LISTA DE EXERC´ICIOS 04 – v. 1.0 Assuntos:

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UFPE — MA989 — 2013.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 04 – v. 1.0

Assuntos: Teoria axiom´atica dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) – Parte I.

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Caso a solu¸cão de um item esteja dispon´ıvel, só conferi-la após tentar resolvê-lo seri- amente. Podem ser usados os recursos da lógica de predicados com igualdade e, à medida que forem introduzidos, os axiomas de ZF presentes nesta lista.

A teoria ZF (1922) é uma revisão da teoria dos conjuntos de Zermelo (1908). Em ambas, acrescentamos a rela¸ c˜ ao de pertinˆ encia à lógica de predicados com igualdade, bem como axiomas a respeito dos objetos envolvi- dos nesta rela¸cão binária entre objetos ditos elementos e objetos ditos con- juntos (“sets” em inglês). Como de hábito, denotaremos que um elemento a pertence a um conjunto A em ZF por a ∈ A, e sua nega¸cão, ¬(a ∈ A), por a / ∈ A. Apesar de ZF poder ser toda descrita por meio de pertinência, desenvolvemos conceitos, nomenclaturas e nota¸cões a partir dela, facilitando seu entendimento

¹

.

Na teoria de Zermelo, elementos podem ser conjuntos ou não. Elementos que não são conjuntos são denominados de protoelementos

²

. Na teoria ZF, apesar de n˜ao haver uma restri¸c˜ao oficial ou expl´ıcita, costuma-se assumir o axioma da pureza, que diz que todo elemento tem que ser conjunto.

Isto ´e suficiente para desenvolver boa parte das teorias matem´aticas

³

, mas requer que representemos objetos não-matemáticos por objetos matemáticos quando fazemos aplica¸cões a outras áreas e no cotidiano.

Utilizaremos, informalmente, o nome classe para designar os objetos formados segundo o esquema axiom´atico de abstra¸ c˜ ao

⁴

de Frege numa teoria ingênua de conjuntos (não em ZF). Uma tal classe é a extens˜ ao de um predicado (informalmente, é a totalidade dos objetos que possuem

1Como fazemos para passarmos de uma “linguagem de baixo n´ıvel” para uma de n´ıvel maior em computa¸c˜ao.

2Em alemão, um protoelemento é chamado de “Urelement”, e tal nomenclatura também aparece em inglês.

3Algumas teorias (Ex.: a teoria das categorias) precisam de teorias que estendem ZF.

4oucompreens˜ao irrestrita

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uma propriedade em comum): dado um predicado P (x) na variável livre x, a extensão de P consiste dos objetos que satisfazem (tornam verdadeiro) o predicado P (x), e é denotada por {x|P (x)}. Estenderemos a nota¸cão de pertinência a classes, expressando o axioma obtido por abstra¸cão como:

∀x, x ∈ {x|P (x)} ⇐⇒ P (x),

ou seja, pertencer à classe {x|P (x)} é satisfazer P (x). Classes neste sentido podem coincidir ou não com conjuntos da teoria ZF, embora todo conjunto A em ZF seja igual

⁵

a uma classe neste sentido devido ao axioma da ex- tensão abaixo. De fato, A é a extensão do predicado P

A

(x) = x ∈ A. Em todo caso, mesmo quando for mais intuitivo descrever um conjunto em ZF como classe, devemos usar axiomas e teoremas de ZF para garantir que tal conjunto existe em ZF.

Em ZF, há: uma axioma (extensão) que estabelece a igualdade de con- juntos; um axioma (regularidade) que limita como conjuntos podem ser, evi- tando patologias; um axioma que garante a existência do conjunto vazio; e axiomas que garantem a existência de certos conjuntos a partir de conjuntos dados. Assumindo o axioma da pureza, isto nos permite dizer que constru´ı- mos e reproduzimos estruturas e teorias matemáticas a partir do conjunto vazio. Faremos uma apresenta¸cão de ZF com duas caracter´ısticas: evitaremos discutir a linguagem formal de ZFC, optando por uma explica¸cão menos for- mal; e, onde alguns conjuntos são produzidos pela combina¸cão de separa¸cão (vide abaixo) e algum outro axioma, já enunciamos tal axioma modificado para expressar o conjunto desejado. O(a) leitor(a) interessado em versões originais, deve consultar a bibliografia recomendada.

