Análise à posteriori da Atividade 3

Com base na análise à priori, iniciaremos as discussões a partir da Dimensão Didática, primeiramente proposta no Quadro 5.

Dimensão Didática

Que a proposta, a partir da resolução de um problema inicial, contribua na formulação de problemas

O objetivo desta etapa é verificar se a história “Um passeio a lanchonete” contribui na formulação de problemas e de problemas que envolvem a Dimensão Epistemológica, discriminada na análise à priori. Além disso, verificaremos quantos problemas foram elaborados, apresentando alguns deles como exemplo.

No decorrer da proposta, os alunos foram convidados a completar o menu apontando possíveis comidas e bebidas daquela lanchonete. A questão que direcionou essa atividade foi a seguinte: “O que você acha que tinha naquele menu? ” Não houve dificuldades na realização desta parte na história, contudo alguns alunos questionaram

se havia uma quantidade máxima de produtos que eles poderiam estipular. Foi especificado que poderiam fazer o menu da maneira que eles gostariam, com pouco ou muitos produtos. Alguns alunos, além de apontarem as bebidas e comidas, também estavam preocupados com os valores que deveriam direcionar, como poderemos ver nas Figuras 53 e 54.

Figura 53 - Menu do aluno A25-10

Fonte: Arquivo do autor

Figura 54 - Menu do aluno A27-11

O menu criado por cada um foi utilizado na resolução do próximo questionamento proposto na história e, assim como o aluno A25-10, outros participantes também estipularam preço para os produtos. Mais adiante, perceberam que não era preciso utilizá-los, uma vez que a pergunta era relativa a possibilidade de escolhas, o que necessariamente não envolve a utilização dos preços.

A história narra que os dois amigos ficaram muito contentes com a diversidade de bebidas e comidas relacionadas no menu (aquele criado pelos alunos e que supostamente seria o da lanchonete), mas muitas dúvidas surgiram quanto as possibilidades de escolherem o que beberiam e comeriam. Nesse momento, os discentes foram questionados: “Você sabe dizer de quantas maneiras é possível

escolher uma bebida e uma comida do menu”? Os alunos foram relatando que pareciam

ter várias possibilidades, contudo não sabiam dizer numericamente. Podemos ver uma resolução incompleta na Figura 55 abaixo.

Figura 55 - Resolução do aluno A22-11

Fonte: Arquivo do autor

Diante dessas evidências, sugerimos (professora Marta e pesquisador) que os participantes relacionassem cada uma das bebidas com cada uma das comidas de seus menus, seguindo a ideia do esquema abaixo que representa uma possível bebida e quatro possíveis comidas.

Comida 1 Comida 2 Bebida Comida 3 Comida 4

Com base nesse esquema, é possível perceber que uma mesma bebida pode ser consumida com quatro diferentes tipos de comida e, portanto, conclui-se que são 4 diferentes escolhas. Traduzindo essa representação em uma dimensão numérica, teríamos uma multiplicação entre a quantidade de bebidas e a quantidade de comidas, logo 1x4 = 4 possibilidades. Mesmo diante dessas discussões, identificamos que 6 alunos realizaram todos os esquemas que representavam as escolhas para o seu menu; 8 alunos concluíram parcialmente esta parte da atividade, relacionando somente alguns casos; 8 alunos realizaram direto a operação de multiplicação entre as quantidades de bebidas e comidas e 1 aluno não fez esta parte da atividade. Abaixo, apresentaremos um exemplo para cada uma dessas análises.

