Computação Quântica Baseada em Medidas

(1)

Instituto de F´ısica

Bacharelado em F´ısica

Thiago de Souza Ferreira

Computa¸c˜

ao Quˆ

antica Baseada em Medidas

Niter´

oi – RJ

2020

(2)

i THIAGO DE SOUZA FERREIRA

COMPUTA ¸C ˜AO QU ˆANTICA BASEADA EM MEDIDAS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Gradua¸cão em F´ısica, na modali-dade bacharelado, da Universimodali-dade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obten¸cão do Grau de Bacharel em F´ısica.

Orientador: Prof. Dr. Daniel Jonathan

Niter´oi – RJ 2020

(3)

Bibliotecário responsável: Mario Henrique de Oliveira Castro - CRB7/6155

F383c Ferreira, Thiago de Souza

Computação quântica baseada em medidas / Thiago de Souza Ferreira ; Daniel Jonathan, orientador. Niterói, 2020. 50 f. : il.

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Física)-Universidade Federal Fluminense, Instituto de Física, Niterói, 2020.

1. Computação quântica. 2. Produção intelectual.I. Jonathan, Daniel, orientador. II. Universidade Federal Fluminense. Instituto de Física. III. Título.

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(5)

-Resumo

A computa¸cão quântica permite a realiza¸cão de certas tarefas mais eficientemente do que um computador clássico. Esta monografia busca apresentar uma forma de compu-ta¸cão quântica diferente da padrão: a Computa¸cão Quântica Baseada em Medidas, mais especificamente o modelo conhecido como One-Way Quantum Computation (1WQC), de-senvolvido por R. Raussendorf e H. Briegel. Para compreendê-lo, este trabalho parte do modelo de circuitos, a forma mais comum de se realizar computa¸cão quântica, descrevendo as suas principais componentes. É feita então a introdu¸cão à 1WQC, procurando-se apre-sentar de forma didática seu funcionamento. É apresentada uma forma de aplicar, através da 1WQC, opera¸cões equivalentes a portas lógicas quânticas de um e de dois q-bits, ex-plicando assim como esse modelo possibilita a computa¸cão universal. Como exemplo, é discutida a tradu¸cão do algoritmo de Deutsch para este modelo. O resultado dessa opera¸cão levanta, porém, questões não resolvidas sobre a tradu¸cão de algoritmos do tipo Oráculo, como o de Deutsch, ao modelo 1WQC.

Palavras-chave: Computa¸c˜ao Quˆantica Baseada em Medidas; One-Way Quantum Computation; Algoritmo de Deutsch.

(6)

iii

Abstract

Quantum computing allows the realization of certain tasks more efficiently than its classical counterpart. This monograph seeks to present a type of quantum computation that is different from the standard form: Measurement-Based Quantum Computation, more specifically a model known as One-Way Quantum Computation (1WQC), develo-ped by R. Raussendorf and H. Briegel. To understand it, this work starts from the circuit model, the most common type of quantum computing, describing its main components. The 1WQC model is then introduced, with an attempt to didactically present its ope-ration. A way of applying one- and two-qubit quantum logic gates is also shown, thus explaining how universal quantum computing is possible in this model. As an example, the translation of Deutsch’s algorithm to this model is also discussed. The result of this operation raises, however, open questions concerning the translation of Oracle-type algo-rithms, such as Deutsch’s, to the 1WQC model.

Keywords: Measurement Based Quantum Computation; One-Way Quantum Com-putation; Deutsch’s Algorithm

(7)

Agradecimentos

`

A minha fam´ılia, sobretudo à minha mãe, por todo o apoio não só ao longo da gradua¸cão, mas de minha vida; e ao meu avô, por, desde sempre, me incentivar a aprender. Aos professores que tive ao longo da gradua¸cão, principalmente à professora Daisy Luz, por possibilitar que eu trabalhasse na Casa da Descoberta, propiciando uma experi-ência fundamental para minha forma¸cão como f´ısico e como pessoa; ao professor Daniel Jonathan, por me orientar, de forma atenciosa e paciente, ao longo da realiza¸cão desse trabalho; e ao professor Ernesto Galvão, por me iniciar nos caminhos da computa¸cão quântica.

Aos meus colegas da Casa da Descoberta, sobretudo à Verdinha, por tudo o que me ensinaram, mesmo sem perceber, e por tornarem as manhãs de trabalho mais divertidas. Aos meus colegas da gradua¸cão, pelas discussões úteis que contribu´ıram para minha forma¸cão, mas também pelas inúteis, que deixaram meus dias mais leves. Em especial, ao Trotte, pelas músicas da Disney e aberturas de animes que cantou comigo.

