EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
RENAN OLIVEIRA ALTOÉ
FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO NO ENSINO FUNDAMENTAL: UMA PRÁTICA INSERIDA NA METODOLOGIA DE
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
VITÓRIA 2017
FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS DO CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO NO ENSINO FUNDALMENTAL: UMA PRÁTICA INSERIDA NA METODOLOGIA
DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática – Campus Vitória do Instituto Federal do Espírito Santo, como requisito parcial para obtenção de título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Rony Cláudio de Oliveira Freitas
VITÓRIA 2017
(Biblioteca Nilo Peçanha do Instituto Federal do Espírito Santo) A469f Altoé, Renan Oliveira.
Formulação de problemas do campo conceitual multiplicativo no ensino fundamental : uma prática inserida na metodologia de resolução de problemas / Renan Oliveira Altoé. – 2017.
227 f. : il. ; 30 cm
Orientador: Rony Cláudio de Oliveira Freitas.
Dissertação (mestrado) – Instituto Federal do Espírito Santo, Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática, Vitória, 2017.
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Multiplicação. 3. Divisão. 4. Metodologia. 5. Didática. I. Freitas, Rony Cláudio de Oliveira. II. Instituto Federal do Espírito Santo. III. Título.
Poderia principiar meus agradecimentos simplesmente mencionando nomes e dizendo o quanto foram importantes nesta caminhada. Contudo, meu respeito, gratidão e carinho não me permitem fazê-lo e me levam a agradecer, de forma única...
...a Deus, por me abençoar e me fazer forte diante das dificuldades, dando-me sabedoria para
escolher os melhores caminhos e alegrias a cada vitória.
...a minha família, que acreditou na minha capacidade de vencer esse desafio, não mediu esforços para me ajudar diante de quaisquer obstáculos e sempre me apoiou nos meus estudos.
...aos meus amigos, pelos incentivos, palavras de carinho e esperança.
...aos meus professores, pelas aulas e aprendizados que contribuíram muito na minha formação acadêmica.
...ao meu orientador Rony Claudio de Oliveira Freitas, pelas orientações pautadas no respeito, dedicação e cumplicidade sem as quais este trabalho não poderia ter maior êxito. Agradeço também a confiança depositada e espero ter respondida à altura.
...aos membros da banca, por todas as considerações e críticas construtivas que impulsionaram o desenvolvimento deste trabalho, tornando-o ainda mais relevante para as pesquisas em Educação Matemática.
“O educador democrático não pode negar-se o dever de, na sua prática docente, reforçar a capacidade crítica do educando, sua curiosidade, sua insubmissão” (FREIRE, 2015)
Autarquia criada pela Lei n° 11.892 de 29 de dezembro de 2008 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
RESUMO
A abordagem metodológica de Resolução de Problemas pressupõe a formulação de problemas como uma característica fundamental nos processos de ensino e de aprendizagem. No entanto, tal prática, principalmente numa perspectiva significativa para os estudantes, ainda é frágil no contexto escolar. Essa pesquisa tem como finalidade contribuir para a sua melhoria, tendo como temática a “Formulação de Problemas em Matemática” e trazendo como objetivo investigar contribuições de atividades pautadas na formulação de problemas para o ensino de conceitos de multiplicação e divisão nos anos iniciais do ensino fundamental. A pesquisa foi desenvolvida com 28 alunos do 5º ano de uma Escola Estadual de Ensino Fundamental e Médio do município de Vargem Alta – ES, envolvendo também a participação colaborativa da professora regente. Serviram como instrumentos de coleta de dados gravações em áudio e vídeo, registro em diário de bordo do pesquisador e entrevista. Por considerarmos a Formulação de Problemas uma prática inerente à metodologia de Resolução de Problemas, julgamos necessário iniciar uma abordagem teórica desta última pautando-nos principalmente nos estudos de Onuchic e Allevato, Morais e Onuchic, Vila e Callejo, Pozo e Van de Walle. Em relação à Formulação de Problemas, fundamentamos principalmente com Boavida et al, Chica, D’amore e Silver. Estudos direcionados à multiplicação e divisão respaldaram-se em Vergnaud e Pires. Esta pesquisa, de natureza qualitativa, foi desenhada na perspectiva da Engenharia Didática, cujas discussões foram sustentadas em Pais, Almouloud e Coutinho e Almouloud e Silva. A análise dos dados ocorreu no confronto entre a análise à priori e à posteriori, na quarta fase do nosso aporte metodológico. Constatamos que as propostas elaboradas no decorrer da pesquisa possuem potencial educativo à medida que possibilitam a Formulação de Problemas envolvendo multiplicação e divisão, cujas produções podem ser utilizadas para o ensino e aprendizagem dessas operações. Ademais, alertamos para a necessidade da Formulação de Problemas ser mais presente nas aulas de matemática, uma vez que os alunos ainda apresentam muitas dificuldades com essa prática, elaborando por vezes, problemas de difícil compreensão. O produto educacional oriundo desta pesquisa se trata de um Paradidático cujo objetivo é contribuir nos estudos de multiplicação e divisão, trazendo as atividades elaboradas, aplicadas e validadas no decorrer dos nossos estudos.
Palavras-chave: Formulação de Problemas. Ensino de Multiplicação e Divisão. Campo Conceitual Multiplicativo. Engenharia Didática.
Autarquia criada pela Lei n° 11.892 de 29 de dezembro de 2008 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ABSTRACT
The methodological approach to Problem Solving presupposes problems’ formulation as a fundamental characteristic in the teaching and learning processes. However, such a practice, especially from a significant perspective for students, is still fragile in the school context. This research aims to contribute to its improvement, having as its theme the "Mathematical Problems Formulation" and aiming to investigating contributions of activities based on the problems’ formulation to teaching concepts of multiplication and division in the first years of elementary education. The research was developed with 28 students from the 5th year of a Public School “Elementary and High School” in the district of Vargem Alta - ES, also involving the collaborative participation of the regent teacher. They served as instruments of audio collection data and video recordings, journal logbook from the researcher and interview. Considering Problem Formulation as an inherent practice in the Problem Solving methodology, we considered necessary to began a theoretical approach of the latter, focusing mainly on the studies of Onuchic and Allevato, Morais and Onuchic, Vila e Callejo, Pozo and Van de Walle. In relation to Problem Formulation, we are mainly based on Boavida et al, Chica, D'amore and Silver. Theses studies aimed at multiplication and division were backed by Vergnaud and Pires. This qualitative research was drawn from the perspective of Didactic Engineering, whose discussions were supported by Pais, Almouloud and Coutinho and Almouloud e Silva. The analysis of the data occurred in the confrontation between a priori and a posteriori analysis, in the fourth phase of our methodological contribution. We find that the proposals elaborated during the research have educational potential as they allow the formulation of problems involving multiplication and division, whose productions can be used to teaching and learning these operations. In addition, we warn of the need for Problem Formulation to be more present in math classes, since students still have many difficulties with this practice, sometimes elaborating problems that are difficult to understanding. The educational product that comes from this research is a heavenly whose objective is contribute to studies of multiplication and division, bringing the activities elaborated, applied and validated in the course of our studies.
Keywords: Problem formulation. Teaching Multiplication and Division. Multiplicative Conceptual Field. Didactic Engineering.
