LISTA DE EXERC´ICIOS 06 – v. 1.0 Assuntos:

(1)

UFPE — MA989 — 2013.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´ ICIOS 06 – v. 1.0

Assuntos: Rela¸c˜oes de ordem.

Orienta¸ c˜ ao: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Caso a solu¸cão de um item esteja dispon´ıvel, só conferi-la após tentar resolvê-lo seri- amente. Podem ser usados os recursos da lógica de predicados com igualdade e os axiomas de ZF em nossa Parte I (cf. Lista 04).

Defini¸ c˜ oes. Dadas rela¸c˜oes ≤ e < em um conjunto X, dizemos que:

− ≤ é uma rela¸ c˜ ao de ordem parcial, e (X, ≤) é um CPO (conjunto parcialmente ordenado) se, e somente se, ≤ é reflexiva, antissimé- trica e transitiva;

− < é uma rela¸ c˜ ao de ordem estrita se, e somente se, < é irreflexiva e transitiva, ou seja, < é assimétrica e transitiva (cf. Item 4.g da Lista 05 v. 1.0).

Quest˜ ao 1. Seja A um conjunto. Demonstrar que:

1.a. Cada rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A induz uma rela¸c˜ao de ordem estrita

< em A por: ∀a, a

^′

∈ A, a < a

^′

⇐⇒ (a ≤ a

^′

∧ a 6= a

^′

). Em outras palavras, denotando as rela¸c˜oes ≤ original e < induzida por P e E

P

respectivamente, temos que E

P

= P \Id

A

.

Obs. Portanto, o exerc´ıcio consiste em demonstrar que E

P

satisfaz a defi- ni¸cão de rela¸cão de ordem estrita, utilizando, para tanto, que P satisfaz a defini¸cão de rela¸cão de ordem parcial;

1.b. Cada rela¸c˜ao de ordem estrita <

^′

em A induz uma rela¸c˜ao de ordem parcial

≤

^′

em A por: ∀a, a

^′

∈ A, a ≤

^′

a

^′

⇐⇒ (a <

^′

a

^′

∨ a = a

^′

). Em outras palavras, denotando as rela¸c˜oes < original e ≤ induzida por E e P

E

respectivamente, temos que P

E

= E ⊔ Id

^A

;

1.c. As duas constru¸c˜oes acima s˜ao inversas. Mais precisamente: a ordem parcial

induzida pela ordem estrita induzida por uma ordem parcial dada ´e igual a

esta ´ ultima e, trocando as instˆancias de “parcial” pelas de “estrita” nesta frase

e vice-versa, obtemos outro resultado v´alido. Em outras palavras, utilizando

a nota¸c˜ao dos itens anteriores, temos que P

E_P

= P e E

P_E

= E ;

(2)

1.d. Uma rela¸cão de ordem parcial em A é total se e somente se a rela¸cão de ordem estrita induzida por ela é tricotômica;

1.e. Cada rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A induz uma rela¸c˜ao de ordem parcial

≤

^∗

(ou ≥ ) em A , dada por: ∀ a, a

^′

∈ A, a ≤

^∗

a

^′

(isto ´e, a ≥ a

^′

) ⇐⇒ a

^′

≤ a (ordem dual de ≤).

Obs. Novamente, o objetivo do exerc´ıcio ´e demonstrar que ≤

^∗

satisfaz a defini¸c˜ao de rela¸c˜ao de ordem parcial, utilizando, para tanto, que ≤ a satisfaz.

Obs. Analogamente, temos a rela¸c˜ao de ordem dual <

^∗

(ou >) de qualquer rela¸c˜ao de ordem estrita em A dada;

1.f. Dada uma rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A: ≤

^∗

´e total se, e somente se,

≤ ´e total; e ≤ ´e a ordem dual de ≤

^∗

Tendo em vista os resultados enunciados na Questão 1, conceitos para rela¸cões de ordem parcial ou estrita misturam-se na literatura, adaptando-se a versão de um tipo de rela¸cão de ordem para o outro ao se incluir ou excluir a identidade Id

^A

, ou seja, a rela¸c˜ao de igualdade em A . Por exemplo, dada uma rela¸c˜ao de ordem estrita < em A, podemos falar no CPO (A, ≤) com ≤ induzida por <.

