DINÂMICA VETORIAL TEORIA

D EPARTAMENTO DE E NGENHARIA M ECÂNICA

U NIVERSIDADE DE S ÃO P AULO

D INÂMICA V ETORIAL

T EORIA

M ARIO F RANCISCO M UCHERONI

S ÃO C ARLOS - 2011

C APÍTULO 1

C INEMÁTICA V ETORIAL DA P ARTÍCULA

Freqüentemente a segunda lei de Newton é escrita na forma clássica que relaciona a força resultante com a aceleração da partícula. O estudo da cinemática da partícula tem como objetivo obter as relações matemáticas entre as grandezas posição, velocidade e aceleração, num determinado referencial.

1.1 V ETORES P OSIÇÃO , V ELOCIDADE E A CELERAÇÃO

Seja o sistema xyz da Figura 1.1 fixo num espaço inercial e seja o movimento em relação a este referencial denominado como movimento absoluto.

O vetor r representa a posição da partícula P no instante t, indicado por r r (t ) , e o vetor r representa a posição desta mesma partícula no instante t , indicado por

) (t r

r .

Figura 1.1 - Vetores posição e deslocamento de uma partícula P.

z

x

y r

r r

P(t) P(t´)

S

Por definição, a velocidade no instante t é dada por:

v r r r r

t t t

lim t t lim t

d dt '

'

(1.1)

onde r r r é o vetor deslocamento no intervalo de tempo t t t , conforme mostra a Figura 1.1. Analisando o limite dado na equação (1.1) pode-se concluir que o vetor velocidade v é tangente à curva S no instante t.

Figura 1.2 - Vetores velocidade de uma partícula P.

De maneira semelhante, define-se a aceleração da partícula P no instante t como:

a v v v v r

t t t

lim t t lim t

d dt

d dt

'

'

'

2

2

(1.2)

onde v v v corresponde à variação do vetor velocidade, conforme mostra a Figura 1.2. Analisando o limite na equação (1.2) pode-se concluir que o vetor aceleração possui uma componente tangencial e uma co mponente normal (exceto para trajetórias retilíneas) em relação à curva S no instante t.

z

x

y v v

r

r r

P(t) P(t’)

S v

v v

P

1.2 C OMPONENTES T ANGENCIAL E N ORMAL

Muito frequentemente desejamos trabalhar com as coordenadas tangente e normal à curva do movimento s(t). Conforme visto na seção anterior, de uma forma gráfica e através da geometria, podemos representar os vetores velocidade e aceleração num determinado instante, nas coordenadas móveis tangente e normal, conforme mostra a Figura 1.3. Vamos demonstrar de forma mais precisa estes afirmações.

Figura 1.3 - Direções tangencial e normal:

vetores velocidade e aceleração de uma partícula P.

Vamos tomar uma dada curva s(t) e duas posições nos instantes t e t’.

Vamos representar o deslocamento escalar sobre a curva entre est es dois instantes por s e o deslocamento vetorial através de r , conforme já definido.

Figura 1.4 - Deslocamentos escalar e vetorial.

Uma relação geométrica fundamental entre estes deslocamentos, isto é, entre os comprimentos da corda e do arco é dada por:

z

x

y v

a P

u_n S

u_t

P S

s s

P s

r

s 1 lim

0 t

r (1.3)

onde r r r é o vetor deslocamento e s s s é o comprimento do trecho da curva percorrido no intervalo de tempo t , conforme mostra a Figura 1.3.

Analisando o limite dado na equação (1.3) pode-se concluir que:

0 t

t

ds

d lim s r r u

(1.4)

onde u

é o vetor unitário da direção tangente ou versor tangente. Lembrando que

dt

v dr (1.5)

então

v

ds d dt ds dt

d r r u

v (1.6)

Figura 1.5 - Vetor velocidade de uma partícula P.

Assim, podemos concluir que o vetor velocidade v é tangente à curva S no instante t. Portanto, dada s = s(t) uma função do percurso sobre a curva S, podemos definir a derivada

dt

v ds (1.7)

z

x

y v

P(t) S

s s

P(t’) s

como a velocidade na forma escalar, uma função positiva ou negativa de acordo com o sentido do percurso sobre S.

