A Energia Escura. Eduardo Cypriano. June 24, 2009

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Eduardo Cypriano

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teoria do big-bang quente Geroge Gamow prevˆe que o Universo deveria estar permeado por uma radia¸c˜ao com o espectro de um corpo negro de temperatura ∼ 5 K

I Em 1965 Penzias e Wilson detectam uma radia¸c˜ao de fundo em 4080 MHz com uma temperatura equivalente de

3.5±1.0K, praticamente constante em todas as dire¸c˜oes

I Dicke et al. (1965) interpretam essa radia¸c˜ao de fundo como a radia¸c˜ao prevista por Gamow anos antes.

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I 1990 - O satélite COBE (instrumento FIRAS) mede a temperatura da radia¸cão cósmica de fundo com precisão sem precedentes: T = 2.725±0.002K (Mather et al. 1990)

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I As anisotropias são medidas após a subtra¸cão do dipolo cinamático e contribui¸cões de “frente” (predominantemente a Galáxia)

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naturalmente em forma de harmˆonicos esf´ericos: T (θ, φ) =X

lm

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I A grande maioria das informa¸cões cosmológicas estão contidas da fun¸cão de temperatura de dois pontos. Isto é a varian¸ca como fun¸cão da separa¸cão: θ (para um dado Ylm, θ ∼ π/l ).

I Um céu estat´ısticamente isotrópico implica que todos os autovalores m (para um dado l ) são equivalentes

I Supondo ainda que os al s˜ao gaussianos (valido para maioria

das teorias cosmol´ogicas) o espectro de potˆencia em l descreve totalmente as anisotropias

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(2l + 1)Cl/(4π)

onde

Cl ≡< |alm|2>

I Para coberturas n˜ao completas do c´eu os modos de l

tornam-se dependentes entre si (correlacionados). Nesse caso ´

e mais conveniente usar a ”potˆencia de banda” l (l + 1)Cl/2π

I Mesmo em observa¸cões de céu inteiro como o COBE a remo¸cão da contribui¸cão da Galáxia implica num corte da

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I Nos instantes iniciais do Universo a matéria se encontrava totalmente ionizada e em equil´ıbrio com os fótons com os quais interagia através do espalhamento Thompson

I Em z ∼ 1100 ± 100 o Universo se resfria a ponto de que prótons e elétrons se combinam (“recombina¸cão”) formando ´

atomos de hidrogˆenio neutro: O Universo se torna transparente.

I A radia¸cão cósmica de fundo carrega a informa¸cão da

condi¸c˜ao do Universo em zrec: anisotropias na distribui¸c˜ao de

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I Efeito Sachs-Wolfe (1967): grandes escalas (θ >_{∼ 1}◦ ou l <_{∼ 100)}

I O tamanho do horizonte em zrec corresponde a θ ∼ 1◦.

Anisotropias em escalas maiores n˜ao evoluiram

significativamente e portanto refletem as “condi¸c˜oes iniciais”

I As anisotropias da RCF se originam devido a perturba¸c˜oes do potencial gravitacional na superf´ıcie de ´ultimo espalhamento:

I superdensidades causam redshift nos f´otons de modo que eles parecem mais frios conforme atravessam o potencial

δT /T = δΦ/c2 _{(Φ ´}_{e o pot. grav. da estrutura em grande} escala)

I essas causam dilata¸c˜ao do tempo na superf´ıcie de ´ultimo espalhamento de modo que parecemos observar um Universo mais jovem (portanto mais quente); δt/t = δΦ/c2_{, a ∝ t}2/3 _e T ∝ 1/a → δT /T = −(2/3)δΦ/c2(Prove isso)

I Resultado l´ıquido:

δT

T =

δΦ 3c2

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Efeito Sachs-Wolfe

I Supondo que o espectro de perturba¸cões de densidade é invariante por escala P(k) ∝ kn, onde n ∼ 1 (ver apostila “A distribui¸cão de galáxias”), é poss´ıvel demonstrar que:

I ∆T T SW ∝ θ(5−n)/2' θ2 _{(θ < 1}◦₎ θ(1−n)/2' cte. (θ > 1◦) (Veja por exemplo em Padmanabhan Theorethical Astrophysics III cap. 6)

