Análise à posteriori da Atividade 5

Vejamos o que diz a primeira Dimensão das análises à priori para a Atividade 5. Dimensão Didática Que a proposta contribua na

formulação de problemas

O objetivo desta Dimensão é verificar se a proposta “Um dever de casa desafiador” contribuiu para que os participantes formulassem os seus problemas. Conforme mencionado, optamos por dividir a turma em duplas (13 duplas) e um aluno realizou a tarefa individualmente. Chica (2001), em seu capítulo “Por que formular problemas”, já aponta a possibilidade desse tipo de organização da classe para que seja proposta a formulação.

A história narra o dever de casa de Carlinhos, o qual estava com muita dificuldade em realizar. Sua mãe, sempre preocupado com seus estudos, ligou para alguns dos seus colegas de sala (que foram considerados os alunos participantes) pedindo-lhes se

podiam ajudar seu filho a realizar a tarefa de casa. A Figura 85 mostra qual era a tarefa a ser cumprida.

Figura 85 - Dever de casa de Carlinhos

Fonte: O autor

Com base no enunciado da questão, os alunos foram convidados a formular um problema. Conforme pôde-se perceber nas ilustrações, o intuito com essa atividade é a formulação de problemas que envolvessem a configuração retangular que, segundo Vergnaud (2014), é um tipo de situação classificada como produto de medidas. Após cuidadosa análise, identificamos o total de 14 problemas formulados pelas duplas e pelo aluno individual. Essas produções abarcaram contextos nos quais as imagens acima se relacionavam.

Nesse sentido, entendemos que a atividade contribuiu na formulação de problemas, pois todos conseguiram formular suas propostas. Independentemente de serem consideradas pertinentes dentro da análise à priori da Dimensão Epistemológica, consideramos que o comando foi atendido. Anunciamos, nos Relatos Substâncias desta atividade, que os participantes sentiram um pouco de dificuldades no momento da formulação, visto que não conseguiam encontrar um direcionamento sobre que tipo de problema deveria ser feito. No entanto, consideramos que essa atividade possui um maior grau de dificuldade, devendo ser discutida e melhor direcionada pelo professor. Para Chica (2001), “é a intervenção do professor que fará com que as crianças progressivamente se apropriem das características de um problema matemático, desde

que haja espaço para questionar os problemas produzidos e refletir sobre eles”. Afinal de contas, estamos diante de “um dever de casa desafiador”.

Dimensão Epistemológica

Que os problemas formulados sejam de configuração retangular, cuja resolução envolva a multiplicação ou a divisão

Que alguns ou todos os problemas desta Dimensão possibilitem discussões acerca do enunciado, da resolução ou da solução

Conforme apontado na Dimensão Didática, foram identificados 14 problemas formulados pelos alunos cujas propostas poderiam ser candidatas a atenderem esta Dimensão. Assim, da análise dos problemas, constatamos a presença de 7 deles na esfera da configuração retangular. Os demais, versavam essencialmente ao cálculo de adição, subtração, multiplicação e divisão em outros contextos (proporção e comparação multiplicativa).

O objetivo desta Dimensão Epistemológica se complementa com a apresentação de análises de alguns dos problemas considerados como de configuração retangular. Assim, apresentaremos três produções (Figuras 86, 87 e 88), cada uma representando uma das imagens proposta no dever de casa de Carlinhos.

Figura 86 - Problema da dupla A03-10 e A22-11

Fonte: Arquivo do autor

A proposta de A03-10 e A22-11 foi desenhada com base na imagem das carteiras de uma sala de aula. O intuito do desenho foi o de induzir a configuração retangular, ou seja, organizar em fileiras (linhas e colunas). A dupla conseguiu formular uma proposta que se encaixasse nessa perspectiva e que poderia ser resolvida por meio de uma divisão. Vejamos como poderíamos representar a configuração retangular desse problema.

O enunciado aponta a existência de “5 cadeiras em cada coluna”, então:

5 linhas

Como podemos ver, as cadeiras estão organizadas em 5 linhas (5 cadeiras em cada coluna) e 7 colunas (7 cadeiras em cada linha). Sendo assim, os cálculos são efetuados comparando a organização das cadeiras em formato retangular, cuja área é encontrada multiplicando o tamanho da base pela altura. Considerando o problema em questão, temos a base do retângulo com 7 unidades e a altura com 5 unidades, pois 7x5 = 35 unidades. Portanto, a resposta é 7 cadeiras e esse caminho (pela multiplicação) pode ser uma proposta interessante para se pensar a resolução do problema. Contudo, como encontrar o número 7? Tentativa ou erro? Há um caminho para encontrá-lo? A resposta para esses questionamentos é a divisão.

O cálculo efetuado para encontrar o número de cadeiras foi a multiplicação, logo tínhamos tanto o valor da base (7 unidades) e o valor da altura (5 unidades). O problema não disse qual era a base, limitando-nos a encontrá-la. Em contrapartida, disse que o total de cadeiras é 35 unidades, então, temos o produto das linhas pelas colunas resultando em 35 unidades. Vejamos:

Número de cadeiras = número de linhas x número de colunas 35 = 5 x y

35/5 = y 7 = y Logo, determinamos a resposta para o problema.