Figura 56 - Menu e resolução das possibilidades do aluno A04-10

Fonte: Arquivo do autor

Figura 57 - Menu e resolução das possibilidades do aluno A21-11

Figura 58 - Menu e resolução das possibilidades do aluno A18-11

Fonte: Arquivo do autor

Quando concluíram as questões decorrentes da história, iniciaram a formulação dos seus problemas com base no seguinte comando: “Agora, formulem um problema no qual é possível também fazer diferentes escolhas. Após, você deverá apresentá-lo para a turma e contar como você o resolveu! Vamos lá!? ” Apesar das dificuldades relacionadas a esse tipo de problema, não demorou muito para que as primeiras construções eclodissem e apresentassem características de situações envolvendo combinatória. Evidentemente, uma parte da turma necessitou de ajuda na formulação com respeito a ideia escolhida, a começar a escrever o problema e até mesmo a criar uma situação. Com base nos dados coletados, identificamos 23 problemas formulados pelos alunos, os quais esperamos que sejam de raciocínio combinatório. Essas produções serão melhor discutidas na próxima Dimensão intitulada de “Dimensão Epistemológica”. É interessante apontar que as perguntas dos problemas não necessariamente foram traduzidas por “quantas possibilidades diferentes...” ou “de quantos modos diferentes...”, mas foram escritas do seguinte modo: “quantos jeitos podemos fazer [...]”, “quantas vezes elas poderiam [...]”, “quantas formas posso [...]”, “quais maneiras [...]”, etc.

Diante dessas primeiras análises, poderíamos dizer que a atividade “Um passeio a lanchonete” contribuiu na Formulação de Problemas, pois a proposta, para além de abordar um raciocínio combinatório, propiciou momentos de discussões a respeito desse tipo de problema levando o aluno a se envolver em reflexões, ações essas que oportunizam pensar em outras situações que poderiam representar a combinatória.

Dimensão Epistemológica

Que os problemas formulados sejam de raciocínio combinatório, cuja resolução envolva a multiplicação ou a divisão

Que alguns ou todos os problemas desta Dimensão possibilitem discussões acerca do enunciado, da resolução ou da solução

O início das discussões nesta Dimensão versa a respeito do que esperávamos encontrar nos problemas formulados: o raciocínio combinatório. Conforme as análises da Dimensão Didática, identificamos o total de 23 formulação das quais somente 19 apresentam o raciocínio combinatório no campo da multiplicação. A este ponto, analisaremos alguns desses exemplos em busca de verificarmos se de fato podem ser resolvidos por meio de uma multiplicação e trazem corretamente o raciocínio combinatório. Tomaremos como exemplo os problemas formulados por A02-11 (Figura 59) e por A12-10 (Figura 60).

Figura 59 - Problema do aluno A02-11

Fonte: Arquivo do autor

No problema de A02-11, encontramos a possibilidade de discutir o raciocínio combinatório. Segundo Vergnaud (2014), esse tipo de raciocínio é um exemplo de produto cartesiano, que em nosso caso ocorre entre dois conjuntos. No entanto, em relação a escrita do problema, a pergunta precisaria sofrer alguns ajustes pois “quantas

vezes ela poderá usar a roupa” não é a mesma coisa que “quantas maneiras diferentes ela poderá se vestir”. Mais uma vez, vemos a necessidade de realizar intervenções, conforme sugere Chica (2001). Para a primeira, poderíamos ter como respostas, por exemplo, “poderia usar 80 vezes a calça”, que é diferente de “poderia ser vestir de x maneiras”. No mais, é um problema que poderia ser utilizado para fins de aprendizagem e discussão sobre o raciocínio combinatório.

Para esse problema, poderíamos ter dois diferentes caminhos de resolução. O primeiro, tendo por base uma esquematização e realizando a soma das combinações ou o segundo, utilizando uma multiplicação. Para melhor compreensão, vejamos abaixo como se estruturaria a primeira resolução.

Dessa esquematização, que na combinatória é chamada de “diagrama da árvore”, podemos visualizar perfeitamente a quantidade de maneiras que a Stefany poderia se vestir: 12 possibilidades. Se pensarmos na segunda resolução, poderíamos associar esse diagrama a uma multiplicação da quantidade de “peças superiores” (3 peças) por “peças inferiores” (4 peças), resultando em 12 maneiras diferentes.