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I Termo Doppler: escalas intermedi´arias (θ ∼ 1◦)

I Efeito Doppler no f´otons causados pelo espalhamento das part´ıculas do plasma em movimento

∆T T

Dopp

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I Perturba¸c˜oes intr´ınsecas ou adiab´aticas: pequenas escalas (θ <_{∼ 1}◦ ou l >_{∼ 100)}

I Espera-se que os f´otons possuam algum flutua¸c˜ao de

temperatura intr´ınseca devido a condi¸c˜oes iniciais do Universo

I ρR ∝ T4 → (∆T /T ) = (1/4)(∆ρR/ρR) = (1/4)δR

I Em escalas inferiores ao horizonte em zrec o espalhamento

Thompson mantém os fótons e bárions fortemente acoplados.

I Nessas condi¸c˜oes pode-se provar que: δR ≈ (4/3)δB

I Assim: ∆T T Intr ≈ 1 3δb

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Perturba¸c˜oes intr´ınsecas

I Antes de zrec b´arions est˜ao fortemente acoplados com os

fótons e não há crescimento de estruturas bariônicas

I O mesmo não ocorre com a matéria escura que após zeq:

δDM ∝ a

I Como zrec: δDM = (arec/aeq)δB e (arec/aeq) ' 20ΩTh2

I Temos ent˜ao que ∆T T Intr ≈ 1 3δb(zrec) = 1 60ΩTh2 δDM(zrec)

I Como δDM(z = 0) ≥ 1, ent˜ao δDM(zrec) ≥ 10−3

I ∆T T Intr ' 1.6(Ω_Th2)−1× 10−5

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Perturba¸c˜oes intr´ınsecas I (∆T /T ) ∝ (δρ/ρ) I ∆T T Intr ∝ θ−2

Ver uma dedu¸c˜ao Padmanabhan Theorethical Astrophysics III cap. 6)

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I O crescimento das estruturas de matéria escura induz oscila¸cões no fluido de fótons e bárions

I A pressão dos fótons provê a for¸ca restauradora e os bárions

alguma in´ercia adicional.

I As pequenas perturba¸cões evoluem linearmente e pode ser descrita com um oscilador harmônico cuja frequencia é determinada pela velocidade do som no fluido.

I Após a recombinacao essas flutua¸cões aparecem como flutua¸cões de temperatura na RCF

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I A escala f´ısica associada com os picos ´e o horizonte do som na superf´ıcie de ´ultimo espalhamento

I s = Z trec 0 cs(1 + z)dt = Z ∞ zrec csdz H(z)

I Depende da i ) época da recombina¸cão, ii ) expansão do Universo e iii ) da razão bárion sobre fóton

(cs = [3(1 + 3ρB/4ρR)]−1/2)

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A posi¸c˜ao dos picos do espectro de potˆencia da RCF dependem basicamente da curvatura do Universo

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I A posi¸c˜ao do primeiro pico ac´ustico prevista para l ∼ 200

I Experimentos de menor cobertura mas maior resolu¸cão chegavam até ls maiores mas os dados não eram homogêneos

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I 2001 - ´E lan¸cado o WMAP

Figure: o WMAP tem melhor resolu¸c˜ao que o COBE

(0.93◦versus7◦), 5 frequencias versus 3, 45 vezes mais sens´ıvel e ´

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I Spergel et al. (2003) First-Year Wilkinson Microwave Anisotropy Probe (WMAP) Observations: Determination of Cosmological Parameters - O artigo mais citado do ADS (4994 cita¸c˜oes em 29/04/2009): O Universo ´e plano !

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I O RCF não é particularmente sens´ıvel a energia escura mas ao impor v´ınculos mais fortes a outros parâmetros cosmológicos

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Hu & Dodelson, ARA&A, 2002, 40: Cosmic Microwave Background Anisotropies

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I Idealiza¸cão: O Universo pré-recombina¸cão é um fluido perfeito de fóton → Aplicam-se as equa¸cões de continuidade e de Euler e não há efeitos da gravidade ou bárions

I A discussão das oscila¸cões acústicas se dá exclusivamente no espa¸co de Fourier I Θ`=0,m=0(x) = Z d3k (2π)3e i k·x_Θ(k) I ∆T T ≡ Θ

