6 QUARTA FASE: ANÁLISE À POSTERIORI E AVALIAÇÃO
6.1 SEÇÃO DAS ATIVIDADES: ANÁLISE À POSTERIORI
6.1.4 Análise à posteriori da Atividade 4
Assim como nas demais análises precedentes, iniciaremos as discussões à posteriori a partir da primeira Dimensão empregada na análise à priori desta atividade.
Dimensão Didática Que a proposta, a partir da resolução de um problema inicial, contribua na formulação de problemas
Nosso intuito, nesta Dimensão Didática, é o de verificar se a história “...vezes mais...vezes menos...” contribuiu na formulação de problemas que envolvessem a comparação multiplicação, representada pelas expressões “vezes mais” e/ou “vezes menos”. Esperamos que a vivência, no decorrer da história, com problemas desse tipo possa ser um ponto positivo e que contribua na prática de formulação de problemas. A história tem início com Mariana acompanhando sua mãe em um passeio no centro da cidade. Durante a caminhada, a personagem encontra um panfleto de uma loja de brinquedos e o leva para sua casa. Seu interesse é escolher quais dos brinquedos ela gostaria de comprar e, como ama desenhar, os produziu em seu caderno. Na Figura 68, podemos ver os desenhos de Mariana.
Figura 68 - Desenhos de Mariana
Fonte: O autor
No entanto, ela se esqueceu de colocar os preços desses brinquedos e quando foi procurar pelo panfleto, não o encontrou. Muito esperta, Mariana se lembrava que o barco custava R$ 18,50 e que o preço dos demais produtos se relacionavam. Nessa parte da história, Mariana deixa um recado para os alunos. Vejamos a Figura 69.
Figura 69 - Recado de Mariana para os alunos
Fonte: O autor
Com base nesse recado, os alunos foram convidados a ajudar a Mariana a encontrar os valores dos brinquedos. Nesse momento, os alunos começaram a realizar os cálculos, mas as primeiras dificuldades emergiram, principalmente quando se deparavam com a expressão “vezes menos”. As dificuldades foram aos poucos discutidas, conforme veremos abaixo.
Acerca da expressão “vezes mais”, os alunos não apresentaram muitas dificuldades. Alguns não tinham ainda entendido o seu sentido e que relação ela (a expressão) tinha com a matemática. Aos poucos, foram percebemos (a partir de explicações no quadro) que “vezes mais” se associa à multiplicação e, a partir daí todos conseguiram encontrar os preços dos produtos que estabeleciam essa relação com os demais. Segundo Vergnaud (2014, p. 262), “a análise em termos de operadores-escalares é compreendida facilmente pelas crianças, mas ela implica uma distinção entre medida e escalar [...]”. Ou seja, “vezes mais” e “vezes menos” se constituem de operadores-escalares, enquanto que enquanto que os demais números que se relacionam nesse caso único de espaço de medida, são considerados pelo autor uma medida.
No que se refere a “vezes menos”, foi preciso dar um exemplo e discuti-lo no quando. Essa necessidade emergiu a partir do questionamento de um dos alunos: “Como assim 3 vezes menos”? (Novembro/2016). O exemplo utilizado foi o seguinte: “Eu tenho R$ 10,00 e você tem 3 vezes mais do que eu, quanto você tem”?
Nosso intuito com esse problema não foi o de somente buscar reflexões a respeito da expressão “vezes menos”, mas também entendê-la na relação com “vezes mais”. De acordo com os estudos de Vergnaud (2014), esse exemplo ilustra uma forma de relação
multiplicativa em que os R$ 10,00 e o valor a ser encontrado representam uma medida enquanto que a relação “3 vezes mais”, um operador-escalar. Então, para encontrar a resposta para esse problema é necessário realizar uma multiplicação (medida x operador-escalar = medida).
Como dito anteriormente, os participantes já tinham o conhecimento de que a expressão “vezes mais” se relacionava a uma multiplicação e logo responderam que a resposta para o problema é R$ 30,00. Em seguida, procedemos com a seguinte exclamativa: se você tem três vezes mais o meu dinheiro, eu tenho três vezes menos o seu dinheiro! Até aqui, todos concordaram, pois segundo eles, [...] o meu dinheiro era em menor quantidade (Novembro/2016). Fomos levados a fazer um outro questionamento: se você tem R$ 30,00 e eu tenho 3 vezes menos do que você, quanto eu tenho”? Os alunos ainda não conseguiam enxergar que “ter 3 vezes menos R$ 30,00” é ter uma determinada quantia que cabe três vezes em R$ 30,00. O aluno que levantou a pergunta inicial disse que deveria ser feito “vezes menos” e respondeu que seria uma subtração. De certa forma, a subtração também o levaria a encontrar os R$ 10,00, mas qual o número (medida) que deveria ser subtraído 3 vezes de R$ 30,00 para encontrar a resposta? Percebemos, a partir das suas expressões faciais, que ele não sabia. Essa medida é o valor que estávamos em busca.
