RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA UNICAMP a Fase Professora Maria Antônia Gouveia.

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA

UNICAMP– 2008 – 2

a

Fase

Professora Maria Antônia Gouveia.

QUESTÃO 01.

Em uma estrada de ferro, os dormentes e os trilhos são assentados sobre uma base composta basicamente por brita. Essa base (ou lastro) tem uma seção trapezoidal, conforme representado na figura abaixo. A base menor do trapézio, que é isósceles, tem 2m, a base maior tem 2,8m e as arestas laterais têm 50cm de comprimento.

Supondo que um trecho de 10km de estrada deva ser construído, responda às seguintes questões. a) Que volume de brita será gasto com o lastro nesse trecho de ferrovia?

b) Se a parte interna da caçamba de um caminhão basculante tem 6m de comprimento, 2,5m de largura e 0,6m de altura, quantas viagens de caminhão serão necessárias para transportar toda a brita?

Instruções:

• Indique claramente as respostas dos itens de cada questão, fornecendo as

unidades, se for o caso.

• Apresente de forma clara e ordenada os passos utilizados na resolução das

questões. Expressões incompreensíveis, bem como respostas não

fundamentadas, não serão aceitas.

• Ao apresentar a resolução das questões, evite textos longos e dê preferência às

fórmulas e expressões matemáticas.

• Não use aproximações para os valores de πou e.

• Toda a resolução das questões deve ser a caneta, não apenas as respostas

RESOLUÇÃO:

a) Representemos a base sobre a qual estão assentados os trilhos e os dormentes, como um prisma reto e trapezoidal. O volume do prisma, representado acima, será o volume pedido.

A diferença entre as bases do trapézio isósceles, que representa a base do prisma, é: 2,8m – 2m = 0,8m.

Como o trapézio ABCD é isósceles, BE=

0

,

4

2

8

,

0

=

m.

A altura h desse trapézio será calculada aplicando-se o Teorema de Pitágoras ao triângulo

retângulo BCE:

h

=

(0,5)

2

−

(0,4)

2

=

0,25

−

0,16

=

0,09

=

0,3

m.

O volume do prisma é dado por: V = Sbase×Hprisma.

Como a base do prisma é um trapézio e a sua altura H =10km = 10.000m, V =

(

)

₁₀₀₀₀

₇

₂₀₀

_m

3

2

0,3

2,8

2

=

×

×

+

.

RESPOSTA: O volume de brita a ser utilizado nesse trecho da ferrovia é de 7200m3_.

b) Considerando que a parte interna da caçamba tenha a forma de um paralelepípedo de 6m × 2,5m × 0,6m, o seu volume é: (6 × 2,5 × 0,6) = 9m3_.

Então para o caminhão transportar toda a brita dará: 7200 : 9 = 800 viagens.

RESPOSTA: 800 viagens. QUESTÃO 02

Uma passagem de ônibus de Campinas a São Paulo custa R$17,50. O preço da passagem é composto por R$12,57 de tarifa, R$0,94 de pedágio, R$3,30 de taxa de embarque e R$0,69 de seguro. Uma empresa realiza viagens a cada 15 minutos, sendo que o primeiro ônibus sai às 5 horas da manhã e o último, à meia-noite. No período entre o meio-dia e as duas horas da tarde, o intervalo entre viagens sucessivas é de 30 minutos.

a) Suponha que a empresa realiza todas as viagens previstas no enunciado e que os ônibus transportam, em média, 36 passageiros por viagem. Qual o valor arrecadado pela empresa, por dia, nas viagens entre Campinas e São Paulo, desconsiderando as viagens de volta?

b) Se a taxa de embarque aumentar 33,33% e esse aumento for integralmente repassado ao preço da passagem, qual será o aumento percentual total do preço da passagem?

RESOLUÇÃO:

a) HORÁRIOS DE SAÍDA DOS ÔNIBUS: HORÁRIOS

A 5:00 5:15 5:30 5:45 6:00 . . . 11:30 11:45 12:00

B 12:30 13:00 13:30

C 14:00 14:15 14:30 14:45 15:00 . . . 23:30 23:45 24:00

Analisando a linha A da tabela, conclui-se que das 5 horas às 12 horas existem (12 – 5) × 4 + 1 = 29 horários de saída de ônibus.