Axioma da extens˜ ao (ou da extensionalidade ): Sejam A e B conjuntos em ZF. Eles s˜ao iguais se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos.

Simbolicamente:

A = B ⇐⇒ ∀x, (x ∈ A ⇔ x ∈ B ).

O axioma da extensão leva à unicidade de alguns conjuntos cuja existência vem de outros axiomas.

Defini¸ c˜ ao 1. (Rela¸ c˜ ao de inclus˜ ao ou de continˆ encia). Dados os con- juntos A e B, dizemos que A ´e subconjunto de B , B ´e superconjunto de A, A est´ a contido em de B, e B cont´ em A, e denotamos tal fato por

5Igualdadeno sentidoextensional: possuem a mesma extens˜ao, os mesmos objetos.

(3)

A ⊆ B e por B ⊇ A se, e somente se, todo elemento de A ´e elemento de B.

Simbolicamente:

A ⊆ B ⇐⇒ ∀x, (x ∈ A ⇒ x ∈ B).

A ´e subconjunto pr´ oprio de B, B ´e superconjunto pr´ oprio de A, A est´ a contido propriamente em de B, e B cont´ em A propriamente, e denotamos tal fato por A ( B e por B ) A se, e somente se, A ⊆ B ∧ A 6= B.

Observe-se que evitamos a nota¸cão ⊂ porque pode significar ⊆ ou (, depen- dendo do(a) autor(a). Observe-se, também, que ( não é a nega¸cão de ⊆.

Denotamos esta por *:

A * B ⇐⇒ ¬(A ⊆ B) ⇐⇒ ∃x : (x ∈ A ∧ x / ∈ B).

Quest˜ ao 1. Sejam A, B e C conjuntos. Provar:

1.a. (reflexividade de ⊆) A ⊆ A;

1.b. ( antissimetria de ⊆) (A ⊆ B ∧ B ⊆ A) ⇐⇒ A = B; (Muito usada !) 1.c. A ( B = ⇒ (A ⊆ B ∧ B * A);

1.d. (transitividade de ⊆) (A ⊆ B ∧ B ⊆ C) = ⇒ A ⊆ C;

1.e. (transitividade de ( ) (A ( B ∧ B ( C) = ⇒ A ( C.

Axioma do conjunto vazio: Existe um conjunto (em ZF) que n˜ao possui elemento algum. Ele ´e denominado conjunto vazio, e denotado por ∅. Sim- bolicamente: ∀x, x / ∈ ∅.

Obs. A introdu¸cão de ∅ por axioma pode ser evitada se se garantir a exis- tência de algum conjunto em ZF. Da´ı, utiliza-se separa¸cão (vide abaixo) para se extrair o conjunto vazio como subconjunto dele.

Quest˜ ao 2. Seja A um conjunto. Demonstrar que:

2.a. O conjunto vazio é ´ unico (e, como sua existência foi garantida, está bem definido);

2.b. ∅ ⊆ A. Da´ı, A ⊆ ∅ = ⇒ A = ∅;

2.c. A 6= ∅ ⇐⇒ ∃x : x ∈ A.

(4)

Axioma do par desordenado: Dados os conjuntos A e B em ZF, existe um conjunto (em ZF), denotado por {A, B} e dito “par (desordenado) A B”, cujos elementos s˜ao, exatamente, A e B . Simbolicamente:

∀x, x ∈ {A, B} ⇐⇒ (x = A ∨ x = B).

Defini¸ c˜ ao 2. Dado um conjunto C, definimos {C} := {C, C }, e dizemos que ele ´e um conjunto unit´ ario.

Quest˜ ao 3. Sejam A, B e C conjuntos. Demonstrar que:

3.a. {A, B} é ´ unico (e, como sua existência foi garantida, está bem definido);

3.b. {A, B} = {B, A};

3.c. ∀x, x ∈ {C} ⇐⇒ x = C;

3.d. {A, B} = {C} ⇐⇒ A = C = B;

3.e. Os conjuntos ∅, {∅}, { {∅} }, { {{∅}} }, { ∅, {∅} }, { ∅, {{∅}} }, { ∅, {{{∅}}} }, { {∅}, {{∅}} }, { {∅}, {{{∅}}} } e { {{∅}}, {{{∅}}} } s˜ao dois a dois distintos.