O outro problema que analisaremos é relativo a uma pastelaria que, por sinal, foi idealizado e tem o nome de uma das colegas da sala. Assim, tivemos que cobrir o nome da pastelaria para manter o sigilo das informações pessoais dos participantes. Vejamos esse problema na Figura 60.

Figura 60 - Problema do aluno A12-10

Fonte: Arquivo do autor

Não diferente do problema anterior, esta proposta também pode ser resolvida seguindo os mesmos raciocínios anteriores: diagrama da árvore ou multiplicação. No entanto, cada vez que a quantidade de itens aumenta, fica inviável representar pelo esquema as possibilidades. Para esse problema, temos 5 tipos de pastéis e 5 tipos de bebidas. Contudo, é descrito no enunciado que o pastel de palmito não podia ser feito, então devemos considerar somente 4 tipos de pastéis. Com essas informações, a resposta do problema é representada pela multiplicação 4x5 = 20 possibilidades de escolher uma bebida e comer um pastel. Vale ressaltar ainda que a pergunta “quantas vezes elas poderiam comer” é um tanto quanto ampla demais, visto que qualquer pessoa pode comer quantas vezes quiser em um estabelecimento. Sendo assim, julgamos ser necessário modificar a escrita da pergunta para reduzir a amplitude de análise e manter o direcionamento para o raciocínio combinatório, mesmo que esse aparentemente já esteja subentendido.

Relativo à segunda parte das análises dessa Dimensão Epistemológica, analisaremos quantos desses 19 problemas, que já são de raciocínio combinatório, possibilitariam discussões acerca dos seus enunciados, das suas resoluções ou das suas respostas. Após análises, detectamos 12 formulações que atendem esse quesito e serão brevemente analisadas nos próximos parágrafos.

Temos os problemas elaborados por A12-10 e A02-11 que já foram anteriormente analisados no decorrer desta Dimensão. Vimos que eles necessitariam de alguns ajustes na pergunta a ser respondida, para que pudessem caracterizar ainda mais o raciocínio combinatório. Similarmente, o problema de A22-11 tem boas intenções ao perguntar “Fale um jeito de comer isto”, mas poderia ser melhor aproveitado se sofresse a seguinte mudança: “Fale de quantas maneiras Pedro e Juca podem escolher um chips de batata, um Milk Shake e um sorvete”?

A proposta elaborada por A24-10 retrata uma festa de aniversário na qual a pessoa ganhou 4 (quatro) peças de roupas e ela quer se vestir de duas formas. Nesse caso, a pergunta é: “Como poderá fazer essa conta”? Esse problema não deixa de ser de combinatória, porém o autor não especifica quais são as peças de roupa (camisa, calças, bermudas, etc.) e se a pessoa é do sexo feminino ou masculino. Pode-se também discutir sobre a necessidade de se fazer todos os cálculos, visto que o desejo é vestir-se somente de duas formas diferentes.

Referente ao problema de A11-10, temos uma história na qual uma menina sairá com outras suas colegas para uma festa, mas o problema reside na escolha da roupa que uma delas irá. Nesse sentido, não há uma pergunta no problema, mas uma afirmação: “Ajude-a”. A autora esquematizou possíveis combinações, das quais originaria a escolha para ajudar a referida colega. Assim, esse problema não traz uma pergunta que reflete exatamente uma combinatória, mas poderia ser um potencial para discussões em sala de aula no que tange transformá-la nessa perspectiva. Essa mesma análise poderia ser feita na proposta de A04-10 e A17-15.

No escopo do problema de A21-11, acontece algo semelhante com proposta de A11-10 no que se refere a apresentação de possíveis combinações. É apresentada uma história de duas amigas que foram à sorveteria e tinha dificuldades em escolher a calda do sorvete. A pergunta do problema é: “Vamos ajudar ela a escolher a calda”? Nesse problema, poderia ser discutido que a resposta já estaria visivelmente clara, uma vez que nas combinações só aparecem 3 tipos de calda e, logo, bastaria escolher uma delas. Assim, reformular a pergunta do problema e especificar os sabores dos sorvetes e das caldas no enunciado, poderiam ser ações que o tornaria ainda mais interessante.

