Aula Descontinuidade de uma Função

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Aula 5

5.1– Descontinuidade de uma Função

Graficamente falando, diz-se que uma função é contínua em um ponto se o gráfico não apresenta falha (do tipo, “quebra”, “pulo”, etc.) Essa é uma das mais importantes propriedades da maioria das funções. Podemos ilustrar o conceito com exemplos de gráficos abaixo:

Continuidade removível Continuidade de salto

Continuidade infinita Contínua para todos os valores de x

2 5.2– Funções crescentes ou decrescentes

Definição 1 – Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para quaisquer x₁,x₂  I , x₁  x₂temos f

   

Definição 2 - Dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é decrescente neste intervalo se para quaisquer x₁,x₂  I , x₁ x₂temos f

   

5.3– Funções Limitadas

Uma função f é limitada inferiormente se existe algum número b que seja menor ou igual a todos os números da imagem de f. Qualquer que seja o número b ele é chamado limite inferior de f. Uma função f é limitada superiormente se existe algum número B que se já maior ou igual a todos os números da imagem f. Qualquer que seja o número B, ele é chamado limite superior de f. Uma função é limitada quando ela é limitada das duas formas, superiormente e inferiormente.

3 Não limitada superiormente

Não limitada inferiormente

Não limitada superiormente Limitada inferiormente

Limitada Superiormente Não Limitada Inferiormente

Limitada

Podemos estender a definição anterior para a ideia de limitação da função para x em um intervalo, restringindo o domínio no intervalo de interesse. Por exemplo, a função

 

f 1

 é limitada superiormente sobre o intervalo









5.4– Extremo Local e Extremo Absoluto

Muitos gráficos são caracterizados por “altos” e “baixos” quando mudam o comportamento de crescente para decrescente, e vice-versa. Os valores extremos da função, também chamado extremo local, podem ser caracterizados como máximo local ou mínimo local.

-4 -2 2 4 x

-6 -4 -2 2 4 6 y

-4 -2 2 4 x

-6 -4 -2 2 4 6 y

-4 -2 2 4 x

-6 -4 -2 2 4 6 y

-4 -2 2 4 x

-1 -0.75

-0.5 -0.25 0.25 0.5 0.75 1

y

4 A figura abaixo mostra um gráfico com três extremos locais: máximo local no ponto Q, além de mínimos locais nos pontos P e R.

Esse conceito é mais fácil de observar graficamente do que de descrever de forma algébrica. Observe que um máximo local não tem que ser o máximo de uma função; ele precisa ser somente um máximo pertencente a algum pequeno intervalo dessa função.

DEFINIÇÃO: Um máximo local de uma função f é o valor f(c) que é maior ou igual a todos os valores da imagem de f, então f(c) é o valor máximo, também chamado máximo absoluto de f.

Um mínimo local de uma função f é o valor f(c) que é o menor o igual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é menor ou igual a todos os valores da imagem de f, então f(c) é o valor mínimo ou mínimo absoluto de f.

Extremos locais são chamados também de extremos relativos.

5.5– Simetria

Em Matemática, a simetria pode ser caracterizada numérica e algebricamente. Veremos três tipos particulares de simetria e analisaremos cada tipo a partir de um gráfico, de uma tabela de valores e de uma fórmula algébrica, uma vez conhecido o que se deve observar.

5 Simetria com o eixo vertical y

Exemplo: f(x)= x²

O gráfico parece o mesmo quando olhamos do lado esquerdo e do lado direito do eixo vertical y

Algebricamente: Para todos os valores de x do domínio de f temos ^f

 

Funções com essa propriedade ( por exemplo xⁿ, com n par) são chamadas funções pares.

x f(x)

-3 9

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

x f(x)

9 -3

4 -2

1 -1

0 0

6 Simetria com relação ao eixo vertical x

Exemplo: x=y²

O gráfico parece o mesmo quando olhamos acima e abaixo do eixo horizontal x

Algebricamente: Gráficos com esse tipo de simetria não são funções, mas podemos dizer que (x,y) está sobre o gráfico quando (x,y) também está.

Simetria com relação à origem Exemplo: f(x)= x³

O gráfico parece o mesmo quando olhamos tanto do seu lado esquerdo inferior, como do seu lado direito superior.

-4 -2 2 4

x

-7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 y

1 1

4 2

9 3

x f(x)

-3 -27

-2 -8

11 -1

0 0

1 1

2 8

3 27

7 Algebricamente: Para todos os valores de x do domínio de f, temos f

 

5.6– Assíntotas

Considere o gráfico da função

 

2 1

  x x

f na figura abaixo.