A aceleração da partícula P em componentes tangencial e normal pode ser obtida através de

dt

a dv (1.8)

Substituindo (1.6) em (1.8) obtemos

dt v d dt v dv dt

d dt

d

t t

u u v u

a ( ) (1.9)

É necessário analisar a segunda parcela de ( 1.9). Inicialmente vamos decompor a derivada temporal do versor tangente pela regra da cadeia e, em seguida, aplicamos (1.7) e a relação geométrica ds d para obter

d d v s d d dt

s d dt

d u

u

u

(1.10)

Figura 1.5 - Versores tangentes.

Para calcularmos a derivada do versor tangente em θ vamos lembrar que

z

x

y u_t

P(t)

S ut

P(t’) u_t

ut

u_t’

´ s

t 0

t

lim

d

d u u

(1.11)

Vamos analisar a Figura 1.5. Verificamos que os versores nos instantes t e t’, e o vetor da variação entre estes dois instantes, formam um triângulo isósceles tendo os dois lados iguais de comprimento unitário e a sua base dada por

u

u

2 sen 2 (1.12)

onde u é o versor da direção de u

. Substituindo (1.12) em (1.11), obtemos

n 0

0 t

2 sen 2 2 lim

sen 2 d lim

d u u u u

(1.13)

Levando (1.13) em (1.10), obtemos

n

t

v

dt

d u u

(1.14)

O resultado obtido em (1.14) é então aplicado em (1.9)

n 2 t t

v dt v dv dt

d dt

d v u u u

)

( (1.15)

Assim obtemos as componentes tangencial e normal da aceleração, ou seja,

n n t

t

a

dt a

d v u u

a (1.16)

onde

dt v

a

dv  aceleração tangencial (1.17)

2 n

a v aceleração normal (1.18)

Observemos inicialmente que em qualquer movimento retilíneo a aceleração normal é nula, enquanto que nos movimentos curvilíneos esta aceleração será sempre diferente de zero, mesmo quando a velocidade tiver módulo constan te.

Assim podemos concluir que o único movimento possível com aceleração total nula é o retilíneo uniforme. Neste caso tanto a aceleração tangencial como a aceleração normal são nulas. O movimento retilíneo não uniforme terá aceleração tangencial diferente de zero e qualquer movimento curvilíneo terá a celeração normal diferente de zero, além da tangencial no caso de movimento não uniforme.

Neste sistema de coordenadas, há uma terceira direção que é perpendicular ao plano que contém os vetores u

e u

, denominada direção binormal. Nesta direção a componente da aceleração é sempre nula. É definida pelo versor:

n t

b

u u

u (1.19)

1.3 C OMPONENTES R ETANGULARES

Escolhendo as coordenadas retangulares xyz e os versores de suas direções indicados por i, j e k, respectivamente, podemos escrever o vetor posição r = r(t)

k j i

r x y z (1.20)

Figura 1.6 - Movimento em coordenadas cartesianas.

z

x

y v

a P

S i

j k

r

Nestas coordenadas o movimento da partícula P é dado pela composição de três movimentos retilíneos x=x(t), y=y(t) e z=z(t). A velocidade deste movimento em relação ao referencial xyz é dada por:

k j i k j r i

v x y z

dt dz dt dy dt dx dt

d    (1.21)

onde i , j e k são os vetores unitários do referencial xyz. A aceleração deste movimento em relação a este referencial é dada por

k j i k j

v i

a x y z

dt z d dt

y d dt

x d dt d

2 2 2

2 2 2



 





 (1.22)

Sendo a velocidade um vetor tangente à trajetória, é possível obter o versor tangente através de

2 2 t 2

z y x   

v v

u v (1.23)

Quando houver interesse, pode-se obter a componente tangencial da aceleração

t

a

a u (1.24)

e a aceleração normal

2 t 2

n

a a

a (1.25)

ou, vetorialmente,

t

n

a a

a (1.26)

Portanto, o versor da direção normal pode ser obtido através de

n n

n

a

u a (1.27)

1.4 C OMPONENTES C ILÍNDRICAS

Escolhendo as coordenadas cilíndricas r, e z e os versores de suas direções radial u

e transversal u , ambos no plano xy, e k da direção z, podemos escrever o vetor posição r

= r

(t)

k u

r

r

z (1.28)

Figura 1.6 - Movimento em coordenadas cilíndricas.

