Aula 15

Prof. Dr. José Carlos Rodrigues

"A melhor escola ainda é o lar, onde a criatura deve receber as bases do sentimento e do caráter. Os

estabelecimentos de ensino, podem instruir, mas só o instituto da família pode educar.

É por essa razão que a

Universidade poderá fazer o cidadão, mas somente o lar pode edificar o homem

“

Introdução

Equações

Diferenciais

Diferencial

Exata

Exercícios de

Aplicações

Variações da

Energia Interna

U versus T

U versus P

História

Conceitos

Classificação

Trabalho

Calor

Energia

Definições

Exemplos

Introdução

Exercícios

18/04/2018 ₄

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

= 𝟎

𝑴 𝒙, 𝒚 + 𝑵 𝒙, 𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒙

= 𝟎

𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

O que é Importante Saber:

Uma equação diferencial exata é uma

equação diferencial que pode ser expressa

na seguinte forma:

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

= 𝟎

Você pode integrar a derivada neste caso

e obter a solução 𝒇 𝒙, 𝒚 .

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 6}

𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 (𝟏)

𝑴(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚

𝒅𝒙

𝒆 𝑵(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

(𝟐)

Então, podemos reescrever a Equação Diferencial na forma:

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

𝒅𝒙 +

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

𝒅𝒚 = 𝟎 (𝟑)

𝑴(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚

𝒅𝒙

𝒆 𝑵(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

(𝟐)

Naturalmente, a única forma desta equação poder

atender a essa igualdade é que:

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

≡ 𝟎 𝒆

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 8}

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

≡ 𝟎 𝒆

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

≡ 𝟎

𝒇(𝒙, 𝒚) ≡ 𝑪

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

𝑴(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚

𝒅𝒙

𝒆 𝑵(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

(𝟐)

Derivando 𝐌 𝒙, 𝒚 em relação a “y” e 𝑵 𝒙, 𝒚 em

relação a “x” , teremos:

𝒅𝑴(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

=

𝒅

𝟐

𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙 × 𝒅𝒚

𝒅𝑵(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

=

𝒅

𝟐

𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙 × 𝒅𝒚

𝒅𝑴(𝒙, 𝒚)

=

𝒅𝑵(𝒙, 𝒚)

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 10}

Pode-se dizer, então, que se tivermos uma equação:

𝑴(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚

𝒅𝒙

𝒆 𝑵(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

Existe uma função 𝒇 𝒙, 𝒚 tal que :

𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 (𝟏)

E esta equação será exata, se, e somente, se:

𝒅𝑴(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

=

𝒅𝑵(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

Determine se a seguinte equação é exata:

𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

𝟐𝒙 + 𝒚

𝟐

𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

𝑴 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝒚

𝟐

𝑵 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙𝒚

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 12}

𝒅𝑴(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

= 𝟐𝒚

𝒅𝑵(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

= 2𝑦

𝑴 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝒚

𝟐

𝑵 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙𝒚

𝒅𝑴(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

=

𝒅𝑵(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

𝟏. 𝒚

𝟐

+𝟐𝒙𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒙

= 𝟎

𝟐. 𝒚 + 𝒙𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒙

= 𝟎

𝟑. −𝟐𝒚 − 𝟐𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙

= 𝟎

𝒅𝑴(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

=

𝒅𝑵(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

= 𝟐𝒚

𝒅𝑴(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

≠

𝒅𝑵(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

𝒅𝑴(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

=

𝒅𝑵(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

= −𝟐

18/04/2018 ₁₄

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

= 𝟎

𝑴 𝒙, 𝒚 + 𝑵 𝒙, 𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒙

= 𝟎

𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎 (𝟏)

𝑴(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚

𝒅𝒙

𝒆 𝑵(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

𝒅𝒙 +

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

𝒅𝒚 = 𝟎

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 16}

𝟐𝒙𝒚 + 𝟏 + 𝒙

𝟐

𝒅𝒚

𝒅𝒙

= 𝟎

Neste Caso:

𝑴 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙𝒚

𝑴 𝒙, 𝒚 =

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚

𝒅𝒙

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚

𝒅𝒙

= 𝟐𝒙𝒚

Integrando:

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚 =

𝟐𝒙𝒚𝒅𝒙

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙

𝟐

𝒚 + 𝒈(𝒚)

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙

𝟐

𝒚 + 𝒈(𝒚)

𝒈 𝒚 =

𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑦.