Ainda, na procura por novas reflexões, questionamos: se de R$ 10,00 para R$ 30,00 você multiplicou por 3, então qual operação matemática você faz no R$ 30,00 para encontrar os R$ 10,00? Depois de pensarem um pouco, afirmaram que a operação é a divisão. Assim, concluíram que os R$ 10,00 representam 3 vezes menos o valor de R$ 30,00 e que essa expressão se associa a uma divisão.
Decorrido esse diálogo, os participantes concluíram a primeira atividade relativa ao preenchimento dos preços dos brinquedos desenhados por Mariana, conforme podemos ver no exemplo da Figura 70.
Figura 70 - Resolução do aluno A08-10
Fonte: Arquivo do autor
No processo de determinação dos preços, os alunos foram levados a pensar na multiplicação e divisão de uma medida dentro da comparação multiplicativa. A esquematização desse pensamento pode ser vista abaixo.
“Eu sei que o urso custa 2 vezes mais que o preço do barco e 3 vezes menos que o preço da boneca”. Nesse caso, segundo Vergnaud (2014), temos dois esquemas que representam uma multiplicação dentro da comparação multiplicativa.
Barco R$ 18,50 Multiplicação: 18,50x2 = x Urso x Urso R$ 37,00 Multiplicação: 37x3 = x Boneca x
“Eu sei que a bola custa 5 vezes menos que o preço da boneca e 2 vezes mais que o preço do kit de praia”. Para essa afirmativa, temos o caso de uma divisão “busca de uma medida”, conforme os estudos de Vergnaud (2014).
(x 2)
Bola x
Divisão busca de uma medida: 5x = 111
Boneca R$ 111,00
Kit de praia x
Divisão busca de uma medida: 2x = 22,20 Bola R$ 22,20
Após o término desta parte da atividade, os alunos continuaram a leitura da história em voz alta. Foi narrado que Mariana decidiu comprar uma boneca e um barco, mas como não sabia se na hora da compra escolheria mais outro brinquedo, levou no bolsa uma quantia que representava 2 vezes mais que o valor da compra. Nesse momento, foram interrogados: Quanto ela tem no bolso? A resposta para esse questionamento é encontrada somando-se o valor da boneca (R$ 111,00) com o valor do barco (R$ 18,50) e, após, multiplicando o resultado por dois. Assim, o valor que Mariana tinha no bolso correspondia a R$ 259,00. Mais uma vez temos um caso de multiplicação em uma situação de comparação multiplicativa, que segundo Vergnaud (2014), apresenta somente uma categoria de medida e a correspondência é estabelecida entre duas quantidades.
Em seguida, foram convidados a responder a seguinte pergunta: Esse valor é quantas vezes mais ou quantas vezes menos o valor da bola? Os alunos ainda não tinham aprendido a dividir com números decimais, então foram orientados a verificarem quantas vezes R$ 22,20 cabia em R$ 259,00, ou seja, que número multiplicado por R$ 22,20 chega a resposta R$ 259,00. Todos os alunos afirmaram que a conta não dava certo, pois quando multiplicavam por 11, dava um valor menor que R$ 259,00 e quando multiplicavam por 12, dava mais que esse valor. Esse pensamento está correto e a respostas para esse problema é, aproximadamente, 11 vezes mais.
Esse processo de comparar dois valores e saber quanto um deles é maior ou menor que o outro diz respeito a um caso de divisão na comparação multiplicativa que se chama “busca de um escalar, conforme os estudos de Vergnaud (2014). Assim,
(x 5)
esquematizando a pergunta: “Esse valor é quantas vezes mais ou quantas vezes menos o valor da bola? ”, teríamos:
Bola R$ 22,20
Divisão busca de um escalar: 22,20x = 259
Valor R$ 259,00
Na Figura 71, você poderá encontrar uma das resoluções relativas a essas discussões. Figura 71 - Resolução do aluno A07-10
Fonte: Arquivo do autor
Concluída as atividades propostas durante a história, os participantes forma convidados a atenderem o comando da atividade, que sugeria a formulação de um problema. De acordo com o comando, deveria ser formulado uma proposta que envolvesse as expressões “vezes mais” e “vezes menos”. Assim, os dados revelaram o total de 27 formulações que serão analisadas posteriormente na Dimensão Epistemológica.