Axioma do conjunto das partes: Dado um conjunto A em ZF, existe um conjunto (em ZF) cujos elementos s˜ao, exatamente, os subconjuntos de A. Ele ´e dito conjunto das partes

⁶

de A. Denot´a-lo-emos por P (A).

Simbolicamente:

∀x, x ∈ P (A) ⇐⇒ x ⊆ A.

Quest˜ ao 4. Sejam A e B conjuntos. Demonstrar que:

4.a. P(A) é ´ unico (e, como sua existência foi garantida, está bem definido);

4.b. A ∈ P(A) e ∅ ∈ P(A);

4.c. A ⊆ B ⇐⇒ P (A) ⊆ P(B);

4.d. A = B ⇐⇒ P (A) = P (B).

4.e. Descrever todos os elementos de cada um dos conjuntos a seguir, justificando sua descri¸c˜ao: P (∅), P ({∅}), P ({ ∅, {∅} }) e P ({ {{∅}} }).

6Em inglˆes, “power set”.

(5)

Esquema axiom´ atico da separa¸ c˜ ao

⁷

. Informalmente: dados um conjunto A e um predicado P (x) aplic´avel aos elementos de A, existe um conjunto em ZF que consiste, exatamente, dos elementos de A que satisfazem P (x). Tal conjunto ´e denotado por {x ∈ A|P (x)}. Simbolicamente, escrevemos:

∀x, x ∈ {x ∈ A|P (x)} ⇐⇒ (x ∈ A ∧ P (x)).

Observemos que isto é, essencialmente, abstra¸cão restrita a predicados da forma x ∈ A ∧ P (x) com P (x) aplicável aos elementos do conjunto A (em ZF), o que produziria a classe {x|x ∈ A ∧ P (x)}.

Observemos, tamb´em, que P (x) pode ter parˆametros a

¹

, . . . , a

n

j´a esco- lhidos ao aplicarmos o predicado aos elementos de A. Assim, mais formal- mente, o esquema axiom´atico

⁸

da separa¸c˜ao pode ser enunciado como: seja uma f´ormula φ(x, A; a

¹

, . . . , a

n

) constru´ıda na linguagem formal da teoria ZF, contendo exatamente n+2 vari´aveis livres

⁹

, a saber, x, A e a

¹

, . . . , a

n

. Ent˜ao:

∀A, ∀a

¹

, . . . , ∀a

n

, ∃S : ∀x, [x ∈ S ⇔ (x ∈ A ∧ φ(x, A; a

¹

, . . . , a

n

) )] . O conjunto S é aquele cuja existência é garantida pelo axioma referente

`aquela f´ormula φ.

O esquema axiomático da separa¸cão é uma consequência dos dois axio- mas anteriores juntamente com o esquema axiomático da substitui¸cão (a ser estudado na Parte II). No entanto, separa¸cão é tão importante que costuma ser enunciada como axioma (e não como teorema). Como veremos num exer- c´ıcio abaixo, separa¸cão equivale à ideia de subconjunto.

Quest˜ ao 5. Sejam A e B conjuntos, e P (x) um predicado aplic´avel aos elementos de A. Demonstrar que:

5.a. {x ∈ A|P (x)} é ´ unico (e, como sua existência foi garantida, está bem defi- nido);

5.b. {x ∈ A|P (x)} ⊆ A (Todo conjunto obtido de A por separa¸c˜ao ´e um subcon- junto de A);

7ou da compreens˜ao restrita, ou da especifica¸c˜ao, ou do subconjunto.

8Isto é um esquema axiomático porque fornece um axioma para cada fórmula φ(x, A;a1, . . . , an) como descrito acima. Para cada conjunto A e cada valor a1, . . . , an

para os parˆametros, temos um predicadoP(x).