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I

d Θ

d η ≡ ˙Θ = − 1 3kvγ

I Equa¸c˜ao de continuidade no espa¸co de Fourier onde,

I vγ ´e a velocidade do fluido de f´otons

I η ´e o tempo conforme ou horizonte com´ovel η ≡R dt/a(t), c = 1 (horizonte f´ısico = ηa(t))

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I Equa¸c˜ao da continuidade no espa¸co de Fourier:

I

˙vγ = kΘ

I diferenciando a eq. de continuidade e inserindo a eq. de Euler tem-se: I ¨ Θ +1 3k 2_{Θ = 0}

I Isso implica em que cs ≡p ˙p/ ˙ρ = 1/

√

3 ´e a velocidade do som nesse fluido (dinamicamente livre da b´arions)

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I

¨

Θ + c_s2k2Θ = 0

I O que essa equa¸cão diz é que os gradientes de pressão agem como uma for¸ca restauradora a quaiquer perturba¸cões iniciais que, então oscilam com a velocidade do som.

I Fisicamente as oscila¸cões de temperatura representam o aquecimento e o resfriamento de um fluido que é em compressão e rarefa¸cão por uma onda acústica estática.

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I Esse comportamento continua até a recombina¸cão, onde a distribui¸cão de temperatura é dada por

I

Θ(η∗) = Θ(0) cos(ks∗)

I onde s =R csd η ≈ η/

√

3 ´e o horizonte do som.

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Hu & Dodelson, ARA&A, 2002, 40: Cosmic Microwave Background Anisotropies

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I Idealiza¸cão: O Universo pré-recombina¸cão é um fluido perfeito de fóton → Aplicam-se as equa¸cões de continuidade e de Euler e não há efeitos da gravidade ou bárions

I A discussão das oscila¸cões acústicas se dá exclusivamente no espa¸co de Fourier I Θ`=0,m=0(x) = Z d3k (2π)3e i k·x_Θ(k) I ∆T T ≡ Θ

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I

d Θ

d η ≡ ˙Θ = − 1 3kvγ

I Equa¸c˜ao de continuidade no espa¸co de Fourier onde,

I vγ ´e a velocidade do fluido de f´otons

I η ´e o tempo conforme ou horizonte com´ovel η ≡R dt/a(t), c = 1 (horizonte f´ısico = ηa(t))

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I Equa¸c˜ao da Euler no espa¸co de Fourier:

I

˙vγ = kΘ

I diferenciando a eq. de continuidade e inserindo a eq. de Euler tem-se: I ¨ Θ +1 3k 2_{Θ = 0} I Equa¸c˜ao de um oscilador ! I cs ≡p ˙p/ ˙ρ = 1/ √

3 ´e a velocidade do som nesse fluido (dinamicamente livre da b´arions)

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I

¨

Θ + c_s2k2Θ = 0

I O que essa equa¸cão diz é que os gradientes de pressão agem como uma for¸ca restauradora a quaiquer perturba¸cões iniciais que, então, oscilam com a velocidade do som.

I Fisicamente as oscila¸cões de temperatura representam o aquecimento e o resfriamento de um fluido que é em compressão e rarefa¸cão por uma onda acústica estática.

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I Esse comportamento continua até a recombina¸cão, onde a distribui¸cão de temperatura é dada por:

Θ(η∗) = Θ(0) cos(ks∗)

I onde s =R csd η ≈ η/

√

3 ´e o horizonte do som (asteriscos denominam o momento da recombina¸c˜ao).

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I Em escalas maiores que o horizonte do som (ks << 1) as perturba¸c˜oes ficam congeladas nos seus estados inicias.

I Para escalas menores os modos de Fourier vão apresentar oscila¸cões com picos correspondentes a: kn= nπ/s∗, onde n é

um n´umero inteiro.

I Qual seria ent˜ao a aparˆencia do espectro das inomogeneidades observado em z=0 ?

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I De modo aproximado: θ ≈ λ/D, onde D(z) é a distância comóvel de diâmetro angular

I Num Universo plano: D∗ = η0− η∗ ≈ η0

I No espa¸co harmˆonico (l0s) isso implica numa s´erie coerente de picos localizados em:

`n≈ n`a, `a≡ πD∗/s∗

I No espa¸co f´ısico esses picos correspondem a s/s∗, s/2s∗,

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I Conforme vimos anteriormente, como o tamanho do horizonte do som pode ser calculada a posi¸cão observada dos picos acústicos impõe restri¸cões à distâcia de diâmetro e portanto à curvatura do Universo.

