A ANÁLISE NA GEOMETRIA GREGA

(1)

os

historiadores

da

matemática grega estão

de

acordo quanto

ao

método que

os

s€

encontfa uma

proposição desse

tipo,

a

análise está

conclulda

e a

síntese pode, ARTIGOS

A

ANÁLISE

NA GEOMETRIA

GREGA'

RICIIARD ROBINSON

*Nota editorial: Este artþo apaæceu originalmente em Mtttd 45 (1936)' pp,464473' Agradece' mos

tMind

a cessão dos direitos para esta tadução, A traduçå-o é de Roberto Limade Souza' revista por Cláudio l{ebe¡ Abramo.

(2)

6

Richard Robinson

então,

ær.

iniciada.

A

slntese consiste

em percorter os

mesmos passos

na

ordem inversa:

"lJma

vez

que se sabe

que

(5)

é verdadeira, então

(4)

é

verdadeira

e, por

conseguinte,

(3), (2)

e,

fìnalmente,

(1),

que era

o

que

se pretendia demonstrar". Para que

o

método funcione,

as implicações devem ser reclprocas.

(l)

não deve, meramente,

implicar (2),

mas

(2)

deve, também,

implicar

(l).

A

cadeira

L'2'34'5

deve fomecer uma

#rie

contfnua de implicações, em qualque¡ sentido que se proceda.

Em

outras palavras, as proposições em questão devem ser conversfveis.

A

conversibili-dade é facilmente

obtida

na matemática, pois esta consiste largamente de proposições que afirmam relações simétricas (como equações),

portanto

conversíveis. No entanto,

æ na

análise

foi

necessâno

ttihzw

alguma proposição

não-conversível, isso será

descoberto quando se

tentar

fazer a slntese. Pode.æ descobrir,

por

exemplo, que

(2)

nÍfo

acarreta necessariamente

(l),

embora

(l)

acarrete

(2). É

desta maneira que a

slntese

testa a

análise. Se,

por outro

lado,

a

cadeia 5'4'3-2-1, quando tomadanesta

ordem,

constitui

uma

infer6ncia necesMria,

a

sfntese

constitui a

demonstração que

se

estava

procurando; pois

(5)

é

independentemente conhecida como verdadeira, e aca¡reta indiretamente

(1),

a proposição que se pretendia demonst¡ar.3

Se

a

proposição

(5), a

última na

ordem

de

análise, fosse independentemente conhecida como falsa, ao invés de ser independentemente conhecida como verdadeira,

a

análise

nos teria

mostrado que

(1)

era falsa (uma vez que de premissas verdadeiras não se pode chegar validamente a uma conclusão falsa), e, portanto, que nossa tentativa

de

descobrir uma

demonstração

de

(l)

não

poderia ser

bem

sucedida;

e nos

teria

mostrado isso

sem

o

auxllio de

qualquer

síntese. Dessa

forma,

podemos ampliar nossa descrição

da

análise

e

dizer

que

se

trata

de

um

método

para descobrir seja a demonstração de uma proposição, seja que essa proposição não pode ser demonstrada, pelo

fato

de ser falsa.

A

reductio ad

absurdum

é

um

caso especial do

método

de análise. Se

(5)

é falsa,

então

(l)

é

falsa;

e

se

(l)

é

falsa,

a

contraditória

de

(1)

é

verdadeira. Podemos, portanto,

provil

a

contraditória

de

(l)

assumindo

(1)

e mostrando que ela acarreta

(5),

que é um absurdo e, como tal, independentemente conhecida como falsa.

A

aplicação

do

método

de

análise

na

solução

de

problemas

é

semelhante. Pressupõe-se

o

problema resolvido

e

se inferem

conseqüências desse pressuposto

até

se encontrar uma

conseqüÉncia

que se

possa

construir.

Efetua-se

então

a

construção e se procede inversamente, para alcançar o que era, a

princípio,

solicitado.

