Elementos de Matemática
Cleide Martins
DMat - UFPE - 2018.1
Turma XM
Objetivos
De nir o conjunto das partes de um conjunto Estudar Partições de um conjunto
Conjunto Potência
O Conjunto Potência ou Conjunto das Partes de um conjunto S é o conjunto de todos os subconjuntos de S, denotado P(S).
Cardinalidade de P(S)
Teorema
Se |S| = n então
|P(S)| = 2n
Demonstração
Para contar o número de subconjuntos de um conjunto S com n elementos, listamos os elementos de S:
x1, x2, x3, . . . , xn
e associamos a cada subconjunto de S um sequência de comprimento n formada por zeros e uns: se a k-ésima posição da sequência tem um 0 então o elemento xk não pertence ao
Notação
A um conjunto de subconjuntos de um conjunto S damos o nome de família de subconjuntos de S
Em outras palavras
Uma família de subconjuntos de S é um elemento de P(P(S))
Geralmente denotaremos famílias de subconjuntos por letras gregas minúsculas.
Partição
Uma partição de S é uma família τ de subconjuntos de S tal que ∅ 6∈ τ
se A, B ∈ τ então A ∩ B = ∅
S = [
A∈τ
Exemplos: partições de Z
Z = {x ∈ Z : x = 2t, t ∈ Z} ∪ {x ∈ Z : x = 2t + 1, t ∈ Z} Z = {x ∈ Z : x = 3t, t ∈ Z} ∪ {x ∈ Z : x = 3t + 1, t ∈ Z} ∪ {x ∈ Z : x = 3t + 2, t ∈ Z} Z = [ 0≤r≤n−1 {x ∈ Z : x = nt + r, n, t, r ∈ Z} = [ 0≤r≤n−1 nZ + rExemplos: partições de Z
Z = {x ∈ Z : x = 2t, t ∈ Z} ∪ {x ∈ Z : x = 2t + 1, t ∈ Z} Z = {x ∈ Z : x = 3t, t ∈ Z} ∪ {x ∈ Z : x = 3t + 1, t ∈ Z} ∪ {x ∈ Z : x = 3t + 2, t ∈ Z} Z = [ 0≤r≤n−1 {x ∈ Z : x = nt + r, n, t, r ∈ Z} = [ 0≤r≤n−1 nZ + rExemplos: partições de Z
Z = {x ∈ Z : x = 2t, t ∈ Z} ∪ {x ∈ Z : x = 2t + 1, t ∈ Z} Z = {x ∈ Z : x = 3t, t ∈ Z} ∪ {x ∈ Z : x = 3t + 1, t ∈ Z} ∪ {x ∈ Z : x = 3t + 2, t ∈ Z} Z = [ 0≤r≤n−1 {x ∈ Z : x = nt + r, n, t, r ∈ Z} = [ 0≤r≤n−1 nZ + rUma partição de R
Como um exemplo de uma partição em um número in nito de partes, considere o conjunto R e de na π = {[n, n + 1) : n ∈ Z} ∅ 6∈ π m 6= n [n, n + 1) ∩ [m, m + 1) = ∅ R = [ P ∈π P
Sistema de Representantes Distintos: SRD
Dado um conjunto S e uma partição σ de S Um SRD para σ é um subconjunto T ⊆ S tal que
∀P ∈ σ |P ∩ T | = 1
O Axioma da Escolha
Um ponto controverso em Lógica Formal é o Axioma da Escolha Toda partição de todo conjunto tem um SRD
Relações entre conjuntos
Uma relação entre dois conjuntos A e B é um subconjunto qualquer de A × B Uma relação (binária) sobre um conjunto S é um subconjunto qualquer de S × S Estudaremos dois tipos especí cos de relações sobre um conjunto S:
relações de equivalência e
relações de ordem
Relações entre conjuntos
Uma relação entre dois conjuntos A e B é um subconjunto qualquer de A × B Uma relação (binária) sobre um conjunto S é um subconjunto qualquer de S × S Estudaremos dois tipos especí cos de relações sobre um conjunto S:
relações de equivalência e relações de ordem
Relação de Equivalência
De nição
Considere uma relação ∝ de nida em S. Dizemos que ∝ é Re exiva se ∀x ∈ S x ∝ x
Simétrica se x ∝ y ⇒ y ∝ x
Transitiva se x ∝ y ∧ y ∝ z ⇒ x ∝ z
Relação de Equivalência
De nição
Considere uma relação ∝ de nida em S. Dizemos que ∝ é Re exiva se ∀x ∈ S x ∝ x
Simétrica se x ∝ y ⇒ y ∝ x
Relação de Equivalência
De nição
Considere uma relação ∝ de nida em S. Dizemos que ∝ é Re exiva se ∀x ∈ S x ∝ x
Simétrica se x ∝ y ⇒ y ∝ x
Transitiva se x ∝ y ∧ y ∝ z ⇒ x ∝ z
Relação de Equivalência
De nição
Considere uma relação ∝ de nida em S. Dizemos que ∝ é Re exiva se ∀x ∈ S x ∝ x
Simétrica se x ∝ y ⇒ y ∝ x
Transitiva se x ∝ y ∧ y ∝ z ⇒ x ∝ z
De nição
Exercício
Construa 4 relações de equivalência sobre
A = {1, 2, 3, 4, 5}
Exercício
Relação de equivalência de nida a partir de uma partição
Considere um conjunto S e uma partição τ de S. De na a relação ∼ sobre S por x ∼ y ⇐⇒ ∃P ∈ τ x, y ∈ P
Proposição
A relação ∼ de nida acima é de equivalência.
