Atividade recente no site - Prof. Fernando J. O. Souza - Dept. de Matemática, UFPE

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UFPE — MA989 — 2014.1 — PROF. FERNANDO J. O. SOUZA

LISTA DE EXERC´

ICIOS 06 – v. 1.0

Assuntos: Teoria axiom´atica dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) – Parte I.

Orienta¸cão: Dar solu¸cões leg´ıveis e completas, explicando todos os passos e detalhes, e indicando as propriedades e os resultados utilizados. Caso a solu¸cão de um item esteja dispon´ıvel, só conferi-la após tentar resolvê-lo seri-amente. Podem ser usados os recursos da lógica de predicados com igualdade e, à medida que forem introduzidos, os axiomas de ZF presentes nesta lista.

A teoria ZF (1922) é uma revisão da teoria dos conjuntos de Zermelo (1908). Em ambas, acrescentamos a rela¸cão de pertinência à lógica de predicados com igualdade, bem como axiomas a respeito dos objetos envolvi-dos nesta rela¸cão binária entre objetos ditoselementose objetos ditos con-juntos (“sets” em inglês). Como de hábito, denotaremos que um elemento

a pertence a um conjunto A em ZF por a ∈ A, e sua nega¸cão, ¬(a ∈ A), por a /∈ A. Apesar de ZF poder ser toda descrita por meio de pertinência, desenvolvemos conceitos, nomenclaturas e nota¸cões a partir dela, facilitando seu entendimento1

.

Na teoria de Zermelo, elementos podem ser conjuntos ou não. Elementos que não são conjuntos são denominados deprotoelementos2

. Na teoria ZF, apesar de não haver uma restri¸cão oficial ou expl´ıcita, costuma-se assumir o axioma da pureza, que diz que todo elemento tem que ser conjunto. Isto é suficiente para desenvolver boa parte das teorias matemáticas3

, mas requer que representemos objetos não-matemáticos por objetos matemáticos quando fazemos aplica¸cões a outras áreas e no cotidiano.

Utilizaremos, informalmente, o nome classe para designar os objetos formados segundo o esquema axiom´atico de abstra¸c˜ao4

de Frege numa teoria ingênua de conjuntos (não em ZF). Uma tal classe é a extensão

de um predicado (informalmente, ´e a totalidade dos objetos que possuem

1

Como fazemos para passarmos de uma “linguagem de baixo n´ıvel” para uma de n´ıvel maior em computa¸c˜ao.

2

Em alemão, um protoelemento é chamado de “Urelement”, e tal nomenclatura também aparece em inglês.

3

Algumas teorias (Ex.: a teoria das categorias) precisam de teorias que estendem ZF.

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uma propriedade em comum): dado um predicado P(x) na variável livre x, a extensão de P consiste dos objetos que satisfazem (tornam verdadeiro) o predicado P(x), e é denotada por {x|P(x)}. Estenderemos a nota¸cão de pertinência a classes, expressando o axioma obtido por abstra¸cão como:

∀x, x∈ {x|P(x)} ⇐⇒P(x),

ou seja, pertencer à classe {x|P(x)}é satisfazer P(x). Classes neste sentido podem coincidir ou não com conjuntos da teoria ZF, embora todo conjunto

A em ZF seja igual5

a uma classe neste sentido devido ao axioma da ex-tensão abaixo. De fato, A é a extensão do predicado PA(x) = x ∈ A. Em todo caso, mesmo quando for mais intuitivo descrever um conjunto em ZF como classe, devemos usar axiomas e teoremas de ZF para garantir que tal conjunto existe em ZF.

Em ZF, há: uma axioma (extensão) que estabelece a igualdade de con-juntos; um axioma (regularidade) que limita como conjuntos podem ser, evi-tando patologias; um axioma que garante a existência do conjunto vazio; e axiomas que garantem a existência de certos conjuntos a partir de conjuntos dados. Assumindo o axioma da pureza, isto nos permite dizer que constru´ı-mos e reproduziconstru´ı-mos estruturas e teorias matemáticas a partir do conjunto vazio. Faremos uma apresenta¸cão de ZF com duas caracter´ısticas: evitaremos discutir a linguagem formal de ZFC, optando por uma explica¸cão menos for-mal; e, onde alguns conjuntos são produzidos pela combina¸cão de separa¸cão (vide abaixo) e algum outro axioma, já enunciamos tal axioma modificado para expressar o conjunto desejado. O(a) leitor(a) interessado em versões originais, deve consultar a bibliografia recomendada.

