Matemática. Métodos de resoluções de sistemas lineares. Teoria. Método da substituição

Métodos de resoluções de sistemas lineares

Objetivo

Compreender o conceito de sistema linear e seus principais métodos de resolução, bem como saber montar um sistema de equações a partir de um texto.

Se liga

Para essa aula é interessante que já tenha visto a aula de equação do 1º grau.

Curiosidade

Antes de ser conhecida como método de eliminação gaussiana, já havia versões sobre esse método muito antes. Porém só ficou reconhecida quando Gauss a utilizou. Esse é o mesmo Gauss que, quando criança, deduziu a fórmula da soma dos termos de uma PA.

Teoria

Método da substituição

Solução de sistemas pelo método da substituição:

• Passo 1: Escolher uma incógnita em uma das equações e calcular seu valor algébrico.

• Passo 2: Substituir o valor algébrico da incógnita na outra equação.

• Passo 3: Calcular o valor numérico de uma das incógnitas.

• Passo 4: Substituir o valor numérico de x em qualquer uma das duas equações e encontrar o valor numérico de y.

Exemplo: Encontre a solução do sistema a seguir:

{3𝑥 − 𝑦 = 10 2𝑥 + 5𝑦 = 1

Escolhi a incógnita y na 1ª equação:

3𝑥 – 𝑦 = 10

−𝑦 = 10 − 3𝑥 𝑦 = 3𝑥 – 10

Substituindo na segunda equação esse valor algébrico de y.

2𝑥 + 5𝑦 = 1 2𝑥 + 5 ∙ (3𝑥 − 10) = 1

2𝑥 + 15𝑥 – 50 = 1 17𝑥 = 51

𝑥 = 3

Após encontrar o valor numérico de x, escolha uma das equações para cumprir o quarto e último passo: obter o valor numérico de y. Escolhemos, para isso, a primeira equação. Observe:

2𝑥 + 5𝑦 = 1 2 ∙ 3 + 5𝑦 = 1

5𝑦 = 1 – 6 5𝑦 = −5

𝑦 = −1 A solução desse sistema é S = {3, -1}.

Método da adição

Este método é bem eficaz em sistemas lineares 2x2:

• Passo 1: Escolher uma incógnita e multiplique sua equação pelo valor numérico da mesma incógnita em outra equação.

• Passo 2: Faça o mesmo na outra equação escolhida, mas agora multiplicando pelo valor numérico da incógnita da primeira equação.

• Passo 3: Soma essas duas equações.

• Passo 4: Após encontrar o valor de uma incógnita, volte em qualquer uma das duas equações originais e substitua o valor encontrado para encontrar o valor da outra incógnita.

Exemplo: Resolva o sistema linear a seguir pelo método da adição.

{3𝑥 − 𝑦 = 10 2𝑥 + 5𝑦 = 1

Escolhi a incógnita y, então, vou multiplicar uma pela outra.

{(3𝑥 − 𝑦 = 10) × 5 (2𝑥 + 5𝑦 = 1) × 1

{15𝑥 − 5𝑦 = 50 2𝑥 + 5𝑦 = 1 + 17𝑥 + 0𝑦 = 51

17𝑥 = 51

𝑥 =51 17= 3

Volto para qualquer uma das equações originais e substituo o valor de x = 3.

3𝑥 − 𝑦 = 10 3 ∙ 3 – 𝑦 = 10

− 𝑦 = 10 – 9 𝑦 = −1 𝑆 = {3, −1}

Método da comparação

Esse método se baseia no seguinte princípio: se duas equações são iguais a uma terceira, essas equações são iguais. Isto é, se 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑐, então 𝑎 = 𝑏.

Exemplo: {𝑥 + 𝑦 = 7 𝑥 − 2𝑦 = −5.

