A TESSELAÇÃO (5,6,6) A BOLA DE FUTEBOL VISUALIZADA EM CALEIDOSCÓPIO GENERALIZADO

CALEIDOSCÓPIO GENERALIZADO

Claudemir Murari∗ UNESP - Rio Claro murari@linkway.com.br

Introdução

Neste trabalho queremos abordar um tema pouco explorado nos cursos de graduação em Matemática, que é a Geometria Esférica (Elíptica). Conceitos básicos como ponto, reta, circulo, distância, ângulo,tesselações, etc., são comparados e contrastados com as idéias correspondentes na Geometria Plana Elementar.

O uso de materiais didáticos como a esfera de isopor, caleidoscópio generalizado, triângulo esférico de isopor, compasso, e outros, possibilita aos estudantes e professores fazerem construções e explorações não euclidianas e, assim, através deste aprendizado, ter outras percepções do mundo que o cerca.

Queremos lembrar que existem muitas aplicações da Geometria Esférica na Matemática, na Física, na Astronomia, na navegação, entre outras, e que, portanto, trabalhos envolvendo esta geometria oferecerão oportunidade de enriquecimento de conhecimentos por parte dos alunos.

Conceitos básicos: Apresentamos, inicialmente, alguns conceitos básicos e

propriedades que também são encontrados na geometria euclidiana, mas que na geometria esférica podem assumir um significado diferente. Estudo detalhado podemos encontrar em Coutinho(2001) e Lima (2000 ).

Ponto: este conceito na esfera é o mesmo daquele atribuído ao ponto no plano

euclidiano.

∗ _{Professor Doutor do Departamento de Matemática e do Programa de Pós-graduação em Educação} Matemática – IGCE – UNESP, Rio Claro.

Reta: Se um plano corta uma esfera e passa pelo seu

centro, então teremos uma reta. Assim, uma “reta” sobre uma esfera é um círculo máximo. Exemplos são os Meridianos e a linha do Equador (fig.1).

Figura 1

Ângulo: Define-se ângulo esférico como sendo a intersecção de dois

círculos máximos, e a sua medida é a mesma do ângulo formado pelas tangentes do ponto de intersecção (fig.2).

Figura 2

Distância: Dados dois pontos M e N sobre uma esfera, define-se a

distância entre eles como o comprimento do arco menor do círculo máximo que contém esses pontos (fig.3).

Figura 3

Triângulo Esférico: Considere A, B, C pontos distintos sobre uma

esfera e não pertencentes a um mesmo círculo máximo. Unindo esses pontos dois a dois teremos um triângulo esférico ABC.

AB, BC e AC são os lados do triângulo, no qual BC = a, AB = c e AC = b. Ver figura 4.

Figura 4

Os ângulos esféricos são, também, medidos pelos ângulos diedrais. Por

exemplo, é me B-OA-C.

As medidas dos lados a, b e c são dadas pelos ângulos subentendidos por eles no centro da esfera. Por exemplo,

Em qualquer triângulo esférico vale a lei dos cosenos para os lados. Conforme Nielsen(1966), temos:

C e B Aˆ, ˆ ˆ dido pelo ângulo diedral

Aˆ B O A c C O A b C O B a= ˆ ; = ˆ ; = ˆ a C sen B sen C B

Aˆ cos ˆcos ˆ ˆ ˆcos

cos =− + b C sen A sen C A

Bˆ cos ˆcos ˆ ˆ ˆcos

cos =− + c B sen A sen B A

Cˆ cos ˆcos ˆ ˆ ˆcos

Cm relação à área de um triângulo esférico, temos, conforme Lima (2000), o seguinte: Se , e são os ângulos internos de um triângulo esférico, medidos em

radianos, então = Aˆ Bˆ Aˆ + Cˆ + C Bˆ ˆ π + ₂ R a

, onde a é a área desse triângulo.

Os poliedros de Platão e Arquimedes e as Tesselações Esféricas

Os poliedros de Platão possuem faces formadas por polígonos regulares de um mesmo tipo, enquanto que os de Arquimedes têm suas faces constituídas por polígonos regulares de tipos diferentes. Observa-se, em ambos os tipos de poliedros, que um mesmo arranjo de polígonos encontrado em um vértice, repete-se em todos os seus vértices.

Existem cinco poliedros de Platão e treze poliedros de Arquimedes. Imagine inflar estes poliedros para que se tornem esféricos. Teremos, então, obtido tesselações desses poliedros na superfície da esfera. A tesselação ocorre quando há o recobrimento da superfície sem vazios ou sobreposições. Como estamos tratando de polígonos e da esfera, temos, então, tesselações esféricas por polígonos regulares. Tomemos como exemplos:

- A tesselação por quadrados (octaedro esférico), cuja notação é (4,4,4,4), significa que temos quatro quadrados em cada nó ou vértice. Vemos na figura 5 o octaedro, e na figura 6 o octaedro esférico.

Figura 5 Figura 6

- A tesselação (5,6,6), icosaedro truncado esférico (fig.8), a bola de futebol. Em cada vértice temos um pentágono e dois

hexágonos. Na figura 7 temos o icosaedro truncado.