Axioma da extens˜ao (ou da extensionalidade): Sejam A eB conjuntos em ZF. Eles s˜ao iguais se, e somente se, eles possuem os mesmos elementos. Simbolicamente:

A=B ⇐⇒ ∀x, (x∈A⇔x∈B).

O axioma da extensão leva à unicidade de alguns conjuntos cuja existência vem de outros axiomas.

Defini¸cão 1. (Rela¸cão de inclusão ou decontinência). Dados os con-juntosA e B, dizemos que Aé subconjuntodeB,B ésuperconjunto de

A, A est´a contido em de B, e B cont´em A, e denotamos tal fato por

5

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A⊆ B e por B ⊇ A se, e somente se, todo elemento de A ´e elemento de B. Simbolicamente:

A⊆B ⇐⇒ ∀x, (x∈A⇒x∈B).

A é subconjunto próprio de B, B é superconjunto próprio de A, A está contido propriamente em deB, e B contém A propriamente, e denotamos tal fato porA(B e porB )Ase, e somente se,A⊆B∧A6=B.

Observe-se que evitamos a nota¸cão⊂ porque pode significar⊆ ou(, depen-dendo do(a) autor(a). Observe-se, também, que ( não é a nega¸cão de ⊆. Denotamos esta por*:

A*B ⇐⇒ ¬(A⊆B)⇐⇒ ∃x: (x∈A∧x /∈B).

Quest˜ao 1. Sejam A,B e C conjuntos. Provar:

1.a. (reflexividadede ⊆) A⊆A;

1.b. (antissimetriade ⊆) (A⊆B∧B ⊆A)⇐⇒A=B; (Muito usada !)

1.c. A(B =⇒(A⊆B∧B *A);

1.d. (transitividade de⊆) (A ⊆B∧B ⊆C) =⇒A⊆C;

1.e. (transitividade de() (A (B∧B (C) =⇒A(C.

Axioma do conjunto vazio: Existe um conjunto (em ZF) que n˜ao possui elemento algum. Ele ´e denominado conjunto vazio, e denotado por ∅. Sim-bolicamente: ∀x, x /∈∅.

Obs. A introdu¸cão de ∅ por axioma pode ser evitada se se garantir a exis-tência de algum conjunto em ZF. Da´ı, utiliza-se separa¸cão (vide abaixo) para se extrair o conjunto vazio como subconjunto dele.

Quest˜ao 2. Seja A um conjunto. Demonstrar que:

2.a. O conjunto vazio é único (e, como sua existência foi garantida, está bem definido);

2.b. ∅⊆A. Da´ı, A⊆∅=⇒A=∅;

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Axioma do par desordenado: Dados os conjuntos A e B em ZF, existe um conjunto (em ZF), denotado por {A, B} e dito “par (desordenado)A B”, cujos elementos s˜ao, exatamente, A eB. Simbolicamente:

∀x, x∈ {A, B} ⇐⇒(x=A∨x=B).

Defini¸cão 2. Dado um conjunto C, definimos {C} := {C, C}, e dizemos que ele é um conjunto unitário.

Quest˜ao 3. Sejam A, B e C conjuntos. Demonstrar que:

3.a. {A, B}é único (e, como sua existência foi garantida, está bem definido);

3.b. {A, B}={B, A};

3.c. ∀x, x∈ {C} ⇐⇒x=C;

3.d. {A, B}={C} ⇐⇒A=C =B;

3.e. Os conjuntos ∅, {∅}, { {∅} }, { {{∅}} }, {∅, {∅} }, {∅, {{∅}} },

{∅,{{{∅}}} }, { {∅}, {{∅}} }, { {∅}, {{{∅}}} } e { {{∅}}, {{{∅}}} }

s˜ao dois a dois distintos.

Axioma do conjunto das partes: Dado um conjunto A em ZF, existe um conjunto (em ZF) cujos elementos s˜ao, exatamente, os subconjuntos de

A. Ele ´e dito conjunto das partes6

de A. Denot´a-lo-emos por P(A). Simbolicamente:

∀x, x∈ P(A)⇐⇒x⊆A.

Quest˜ao 4. Sejam A e B conjuntos. Demonstrar que:

4.a. P(A) é único (e, como sua existência foi garantida, está bem definido);

4.b. A∈ P(A) e ∅∈ P(A);

4.c. A⊆B ⇐⇒ P(A) ⊆ P(B);

4.d. A=B ⇐⇒ P(A) =P(B).