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

= 𝑵(𝒙, 𝒚)

N

(𝒙, 𝒚) = 𝟏 + 𝒙

𝟐

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

= 𝟏 + 𝒙

𝟐

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 18} PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙

𝟐

𝒚 + 𝒈(𝒚)

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

= 𝒙

𝟐

₊

𝒅𝒈(𝒚)

𝒅𝒚

Derivando em relação a “y”, obtem-se:

Mas, sabemos, também, que:

𝑵(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

= 𝟏 + 𝒙

𝟐

Os resultados devem ser os mesmos, então, comparando:

𝒙

𝟐

+

𝒅𝒈(𝒚)

𝒅𝒚

= 𝟏 + 𝒙

𝟐

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

𝒙

𝟐

+

𝒅𝒈(𝒚)

𝒅𝒚

= 𝟏 + 𝒙

𝟐

𝒙

𝟐

+

𝒅𝒈(𝒚)

𝒅𝒚

= 𝟏 + 𝒙

𝟐

\

\

𝒅𝒈(𝒚)

𝒅𝒚

= 𝟏

𝒅𝒈 𝒚 = 𝟏 𝒅𝒚

𝒅𝒈 𝒚 = 𝒅𝒚

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 20} Fonte: Tom Richmond

(caricaturista Americano)

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙

𝟐

𝒚 + 𝒈(𝒚)

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙

𝟐

𝒚 +

𝒚 + 𝒌

𝒇(𝒙, 𝒚) ≡ 𝑪

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

𝑪

= 𝒙

𝟐

𝒚 +

𝒚 + 𝒌

𝒙

𝟐

𝒚 +

𝒚 = 𝑪

_𝟏

𝒚 =

𝑪

𝟏

𝒙

𝟐

+ 𝟏

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 22}

𝟏. 𝒚 + 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙

= 𝟎

𝑹. : 𝒚 =

𝑪

𝒙

Resolução:

Neste Caso:

𝑴 𝒙, 𝒚 =

𝒚

𝑴 𝒙, 𝒚 =

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚

𝒅𝒙

=

y

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚

𝒅𝒙

=

𝒚

Integrando, obtém-se:

𝒅𝒇 𝒙, 𝒚

= 𝒚

𝒅𝒙

𝒇 𝒙, 𝒚

= 𝒙𝒚 + 𝒈(𝒚)

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚 + 𝒈(𝒚)

𝒈 𝒚 =

𝒇𝒖𝒏çã𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒅𝒆𝒑𝒆𝒏𝒅𝒆 𝒔𝒐𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒆 𝒚.

N(𝒙, 𝒚) = 𝒙

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

= 𝒙

Usando, novamente, a Equação inicial:

𝒚 + 𝒙

𝒅𝒚

𝒅𝒙

= 𝟎

𝑵(𝒙, 𝒚) =

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 24}

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚 + 𝒈(𝒚)

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

= 𝒙 +

𝒅𝒈(𝒚)

𝒅𝒚

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

= 𝒙

𝒙 +

𝒅𝒈(𝒚)

𝒅𝒚

=

𝒙

\

\

𝒅𝒈(𝒚)

𝒅𝒚

= 𝟎

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒚

=

𝒅(𝒙𝒚)

𝒅𝒚

+

𝒅𝒈(𝒚)

𝒅𝒚

𝒅𝒈 𝒚 = 𝟎

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚 + 𝒈(𝒚)

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚

+ 𝒌

𝒇(𝒙, 𝒚) ≡ 𝑪

𝑪

= 𝒙𝒚

+ 𝒌

𝒙𝒚 =

𝑪

_𝟏

_{𝒚 =}

𝑪

𝟏

18/04/2018 ₂₆

𝒅𝒇(𝒙, 𝒚)

𝒅𝒙

= 𝟎

𝑴 𝒙, 𝒚 + 𝑵 𝒙, 𝒚

𝒅𝒚

𝒅𝒙

= 𝟎

𝑴 𝒙, 𝒚 𝒅𝒙 + 𝑵 𝒙, 𝒚 𝒅𝒚 = 𝟎

Sistemas Termodinâmicos

∆𝑈 = 𝑑𝑈

2

1

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 28}

Não entendi

nadinhaaaa...,

Cérebro!!