3 Ém nenhum texto antigo que me seja conhecido há alusão clara à possibilidade de não se conse-guir completar a slntese, e que isso seria um sinal de que a análise foi mal sucedida. Quando se

referem a isso, os historiadores da matemática aparentemente não rq>roduzem o que os gregos de fato clisseram, mas nos falam do que está envolvido naquilo que os gregos disseram e føe¡arl. Todavia" deparei com duas passagens que podem, possivehqenta referir-se a esse ponto.

"Por-t*to,

d

*ic'é

_-uíor,

o"

a igrrñ, on é

_-"no¡

dã'queB-E2x-i1r4. S" formaior, nãohave¡áne-nhuma síntese, conforme se mostrou na análise" (Eutócio, ver Arquimedes (ed. Heiberg), iü., 160, 10),

A

out¡a passagem é A¡istóteles, Soph.

El.,

16,175ø 28: "Em diagramas, podemos algumas vezes analisar a figura, mæ não construí-la novamente,"

I L l¡ I I t

(3)

A

Aruíllse

ru

Geometrb

Grega

7 Esta é a concepçilo usual da análiæ.

Cito

agora a traduçlIo de Heath de um trecho de Peppus

que constitui uma

das principais passagens

em que

se baseia a descrição comumente aceila.

A

anrílise, então, toma aquilo quo ó procuraSo como se fose admitido e disso, através

de suc€ssivas conseqilências

_<6ùrav

åË7lc aßoì.oüdaru¡, passa para algo que é

admitido como ¡esultado do síntèse: pois, na análise, assumimos aquilo que so procura

como ss

(á)

tivesse sido _{feito 1yeyovch)¡e}investigamos de que é que ¡sto resulta, e

no

monte qual é a causa antecedonte deste último, e assim por diante até que, scguindo nossos passos na ordem inve¡sa, alcancemos algo já conhocido ou pertencente à classe

los

primeiros princlpios; o a tal método chamamos de anáise, como solução de trás para _{diante 1ùtchralt}v

)úew).

Mas na slntese, reve¡Þndo o _Processo,tomamos como já feito o que

_f

alcançou por

último ha análise, e, colocando na sua ordem natural de conseqüências

o

que elam antecedentes, e conectandoos sucessivamente uns aos outros, chegamos finalmente à

construção do que era procurado; e a isso chamamos de sínteæ.

A

análise ó de dois

tþs,

o primeiro

dirfido

pírra a busca da verdade e cham¡do teôrico, o segundo dirigido para a descoberta do quo nos é dito encont¡ar, e chamado problemático.

(l)

Na análise teórica, assumimos o que se plocura como s€ fosse exis' ìente e rærdadeiro, e depois passamos através de suas sucãssivas conseqilências,

(rôu

èËrlc

of

oú0av), como se elas fossem também verdadeiras e estabelecidas em virtu-de da nossa hipótese, para algo admitido: (a) se o quo é admitido éverdadeiro, então o que é procurado será também verdadeiro, e a domonstração corresponderá ao caminho reverso da análise; mas (b) se o i¡ue é alcançado é algo que se admite como falso, o que se procura é igualmente falso. (2). Na análise pruåleruítico asumimos o que é proposto

como s€ fosse conhecido, e depois passamos através de suas sucessivas conseqilências <r<ìv ètûC

ùxùwsîtølv),

tomando-as como rærd¿dei¡as, até chegarmos a algo

admi-tido:

(l)

se o que é admitido é possível e obtenível, isto é, se se trata do que os mate-máticos chamam de d¿do, então

o

que era originariamente p¡oposto será também posslvei, e a demonstração coÍesponderá, novamente, à ordem inve¡.sa da análise; mas (b) se chegarmos a algo que se admite como impossível, o problcma se¡á também imposível.a

Eis, a æguir, a versão do mesmo

tradutor

de uma descriçío de anrílise e sfntese que, apesar de

não

ser

de

autoria de Euclides, enconta-se nos manuscritos

do

Livro

XII

dosElementos.