Defini¸ c˜ oes. Sejam (X, ≤) um CPO; S ⊆ X; a, b, m, M ∈ X . Dizemos que:

− a e b s˜ao compar´ aveis se, e somente se, a ≤ b ∨ b ≤ a ;

− a e b são incompar´ aveis se, e somente se, a e b não são comparáveis;

− ≤ é uma rela¸ c˜ ao de ordem total (ou rela¸ c˜ ao de ordem linear ), ambas ≤ e < são ordena¸ c˜ oes totais de A, e (A, ≤) é um conjunto totalmente ordenado se, e somente se, ≤ é total (ou seja, todos os elementos de X são comparáveis uns aos outros) – cf. Item 1.d;

− m ´e um elemento minimal de ( X, ≤) (ou de X ) se, e somente se,

∀x ∈ X, (x ≤ m = ⇒ x = m) (ou seja, nenhum elemento de X ´e menor que m, mas podem existir elementos que n˜ao se comparam a m ); analogamente,

− M ´e um elemento maximal de ( X, ≤) (ou de X ) se, e somente se,

∀x ∈ X, (M ≤ x = ⇒ x = M );

− m ´e um m´ ınimo de (X, ≤) (ou de X) se, e somente se, ∀x ∈ X, m ≤ x (em particular, todo elemento de X se compara a m); analogamente,

− M ´e um m´ aximo de (X, ≤) (ou X) se, e somente se, ∀x ∈ X, x ≤ M ;

(3)

− A ordem induzida em S por ≤ ´e a restri¸c˜ao de ≤ a S, ou seja,

≤ |

S×S

= {(s, s

^′

) ∈ s × S|s ≤ s

^′

} = (S × S)∩ ≤ ;

− S é uma cadeia de ( X, ≤) (ou de X ) se, e somente se, a ordem induzida por ≤ em S é total. Em outras palavras, uma cadeia é um subconjunto de X totalmente ordenado por ≤ ;

− S é uma anticadeia de ( X, ≤) (ou de X ) se, e somente se, quaisquer dois elementos de S distintos são incomparáveis na ordem induzida por

≤ em S.

Se a < b, definimos os intervalos com extremidades a e b:

[a, b]

<

:= {x ∈ X|a ≤ x ≤ b} (fechado); (a, b)

<

:= {x ∈ X|a < x < b}

(aberto); [a, b)

<

:= {x ∈ X|a ≤ x < b} e (a, b]

<

:= {x ∈ X|a < x ≤ b}

(semiabertos). Tamb´em consideramos o intervalo degenerado [a, a]

<

:= {a}.

Obs. N˜ao pressupusemos a totalidade da ordem na defini¸c˜ao dos intervalos.

A rela¸ c˜ ao de cobertura ≺ de ≤ (ou <) ´e dada por: ∀x, y ∈ X, x ≺ y (“x

é coberto por y”; “y cobre x”) se, e somente se, x < y e ∄z ∈ X : x < z < y (ou seja, nenhum elemento de X está entre x e y , isto é, ( x, y )

^<

= ∅).

Quest˜ ao 2. Sejam A um conjunto, e ≤ uma rela¸c˜ao de ordem parcial em A . Demonstrar que:

2.a. Se A possui m´ınimo, ent˜ao ele ´e ´ unico.

Obs. Em caso afirmativo, o m´ınimo ´e denotado por min (A) ou min (A, ≤).

Um resultado an´alogo vale para m´aximo, denotado max (A) ou max (A, ≤);

2.b. Se existir min ( A, ≤), ent˜ao existe max ( A, ≤

^∗

) e min ( A, ≤) = max ( A, ≤

^∗

).

Analogamente, se existir max (A, ≤), ent˜ao existe min (A, ≤

^∗

) e max (A, ≤) = min (A, ≤

^∗

);

2.c. Se ≤ é total, então, para cada a ∈ A, existe, no máximo, um elemento de A que cobre a.

Quest˜ ao 3. Consideremos os conjuntos C

1

={ b a }; C

2

={ b a, b }; C

3

={ b a, b, c };

e C

4

={ b a, b, c, d }, onde a , b , c e d s˜ao elementos dois a dois distintos.