Figura 1.7 - Projeção no plano xy do movimento em coordenadas cilíndricas.

Nestas coordenadas, o movimento da partícula P é dado pela composição de três movimentos: radial r = r(t), transversal = (t) e vertical z = z(t). A velocidade deste movimento é dada por:

y

z x

u_r u

Projeção de P

projeção de S r

z

x

y

u_r u

S

projeção de S r

P r_P

z

u k r u

v dt

dz dt r d dt dr dt

d

r

P

(1.29)

A derivada da segunda parcela é dada por

d d dt d dt

d u

u

(1.30)

usando o resultado obtido em (1.13), por analogia, pode-se escrever que

u u dt d dt d

(1.31)

Aplicando (1.31) em (1.29), obtém-se a velocidade

k u

r u

v dt

dz dt

r d dt dr dt d

r

P

(1.32)

onde

dt r

v

dr  (1.33)

r  dt r d

v (1.34)

dt z

v

dz  (1.35)

Derivando a velocidade dada em (1.32), obtemos a aceleração

u k u

u u v u

a

2 2

2 r

2 r 2

dt z d dt d dt r d dt

r d dt d dt dr dt d dt dr dt

r d dt

d (1.36)

Aplicando (1.31) em (1.36) obtemos

u k u

u v u

a

2 2

2 2 r

2

dt z d dt d dt r d dt

r d dt d dt 2 dr dt

r d dt

d (1.37)

Usando o resultado obtido em (1.13), por analogia, pode-se escrever que

dt

d dt

d u u

(1.38)

e aplicando (1.38) em (1.37) obtemos finalmente:

k u

u u

v u

a

2 2 r

2 2 r

2

dt z d dt

d dt r d dt

r d dt d dt 2 dr dt

r d dt

d (1.39)

ou

k u

v u

a

2 2

2 r

2 2

2

dt z d dt

d dt 2 dr dt r d dt

r d dt

r d dt

d (1.40)

Assim, em componentes

2 2

2 2

r

r r

dt r d dt

r

a d    (1.41)

 



 2 r dt r

d dt 2 dr dt r d

a

2

(1.42)

dt z z a d

2

z

  (1.43)

1.5 M OVIMENTO R ELATIVO ENTRE P ARTÍCULAS

Até aqui, os referenciais utilizados foram considerados como absolutos.

Frequentemente, em movimentos mais complexos, é interessante determinar as características cinemáticas desses movimentos a partir de dois ou mais movimentos identificados como relativos. Sejam os movimentos de duas partículas A e B, num referencial absoluto xyz , conforme mostra a Figura 1.8, e os seus vetores posição, dados por

k j i

r

x

y

z

e r

x

i y

j z

k (1.44)

Figura 1.8 - Movimento relativo de duas partículas.

Vamos tomar um referencial móvel x’y’z’, fixo na partícula A de tal forma que seus eixos não sofram rotação, isto é, mantém as suas direções fixas ao longo de todo o movimento. Nós dizemos que este referencial realiza um movimento de translação em relação ao referencial fixo xyz. Assim podemos escrever

A B A

B

r r

r (1.45)

onde dizemos que r

é o “vetor posição de B em relação a A”. Observe que é uma forma livre de se expressar, pois, de fato, não existe movimento relativo a uma partícula A, mas sim a um referencial x’y’z’, fixo em A. Para se obter a relação entre as velocidades, deriva-se (1.45) para se obter

A B A

B

v v

v (1.46)

onde v

e v

são, respectivamente, as velocidades das partículas A e B em relação ao referencial xyz, enquanto que v

é a velocidade da partícula B em relação ao referencial x’y’z’, também chamada de forma simplificada como velocidade relativa de B em relação a A. Para obtermos a relação entre as acelerações, basta derivarmos a (1.46):

A B A

B

a a

a (1.47)

z

x

O y S_A A

r_A

S_B

y' z'

r_B r_B/A x'

B

C APÍTULO 2

D INÂMICA DA P ARTÍCULA : F ORÇA E A CELERAÇÃO

Neste capítulo será analisada a lei de Newton na sua forma diferencial, aplicada ao movimento de partículas. Nesta forma a força resultante das forças aplicadas numa partícula está relacionada com a sua aceleração.