O gráfico parece ficar cada vez mais próximo da reta horizontal y 2 quando observamos a parte debaixo do eixo x. Chamamos de reta assíntota horizontal. De maneira similar, o gráfico parece ficar mais próximo da reta vertical x=2. Chamamos essas retas de reta assíntota vertical. Traçamos as assíntotas e podemos que elas formam uma barreira, assim como observamos o comportamento do gráfico.

Uma maneira de descobrir as retas assintóticas é fazer a divisão da função

 

2 1

  x x f , então,

Usaremos agora a regra da divisão que diz: Dividendo=Quociente x Divisor + Resto Portanto: 11(x2)3 Dividindo toda equação por (x2), temos,

 

 

 

 2

3 ) 2 (

) 2 ( 1 2 1

x x

x x

2 1 3

2 1

 

  x x

Essa regra também é chamada de Teorema do Resto na divisão de polinômios.

8 O número 1 (um) que é a primeira parcela da função modificada é a assíntota horizontal, e o valor que zera o denominador, que é o número 2 (dois) da segunda parcela é a assíntota vertical. Desse modo, podemos desenhar o gráfico. Podemos pegar valores bem próximos dessas suas assíntotas e testar na função a fim de saber se o seu sinal de positivo ou negativo. O sinal indica a continuidade da curva ao longo de eixo y. Se o sinal de y for positivo a curva tende para , se y for negativo, a curva tende para .

5.7– Comportamento da Funçao nas Extremidades do Eixo Horizontal

Uma assíntota horizontal para os valores de x que tendem a ou , mostra como a função se comporta para valores de x nos extremos do eixo horizontal. Nem todos os gráficos se aproximam de retas nessas condições (para valores de x nos extremos do eixo horizontal), mas é interessante saber o que ocorre além do que estamos visualizando.

Exemplo:

Associe cada função a um dos gráficos abaixo, considerando o comportamento nos extremos do eixo horizontal.

a)

 

1 3

2

 x x x

f b)

 

1 3

2 2

  x x x

f c)

 

1 3

2 3

  x x x

f d)

 

1 3

2 4

  x x x f

9

i) ii)

iii) iv)

Solução:

Quando x assume um valor muito grande, o denominador 𝑥²+ 1, em cada uma dessas funções, assume quase o mesmo valor de x². Se trocarmos 𝑥²+ 1, em cada denominador, por x² e simplificarmos as frações, teremos funções mais simples.

(a) 𝑦 =³

𝑥 (fica próximo de zero quando x é grande (b) 𝑦 = 3

(c) 𝑦 = 3𝑥 (d) 𝑦 = 3𝑥²

Para valores de x nos extremos do eixo horizontal, temos que:

-3 -2 -1 1 2 3

x

-4 -2 2 4 6 8 y

-6 -4 -2 2 4 6

x

-4 -2 2 4 y

-10 -5 5 10 x

-2 -1 1 2 3 4 y

-6 -4 -2 2 4 6 x

-3 -2 -1 1 2 3 y

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 𝑦 =³

𝑥 tende à zero, o que nos permite associar a função (a) com o gráfico iv.

 𝑦 = 3 mantém esse comportamento constante, o que nos permite associar (b) com (iii).

 𝑦 = 3𝑥 tende para +∞ quando x tende para +∞, e essa função tende para −∞ quando x tende à −∞, o que nos permite associar (c) com (ii).

 𝑦 = 3𝑥² tende para +∞ quando a x tende a +∞ ou −∞, o que nos permite associar (d) com (i).

5.8– Translação, Reflexão e Mudança de Escala

Para transladar o gráfico de uma função y f(x) para cima, adicione uma constante positiva do lado direito da fórmula y f(x).

Para transladar o gráfico de uma função y f(x) para baixo, adicione uma constante negativa do lado direito da fórmula y f(x).

Para transladar o gráfico y f(x) para a esquerda, adicione uma constante positiva à x.

Para transladar o gráfico y f(x) para a esquerda, a direita, adicione uma constante negativa à x.

 Fórmulas para Translação Translação Vertical:

k x f y ( )

Translada o gráfico k unidades para cima se k>0.

Translada o gráfico k unidades para baixo se k<0.

Translação Horizontal:

11 )

(x h f

y 

Translada o gráfico h unidades para a esquerda se h>0.