Sendo assim, a história “...vezes mais...vezes menos” possibilitou a formulação de problemas à medida que “[...] abriu espaço para eles comunicarem ideias, fazerem colocações, investigarem relações e adquirirem confiança em suas capacidades de aprendizagem” (CHICA, 2001, p. 158). Além disso, é uma proposta que leva os alunos a vivenciarem questões relativas à multiplicação comparativa e pode ser um ponto de partida para pensarem a formulação dos seus problemas. Vale ressaltar que emergiram, das formulações, algumas produções que seguiram a lógica apresentada na história, ou seja, problemas que apresentam brinquedos, flores ou roupas para os quais seria necessário determinar seus preços a partir de algumas informações. Outras produções em diferentes contextos também foram apresentas pelos alunos, o que mostra que a história é apenas um ponto de partida para se pensar na comparação multiplicativa.
Dimensão Epistemológica Que os problemas formulados sejam de comparação multiplicação, cuja resolução envolva a multiplicação, a (x x)
divisão de uma medida ou a busca de um escalar
Que alguns ou todos os problemas desta Dimensão possibilitem discussões acerca do enunciado, da resolução ou da solução
Na história de Mariana, emergiram algumas questões para as quais os participantes necessitaram encontrar respostas. Esse processo de resolução tinha como plano de fundo a multiplicação, a divisão de uma medida e busca de um escalar. Sendo assim, analisaremos se as produções são, de fato, de comparação multiplicativa, destacando qual (is) desses planos de fundo se fizeram presente.
Conforme apontado nas análises da Dimensão Didática, foram formulados 27 problemas. Após verificação, concluímos que somente 24 desses retratam a comparação multiplicativa, sendo: 19 formulações com “vezes mais” e “vezes menos” e 5 produções que abarcaram somente a relação “vezes mais”. Adiante, apresentaremos algumas análises relativas a esses problemas formulados.
Figura 72 - Problema do aluno A10-11
Fonte: Arquivo do autor
Na Figura 72, é visível a presença da necessidade de se comparar os preços e determiná-los a partir de algumas relações existentes entre eles. A história traz o
personagem Pedro Henrique que foi a uma loja comprar um presente para sua namorada. Ele comprou uma bermuda que custou R$ 80,00 e uma blusa que custou 2 vezes mais. A pergunta para o problema é: “Qual o valor total da conta”?
Esse problema não apresenta muitas dificuldades, uma vez que o valor a ser utilizado nos cálculos é relativamente simples. Assim, o esquema que representa os cálculos para esse problema é aquele que apresentamos abaixo, em uma relação de multiplicação.
Bermuda R$ 80,00
Multiplicação: 80x2 = x
Blusa x
Segundo Vergnaud (2014, p. 262), “[...] a correspondência é estabelecida não entre quatro quantidades, mas entre duas quantidades, de um lado, e dois objetos [...]” bermuda e blusa, de outro. O valor de R$ 80,00 é considerado por Vergnaud (2014) como uma medida, assim como o valor da blusa. Já o número que multiplica o valor de R$ 80,00 é considerado um operador-escalar. Assim, temos como resposta para esse problema o valor de R$ 160,00, encontrado a partir de uma multiplicação.
Já no problema abaixo (Figura 73), podemos ver a presença das expressões “vezes mais” e “vezes menos”, ambas fazendo parte dos cálculos em busca da reposta. Nessa proposta, o aluno A21-11 narra uma história na qual o personagem Renan (autor desta pesquisa) foi as compras para o Natal. Ele comprou uma camisa para seu pai, um buquê de flores e um par de tênis para sua mãe. A camisa, segunda a autora, custou R$ 58,80, o buquê de flores e o tênis custaram, respectivamente, 2 vezes menos e 3 vezes mais que a camisa. O objetivo do problema é determinar quanto Renan deverá pagar pelo buquê de flores e pelo tênis.
Figura 73 - Problema do aluno A21-11
Fonte: Arquivo do autor
Assim, já conhecido o valor de uma das medidas (camisa), é possível estabelecer as seguintes comparações multiplicativas:
Buquê de flores x
Divisão busca de uma medida: 2x = 58,80
Camisa R$ 58,80
Camisa R$ 58,80
Multiplicação: 58,80x3 = x
Tênis x
Nesse problema, vemos a presença de cálculos relacionados à multiplicação e à divisão busca de uma medida. Sendo assim, o buquê de flores e o tênis custaram, respectivamente, R$ 29,40 e R$ 176,40.
Algumas formulações como, por exemplo, a do aluno A18-11 trazem não só a comparação multiplicativa, mas a realização de outros cálculos, também aritméticos, que contribuem na solução do problema.