Análise é assumfu o que é procurado, como se fosse _{admitilo, [u}

.

p.r¡¡gr-]

através de suas conseqllências (6tù rô¡v ù<oloúÎ<irv) para algo _[quoé _{] admitilo}ve¡dadeiro. Síntese

é

aszumir

o

que

é

admitido

_[e

a passagem] através de suas conseqüências 1ôrà

rciz

&xo\oúÎuv)

para o término ou consecuça-o do que é procumdo,s

Até

onde

me

é

dado

conhecer, das descrições antigas da anáIiæ que chegar¡rm até nós não existe qualquer outra tÍto

informativa

quanto a de Pappus. Todas as demais

4

Heath. op. c[t.,138. Na edição de Hultsch o texto aparece nas pp. 6 3,1-636.

(4)

8

Richord Robinson

pressupõem conhecimentos adicionais do

leitor,

ou são ininteliglveis, ou,

possivelmen-ir,

r"

t"f.t.*

a algum

outro tipo

de análise, nãogeométrica.6

Passo, agora,

à

ægunda

parte

desta

nota,

a

apresentação

do ponto

de

vista

do

professor

Cornford.

O

que

se

segue representa, espero,

uma

descrição honesta e completa de suas opiniões.

O

método de

análiæ

não

se

inicia,

como os historiadores afirmam, pela busca do que é implicado por

(1).

Começa perguntando o que poderia implicar

(l).

Se descubro que

(2)

poderia

implicar

(1),

indago a

mim

mesmo se

æi

que

(2)

é verdadeira. Se æi que é, a análise está concluída; mas se não, devo dar um ægundo passo. E, como antes, esæ segundo

paso

não será perguntar o que é implicado pot (2), mas o que implicaria

(2).

O processo deve

continuar

até que eu alcance algo que de

fato

conheço. Digamos que

iiso

æja

(5).

Terei entÍio

conluldo

a análise,-podendo fazer

minha

sfntese:'(5)

é verdadeira e

implica (4),

(4)

implica (3),

(3)

implica

(2),

e

(2)

implica

(1)

que, por

sua vez, é o que se deve

provar".

Segundo este

relato,

a

análise

não

é um

processo

de

dedução. Não deduzo

(2)

a

partir de

(l).

E

só

quando procedo

na

direção contrária,

ao

fazet a

slntese, que executo uma inferência. Na análise, a atividade de minha mente não é de

demonstra-ção,

mas de

innþão.

O

geômetra que se

utiliza

da

análise adivinha

a

premissa

(2)

de que

se segue

a

conclusão

(l).

Proclo

estava

certo

quando descreveu a análise em

termos

que

remontavam

ao

caminho ascendente

da

dialética

na'Linha

Divisória

de

Platão, pois esse caminhoiascendente é uma série de intuições.7

"É

certo que, em seu

relato de

ascenção

dialética,

Platão

descreve

o

movimento

ascendente

do

racio'

clnio

ilustrado a

partir

da análise geométdca".E

Segundo

tal

descrição, as implicações com que a análise trabalha não seriam neces-sariamente recíprocas. Poderia não

existir

qualquer conæqü6ncia necessária na direção de

(1)

para

(5).

A

análise percorreria na contra-mão uma via de mão única, e a síntese æria o retorno, na direção cotreta.

6

7 _P¡oclo

, Euclldes (ed. Friedlein),

ztL,

20.

E _Mind,

(5)

A Anilise

nt

Geometrit

Grega

9

Em

obediência a ess€ ponto de vista, o professor Cornford critica da seguinte forma

a interpretação costumeira da pæsagem de Pappus:

Da discussÍo de

Sli

T. Health sobre a passagem (Thírteen Books of Eucltd,

i,

138), dopreendo quo os historiado¡es rocentos da matomática

_-

são citados "estudos cuida-rloios" de Hankel, Duhamel o Zeuthen, e outros do Ofterdinger e Cantor

_-

desvirtua-da f¡aso "a sucessão dos _Passos como "consoqilôncias" lógicas' sido confundidos Por Gerhardt