Figura 1 - Esquema processual sobre Formulação de Problemas ... 58
Figura 2 - Apresentação da multiplicação 5x3 ... 62
Figura 3 - Resolução da professora para a divisão 7945 por 5 ... 79
Figura 4 - Capa do Livro "Matemática" de Luiz Roberto Dante ... 80
Figura 5 - Índice do livro "Matemática" ... 81
Figura 6 - Formulação de problema da página 90 ... 82
Figura 7 - Formulação de problema da página 94 ... 82
Figura 8 - Exercício de reconhecimento da página 80 ... 84
Figura 9 - Exercício de reconhecimento da página 81 ... 85
Figura 10 - Exercício de reconhecimento da página 81 ... 86
Figura 11 - Exercício de reconhecimento da página 84 ... 87
Figura 12 - Exercício de reconhecimento da página 85 ... 87
Figura 13 - Exercício de reconhecimento da página 85 ... 88
Figura 14 - Exercício de reconhecimento da página 88 ... 89
Figura 15 - Exercício de reconhecimento da página 89 ... 89
Figura 16 - Exercício de reconhecimento da página 90 ... 90
Figura 17 - Exercício de reconhecimento da página 93 ... 90
Figura 18 - Exercício de reconhecimento da página 98 ... 91
Figura 19 - Exercício de algoritmo da página 82 ... 92
Figura 20 - Exercício de algoritmo da página 96 ... 92
Figura 21 - Problema-padrão simples da página 87 ... 93
Figura 22 - Problema-padrão simples da página 96 ... 93
Figura 23 - Problema-padrão composto da página 102 ... 93
Figura 24 - Problema-padrão composto da página 96 ... 94
Figura 25 - Problema-processo ou heurístico da página 96 ... 94
Figura 26 - Problema-processo ou heurístico da página 102 ... 95
Figura 27 - Problema de aplicação da página 89 ... 96
Figura 28 - Problema de quebra-cabeça da página 102 ... 96
Figura 29 - Atividade 1 ... 105
Figura 30 - Atividade 2 ... 107
Figura 34 - Problema do aluno A28-11... 123
Figura 35 - Problema do aluno A10-11... 124
Figura 36 - Problema do aluno A18-11... 125
Figura 37 - Problema do aluno A08-10... 127
Figura 38 - Justificativa do aluno A09-11 ... 130
Figura 39 - Justificativa do aluno A18-11 ... 130
Figura 40 - Justificativa do aluno A08-10 ... 131
Figura 41 - Justificativa do aluno A02-11 ... 132
Figura 42 - Justificativa do aluno A01-10 ... 132
Figura 43 - Caderno de receitas da vovó Joana ... 134
Figura 44 - Resolução do aluno A28-11 ... 136
Figura 45 - Resolução do aluno A02-11 ... 136
Figura 46 - Resolução do aluno A01-10 ... 137
Figura 47 - Problema da dupla A05-10 e A16-11 ... 139
Figura 48 - Problema do trio A07-10, A08-10 e A26-11 ... 141
Figura 49 - Justificativa do trio A07-10, A08-10 e A26-11 ... 145
Figura 50 - Justificativa da dupla A05-10 e A16-11 ... 145
Figura 51 - Justificativa da dupla A13-10 e A24-10 ... 146
Figura 52 - Justificativa do trio A18-11, A12-10 e A02-11 ... 146
Figura 53 - Menu do aluno A25-10 ... 148
Figura 54 - Menu do aluno A27-11 ... 148
Figura 55 - Resolução do aluno A22-11 ... 149
Figura 56 - Menu e resolução das possibilidades do aluno A04-10 ... 150
Figura 57 - Menu e resolução das possibilidades do aluno A21-11 ... 150
Figura 58 - Menu e resolução das possibilidades do aluno A18-11 ... 151
Figura 59 - Problema do aluno A02-11... 152
Figura 60 - Problema do aluno A12-10... 154
Figura 61 - Justificativa do aluno A18-11 ... 157
Figura 62 - Justificativa do aluno A28-11 ... 158
Figura 63 - Justificativa do aluno A23-10 ... 158
Figura 64 - Justificativa do aluno A27-11 ... 158
Figura 68 - Desenhos de Mariana ... 161
Figura 69 - Recado de Mariana para os alunos ... 162
Figura 70 - Resolução do aluno A08-10 ... 164
Figura 71 - Resolução do aluno A07-10 ... 166
Figura 72 - Problema do aluno A10-11... 167
Figura 73 - Problema do aluno A21-11... 169
Figura 74 - Problema do aluno A18-11... 170
Figura 75 - Problema do aluno A08-10... 171
Figura 76 - Justificativa do aluno A12-10 ... 173
Figura 77 - Justificativa do aluno A15-11 ... 174
Figura 78 - Justificativa do aluno A06-11 ... 174
Figura 79 - Justificativa do aluno A03-10 ... 174
Figura 80 - Justificativa do aluno A28-11 ... 175
Figura 81 - Justificativa do aluno A07-10 ... 175
Figura 82 - Justificativa do aluno A26-11 ... 175
Figura 83 - Justificativa do aluno A04-10 ... 175
Figura 84 - Justificativa do aluno A01-10 ... 176
Figura 85 - Dever de casa de Carlinhos ... 178
Figura 86 - Problema da dupla A03-10 e A22-11 ... 180
Figura 87 - Problema da dupla A13-10 e A25-10 ... 182
Figura 88 - Problema da dupla A02-11 e A18-11 ... 183
Figura 89 - Justificativa da dupla A02-11 e A18-11 ... 185
Figura 90 - Justificativa da dupla A07-10 e A09-11 ... 185
Figura 91 - Justificativa da dupla A13-10 e A25-10 ... 186
Figura 92 - Justificativa da dupla A11-10 e A26-11 ... 186
Figura 93 - Justificativa da dupla A17-15 e A21-11 ... 187
Quadro 1 - Panorama da Revisão de Literatura ... 30
Quadro 2 - Identificação dos participantes ... 75
Quadro 3 - Análise à priori da Atividade 1 ... 105
Quadro 4 - Análise à priori da Atividade 2 ... 107
Quadro 5 - Análise à priori da Atividade 3 ... 109
Quadro 6 - Análise à priori da Atividade 4 ... 112
1 INTRODUÇÃO ... 16
1.1 OBJETIVO GERAL ... 18
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ... 18
1.3 UM BREVE MEMORIAL ACADÊMICO E PROFISSIONAL DO AUTOR ... 18
1.4 A PESQUISA: DO NASCIMENTO À CONCRETIZAÇÃO... 20
1.5 ORGANIZAÇÃO DO ESTUDO ... 23
2 APORTE METOLÓGICO DA PESQUISA... 24
3 PRIMEIRA FASE: ANÁLISES PRELIMINARES ... 29
3.1 REVISÃO DE LITERATURA ... 29
3.2 A PRÁTICA DE FORMULAÇÃO DE PROBLEMAS EM MATEMÁTICA: DO QUE ESTAMOS FALANDO? ... 45
3.3 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO: ASPECTOS CONCEITUAIS ... 59
3.3.1 Multiplicação ... 61
3.3.2 Divisão ... 68
3.4 O AMBIENTE DE PESQUISA ... 74
3.4.1 Questões burocráticas, primeiros contatos e autorizações ... 74
3.4.2 Os participantes ... 75
3.5 AS OBSERVAÇÕES EM SALA DE AULA... 76
3.5.1 Dimensão Didática ... 76
3.5.2 Dimensão Epistemológica ... 78
3.6 ANÁLISE DO LIVRO DIDÁTICO ... 80
3.6.1 Presença da prática de Formulação de Problemas ... 81
3.6.2 Abordagens do ensino de multiplicação e divisão ... 83
3.6.2.1 Abordagem metodológica ... 84
3.6.2.2 Abordagem conceitual ... 97
3.7 CONCLUSÕES SOBRE A PRIMEIRA FASE ... 98
4 SEGUNDA FASE: CONCEPÇÕES E ANÁLISE À PRIORI ... 102
4.1 VARIÁVEIS MACRODIDÁTICAS E MICRODIDÁTICAS ... 103
4.2 SEÇÃO DAS ATIVIDADES: ANÁLISE À PRIORI ... 103
4.2.1 Análise à priori da Atividade 1 ... 104
4.2.2 Análise à priori da Atividade 2 ... 106
5 TERCEIRA FASE: APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES ... 115 5.1 RELATOS DA ATIVIDADE 1... 115 5.2 RELATOS DA ATIVIDADE 2... 116 5.3 RELATOS DA ATIVIDADE 3... 117 5.4 RELATOS DA ATIVIDADE 4... 118 5.5 RELATOS DA ATIVIDADE 5... 119
6 QUARTA FASE: ANÁLISE À POSTERIORI E AVALIAÇÃO... 121
6.1 SEÇÃO DAS ATIVIDADES: ANÁLISE À POSTERIORI ... 121
6.1.1 Análise à posteriori da Atividade 1 ... 121
6.1.1.1 Avaliação da Atividade 1 ... 132
6.1.2 Análise à posteriori da Atividade 2 ... 133
6.1.2.1 Avaliação da Atividade 2 ... 146
6.1.3 Análise à posteriori da Atividade 3 ... 147
6.1.3.1 Avaliação da Atividade 3 ... 160
6.1.4 Análise à posteriori da Atividade 4 ... 160
6.1.4.1 Avaliação da Atividade 4 ... 176
6.1.5 Análise à posteriori da Atividade 5 ... 177
6.1.5.1 Avaliação da Atividade 5 ... 187
6.2 O GRUPO FOCAL E A ENTREVISTA ... 188
6.2.1 O Grupo Focal... 189
6.2.2 A Entrevista... 194
7 O PRODUTO EDUCACIONAL ... 197
8 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 200
REFERÊNCIAS... 204
APÊNDICE A - Atividade 1: A compra misteriosa... 210
APÊNDICE B - Atividade 2: A receita de sorvete ... 212
APÊNDICE C - Atividade 3: Um passeio a lanchonete ... 214
APÊNDICE D - Atividade 4: ...vezes mais...vezes menos ... 216
APÊNDICE E - Atividade 5: Um dever de casa desafiador ... 218
APÊNDICE F - Roteiro do Grupo Focal e da Entrevista ... 220
professor (a) ... 224
ANEXO D - Modelo do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido para menor de idade ... 225
ANEXO E - Modelo do Termo de Assentimento Livre e Esclarecido para o menor de idade ... 227
1 INTRODUÇÃO
A escola se constituiu de um espaço de produção de conhecimentos onde é fundamental a participação ativa dos discentes e o rompimento da concepção de que ensinar e aprender ocorrem por meio da transmissão de conhecimentos ou restritamente pela memorização e uso de algoritmos e fórmulas. Nesse sentido, o estímulo à reflexão crítica, defendida por Freire (2015) e sua convicção de que ensinar não é transferir conhecimento, pode ser um fator importante no processo educativo.