9n é um natural, possivelmente nulo, que dá o número de parâmetros distintos na fórmula

(6)

5.c. Reciprocamente, todo conjunto B que ´e subconjunto de A pode ser reobtido por separa¸c˜ao: B ⊆ A = ⇒ B = {x ∈ A|x ∈ B}.

Obs. Da´ı, o nome alternativo: esquema axiom´ atico do subconjunto;

5.d. (Dificuldade m´edia.) A classe C

A

= b {x|∃a ∈ A : x = {a}} (usualmente de- not´avel por { {a}|a ∈ A}) ´e extensionalmente igual a um conjunto em ZF.

Dica: Aplicar separa¸c˜ao a P (A) com um predicado apropriado;

5.e. (Dif´ıcil). R(A) ∈ / A, onde R(A) = b {x ∈ A|x / ∈ x}.

Dica: Pensar na demonstra¸c˜ao do paradoxo de Russell;

5.f. (Dificuldade média). Em ZF, não existe um conjunto U ao qual todos os conjuntos em ZF pertencem. Da´ı, a classe dos conjuntos em ZF não é um conjunto em ZF.

Dica: Utilizar o Item 5.e.

Defini¸ c˜ ao 3. Dados os conjuntos A e B, definimos:

a interse¸ c˜ ao de A e B, A ∩ B := {x ∈ A|x ∈ B}; e

a diferen¸ ca (ou diferen¸ ca absoluta) entre A e B, A\B := {x ∈ A|x / ∈ B}.

Dizemos que A e B s˜ao disjuntos se, e somente se, A ∩ B = ∅.

Obs. Alguns autores denotam A\B por A − B.

Obs. Em virtude do Item 5.a, A ∩ B e A\B est˜ao bem definidas e, em vista do Item 5.c, s˜ao subconjuntos de A.

Quest˜ ao 6. Sejam A, B e C conjuntos. Demonstrar que:

6.a. ∀x, x ∈ (A ∩ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∧ x ∈ B ), ou seja, A ∩ B ´e (extensionalmente) igual `a classe {x|x ∈ A ∧ x ∈ B};

6.b. (comutatividade de ∩) A ∩ B = B ∩ A;

6.c. (associatividade de ∩) (A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);

6.d. A\B e B \A s˜ao disjuntos.

Obs. Logo, a diferen¸ca entre conjuntos n˜ao ´e comutativa;

6.e. (A\B )\B = A\B ;

6.f. A\(A\B) = A ∩ B ;

(7)

6.g. A ⊆ B ⇐⇒ A ∩ B = A ⇐⇒ A\B = ∅;

6.h. A ⊆ B = ⇒ A ∩ C ⊆ B ∩ C; (A interse¸cão preserva a inclusão !) 6.i. A ⊆ B = ⇒ C\B ⊆ C\A; (A diferen¸ca reverte a inclusão !) 6.j. A ∩ ∅ = ∅ = A\A = ∅\A;

6.k. A ∩ A = A = A\∅;

6.l. P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B).

A seguir, estudamos a interse¸cão de uma cole¸cão não-vazia de conjuntos, isto é, o conjunto dos elementos comuns a todos eles, seja tal cole¸cão finita ou não.

Defini¸ c˜ ao 4. Dado F , um conjunto

¹⁰

n˜ao-vazio de conjuntos, definimos sua interse¸ c˜ ao, denotada por ∩F e por

¹¹

\

F∈F

F , da seguinte maneira: como F 6= ∅, seja F e um elemento de F fixado. ∩F := {x ∈ F e |∀F ∈ F , x ∈ F }.

Quest˜ ao 7. Sejam F um conjunto n˜ao-vazio de conjuntos, e A e B conjun- tos. Demonstrar que:

7.a. ∀x, x ∈ ∩F ⇐⇒ ∀F ∈ F , x ∈ F , ou seja, ∩F ´e (extensionalmente) igual `a classe {x|∀F ∈ F , x ∈ F }.

Obs. Disto, ∩F ´e independente da escolha de F e ! Dica: Obter que ∀x, h

x ∈ F e ∧ (∀F ∈ F , x ∈ F )

⇐⇒ ∀F ∈ F, x ∈ F i

; 7.b. A ∩ B = ∩ {A, B};

7.c. ∩ P (A) = ∅.