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I As observa¸cões da posi¸cão dos primeros picos acústicos de fato apontam para um Universo plano → Favorece a teoria da infla¸cão

I Nesse cen´ario (e usando Relatividade Geral) tem-se que:

Θ = −δa a = − 2 3 1 +p ρ −1 δt t

I onde a ∝ t2/[3(1+p/ρ)] _{e δt/t = Ψ ´}_{e uma flutua¸}_c˜_{ao temporal}

da m´etrica

I Em outros termos Ψ ≈ −Φ (flutua¸c˜oes do potencial gravitacional)

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I Na era da infla¸cão perturba¸cões no campo escalar se tornam flutua¸cões de temperatura via gravidade

I A for¸ca da gravidade tamb´em ira alterar o oscilador harmˆonico provendo uma for¸ca extra.

I A equa¸cão de Euler ganha um termo devido ao gradiente do potencial kΨ - a oscila¸cão se torna uma competi¸cão entre gradiente de pressão kΘ e gradiente do potencial kΨ

I A eq. de continuidade também sofre alter¸cão. A gravidade é essencialmente uma perturba¸cão no fator de escala que gera uma varia¸cão de temperatura: δΘ = −δΦ

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I Com isso a equa¸c˜ao do oscilador se torna: ¨

Θ + c_s2k2Θ = −k

2

3 Ψ − ¨Φ

I Na era da mat´eria tem-se ent˜ao:

[Θ + Ψ](η) = [Θ + Ψ](ηeq) cos(ks)

= 1

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I Θ + Ψ pode ser visto como uma flutua¸c˜ao de temperatura efetiva

I e.g. após a recombina¸cão os fótons precisam subir o po¸co de potencial e sofrem redshift gravitacional: ∆T /T = Ψ

I No regime de grandes escalas (k << 1) a eq. anterior torna-se [Θ + Ψ](η) = 1₃Ψ(ηeq)

I Isso recobra a express˜ao de Sachs-Wolfe onde regi˜oes mais densas produzem manchas mais frias na RCF.

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I Desse modo, quando Ψ < 0, embora Θ possa ser positivo, a temperatura efetiva Θ + Ψ ´e negativa

I O plasma em po¸cos de potencial inicia-se rarefeito

I A medida que a gravidade comprime o plasma e a pressão resiste rarefa¸cão torna-se compressão e rarefa¸cão novamente.

I O primeiro pico acústico é o modo que está em compressão durante a recombina¸cão.

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I Razão do momento fóton-bárion:

R = (pb+ ρb)/(pγ+ ργ) ≈ 30Ωbh2(z/103)−1

I Esse número é do ordem da unidade na recombina¸cão.

I Os efeitos do bárions nas oscila¸cões serão importantes no mesmo momento onde essas se congelarão.

I Os bárions provem inércia extra na equa¸cão de Euler que os termos de pressão de gradiente de potencial tem que levar em conta.

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I Multiplicando todos os termos, excepto o gradiente de press˜ao por (1+R) chega-se `a nova eq. do oscilador (Hu & Sugiyama 1995): c_s2 d d η(c −2 s Θ) + c˙ s2k2Θ = − k2 3 Ψ − c 2 s d d η(c −2 s Φ) ,˙

I Onde a velocidade do som foi reduzida pelos b´arions para: cs = 1/p3(1 + R)

I No limite de R, Φ e Ψ constantes a solu¸c˜ao torna-se: [Θ + (1 + R)Ψ](η) = [Θ + (1 + R)Ψ](ηeq) cos(ks)

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I Além de diminuir o horizonte do som, os bárions aumentam a amplitude das oscila¸cões e alteram o ponto de equi´ıbrio: Θ = −(1 + R)Ψ

I An´alogo a uma mola com um peso na ponta de massa m = 1 + R

I Quanto maior a massa mais a mola se esticar´a para baixo, aumentando as oscila¸c˜oes e alterando o ponto-zero.

I Isso causa uma quebra na simetria dos picos: apenas os picos de compress˜ao ser˜ao aumentados (1◦, 3◦, 5◦, ...)