4.e. Descrever todos os elementos de cada um dos conjuntos a seguir, justificando sua descri¸c˜ao: P(∅), P({∅}), P({∅,{∅} }) e P({ {{∅}} }).

6

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Esquema axiom´atico da separa¸c˜ao7

. Informalmente: dados um conjunto

Ae um predicadoP(x) aplic´avel aos elementos deA, existe um conjunto em ZF que consiste, exatamente, dos elementos de A que satisfazem P(x). Tal conjunto ´e denotado por{x∈A|P(x)}. Simbolicamente, escrevemos:

∀x, x∈ {x∈A|P(x)} ⇐⇒(x∈A∧P(x)).

Observemos que isto é, essencialmente, abstra¸cão restrita a predicados da forma x ∈ A∧P(x) com P(x) aplicável aos elementos do conjunto A (em ZF), o que produziria a classe {x|x∈A∧P(x)}.

Observemos, também, que P(x) pode ter parâmetros a1, . . . , an já

esco-lhidos ao aplicarmos o predicado aos elementos de A. Assim, mais formal-mente, o esquema axiom´atico8

da separa¸c˜ao pode ser enunciado como: seja uma f´ormulaφ(x, A;a1, . . . , an) constru´ıda na linguagem formal da teoria ZF,

contendo exatamenten+2 vari´aveis livres9

, a saber,x,Aea1, . . . , an. Ent˜ao:

∀A,∀a1, . . . ,∀an, ∃S: ∀x, [x∈S ⇔(x∈A∧φ(x, A;a1, . . . , an) )].

O conjunto S é aquele cuja existência é garantida pelo axioma referente àquela fórmulaφ.

O esquema axiomático da separa¸cão é uma consequência dos dois axio-mas anteriores juntamente com o esquema axiomático da substitui¸cão (a ser estudado na Parte II). No entanto, separa¸cão é tão importante que costuma ser enunciada como axioma (e não como teorema). Como veremos num exer-c´ıcio abaixo, separa¸cão equivale à ideia de subconjunto.

Quest˜ao 5. Sejam A e B conjuntos, e P(x) um predicado aplic´avel aos elementos de A. Demonstrar que:

5.a. {x ∈A|P(x)}é único (e, como sua existência foi garantida, está bem defi-nido);

5.b. {x∈A|P(x)} ⊆A(Todo conjunto obtido de Apor separa¸c˜ao ´e um subcon-junto de A);

7

ou da compreens˜ao restrita, ou da especifica¸c˜ao, ou do subconjunto.

8

Isto é um esquema axiomático porque fornece um axioma para cada fórmula

φ(x, A;a1, . . . , an) como descrito acima. Para cada conjunto A e cada valor a1, . . . , an

para os parˆametros, temos um predicadoP(x).

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5.c. Reciprocamente, todo conjuntoB que ´e subconjunto deApode ser reobtido por separa¸c˜ao: B ⊆A=⇒B ={x∈A|x∈B}.

Obs. Da´ı, o nome alternativo: esquema axiom´atico do subconjunto;

5.d. (Dificuldade média.) A classe CA=_b {x|∃a∈A: x={a}} (usualmente de-notável por { {a}|a∈A}) é extensionalmente igual a um conjunto em ZF.

Dica: Aplicar separa¸c˜ao aP(A) com um predicado apropriado;

5.e. (Bem dif´ıcil). R(A)∈/ A, onde R(A)=_b {x∈A|x /∈x}.

Dica: Pensar na demonstra¸c˜ao do paradoxo de Russell;

5.f. (Dificuldade razoavelmente alta). Em ZF, não existe um conjuntoU ao qual todos os conjuntos em ZF pertencem. Da´ı, a classe dos conjuntos em ZF não é um conjunto em ZF.

Dica: Utilizar o Item 5.e.

Defini¸c˜ao 3. Dados os conjuntos A e B, definimos: ainterse¸c˜ao deA e B, A∩B :={x∈A|x∈B}; e

adiferen¸ca(oudiferen¸ca absoluta) entreAeB, A\B :={x∈A|x /∈B}. Dizemos queA e B s˜ao disjuntos se, e somente se, A∩B =∅.

Obs. Alguns autores denotam A\B por A−B.

Obs. Em virtude do Item 5.a, A∩B eA\B est˜ao bem definidas e, em vista do Item 5.c, s˜ao subconjuntos deA.