A construção gráfica da tesselação (5,6,6)

Com o uso de régua flexível, compasso, barbante e alfinete, vamos construir, graficamente, a tesselação (5,6,6) em uma esfera de isopor. Sugerimos este material pela facilidade de aquisição e custo muito baixo. Entretanto, existem outras opções; por exemplo, Lénárt (1996) apresenta um kit que contém esfera plástica transparente, régua esférica, compasso esférico, além de outros itens. Porém, o fato de ser importado, limita a obtenção e utilização do produto.

A tesselação (5,6,6) é o icosaedro truncado inflado. Observe que do icosaedro inflado obtém-se a tesselação (3,3,3,3,3), constituída de cinco triângulos eqüiláteros em cada vértice, cujos ângulos medem 72º. Pelo processo de truncamento do icosaedro e, posteriormente, por sua insuflação para obter a tesselação (5,6,6),

temos que cada triângulo da tesselação (3,3,3,3,3) contém um hexágono regular inscrito. Dessa forma, basta encontrar o comprimento dos lados desses triângulos, construí-los na esfera de isopor e inscrever em cada um deles um hexágono.

Figura 9

Encontrando a medida do lado do triângulo esférico

Considerando a validade para um triângulo esférico da lei dos cosenos, e como 72º , temos:

= =

=B C

Aˆ ˆ ˆ

Cos 72º = -cos72º cos72º + sen72º. sen72º cos a , obtendo-se a = 63,4º

Sabendo que o comprimento de um arco de circunferência de raio R é R .

θ

θ

Construindo a tesselação (5,6,6) na esfera de isopor

Podemos construir a tesselação (5,6,6) de maneira informal, mas, baseados em conceitos matemáticos com rigor. Tomemos uma esfera de isopor de raio R. Sobre ela serão esboçados vinte triângulos esféricos, como mostra a figura 10.

Os triângulos esféricos podem ser desenhados com o uso de régua flexível, compasso, alfinetes e barbante. Imaginemos que A, na esfera, seja o pólo norte onde colocamos um alfinete. A partir dele estendemos o barbante para pontilhar o lado do triângulo (cuja medida é R.63,4º ) obtendo o ponto B. Traçar com a régua flexível esse segmento. Com o compasso centrado nos pontos A e B, e com esse raio de abertura, traçar dois arcos, cuja intersecção é o ponto C. Usar o barbante

para pontilhar os lados AB e BC. Completar o traçado do triângulo. Ainda com o auxílio do compasso, e a partir dos vértices A, B e C repetir o procedimento anterior, tesselando a esfera com triângulos esféricos congruentes, cujo resultado será o da figura ao lado.

Figura 10

Inscrevendo em cada triângulo um hexágono regular (com o compasso), teremos obtido a tesselação (5,6,6), a bola de futebol, mostrada na figura 8.

Caleidoscópio Generalizado

Um conjunto de espelhos planos, articulados, é considerado um caleidoscópio quando fornecer repetição perfeita de imagens. Nesse sentido, dois espelhos planos verticais, articulados, se constituirão num caleidoscópio quando o ângulo entre eles se apresentar na forma

n

π

, sendo n inteiro. Analogamente, para três espelhos planos verticais, articulados, os ângulos devem ser

l π , m π e n π , (onde l, m e n são inteiros). Como l π + m π + n π = π ⇒ + 1 +1 =1 n m l 1

(I). O conjunto solução de (I) nos dá três tipos de caleidoscópios (eqüilátero, isósceles-retângulo e escalenos). Em Murari (1999) temos um detalhamento desses caleidoscópios, que são utilizados para visualização de tesselações planas.

Se um dos espelhos for colocado horizontalmente, ao invés de verticalmente, temos formado um triedro de espelhos, onde dois ângulos diedrais entre os pares dos três espelhos são agora, ângulos retos. Uma generalização natural é o caso em que estes

três ângulos diedrais são l π , m π e n π

. Desde que para espelhos planos um objeto e imagem são eqüidistantes do plano, é fácil ver que todas as imagens de um ponto no caleidoscópio generalizado pertencem a uma esfera, cujo centro é o ponto de intersecção dos planos dos três espelhos. Sobre a esfera, estes planos cortam-se formando um triângulo esférico, de ângulos

l π , m π e n π .

O resultado das reflexões desses espelhos do triângulo esférico é a divisão da esfera toda em uma rede de tais triângulos, contendo imagens de qualquer objeto colocado dentro do primeiro triângulo. Tomando o raio da esfera como unitário, a área da esfera é 4 , enquanto a área de cada triângulo é π π π π−π

     +       +     l m n   _{. Dessa} forma, 0 1 1 1 1 0 1 1 1 > ⇒ + + − >       _{+ + −} l m n n l π π 1 4 m

(II), cujo conjunto solução

são as ternas (2,2,n), (2,3,3), (2,3,4) e (2,3,5).