3.a. Escrever, explicitamente, todas as ordens estritas em C

1

e todas em C

2

.

Fazer o mesmo em C

3

e em C

4

a menos de permuta¸c˜ao dos elementos. Para

a descri¸cão, podem ser usadas várias apresenta¸cões. Por exemplo, em C

4

:

(4)

− Como rela¸c˜ao em C

4

: < = {(a, b); (a, d); (b, d)};

− Na nota¸c˜ao usual para ordem, < diz que: a < b, a < d e b < d;

− Pelas cadeias maximais

¹

: a < b < d e c;

− Por sua rela¸c˜ao de cobertura: ≺ = {(a, b); (b, d)}, isto ´e, a ≺ b ≺ d;

− Por um grafo ac´ıclico dirigido representando a rela¸c˜ao de cobertura:

a ô ô b ô ô d c

Eis outro exemplo:

− Como rela¸c˜ao em C

4

: < = {(a, b); (a, c); (a, d); (b, d); (c, d)};

− Na nota¸c˜ao usual para ordem, < diz que: a < b, a < c, a < d, b < d e c < d;

− Pelas cadeias maximais: a < b < d e a < c < d;

− Por sua rela¸c˜ao de cobertura: ≺ = {(a, b); (a, c); (b, d); (c, d)}, isto

´e, a ≺ b ≺ d e a ≺ c ≺ d;

− Por um grafo ac´ıclico dirigido representando a rela¸c˜ao de cobertura:

b

w w

♣♣ ♣♣ ♣

a d

g g

◆◆ ◆◆ ◆

w w

♥♥ ♥♥ ♥

c

g g

PP PP P

3.b. Para cada uma das rela¸c˜oes de ordem estrita obtidas no Item 3.a, fornecer:

todos os seus elementos minimais, elementos maximais, m´ınimos e m´aximos;

e todas as cadeias maximais e anticadeias maximais;

3.c. Repetir o Item 3.b para P ( C

4

), P ( C

4

)\{∅} e P ( C

4

)\{∅, C

4

} ordenados parcialmente por inclus˜ao (cf. Item 4.b);

3.d. Para cada um dos dois exemplos em C

4

descritos no Item 3.a, dar os quatro intervalos de extremidades a e d.

Quest˜ ao 4. Seja A um conjunto. Demonstrar que:

4.a. Id

A

é uma rela¸cão de ordem parcial em A (ordem discreta em A) igual a sua própria ordem dual. Ela é total ou não ? Quais são os seus elementos e subconjuntos notáveis (no sentido do Item 3.b) ?

1

Maximais com respeito ` a rela¸c˜ ao ⊆

(5)

4.b. (P (A), ⊆) ´e um CPO com m´ınimo ∅ e m´aximo A;

4.c. Para toda rela¸c˜ao de ordem parcial ≤ em A,

({ C ⊆ A | C ´e cadeia de ( A, ≤)} , ⊆) ´e um CPO com m´ınimo ∅. E quanto ao conjunto das anticadeias de (A, ≤) ?

Quest˜ ao 5. Recordar os 15 tipos de rela¸c˜oes definidas na Lista 05 v. 1.0.

5.a. De quais tipos é a rela¸cão de cobertura (“é coberto por”) num CPO ? Há restri¸cões relacionadas aos conceitos introduzidos nesta lista que se traduzem por a rela¸cão de cobertura ser ou não de algum tipo ?

5.b. Repetir o exerc´ıcio para a rela¸c˜ao “ser compar´avel a” num CPO.

Defini¸ c˜ oes. Sejam X um conjunto, e ≤ uma rela¸cão de ordem total em X (alternativamente, < uma rela¸cão de ordem estrita tricotômica em X ).

≤ (alternativamente, <) é dita uma boa ordena¸ c˜ ao de X, e X é bem ordenado por ≤ (ou < ) se, e somente se < é bem fundada.

Obs. Adaptando a boa funda¸c˜ao de < para ≤, ao inv´es de:

∀ S ⊆ X : S 6= ∅, ∃ m ∈ S : ∀ s ∈ S, s ≮ m, poder´ıamos escrever:

∀ S ⊆ X : S 6= ∅, ∃ m ∈ S : ∀ s ∈ S, ( s ≤ m ⇒ s = m ) .