.missas implicadas nela; e em sentido descendente, na Síntese, quando são revertidos os

passos para montar o teorema ou domonstra¡ a construção "na ordem (lógica) natu¡al". NÍio se pode seguir a mesma soqüência de passos prirneiro num sentido, e depois no sontido oposto,

e

chegar a conæqüências lógicas nas duas direções. E Pappus, om momento algum, af1¡mou que se pudesse. Ele acrescentou

ètìC

para indicar que os passos "se jeguem em stcessõo", mas que nâo são

tes" logicamente, como poderia sugerir

o

termo de análise e síntese interpoladas em Euclides

XIII

é utilizada da mesma forma: "Análise é toma¡ a

passagem] øffavés dos passos subseqüentes para alguma verdade admitida". Aqui, mais uma vez, Heiberg (ed. Teubner,

III.,

365),

altzdtu

"pcr conscquenfiaC', e Heathpor "através de suas conseqüências". Essas defrnições pode ter sido copiadas, com ab¡evia-ção, da exPosição do PaPPus.g

De conformidade comisso, o professor Comford

traduzõût

rôv

èËrîç arcoloú0

uv

por

"através

dos

passos subseqüentes",

[ð

três

vezes

em que

a

frase

aparece em Pappus. Seu

ponto

de vista é

o

de que Pappus entende,

al,

uma sucessão meramente

temporal,

mas que

não

é

também lógica.

Na stttese,

a

sucessão

dos

passos é tanto

lógica quanto temporal,

mas

na

andlise não;

pois

enquanto

a

sfntese

é

dedução, a análise é intuição.

Isso completa a segunda parte de minha nota, felativa à apresentação da concepção

de

análiæ

do

professor

Comford. Na

terceira

e

última

pafte,

que

é

a tentativa

de

mostrar que

o

professor

Cornford

está equivocado e que é correta a concepção tradi-cional, advogarei três pontos:

primeiro,

que ele é influenciado

pof

um

duvidoso

prin-clpio

a

priorí;

segundo, que ele não pode explicar

um conjunto

de

textos

de impo-tância fundamental;e terceiro, que é incorreta a sua interpretação de Pappus.

Em primeiro lugar,

então, arrisco-me

a

sugerir que

o

professor

Cornford

está sob

a influência

de

um

duvidoso

princlpio

a

priori.

Ele

mesmo estabeleceu

o princfpio:

"Não

se pode seguir a mesma seqü6ncia de pæsos

primeiro num

sentido, e depois no

æntido

oposto, e se chegar zconseqüêncras lógicas nas duas direções"

(p.47,

n.).Se

(6)

l0

RiclurdRobtnson

esæ

princfpio

fosse verdadeiro, o método de análiæ,

tal

como descrito pelos historia-dores

da maþmdtica,

seria uma impossibilidade lógica; e se os geômetras gregos

real-mente

zupunham

utilizar um

tal

método, estavam grosseiramente enganados, seja na sua geometria, seja na sua metodologia. O professor

Comford

naturalmente se recusa a supor que os grandes geômetras gregos praticavam habitualmente um absurdo lóglco.

E

se os

historiadores

da

mätemática

gre1a

também

o

considerassem

um

absurdo

lógico,

sem dúvida reconsiderariam sua atribuição aos fundadores da geometria e

ten-tariam reinterpretar

os

textos. Não

posso

evitar a

sensaçäo

de

que

toda

a tentativa do professor

Cornford

de reinterpretar Pappus æja devida simplesmente à sua convic-ção a

priori

de que é absurdo o signifìcado que comumente se

atribui

a essa pÍrssagem.

Mas se

trata,

de

fato,

de

um

absurdo lógico? Nesta época,

em que

a

lógiæ

faz

progressos de

tal

forma

surpreendentes e desenvolve enormemente seus recursos, creio que podemos legitimamente nos surpreender com a declaração categórica do professor

Cornford de

que

a

mesma æqüência

de

passos nâ'o poderá oferecer conseqüênciæ lógicas nas duas direções, especialmente quando a sua

própria

Universidade

tanto

æ

tem

destacado nesses novos progressos.

