LISTA DE EXERC´ICIOS 06 – v. 0.1 Assuntos:

UFPE — MA989 — 2014.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 06 – v. 0.1

Assuntos: Teoria axiom´atica dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) – Parte I.

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸c˜oes leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Caso a solu¸c˜ao de um item esteja dispon´ıvel, s´o conferi-la ap´os tentar resolvˆe-lo seri- amente. Podem ser usados os recursos da l´ogica de predicados com igualdade e, `a medida que forem introduzidos, os axiomas de ZF presentes nesta lista.

A teoria ZF (1922) ´e uma revis˜ao da teoria dos conjuntos de Zermelo (1908). Em ambas, acrescentamos a rela¸ c˜ ao de pertinˆ encia `a l´ogica de predicados com igualdade, bem como axiomas a respeito dos objetos envolvi- dos nesta rela¸c˜ao bin´aria entre objetos ditos elementos e objetos ditos con- juntos (“sets” em inglˆes). Como de h´abito, denotaremos que um elemento a pertence a um conjunto A em ZF por a ∈ A, e sua nega¸c˜ao, ¬(a ∈ A), por a / ∈ A. Apesar de ZF poder ser toda descrita por meio de pertinˆencia, desenvolvemos conceitos, nomenclaturas e nota¸c˜oes a partir dela, facilitando seu entendimento

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Na teoria de Zermelo, elementos podem ser conjuntos ou n˜ao. Elementos que n˜ao s˜ao conjuntos s˜ao denominados de protoelementos

. Na teoria ZF, apesar de n˜ao haver uma restri¸c˜ao oficial ou expl´ıcita, costuma-se assumir o axioma da pureza, que diz que todo elemento tem que ser conjunto.

Isto ´e suficiente para desenvolver boa parte das teorias matem´aticas

, mas requer que representemos objetos n˜ao-matem´aticos por objetos matem´aticos quando fazemos aplica¸c˜oes a outras ´areas e no cotidiano.

Utilizaremos, informalmente, o nome classe para designar os objetos formados segundo o esquema axiom´atico de abstra¸ c˜ ao

de Frege numa teoria ingˆenua de conjuntos (n˜ao em ZF). Uma tal classe ´e a extens˜ ao de um predicado (informalmente, ´e a totalidade dos objetos que possuem

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Como fazemos para passarmos de uma “linguagem de baixo n´ıvel” para uma de n´ıvel maior em computa¸c˜ao.

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Em alem˜ao, um protoelemento ´e chamado de “Urelement”, e tal nomenclatura tamb´em aparece em inglˆes.

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Algumas teorias (Ex.: a teoria das categorias) precisam de teorias que estendem ZF.

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ou compreens˜ ao irrestrita

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uma propriedade em comum): dado um predicado P (x) na vari´avel livre x, a extens˜ao de P consiste dos objetos que satisfazem (tornam verdadeiro) o predicado P (x), e ´e denotada por {x|P (x)}. Estenderemos a nota¸c˜ao de pertinˆencia a classes, expressando o axioma obtido por abstra¸c˜ao como:

∀x, x ∈ {x|P (x)} ⇐⇒ P (x),

ou seja, pertencer `a classe {x|P (x)} ´e satisfazer P (x). Classes neste sentido podem coincidir ou n˜ao com conjuntos da teoria ZF, embora todo conjunto A em ZF seja igual

a uma classe neste sentido devido ao axioma da ex- tens˜ao abaixo. De fato, A ´e a extens˜ao do predicado P

(x) = x ∈ A. Em todo caso, mesmo quando for mais intuitivo descrever um conjunto em ZF como classe, devemos usar axiomas e teoremas de ZF para garantir que tal conjunto existe em ZF.