2.1 L EIS DE N EWTON PARA M OVIMENTOS

A mecânica vetorial está baseada na teoria de Newton, apresentada originalmente em 1687. Newton utilizou para o desenvolvimento de sua teoria os trabalhos de outros cientistas que o precederam, esp ecialmente de Galileo e de Kepler. Através de experimentos práticos, Galileo demonstrou alguns princípios do movimento dos corpos. Entretanto Newton foi o primeiro a estabelecer de uma forma sistemática um conjunto de leis gerais para o estudo desses movimentos.

Estas leis foram formuladas inicialmente para partículas simples , assumindo a existência de sistemas de referência, em relação aos quais são válidas. Estes sistemas de referência, chamados sistemas inerciais ou galileanos, formam um conjunto especial de sistemas de referência que estão em repo uso ou em movimento retilíneo uniforme, um em relação ao outro. Na mecânica newtoniana um sistema inercial é definido como aquele que está em repouso ou em movimento uniforme em relação a uma suposta posição média de estrelas fixas e distantes.

Entretanto, para muitos objetivos práticos é possível adotar como inercial um

sistema fixo ao sistema solar. Em muitas aplicações da engenharia é possível

adotar como inercial um sistema de referência fixo à superfície da terra. N ewton

enunciou suas leis como axiomas do movimento, hoje apresentadas da seguinte

forma:

Primeira lei: Uma partícula se move em linha reta com velocidade constante quando não há forças atuando sobre ela .

Uma partícula é a idealização de um corpo material cujas dimensões são muito pequenas quando comparadas com as distâncias a outros corpos e cujo movimento relativo entre seus pontos não é relevante para o movimento do corpo.

Matematicamente estes corpos são representados por massas pontuais.

Sendo F

a força resultante numa partícula e v a sua velocidade em relação a um referencial inercial, a primeira lei pode ser estabelecida por:

dt 0 0 d

R

F v ou v = constante (2.1)

Segunda lei: Uma partícula se move de maneira tal que a força resultante a ela aplicada é igual à derivada em relação ao tempo da quantidade de movimento linear.

A quantidade de movimento linear, ou simplesmente quantidade de movimento, é definida como o produto da massa pela velocidade , ou seja, igual a mv. Assim a segunda lei pode ser dada por:

dt m d

R

) ( v

F (2.2)

Sendo constante a massa da partícula, então a equação (2.2) pode ser escrita como:

v a

F m

dt m d

R

)

( (2.3)

Terceira lei: Quando duas partículas atuam uma sobre a outra, as forças de interação correspondentes situam-se sobre a linha que une estas partículas;

são iguais em módulo e de sentidos contrários.

Esta lei também é conhecida como lei de ação e reação. Indicando por F

a

força exercida pela partícula A sobre a partícula B e F

a força que a partícula B

exerce em A, a terceira lei pode ser estabelecida matematicamente por:

F

F

(2.4)

Newton também propôs uma lei para reger a atração mútua entre duas partículas, denominada Lei de Newton da Atração Gravitacional, dada por

2 2 1

G

r

m G m

F (2.5)

onde

F

é força de atração entre as duas partículas

G = 66,73 (10

) m

/(kg.s

) é uma constante universal de gravitação m

, m

são as massas de cada uma das partículas

r é a distância entre as partículas

Analisando a lei dada por (2.5) poderemos considerar como desprezível esta força quando se trata da atração entre dois corpo s sobre a terra. Se considerarmos, por outro lado, a atração que a terra exerce sobre um corpo em sua superfície, pode-se mostrar que esta força é dada por

R mg G Mm

W

(2.6)

onde

W é a força de atração entre a terra e o corpo, denominada peso M é a massa da terra

R é igual ao raio da terra

m é a massa corpo na superfície da terra

R

G M

g é denominada aceleração da gravidade

Esta constante de fato varia ao longo da superfície da terra, mas estas

variações são consideradas pequenas na maioria das aplicações em engenharia. Os

valores de referência adotados universalmente são: g = 9,81 m/s

ou 32,2 ft/s

.

2.2 E QUAÇÃO DE M OVIMENTO PARA P ARTÍCULA

Quando várias forças atuam sobre uma partícula, a equação (2.3) pode ser escrita como

a F

F

m (2.7)

onde F

é a força resultante do sistema de forças que atua na partícula de massa m.