As

três proposições æguintes parecem

fome-cer uma

seqü6ncia

que fornecerá

conæqüÉncias lógicas

em

qualquer direção: (1)

3x:

4y, (2)

3x +

y

:

5y, (3)

3x +

2y

:6y.

E

quando apresentei a

um

amigo

mate-mático

a descrição convencional da análise grega, ele

replicou

que, embora não viesse

por

que

razão

o

processo

é

chamado

de

"análise",

ele mesmo

a

praticava cotidia-namente!

Se

nos

voltarmos

para

o

segundo argumento

contra

o

professor

Comford,

o

de

que

ele

deixa

de

explicar

um conjunto de

textos de

fiurdamental

importância,

se

tomará

muito

mais evidente

que

o

seu

princípio

ø

priori é

duvidoso.

O

fato

é que

existem dois

tipos

de

textos

completamente diferentes que

podem

ser consultados para se descobrir

o

que

os geômetras gregos entendiam

por

anrílise. O

primeiro tipo

dá uma

descrição

teórica de

aniílise, peltencendo mais propriamente à

lógica

ou

à

metodologia

do

que

à

geometria.

No

artigo do

professor Conford,.

e

até

a

última

sentença acima, apenas

o primeiro

tipo

de

texto foi

discutido. Os gregos, porém, não nos deixaram meramente descrições de suas análises; deixaram-nos também exemplos!

E,

enquanto æ descrições que chegaram até nós são poucas e insuficientes, os exem-plos que nos chegaram são abundantes e claros. Há numerosas proposi@es geométricas atacadas pelo método de análise

no

segundo

liwo

de fuquimedes, Sobre s Esferø e o

Cilindro.

[Iií

muitas

delas

no

próprio

Pappus.

Decerto

devemos nos basear mais nos exemplos reais

do

que nas descrições.

De

qualquer

modo,

foi

æsim que os historia-dores da maternática formaram o seu unâninie ponto de vista.lo

Traduzirei aqui um exemplo bastante simples.

Acredito

que ele mostrará claramente, em primeiro lugar, que o autor julgava estar faz,endo o que o professor

Comford

diz ser l0 A ilustração de análise dada por Henkel é, de fato, tirada de Pappus, cf. sett Geschlchte der

Mo-thematlk,l43, e Pappus 830, Hultsch. Para as demonstrações anallticas de Euclides, XIII, 2-5, ver Euclides (ed. Helberg), IV., 368 ss. Pa¡a Arquimedes, ver drquimedes (ed. Heiberg), i., 191

(7)

A

Análise na Geometria

Grqa

11

.imposslvel; e, em segundo lugar, que

num

certo sentido nzoâvel, ele estava realmente faznndo isso. As definições de análise e sfntese encontradas nos manuscritos de

Eucli'

,des, já mencionadas, são seguidas das demonstrações daS

proposições)üIl.

1

-

5, feitas

por

"ttr

método.

Escolho

a demonstraçlo

de

)(III.

l,

segundo a

qual

"se uma

linha

reta

for

seccionada

em

fazão extrema

e média*,

o

quadrado

do

segmento maior, acrescido da metade do

todo,

é cinco vezes o quadrado da

metade".lr

Anúliæ e S{nteæ da Proposlçõo

I

wm o Flgura

Seja, pois, a linha reta

á8

æccjonada em C em razõo oxtrema e média, e seja

z{C o maio¡ s€gmento, a AD =

}

AB .

D

Dþoquo CD2 = 5AD2' Pois, desile quo

(1)

...

CD2 = 5AD2

e

(i)

...

CDz =CA2 +AD2 + 2CA

xAD

(11.,4). Portanto,

(2) ...

CA2 +ADz + 2CAxAD = 5AD2 .

Portanto, por subtração,

(3)

..

. CA2 +

2CAxAD=

4AD2 .

Mas (desde que BA = 2AD)

(iÐ...BAxAC--2CAxAD.

