EA614 – An´alise de Sinais
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oSemestre de 2007 – 2
aProva – Prof. Renato Lopes Q
UESTAO˜ 1 (1.5 P
ONTOS):
Seja 𝑥(𝑡) = 𝑡
2. Considere os sinais
𝑦(𝑡) =
∑
∞ 𝑛=−∞𝑎
𝑘exp(𝑗𝑘2𝜋𝑡), 𝑧(𝑡) =
∑
∞ 𝑛=−∞𝑏
𝑘exp(𝑗𝑘2𝜋𝑡),
onde
𝑎
𝑘=
∫
10
𝑥(𝑡) exp(−𝑗𝑘2𝜋𝑡) d𝑡, 𝑏
𝑘=
∫
0−1
𝑥(𝑡) exp(−𝑗𝑘2𝜋𝑡) d𝑡.
Esboce os gr´aficos de 𝑦(𝑡) e 𝑧(𝑡).
Q
UESTAO˜ 2 (1.0 P
ONTO):
Seja 𝑥(𝑡) um sinal com per´ıodo 𝑇 = 2 e 𝑥(𝑡) = exp(−𝑎∣𝑡∣) para ∣𝑡∣ < 1. Calcule a s´erie de Fourier de 𝑥(𝑡).
Q
UESTAO˜ 3 (1.5 P
ONTOS):
Prove a propriedade do deslocamento em freq ¨uˆencia. Ou seja, se 𝑎
𝑘s˜ao os coeficientes da s´erie de Fourier de 𝑥(𝑡), ent˜ao 𝑎
𝑘−𝑚s˜ao os coeficientes da s´erie de Fourier de 𝑥(𝑡) exp(𝑗𝑚𝜔
0𝑡).
Q
UESTAO˜ 4 (2.0 P
ONTOS):
Seja 𝑥(𝑡) um sinal peri ´odico com per´ıodo 𝑇 = 1 e cuja s´erie de Fourier possui os seguintes coeficientes:
𝑎
𝑘=
{ 1, ∣𝑘∣ ≤ 10 0, caso contr´ario .
Este sinal ´e colocado na entrada de um filtro linear invariante no tempo com 𝐻 (𝜔) =
{ 1, ∣𝜔∣ < 3𝜋 0, caso contr´ario . Determine o sinal na sa´ıda do filtro. Qual o sinal na sa´ıda do filtro se a sua entrada ´e 𝑥(2𝑡)?
Q
UESTAO˜ 5 (1.0 P
ONTO):
Considere o sinal 𝑥(𝑡) do problema 4. Determine o valor de 𝑥(0).
Q
UESTAO˜ 6 (1.0 P
ONTO):
Considere o sinal 𝑥(𝑡) do problema 4. Determine sua energia em um per´ıodo.
Q
UESTAO˜ 7 (1.0 P
ONTO):
Determine a transformada inversa de Fourier de 𝑋(𝜔) = 𝛿(𝜔 − 𝜔
0).
Q
UESTAO˜ 8 (2.0 P
ONTOS):
Determine a transformada de Fourier de 𝑥(𝑡) =
{ exp(𝑡) 0 < 𝑡 < 1, 0, caso contr´ario.
Usando esse resultado, determine a transformada do sinal peri ´odico 𝑥(𝑡) = ˜ ∑
∞𝑘=−∞