(x 2)
Figura 74 - Problema do aluno A18-11
Fonte: Arquivo do autor
É necessário, nesse problema, encontrar o valor da pizza, da feijoada e do refrigerante levando em conta a relação existente entre os seus preços. Sendo assim, se a porção de carne custa R$ 24,00 e a pizza custa 2 vezes menos, então seu valor é R$ 12,00. Já a feijoada, que custa 3 vezes mais que a porção de carne, tem como valor de venda R$ 72,00. Por fim, o preço do refrigerante é R$ 36,00. Estranhamente, o refrigerante é caro demais se pensarmos o seu valor na vida real e isso pode ser um ponto a ser discutido quando esse problema fosse levado para sala de aula como proposta de atividade. Segundo Chica (2001), é importante darmos espaços para os alunos questionarem os problemas produzidos e refletir sobre eles. Esse é um caminho para se pensar na melhoria dos problemas formulados, como por exemplo do caso acima.
Uma outra proposta, assim como todas as demais, merece ser discutida. Trata-se da formulação do aluno A08-10 e que tem como processo resolutivo a divisão busca de um escalar. Essa foi a única produção dentre todas as outras 24 indicadas inicialmente e, pode ser vista na Figura 75.
Figura 75 - Problema do aluno A08-10
Fonte: Arquivo do autor
Conforme narra a problema, Bruna é uma menina que tem 1 boneca e 1 bola. A boneca custou R$ 10,20 e a bola R$ 22,50. O interessante é que a personagem quer saber quantas “vezes mais” é o valor da bola em relação ao valor da boneca. Nesse sentido, evidencia-se a necessidade de obter um operador-escalar que facilmente pode ser encontrado a partir de uma divisão busca de um escalar. Vejamos como se esquematiza esse problema.
Boneca R$ 10,20
Busca de um escalar: 10,10x = 22,50
Bola R$ 22,50
Assim, ao dividirmos o valor da bola pelo valor da boneca encontraremos que a bola custa, aproximadamente, 2 vezes mais que o valor da boneca.
Para além dessas análises, faz parte também desta Dimensão Epistemológica verificar quantas das 24 formulações possibilitariam discussões relativas aos seus enunciados, resoluções ou soluções. Com base em nossos dados e verificações, identificamos o total de 8 produções. Vale lembrar que todas as propostas poderiam gerar questionamentos com relação à solução encontrada pois, em sua maioria, não representam valores
similares aos da vida real. Recordemos, por exemplo, o caso do valor do refrigerante apresentado anteriormente.
Abaixo, apresentaremos algumas breves análises dessas 8 produções.
O problema de A09-11 fala da compra de brinquedo em uma loja, cujo personagem chamado Matheus não tinha levado dinheiro para comprar. Foi informado que o brinquedo custava R$ 750,00 e o outro custava 2 vezes mais. A pergunta do problema é: Vamos ajudar ele? Bem, primeiramente não é possível saber o que exatamente deve ser feito no problema, além de encontrar o valor do segundo produto com relação ao primeiro. Assim, falta uma pergunta mais bem definida e que possa orientar a resolução. Não muito diferente, sucede com o problema de A11-10 quando narra a compra de um jarro de flor em uma floricultura. É dado algumas informações relacionadas aos preços das flores e pede-se somente para ajudar a personagem Larissa a escolher uma delas. Falta, portanto, uma pergunta para o problema.
A proposta de A03-10 também necessitaria de modificações, uma vez que também não apresenta uma pergunta para o problema. Retrata a compra de controle de vídeo game, jogos e DVD, traz o valor de um dos produtos com o qual se poderia encontrar os demais valores. Sem a pergunta, não há possibilidade de resolvê-lo. Algo parecido acontece com a formulação de A26-11 quando também não apresenta uma pergunta para seu problema. Redige a história de uma compra de brinquedos, traz as expressões “vezes mais” e “vezes menos” para caracterizar as relações entre os preços, mas é ausente de pergunta.
Em relação à formulação de A02-11, a mesma narra a compra de sapatos em uma loja. A proposta é interessante, porém a autora diferencia tênis, sapatilha, sapato alto e sapatinho de boneca, faz os desenhos, mas não os especifica. Assim, esse é o detalhe que falta no problema para que ele possa ser melhor compreendido.
Ainda nessa perspectiva de reconstrução do enunciado, apresentaremos a história de A12-10 que fala de uma compra de material escolar. As intenções formam as melhores, porém o problema é muito confuso em relação aos valores e pergunta. A autora especifica o preço do kit de lápis, depois diz que ele custa 4 vezes mais que o valor do caderno e na pergunta, pede para ser determinado o valor do kit de lápis. Ou seja, há incoerência na pergunta e as informações apresentadas no problema. É essa parte que merece atenção e precisaria ser alterada.