E (desde que AB foi segmentada om ¡azão extlema e média)

GÐ...Ac2=ABxBC.

Portanto,

(4)

..

.

BAxAC

+

ABx

BC = 4AD2. Mas

(iv) ..

. BA xAC + AB x BC = /4,82 Q1.,2).

Portanto,

(5)

...A82=4AD2

o isto é vo¡dadeiro, pois,4.B = 2AD Qm construção).

i

Notø edito¡lal".A' seoS'o áurea,

rr Euclides (ed. Heiberg), iv,,366,3 ss. Esta não é a demonstraçâb regular de

III!

l,e

tambémnâo é por Euclides, pols ele não faz uso de análise. Minli¿ wnão está bæeada na Èadução latina de Heiberg,

bc

clt.

(8)

12

Rícltød

Robinson

Síntese

Ora, uma vez que

(5)

...A82=4AD2

e

(iv)

.

..

BA2 = BA xAC + AB x BC Q1.,2)

Portanto,

(4)

. . : BA xAC + AB x BC = 4AD2. Mas

(ii)

...BAxAC=2DAxAC

e (iiÐ (3) (2) (Ð (1)

...ABxBC=AC2

. Poltanto,

...AC2+2DAxAC=4DA2,

e por conseguinte

..

. DA2 + AC2 + 2DA xAC = 5DA2. Mas

. . . DA2 + AC2 + 2DA xAC = cD2 (11.,4) Portalto,

...CDz=5DA2,

que é o que queríamos demonstar.

1

i

Anólise.

I

-+ -+ Slntese.

5-+4-+.3-+2-+l

ô .f\

+

iv iiiü

i

Os diagramas mostram a natureza do raciocrnio. Na análise, a implicação vai de 1

para 5, atiavés

de2,3

e

4.

Na síntese,vai de 5

_fara

1, através

de4,3

e 2, que

épreci'

samente o caminho inverso. As proposições

identificadæ por

algarismos romanos são necessárias para conectar entre si as outras ploposições; todavta, elas não são elos da cadeia, mas simplesmente

pinos

que mantêm

os

elos unidos.

Aqui,

portanto,

parece haver realmente uma pista de dupla-mão de inferências.

Poder-se-ia

objetar que

o

exemplo não

é,

de

fato,

de uma pista de interferências

de mão

dupla, precisamente

em

raz(o da

presença

dæ

proposições

com

algarismos romanos.

A

chamada

inferência

de

I

para

2 é,na

realidade, uma inferência

de

1 +

i

para

2;

e, assim, não é o inverso da inferência de

2

-pan I , pois esta

última

é, de

fato,

a inferência de 2 +

i

para 1.

com

relação

a

esta objeção, duas coisæ podem sef ditas.

Em primeiro

lugar, que

todos nós

raciocinamos

por

entimemas;

isto

é,

consideramos

/

como

conseqüência

3+4+5

..

.,

.!. t

ll . lll lv

(9)

A

Análise na Geometria

Grega

73 de

8

quando, na realidade, se segue de

B +

C

Mesmo quando estamos conscientes da

nr..rrid"d.

de

_C

como

no

exemplo geométrico acima; freqüentemente consideramos

A

como

sendo, antes, conseqüência de

I

do

que

de

'8 +

C;

e z

razão disso é que' algumas vezes,

C é um

elementO

antigo e

permanente

no

nosso pensamento' uma påssuposiçeo sob a qual

todo

o nosso

racioclnio

se processa, ao p¿lsso que r4 e

B

são

ãlr¡1rntor

novos; constituem os processos atualmente presentes de

noso

pensamento' Desta

forma, no

exemplo acima, qualquer coisa previamente demonstrada no

Livro

II

de

Euclides

funciona

não

como

um

estdgio

da

presente demonstração, mas como uma condição que

controla o

seu desenvolvimento.