Qual a

novidade,

Pinky?!!

Existem

apenas

duas

trajetórias seguras até o

queijo. Aquele que escolher o

caminho mais curto, ganha o

prêmio.

Quem

vencerá?!

Pinky ou Cérebro?!

As trajetórias são definidas

pela

seguinte

Equação

Diferencial:

𝒅𝒇 = 𝟑𝒂𝒙

𝟐

𝒚𝒅𝒙 + 𝒂𝒙

𝟑

+ 𝟐𝒃𝒚 𝒅𝒚

Calculei!!

Moleza!!!

Queijo!!!

Gostoso!!

2

0

0

2

Tr

aj

et

ór

ia

1

Trajetória 2

(2,2)

𝒚 = 𝟎

𝒙

=

𝟎

𝒙

=

2

𝒚 = 𝟐

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 30}

𝑑𝑓 = 3𝑎𝑥

2

𝑦𝑑𝑥

2,2

0,2

+

𝑎𝑥

3

+ 2𝑏𝑦 𝑑𝑦

0,2

0,0

Trajetória 1

𝑓 = 3𝑎𝑦

𝑥

3

3

+ 𝑎𝑥

3

_𝑑𝑦

2

0

+ 2𝑏 𝑦𝑑𝑦

2

0

𝑓 = 𝑎𝑦𝑥

3

|

2,2

0,2

+ (𝑎𝑥

3

|

0

0

× 𝑑𝑦

2

0

) + 2𝑏 𝑦𝑑𝑦

2

0

𝑓 = 16a + 4b

x=cte=0

y=cte=2

𝑑𝑓 = 3𝑎𝑥

2

𝑦𝑑𝑥

2,0

0,0

+

𝑎𝑥

3

+ 2𝑏𝑦 𝑑𝑦

2,2

2,0

Trajetória 2

𝒇 = 𝟏𝟔𝒂 + 𝟒𝒃

x=cte=2

𝑓 = 3𝑎𝑦

𝑥

3

3

+ 𝑎𝑥

3

_𝑑𝑦

2

0

+ 2𝑏 𝑦𝑑𝑦

2

0

𝑓 = 𝑎𝑦𝑥

3

|

2,0

0,0

+ (𝑎𝑥

3

|

2

2

× 𝑑𝑦

2

0

) + 2𝑏 𝑦𝑑𝑦

2

0

y=cte=0

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 32}

Vamos dividir

tudinho....!!

Não

acredito

nisso!!

𝑓

₂

= 16a + 4b

𝑓

₁

= 16a + 4b

Existem

apenas

duas

trajetórias seguras até o

queijo. Aquele que escolher o

caminho mais curto, ganha o

prêmio.

Quem

vencerá?!

Pinky ou Cérebro?!

As trajetórias são definidas,

agora, pela seguinte Equação

Diferencial:

𝒅𝒇 = 𝟑𝒂𝒙

𝟐

𝒚𝒅𝒙 + 𝒂

𝒙

𝟐

+ 𝟐𝒃𝒚 𝒅𝒚

Calculei!!

Moleza!!!

2

0

0

2

Tr

aj

et

ór

ia

1

Trajetória 2

(2,2)

𝒚 = 𝟎

𝒙

=

𝟎

𝒙

=

2

𝒚 = 𝟐

Queijo!!!

Gostoso!!