Ex.: Com o conhecimento de propriedades de

^R

, podemos mostrar que, dados os reais a e b tais que a < b:

\

n∈^N\{0}

a − 1

n , b + 1 n

= [a, b] = \

n∈^N\{0}

a − 1

n , b + 1 n

10Para facilitar a leitura, costumamos dizer “cole¸c˜ao de conjuntos” ou “fam´ılia de conjuntos”.

11Esta segunda nota¸cão é semelhante às dos somatórios e produtórios.

(8)

A união dos conjuntos numa cole¸cão de conjuntos e, em particular, a união de dois conjuntos são introduzidas por axioma.

Axioma da uni˜ ao: Dada um conjunto F de conjuntos em ZF, existe um conjunto (em ZF) cujos elementos são, precisamente, os elementos que per- tencem a, pelo menos, um conjunto em F . Tal conjunto é dito a uni˜ ao de F . e é denotada por ∪F e por [

F∈F

F . Simbolicamente:

∀x, x ∈ ∪F ⇐⇒ ∃F ∈ F : x ∈ F.

Eis aqui a uni˜ao de dois conjuntos, mais familiar:

Defini¸ c˜ ao 5. Dados os conjuntos A e B, A ∪ B := ∪{A, B}.

Quest˜ ao 8. Sejam F um conjunto de conjuntos, e A, B e C conjuntos.

Demonstrar que:

8.a. ∪F é ´ unico (e, como sua existência foi garantida, está bem definido);

Obs. Em particular, o conjunto A ∪ B est´a bem definido;

8.b. ∪∅ = ∅;

8.c. ∀x, x ∈ (A ∪ B) ⇐⇒ (x ∈ A ∨ x ∈ B ), ou seja, A ∪ B ´e (extensionalmente) igual `a classe {x|x ∈ A ∨ x ∈ B};

8.d. A ∪ A = A, ou seja, ∪{A} = A;

8.e. Para C

A

do Item 5.d, ∪C

A

= A, ou seja, A é a união dos conjuntos unitários formados por seus elementos;

Obs. A uni˜ao pode ser usada para formalizar a descri¸c˜ ao de um conjunto finito por extens˜ ao. Por exemplo, se o conjunto A consiste dos elementos

∅, {∅} e {{∅}}, então A costuma ser denotado por A = {∅, {∅}, {{∅}} }, significando: ∀x, x ∈ A ⇐⇒ (x = ∅ ∨ x = {∅} ∨ x = {{∅}} ). Do axioma da extensão, conclu´ımos que, em ZF, A = {∅} ∪ { {∅} } ∪ { {{∅}} }, pois o predicado acima equivale à pertinência a esta união repetida

¹²

, como o(a) leitor(a) pode conferir. Gostar´ıamos de poder, simplesmente, afirmar que:

{a

¹

, . . . , a

n

} = {a

¹

} ∪ . . . ∪ {a

n

} = [

n

ı=1

{a

ı

},

12Usamos a associatividade de∪(Item 8.g) para evitar parˆenteses.

(9)

para cada natural positivo n. Por´em, para darmos sentido a

^N

e a esta uni˜ao sobre n conjuntos com n arbitr´ario, precisamos de mais axiomas e teoremas.

Uma dica para os próximos itens é empregar propriedades dos conectivos lógicos ∨, ∧ e ¬ combinadas com os itens 6.a e 8.c.

8.f. ( comutatividade de ∪) A ∪ B = B ∪ A;

8.g. (associatividade de ∪) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);

8.h. (distributividade de ∩ com rela¸c˜ao a ∪) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C);

8.i. (distributividade de ∪ com rela¸c˜ao a ∩) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C);

8.j. B ⊆ A = ⇒ (B ∪ C) ⊆ (A ∪ C); (A uni˜ao preserva a inclus˜ao !) 8.k. B ⊆ A ⇐⇒ B ∪ A = A. Disto, obter A ∪ A = A novamente, e A ∪ ∅ = A;

8.l. A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C), e A\(B ∩ C) = (A\B ) ∪ (A\C).