Em relação à formulação de A27-11, poderíamos salientar que o problema precisaria sofrer algumas modificações para torná-lo um pouco mais entendível e “mais

combinatório”. O autor relatou a história de dois amigos que saíram da academia, foram a uma pastelaria e lá “pediram” 2 pizzas e uma Coca-Cola e 2 pastéis e um guaraná. Tem como pergunta: “Quantos jeitos diferentes eles podem fazer”? Nesse problema, a palavra “pediram” já inviabilizaria a possibilidade de diferentes escolhas, visto que a escolha já teria sido feita e, para torná-lo ainda “mais combinatório” (vemos alguns vestígios na sua escrita original) seria necessário trocar a palavra “pediram” por “o cardápio tem...”. Assim, uma possível escrita seria: “o cardápio tem 2 tipos de pizza, 2 tipos de pastel e 2 tipos de refrigerante”. Entendemos, portanto, que é um problema que geraria boas discussões em sala de aula.

O problema de A13-10 é um tanto quanto interessante pois o autor traz, no decorrer da história, vários objetos para serem escolhidos. O enredo diz respeito a uma viagem a ser feita na Aparecida do Norte e cuja mala de roupas ainda estava sendo finalizada. Para a viagem, seriam levadas saias, blusas, shorts, vestidos, macaquinhos, calças, sutiãs, calcinhas, pijama, toalha e blusas de frio. A pergunta do problema é o seguinte: “Quantos looks vou poder usar”? Esse problema é essencialmente combinatório, porém existem roupas que não tem como ser utilizadas em combinação com outras, como por exemplo: vestidos e calças. Nesse sentido, seria necessário definir grupos (pelo autor ou em discussão na sala de aula) de peças que poderiam ser combinadas para que os looks fizessem sentido.

Por fim, os problemas de A23-10 e A19-11 foram elaborados pensando na compra de sorvetes. No primeiro, foram dados 5 sabores de sorvetes, 4 recheios e 4 cores para as pazinhas do sorvete. No segundo, o autor especificou 10 tipos de sabor de sorvete e 5 caldas. Em ambas as propostas, o interesse era saber de quantas maneiras diferentes uma pessoa poderia tomar sorvete (levando em consideração as especificações de cada problema). Entretanto, em nenhum deles foi especificado se seriam compradas somente uma bola de sorvete ou mais de uma. Isso poderia interferir em muito na resolução e, consequentemente, na resposta ao problema. São dois casos interessantes para serem discutidos em sala de aula.

Sendo assim, esses problemas e as demais 7 propostas poderiam ser utilizadas em sala de aula com intuito de discutir o raciocínio combinatório e desenvolver a criticidade. São propostas interessantes e criativas. Formular problemas é uma prática que pode

despertar a criatividade dos alunos, uma vez que “[...] tem sido vista como uma característica de atividade criativa [...]” (SILVER, 1994, p. 20).

Outras Especificações

Que seja atribuído nome aos personagens e outras possibilidades de contextos para o raciocínio combinatório

Que os alunos expressem, nos problemas formulados, seus interesses pessoais

É comum, no processo de formulação do problema, iniciar a proposta escolhendo um contexto e um personagem que comporão o enredo. Assim, identificamos que a maioria das formulações conta com a apresentação de um personagem ou mais de um. Em alguns casos, o próprio autor se colocou no problema, apresentando um contexto no qual supostamente vivenciou ou poderia vivenciar. A formulação é uma prática que considera vivências, conforme vimos e veremos nas justificativas dos alunos e, segundo Chica (2001), pode ser um caminho para se desenvolver o espírito crítico, a argumentação e a observação. No enunciado dos problemas, os contextos foram os mais diversos como, por exemplo, uma sorveteria, uma loja de roupas, uma pastelaria, um aniversário, uma viagem, um almoço beneficente ou um bar.