Isolando 𝑥 em ambas as equações, temos:

{𝑥 + 𝑦 = 7

𝑥 − 2𝑦 = −5→ {𝑥 = 7 − 𝑦 𝑥 = −5 + 2𝑦

Ou seja, tanto 7 − 𝑦 quanto −5 + 2𝑦 são iguais a 𝑥. Logo, 7 − 𝑦 = −5 + 2𝑦. Disso, segue que:

7 − 𝑦 = −5 + 2𝑦 → 12 = 3𝑦 → 𝑦 = 4, 𝑥 = 7 − 4 → 𝑥 = 3

Como uma das equações dadas é 𝑥 = 7 − 𝑦 e 𝑥 = 3, temos que 3 = 7 − 𝑦 → −4 = −𝑦 → 𝑦 = 4.

Assim, a solução do sistema é 𝑥 = 3 e 𝑦 = 4.

Sistema equivalente

Se dois sistemas são ditos equivalentes, então admitem a mesma solução:

Seja 𝑆₁= {𝑥 + 𝑦 = 5

−𝑥 + 𝑦 = 1 e 𝑆₂= {2𝑥 + 2𝑦 = 10

−2𝑥 + 2𝑦 = 2. Eles são equivalentes, pois admitem o mesmo conjunto solução (2,3). Notação 𝑆1~𝑆₂.

Exercícios de fixação

1.

Resolva o sistema abaixo pelo método de substituição {𝑥 + 2𝑦 = 8

2𝑥 + 𝑦 = 10

2.

Resolva o sistema abaixo pelo método da comparação {𝑥 + 3𝑦 = 9

2𝑥 + 𝑦 = 8

3.

Resolva o sistema abaixo pelo método da adição

{3𝑥 + 2𝑦 = −5 𝑥 − 2𝑦 = −7

4.

Qual a solução do sistema abaixo?

{2𝑥 + 𝑦 = 4 3𝑥 + 3𝑦 = 6

5.

João cria 60 animais em sua fazenda. Alguns deles eram vacas, outros eram galinhas. Sabendo que o total de patas registradas em uma inspeção foi de 220, quantas vacas João cria?

a) 40 vacas b) 50 vacas c) 10 vacas d) 30 vacas e) 20 vacas

Exercícios de vestibulares

1.

Visando atingir metas econômicas previamente estabelecidas, é comum no final do mês algumas lojas colocarem certos produtos em promoção. Uma determinada loja de departamentos colocou em oferta os seguintes produtos: televisão, sofá e estante. Na compra da televisão mais o sofá, o cliente pagaria R$ 3 800,00. Se ele levasse o sofá mais a estante, pagaria R$ 3 400,00. A televisão mais a estante sairiam por R$ 4 200,00. Um cliente resolveu levar duas televisões e um sofá que estavam na promoção, conseguindo ainda mais 5% de desconto pelo pagamento à vista.

O valor total, em real, pago pelo cliente foi de a) 3 610,00.

b) 5 035,00.

c) 5 415,00.

d) 5 795,00.

e) 6 100,00.

2.

Uma pessoa encheu o cartão de memória de sua câmera duas vezes, somente com vídeos e fotos. Na primeira vez, conseguiu armazenar 10 minutos de vídeo e 190 fotos. Já na segunda, foi possível realizar 15 minutos de vídeo e tirar 150 fotos. Todos os vídeos possuem a mesma qualidade de imagem entre si, assim como todas as fotos. Agora, essa pessoa deseja armazenar nesse cartão de memória exclusivamente fotos, com a mesma qualidade das anteriores.

(Disponível em: www.techlider.com.br. Acesso em: 31 jul. 2012.)

O número máximo de fotos que ela poderá armazenar é a) 200.

b) 209.

c) 270.

d) 340 e) 475.

3.

Uma companhia de seguros levantou dados sobre os carros de determinada cidade e constatou que são roubados, em média, 150 carros por ano.

O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por cerca de 60% dos carros roubados. O número esperado de carros roubados da marca Y é:

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

4.

O produto interno bruto (PIB) representa a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos em uma determinada região. Países desenvolvidos têm PIB maior. Por exemplo, dez vezes o PIB da Alemanha em 2017 resultou em dezenove vezes o PIB do Brasil no mesmo ano. Ainda em 2017, a diferença entre o PIB dos dois países foi de 1 trilhão e 800 bilhões de dólares. O valor do PIB do Brasil no ano de 2017, em trilhões de dólares, foi

a) 380 b) 200 c) 38 d) 3,8 e) 2,0

5.