Em ZF, h´a: uma axioma (extens˜ao) que estabelece a igualdade de con- juntos; um axioma (regularidade) que limita como conjuntos podem ser, evi- tando patologias; um axioma que garante a existˆencia do conjunto vazio; e axiomas que garantem a existˆencia de certos conjuntos a partir de conjuntos dados. Assumindo o axioma da pureza, isto nos permite dizer que constru´ı- mos e reproduzimos estruturas e teorias matem´aticas a partir do conjunto vazio. Faremos uma apresenta¸c˜ao de ZF com duas caracter´ısticas: evitaremos discutir a linguagem formal de ZFC, optando por uma explica¸c˜ao menos for- mal; e, onde alguns conjuntos s˜ao produzidos pela combina¸c˜ao de separa¸c˜ao (vide abaixo) e algum outro axioma, j´a enunciamos tal axioma modificado para expressar o conjunto desejado. O(a) leitor(a) interessado em vers˜oes originais, deve consultar a bibliografia recomendada.

Axioma da extens˜ ao (ou da extensionalidade ): Sejam A e B conjuntos em ZF. Eles s˜ao iguais se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos.

Simbolicamente:

A = B ⇐⇒ ∀x, (x ∈ A ⇔ x ∈ B ).

O axioma da extens˜ao leva `a unicidade de alguns conjuntos cuja existˆencia vem de outros axiomas.

Defini¸ c˜ ao 1. (Rela¸ c˜ ao de inclus˜ ao ou de continˆ encia). Dados os con- juntos A e B, dizemos que A ´e subconjunto de B , B ´e superconjunto de A, A est´ a contido em de B, e B cont´ em A, e denotamos tal fato por

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Igualdade no sentido extensional: possuem a mesma extens˜ ao, os mesmos objetos.

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A ⊆ B e por B ⊇ A se, e somente se, todo elemento de A ´e elemento de B.

Simbolicamente:

A ⊆ B ⇐⇒ ∀x, (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

A ´e subconjunto pr´ oprio de B, B ´e superconjunto pr´ oprio de A, A est´ a contido propriamente em de B, e B cont´ em A propriamente, e denotamos tal fato por A ( B e por B ) A se, e somente se, A ⊆ B ∧ A 6= B.

Observe-se que evitamos a nota¸c˜ao ⊂ porque pode significar ⊆ ou (, depen- dendo do(a) autor(a). Observe-se, tamb´em, que ( n˜ao ´e a nega¸c˜ao de ⊆.

Denotamos esta por *:

A * B ⇐⇒ ¬(A ⊆ B) ⇐⇒ ∃x : (x ∈ A ∧ x / ∈ B).

Quest˜ ao 1. Sejam A, B e C conjuntos. Provar:

1.a. (reflexividade de ⊆) A ⊆ A;

1.b. ( antissimetria de ⊆) (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ⇐⇒ A = B; (Muito usada !) 1.c. A ( B = ⇒ (A ⊆ B ∧ B * A);

1.d. (transitividade de ⊆) (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) = ⇒ A ⊆ C;

1.e. (transitividade de () (A ( B ∧ B ( C) = ⇒ A ( C.

Axioma do conjunto vazio: Existe um conjunto (em ZF) que n˜ao possui elemento algum. Ele ´e denominado conjunto vazio , e denotado por ∅. Sim- bolicamente: ∀x, x / ∈ ∅.

Obs. A introdu¸c˜ao de ∅ por axioma pode ser evitada se se garantir a exis- tˆencia de algum conjunto em ZF. Da´ı, utiliza-se separa¸c˜ao (vide abaixo) para se extrair o conjunto vazio como subconjunto dele.

Quest˜ ao 2. Seja A um conjunto. Demonstrar que:

2.a. O conjunto vazio ´e ´ unico (e, como sua existˆencia foi garantida, est´a bem definido);

2.b. ∅ ⊆ A. Da´ı, A ⊆ ∅ = ⇒ A = ∅;

2.c. A 6= ∅ ⇐⇒ ∃x : x ∈ A.

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