6.a. ∀x, x∈(A∩B)⇐⇒(x∈A ∧x∈B), ou seja,A∩B ´e (extensionalmente) igual `a classe {x|x∈A∧x∈B};

6.b. (comutatividade de∩) A∩B =B ∩A;

6.c. (associatividade de∩) (A∩B)∩C =A∩(B∩C);

6.d. A\B e B\A s˜ao disjuntos.

Obs. Logo, a diferen¸ca entre conjuntos n˜ao ´e comutativa;

6.e. (A\B)\B =A\B;

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6.g. A⊆B ⇐⇒A∩B =A⇐⇒A\B =∅;

6.h. A⊆B =⇒A∩C ⊆B∩C; (A interse¸c˜ao preserva a inclus˜ao !)

6.i. A⊆B =⇒C\B ⊆C\A; (A diferen¸ca reverte a inclus˜ao !)

6.j. A∩∅=∅=A\A=∅\A;

6.k. A∩A=A=A\∅;

6.l. P(A∩B) =P(A)∩ P(B).

A seguir, estudamos a interse¸cão de uma cole¸cão não-vazia de conjuntos, isto é, o conjunto dos elementos comuns a todos eles, seja tal cole¸cão finita ou não.

Defini¸c˜ao 4. DadoF, um conjunto10

n˜ao-vazio de conjuntos, definimos sua

interse¸c˜ao, denotada por ∩F e por11 \

F∈F

F, da seguinte maneira: como

F 6=∅, sejaFe um elemento de F fixado. ∩F :={x∈Fe|∀F ∈ F, x∈F}.

Quest˜ao 7. Sejam F um conjunto n˜ao-vazio de conjuntos, eAe B conjun-tos. Demonstrar que:

7.a. ∀x, x∈ ∩F ⇐⇒ ∀F ∈ F, x∈F, ou seja, ∩F ´e (extensionalmente) igual `a classe {x|∀F ∈ F, x∈F}.

Obs. Disto,∩F ´e independente da escolha de Fe !

Dica: Obter que ∀x, hx∈Fe∧(∀F ∈ F, x∈F)⇐⇒ ∀F ∈ F, x∈Fi;

7.b. A∩B =∩ {A, B};

7.c. ∩ P(A) =∅.

Ex.: Com o conhecimento de propriedades de R, podemos mostrar que,

dados os reais a e b tais que a < b:

\

n∈N\{0}

a− 1 n, b+

1

n

= [a, b] = \

n∈N\{0}

a− 1 n, b+

1

n

10

Para facilitar a leitura, costumamos dizer “cole¸c˜ao de conjuntos” ou “fam´ılia de con-juntos”.

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A união dos conjuntos numa cole¸cão de conjuntos e, em particular, a união de dois conjuntos são introduzidas por axioma.

Axioma da união: Dada um conjunto F de conjuntos em ZF, existe um conjunto (em ZF) cujos elementos são, precisamente, os elementos que per-tencem a, pelo menos, um conjunto em F. Tal conjunto é dito a união de

F. e ´e denotada por ∪F e por [

F∈F

F. Simbolicamente:

∀x, x∈ ∪F ⇐⇒ ∃F ∈ F : x∈F.

Eis aqui a uni˜ao de dois conjuntos, mais familiar:

Defini¸c˜ao 5. Dados os conjuntos A e B, A∪B :=∪{A, B}.

Quest˜ao 8. Sejam F um conjunto de conjuntos, e A, B e C conjuntos. Demonstrar que:

8.a. ∪F é único (e, como sua existência foi garantida, está bem definido);

Obs. Em particular, o conjunto A∪B est´a bem definido;

8.b. ∪∅=∅;

8.c. ∀x, x∈(A∪B)⇐⇒(x∈A ∨x∈B), ou seja,A∪B ´e (extensionalmente) igual `a classe {x|x∈A ∨ x∈B};

8.d. A∪A=A, ou seja, ∪{A}=A;

8.e. ParaCAdo Item 5.d, ∪CA=A, ou seja, Aé a união dos conjuntos unitários formados por seus elementos;

Obs. A união pode ser usada para formalizar a descri¸cão de um conjunto finito por extensão. Por exemplo, se o conjunto A consiste dos elementos

∅,{∅}e{{∅}}, então Acostuma ser denotado por A={∅, {∅}, {{∅}} }, significando: ∀x, x∈A⇐⇒ (x=∅∨x={∅} ∨x={{∅}}). Do axioma da extensão, conclu´ımos que, em ZF, A = {∅} ∪ { {∅} } ∪ { {{∅}} }, pois o predicado acima equivale à pertinência a esta união repetida12

, como o(a) leitor(a) pode conferir. Gostar´ıamos de poder, simplesmente, afirmar que:

{a1, . . . , an}={a1} ∪. . .∪ {an}=

n

[

ı=1

{aı},

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para cada natural positivon. Por´em, para darmos sentido aNe a esta uni˜ao

sobren conjuntos comn arbitr´ario, precisamos de mais axiomas e teoremas.

