𝑝 = 𝑝

𝑦 = 𝑦

𝐴𝐷 𝑖 = −𝑙𝑛𝛽, 𝜏_𝐶 > 𝜏_𝐶, 𝑔 = 𝑔

Exercícios

• Analise os determinantes da inclinação da AD.

Concorrência monopolista

• Introdução no modelo da característica Keynesiana fundamental: rigidez de preços a la Calvo.

Curva de demanda de uma firma

qualquer j

𝑌 𝑗 = 𝑃 𝑗_𝑃

−𝜃

Lucro de uma firma qualquer j

Π 𝑗 = 1 − 𝜏_𝑌 𝑃 𝑗 𝑌 𝑗 − 1 + 𝜏_𝑊 𝑊𝐿 𝑗 10

𝜏_𝑌 = alíquota de imposto sobre vendas

𝜏_𝑊 = alíquota de imposto sobre custos trabalhistas

Rigidez de preços

• No curto prazo há 2 tipos de firmas:

• Uma proporção 𝛼 das firmas não podem reajustar preços no curto prazo e

determinaram seus preços baseado em suas expectativas no período anterior.

• Uma proporção 1 − 𝛼 de firmas pode

Observação

• No contexto de 2 períodos, a AS novo keynesiana não será muito diferente da AS novo clássica. Em ambas, níveis de p acima

da expectativa passada para o próprio p

Observação (cont.)

• Porém, em contextos dinâmicos (> do que 2 períodos), a AS novo keynesiana se torna bem diferente da novo clássica. Nesse caso, níveis de

p

relação ao

p

Problema de otimização da firma j

que pode reajustar P(j) no CP

𝑚𝑎𝑥Π 𝑗 = 1 − 𝜏_𝑌 𝑃 𝑗 𝑌 𝑗 − 1 + 𝜏_𝑊 𝑊𝐿 𝑗

𝑠. 𝑎. 𝑌 𝑗 = 𝑃 𝑗_𝑃

−𝜃

𝑌 𝑌 𝑗 = 𝐴𝐿

Solução do problema de

otimização

𝑃 𝑗 = 1 + 𝜇 𝑊_{𝐴 11}

Onde:

𝜇 = _{𝜃 − 1}𝜃 1 + 𝜏_{1 − 𝜏}𝑊

𝑌 − 1

Firmas que não podem reajustar

𝑃 𝑖 = 𝑃𝑒 ∨ 𝑖 𝑞𝑢𝑒 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑜𝑢

Onde:

Equação de preço relativo

𝑃 𝑗

𝑃 = 1 + 𝜇

𝑊

Equilíbrio no mercado de trabalho

• Substituindo a oferta de trabalho [equação (7)] na equação de apreçamento da firma j, temos:

𝑃 𝑗

𝑃 =

1 + 𝜇 𝐴

𝑣_𝐿 𝐿

𝑢_𝐶 𝐶 =

1 + 𝜇 𝐴

𝐿𝜂

𝐶−1 𝜎 12

Onde:

𝜇 = _{𝜃 − 1}𝜃 1 + 𝜏_{1 − 𝜏}𝑊 1 + 𝜏𝐶

Produto natural

• Conceito de _𝑌𝑛: nível de produto que ocorreria se todas as firmas pudessem reajustar preços no curto prazo (nível de produto se os preços fossem flexíveis).

• Nesse caso, como as firmas enfrentam curvas de demanda idênticas e usam a mesma tecnologia, então todas escolhem o mesmo preço individual. Se isso, é verdade então 𝑃 𝑗

Produto natural

• Substituindo 𝑃 𝑗

𝑃 = 1 na equação (12) temos que de

𝑌 = 𝑌_𝑛, ou seja, o nível de produto se encontra no natural. Logo, se substituirmos 𝑃 𝑗

𝑃 = 1, 𝐶𝑛 = 𝑌𝑛 − 𝐺 e 𝐿𝑛 = 𝑌_𝑛

𝐴 na

equação (12), temos:

1 = 1 + 𝜇_𝐴

𝑌_𝑛 𝐴

𝜂

Produto natural

• Rearranjando a expressão anterior, temos:

𝑌_𝑛 𝐴

𝜂

𝑌_𝑛 − 𝐺 −1 𝜎 =

𝐴

Produto natural

• A aproximação log-linear de (14) é:

Voltando a equação de

apreçamento

• Substituindo (14) e as condições de equilíbrio em (12):

𝑃 𝑃 =

𝑌_𝑛 − 𝐺 −1 𝜎 𝑌_𝑛 𝐴 𝜂 𝑌 𝐴 𝜂

𝑌 − 𝐺 −1 𝜎

Onde:

Aproximação log-linear da

equação anterior

Nível de preços agregado

𝑃 = 𝑃𝑒 𝛼 𝑃 1−𝛼

No formato logarítmico:

Curva AS

• Substituindo (16) na equação anterior e isolando

p

𝑝 − 𝑝𝑒 = 𝑘 𝑦 − 𝑦_𝑛 (17)

Onde:

Representação gráfica da AS

p

y

= 𝑘

𝑝 = 𝑝𝑒

𝑦 = 𝑦_𝑛

𝐴𝑆

Fatores que alteram yne pe

Exercícios

• Analise os determinantes da inclinação da AS.