Analisando a linha B, conclui-se que das 12,5 horas às 13,5 horas existem 3 horários de saída de ônibus.

Analisando a linha C, conclui-se que das 14 horas às 24 horas existem (24 – 14) × 4 + 1 = 41 horários de saída de ônibus.

Ao todo são (29 + 3 + 41) = 73 horários.

Como em cada viagem são transportados 36 passageiros, a arrecadação da empresa ao final do dia é: 73 × 36 × R$ 17,50 = R$ 45. 990, 00

RESPOSTA: R$ 45.990, 00

b) Se o aumento da taxa de embarque: 0,3333 × R$3,30 = R$ 1,09989 ≈ R$ 1,10 for repassado integralmente para o preço da passagem, então a razão percentual do aumento é:

6,28%

.

0,06285...

50

,

17

10

,

1

≈

=

. RESPOSTA: 6,3% QUESTÃO 03

Considere a sucessão de figuras apresentada a seguir. Observe que cada figura é formada por um conjunto de palitos de fósforo.

a) Suponha que essas figuras representam os três primeiros termos de uma sucessão de figuras que seguem a mesma lei de formação. Suponha também que F1, F2 e F3 indiquem,

respectivamente, o número de palitos usados para produzir as figuras 1, 2 e 3, e que o número de fósforos utilizados para formar a figura n seja Fn. Calcule F10 e escreva a expressão geral de Fn.

b) Determine o número de fósforos necessários para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras.

RESOLUÇÃO:

a) F1= 4, F2 = 12 e F3 = 20, F4 = 28, ....

Observando esta seqüência numérica percebemos que ela constitui uma P.A. cujo primeiro termo é 4 e a razão é r = 8.

Fn = 8n – 4 e F10 = 80 – 4 = 76

RESPOSTA: O número de palitos da figura F10 é 76 e a expressão geral de Fn é:

Fn = 8n – 4.

b) F50 = 8.50 – 4 = 400 – 4 = 396.

A soma dos n termos de uma P.A. é:

(

)

2

n

a

a

S

1 n n

+

=

. Então, S50 =

(

)

400

.

25

10000

.

2

50

.

396

4

=

=

+

RESPOSTA: Para que seja possível exibir concomitantemente todas as primeiras 50 figuras são necessários 10.000 palitos.

QUESTÃO 04

Dois atletas largaram lado a lado em uma corrida disputada em uma pista de atletismo com 400m de comprimento.

Os dois atletas correram a velocidades constantes, porém diferentes. O atleta mais rápido completou cada volta em exatos 66 segundos. Depois de correr 17 voltas e meia, o atleta mais rápido ultrapassou o atleta mais lento pela primeira vez. Com base nesses dados, pergunta-se:

a) Quanto tempo gastou o atleta mais lento para percorrer cada volta?

b) Em quanto tempo o atleta mais rápido completou a prova, que era de 10.000 metros? No

momento em que o atleta mais rápido cruzou a linha de chegada, que distância o atleta mais lento havia percorrido?

RESPOSTA:

a) Como os dois atletas largaram juntos com velocidades constantes, e a primeira ultrapassagem

aconteceu depois do mais rápido completar 17,5 voltas, então nesse instante o mais lento completava 16,5 voltas.

Se o atleta mais rápido completa cada volta em 66 segundos, então 17,5 voltas correspondem a 17,5 × 66 s = 1155 s.

Nesse mesmo tempo o mais lento deu 16,5 voltas, ou seja, levou

70

5

,

16

0

,

1155

=

segundos em cada volta.

RESPOSTA: O atleta mais lento percorreu cada volta em 70 segundos.

b) Se a velocidade dos atletas era constante, e o mais rápido percorria 400m a cada 66 segundos,

isso quer dizer que ele percorreu 10.000 metros em

25

66s

1650s

400

66s

10000

=

×

=

×

O mais lento, quando o mais rápido cruzou a linha de chegada (ou seja aos 1650 segundos), tinha

percorrido x metros, logo:

9428,57

23,57143

.