A Figura 2.1 ilustra o diagrama do corpo livre de uma partícula P onde atuam duas forças.

Figura 2.1 - Diagrama do corpo livre de uma partícula P.

2.3 E QUAÇÃO DE M OVIMENTO PARA UM S ISTEMA DE P ARTÍCULAS

Seja um sistema de várias partículas e sejam as forças externas ao sistema indicada por F e as internas indicadas por f. Aplicando a lei de Newton para cada partícula deste sistema podemos escrever

i i ji

i

f m a

F (2.8)

onde

F

é a força resultante externa na partícula i f

é a força da partícula j sobre a partícula i m

é a massa da partícula i

Podemos agora somar a equação (2.8) aplicada a todas as partículas internas ao sistema, cujo resultado é

= P

F₁

F₂

P

F_R = ma

i i ji

i

f m a

F (2.9)

Sendo as f

forças internas ao sistema dado, sempre ocorrerão em pares de ação e reação, resultando numa soma nula. Assim (2.9) é igual a

i i i

R

F m a

F (2.10)

Agora vamos lembrar que a posição r

do centro de massa de um sistema de partículas de massas m

é dada por

i i

G

m

m r r (2.11)

onde

m

m é a massa total do sistema

Derivando (2.11) duas vezes no tempo, obtemos

i i

G

m

m a a (2.12)

Substituindo (2.12) em (2.10), resulta

G

R

ma

F (2.13)

que é uma forma parecida com a equação de movimento para uma partícula, mas

cujos termos devem ser interpretados de forma diferente. A força F

é a força

resultante de todas as forças externas que atuam no sistema de partículas; a massa

m é a soma de todas as massas das partículas e a aceleração a

é a aceleração do

centro de massa do sistema. O centro de massa do sistema está localizado numa

posição que varia com o tempo, em geral não coincidente com nenhuma partícula

do sistema.

2.4 E QUAÇÃO DE M OVIMENTO : C OORDENADAS R ETANGULARES

Vamos tomar um sistema inercial de referência nas coordenadas xyz. A força resultante aplicada a uma partícula de massa m pode ser escrita como

k j

i F

F

F

F

F

(2.14)

e a equação do movimento

)

( i j k

k j

i

x

F F m a a a

F (2.15)

Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares

x

x

m a

F

y

y

m a

F (2.16)

z

z

m a

F

A Figura 2.2 mostra as componentes retangulares de uma dada força aplicada a uma partícula P de massa m.

Figura 2.2 - Componentes Retangulares.

z

x

y F_z

m

F_y F_x

2.5 E QUAÇÃO DE M OVIMENTO : C OORDENADAS T ANGENCIAL E N ORMAL

Em muitos movimentos que ocorrem em trajetórias curvilíneas conhecidas, forças aplicadas podem ser escritas em função das coordenadas tangencial, normal e binormal (esta completa o sistema de referência numa direção normal ao plano do movimento) como

b b n

n t

t

R

F F u F u F u

F (2.17)

e a equação do movimento

) (

b b n

n t

t

F F m a a

F u u u u u (2.18)

Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares

t

t

m a

F

n

n

m a

F (2.19)

0 F

A Figura 2.3 mostra os versores das direções tangencial, normal e binormal num dado instante do movimento de uma partícula P.

Figura 2.3 - Direções tangencial, normal e binormal.

y t z

x

u_b

P u_t u_n

n O

b

2.6 E QUAÇÃO DE M OVIMENTO : C OORDENADAS C ILÍNDRICAS

Alguns movimentos são mais facilmente escritos em função de coordenadas cilíndricas. Nestes casos as forças aplicadas podem ser escritas como

z z r

r

R

F F u F u F u

F (2.20)

e a equação do movimento

)

(

z z r

r

F F m a a a

F u u u u u u (2.21)

Logo, esta equação vetorial pode ser substituída por três equações escalares

r

r

m a

F

a m

F (2.22)

z

z

m a

F

A Figura 2.4 mostra os versores das direções tangencial, normal e binormal num dado instante do movimento de uma partícula P.