Translada o gráfico h unidades para a direita se h<0.

Exemplo 6: Mostre a função modificada transladando o gráfico da função x x

f 1

) (  :

a) 1 unidade para cima

A função modificada fica

x x x x f

x

f    1

) ( 1 1

) (

b) 2 unidades para baixo

12 A função modificada fica

x x x

x f x

f 1 2

) ( 1 2

)

( 







 c) 2 unidades para a esquerda

A função modificada fica

2 ) 1

(  

x x f

d) 1 unidade para a direita

A função modificada fica

1 ) 1

(  

x x f

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 Fórmulas da Reflexão )

(x f

y Reflete o gráfico de f em torno do eixo x.

) ( x f

y  Reflete o gráfico de f em torno do eixo y.

Exemplo 7:

Para a função f(x)x² 2x:

a) Efetue uma reflexão em torno do eixo x.

A função modificada é ^f(x)





b) Efetue uma reflexão em torno do eixo y.

14 A função modificada é f(x)(x)² 2(x) f(x) x²2x

 Mudança na inclinação de uma função linear por um fator a:

Consideramos a expressão função linear y f(x)ax, onde a é uma constante real não nula. A questão é investigar a ação do coeficiente a quanto comparada ao gráfico da função identidade y f(x) x.

Exemplo: Mude a inclinação do gráfico y f(x) x, pelos fatores a2e 2

 1

a .

15

 Translação das Funções Lineares

Consideramos a expressão da função afim y f(x)xb, onde b é uma constante real. A questão é investigar a ação do coeficiente b quando comparada ao gráfico da função identidade y f(x)x.

Exemplo: Desloque o gráfico y f(x)x, pelos fatores b2 e b2.

 Como mudar de escala o gráfico de uma função y f(x)

Mudar a escala de um gráfico de uma função y f(x) significa alonga-lo ou comprimi-lo, vertical ou horizontalmente. Para tanto, multiplica-se a função f, ou a variável independente x, por uma constante c apropriada. Reflexões em torno dos eixos coordenados são casos especiais em que c1.

 Fórmulas para mudança de escala vertical ou horizontal

Para 𝑐 > 1:

) (x cf

y Alonga o gráfico de f verticalmente por um fator c.

) 1 (

x c f

y Comprime o gráfico de f verticalmente por um fator c.

) (cx f

y Comprime o gráfico de f horizontalmente por um fator c.

16



 



  c f x

y Alonga o gráfico de f horizontalmente por um fator c.

Exemplo: Dada a função𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥² multiplique o lado direito dey f(x), por um fator c, de modo que c3e

3

 1 c .

x x² 3*x²

1 1 3

2 4 12

3 9 27

17

x x² 1/3*x²

1 1 1/3

2 4 4/3

3 9 3

5.9– Exercícios de fixação

1) Dada a função 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥² multiplique x dey f(x), por um fator c, de modo que c3e

3

 1 c .

2) A origem grega da palavra assíntota significa “sem encontro”, o que mostra que os gráficos tendem a se aproximar, mas não encontrar suas assíntotas. Quais das seguintes funções têm gráficos que podem interseccionar suas assíntotas horizontais?

18 (a) 𝑓(𝑥) = ^𝑥

𝑥²−1 (b)𝑔(𝑥) = ^𝑥

𝑥²+1 (c)ℎ(𝑥) = ^𝑥²

𝑥³+1

3) Qual função é contínua?

(a) O número de crianças inscritas em uma escola particular, como uma função do tempo;

(b) A temperatura externa como uma função do tempo.

(c) O custo para postar uma carta, como uma função do seu peso.

(d) O valor de uma ação, em função do tempo.

(e) O número de bebidas não alcóolicas vendidas, como função da temperatura externa.

4) Qual das funções é decrescente?

(a) A temperatura externa como função do tempo.

(b) A média do índice Dow Jones, como função do tempo.

(c) A pressão do ar na atmosfera terrestre, como uma função da altitude.

(d) A população mundial desde 1900, como função do tempo.

(e) A pressão da água no oceano, como função do tempo.

5) Determine se a função é limitada superiormente ou limitada inferiormente:

(a) 𝑦 = 32 (b) 𝑦 = 2^𝑥 (c) 𝑦 = √1 − 𝑥² (d) 𝑦 = 2 − 𝑥² (e) 𝑦 = 2^−𝑥 (f) 𝑦 = 𝑥 −x³