400

1650

.

400

70

1650

400

70

.

=

=

⇒

=

⇒

=

s

x

x

s

x

m.

QUESTÃO 05

Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado. Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja y(x) = ax2 + bx + c a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso. Distância(m) Altura(m) 1 2,0 2 2,7 3 3,2 a) Determine os valores de a, b e c.

b) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso.

RESOLUÇÃO:

a) Na função y = ax2 + bx + c substituindo x e y pelos valores correspondentes da tabela acima:

⇒







=

⇒

−

=

=

+

+

⇒











=

+

−

=

+

=

+

+

⇒











−

=

+

+

−

=

+

+

=

+

+

0,1

-

a

0,2

2a

2

c

b

a

1,2

2b

8a

)

2L

(L

0,7

b

3a

2

c

b

a

)

L

(L

3,2

c

3b

9a

)

L

(L

2,7

c

2b

4a

2

c

b

a

2 3 1 3 1 2

Substituindo este valor sucessivamente nas equações 3a + b = 0,7 e a + b + c = 2, tem-se: –0,3 + b = 0,7 ⇒ b = 1 e –0,1 + 1 + c = 2 ⇒ c = 1,1.

RESPOSTA: Os valores de a, b e c são, respectivamente, –0,1; 1 e 1,1.

b) Na função y = ax2 + bx + c substituindo x e y por seus valores numéricos determinado no item anterior: y = –0,1x2 + x + 1,1.

Determine-se as raízes da função y = –0,1x2 + x + 1,1:

Multiplica-se todos os termos da equação –0,1x2 _{+ x + 1,1 = 0 por –10:}

x2 _{– 10x – 11 = 0 ⇒ (x – 11).(x + 1) = 0 ⇒ x = 11 ou x = –-1}

A trajetória do peso está representado pela parte da parábola contida no intervalo [0,11] do eixo dos x.

Resposta: A distância total alcançada pelo peso é medida na horizontal. Essa distância é de

QUESTÃO 06

Seja C o conjunto dos números (no sistema decimal) formados usando-se apenas o algarismo 1, ou seja C = {1, 11, 111, 1111, 11111, 111111, ... }.

a) Verifique se o conjunto C contém números que são divisíveis por 9 e se contém números

divisíveis por 6. Exiba o menor número divisível por 9, se houver. Repita o procedimento em relação ao 6.

b) Escolhendo ao acaso um número m de C, e sabendo que esse número tem, no máximo, 1000

algarismos, qual a probabilidade de m ser divisível por 9?

RESOLUÇÃO:

a) Como os números que são elementos do conjunto C são representados apenas com o

algarismo 1, e num número divisível por 9, a soma dos valores de seus algarismos é um número também divisível por 9, o subconjunto de C cujos elementos são números divisíveis por 9 é o conjunto

A = {111.111.111, 111.111.111.111.111.111, ....} . As quantidades de ordens dos elementos de A formam a seqüência (9, 18, 27, 36, ... 9n) que constitui uma P.A. com a1 = 9 e razão 9.

O número 6 é par, então todo múltiplo de 6 é par, logo o conjunto C formado apenas de números ímpares não possui nenhum elemento divisível por 6.

RESPOSTA:

• O conjunto C contém números divisíveis por 9 e o menor desses números é 111.111.111. • O conjunto C não possui elemento divisível por 6.

b) No item anterior vimos que as quantidades de ordens dos números pertencente ao conjunto C e

divisíveis por 9 formam a seqüência (9, 18, 27, 36, ... 9n). Considerando o conjunto E, subconjunto de C, formado com todos os números cuja quantidade de ordens é menor ou igual a 1.000, n(E) = 1.000.