I A gravidade excedente dos b´arions vai aumentar a compress˜ao nos po¸cos de potencial.

I Contrariamente o arraste do bárions causa um diminui¸cão das rarefa¸cões.

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I A radia¸cão cria as oscila¸cões harmônicas pelo decaimento dos potenciais gravitacionais (Hu & Sugiyama 1995)

I Quando o Universo torna-se dominado pela matéria esse proceso cessa pois os potenciais passam a ser dominados pelas pertuba¸cões da matéria escura que não exerce pressão

I A amplitude dos picos portanto cresce com a razão radia¸cão sobre matéria escura

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I O fluido de fótons-bárions possui imperfei¸cões: viscosidade e condu¸cão de calor

I Essas imperfei¸c˜oes levam ao amortecimento das oscila¸c˜oes

I A eq. de continuidade não se altera pois os números de fótons e bárions, separadamente, se conservam

˙ Θ = −k

3vγ− ˙Φ , ˙δb= −kvb− 3 ˙Φ

I As eq. de Euler devem considerar os novos termos: ˙vγ = k(Θ + Ψ) − k 6πγ− ˙τ (vγ− vb) , ˙vb = − ˙a avb+ kΨ + ˙τ (vγ− vb)/R

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I Para os b´arions:

I ˙a

avb: expans˜ao do Universo

I ˙τ (vγ− vb)/R: espalhamento Thompson, onde ˙τ ≡ neσTa (profndidade ´optica diferencial de Thompson))

I Para os f´otons:

I _{− ˙τ (v}_γ_{− v}_b)/R: compensa o termo da eq. dos bárions. Ambos são responsáveis pela condu¸cão de calor. I πγ = 2(kvγ/ ˙τ )Av - Tensão anisotrópica e viscosidade.

I Pela eq. de cont. kvγ ≈ −3 ˙Θ.

I A viscosidade tem o efeito de um elemento amortecedor (o mesmo pode ser demonstrado para a condu¸c˜ao de calor).

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I O oscilador considerando todos os termos se torna: c_s2 d d η(c −2 s Θ) +˙ k2cs2 ˙τ [Av+ Ah] ˙Θ + c 2 sk 2_Θ ₌ ₋k 2 3 Ψ − c 2 s d d η(c −2 s Φ)˙ I Av= 16/15 (Kaiser 1983) e Ah = R2/(1 + R) (coeficiente de condu¸c˜ao de calor)

I Assim, espera-se que as inomogeneidades sejam amortecidas por um fator exponencial e−k2η/ ˙τ

I A escala de amortecimento kd´e da ordem dep ˙τ/η e

corresponde à média geométrica do horizonte e do caminho livre médio

I O amortecimento pode ser visto como o random walk dos bárions que tira fótons de regiões quentes para frias e vice-versa.

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I Amortecimento: dependência com parâmetros cosmológicos

I A dependendência principal é com o caminho livre médio: Um aumento na dens. de elétrons causado por um aumento de Ωb

´

e parcialmente cancelado por um decréscimo da fra¸cão de ioniza¸cão.

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I A fenomenologia dos picos ac´usticos pode ser descrita por quatro observ´aveis

I horizonte do som: `a≡ πD∗/s∗

I horizonte na equiparti¸c˜ao: `eq≡ keqD∗

I escala de amortecimento: `d≡ kdD∗

I razão da densidade de momento bárion-fóton: R∗

I Enquanto `a determina o espa¸camento dos picos; `eq e `d

competem para determinar suas amplitudes.

I R∗ ajusta a inércia dos bárions e com èq fixa a modula¸cão da

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∆à à ≈ −0.24∆Ωmh 2 Ωmh2 + 0.07∆Ωbh 2 Ωbh2 − 0.17∆ΩΛ ΩΛ − 1.1∆Ωtot Ωtot , ∆èq èq ≈ 0.5∆Ωmh 2 Ωmh2 − 0.17∆ΩΛ ΩΛ − 1.1∆Ωtot Ωtot , ∆`d `d ≈ −0.21∆Ωmh 2 Ωmh2 + 0.20∆Ωbh 2 Ωbh2 − 0.17∆ΩΛ ΩΛ − 1.1∆Ωtot Ωtot ,