Invocando que ≤ é total (alternativamente, que < é tricotômica), obtemos a versão abaixo, mais direta:

∀S ⊆ X : S 6= ∅, ∃m ∈ S : ∀s ∈ S, m ≤ s.

Assim, a boa funda¸cão equivale a todo subconjunto não-vazio S de X possuir m´ınimo (com rela¸cão à ordem induzida por ≤ ou < em S).

Dizemos que < (ou ≤) ´e densa se, e somente se:

− X possui dois ou mais elementos distintos; e,

− Entre quaisquer dois elementos de X distintos, h´a um terceiro. Mais

precisamente: ∀x, y ∈ X, x < y = ⇒ ∃z ∈ X : x < z < y.

(6)

Quest˜ ao 6. (Alguns itens desta quest˜ao podem exigir algum conhecimento a respeito de

^N

,

^Z

,

^Q

ou

^R

). Demonstrar que:

6.a. Em qualquer conjunto (A, ≤) bem ordenado vale a seguinte propriedade:

todo elemento a ∈ A ou ´e max (A, ≤) ou ´e coberto por um ´ unico elemento s

a

∈ A , dito sucessor imediato de a (para efeito de ordem) – cf. Item 2.c;

6.b. Toda boa ordena¸cão não é densa;

6.c. Toda ordena¸cão total densa possui rela¸cão de cobertura vazia e não é boa;

6.d. A ordena¸c˜ao total usual de

^N

é boa (e, portanto, não é densa);

6.e. As ordena¸c˜oes totais usuais de

^Q

e

^R

são densas (e, da´ı, não são boas);

6.f. A ordena¸c˜ao total usual de

^Z

nem ´e densa nem ´e boa, mas satisfaz a pro- priedade enunciada no Item 6.a.

Quest˜ ao 7. (Algumas rela¸c˜oes de ordem parcial num produto cartesiano).

Dados (A, ≤

A

) e (B, ≤

B

) CPOs, sejam as seguintes rela¸c˜oes de ordem parcial em A × B : ∀( a, b ) , ( a

^′

, b

^′

) ∈ A × B ,

( a, b ) ≤

^L

( a

^′

, b

^′

) ⇐⇒ [( a = a

^′

∧ b ≤

^B

b

^′

) ∨ a <

A

a

^′

] ( ordem lexicogr´ afica );

(a, b) ≤

C

(a

^′

, b

^′

) ⇐⇒ [(b = b

^′

∧a ≤

A

a

^′

) ∨b <

B

b

^′

] (ordem colexicogr´ afica);

( a, b ) ≤

^P

( a

^′

, b

^′

) ⇐⇒ [ a ≤

^A

a

^′

∧ b ≤

^B

b

^′

] (ordem produto); e ( a, b ) ≤

^R

( a

^′

, b

^′

) ⇐⇒ [( a, b ) = ( a

^′

, b

^′

) ∨ ( a <

A

a

^′

∧ b <

B

b

^′

)].

7.a. Demonstrar que as quatro s˜ao rela¸c˜oes de ordem parcial em A × B;

7.b. Demonstrar que, se ≤

A

e ≤

B

s˜ao totais, ent˜ao ≤

L

e ≤ C s˜ao totais;

7.c. Demonstrar que, ∀( a, b ) , ( a

^′

, b

^′

) ∈ A × B ,

( a, b ) ≤

^R

( a

^′

, b

^′

) = ⇒ ( a, b ) ≤

^P

( a

^′

, b

^′

), e ( a, b ) ≤

^P

( a

^′

, b

^′

) = ⇒ ( a, b ) ≤

^L

( a

^′

, b

^′

).

Para os itens restantes, usar A = B = {0 , 1 , 2} e a ordena¸c˜ao total ≤

^B

= ≤

^A

induzida pela ordem usual de

^N

, isto ´e, determinada por 0 ≤

^A

1 ≤

^A

2. 7.d. Descrever as quatro rela¸cões de ordem acima para A × B por extensão e por grafos ac´ıclicos dirigidos que representam suas rela¸cões de cobertura;

7.e. Mostrar que ≤

P

e ≤

R

n˜ao tˆem que ser totais mesmo se ≤

A

e ≤

B