Figura 2.4 - Coordenadas cilíndricas.

y r

z

x

uz

P

u_r u u

u_r

C APÍTULO 3

D INÂMICA DA P ARTÍCULA : T RABALHO E E NERGIA

Neste capítulo será analisada a lei de Newton numa de suas formas integrais, aplicada ao movimento de partículas. Define-se o conceito de trabalho e energia cinética e através da integração da lei de Newton ao longo da trajetória do movimento podemos relacionar as forças aplicadas num intervalo de tempo com a variação da velocidade.

3.1 T RABALHO R EALIZADO POR UMA F ORÇA

O conceito de trabalho como definido na Mecânica da partícula está relacionado à ação de forças aplicadas na direção do movimento. Numa forma diferencial, o trabalho U de uma força F é dado por

r F d

dU (3.1)

A Figura 3.1 ilustra as grandezas envolvidas nesta definição. Logo ds

F

dU cos (3.2)

Podemos observar que

0 ds F

dU cos quando 0 90

0 ds F

dU cos quando 90

0 ds F

dU cos quando 90 180

Figura 3.1 - Elementos da definição de trabalho de uma força.

Logo, a partir de (3.1) e (3.2), o trabalho U de uma força F durante o movimento que vai da posição r

até a posição r

é uma grandeza escala dada por

2 1 2

1

s 2 s

1

d F ds

U

cos

r

F r (3.3)

Observe que o trabalho de uma força constante F

, ao longo de uma trajetória retilínea, é dado por

) (

cos

cos

C s C

2

1

d F ds F s s

U

1 2

1

r

r

F r (3.4)

Figura 3.2 - Trabalho de uma força constante.

O trabalho da força peso W, sendo y a direção vertical, é dado por

2 1 2

1

dz dy dx W

d

U

r r

r

F r ( j ) ( i j k ) (3.5)

ou seja

r ds

S P

F

r’

dr

s

s s₁

F_C

s2

y W y y W Wdy

U

2 y 1

2 1

)

( (3.6)

Figura 3.3 - Trabalho da força-peso W.

O trabalho da força de uma mola linear aplicada a uma partícula P que se desloca ao longo do eixo x pode ser obtido a partir de:

2 1

x

x m

2

1

d

U F r (3.7)

O modelo linear de força de mola estabelece que sua intensidade é proporcional ao seu deslocamento x, quando x = 0 corresponde à posição de mola livre. Assim a força sobre uma mola de constante elástica k possui a forma kx. Aplicada sobre a partícula P esta força tem sinal contrário ao deslocamento x. Portanto, a força de mola sobre a partícula P é dada por

x k

F

(3.8)

Logo

) (

x 2 x

1

k x x

2 dx 1 x k

U

1

(3.9)

3.2 P RINCÍPIO DO T RABALHO E E NERGIA

Considere agora a lei de Newton dada pela equação do movimento, aplicada a uma partícula P de massa m:

y

z

x W

P

r₁ r₂

a

F m (3.10)

Vamos calcular o trabalho da força resultante, num movimento desta partícula entre duas posições r

e r

, com t

> t

:

2 1 2

1

d m

d

r r

r

F r a r (3.11)

Nesta equação, como o processo de integração é linear, então:

2 1 2

1

d m

d

r r

r

F r a r (3.12)

ou seja

2 1

d m U

r

a r (3.13)

Aplicando a relação cinemática diferencial a d r v d v em (3.13) obtemos

2 1

d m U

v

v v (3.14)

Realizando a integração do lado direito da igualdade (3.14) obtemos

2 1 2

2 v

2 v

1

mv

2 mv 1 2 dv 1 v m

U

1

(3.15) Definindo a energia cinética de uma partícula de massa m como

mv

2

T 1 (3.16)

e aplicando em (3.15), obtemos o princípio do trabalho e energia para uma partícula P, da seguinte forma

1 2 2

1

T T

U (3.17)

ou

2 2 1

1

U T

T (3.18)

3.3 P RINCÍPIO DO T RABALHO E E NERGIA : S ISTEMAS DE P ARTÍCULAS

Vamos estender o princípio do trabalho e energia para um sistema de partículas. Seja um sistema formado por n partículas, cada uma de massa m

. Aplicando (3.18) para a i-ésima partícula

i 2 i 2 1 i

1

U T

T

(3.19)

Somando para todas a i partículas do sistema resulta:

i 2 i

2 1 i

1

U T

T

(3.20)

ou, de forma compacta

2 2 1

1

U T

T (3.21)

onde

2 i 1 i

1

m v

2

T 1 é a energia cinética do sistema no instante 1

2 i 2 i

2

m v

2

T 1 é a energia cinética do sistema no instante 2

i 2 i 1 i

2 i 1

i i i

i 2

1

d d

U

r r

r

f r F r é o trabalho do sistema.