A

construção funciona do mesmo modo.

se

nossa tendência

a

considerar algumæ

dæ

nossæ premissas

como

as margens da

conente do raciocfnio

e não como parte da água

_-

se essa tendência envolve uma concepção

errônea

de

raciocínio, então

o

exemplo

acima

não é,

realmente, uma seqticncia

de pasos

idênticos tomados inicialmente numa direção e depois na

outr4

e

o

autor

estava equivocado ao supof que assim foss€, e os geômetras gregos estavam

todos

enganados,

na

medida em

que

as suas análises

e

sfnteses exigiam premissas adventícias situadæ à margem da seqüência. De acordo com essa

linha

de raciocínio,

portanto,

respondemos à obleçeo mais

ou

menos admitindo-a,

isto

é,

admitindo

que, nnrn

uto

realmente estrito dalinguagem, a sfntese não percorre exatamente os mesmos passos que a análise.

-

A

segunda resposta consiste

em

salienta¡

um

sso exemplo'

uqrrrl"

{ue

vai dè

2

para 3. Não existe

ali

nenhu

ia' e

pirrtanto

a

lnferêncla de

3

para

2, na

síntese' Parece

ser

No

entanto' pode-æ sr¡stentar que mesmo nesse caso há uma premissa

maior

s

,u"

ptts"nç" toma

a

slntese

diferente da

análise' Se,

em última

set æmpte

verdadeiro,

é uma

diffcil

¡estão

de

lógica, cuja

re

-r,

u"rãdito

tèr

explorado

o

assunto

o

suficiente para mostrar duas coisæ: primeiro que, em um uÍ¡o muíto estrito da linguagem, o

princípio

a

prioi

do professor

comford

jode ,e.

verdadeiro; e, segundo, que na linguagem usual, há um sentido

muito

natural

á

razoáryel

em que

seu

princlpio

é falso. Esta conclusão é suficiente para absolver os

historiadores da matemática da acusação de haverem

"desvirtuado"

Pappus. Continua

em

aberto

verificar

se eles

"o

entenderam lamentavelmente

mal"'12

e

isto nos

leva ao terceiro e

último

ponto, o argumento de que a interpretação do professor

comford

é que está incorreta.

Estabelecemos as conclusões

de que

(l)

é

possível

rta linguagem usual, "seguir a mesma

seqüfncia

de

passos,

primeiro num

sentido,

e

depois

no

sentido

oposto,

e

chegar

a

conseqüêncøs lógicas

em

ambas

as direções";

e

(2)

os geômetræ gregos freqüentemente assim frzmam,

e

a

esse

procedimento

chamaram análiæ

e

sfntese' Assim sendo, não há mais objeção em encontra¡ esse

sþificado

em Pappus, se é isso

que ele

pafecer

dizet.

on,

decerto isso

parece

de fato

o

que ele diz. Tthv

e|nç

12 _qp.

(10)

14

Richard Robinson

&xo)totjîoirv está

mais

de

signifìcar uma sucessão

de

conseqüénciæ lógicas

do

que

uma.sucessão de passos subseqüentes, sem que sejan,r conseqüênciæ lógicas. Certamente

o

professor Cornford

preferiu

este segundo sentido apenas porque zupõe que o primeiro produz uma monstruosidade lógica.

O

professor Comford

se

apóia fortemente

na

palavra åËrîc,

p.."

zustentar sua

interpretação de

axù¡ov|az

.

Pappus "acrescentou

ê|fiçpara

indicar que

os passos

'se seguem

em

sucessão', mas que

nÍo

são,

na

direção ascendente, conseqüentes lo-gicamente, como poderia sugerir o termo

&rdÀou0a

isolado'l Todavia, na passagem de Euclides ele se vê obrigado a dar o mesmo

sþifìcado a iaco\oíflov,

embora não apa. reça

nenhum

åËrlc

_;

r,

em

razão disso, se vê compelido a zugerir que a passagen de Eu-clides

foi

copiada de Pappus

"com

abreviação". No entanto, de acordo com oshistoria-dores, a passagem de Euclides pode ser traçada até Eudoxo ou,pelomenos, até

HierÍo,

e ambos viveram antes de Pappus.B

Ao

professor

Comford

escapa

o fato

de que, de

acordo

com

sua interpretação, Pappus

incorre

em

um erro

de lógica. Pappus

afirma

que, quanto atingimos,

na

anâ-lise teórica,

um

b¡.roÀo7oúpevov

ou

algo

admitido (isto

é,

admitido

como verdadeiro

ou

como falso),

então, se isso é reconhecidamente falso, a conclusão procurada será

também

falsa.