Segundo D’Ambrósio (2012), a Educação é uma estratégia criada pela sociedade com intuito de facilitar e contribuir para que cada indivíduo alcance seu potencial, estimulando a colaboração com o outro por meio de ações comuns em busca do bem comum. A escola, nessa perspectiva, não deveria considerar que todos os alunos pensam e aprendem igualmente, mas enxergá-los como únicos e com conhecimentos singulares próprios de suas experiências cotidianas. Desse pensamento, emerge a importância do professor no processo educativo cuja função é a de gerenciar, de facilitar a aprendizagem e interagir com os alunos na produção crítica de novos conhecimentos, abrindo espaço para que se manifestem (D’AMBRÓSIO, 2012).
A matemática, por exemplo, é um componente curricular que coadjuva na formação integral do indivíduo, uma vez que fornece subsídios para se pensar logicamente, formando alunos críticos, conscientes de suas ações, mais participativos e responsáveis em sociedade (D’AMBRÓSIO, 2012). Nessa ótica, os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental (PCNEF) de 1997 apontam que a matemática tem seu papel na construção da cidadania, precisa estar ao alcance de todos e perpassa por dois aspectos básicos: i) relacionar observações do mundo real com representações (esquemas, tabelas e figuras) e correlacioná-las com princípios e conceitos matemáticos. Além disso, apontam para a importância de estimular os alunos a comunicarem-se em sala de aula, levando-os a “falar” e a “escrever” sobre matemática.
Segundo os PCNEF (1997), essa área de conhecimento prestará sua contribuição na construção da cidadania à medida que forem exploradas metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, o espírito crítico e favoreçam a criatividade, o trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar
desafios. Em busca disso, apontam a Resolução de Problemas como uma metodologia capaz de ampliar os interesses dos estudantes pela matemática.
A escolha por uma determinada metodologia de ensino sofre influência da nossa concepção sobre o que é ensinar e aprender matemática e, nesta pesquisa, temos adotado como princípio a importância da matemática no desenvolvimento do raciocínio lógico, na formação de cidadãos críticos capazes de atuar ativamente na sociedade e como, segundo Antunes (2010), recurso para melhor se observar e viver o cotidiano. Nesse sentido, a escola deve possibilitar que os educandos construam e se apropriem dos conhecimentos da matemática, aprendendo a resolver problemas, discutindo ideais e verificando informações (BRASIL, 1997).
Desde 1980, o National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) vem denotando recomendações para o ensino de matemática e destacando a Resolução de Problemas como um caminho promissor. Por volta da década de 90, passam a considerá-la também como metodologia e, como tal, constitui-se de um conjunto de estratégias para o ensino e o desenvolvimento da aprendizagem de matemática (DINIZ, 2001). De acordo com os PCNEF (1997), o trabalho com essa metodologia pode tornar as aulas mais dinâmicas, interessantes e desafiadoras, uma vez que coloca o aluno como agente autônomo na proposição de estratégias de resolução elaboradas por meio do seu pensar crítico. Resolver problemas tem sido considerado o ponto chave dessa abordagem metodológica. O professor, por sua vez, é o responsável em propor tais problemas e os discentes assumem o seu papel de resolvedores. Contudo, acreditamos ser importante que se façam novas reflexões referentes à proposição de problemas em sala de aula, inserindo desta vez, a possibilidade dos alunos elaborarem problemas1 o que é chamado
de Formulação de Problemas. Autores como Boavida et al (2008), Dante (2009) e Chica (2001) comungam da relevância dessa prática nas aulas de matemática, uma vez que no processo de formulação o aluno pode desenvolver sua capacidade crítica, seu pensamento e exprimir ideias, relações e aprofundar conceitos. Vemos despontar dessas concepções, o respeito aos saberes dos educandos, defendido por Freire (2015), como papel central da aprendizagem.
1 Não nos referimos a “problemas da vida” no seu sentido estritamente pessoal, embora esses possam
ser evidenciados nos problemas formulados pelos alunos, mas de problemas elaborados sejam com dados reais ou fictício.
Portanto, esta pesquisa tem como temática a “Formulação de Problemas em Matemática” e busca responder a seguinte questão problema: como a Formulação de Problemas, dentro da abordagem metodológica de Resolução de Problemas, pode ser proposta nas aulas de matemática, tendo em vista a contribuição para o ensino conceitual e integrado de multiplicação e divisão no 5º ano do Ensino Fundamental?
1.1 OBJETIVO GERAL
Investigar contribuições de atividades pautadas na elaboração de problemas para o ensino de conceitos de multiplicação e divisão nos anos iniciais do ensino fundamental.
1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Verificar como a Formulação de Problemas e o ensino de multiplicação e divisão são abordados em livros didáticos e em aulas de matemática;
Analisar contribuições de atividades de Formulação de Problemas para o ensino de multiplicação e divisão;
Identificar algumas contribuições da Formulação de Problemas no ensino de matemática, na perspectiva da professora e dos alunos.
1.3 UM BREVE MEMORIAL ACADÊMICO E PROFISSIONAL DO AUTOR
Minha trajetória escolar dividiu-se entre a escola pública e privada. Em ambas instituições, o desejo, o sentimento e a afeição pela profissão docente faziam parte dos meus pensamentos. O gosto pela matemática e o entusiasmo se evidenciavam em relação às demais áreas de conhecimento.
Em 2006, ingressei no Curso Superior de Licenciatura em Matemática do Centro Universitário São Camilo – ES, onde aprendi, teórica e metodologicamente, aspectos relacionados ao desenvolvimento da matemática, bem como as singularidades da gratificante profissão docente. Ao egressar em 2009, comecei a enfrentar o primeiro obstáculo da carreira docente: a dificuldade de me inserir na Educação Básica. Assim, prossegui meus estudos e conclui, em 2012, minha primeira Especialização em Metodologia do Ensino de Matemática pela Faculdade de Tecnologia São Francisco –
FATESF/ES, com a qual as primeiras portas para a atuação na Educação Básica começaram a surgir. Vale mencionar que minha experiência na Educação não se restringe somente a partir desse período, mas iniciou-se no decorrer da formação inicial quando já trabalhava em uma escola estadual como secretário escolar e com substituições em sala de aula.
