Movimento conjunto batimento-atraso

Movimento conjunto batimento-atraso

• Vamos agora estudar a pá com dois tipos de • Vamos agora estudar a pá com dois tipos de

movimento simultâneo:

– Batimento – Batimento – Atraso

• Vamos assumir que ambas as dobradiças são • Vamos assumir que ambas as dobradiças são

coincidentes

• De notar que, devido à conjugação dos dois • De notar que, devido à conjugação dos dois movimentos, teremos efeitos de Coriolis nesses mesmos movimentos

Movimento de batimento

Eixo de

rotação _{Direcção de batimento Direcção de batimento} positiva

Dobradiça de batimento Dobradiça de batimento

Movimento conjunto batimento-atraso

• Para o movimento de batimentos as a actuarem forças na pá são:

• Para o movimento de batimentos as a actuarem forças na pá são:

– Força inercial

m

z

dy

=

m

(

y

−

eR

)

β

dy

– Actuando a uma distância (y-eR) da dobradiça. – Força centrifuga

– Actuando a uma distância (y-eR)β da dobradiça.

(

)

ydy

m

Ω

2

– Actuando a uma distância (y-eR)β da dobradiça. – Força de Coriolis

– Actuando a uma distância (y-eR)β da dobradiça.

(

y

eR

)

dy

m

−

Ω

ζ

2

– Actuando a uma distância (y-eR)β da dobradiça. – Sustentação Ldy

– Actuando a uma distância (y-eR) da dobradiça. – Actuando a uma distância (y-eR) da dobradiça.

Movimento de atraso

Movimento de atraso

Movimento conjunto batimento-atraso

• Para o movimento de atraso as força a actuarem na pá são:

na pá são:

– Força inercial

m

x

dy

=

m

(

y

−

eR

)

ζ

dy

– Actuando a uma distância(y-eR) ) da dobradiça. – Força centrifuga

(

)

ydy

m

Ω

2

– Actuando a uma distância (y-eR)(eR/y)ζ da dobradiça. – Força de Coriolis

₂

_m

(

_y

₋

_eR

)

_Ω

β

_dy

– Força de Coriolis

– Actuando a uma distância (y-eR)β da dobradiça. – Sustentação Ddy

(

y

eR

)

dy

m

−

Ω

β

2

– Sustentação Ddy

Movimento conjunto batimento-atraso

• A equação do momento em torno da dobradiça de • A equação do momento em torno da dobradiça de

batimento é:

(

−

)

+

∫

R m y eR 2 β

dy

∫

Ω

(

−

)

+ R dy eR y y m 2 β

(

−

)

+

∫

eR dy eR y m β

(

)

∫

Ω − − R dy eR y m 2 βζ
2

(

−

)

+ Ω

∫

eR dy eR y y m β

(

−

)

= 0 −

∫

R dy eR y L

• E a equação do movimento acoplada vem:

(

)

∫

Ω − − eR dy eR y m βζ
2 −

∫

(

−

)

= 0 eR dy eR y L

(

+

Ω

−

Ω

)

=

_∫

(

−

)

R b

v

L

y

eR

dy

I

β

_β2 2

β

2

ζ

β

∫

eR b β

Movimento conjunto batimento-atraso

• Na última expressão • Na última expressão

(

)

R

dy

eR

y

m

eR

∫

−

b eR

I

v

∫

+

= 1

2 β

• Notar que v_β→1 quando e→0.

b

I

Movimento conjunto batimento-atraso

• A equação do momento em torno da dobradiça de • A equação do momento em torno da dobradiça de

atraso é:

(

−

)

+

∫

R m y eR 2ζ

dy +

∫

Ω

(

−

)

+ R dy eR y eR m 2 ζ

(

−

)

+

∫

eR dy eR y m ζ

(

)

∫

Ω − + R β ζ
2

(

−

)

+ Ω +

∫

eR dy eR y eR m ζ

(

−

)

= −

∫

R

• E a equação do movimento acoplada vem:

(

)

∫

Ω − + eR dy eR y m 2ζβ
2 −

∫

(

−

)

= 0 eR dy eR y D

• E a equação do movimento acoplada vem:

(

+

Ω

+

Ω

)

=

_∫

(

−

)

R

dy

eR

y

D

v

I

_ζ

(

ζ

+

_ζ2

Ω

2

ζ

+

2

Ω

ζ

β

)

=

∫

(

−

)

eR

dy

eR

y

D

v

I

_ζ

ζ

_ζ

ζ

2

ζ

β

Movimento conjunto batimento-atraso

• Nesta última expressão • Nesta última expressão

(

y

eR

)

dy

m

eR

R

∫

−

ζ ζ

I

v

eR

∫

=

2

• Notar que v_ζ→0 quando e→0.

ζ

Movimento conjunto picada-batimento

• O rotor pode ter um acoplamento picada-batimento através de uma dobradiça δ₃ para reduzir o batimento.