Considerando B o conjunto formado por todos os elementos de E divisíveis por 9, o maior

elemento de B tem 999 ordens, o que nos leva a deduzir que

9n = 999 ⇒ n = 111, ou seja, n(B) = 111. A probabilidade pedida é:

0,111

1000

111

n(E)

n(B)

p

=

=

=

= 11,1%. RESPOSTA: 11,1%. QUESTÃO 07

A escala de um aparelho de medir ruídos é definida como Rβ=

12 +

log

10

I

, em que Rβ é a medida

do ruído, em bels, e I é a intensidade sonora, em W/m2. No Brasil, a unidade mais usada para medir ruídos é o decibel, que equivale a um décimo do bel. O ruído dos motores de um avião a jato equivale a 160 decibéis, enquanto o tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade atinge 80 decibéis, que é o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano.

a) Escreva uma fórmula que relacione a medida do ruído Rd β, em decibéis, com a intensidade

sonora I, em W/m2. Empregue essa fórmula para determinar a intensidade sonora máxima que o ouvido humano suporta sem sofrer qualquer dano.

b) Usando a fórmula dada no enunciado ou aquela que você obteve no item (a), calcule a razão

entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade.

RESOLUÇÃO:

a) Como o decibel equivale a um décimo do bel, 1 Rβ= 10 . Rd β, e como

Rβ=

12 +

log

10

I

⇒ Rd β = 10. (

12 +

log

10

I

).

10. (

12 +

log

₁₀

I

) = 80 ⇒ (

12 +

log

₁₀

I

) = 8 ⇒

log

₁₀

10

−4

=

⇒

−

=

4

I

I

. RESPOSTA: Rd β = 10. (

12 +

log

10

I

) e 4

10

−

=

I

W/m2.

b) Intensidade sonora do motor do avião:

10. (

12 +

log

₁₀

I

) = 160 ⇒

12 +

log

₁₀

I

= 16 ⇒ 4

10

I

4

I

=

⇒

=

10

log

.

Intensidade sonora do tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade:

_I

₌

10

−4_. A razão entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina

movimentada de uma grande cidade é: ₄ 8

4

10

10

10

=

− . RESPOSTA: 108_. QUESTÃO 08

Sejam dadas as funções f(x) = px e g(x) = 2x + 5, em que p é um parâmetro real.

a) Supondo que p = –5, determine para quais valores reais de x tem-se f(x) . g(x) < 0.

b) Determine para quais valores de p temos g(x)≤ f(x) para todo x ∈[– 8, –1].

RESOLUÇÃO: a) f(x) g(x) < 0 ⇒ (2x + 5) (–5x) < 0. A raiz de 2x + 5 = 0 é x =

2

5

−

e a de –5x = 0 é x = 0. Estudemos a variação dos sinais do produto (2x + 5) (–5x):

RESPOSTA: f(x) . g(x) < 0 para x ∈

_

∪

]

+∞

[











−

∞

−

0,

2

5

,

. b) g(x) ≤ f(x) ⇒ g(x) – f(x) ≤ 0 ⇒ 2x + 5 – px ≤ 0

A desigualdade 2x + 5 – px ≤ 0 deve ser verdadeira para todo x ∈[– 8, –1]. Fazendo x = –8 tem-se: –16 + 5 + 8p ≤ 0 ⇒ 8p ≤ 11 ⇒

8

11

p ≤

. Fazendo x = –1 tem-se: –2 + 5 + p ≤ 0 ⇒ p ≤ – 3. Logo [

8

11

p ≤

e p ≤ – 3] ⇒ p ≤≤≤≤ – 3 RESPOSTA: g(x) ≤ f(x) para ∀p ≤≤≤≤ – 3.

QUESTÃO 09

Uma matriz real quadrada P é dita ortogonal se PT = P–1, ou seja, se sua transposta é igual a sua inversa.

a) Considere a matriz P abaixo. Determine os valores de a e b para que P seja ortogonal. Dica:

você pode usar o fato de que P–1P = I, em que I é a matriz identidade.

P =





















−

−

−

−

−

−

2/3

b

2/3

1/3

a

2/3

2/3

2/3

1/3

b) Uma certa matriz A pode ser escrita na forma A = QR, sendo Q e R as matrizes abaixo.