Apesar da afinidade de lecionar nessa esfera educacional, busquei outras oportunidades em diferentes níveis de ensino com intuito de ampliar meus horizontes e meus olhares para a Educação. No ano de 2014, obtive aprovação no processo seletivo para Professor Substituto do Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes), campus Cachoeiro de Itapemirim - ES, vindo a exercer o cargo de Professor da Educação Básica, Técnico e Tecnológico, ocupando uma vaga no Curso Superior de Licenciatura em Matemática. Nesse mesmo ano, iniciei uma Especialização em Educação Profissional Integrada à Educação de Jovens e Adultos – PROEJA, pelo Ifes campus Vitoria - ES, vindo a concluí-la no ano posterior. Em busca de expandir ainda mais minha formação, encetei e finalizei em 2015 minha terceira Especialização em Docência do Ensino Superior pela Universidade Cândido Mendes – UCAMPROMINAS/MG.
Durante minha atuação como professor do Curso Superior de Licenciatura em Matemática, tive a oportunidade de atuar com diferentes componentes curriculares, aqueles relacionados à Matemática e à Educação Matemática. Todos eles me proporcionaram (re) aprender a profissão docente, fazendo-me um profissional melhor e mais capaz.
Enquanto vivenciava essa nova experiência, fui incentivado a realizar a minha inscrição no processo seletivo do Programa de Pós-graduação em Educação em Ciências e Matemática do Ifes, Campus Vitória - ES, em nível de Mestrado Profissional e para o qual obtive aprovação. Diante dessa oportunidade e de dedicar-me exclusivamente ao Mestrado, solicitei meu desligamento do Instituto, cuja saída ocorreu em outubro de 2015.
Dessas experiências (Educação Básica e Ensino Superior) e das leituras sobre a temática (Formulação de Problemas) nasceu esta pesquisa de Mestrado. Nas próximas linhas, detalho um pouco mais a respeito dessa história.
1.4 A PESQUISA: DO NASCIMENTO À CONCRETIZAÇÃO
O nascimento desta pesquisa tem suas raízes não apenas na consistência teórica sobre Formulação de Problemas e sua indicação como prática relevante no ensino de matemática, mas também na Educação Básica e na minha experiência como professor do Curso Superior de Licenciatura em Matemática do Ifes, campus Cachoeiro de Itapemirim - ES.
Enquanto professor da Educação Básica, constantemente me convidavam a realizar substituições em outros níveis de ensino. Em uma dessas experiências, a qual ocorreu em um 5º ano, percebi certo desinteresse dos alunos em resolverem os problemas de matemática propostos pelo professor regente. Nessa ocasião, muitos questionamentos emergiram, tais como: por que o desinteresse em resolver os problemas propostos? Seriam os alunos capazes de proporem seus próprios problemas? Haveriam diferenças entre resolver um problema proposto pelo aluno e um problema proposto pelo professor (a)? Como essa prática poderia ser instaurada na sala de aula?
Retrocedendo rapidamente em algumas de minhas falas, exatamente no momento em que menciono minha experiência com diferentes disciplinas no Curso de Licenciatura em Matemática, quero destacar a “Resolução de Problemas” como um componente curricular que esteve, por um semestre, sob minha responsabilidade.
Enquanto professor regente dessa disciplina aprendi, por meio de diferentes perspectivas, o que é a Resolução de Problemas, algumas de suas características e importância enquanto abordagem metodológica de ensino de matemática. A cada leitura, novas visões e reflexões instauravam-se e, por inúmeras vezes, fizeram-me lembrar momentos inéditos vivenciados na Educação Básica, sobretudo daquela aula na qual os alunos se demonstravam desinteressados em resolver os problemas. As leituras de Dante (2009), Van de Walle (2009) e Onuchic e Allevato (2011) foram minhas primeiras bases teóricas, alimentavam minhas indagações, despertando meu interesse em compreender com maior profundidade os impactos dessa metodologia nas aulas de matemática.
Ao ter acesso ao livro “Formulação e Resolução de Problemas em Matemática: teoria e prática” de Luiz Roberto Dante, me deparei com o seguinte posicionamento do autor: “As crianças podem inventar os próprios problemas. Isso as motivará a ler, compreender e resolver os problemas, porque são seus” (DANTE, 2009, p. 65). Imediatamente, não
hesitei em acreditar que uma possível resposta para meus questionamentos, oriundos da experiência naquela turma de 5º ano, tinha surgido: os alunos possivelmente não se interessaram em resolver os problemas propostos pelo professor pois provalmente não significavam problemas para eles e não os motivava.
Não convencido de que essa poderia ser a única resposta para aquelas indagações, continuei a aprofundar minhas leituras sobre Resolução de Problemas quando encontrei, nos escritos por Dante (2009), características de um bom problema: i) ser desafiador para o aluno; ii) ser real para o aluno; iii) ser do interesse do aluno; iv) ser o elemento desconhecido de um problema realmente desconhecido; v) não consistir na aplicação evidente e direta de uma ou mais operações aritméticas e vi) ter um nível adequado de dificuldade. Com base nessas informações, levantei a hipótese de que os problemas propostos pelo professor poderiam não ter englobado todas ou algumas dessas características.
Em busca de conhecer e compreender melhor sobre a Formulação de Problemas, encontrei nos trabalhos de Chica (2001) e Diniz (2001) a possibilidade de aprofundar meus estudos. Em nenhum momento tive convicção de que formular problemas era suficiente para se ter alunos empenhados nas aulas de matemática e interessados na resolução de problemas, mas acreditei que a Formulação poderia ser um “algo a mais” nas aulas de matemática.
Aos poucos propus, na disciplina de Resolução de Problemas, momentos de discussões a respeito da Formulação de Problemas e algumas aulas de cunho prático. Mesmo acreditando que formular problemas poderia contribuir de alguma maneira no ensino e na aprendizagem de matemática, o primeiro aspecto identificado por mim foi: a Formulação e a Resolução caminham sempre juntas, ou seja, o sentido de se formular um problema é também buscar a sua solução.
Durante as aulas, discutíamos sobre Formulação, sobre as características dos problemas formulados e as relações matemática existentes nas propostas. Alguns licenciandos chegaram a afirmar que não seriam capazes de formular problemas de matemática, sobretudo se fosse necessário envolver todas as características apresentadas por Dante (2009). Evidentemente, atender todas as características demandava muito trabalho, mas perpassá-las era possível. Em síntese, a Formulação de Problemas era algo muito novo para todos nós (licenciandos e eu, professor), mas
esses momentos práticos impulsionaram o desejo e a curiosidade dos estudantes em formular outros problemas.
As discussões vivenciadas dessa experiência no Ensino Superior me proporcionaram aprender que a Resolução de Problemas é um importante caminho metodológico no ensino de matemática e pode contribuir no desenvolvimento da capacidade investigativa. No entanto, a Formulação de Problemas vem também fomentar os aspectos inventivos e criativos desse processo, estimulando igualmente a motivação de se aprender matemática.
Ancorado aos meus interesses pela temática, temos a construção da Base Nacional Comum Curricular (BNCC) que tem por finalidade apresentar os objetivos de aprendizagem em cada ciclo/ano escolar. Se constituirá de documento base para elaboração das propostas curriculares municipais e estaduais, apontando o míni mo de conhecimento necessário para formar cidadãos que possam participar ativamente em sociedade. Na versão da Base, que se encontra em construção, se evidencia a importância da Resolução de Problemas nas aulas de matemática e de um trabalho pautado na contextualização e abstração, por meio dos quais é possível desenvolver algumas capacidades, tais como: questionar, imaginar, visualizar, decidir, representar e criar. Além disso, alguns dos objetivos de aprendizagem se iniciam com “resolver e elaborar problemas envolvendo...”, o que aponta para a necessidade da implementação da metodologia de Resolução de Problemas, considerando também a Formulação nesse processo. Isso pode ser confirmado em um trecho da própria Base (2ª versão) quando afirma: “[...] indicamos a elaboração de problemas pelos/as próprios/as alunos/as, e não apenas a proposição de enunciados típicos que, muitas vezes, apenas simulam alguma aprendizagem” (BNCC, 2016, p. 132).