Figura 87 - Problema da dupla A13-10 e A25-10

Fonte: Arquivo do autor

Estamos diante de um problema de configuração retangular, cujo contexto foi pensado tendo por base a imagem das garrafas. O interessante desse problema é que ele possui mais de duas soluções. Não desejamos encontrar uma determinada resposta (mesmo que essa seja necessária para confirmar a representação), mas esboçar as diferentes organizações retangulares para as 40 garrafas. Primeiro, seria necessário pensar em dois números cuja multiplicação resultaria em 40. Vejamos:

10 x 4 = 40 5 x 8 = 40

4 x 10 = 40 8 x 5 = 40

2 x 20 = 40 40 x 1 = 40

20 x 2 = 40 1 x 40 = 40

Podemos ver que essas diferentes multiplicações, que apresentam o mesmo resultado, representariam configurações retangulares diferentes. Por exemplo, poderíamos ter 10 linhas e 4 colunas ou 4 linhas e 10 colunas. São duas representações diferentes. Sendo assim, essas multiplicações poderiam ser consideradas igualmente corretas para o

problema em questão e são as diferentes formas de organizar as 40 garrafas. Não representaremos cada uma delas e deixaremos a cargo do leitor representá-las.

No que se referente ao problema elaborado com base na terceira imagem (pés de árvores), gostaríamos de discutir a formulação da dupla A02-11 e A18-11, apresentada na Figura 88.

Figura 88 - Problema da dupla A02-11 e A18-11

Fonte: Arquivo do autor

A proposta dos autores tem como objetivo descobrir a quantidade de fileiras de pés de manga que seriam necessárias ter, sabendo o total de mudas adquiridas. Segundo o problema, Sr. Camila foi a floricultura e comprou 5 mudas de pé de manga, mas percebeu que tinha que comprar 3 vezes mais essa quantidade. Assim, Sr. Camila comprou 15 mudas a mais, totalizando 20 unidades. No entanto, o problema especifica que já existiam algumas mudas mais desenvolvidas (crescidas) e que, somando-as, Sr. Camila teria no total 30 pés de manga. A pergunta é: Em quantas fileiras ela poderá plantar? Nesse contexto, entendemos por fileira a mesma coisa que colunas, então temos que determinar quais seriam as multiplicações que resultariam em 30. Sendo assim, temos:

10 x 3 15 x 2 5 x 6 30 x 1 3 x 10 2 x 15 6 x 5 1 x 30

A resposta desejada no problema é em relação a quantidade de fileiras (colunas) que Sr. Camila poderia plantar seus pés de manga. Nesse sentido, considerando a coluna como a segunda parcela das multiplicações acima, teríamos que Sr. Camila poderia plantar em 8 fileiras diferentes.

No que diz respeito a segunda parte desta Dimensão Epistemológica, identificamos somente 1 problema que pode acarretar algumas discussões, principalmente a respeito do seu enunciado. Assim, dissertaremos abaixo algumas considerações sobre a produção da dupla A10-11 e A23-10.

A formulação baseou-se na organização de garrafas em caixas. Os autores apresentaram o seu problema da seguinte maneira: “Eu tenho 27 garrafas e 4 caixas tenho 3 fileiras e cabe 9 garrafas na caixa. Quantas caixas encherão ao total? E quantas caixas sobrarão? Esse problema apresenta algumas dificuldades quanto a coerência na organização das informações, mas é possível de ser resolvido. À priori, parece ser entendível que cada caixa tem 3 linhas e 3 colunas, o que resulta no total de 9 garrafas. Em seguida, para encontrar a quantidade de caixas que foram completadas pelas 27 garrafas, bastaria dividir por 9. Essa divisão resultaria em 3 caixas completas e, logo, restaria 1 caixa vazia. Vemos, portanto, que não é um problema que apresentaria muitas dificuldades, mas precisaria ser melhor organizado para que os dados conduzissem à solução do problema. Esse problema apresenta-se como um potencial de discussões em sala de aula por apresentar incompreensões em seu enunciado. Segundo Chica (2001, p. 158),

“[...] é preciso que as crianças leiam o que fizeram, relatem dúvidas e debatam sobre incompreensões, semelhanças e diferentes entre os textos apresentados e possam ainda apontar saídas para as dificuldades encontradas”.

Sendo assim, essas 7 propostas apresentariam potencial educativo para serem trabalhas em sala de aula, não só pela possibilidade de se discutir-se a multiplicação e a divisão na configuração retangular, mas trazem consigo interesses e motivações, tanto debatidos e reafirmados durante nossas análises.