Neste caso, temos quatro tipos de caleidoscópios. Suas construções devem ser feitas observando-se que os ângulos são as medidas dos lados do triângulo esférico, de ângulos l π , m π e n π a,ˆ

. Não considerando o primeiro caso (2,2,n), temos, então, os ângulos respectivos , os quais irão determinar a maneira como os espelhos deverão ser cortados para formação dos caleidoscópios generalizados que, no nosso caso são: , (54o44´, 54o44´, 70o32´) ; (35o16´, 45o, 54o44´); (20o54´, 31o43´, 37o23´).

Variando um ponto-objeto no interior desses caleidoscópios, obteremos vértices de poliedros. Em particular, se o ponto estiver sobre uma das arestas onde dois espelhos se encontram, ou sobre um espelho e eqüidistante dos outros dois, ou no centro da esfera, então as faces dos poliedros visualizados são polígonos regulares. Em Ball e Coxeter (1987), encontramos as figuras abaixo que mostram tesselações esféricas, cujos ângulos dos triângulos esféricos correspondem, respectivamente, às três ultimas ternas acima mencionadas.

Figura 11 Figura 12

c b ˆˆ,

Base Caleidoscópica para a Tesselação (5,6,6)

Tomando como referencia um icosaedro truncado inflado (5,6,6), e determinando suas linhas de simetria obteremos, como mostra a figura, réplicas de triângulos esféricos (como AMN ) tesselando a esfera. Considerando

étricos, podemos concluir que se fizermos a figura do ∆ AMN e a colocarmos no interior de um caleidoscópio generalizado, tal figura será replicada, de modo a formar uma tesselação esférica.

Figura 14

Construindo em uma esfera de isopor de raio R este triângulo AMN e recortando-o teremrecortando-os, entãrecortando-o, recortando-obtidrecortando-o a base caleidrecortando-oscópica (figura 15). Esta, quandrecortando-o crecortando-olrecortando-ocada nrecortando-o interior de um caleidoscópio generalizado, cujos ângulos diedrais entre os espelhos são de 36º,60º,90º, fornecerá a visualização da tesselação (5,6,6), a bola de

futebol.

Observe que se formam duas regiões (R1 e R2), como mostra a

figura 15, as quais podem ser coloridas. Vale lembrar que os ângulos do triângulo esférico AMN correspondem aos do caleidoscópio generalizado.

Figura 15

A construção dessa base caleidoscópica será detalhada abaixo:

1) Construir o triângulo eqüilátero esférico ABC, cujos ângulos são de 72º. 2) Traçar bissetrizes por A, B e C, em cuja intersecção

determina-se o ponto M. A bissetriz do ângulo ABC, no lado AC, fornece N.

3) Traçar seis bissetrizes nos ângulos formados com centro em M (que determinam os vértices do hexágono). Determinar PP’ (lado superior do hexágono inscrito no triângulo).

Figura 16

∆

4) Construir o segmento AM que formará, juntamente, com AN e MN, a base procurada. Notar que ao final dessas construções teremos obtido, no triângulo esférico, seis réplicas da base da figura 15.

Observar que o triângulo que contém a base é formado por traços contínuos e pontilhados. P’N possui contorno contínuo, enquanto todo o resto é pontilhado. O triângulo esférico AMN é o procurado.

Esta base, cujas regiões foram coloridas de amarelo e preto (figura 17), quando colocada no caleidoscópio generalizado, fornecerá o visual de uma bola com hexágonos amarelos e pentágonos pretos (figura 18).

Figura 17 Figura 18

Conclusão

Podemos concluir que este estudo oferece oportunidade para o aluno tomar contato com conteúdos referentes a poliedros, tesselações (em especial as esféricas), ângulos diedrais, além dos conceitos geométricos envolvidos nas construções das bases caleidoscópicas. Assim sendo, criam-se possibilidades de os alunos refletirem sobre a existência de uma geometria, a esférica, e fazer comparações. A utilização de materiais diferentes do tradicional (como esferas de isopor, barbante, alfinetes) e a contextualização do tema, a bola de futebol, que muito representa ao povo brasileiro, contribuem para o estabelecimento de um ambiente de aprendizagem agradável e participativo. Nosso trabalho limitou-se à construção de uma base caleidoscópica para visualização da tesselação (5,6,6). Entretanto, os poliedros de Arquimedes são em número de treze. Assim, estamos empreendendo novos estudos na busca de bases para os outros poliedros.

Palavras chave:Geometria Elíptica, Tesselações Esféricas e Caleidoscópios

Generalizados.

Referências Bibliográficas

• BALL, W.W. R. and COXETER, H.S.M. Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover, 1987.

• COUTINHO, L. Convite às Geometrias Não-Uuclidianas. Rio de Janeiro: Interciência, 2001.

• LÉNÁRT, I. Non-euclidean Adventures on the Lénárt Sphere: investigations in Planar and Spherical Geometry. USA. Key Curriculum, 1996.

• LIMA, E. L. Meu professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro: SBM, 2000.

• MURARI, C. Ensino-aprendizagem de Geometria nas 7ª e 8ª séries, via caleidoscópios. 2v. Tese (Doutorado) – I.G.C.E., UNESP, Rio Claro, 1999.