Encontramos também no texto da BNCC a importância de encorajar os professores a desenvolverem nos alunos a motivação em aprender, mediante a participação dos mesmos nas experiências escolares, desafiadoras e atraentes. Acreditamos ser mais uma justificativa para a presença da Formulação de Problemas nas aulas de matemática. Sendo assim, a aprovação da BNCC e sua orientação para a aprendizagem por meio da Resolução de Problemas poderá incentivar o avanço das pesquisas em Formulação de Problemas em nível nacional, seja na esfera didática ou cognitiva. Socializamos a ideia de que a Formulação de Problemas pode estimular a representação pessoal, uma vez
que “o aluno é desafiado a problematizar situações do dia a dia usando a sua própria linguagem, vivências e conhecimentos” (BOAVIDA et al, 2008, p. 27), levando-o a refletir aspectos inerentes a conceitos matemáticos e suas relações com o cotidiano.
1.5 ORGANIZAÇÃO DO ESTUDO
Este trabalho foi divido em 7 capítulos, assim definidos:
O Capítulo I, “APORTE TEÓRICO-METODOLÓGICO DA PESQUISA”, trata de discussões a respeito da metodologia desta pesquisa. Destaca aspectos teóricos e metodológicos da Engenharia Didática.
O Capítulo II, “PRIMEIRA FASE: ANÁLISES PRELIMINARES”, dá início efetivamente à coleta de dados. São apresentados estudos relativos à Formulação de Problemas (revisão de literatura e aporte teórico) e aos conceitos de multiplicação e divisão. Além disso, apresenta o ambiente de pesquisa e os dados referente ao primeiro objetivo específico.
O Capítulo III, “SEGUNDA FASE: CONCEPÇÕES E ANÁLISE À PRIORI”, refere-se à delimitação das variáveis macrodidáticas e microdidáticas a partir dos princípios definidos na primeira fase, à construção das atividades e da entrevista.
O Capítulo IV, “TERCEIRA FASE: APLICAÇÃO DE UMA SEQUÊNCIA DE ATIVIDADES”, está estritamente direcionado à aplicação das atividades produzidas na segunda fase e à coleta de dados para a análise à posteriori.
O Capítulo V, “QUARTA FASE: ANÁLISE À POSTERIORI E AVALIAÇÃO”, é relativo ao confronto entre a análise à priori e à posteriori e a apresentação da análise dos dados das entrevistas. Esta quarta fase é referente ao segundo e terceiro objetivos específicos. O Capítulo VI, “PRODUTO EDUCACIONAL”, apresenta o produto educativo oriundo da pesquisa, destacando seus aspectos estruturais. Se trata de um Paradidático com as atividades desenvolvidas e validadas no decorrer desta pesquisa.
O Capítulo VII, “CONSIDERAÇÕES FINAIS”, abarca as conclusões desta pesquisa em consonância com o objetivo geral inicialmente delineado.
2 APORTE METOLÓGICO DA PESQUISA
Este capítulo apresenta, por meio dos estudos de Pais (2011), Almouloud e Coutinho (2008) e Almouloud e Silva (2012), aspectos metodológicos da Engenharia Didática. É uma metodologia que vincula a dimensão teórica ao campo experimental da prática educativa, tão importantes nas pesquisas em Educação Matemática. É nesse princípio que julgamos pertinente sua presença neste estudo, atendendo os objetivos propostos. Discorrer sobre Engenharia Didática é, primeiramente, mencionar a figura de Michèle Artigue, pesquisadora matemática francesa e uma das responsáveis em difundi-la. Assim, segundo Almouloud e Coutinho (2008, p. 65), “a noção de Engenharia Didática emergiu na Didática da Matemática (enfoque da didática francesa) no início dos anos 80”, sendo meritório destacar seu aparecimento em 1982 por Yves Chevallard e Guy Brousseau e, posteriormente, por Michèle Artigue em 1989 (ALMOULOUD; SILVA, 2012). A Engenharia Didática adotada nesta pesquisa é conhecida como “clássica ou de primeira geração”, proposta por Artigue. Além disso, pode ser considerada também como metodologia de ensino, uma vez que brota na Didática Francesa, contudo, utilizamos restritamente seu sentido enquanto metodologia de pesquisa.
Segundo Artigue (1996, p. 247 apud PAIS, 2011, p. 104), a Engenharia Didática “[...] vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-se, em primeiro lugar, por ser um esquema experimental baseado em realizações didáticas em classe [...]”. Para Pais (2011), o interesse pelo seu estudo está caracterizado por ser uma metodologia que trata de uma concepção que contempla tanto a dimensão teórica como experimental da pesquisa em didática. É, portanto, caracterizada como uma forma particular de organização de procedimentos metodológicos de pesquisa em didática da matemática (PAIS, 2011).
A Engenharia Didática traz uma ideia implícita, a qual é similar ao trabalho de um engenheiro. Logo, para Pais (2011, p. 99), é “[...] uma analogia entre o trabalho do pesquisador em didática e o trabalho do engenheiro, no que diz respeito a concepção, planejamento e execução de um projeto”. Segundo Pais (2011), Artigue considerava a Engenharia Didática um trabalho similar a de um engenheiro na realização de um projeto arquitetônico. Apesar de parecerem ambos trabalhos muito próximo,
[...] o educador depende de um conjunto de conhecimentos sobre os quais ele exerce o seu domínio profissional. Entretanto, quando se faz essa analogia entre a didática com o trabalho do engenheiro, torna-se conveniente destacar que o
modelo teórico não é suficiente para suprimir todos os desafios da complexidade do objeto educacional (PAIS, 2011, p. 100).
O pensamento acima sugere considerar que, em se tratando de didática, conhecer a teoria não é suficiente. O modelo teórico, assim denominado pelo autor, não consegue atender e resolver os desafios inerentes à prática de ensino, o que requer necessariamente que as pesquisas em didática da matemática contemplem a experimentação como uma dimensão prática capaz de estudar o fenômeno escolar ou um método a ser aplicado.
A Engenharia Didática tem por sua vez uma característica importante e que está associada ao fazer em sala de aula, ou seja, algo experimental. Dessa forma, Almouloud e Coutinho (2008) e Almouloud e Silva (2012) afirmam que a Engenharia Didática, vista como metodologia de pesquisa, caracteriza-se, em primeiro lugar, por um esquema experimental baseado em "realizações didáticas" em sala de aula, ou seja, na concepção, realização, observação e análise de sessões de ensino, tal qual permite a validação interna a partir da confrontação das análises à priori e à posteriori. Ainda, para Almouloud e Coutinho (2008, p. 66), “tal tipo de validação é uma das singularidades dessa metodologia, por ser feita internamente, sem a necessidade de aplicação de um pré-teste ou de um pós-teste”.
Nesse sentido, poderíamos afirmar que uma pesquisa que adota a metodologia da Engenharia Didática é dita pesquisa experimental, pois segundo Almouloud e Coutinho (2008), existe a comparação entre análise à priori e análise à posteriori, realizadas na validação. Para Almouloud e Coutinho (2008, p. 66)
A Engenharia Didática pode ser utilizada em pesquisas que estudam os processos de ensino e aprendizagem de um dado conceito e, em particular, a elaboração de gêneses artificiais para um dado conceito. Esse tipo de pesquisa difere daquelas que são transversais aos conteúdos, mesmo que seu suporte seja o ensino de certo objeto matemático (um saber ou um saber-fazer).