Para a definição do trabalho do sistema entre as posições iniciais e finais, foi usada a notação f para forças internas e F para forças externas ao sistema. Deve-se notar que em determinadas condições, o trabalho total das forças internas é nulo: isto ocorre quando todas as partículas têm igual deslocamento (translação) e as conexões entre elas são rígidas. Estas condições são satisfeitas, por exemplo, para o caso de corpos rígidos em translação.

Observamos que a equação (3.21) é igual a (3.18), mas cada um de seus

termos tem definição diferente, como visto nesta seção.

3.4 P OTÊNCIA E E FICIÊNCIA

A potência é definida com a taxa de variação do trabalho por unidade de tempo, ou seja

dt

P dU (3.22)

Aplicando (3.1) em (3.22), resulta

v r F F

dt

P d (3.23)

Um conceito prático utilizado em engenharia é o da eficiência, às vezes denominado rendimento. Define-se, num sistema mecânico, a eficiência mecânica como o quociente entre a potência de saída e a potência de entrada.

E S

P

P (3.24)

A potência de entrada, em geral, é aquela fornecida pelos motores que acionam o sistema. Podem ter várias fontes de energia, sendo a energia elétrica muit o utilizada. A potência de saída é a responsável pelo trabalho que se deseja realizar com o sistema. Se o sistema for considerado ideal, este quociente é igual a 1, pois não há perda de energia. Entretanto, nos sistemas reais a eficiência é sempre menor que 1, pois sempre há perda de energia mecânica ao se realizar um trabalho.

3.5 F ORÇAS C ONSERVATIVAS E E NERGIA P OTENCIAL

Chamamos forças conservativas aquelas cujo trabalho realizado entre duas posições não depende da trajetória do movimento. Para a aplic ação neste curso vamos destacar duas forças conservativas: a força peso e a força de mola. Como visto anteriormente em (3.6), o trabalho da força peso é dado por

y W y y W

U

(

) (3.25)

Definimos a energia potencial gravitacional como

y W

V

(3.26)

onde y é a posição vertical da partícula em relação a um plano referencial escolhido arbitrariamente como plano de potencial nulo. Neste caso, podemos calcular o trabalho realizado pela força peso, qualquer que seja a trajetória entre as posições 1 e 2, através de

g 2 g 1 2

1

V V

U (3.27)

De forma semelhante, como visto em (3.9), o trabalho da força de mola é dado por

) (

2

1

k x x

2

U 1 (3.28)

Definimos a energia potencial elástica como

2

e

k x

2

V 1 (3.29)

onde x é a deformação mola em relação à posição de força nula. Neste caso, podemos calcular o trabalho realizado pela força de mola, qualquer que seja a trajetória entre as posições 1 e 2, através de

e 2 e 1 2

1

V V

U (3.30)

Podemos definir a energia potencial como

e

g

V

V

V (3.31)

Há outras forças conservativas, geradas por campos elétricos, energia

química, etc. Entretanto para os estudos que faremos neste texto, a definição dada

em (3.31) é suficiente. Portanto o trabalho total realizado por forç as conservativas pode ser calculado por

2 1 2

1

V V

U (3.32)

3.6 P RINCÍPIO DO T RABALHO E E NERGIA : S ISTEMAS C ONSERVATIVOS

O princípio do trabalho e energia, dado em (3.18), pode ser modificado quando todas as forças atuantes numa partícula são f orças conservativas. Neste caso, combinando (3.18) e (3.32), obtemos

2 2 1

1

V V T

T (3.33)

ou

2 2 1

1

V T V

T (3.34)

Esta igualdade é conhecida como a conservação da energia mecânica. È uma forma particular do princípio do trabalho e energia para sistemas conservativos. Nestes casos a soma das energias cinética e potencial é constante ao longo do tempo, ou

dt 0 V T C d

V

T ( )

ou (3.35)

onde C é uma constante. Observe-se que, para casos gerais onde há forças conservativas e forças não conservativas, o princípio geral dado por (3.18) pode ser escrito como

2 2 nc

2 1 1

1

V U T V

T (3.36)

onde

nc 2

U

é a soma de todos os trabalhos das forças não conservativas.