Por fim, o aluno A24-10 também apresenta uma produção que necessita de modificações. Ele se coloca no problema e diz que comprou 2 pacotes de Jujubas e levou, no bolso, o triplo desse preço, que segundo ele é R$ 8,80. Depois afirma que cada pacote de Jujuba custa R$ 10,90 e, com base nisso, pergunta quanto sobrará do seu dinheiro. Seu problema gera algumas confusões, uma vez que ele diz que o triplo do valor das Jujubas é R$ 8,80 e depois fala que cada pacote custa R$ 10,90. Assim, é necessário reconstruir a proposta para torná-la melhor e mais compreensível.
Portanto, essas e as demais 16 formulações se constituem de problemas interessantes de serem trabalhados em sala de aula quando o desejo é levar a reflexão e o aprendizado da comparação multiplicativa e desenvolver a capacidade crítica dos alunos.
Outras Especificações
Que seja atribuído nome aos personagens e outras possibilidades de contextos para apresentação da comparação multiplicativa
Que os alunos expressem, nos problemas formulados, seus interesses pessoais
Como discorrido anteriormente, os problemas formulados pelos alunos envolviam diferentes contextos. Foram produções sobre compras de brinquedos, de roupas, de utensilio para a cozinha, de aparelhos eletrônicos (notebook, celular, roteador), de bebidas, de comidas, de flores em uma floricultura e de material escolar. Cada contexto e personagens escolhidos para fazerem parte do problema carregam consigo motivos pessoais de cada aluno. Assim, gostaríamos de apresentar, nas próximas linhas, algumas justificativas redigidas por eles e que demonstram o porquê de suas criações. Nas Figuras 76, 77 e 78, veremos que as formulações visavam uma situação que seria vivenciada pelos alunos ou um produto que gostariam de ganhar.
Figura 76 - Justificativa do aluno A12-10
Figura 77 - Justificativa do aluno A15-11
Fonte: Arquivo do autor
Figura 78 - Justificativa do aluno A06-11
Fonte: Arquivo do autor
Nos problemas de A03-10, A28-11 e A07-10, encontramos a justificativa do porquê de alguns produtos escolhidos na formulação. Muitos outros alunos também demonstraram seus interesses pessoais quanto ao mesmo aspecto, seja no produto ou no personagem escolhido. Vejamos nas Figuras 79, 80 e 81 um pouco desse posicionamento.
Figura 79 - Justificativa do aluno A03-10
Figura 80 - Justificativa do aluno A28-11
Fonte: Arquivo do autor
Figura 81 - Justificativa do aluno A07-10
Fonte: Arquivo do autor
Algumas justificativas dos alunos ultrapassaram as barreiras do “por que formulei meu problema esse jeito? e apresentaram também possíveis indícios de terem aprendido matemática com a prática de Formulação de Problemas. Além disso, ressaltaram — a que tudo indica — terem gostado de formular problemas de matemática e da comparação multiplicativa. Vale ressaltar que foi por meio dessa atividade que os alunos tiveram contato, segundo eles, pela primeira vez, com as expressões “vezes mais” e “vezes menos”. Vejamos o posicionamento dos alunos A26-10, A01-10, A10-11, A04-10, nas Figuras abaixo.
Figura 82 - Justificativa do aluno A26-11
Fonte: Arquivo do autor
Figura 83 - Justificativa do aluno A04-10
Figura 84 - Justificativa do aluno A01-10
Fonte: Arquivo do autor
Assim, mais uma vez evidenciamos os interesses pessoais dos alunos nas suas formulações e por essa prática. É muito gratificante perceber que a Formulação de Problemas foi bem recebida nas aulas de matemática e trouxe motivações para que os alunos se envolvessem em discussões e na resolução de problemas.
Conforme foi sugerido na própria atividade, escolhemos 4 problemas e os discutimos em sala de aula. Nesse momento, os alunos apresentavam os caminhos para se resolvê- los, identificavam possíveis erros que supostamente não possibilitavam iniciar as resoluções, além de apontarem ser legal e divertido conhecer o problema do colega e resolvê-lo. É, de fato, a Formulação de Problemas, um bom caminho para se pensar também o ensino de matemática.
6.1.4.1 Avaliação da Atividade 4
As análises indicaram que a proposta de formulação intitulada “...vezes mais...vezes menos...” contribuiu para que os alunos formulassem os seus problemas e que esses