Sabendo que Q é ortogonal, determine a solução do sistema Ax = b, para o vetor b dado, sem

obter explicitamente a matriz A.

Dica: lembre-se de que x = A–1b.

Q =





















−

−

−

0

/2

2

/2

2

/2

2

/2

1

1/2

/2

2

/2

1

1/2

, R =





















−

2

0

0

0

2

0

0

0

2

, b =





















−

0

2

6

. RESOLUÇÃO: a) PT = P–1 ⇒ PT × P = P–1× P ⇒ PT× P = I ⇒

⇒





















=





















−

−

−

−

−

−

×





















−

−

−

−

−

−

1

0

0

0

1

0

0

0

1

2/3

b

2/3

1/3

a

2/3

2/3

2/3

1/3

3

/

2

3

/

1

3

/

2

3

/

2

3

/

2

3

/

2

3

/

1

b

a

No primeiro membro da equação multiplicando-se a linha 2 da primeira matriz sucessivamente pelas colunas da segunda matriz, teremos o sistema:













−

=

=

⇒





















=

+

+

=













−

+













+

=

⇒

=

⇒

=













−

+

−

=

⇒

−

=

⇒

−











=

+

=

−

=

+

⇒











=

+

+

=

+

−

=

−

−

⇒



















=

+

−

=

+

+

=

−

−

3

1

b

3

2

a

:

RESPOSTA

ÃO)

(VERIFICAÇ

1

9

1

9

4

9

4

3

1

3

2

9

4

3

2

a

2

3a

1

3

1

3

3a

3

1

b

3

9b

L

L

5

9b

9a

4

6b

3a

1

3b

3a

9

9b

9a

4

0

6b

3a

4

2)

:

(L

0

6b

6a

2

0

3

2b

3

a

9

4

1

b

a

9

4

0

3

2b

3

2a

9

2

2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2

b) Se Q é uma Matriz Ortogonal então Q é uma matriz real cuja inversa coincide com a sua transposta

A = QR e Ax = b ⇒ QR x = b ⇒ Q–1 _{QR x = Q}–1 _{b ⇒ R x = Q}–1 _b.

Consideremos x =





















p

n

m

e sendo R x = Q–1 b ⇒





















−

2

0

0

0

2

0

0

0

2





















p

n

m

=





































−

−

−

0

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1





















−

0

2

6

⇒





















−

=











−

=

=

=

⇒





















−

−

=





















−

4

1

1

x

4

p

1

n

1

m

2

4

2

2

p

2

2n

2m

RESPOSTA:





















−

=

4

1

1

x

QUESTÃO 10

Uma ponte levadiça, com 50 metros de comprimento, estende-se sobre um rio. Para dar passagem a algumas embarcações, pode-se abrir a ponte a partir de seu centro, criando um vão

AB

, conforme mostra a figura abaixo. Considerando que os pontos A e B têm alturas iguais, não importando a posição da ponte, responda

às questões abaixo.

a) Se o tempo gasto para girar a ponte em 1° equivale a 30 segundos, qual será o tempo

necessário para elevar os pontos A e B a uma altura de 12,5m, com relação à posição destes quando a ponte está abaixada?

RESOLUÇÃO:

a) No triângulo retângulo ADE, temos:

o

30

2

1

25

5

,

12

sen

α

=

=

⇒

α

=

.

Se para girar a ponte em 1o leva-se 30 segundos, para girá-la em 30o _{necessita-se de}

30 × 30 segundos =

= 900 segundos = 15 minutos.

RESPOSTA: 15 minutos.

b) No triângulo retângulo ADE, temos: 25 75 cos o = x (I). 2 1 2 2 2 3 2 2 ) 30 45 cos( 75 cos o = o + o = × − × _⇒ 4 2 6 75 cos o = − (II)

De (I) e (II), tem-se: 25 x = 4 2 6− ⇒

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 6 25 100 4 2 6 25 2 50 4 2 6 25 2 6 25 4 = − −         ₋ − = ⇒ − = ⇒ − = x AB x

RESPOSTA: O segmento AB mede

(

)

2 2 6 25