Uma barraca de tiro ao alvo de um parque de diversões dará um prêmio de R$ 20,00 ao participante, cada vez que ele acertar o alvo. Por outro lado, cada vez que ele errar o alvo, deverá pagar R$ 10,00.

Não há cobrança inicial para participar do jogo. Um participante deu 80 tiros e, ao final, recebeu R$100,00.

Qual foi o número de vezes que esse participante acertou o alvo?

a) 30 b) 36 c) 50 d) 60 e) 64

6.

Para sua festa de 17 anos, o aniversariante convidará 132 pessoas. Ele convidará 26 mulheres a mais do que o número de homens. A empresa contratada para realizar a festa cobrará R$ 50,00 por convidado do sexo masculino e R$ 45,00 por convidado do sexo feminino.

Quanto esse aniversariante terá que pagar, em real, à empresa contratada, pela quantidade de homens convidados para sua festa?

a) 2 385,00 b) 2 650,00 c) 3 300,00 d) 3 950,00 e) 5 300,00

7.

Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes a seca. Em média, para cada 100g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa é de aproximadamente 12,25mg de ferro e de 10mg de zinco.

(Disponível em http://www.empraba.br. Acesso em: 29 de abril de 2010. (adaptado).)

Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os nutrientes oriundos desses alimentos. Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente?

a) 58 g e 456 g.

b) 200 g e 200 g.

c) 350 g e 100 g.

d) 375 g e 500 g.

e) 400 g e 89 g.

8.

A prefeitura de uma cidade detectou que as galerias pluviais, que possuem seção transversal na forma de um quadrado de lado 2m, são insuficientes para comportar o escoamento da água em caso de enchentes. Por essa razão, essas galerias foram reformadas e passaram a ter seções quadradas de lado igual ao dobro das anteriores, permitindo uma vazão de 400m³/s. O cálculo da vazão V (em m³/s) é dado pelo produto entre a área por onde passa a água (em m²) e a velocidade da água (em m/s).

Supondo que a velocidade da água não se alterou, qual era a vazão máxima?

a) 25m³/s b) 50m³/s c) 100m³/s d) 200m³/s e) 300m³/s

9.

Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelo-vermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual a 2/3 do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos.

Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y?

a) 5X – 3 Y + 15 = 0 b) 5X – 2Y + 10 = 0 c) 3X – 3Y + 15 = 0 d) 3X – 2Y + 15 = 0 e) 3X – 2Y + 10 = 0

10.

Para aumentar a arrecadação de seu restaurante que cobra por quilograma, o proprietário contratou um cantor e passou a cobrar dos clientes um valor fixo de couvert artístico, além do valor da comida.

Depois, analisando as planilhas do restaurante, verificou-se em um dia que 30 clientes consumiram um total de 10 kg de comida em um período de 1 hora, sendo que dois desses clientes pagaram R$ 50,00 e R$ 34,00 e consumiram 500 g e 300 g, respectivamente.

Qual foi a arrecadação obtida pelo restaurante nesse período de 1 hora, em real?

a) 800,00.

b) 810,00.

c) 820,00.

d) 1100,00.

e) 2 700,00

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Gabaritos

Exercícios de fixação 1. { 𝑥 + 2𝑦 = 8 (𝐼)

2𝑥 + 𝑦 = 10 (𝐼𝐼)

Pegando a equação I, temos:

𝑥 + 2𝑦 = 8 → 𝑥 = 8 − 2𝑦 Substituindo em II, temos:

2𝑥 + 𝑦 = 10 → 2(8 − 2𝑦) + 𝑦 = 10 → 16 − 4𝑦 + 𝑦 = 10 → −3𝑦 = 10 − 16

−3𝑦 = −6 (× −1) 3𝑦 = 6

𝑦 = 2

Substituindo em 𝑥 = 8 − 2𝑦:

𝑥 = 8 − 2 ∙ 2 = 8 − 4 = 4 Portanto, x=4 y=2: 𝑆 = {4,2}

2. {𝑥 + 3𝑦 = 9 (𝐼) 2𝑥 + 𝑦 = 8 (𝐼𝐼)

Isolando o 𝑥 nas duas equações, temos:

{𝑥 + 3𝑦 = 9 2𝑥 + 𝑦 = 8 → {

𝑥 = 9 − 3𝑦 𝑥 =8 − 𝑦

2

Então, 9 − 3𝑦 =^8−𝑦₂ → 18 − 6𝑦 = 8 − 𝑦 → 18 − 8 = 6𝑦 − 𝑦 → 10 = 5𝑦 → 𝑦 = 2.

Substituindo valor de y em 𝑥 =^8−𝑦₂ , temos:

𝑥 =8 − 2 2 =6

2= 3 𝑆 = {3, 2}

3. Vamos resolver pelo método da adição. Para realizar o método da adição, devemos lembrar que os coeficientes de uma das incógnitas devem ser opostos, ou seja, ter números iguais com sinais contrários.

{3𝑥 + 2𝑦 = −5 𝑥 − 2𝑦 = −7

Veja que os coeficientes da incógnita y atendem nossa condição, assim, basta somar cada uma das colunas do sistema, obtendo a equação:

4𝑥 + 0𝑦 = −12 4𝑥 = −12 𝑥 = −12

4 𝑥 = −3

E substituindo o valor de x em qualquer uma das equações temos:

𝑥 − 2𝑦 = −7

−3 − 2𝑦 = −7

−2𝑦 = −4 2𝑦 = 4 𝑦 =4 𝑦 = 2 2

Portanto, a solução do sistema é S {(-3, 2)}

4. Primeiro, simplificando a equação II por 3 e depois isolando o y nas duas equações, temos { 2𝑥 + 𝑦 = 4

3𝑥 + 3𝑦 = 6 (÷ 3)→ {2𝑥 + 𝑦 = 4 → 𝑦 = 4 − 2𝑥 𝑥 + 𝑦 = 2 → 𝑦 = 2 − 𝑥 Logo:

2 − 𝑥 = 4 − 2𝑥 2𝑥 − 𝑥 = 4 − 2 𝑥 = 2

Substituindo em 𝑦 = 2 − 𝑥, temos: 𝑦 = 2 − 2 = 0.

Portanto, 𝑆 = {(2,0)}

5. B

Sejam as galinhas representadas pela letra G e as vacas pela letra V, podemos montar as duas equações a seguir:

𝐺 + 𝑉 = 60 2𝐺 + 4𝑉 = 220

Com essas equações, é possível montar o seguinte sistema, que será resolvido usando o método da substituição.

{ 𝐺 + 𝑉 = 60 2𝐺 + 4𝑉 = 220

Observe o valor algébrico de G, na primeira equação:

𝐺 + 𝑉 = 60 𝐺 = 60 – 𝑉

Substitua esse valor na segunda:

2𝐺 + 4𝑉 = 220 2(60 – 𝑉) + 4𝑉 = 220 120 – 2𝑉 + 4𝑉 = 220 2𝑉 = 220 – 120 2𝑉 = 100 𝑉 =¹⁰⁰

2 𝑉 = 50

Exercícios de vestibulares

1. D

Sejam t, s e e, respectivamente o preço de uma televisão, o preço de um sofá e o preço de uma estante.

Logo, vem {

𝑡 + 𝑠 = 3800 𝑠 + 𝑒 = 3400 𝑡 + 𝑒 = 4200

⟹ {𝑡 + 𝑠 = 3800 𝑡 − 𝑠 = 800 ⟹ {𝑡 = 2300

𝑠 = 1500

A resposta é 0,95 ∙ (2 ∙ 2300 + 1500) = R$5.795,00 2. C

Sejam x a memória ocupada por um minuto de vídeo e y a memória ocupada por uma foto. Logo, temos 10𝑥 + 190𝑦 = 15𝑥 + 150𝑦 ⟺ 𝑥 = 8𝑦

Portanto, a capacidade total do disco é 10 ∙ 8𝑦 + 190𝑦 = 270y e, assim, o resultado é 270.