• A cinemática é tal que se a pá bate com um ângulo β, o ângulo de picada é reduzido de β tan δ

ângulo de picada é reduzido de β tan δ₃

• Desta forma o ângulo de picada θ no lado direito da

equação de batimento pode ser substituído por θ-β tan δ equação de batimento pode ser substituído por θ-β tan δ₃









−

=

+

+

*

4

* *

λ

_i

θ

γ

β

β

γ

β

Sem δ3









−

=

+

+

3

8

8

β

β

θ

β

Sem δ3

(

)









−

−

=

+

+

*

tan

4

* *

λ

_i

δ

β

θ

γ

β

β

γ

β

Com δ3

(

)









−

−

=

+

+

3

tan

8

8

3 i

δ

β

θ

β

β

β

Com δ3

Movimento conjunto picada-batimento

• E a equação seguinte pode ser obtida: • E a equação seguinte pode ser obtida:

      − =       + + + 3 4 8 tan 8 1 8 3 * * * λ_i θ γ δ γ β β γ β

• Com um aumento da frequência de batimento:

    8 8 3 8 γ 3 tan 8 1 γ δ β = + v

4





• E o ângulo de coning: 0

3

4

λ

θ

γ

β













−

=

i 0

tan

8

3

δ

γ

β

+





=

Rotor Teetering

Rotor Teetering

• Sem dobradiças independentes de batimento ou • Sem dobradiças independentes de batimento ou

atraso.

• As pás podem ser construídas com um ângulo de • As pás podem ser construídas com um ângulo de

β_p, o que reduz as cargas de flexão devido ao

carregamento aerodinâmico carregamento aerodinâmico

• Existe um δ₃ que reduz o batimento cíclico e os

efeito de Coriolis efeito de Coriolis

• O movimento dinâmico de batimento é obtido considerando o equilíbrio das duas pás.

Rotor Teetering

Rotor Teetering

• Cada pá tem uma contribuição para o momento de • Cada pá tem uma contribuição para o momento de

(

β

+

β

−

γ

M

β

)

* *

0

2

=

• E a equação do momento é:

(

β

+

β

−

γ

M

β

)

γ

β

β

**

+

2

=

0

2

=

β β

β

γ

β

**

+

v

2

=

M

Rotor Teetering

Rotor Teetering

• A equação do movimento de batimento para uma • A equação do movimento de batimento para uma

pá é:

( )

=

₀

+

∑

∞

(

+

)

1

ψ

β

β

nc

cos

n

ψ

β

ns

sin

n

ψ

β

• Para a segunda pá, localizada a ψ+π a equação do movimento de batimento é:

( )

∑

(

)

=

+

+

=

1 0 1

cos

sin

n ns nc

n

ψ

β

n

ψ

β

β

ψ

β

movimento de batimento é:

( )

=

−

₁

=

2

ψ

2

β

p

β

β

( )

( )

[

(

)

(

)

]

∑

∞

−

+

+

+

+

=

=

−

=

0 1 2

sin

cos

1

2

ns nc n p

n

n

ψ

π

β

ψ

π

β

β

β

β

ψ

β

( )

[

(

)

(

)

]

∑

=

+

+

+

−

+

=

1 0

1

cos

sin

n ns nc

n

ψ

π

β

n

ψ

π

β

β

Rotor Teetering

Rotor Teetering

• Igualando os coeficientes trigonométricos • Igualando os coeficientes trigonométricos

( )

ψ

=

β

+

∑

∞

[

β

n

ψ

+

β

n

ψ

]

β

( )

=

+

∑

[

cos

+

sin

]

odd n ns nc p

β

n

ψ

β

n

ψ

β

ψ

β

₂

cos

sin

Rotor sem dobradiças

Rotor sem dobradiças

• Assumindo que a flexão é equivalente a uma mola • Assumindo que a flexão é equivalente a uma mola de constante k_β posicionada numa dobradiça equivalente com offset e, a equação do equivalente com offset e, a equação do movimento de batimento é:

(

)

R

(

)

R

(

)

∫

− R eR dy eR y m 2

β

+

∫

(

−

)

Ω R eR ydy eR y m

β

2

+

k

_β

(

β

−

β

_p

)

=

eR eR

(

)

∫

− = R zm y eR dy F

(

)

∫

− = eR zm y eR dy F

Rotor sem dobradiças

Rotor sem dobradiças

• Escrevendo na forma convencional:

ϖ

• Escrevendo na forma convencional:

p

M

v

β

γ

ϖ

β

β

** _β 2 _β 0₂

Ω

+

=

+

• Onde a frequência de batimento sem rotação:

Ω

β

ϖ

I

k

=

0 β

I

0

Rotor sem dobradiças

Rotor sem dobradiças

• Com a frequência natural: ₂

2 0 2 3 1 Ω + + = ϖ υ_β e

• Com a frequência natural: • De notar que se 2 2 Ω β tip w e 1   − = • De notar que se R y dy dw R e 75 . 0 1 =       − = • e R y=0.75         − − Ω = 2 3 1 2 e v I k_{β β β}

• A análise pode prosseguir assumindo um rotor articulado.



 2