A Engenharia Didática possui fases, as quais são importantes para o bom êxito da pesquisa. Para Pais (2011), são elas: 1) análises preliminares; 2) concepção e análise à priori; 3) aplicação de uma sequência didática e 4) análise à posteriori e a avaliação. Essas quatro fases distintas entre si, mas interligadas são descritas também por Almouloud e Coutinho (2008), porém com diferentes denominações, a saber: 1) análises prévias; 2) construção e análise à priori; 3) experimentação, análise à posteriori e validação. O autor, apesar de juntar as duas últimas fases como uma terceira fase, faz
distinção no decorrer de sua explicação. Por sua vez, Almouloud e Silva (2012), propõem também as quatro fases da seguinte maneira: 1) análises preliminares; 2) concepção e análise à priori das situações didáticas; 3) experimentação e 4) análise à posteriori e validação. Apesar dessas diferenciações, cremos não serem as denominações motivos que interfiram na execução dessa metodologia. Nesta pesquisa, acompanharemos as definições adotadas por Pais (2011), modificando a nomenclatura da terceira fase para “Aplicação de uma sequência de atividades”.
A primeira fase, intitulada “análises preliminares”, tem como objetivo a “[...] elaboração de um quadro teórico sobre o qual o pesquisador fundamenta suas principais categorias” (PAIS, 2011, p. 101). Ainda, segundo o autor, é o momento de submeter o objeto de pesquisa a análises, constatando possíveis concepções dos seus envolvidos, compreendendo as condições da realidade sobre a qual a experiência será realizada. Sugere-se, para melhor orientar a elaboração desta fase, proceder uma descrição das principais dimensões (epistemológica, cognitiva, didática e pedagógica) que possam se relacionar com o fenômeno a ser estudado e com o sistema de ensino. Essa fase pode ser retomada e aprofundada ao longo do trabalho de pesquisa, ou seja, não se refere apenas a um primeiro nível de organização. Para Almouloud e Coutinho (2008, p. 67) “estas análises preliminares devem permitir ao pesquisador a identificação das variáveis didáticas potenciais que serão explicitadas e manipuladas nas fases que se seguem: a análise à priori e construção da sequência de ensino”, que em nosso caso serão sequências de atividades.
A segunda fase, descrita por “concepção e análise à priori”, consiste na definição, a partir das análises preliminares, das variáveis que serão consideradas na construção da proposta didática. Artigue sugere a escolha de variáveis macrodidáticas ou globais, estas relativas à organização da engenharia como um todo e as variáveis microdidáticas ou locais, por sua vez, relacionadas à organização local da engenharia, ou seja, ao planejamento específico de uma sessão da sequência didática (PAIS, 2011). Assim, “é sobre o conjunto dessas varáveis que se inicia a análise à priori [...]” (PAIS, 2011, p. 102, grifo do autor). Aos olhares de Almouloud e Coutinho (2008, p. 67)
Esses dois tipos de variáveis podem ser de ordem geral ou dependente do conteúdo matemático estudado e suas análises serão realizadas em três dimensões: a dimensão epistemológica (associada às características do saber), a dimensão cognitiva (associada às dimensões cognitivas dos alunos sujeitos da aprendizagem) e dimensão didática (associada às características do sistema de ensino, no qual os sujeitos estão inseridos).
As dimensões apresentadas pelos autores são peças fundamentais no momento da realização da análise à priori. Em suma, tais dimensões devem ser pensadas na esfera das variáveis microdidáticas e são importantes na produção das atividades. As variáveis macrodidáticas também devem ser levadas em consideração no processo de construção do material a ser utilizado. De acordo com Almouloud e Coutinho (2008, p. 67, grifo meu), “o objetivo de uma análise à priori é determinar como as escolhas efetuadas (as variáveis que queremos assumir como pertinentes) permitem controlar os comportamentos dos alunos e explicar seu sentido”. Assim, os autores descrevem que na análise à priori busca-se
Descrever as escolhas das variáveis locais e as características da situação adidática desenvolvida;
Analisar a importância dessa situação para o aluno e, em particular, em função das possibilidades de ações e escolhas para construção de estratégias, tomadas de decisões, controle e validação que o aluno terá. As ações do aluno são vistas no funcionamento quase isolado do professor, que, sendo o mediador no processo, organiza a situação de aprendizagem de forma a tornar o aluno responsável por sua aprendizagem;
Prever comportamentos possíveis e tentar mostrar como a análise feita permite controlar seu sentido, assegurando que os comportamentos esperados, se e quando eles intervêm, resultam do desenvolvimento do conhecimento visado pela aprendizagem (ALMOULOUD; COUTINHO, 2008, p. 67).
A análise à priori deve envolver as variáveis macrodidáticas, mas dar ênfase principalmente nas variáveis microdidáticas, uma vez que são elas fortemente consideradas na construção das atividades.
Direcionando os olhares para a terceira fase, caracterizada pela “aplicação de uma sequência de atividade”, esta consiste na aplicação das atividades construída na fase precedente. Para Almouloud e Silva (2012), é o momento de estabelecer o contrato didático e registrar as observações feitas durante a experimentação. Não somente, é nesta etapa que se pode corrigir a sequência construída, quando as análises locais do desenvolvimento experimental identificam tal necessidade, o que implica retornar à análise à priori, em um processo de complementação. Para Almouloud e Coutinho (2008), a experimentação segue a fase de análise à posteriori que se apoia nos registros recolhidos durante a experimentação, tais como as observações realizadas ou as produções dos alunos. Para eles, esses dados podem ser complementados com metodologias externas, a saber: questionários ou entrevistas individuais ou em pequenos grupos. No olhar de Pais (2011), podem ser utilizados outros instrumentos, tais como: gravações e diálogos.
Finalmente a quarta fase, nominada “análise à posteriori e a avaliação”, consiste de dois momentos distintos. Conforme Pais (2011), a análise à posteriori refere-se ao tratamento das informações obtidas na aplicação das atividades a qual é parte efetivamente experimental. Segundo ele, é importante também atingir a realidade da produção dos alunos, desvelando seus procedimentos de raciocínio. Ao complementar, Almouloud e Coutinho (2008) denotam que a análise à posteriori de uma determinada sessão é o conjunto de resultados extraídos da exploração dos dados recolhidos e que contribuem para melhoria dos conhecimentos didáticos que se têm sobre as condições da transmissão do saber em questão. Enquanto que a avaliação, ainda nesta quarta fase é, para Pais (2011, p. 103, grifos do autor), “obtida pela confrontação entre os dados obtidos na análise à priori e à posteriori, verificando as hipóteses feitas no início da pesquisa”. É, pois, uma avaliação feita
[...] à luz da análise à priori, dos fundamentos teóricos, das hipóteses e da problemática da pesquisa, supondo que: i) a observação foi preparada por uma análise a priori conhecida do observador e ii) os objetivos da observação foram delimitados por ferramentas apropriadas, e estruturados também pela análise à priori (ALMOULOUD; COUTINHO, 2008, p. 68, grifos nossos).
Nesse trecho, os autores denotam que a própria Engenharia Didática traz consigo o método de análise de dados, mas não dispensa quaisquer outros que se fizerem necessários. Sendo assim, compete ao pesquisador verificar a necessidade de outros métodos de análises de dados, caso esta metodologia não seja, por si só, suficiente.
3 PRIMEIRA FASE: ANÁLISES PRELIMINARES
Em consonância com o exposto no aporte teórico-metodológico, esta primeira fase tem como objetivo apresentar:
Alguns estudos (revisão de literatura) sobre Formulação de Problemas, produzidos em âmbito nacional e internacional;
Estudos teóricos sobre “Formulação de Problemas em Matemática”; Estudos conceituais sobre Multiplicação e Divisão;
Apresentação do ambiente de pesquisa e dos sujeitos (alunos e professora) envolvidos no estudo;
Análise do livro didático utilizado pela professora nas aulas de matemática, no que tange: i) presença da prática de Formulação de Problemas; e ii) abordagens do ensino de Multiplicação e Divisão (Abordagem Conceitual e Metodológica);
Resultados de observações em classe referente a: i) presença da prática de Formulação de Problemas nas aulas de matemática; e ii) abordagem do ensino (Dimensão Didática e Epistemológica) de Multiplicação e Divisão; É importante salientar que o último e o penúltimo tópicos contemplam o primeiro objetivo específico desta pesquisa e serão dissertados, assim como os primeiros, em subcapítulos posteriores.