Equilíbrio de curto prazo AD-AS:

benchmark

p

y

𝑝 = 𝑝𝑒 = 𝑝

𝑦 = 𝑦_𝑛 = 𝑦

𝐴𝑆 𝑦_𝑛 = 𝑦, 𝑝𝑒 = 𝑝

Equilíbrio de curto prazo algébrico

Equilíbrio de curto prazo algébrico

• Substituindo a AS na AD, temos:

𝑦 = _{1 + 𝜎𝑘 𝑦}1 _𝑛 + 𝑔 − 𝑔 +_{1 + 𝜎𝑘 𝑦}𝜎𝑘 _𝑛 −_{1 + 𝜎𝑘 𝑖 − 𝑙𝑛}𝜎 _{𝛽 + 𝑝}1 𝑒 − 𝑝 + 𝜏_𝑐 − 𝜏_𝑐

• Substituindo o produto de equilíbrio de volta na AS: 𝑝 = _{1 + 𝜎𝜅 𝑝}1 𝑒 ₊ 𝑘

1 + 𝜎𝜅 𝑦𝑛 − 𝑦𝑛 + 𝑔 − 𝑔 −

𝜎𝜅

1 + 𝜎𝜅 𝑖 − 𝑙𝑛 1

Longo prazo

• Todas as firmas podem ajustar preços livremente. Logo:

𝑦 = 𝑦_𝑛 = _𝜎1 + 𝜂_{−1 + 𝜂 𝑎 + 𝜎−1}𝜎−1_{+ 𝜂 𝑔 − 𝜎−1}1_{+ 𝜂 𝜇}

𝑐 = 𝑐_𝑛 = _𝑠 1 + 𝜂

𝑐 𝜎−1 + 𝜂 𝑎 −

𝜂

𝑠𝑐 𝜎−1 + 𝜂 𝑔 −

1

Políticas

• Instrumento de política monetária: 𝑖

• Instrumentos de política fiscal:

𝜏_𝑙, 𝜏_𝑤, 𝜏_𝑐, 𝜏_𝑦, 𝜏_𝑙, 𝜏_𝑤, 𝜏_𝑐, 𝜏_𝑦, 𝑇 𝑒 𝑔, 𝑔

• R.O intertemporal do governo:

Nível eficiente de produto

• É o nível de produto que maximiza o bem-estar, coincidindo com o produto que ocorreria no equilíbrio de mercado na ausência de impostos distorcivos e poder de mercado, isto é, no caso em que 𝜇 = 0:

𝑦_𝑒 = _𝜎1 + 𝜂_{−1 + 𝜂 𝑎 + 𝜎−1}𝜎−1_{+ 𝜂 𝑔 (19)} 𝑦𝑒 = _𝜎1 + 𝜂_{−1 + 𝜂 𝑎 +} 𝜎

−1

Equilíbrio de curto prazo AD-AS:

benchmark

p

y

𝑝 = 𝑝𝑒 = 𝑝

𝑦 = 𝑦_𝑛 = 𝑦_𝑒 = 𝑦_𝑛 = 𝑦_𝑒

𝐴𝑆 𝑦_𝑛 = 𝑦_𝑛, 𝑝𝑒 = 𝑝

Estática comparativa

• Choque temporário de produtividade positivo.

• Choque permanente de produtividade positivo.

Estática comparativa

Multiplicadores fiscais

𝑚_𝑔 = _{1 + 𝜎𝜅 +}1 _{𝜎−1 + 𝜂 1 + 𝜎𝜅}𝜅 𝑚 𝑔 = _{𝜎−1 + 𝜂 1 + 𝜎𝜅}𝜂

𝑚_𝜏 = _{𝜎−1 + 𝜂 1 + 𝜎𝜅}𝜎𝜅 𝑚 _𝜏 = _{𝜎−1 + 𝜂 1 + 𝜎𝜅}1

𝑚𝜏_𝑐 = 𝜎𝑚𝑔

𝑚 𝜏_𝑐 = 𝜎𝑚𝑔

• Obs: ver Table 2 de Benigno (2009), página 26.