INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E
TECNOLOGIA DA BAHIA
CAMPUS PAULO AFONSO
Gravitação Newtoniana
Prof. Edinelson SantosFísica
1 Introdução
2 Leis de Kepler
3 Aplicações das leis de Kepler
Em meio à polêmica entre o sistema geocêntrico de Ptolomeu e o sistema heliocêntrico de Copérnico, nasceu o astrônomo dinamarquês
Tycho Brahe (1546-1601);
Brahe têm suas convicções abaladas ao descobrir o surgimento de uma nova estrela explodindo (o que contradizia a idéia de céu imutável) e o aparecimento de um cometa além da Lua (na época, os cometas se manifestavam próximos da Terra);
Embora Brahe tenha feito registros inéditos, seu modelo ainda seguia a linha geocêntrica;
Discípulo e assistente de Brahe, o astrônomo alemãoJohannes Kepler
(1571-1630), herda as anotações feitas por Braeh;
1 lei de Kepler
Kepler estabeleceu suas leis para o nosso sistema planetário, mas sabe-se hoje que elas são universais, ou seja, qualquer corpo celeste orbitando em torno de uma estrela, estará sujeito as leis de Kepler.
Primeira lei
Cada planeta descreve uma órbita elíptica e o Sol ocupa um dos focos da elipse descrita pelo planeta.
Figura:Órbita elíptica. Figura:f Na elipse temos: 1P + f2P = constante.
1 lei de Kepler
Consideremos agora um planeta, por exemplo, Marte, realizando sua órbita em torno do Sol.
O semi-eixo maior (metade do eixo maior) é representado por r e é considerado como o raio médio da órbita.
A posição mais próxima do Sol (pontoP) é denominada deperiélioe a
posição mais distante (pontoA) é denominada deafélio.
2 lei de Kepler
A segunda lei de Kepler afirma que:
Segunda lei
Enquanto o planeta descreve sua órbita, o segmento de reta que une o Sol ao planeta cobre (ou “varre”) áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
2 lei de Kepler
Avelocidade areolarvaé a razão entre a área ∆A varrida e o respectivo
intervalo de tempo ∆t:
va=
∆A
∆t.
Exemplo: Um planeta varre uma área de 2000 km2ao se deslocar de P para Q, em 2 s. Se o tempo de M para N também for 2 s, pela 2alei de Kepler, a área varrida entre M e N será a mesma, ou seja, 2000 km2. Lembrando que: va=1000 km2/s.
2 lei de Kepler
Avelocidade areolarvaé a razão entre a área ∆A varrida e o respectivo
intervalo de tempo ∆t:
va=
∆A
∆t.
Exemplo: Um planeta varre uma área de 2000 km2ao se deslocar de P para
Q, em 2 s. Se o tempo de M para N também for 2 s, pela 2alei de Kepler, a
área varrida entre M e N será a mesma, ou seja, 2000 km2. Lembrando que:
3 lei de Kepler
A terceira lei de Kepler afirma que:
Terceira lei
A razão entre o quadrado do período (T2) de translação de um planeta e o
cubo do raio médio de sua órbita (r3) é igual para todos os planetas do
sistema solar.
Considerando TAo período do planetaAcuja órbita tem raio médio rA, TB o período do planetaBcuja órbita tem raio médio rB, e assim sucessivamente, podemos escrever: T2 A r3 A = T 2 B r3 B =T 2 C r3 C = ... =K Assim, T2=K · r3
3 lei de Kepler
A terceira lei de Kepler afirma que:
Terceira lei
A razão entre o quadrado do período (T2) de translação de um planeta e o
cubo do raio médio de sua órbita (r3) é igual para todos os planetas do
sistema solar.
Considerando TAo período do planetaAcuja órbita tem raio médio rA, TB o
período do planetaBcuja órbita tem raio médio rB, e assim sucessivamente,
podemos escrever: T2 A r3 A = T 2 B r3 B =T 2 C r3 C = ... =K Assim, T2=K · r3
3 lei de Kepler
A terceira lei de Kepler afirma que:
Terceira lei
A razão entre o quadrado do período (T2) de translação de um planeta e o
cubo do raio médio de sua órbita (r3) é igual para todos os planetas do
sistema solar.