Para um sistema de partículas sujeito apenas à atuação de forças conservativas, uma extensão de (3.34) pode ser escrita como

2 2

1

1

V T V

T (3.37)

C APÍTULO 4

D INÂMICA DA P ARTÍCULA : I MPULSO E Q UANTIDADE DE M OVIMENTO

Neste capítulo será analisada a lei de Newton na forma de integral no domínio do tempo, aplicada ao movimento de partículas. Define-se o conceito de impulso e quantidade de movimento e através da integração da lei de Newton ao longo do tempo podemos relacionar as forças aplicadas num intervalo de tempo com a variação da velocidade vetorial.

4.1 P RINCÍPIO DO I MPULSO E DA Q UANTIDADE DE M OVIMENTO L INEAR

Vamos partir da formulação diferencial da lei de Newton

dt m d m

F v

a (4.1)

Tomando a diferencial de (4.1) e integrando entre os instantes de tempo t

e t

, sendo v

e v

as velocidades da massa m nestes instantes, obtemos

2 1 2

1

d m dt

t t

v

v

v

F (4.2)

ou

1 2 t

t²

dt m m

1

v v

F (4.3)

Vamos definir o impulso de uma força num intervalo de tempo como

2 1

t 2 t

1

F dt

I (4.4)

Esta grandeza é vetorial e a sua intensidade corresponde à área da curva mostrada na Figura 4.1, entre os instantes t

e t

.

Figura 4.1 - Impulso de uma força F.

A quantidade de movimento linear de uma partícula, ou simplesmente quantidade de movimento, é definida por

v

L m (4.5)

onde v é a velocidade da partícula de massa m. A partir dessas definições o princípio do impulso e da quantidade de movimento (4.3) pode ser escrito como

2 2 1

1

I L

L (4.6)

Em palavras, o quantidade de movimento linear num instante t

é igual à quantidade de movimento linear num instante t

mais a soma dos impulsos de todas as forças aplicadas à partícula entre estes instantes.

Este princípio está escrito na sua forma vetorial. Em componentes retangulares, a forma (4.3) é dada por

t

t

F

A

t

2 x t

t x

1

x

F dt m v

v

m

1

2 y t

t y

1

y

F dt m v

v

m

1

(4.7)

2 z t

t z

1

z

F dt m v

v

m

1

4.2 P RINCÍPIO DO I MPULSO E DA Q UANTIDADE DE M OVIMENTO L INEAR

S ISTEMA DE P ARTÍCULAS

Seja um sistema de partículas, mostrado na Figura 4.2, onde F

é a resultante externa na partícula i e f

representa uma força interna.

Figura 4.2 - Sistemas de partículas.

O princípio do impulso de da quantidade de movimento aplicado à i-ésima partícula do sistema é dado

i 2 i t

t i t

t i

i 1

i

dt dt m

m

1 2

1

v f

F

v (4.8)

Somando para todas a i partículas do sistema resulta:

i 2 i t

t i

t

t i

i 1

i

dt dt m

m

1 2

1

v f

F

v (4.9)

Sabendo que a soma de todos os impulsos das forças inte rnas f

é nula, obtemos

y

z

x

F

G r

r

f

i 2 i t

t i

i 1

i

dt m

m

1

v F

v (4.10)

Lembrando a definição do centro de massa G de um sistema de partículas,

i i

G

m

m r r (4.10)

onde

m

m é a massa total do sistema

r

é a posição do centro de massa do sistema r

é a posição da i-ésima massa do sistema

Através da derivação no tempo de (4.10) obtemos

i i

G

m

m v v (4.11)

onde

v

é a velocidade do centro de massa do sistema v

é a velocidade da i-ésima massa do sistema

Portanto o princípio do impulso e da quantidade de movimento (4.10) pode ser escrito como

2 G t

t i

1

G

dt m

m

1

v F

v (4.12)

4.3 C ONSERVAÇÃO DA Q UANTIDADE DE M OVIMENTO L INEAR

Se a resultante de todas as forças externas que atuam numa partícula de massa m for nula, então a quantidade de movimento se conserva, ou seja

C v v

m

m (4.13)