3. B

X = número de carros roubados da marca X Y = número de carros roubados da marca Y {

𝑥 = 2𝑦 𝑥 + 𝑦 = 60

100∙ 150 2𝑦 + 𝑦 = 90 ⟺ 𝑦 = 30

Portanto, o número de carros roubados da marca Y é 30.

4. E

Sendo x e y, respectivamente, os PIBs do Brasil e da Alemanha, temos:

Temos que 1 trilhão e 800 bilhões = 1,8 trilhões {10𝑦 = 19𝑥

𝑦 − 𝑥 = 1,8→ { 𝑦 = 1,9𝑥

𝑦 = 𝑥 + 1,8→ 1,9𝑥 = 𝑥 + 1,8 → 0,9𝑥 = 1,8 → 𝑥 = 2 trilhões de dólares Portanto, o PIB do Brasil é igual a 2 trilhões de dólares.

5. A

Sendo x o número de acertos e y o número de erros, montando um sistema de equações, tem-se:

{20𝑥 − 10𝑦 = 100 𝑥 + 𝑦 = 80

20𝑥 – 10 ∙ (80 – 𝑥) = 100 20𝑥 – 800 + 10𝑥 = 100 30𝑥 = 900

𝑥 = 30 6. B

Sendo x e y, respectivamente, o número de homens e de mulheres, temos:

{𝑥 + 𝑦 = 132 𝑦 = 𝑥 + 26 Substituindo a segunda equação na primeira, temos

𝑥 + 𝑥 + 26 = 132 → 2𝑥 = 106 → 𝑥 = 53 Logo, o valor a ser pago pelos homens é de

53 ∙ 50 = 𝑅$ 2650,00 7. C

Sejam a e f, respectivamente, os números de porções de 100 gramas de arroz e de feijão que deverão ser ingeridas. De acordo com o enunciado, obtemos o sistema:

{1,5𝑎 + 7𝑓 = 12,25

2𝑎 + 3𝑓 = 10 → {6𝑎 + 28𝑓 = 49

−6𝑎 − 9𝑓 = −30→ {𝑎 = 3,5 𝑓 = 1

Portanto, as quantidades de arroz e feijão que deverão ser ingeridas são, respectivamente, 3,5 ∙ 100 = 350𝑔 e 1 ∙ 100 = 100𝑔.

8. C

V_i = v ∙ l²= v ∙ 2²→ V_i= 4v

V_f= 400 = v ∙ (2l)²→ 400 = 16v → v = 25⟩ → V_i= 4 ∙ 25 = 100 m³/s 9. B

Seja Z o tempo que a luz vermelha fica acesa. Logo, temos 𝑋 =^2𝑍

3 ⟺ 𝑍 =^3𝑋

2 e, portanto, 𝑌 = 5 + 𝑋 + 𝑍 ⟺ 𝑌 = 5 + 𝑋 +3𝑋

2 ⟺ 5𝑋 − 2𝑌 + 10 = 0 10. D

Sejam c e p, respectivamente, o custo unitário do couvert artístico e o preço de um quilo de comida. Logo, temos

{

𝑐 +500𝑝 1000= 50 𝑐 +300𝑝

1000= 34

→ {

𝑐 = 50 −500𝑝 1000 𝑐 = 34 −300𝑝 1000 Então,

50 −500𝑝

1000= 34 −300𝑝 1000 50 − 34 =500𝑝

1000−300𝑝 1000 16 =200𝑝

1000 16 =2𝑝

10 2𝑝 = 160 𝑝 =160

2 = 80

Substituindo o valor de p=80 em:

𝑐 = 34 −300𝑝

1000→ 𝑐 = 34 −300 ∙ 80

1000 → 𝑐 = 34 − 24 = 10 Portanto, 𝑝 = 𝑅$ 80,00 𝑒 𝑐 = 𝑅$ 10,00.

Logo, 30𝑐 + 10𝑝 = 30 ∙ 10 + 10 ∙ 80 = 𝑅$1100,00.