Considerando TAo período do planetaAcuja órbita tem raio médio rA, TB o
período do planetaBcuja órbita tem raio médio rB, e assim sucessivamente,
podemos escrever: T2 A r3 A = T 2 B r3 B =T 2 C r3 C = ... =K Assim, T2=K · r3
A Terra tem um período de translação em torno do Sol de 1 ano, e o raio de sua órbita, considerada circular, é de 1 UA (UA = Unidade Astronômica ≈
1, 5 · 108km). Considerando que Saturno tem uma órbita quase circular de
raio 9,58 UA, qual seu período ao redor do Sol?
Resolução:
Pela terceira lei de Kepler, podemos escrever: T
2 1 r3 1 = T 2 2 r3 2
São dados: T1=1 ano; r1=1 UA; r2=9, 58 UA. Então:
T2 1 r3 1 = T 2 2 r3 2 (1)2 (1)3 = T2 2 (9, 58)3 1 = T 2 2 879, 2
Pela terceira lei de Kepler, podemos escrever: T 2 1 r3 1 = T 2 2 r3 2
São dados: T1=1 ano; r1=1 UA; r2=9, 58 UA. Então:
T2 1 r3 1 = T 2 2 r3 2 (1)2 (1)3 = T22 (9, 58)3 1 = T 2 2 879, 2 1 = T 2 2 879, 2 T22 = 879, 2 T2 = 29, 65.
O cientista inglêsIsaac Newton (1642-1727) busca desenvolver uma
teoria que explicasse o movimento da Lua, dos cometas, dos planetas, ou seja, uma lei universal do movimento.
Newton percebe que essa força universal tem a mesma natureza daquela que faz os corpos caírem sobre a Terra.
Ele observou que se a Lua não estivesse em movimento, ela cairia sobre a Terra, do mesmo modo que uma maçã cai de uma macieira.
Newton observou que a matéria (massa) tem a estranha propriedade de atrair matéria. Essa força de atração entre os corpos, não importando quão
pequeno seja, é chamada deforça gravitacional. Alei da gravitação de
Newtonestabelece que:
Duas partículas se atraem com forças proporcionais às suas massas e inversamente proporcionais ao quadrado da distância que as separa. Matematicamente, a lei da gravitação universal pode ser formulada como:
F = G ·M · m
Matematicamente, a lei da gravitação universal pode ser formulada como:
F = G ·M · m
r2 , (1)
onde G = 6, 67 · 10−11 N·mkg22, é denominada deconstante de gravitação
Fazer o exemplo da página: 189.
Com o auxílio de foguetes, o satélite, de massa m, é elevado à altura h em que deve ficar em relação à superfície da Terra. Uma vez atingida essa altura, ainda com a utilização de foguetes, é-lhe imprimida uma velocidade v , tangente à trajetória de raio r que ele vai descrever em torno da Terra. Sendo R o raio da Terra e M a sua massa, calcule o módulo dessa velocidade e o período T do satélite (se o satélite é estacionário T = 24h).
A força responsável pelo movimento do satélite é a força centrípeta ~FC, que é
(em módulo) igual a força de atração gravitacional, ou seja,
Fc = F mv2 r = G · M · m r2 v2 = rGM r2 v2 = GM r v = r GM r v = s GM (R + h).
Para calcular o período de revolução do satélite lembre-se que uma volta
descreve um ângulo de 360◦ou 2π rad . Assim, a distância percorrida pelo
satélite será ∆S = 2πr . O período T é definido como o tempo necessário para realizar uma volta. Logo,
v = ∆S ∆t (2) v = 2πr T (3) T = 2πr v . (4)
Fazer o exemplo da página: 192.
Fazer os exercícios das páginas: 193, 194 e
195.
Fica como exercíco mostrar que para um corpo de massa m, colocado num ponto da região onde há um campo gravitacional, o mesmo fica sujeito a aceleração gravitacional dada por:
g = G · M
R2, (5)
onde M é a massa do planeta e R é a distância do corpo para o centro do planeta.