3.1 REVISÃO DE LITERATURA
Buscamos por trabalhos publicados em âmbito nacional e internacional, sejam eles teses, dissertações ou artigos científicos que tratassem de Formulação de Problemas em Matemática. Nos atentamos a sua inserção na Educação Básica e como a temática tem sido desenvolvida nessa esfera do ensino. A revisão de literatura desta pesquisa se constitui de 10 trabalhos, os quais foram selecionados nos seguintes endereços e diretórios: i) RCAAP (Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal) - www.rcaap.pt; ii) ERIC (Educational Resources Informational Center) - www.eric.ed.gov; iii) periódicos CAPES/MEC - www.periodicos.capes.gov.br; e iv) Google Acadêmico - scholar.google.com.br.
Conforme veremos no Quadro 1, a temática é ainda prematura na comunidade científica nacional, o que justifica uma maior incidência de trabalhos internacionais.
Quadro 1 - Panorama da Revisão de Literatura
Título Autor (es) (Ano) Modalidade Local “Formulação e Resolução de problemas matemáticos: um estudo exploratório sobre o pensamento de crianças do Ensino Fundamental” Santiago (2011) Dissertação Centro Universitário Moura Lacerda – SP “Uma experiência didáctica com a Formulação de Problemas matemáticos” Medeiros e Santos (2007)
Artigo Revista Zetetiké
“Formulação e resolução de problemas matemáticos na sala de aula: explicitando o intertexto” Medeiros e Santiago (2013) Artigo XXIV Seminário de Investigação em Educação Matemática, da Universidade do Minho – PT “A criatividade na resolução e formulação de problemas: uma experiência didática numa turma do 5º ano de escolaridade” Pinheiro (2013) Dissertação Instituto Politécnico de Viana de Castelo – PT “Relações entre criatividade, criatividade em matemática e motivação em matemática de alunos do ensino médio” Gontijo (2007) Tese Universidade de Brasília – DF “A Structural Model for Problem
Posing” Artigo
28th Conference of the International
Pittalis et al (2004)
Group for the Psychology of Mathematics Education – USA “An analysis of arithmetic problem posing by middle school students” Silver e Cai (1996) Artigo Journal for Research in Mathematics Education – USA “The development of fifth-grade children’s problem-posing abilities” English (1997) Artigo Educational Studies in Mathematics – AT “An Investigation of Eighth Grade Students’ Problem Posing Skills (Turkey Sample)” Arikan e Unal (2015) Artigo International Journal of Research in Education and Science – CN “Using Problem-posing as an
assessment tool” Lin e Leng (2008) Artigo
10th Asia-Pacific Conference on
Giftedness
Fonte: O autor
Em 2011, Santiago defendeu sua dissertação intitulada “Formulação e Resolução de problemas matemáticos: um estudo exploratório sobre o pensamento de crianças do
Ensino Fundamental”, no Centro Universitário Moura Lacerda em Ribeirão Preto – SP,
cujo trabalho objetivou analisar o pensamento matemático de 60 alunos do ensino fundamental, para identificar suas estratégias cognitivas ao resolver expressões aritméticas (nível quantitativo) e ao formular problemas em forma linguística (nível qualitativo). O universo da pesquisa foi constituído aleatoriamente por meio de sorteio, sendo 15 alunos de cada série escolar, da terceira à sexta séries. Os dados foram coletados por meio de três situações-problemas sugeridas pelo estudo de Busquets (1995/1996), em que é necessário pensar sobre a incógnita para formular e descrever um problema. A formulação aconteceu mediante diferentes operações aditivas e de provas piagetianas (conservação de massa, líquido e quantidades discretas, classificação e seriação) para diagnosticar o pensamento operatório e identificar em que fase de desenvolvimento mental se encontrava o raciocínio do sujeito para cruzar esses dados com a formulação que fez dos problemas.
Em relação a aplicação das situações-problema, a autora apresentou um conjunto aleatório de operações aditivas, para as quais os alunos teriam que completar os termos
que faltavam para que fosse possível verificar a capacidade de operar a adição. Tomou como exemplo: 3+5 = ?; 2+? = 6; ?+4 = 7. Segundo Santiago (2011, p. 45), “[...] alguns resolviam mentalmente, outros contavam nos dedos, e outros desenhavam ao lado das adições para resolvê-las”. Em seguida, foi solicitado aos sujeitos que realizassem o inverso do que eles estavam acostumados a fazer nas aulas: ao invés de partirem de uma proposta linguística para resolverem os cálculos, teriam que formular problemas para as três situações apresentadas. Após fazer a descrição, cada aluno verbalizou o problema para a pesquisadora que lhes dava a oportunidade de realizar modificações nos problemas formulados. De acordo com Santiago (2011), alguns alunos sentiram necessidade de modificar suas escritas, apagavam o problema e o reescreviam.
Em relação às provas piagetianas, a autora utilizou da conservação de massa (bolas de massinha), de líquido (frascos com água), de quantidades discretas (fichas ou botões), de classificação (flores e frutas) e de seriação (bastonetes de madeira), criadas por Piaget, mas adaptadas para o contexto brasileiro por Mantonavi de Assis (1976).
Para as situações-problema, a autora tomou como base a pesquisa de Busquets (1995/1996), na qual a autora apresenta condutas as quais enumerou de A, B, C, D, E e F. Após analisar as formulações, Santiago (2011) criou nomes característicos paras essas condutas, tais como:
A – INDIFERENCIAÇÃO – O sujeito formula ou descreve o problema sem nenhuma tentativa de tornar presente a incógnita;
B – SIMPLES DESCRIÇÃO – O sujeito resolve mentalmente o cálculo e acrescenta a incógnita como dado conhecido, descrevendo o problema como um todo;
C – INVERSÃO DE DADOS – O sujeito resolve mentalmente a operação e introduz a incógnita como um dado conhecido, formulando o resultado final da operação como incógnita;
D – DIFERENTES TENTATIVAS DE APROXIMAÇÃO:
D1. O sujeito situa apenas alguns dados em um contexto real; D2. O sujeito deixa de mencionar alguns dados conhecidos;
E – FORMULAÇÃO EM CONTEXTO - O sujeito formula, em contexto real, os dados conhecidos corretamente, colocando a incógnita como pergunta; F – FORMULAÇÃO CORRETA – O sujeito formula corretamente o problema,
colocando a incógnita em forma de pergunta, seguindo a direcionalidade da operação.
Os resultados para a primeira e segunda situações-problema indicaram que 60% dos alunos encontravam-se na categoria C, enquanto que para a terceira situação-problema tinha-se 40% dos alunos na categoria F. Entre estes últimos, encontravam-se os quatro alunos submetidos às provas piagetianas, diagnosticando-os no período operatório concreto, confirmando assim a necessidade de estruturas cognitivas consolidadas para obterem sucesso.
Segundo Santiago (2011, p. 76-77)
Uma das conclusões a que chegamos é que a Estratégia de Resolução de Problemas, tão valorizada pelo ensino da matemática, atualmente, não deve colocar para os estudantes apenas passos para solucionar problemas já formulados por meio da linguagem escrita, reproduzindo modelos estereotipados, em que se solicita apenas a aplicação mecânica das técnicas aprendidas. Aprender a formular problemas é tão importante quanto resolver problemas. Assim, deve ser objetivo, na aprendizagem das operações aritméticas que desenvolvem as abstrações matemáticas em problemas de contexto empírico, saber formular perguntas adequadas para resolvê-los. Formular perguntas comporta dificuldades que não se destacam apenas na matemática, mas que são facilmente observáveis em outros contextos. A passagem de um sistema simbólico para outro é importante não somente em matemática, mas também nas diversas áreas do conhecimento, para expressar uma realidade ou realidades distintas. Assim fazendo, a criança vai adquirindo agilidade mental suficiente para interpretar a realidade, fazendo uma “leitura de mundo” mais adequada.