Evidentemente, essas escolhas tiveram como ponto de partida alguns interesses pessoais dos próprios formuladores. Na Figura 61 e 62, podemos ver a justificativa dos autores no que diz respeito a escolha dos personagens e dos produtos escolhidos no problema.

Figura 61 - Justificativa do aluno A18-11

Figura 62 - Justificativa do aluno A28-11

Fonte: Arquivo do autor

Em relação ao contexto escolhido para o problema, podemos dizer que muitos deles retratam um caso vivido pelos alunos ou que ainda vivenciarão. As Figuras 63, 64 e 65 trazem três justificativas no escopo de um contexto vivido, enquanto que a Figura 66, um caso que ainda será vivenciado pelo formulador.

Figura 63 - Justificativa do aluno A23-10

Fonte: Arquivo do autor

Figura 64 - Justificativa do aluno A27-11

Fonte: Arquivo do autor

Figura 65 - Justificativa do aluno A21-11

Figura 66 - Justificativa do aluno A13-10

Fonte: Arquivo do autor

Para além dessas justificativas, identificamos uma outra redigida pelo aluno A04-10 na qual deixa claro que a formulação daquele problema foi um caminho para “despertar” o seu conhecimento a respeito das várias possibilidades de se vestir. O desejo, segundo Chica (2001), é que nossos alunos, por meio da formulação, “[...] sejam agentes de suas aprendizagens, se tornem leitores e escritores em matemática, que produzam algo que tenha sentido e utilidade para eles”. A afirmativa do aluno A04-10 foi um tanto interessante, pois nos indica possíveis aprendizagens por meio dessa prática e da resolução do próprio problema formulado. Vejamos, portanto, sua justificativa na Figura 67.

Figura 67 - Justificativa do aluno A04-10

Fonte: Arquivo do autor

Assim, entendemos que os problemas formulados carregam consigo uma relação contexto x autor, perpassando por motivos pessoais e interesses em descobrir respostas. É nesse sentido que indicamos o trabalho, em sala de aula, com esses problemas pois suas soluções podem ser importantes para os alunos, em especial para os próprios formuladores. Além disso, “[...] o objetivo maior da formulação de textos de problemas é a formação de um indivíduo autônomo frente aos problemas, capaz de enfrentar obstáculos e desenvolver suas habilidades [...]” (CHICA, 2001, p. 173).

6.1.3.1 Avaliação da Atividade 3

Diante do exposto nas análises, concluímos que a atividade “Um passeio a lanchonete” tem potencial educativo à medida que contribui na formulação de problemas nas aulas de matemática. Dela decorreram formulações de raciocínio combinatório que possibilitariam discussões relativas à multiplicação, podendo ser trabalhados em sala de aula.

As propostas apresentadas pelos alunos carregam consigo motivações, interesses e contextos de grande potencial, uma vez que representam casos vividos ou que ainda serão vivenciados pelos participantes. A partir disso, o trabalho com essas produções pode despertar o interesse dos alunos em participarem das discussões a respeito da combinatória e entusiasmá-los na resolução de problemas.

No término das análises da Dimensão Epistemológica, foram discutidas algumas formulações que apresentaram lacunas em seus enunciados e possibilitariam diferentes entendimentos quanto a sua resolução ou sua solução. Esses problemas trazem consigo o raciocínio combinatório e podem se constituir também de ponto de partida para discussões a respeito da estrutura do problema e coerência entre a pergunta e os dados apresentados no decorrer do enunciado. Segundo Chica (2001), a formulação de problemas pode se constituir de um instrumento de avaliação, a medida que fornece indícios de que os alunos estão ou não dominando determinado conceito matemático. Nesse caso, a própria maneira de elaborar o enunciado e, consequentemente, a pergunta pode trazer vestígios de aprendizagens ou lacunas nesse processo.

Em relação à história, realizaremos a alteração no comando: “Agora, formule um problema no qual é possível também fazer diferentes escolhas. Vamos lá? ” A versão final dessa Atividade encontra-se disponível no APÊNDICE C.