Dica: Usar as leis de De Morgan;

8.m. A\(B\C) = (A\B ) ∪ (A ∩ C), mas

(A\B)\C = A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C). Dar conjuntos A, B e C que satisfazem A\(B \C) 6= (A\B )\C (Em particular, eles constituem um con- traexemplo para a associatividade da diferen¸ca);

8.n. P (A) ∪ P(B) ⊆ P (A ∪ B). Dar um contraexemplo para a igualdade.

Defini¸ c˜ ao 6. Dado um conjunto F de conjuntos, dizemos que F ´e uma fam´ ılia disjunta de conjuntos, e que seus elementos s˜ao dois a dois dis- juntos se, e somente se: ∀F ∈ F , ∀G ∈ F , F 6= G = ⇒ F ∩ G = ∅.

Ex.: {∅, {∅}, {{∅}} } ´e uma fam´ılia disjunta de conjuntos. Por vacuidade,

∅ também o é. Porém, o par desordenado { { ∅, {∅} }; { {∅}, {{∅}} } } não o é.

Defini¸ c˜ ao 7. Dada uma fam´ılia disjunta de conjuntos F , dizemos que a uni˜ao G ∪F ´e disjunta, e podemos indicar isto denotando-a por ⊔F e por

F∈F

F . Para conjuntos A e B disjuntos, podemos denotar A ∪ B por A ⊔ B.

(10)

Obs. O s´ımbolo ⊔ ou F

acima também é utilizado, às vezes, como alternativa ao s´ımbolo `

para denotar uma constru¸cão relacionada a uniões disjuntas que atende por vários nomes, inclusive uni˜ ao disjunta.

Quest˜ ao 9. Sejam A, B e C conjuntos, e F uma fam´ılia n˜ao-vazia de con- juntos. Demonstrar que:

9.a. A e B são disjuntos se, e somente se, A ∪ B é (extensionalmente) igual à classe {x|(x ∈ A) ˙ ∨(x ∈ B)}.

9.b. F é uma fam´ılia disjunta se, e somente se, ∪F é (extensionalmente) igual à classe {x|∃! F ∈ F : x ∈ F };

9.c. A = (A ∩ B) ⊔ (A\B);

9.d. A ∪ B = ⊔{A\B, A ∩ B, B\A} (cf. itens 6.d e 9.c);

9.e. (A ∪ B )\B = A\B como corol´ario dos itens 9.c e 9.d.

Defini¸ c˜ ao 8. Dados os conjuntos A e B, sua diferen¸ ca sim´ etrica ´e defi- nida por A∆B := (A\B) ⊔ (B \A) (cf. Item 6.d).

Quest˜ ao 10. Sejam A, B e C conjuntos. Demonstrar que:

10.a. A△∅ = A; e A△A = ∅;

10.b. (comutatividade de △) A△B = B△A;

10.c. (associatividade de △) (A△B)△C = A△(B△C);

10.d. A△B = (A ∪ B )\(A ∩ B );

10.e. A△B = A\B ⇐⇒ B ⊆ A;

10.f. A∆B = A ∩ B ⇐⇒ A△B = ∅ ⇐⇒ A ∪ B = A ∩ B ⇐⇒ A = B;

10.g. A∆B = A ∪ B ⇐⇒ A ∩ B = ∅;

10.h. A△B = A△C ⇐⇒ B = C;

(11)

10.i. (distributividade de ∩ com rela¸c˜ao a △) (A△B) ∩ C = (A ∩ C)△(B ∩ C);

Os três próximos itens são opcionais:

10.j. (A ∩ B )△C ⊇ (A△C) ∩ (B △C). Dar conjuntos A, B e C que levam à continência própria, mostrando que △ não é distributiva com rela¸cão a ∩;

10.k. (A△B) ∪ C ⊇ (A ∪ C)△(B ∪ C) = (A△B)\C. Dar conjuntos A, B e C que levam à continência própria, donde ∪ não é distributiva com rela¸cão a △;

10.l. (A ∪ B )△C ⊆ (A△C) ∪ (B △C). Dar conjuntos A, B e C que levam à inclusão própria, mostrando que △ não é distributiva com rela¸cão a ∪.