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 34}

𝑑𝑓 = 3𝑎𝑥

2

𝑦𝑑𝑥

2,2

0,2

+

𝑎𝑥

2

+ 2𝑏𝑦 𝑑𝑦

0,2

0,0

Trajetória 1

𝑓 = 3𝑎𝑦

𝑥

3

3

+ 𝑎𝑥

2

_𝑑𝑦

2

0

+ 2𝑏 𝑦𝑑𝑦

2

0

𝑓 = 𝑎𝑦𝑥

3

|

2,2

0,2

+ 𝑎𝑥

2

𝑑𝑦

2

0

+ 2𝑏 𝑦𝑑𝑦

2

0

𝒇 = 𝟏𝟔𝐚 + 𝟒𝐛

/

y=cte=2

x=cte=0

0

𝑑𝑓 =

3𝑎𝑥

2

𝑦𝑑𝑥

2,0

0,0

+

𝑎𝒙

𝟐

+ 2𝑏𝑦 𝑑𝑦

2,2

2,0

Trajetória 2

𝑓 = 0 + 4𝑎 𝑑𝑦

2

0

+ 2𝑏 𝑦𝑑𝑦

2

0

= 8a + 4b

𝒇 = 𝟖𝒂 + 𝟒𝒃

𝑓 = 𝑎𝑦𝑥

3

|

2,0

0,0

+ (𝑎𝑥

2

|

2

2

× 𝑑𝑦

2

0

) + 2𝑏 𝑦𝑑𝑦

2

0

y=cte=0

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 36}

Tudiiiiinho

meu....!!

Diferenciais

não exatas!!

Eu... Te...

odeio!!!

𝑓

₁

= 8a + 4b

𝑓

2

= 16a + 4b

𝑈 = 𝑓 𝑉, 𝑇

𝑈 = 𝑓 𝑃, 𝑇

𝑈 = 𝑓 𝑃, 𝑉

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 38}

𝑼

_𝟏

= 𝑼

_𝟎

+

𝒅𝑼

𝒅𝑽

𝑻

𝒅𝑽

𝑼

_𝟏

= 𝑼

_𝟎

+

𝒅𝑼

𝒅𝑻

𝑽

𝒅𝑻

𝑈

₁

= 𝑈

₀

+

𝑑𝑈

𝑑𝑉

𝑇

𝑑𝑉

+

𝒅𝑼

𝒅𝑻

𝑽

𝒅𝑻

𝑈

₁

= 𝑈

₀

+ 𝑑𝑈

𝑈

₁

= 𝑈

₀

+

𝑑𝑈

𝑑𝑉

𝑇

𝑑𝑉 +

𝑑𝑈

𝑑𝑇

𝑉

𝑑𝑇

𝑑𝑈

=

𝑑𝑈

𝑑𝑉

𝑑𝑉 +

𝑑𝑈

𝑑𝑇

𝑑𝑇

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 40}

𝑑𝑈

=

𝑑𝑈

𝑑𝑉

𝑇

𝑑𝑉 +

𝑑𝑈

𝑑𝑇

𝑉

𝑑𝑇

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

𝒅𝑼

=

𝒅𝑼

𝒅𝑽

𝑻

𝒅𝑽 +

𝒅𝑼

𝒅𝑻

𝑽

𝒅𝑻

𝒅𝑼

𝒅𝑻

𝑽

= 𝑪

_𝑽

𝒅𝑼

𝒅𝑽

= 𝝅

𝑻

PRINCÍPIOS DE TERMODINÂMICA _{18/04/2018 42}

𝒅𝑼 =

𝒅𝑼

𝒅𝑽

𝑻

𝒅𝑽 +

𝒅𝑼

𝒅𝑻

𝑽

𝒅𝑻

Fonte: Tom Richmond (caricaturista Americano)

𝒅𝑼

𝒅𝑽

𝑻

= 𝝅

_𝑻

𝒅𝑼

𝒅𝑻

𝑽

= 𝑪

_𝑽

𝒅𝑼 =

𝝅

_𝑻

𝒅𝑽 +

𝑪

_𝑽

𝒅𝑻

𝜋

_𝑇

= 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎

𝒅𝑼 =

𝒅𝑼

𝒅𝑽

𝑻

𝒅𝑽 +

𝒅𝑼

𝒅𝑻

𝑽

𝒅𝑻

𝒅𝑼

𝒅𝑽

𝑻

= 𝝅

_𝑻

𝒅𝑼

𝒅𝑻

𝑽

= 𝑪

_𝑽

𝒅𝑼 =

𝝅

_𝑻

𝒅𝑽 +

𝑪

_𝑽

𝒅𝑻

𝝅

_𝑻

= 𝑷𝒓𝒆𝒔𝒔ã𝒐 𝑰𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