A re exividade, a simetria e a transitividade de ∼ são óbvias.
Partição associada a uma relação de equivalência
Considere um conjunto S e uma relação de equivalência ∼ sobre S. Construa uma família τ de subconjuntos de S de nindo para cada x ∈ S
[x] = {y ∈ S : y ∼ x}
Proposição
A família τ de nida acima é uma partição de S De fato,
∅ 6∈ τ
se z ∈ [x] ∩ [y] então z ∼ x, z ∼ y e, por simetria e transitividade x ∼ y, ou seja [x] = [y] segue da construção de τ que S = [
P ∈τ
Partição associada a uma relação de equivalência
Considere um conjunto S e uma relação de equivalência ∼ sobre S. Construa uma família τ de subconjuntos de S de nindo para cada x ∈ S
[x] = {y ∈ S : y ∼ x}
Proposição
A família τ de nida acima é uma partição de S De fato,
∅ 6∈ τ
se z ∈ [x] ∩ [y] então z ∼ x, z ∼ y e, por simetria e transitividade x ∼ y, ou seja [x] = [y]
segue da construção de τ que S = [
P ∈τ
P
Partição associada a uma relação de equivalência
Considere um conjunto S e uma relação de equivalência ∼ sobre S. Construa uma família τ de subconjuntos de S de nindo para cada x ∈ S
[x] = {y ∈ S : y ∼ x}
Proposição
A família τ de nida acima é uma partição de S De fato,
∅ 6∈ τ
Classes de Equivalência
Toda relação de equivalência sobre S de ne uma partição de S. Cada parte da partição é uma classe de equivalência da relação
Mais partições de Z: Congruências
Consider um número xo n ∈ N
De nição
Dizemos que os inteiros a e b são congruentes módulo n se n divide a − b. Com símbolos
Teorema
Congruência módulo n é uma relação de equivalência
Demonstração
Sejam a, b e c inteiros arbitrários
Re exividade: a ≡ a (mod n) pois n divide 0
Simetria: se a ≡ b (mod n) então b ≡ a (mod n)
Transitividade: se a ≡ b (mod n) então tn = a − b e se b ≡ c (mod n) então kn = b − c. Então a − b + b − c = tn + kn, portanto a − c = mn e a ≡ c (mod n)
Teorema
Congruência módulo n é uma relação de equivalência
Demonstração
Sejam a, b e c inteiros arbitrários
Re exividade: a ≡ a (mod n) pois n divide 0 Simetria: se a ≡ b (mod n) então b ≡ a (mod n)
Transitividade: se a ≡ b (mod n) então tn = a − b e se b ≡ c (mod n) então kn = b − c. Então a − b + b − c = tn + kn, portanto a − c = mn e a ≡ c (mod n)
Teorema
Congruência módulo n é uma relação de equivalência
Demonstração
Sejam a, b e c inteiros arbitrários
Re exividade: a ≡ a (mod n) pois n divide 0 Simetria: se a ≡ b (mod n) então b ≡ a (mod n)
Transitividade: se a ≡ b (mod n) então tn = a − b e se b ≡ c (mod n) então kn = b − c. Então a − b + b − c = tn + kn, portanto a − c = mn e a ≡ c (mod n)
Classes de equivalência da congruência módulo n
Inteiros módulo n
A partição de Z em classes de congruência módulo n é denotada por
Zn= Z/nZ
os inteiros módulo n
Zn= {[0], [1], [2], . . . , [n − 1]}
ou
Zn= {0, 1, 2, . . . , n − 1}
Operações com inteiros módulo n
As operações usuais de soma e produto de números inteiros podem ser de nidas para os inteiros módulo n de forma natural
[a] + [b] = [a + b] e
Exercícios
1 Construa as tabelas da soma e multiplicação de inteiros módulo 5 e módulo 6
2 Veri que se essas operações têm um elemento neutro e, caso a rmativo, veri que se os elementos não neutros têm um inverso.
3 Faça uma conjectura sobre o exercício anterior para os inteiros módulo n