Defini¸ c˜ ao 9. Dado um conjunto A, definimos a opera¸c˜ao un´aria comple- mento (ou complementar ou diferen¸ ca absoluta ) em P (A) por:

P(A) −→ P (A) X 7−→ X

^c

= A\X.

Quest˜ ao 11. Seja A um conjunto com rela¸cão ao qual se fará a opera¸cão de complemento

^c

. Sejam X, Y ∈ P(A). Demonstrar que:

11.a. (

^c

´e uma involu¸c˜ ao) (X

^c

)

^c

= X;

11.b. ∅

^c

= A, donde A

^c

= ∅;

11.c. X

^c

é o ´ unico subconjunto de A disjunto de X tal que sua união com X é igual a A. Simbolicamente:

X ∩ X

^c

= ∅, X ⊔ X

^c

= A, e [(X ∩ Y = ∅) ∧ (X ⊔ Y = A)] = ⇒ Y = X

^c

; 11.d. (X ∩ Y )

^c

= X

^c

∪ Y

^c

;

11.e. (X ∪ Y )

^c

= X

^c

∩ Y

^c

; 11.f. X\Y = X ∩ Y

^c

;

11.g. X ∩ Y

^c

= ∅ ⇐⇒ X ⊆ Y ⇐⇒ Y

^c

⊆ X

^c

.

(12)

A próxima questão trata de opera¸cões aplicadas a conjuntos de conjun- tos. O primeiro item é dif´ıcil e fundamenta conjuntos auxiliares utilizados nos demais, que são de dificuldade média. O(a) estudante deve entender os enunciados destes itens e tentar resolvê-los mesmo se não conseguir resolver o primeiro completamente.

Quest˜ ao 12. Sejam A um conjunto, e F e G conjuntos n˜ao-vazios de con- juntos. Demonstrar que:

12.a. As classes abaixo, dadas por abstra¸cão e em nota¸cão usual, são (extensio- nalmente) iguais a conjuntos não-vazios de conjuntos em ZF:

C

AIF

= b {x|∃F ∈ F : x = A ∩ F } = {A ∩ F |F ∈ F };

C

AU F

= b {x|∃F ∈ F : x = A ∪ F } = {A ∪ F |F ∈ F };

C

ADF

= b {x|∃F ∈ F : x = A\F } = {A\F |F ∈ F };

C

F IG

= b {x|∃F ∈ F : ∃G ∈ G : x = F ∩ G} = {F ∩ G|F ∈ F , G ∈ G};

C

F U G

= b {x|∃F ∈ F : ∃G ∈ G : x = F ∪ G} = {F ∪ G|F ∈ F , G ∈ G}.

12.b. A ∩ \

F∈F

F = \

F∈F

(A ∩ F ), ou seja, A ∩ (∩F ) = ∩ C

AIF

; 12.c. A ∩ [

F∈F

F = [

F∈F

(A ∩ F ), ou seja, A ∩ (∪F ) = ∪ C

AIF

; 12.d. A ∪ \

F∈F

F = \

F∈F

(A ∪ F ), ou seja, A ∪ (∩F ) = ∩ C

AU F

; 12.e. A ∪ [

F∈F

F = [

F∈F

(A ∪ F ), ou seja, A ∪ (∪F ) = ∪ C

AU F

; 12.f. A\ \

F∈F

F = [

F∈F

(A\F ), ou seja, A\(∩F ) = ∪ C

ADF

; 12.g. A\ [

F∈F

F = \

F∈F

(A\F ), ou seja, A\(∪F ) = ∩ C

ADF

; 12.h. (∩F ) ∩ (∩G) = \

F∈F, G∈G

(F ∩ G), ou seja, (∩F ) ∩ (∩G) = ∩ C

F IG

; 12.i. (∪F ) ∩ (∪G) = [

F∈F, G∈G

(F ∩ G), ou seja, (∪F ) ∩ (∪G) = ∪ C

F IG

; 12.j. (∩F ) ∪ (∩G) = \

F∈F, G∈G

(F ∪ G), ou seja, (∩F ) ∪ (∩G) = ∩ C

F U G

; 12.k. (∪F ) ∪ (∪G) = [

F∈F, G∈G

(F ∪ G), ou seja, (∪F ) ∪ (∪G) = ∪ C

F U G