Na

interpretação

do

professor

Comford

isso não se segue; pois se, na cadeia 7-2-3-4-5,

a implicaçro vale

apenas

de

5 para

I

e

nfo

também

de 1

para 5, então

é

posslvel que 5 seja falsa e

que

1, não obstante, seja verdadeira, uma vez que premissas falsas

podem

dar

origem

a

conclusões verdadeiras. Umas poucas linhas

mais

abaixo, Pappus

faz uma afirmaçÍo

correqpondente

com

respeito

à

análise pro-blemática,

'e

assim,

na

interpretaçao

do

professor

Comford,

incorre

novamente no

me$no erro. Por

outro

lado, de

acordo

com a

interpretaçã'o costumeira

de

análise,

como

l-2-34-5

é uma

cadeia

de

implicações necesMrias qualquer que seja a direção tomada, Pappus está

correto

ao

dizer

que a falsidade de 5 acarreta a falsidade

de

1.

Há

duas ffases na passagem de Pappus

que,

à

primeira vista,

favorecem

a

inter-pretaçÍo

do

professor

_{Cornford; concluirei}

por

examiná-las.

'1.{a

análise, assumi-mos

aquilo

que se procura

(...)

e investigamos de que é que

isto

rezulta, e novamente

qual

é

a

causa antecedente deste

riltimo, e

assim

por

diante

até

que,

seguindo na

ordem

inversa, alcancemos algo

já

conhecido".

De

acordo

com a

concepção con-vencional

de

análise, deverfamos

ter

esperado

que

ele dissesse

_"o

que

resrlta

disto"

emvez

de

"de

que é que

isto rezulta";se

essa sentença

fose

a nossarlnica evidência sobre a análise, seria

preferfvel

a abordagem desse

método

segundo o professor

Com-ford. Por outro

lado,

esa

sentença não

é

incorreta na

concepção usual

da

análise;

ela

é

simplesrnente ineqperada.

como na

concepç8o

uzual

a

implicação

se

dá

em ambos

os

sentidos, Pappus estaria

certo

qualquer

que

fosse

o

sentido que afirmasse

valer.

Sua

própria

frase

_rõv

êEñcdrxo\ou0av,.

e

acima de

tudo

os ercemplos,

mos-tram

qual é a verdade.

A

ruzão pela

qual

se expressa dessa forma inesperada é porque

está encarando

a

análise

como existindo

em

função

da

slntese;isso

o

faz descrever

L

i

I I

1

(11)

A

Anúlise na Geometrfu

Grega

15 os passos da análise

nlo

como aparecem na ocasião em que ela está sendo feita, mas como aparecem na sfntese zubseqüente.

O

outro

ponto que, à primeira vista, fâvorece a interpretação do professor

Comford,

é

a

afirmativa

de

que, nA Slntese,

os

_Passos

sÍo

tOmadOs

na

sua

'brdem

natural".

Mas

a

concepção

de

análise comumente aceita

pode

perfeitamente

dar

sentido

a isso.

A

ordem

em

que

as proposições são tomadas na análise

é

"nâ-o-natural", a des'

peito

do fato de

fomecer

uma

conexão necessária,

porque partimos

de

uma

pro'

posição que

nlo

sabemos se

é

verdadeira

e

a tfataÍios

como

se soubéssemos que fosse.

Tal

não-naturalidade é bastante clara,

no

exemplo

que

estudamos, nO

inlcio

da análise.

A

proposiçlo formulada

em uma

linha

como tendo que ser demonstrada é apresentada, na linha imediatamente seguinte, como se