Uma dica para os próximos itens é empregar propriedades dos conectivos lógicos∨, ∧ e ¬combinadas com os itens 6.a e 8.c.

8.f. (comutatividade de∪) A∪B =B∪A;

8.g. (associatividadede∪) (A∪B)∪C=A∪(B∪C);

8.h. (distributividade de∩ com rela¸c˜ao a ∪) A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C);

8.i. (distributividade de∪ com rela¸c˜ao a ∩) A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C);

8.j. B ⊆A=⇒(B∪C)⊆(A∪C); (A uni˜ao preserva a inclus˜ao !)

8.k. B ⊆A⇐⇒B∪A=A. Disto, obter A∪A =A novamente, e A∪∅=A;

8.l. A\(B∪C) = (A\B)∩(A\C), e A\(B∩C) = (A\B)∪(A\C).

Dica: Usar as leis de De Morgan;

8.m. A\(B\C) = (A\B)∪(A∩C), mas

(A\B)\C = A\(B ∪C) = (A\B)∩(A\C). Dar conjuntos A, B e C que satisfazem A\(B\C)6= (A\B)\C (Em particular, eles constituem um con-traexemplo para a associatividade da diferen¸ca);

8.n. P(A)∪ P(B)⊆ P(A∪B). Dar um contraexemplo para a igualdade.

Defini¸c˜ao 6. Dado um conjunto F de conjuntos, dizemos que F ´e uma

fam´ılia disjuntade conjuntos, e que seus elementos s˜aodois a dois dis-juntos se, e somente se: ∀F ∈ F,∀G∈ F, F =6 G=⇒F ∩G=∅.

Ex.: {∅, {∅}, {{∅}} }´e uma fam´ılia disjunta de conjuntos. Por vacuidade,

∅ também o é. Porém, o par desordenado { {∅, {∅} }; { {∅}, {{∅}} } }

n˜ao o ´e.

Defini¸cão 7. Dada uma fam´ılia disjunta de conjuntos F, dizemos que a união_G ∪F é disjunta, e podemos indicar isto denotando-a por ⊔F e por

F∈F

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Obs. Existe uma outra constru¸cão que é relacionada a uniões disjuntas e atende por vários nomes na literatura, tais como soma direta, soma livre,

união livre, coproduto (de conjuntos) e . . . união disjunta ! Ela é denotada por`, + e P mas também por ⊔ e F. Nota¸cão e nomenclatura dependem do contexto.

Quest˜ao 9. Sejam A, B e C conjuntos, e F uma fam´ılia n˜ao-vazia de con-juntos. Demonstrar que:

9.a. A e B são disjuntos se, e somente se, A∪B é (extensionalmente) igual à classe {x|(x∈A) ˙∨(x∈B)}.

9.b. F é uma fam´ılia disjunta se, e somente se, ∪F é (extensionalmente) igual à classe {x|∃!F ∈ F :x∈F};

9.c. A= (A∩B)⊔(A\B);

9.d. A∪B =⊔{A\B, A∩B, B\A} (cf. itens 6.d e 9.c);

9.e. (A∪B)\B =A\B como corol´ario dos itens 9.c e 9.d.

Defini¸cão 8. Dados os conjuntos A e B, sua diferen¸ca simétricaé defi-nida por A∆B := (A\B)⊔(B\A) (cf. Item 6.d).

10.a. A△∅=A; e A△A=∅;

10.b. (comutatividade de△) A△B =B△A;

10.c. (associatividade de △) (A△B)△C =A△(B△C);

10.d. A△B = (A∪B)\(A∩B);

10.e. A△B =A\B ⇐⇒B ⊆A;

10.f. A∆B =A∩B ⇐⇒A△B =∅⇐⇒A∪B =A∩B ⇐⇒A =B;

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10.h. A△B =A△C ⇐⇒B =C;

10.i. (distributividade de ∩ com rela¸c˜ao a △) (A△B)∩C= (A∩C)△(B∩C);

Os três próximos itens são opcionais:

10.j. (A∩B)△C ⊇ (A△C)∩ (B△C). Dar conjuntos A, B e C que levam à continência própria, mostrando que △não é distributiva com rela¸cão a ∩;

10.k. (A△B)∪C⊇(A∪C)△(B∪C) = (A△B)\C. Dar conjuntosA,B eC que levam à continência própria, donde ∪não é distributiva com rela¸cão a △;

10.l. (A∪B)△C ⊆ (A△C)∪ (B△C). Dar conjuntos A, B e C que levam à inclusão própria, mostrando que △ não é distributiva com rela¸cão a ∪.