Outras Especificações

Que seja escolhida uma das imagens e atribuído, um contexto e nome (s) ao (s) personagens

Que os alunos expressem, nos problemas formulados, seus interesses pessoais

As discussões desta parte das análises voltam-se para aspectos estruturais do problema, ou seja, para o enunciado, os personagens, o contexto e se as propostas abarcaram alguma das imagens do Dever de Casa de Carlinhos.

Identificamos que todas as 7 produções das duplas e do aluno individualmente remetiam um contexto no qual se encaixava uma das imagens. A imagem das árvores e das garrafas foram as mais utilizadas na hora de formular o problema.

No que concerne os interesses pessoais nos problemas, é quase que natural mantermos a mesma linha de pensamento das análises feitas anteriormente em “Outras Especificações”. Cremos que seja muito difícil um aluno criar um problema no qual não apresente personagens, contexto ou produto de seu interesse. Como já conhecemos das outras análises, os personagens são os amigos, parentes e, até mesmo, o próprio autor. Não seria diferente nestas análises de agora. Nas justificativas das duplas A02-11 e A18-11 e A07-10 e A09-11, encontramos os motivos que o fizeram elaborar o seu problema com determinadas características.

Figura 89 - Justificativa da dupla A02-11 e A18-11

Fonte: Arquivo do autor

Figura 90 - Justificativa da dupla A07-10 e A09-11

Tivemos também justificativas na esfera da motivação e aprendizagem em formular problemas. Muitos alunos se demonstravam interessados por essa prática e sua satisfação é demonstrada, por exemplo, nas justificativas das duplas A13-10 e A25-10 e A11-10 e A26-11, nas Figuras 91 e 92.

Figura 91 - Justificativa da dupla A13-10 e A25-10

Fonte: Arquivo do autor

Figura 92 - Justificativa da dupla A11-10 e A26-11

Fonte: Arquivo do autor

Uma justificativa um tanto inusitada surgiu da dupla A17-15 e A21-11. Cada um escreveu a sua parte, mas os motivos do aluno A17-15 ultrapassaram somente o desejo de colocar um personagem ou um contexto divertido e legal para o problema. Ele, de fato, quis ajudar o Carlinhos com o seu dever de casa e se manifestou decepcionado com alguns amigos que ele pensou que fossem seus amigos. Aparentemente, poderíamos dizer que essa justificativa não tem nada demais, se instaurando somente como um desabafo, mas ao lê-la, dificilmente não deixaríamos de imaginar o quanto ele poderia estar motivado naquele momento para formular o problema. Vejamos seu depoimento na Figura 93.

Figura 93 - Justificativa da dupla A17-15 e A21-11

Fonte: Arquivo do autor

Sendo assim, essas análises indicaram que os alunos formulam problemas envolvendo suas vivências, seus interesses e, por vezes, suas emoções como pode ser visto na justificativa acima. É uma prática que tem muito a contribuir no ensino de matemática, uma vez que considera as motivações e as produções dos alunos como alicerces de ensino e aprendizagem. Segundo Boavida et al (2008), a Formulação de Problemas pode desafiar os alunos a problematizarem situações do seu dia a dia, a partir de sua própria linguagem, vivências e conhecimentos.

6.1.5.1 Avaliação da Atividade 5

Mediante as análises realizadas, a história “Um dever de casa desafiador” apresentou- se como uma atividade de potencial educativo no campo da formulação de problemas que envolve a configuração retangular, podendo, portanto, ser utilizada nas aulas de matemática no ensino de multiplicação e divisão. Constatamos também que se trata de

uma proposta que necessita de uma maior intervenção do professor, visto que não apresenta, como nas demais, um problema a ser resolvido durante o enredo.

As produções dos alunos carregam consigo aspectos motivacionais como, por exemplo, o personagem como amigo querido, contexto que lhe é interessante e produtos que gostavam de consumir. As justificativas dos alunos apontaram, em alguns casos, o gosto de participar da prática de formulação de problemas e a possibilidade de terem aprendido mais ao formular problemas. Ademais, relatam a satisfação de suas criações, apontando ser o problema legal e divertido.

Apesar dos alunos terem tido certas dificuldades no processo de formulação de seus problemas, e isso se deve ao fato de não conseguirem, em um primeiro momento, associar algum problema com as imagens, eles conseguiram elaborar problemas seguindo a configuração retangular. Evidentemente, realizamos algumas intervenções durante a aula na medida que foi necessário discutir o que havia em comum entres as três imagens apresentadas no dever de casa de Carlinhos. Durante as discussões, percebemos que a grande parte dos alunos sabiam e tinham domínio sobre a configuração retangular, mesmo que alguns problemas não tenham sido nessa esfera de pensamento. Foi somente uma questão de relembrar a ideia.

Optamos por realizar algumas modificações na escrita do texto “Um dever de casa desafiador”, visto que ver original carregou consigo algumas incoerências na escrita. Vale ressaltar que nada interferiu na leitura ou no entendimento da atividade, mas é necessário realizar tais modificações a fim de torná-la ainda melhor. A versão final pode ser encontrada no Apêndice E.