Medeiros e Santos (2007), preocupados com a prática de Formulação de Problemas em sala de aula, relataram uma experiência intitulada “Uma experiência didáctica com a
Formulação de Problemas matemáticos” publicada na Revista Zetetiké. Descreveram o
modo como os alunos formulavam problemas matemáticos a partir de diferentes tipos de textos. Compactuaram da concepção de Butts (1998) ao afirmar que Formulação de Problemas é a “arte de formular problemas” e de Pavanello (1994), ao dizer que essa prática se concretiza por meio de fatos, objetos e ideias que já existem, por vezes negando-as, outras vezes enfocando-as sob um ponto de vista ou estabelecendo novas relações. A partir disso, os autores optaram por acreditar que a criatividade, oriunda da “arte de formular problemas”, tem seu desenvolvimento baseado nas experiências vividas pelo indivíduo.
Em seu estudo, propuseram a formulação de onze problemas (cada qual correspondia a uma sessão) por alunos entre 13 e 16 anos, no período de março a maio de 2005 de uma escola da rede pública de Recife - PE. A formulação de problemas aconteceu em grupos de quatro alunos. Quando os autores concluíram as onze sessões, convidaram os alunos a responderem um questionário composto pelas seguintes perguntas: 1) ao longo das onze sessões de formulação de problemas, você percebeu a existência de um tema comum a todos os textos? Diga por quê; 2) esse tema tem a ver com o ensino da Matemática? Diga por quê e 3) no seu cotidiano, você se apercebe desse tema? Em que situações? Explique.
Das análises, concluíram que os discentes iniciaram um processo de compreensão sobre a Formulação de Problemas e estabeleceram uma relação entre a matemática e o pensamento contextualizado e crítico, além de terem constatado que os problemas formulados eram, em sua maioria, de caráter aberto. Esse processo contribuiu para o desenvolvimento da criatividade e da cidadania. Todos os alunos compreenderam que os textos tratavam do papel de exercer a cidadania, confirmando assim as hipóteses dos autores. Dessa forma, inferimos a capacidade dos alunos de se apropriarem de textos para a formulação de problemas, a presença da criatividade nesse processo e que os educandos são capazes de proporem problemas abertos, que possibilitam outras discussões e investigações.
Medeiros e Santiago (2013), preocupadas com a temática, publicaram o trabalho “Formulação e resolução de problemas matemáticos na sala de aula: explicitando o
intertexto”, no XXIV Seminário de Investigação em Educação Matemática da
Universidade do Minho - PT, que objetivou verificar como o professor e os alunos de uma turma do 1º ano do Ensino Médio, que se encontravam na faixa etária dos 14 aos 16 anos, de uma escola pública estadual de Campina Grande - PB, concebiam a formulação e a resolução de problemas matemáticos e compreender como estes alunos formulavam e resolviam problemas matemáticos a partir de diferentes tipos de texto. Para tanto, realizaram entrevistas semiestruturadas com o professor e, com os alunos, aplicaram questionários e fizeram observações.
Concluíram afirmando que o professor concebia a Formulação e Resolução de Problemas como uma metodologia de ensino eficaz, pois possibilita os alunos a compreenderem melhor a matemática. Os alunos encaram a formulação como
importante, porém difícil, e a resolução, como fácil, por vezes difícil e importante. Os problemas formulados se constituíam, na maioria das sessões, de questões fechadas. O intertexto foi explicitado pouquíssimas vezes, o qual se referia ao meio ambiente (Projeto Tamar) o que denotava a necessidade de desenvolver cada vez mais a capacidade de interpretação dos alunos.
Diante disso, as autoras sugerem que a Formulação e Resolução de Problemas estejam mais presentes nas aulas de matemática, para que seja possível potencializar as capacidades críticas dos educandos, potencializando a interpretação de texto.
Ao formular e resolver problemas, é possível desenvolver a criatividade, conforme apontado por Medeiros e Santos (2007). Assim, com olhares para a criatividade nas aulas de matemática, Pinheiro (2013) defende sua dissertação “A criatividade na resolução e formulação de problemas: uma experiência didática numa turma do 5º ano
de escolaridade”, no Instituto Politécnico de Viana do Castelo, em Viana do Castelo –
PT. O propósito da investigação é analisar de que forma poderia ser desenvolvida a criatividade dos alunos através da Resolução e Formulação de Problemas, tendo em conta a tipologia de tarefas e analisando as representações que os alunos utilizavam nas suas resoluções. Foram selecionadas 14 tarefas, sendo 7 de resolução e as demais, de formulação. Foi utilizada uma metodologia de natureza qualitativa e interpretativa, segundo um estudo de caso. As investigações ocorrem em díade, isto é, em pares. Segundo a autora, os dados possibilitaram concluir que os alunos demonstraram empenho, interesse e motivação. As propostas indicaram que os discentes pensam diversificadamente, o que os permite tomar diferentes posições no confronto de situações problemas, além de florescer o potencial criativo, dando liberdade para comunicarem-se criativamente. Assim, concluiu que as tarefas abertas promovem o potencial criativo dos alunos, despertando o gosto pela descoberta. A autora finalizou sua pesquisa ressaltando que
Nesta era de fantásticas mudanças, os alunos devem sentir que a aprendizagem em contexto escolar emerge de explorações matematicamente ricas resultantes da resolução de situações problemáticas, onde eles próprios criam, partilham ideias e raciocínios, promovendo o pensamento matemático bem como o pensamento criativo, encarando a matemática positivamente e tornando-se cidadãos ativos e críticos na sociedade (PINHEIRO, 2013, p. 140).
Ainda em nível de criatividade, Gontijo (2007) em sua tese intitulada “Relações entre criatividade, criatividade em matemática e motivação em matemática de alunos do
ensino médio”, defendida na Universidade de Brasília – DF, investigou relações entre criatividade, motivação em matemática e criatividade em matemática. Apontou a Formulação e Resolução de Problemas como estratégias para se desenvolver a criatividade em matemática. Participaram 100 alunos da 3ª série do ensino médio de uma escola particular do Distrito Federal, localizada na cidade de Taguatinga, tendo entre 16 e 18 anos, sendo 50 do gênero masculino e 50 do feminino.
Para avaliar a criatividade nos problemas formulados, utilizou três instrumentos, a saber: Testes Torrance de Pensamento Criativo – TTCT (TORRANCE, 1974, 1990), Testes de Criatividade em Matemática (GONTIJO, 2005b) e Escala de Motivação em Matemática (GONTIJO, 2005a). Talvez por se tratar de uma pesquisa da área de psicologia, fez a análise dos dados por gênero (masculino e feminino), orientada pelos seguintes questionamentos: 1) existem diferenças entre alunos do gênero masculino e feminino em relação à criatividade? 2) existem diferenças entre alunos do gênero masculino e feminino em relação à criatividade em matemática? 3) existem diferenças entre alunos do gênero masculino e feminino em relação à motivação em matemática? 4) existe relação entre criatividade e criatividade matemática? 5) existe relação entre motivação e criatividade matemática?
O autor utilizou o TTCT para analisar o nível de criatividade geral dos alunos. Esse teste é composto por dois tipos de grupos: um que avalia a criatividade por meio de palavras e outro por meio de imagens. Para manter qualidade e veracidade dos dados, a aplicação e a correção do teste aconteceram de acordo com as orientações dos Manuais de Avaliação da Criatividade por Figuras (WESCHLER, 2004a) e de Avaliação da Criatividade por Palavras (WESCHLER, 2004b). Nesse pensamento, as respostas dos alunos foram avaliadas nas categorias: fluência, a flexibilidade e a originalidade. Gontijo (2007) apresenta a fluência como a abundância ou quantidade de ideias apresentadas em cada subteste; a flexibilidade como a capacidade de gerar distintas categorias de respostas em cada uma das situações indicadas; a originalidade referente as respostas consideradas infrequentes ou incomuns e que não também não constam no manual. Foram utilizados quatro subtestes, sendo dois deles com figuras e os outros dois com palavras, conforme descreve o TTCT. Os testes relacionados a figuras foram: i) completando figuras, no qual solicitou que os alunos completassem figuras juntando linhas criadas por eles produzindo desenhos interessantes, que pudessem expressar