Defini¸cão 9. Dado um conjunto A, definimos a opera¸cão unária comple-mento(ou complementar ou diferen¸ca absoluta) emP(A) por:

P(A) −→ P(A)

X 7−→Xc ₌_A\X.

Questão 11. SejaA um conjunto com rela¸cão ao qual se fará a opera¸cão de complemento c_{. Sejam} _{X, Y} _{∈ P}₍_A_{). Demonstrar que:}

11.a. (c _{´e uma} _involu¸c˜_ao_{) (}_Xc₎c ₌_X_;

11.b. ∅c ₌_A_{, donde} _Ac ₌_∅_;

11.c. Xc _{é o ´}_{unico subconjunto de} _A _{disjunto de} _X _{tal que sua união com} _X _é

igual aA. Simbolicamente:

X∩Xc ₌_∅_, _X_⊔_Xc ₌_A_{, e [(}_X_∩_Y ₌_∅₎_∧₍_X_⊔_Y ₌_A_{)] =}_⇒_Y ₌_Xc _;

11.d. (X∩Y)c ₌_Xc _∪_Yc_;

11.e. (X∪Y)c ₌_Xc _∩_Yc_;

11.f. X\Y =X∩Yc_;

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A próxima questão trata de opera¸cões aplicadas a conjuntos de conjuntos e, como tal, exige um pouco mais de maturidade. O primeiro item é dif´ıcil e fundamenta conjuntos auxiliares para os demais itens, que são de dificuldade média a razoavelmente alta. O(a) estudante deve entender os enunciados destes itens e tentar resolvê-los mesmo se não conseguir resolver o primeiro.

Quest˜ao 12. Sejam A um conjunto, e F e G conjuntos n˜ao-vazios de con-juntos. Demonstrar que:

12.a. As classes abaixo, dadas por abstra¸cão e em nota¸cão usual, são (extensio-nalmente) iguais a conjuntos não-vazios de conjuntos em ZF:

CAIF =_b{x|∃F ∈ F : x=A∩F}={A∩F|F ∈ F };

CAU F =_b{x|∃F ∈ F : x=A∪F}={A∪F|F ∈ F };

CADF =_b{x|∃F ∈ F : x=A\F}={A\F|F ∈ F };

CF IG=_b{x|∃F ∈ F : ∃G∈ G: x=F ∩G}={F ∩G|F ∈ F, G∈ G};

CF U G=_b{x|∃F ∈ F : ∃G∈ G : x=F ∪G}={F ∪G|F ∈ F, G ∈ G}.

12.b. A∩ \ F∈F

F = \

F∈F

(A∩F), ou seja, A∩ (∩F) =∩ CAIF;

12.c. A∩ [ F∈F

F = [

F∈F

(A∩F), ou seja, A∩ (∪F) =∪ CAIF;

12.d. A∪ \ F∈F

F = \

F∈F

(A∪F), ou seja, A∪ (∩F) =∩ CAU F;

12.e. A∪ [ F∈F

F = [

F∈F

(A∪F), ou seja, A∪ (∪F) =∪ CAU F;

12.f. A\ \ F∈F

F = [

F∈F

(A\F), ou seja,A\(∩F) =∪ CADF;

12.g. A\ [ F∈F

F = \

F∈F

(A\F), ou seja,A\(∪F) =∩ CADF;

12.h. (∩F)∩ (∩G) = \

F∈F, G∈G

(F ∩G), ou seja, (∩F)∩ (∩G) =∩ CF IG;

12.i. (∪F)∩ (∪G) = [

F∈F, G∈G

(F ∩G), ou seja, (∪F)∩ (∪G) =∪ CF IG;

12.j. (∩F)∪ (∩G) = \

F∈F, G∈G

(F ∪G), ou seja, (∩F)∪ (∩G) =∩ CF U G;

12.k. (∪F)∪ (∪G) = [

F∈F, G∈G