Por fim, ao Gustavo, por todas as d´uvidas que tirou desde que nos conhecemos, por todos os abra¸cos que me deu quando mais precisei e por estar ao meu lado quando eu sabia exatamente o que fazer, mas, em um sentido muito mais real, n˜ao tinha ideia do que fazer.

(8)

Sum´

ario

Resumo ii

Abstract iii

Agradecimentos iv

1 Introdu¸c˜ao 1

2 Computa¸c˜ao Quˆantica 3

2.1 O Q-Bit . . . 3

2.1.1 Estados de mais q-bits . . . 3

2.2 Portas L´ogicas Quˆanticas . . . 5

2.2.1 Portas l´ogicas de um q-bit . . . 6

2.2.2 Portas l´ogicas de mais de um q-bit . . . 8

2.3 Medidas . . . 10

2.3.1 Medidas na base computacional . . . 10

2.3.2 Medidas fora da base computacional . . . 11

2.4 Modelo de Circuitos . . . 11

2.4.1 Computa¸c˜ao Quˆantica Universal . . . 13

2.5 Algoritmo de Deutsch . . . 13

2.6 Teletransporte Quˆantico . . . 17

3 Computa¸c˜ao Quˆantica Baseada em Medidas 20 3.1 One-Way Quantum Computation . . . 20

3.2 Estados Clusters e Grafos . . . 20

3.3 Medidas em Z . . . 22

3.4 Universalidade da One-Way Quantum Computation . . . 24

(9)

3.5 Implementando a Porta CX . . . 29

3.6 Algoritmo de Deutsch . . . 32

4 Conclus˜ao 39

(10)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸

c˜

ao

Desde o surgimento dos primeiros computadores eletrônicos, na primeira metade do século passado, a computa¸cão passou por diversas melhorias. Os computadores de agora em nada se parecem com os trambolhos dos anos 40. Os atuais são mais rápidos, menores, mais fáceis de usar e, em geral, mais baratos.

Apesar das muitas mudan¸cas, o funcionamento do computador atual não é essen-cialmente diferente do de um computador do final da década de 60. Ele ainda se baseia em circuitos elétricos integrados, mesmo que de forma cada vez mais otimizada. Mais do que isso, ele ainda se baseia na manipula¸cão de bits.

A mecânica quântica, surgindo no final do século XIX e sendo aperfei¸coada ao longo do século XX, levou a uma melhor compreensão de como funciona o mundo em escala atômica, trazendo a possibilidade de uma nova forma de se fazer computa¸cão.

´

E válido lembrar que os computadores comuns, que serão aqui chamados de com-putadores clássicos, também envolvem a mecânica quântica em seu funcionamento. Eles dependem fortemente de circuitos eletrônicos e a mecânica quântica é necessária para entender o comportamento de elétrons. A diferen¸ca entre os computadores clássicos e os quânticos é a forma como a informa¸cão é armazenada. No caso da computa¸cão quântica, o caráter quântico do sistema f´ısico usado é fundamental para sua realiza¸cão, enquanto na clássica ele não é relevante e nem, ao menos, necessário. Qualquer computa¸cão que possa ser realizada por um computador clássico pode ser realizada, com eficiência semelhante, por outro. Ou seja, os primeiros computadores clássicos e os atuais são capazes de resolver os mesmos problemas.

A computa¸cão quântica, apesar de ainda estar no in´ıcio do seu desenvolvimento, já

(11)

se mostra promissora. Computadores quânticos podem ser mais eficientes na realiza¸cão de algumas tarefas, as quais os computadores clássicos atuais não conseguem resolver em tempo hábil.

Um exemplo de limita¸cão conhecida do computador clássico é a dificuldade na fatora¸cão em números primos. Mesmo os melhores algoritmos conhecidos têm um alto custo computacional, de forma que a fatora¸cão de números muito grandes é extremamente demorada e, em muitos casos, imposs´ıvel, na prática, para nossos computadores atuais. Essa dificuldade é a base de boa parte dos esquemas de criptografia utilizados atualmente. O algoritmo de Shor [8], criado em 1994, permitiria a computadores quânticos fazer a fatora¸cão em primos de forma muito mais eficiente. Também existem algoritmos quânticos mais eficientes do que os algoritmos clássicos conhecidos para certos problemas de busca e de otimiza¸cão [4]. Espera-se, também, que computadores quânticos se sobressaiam na simula¸cão de sistemas quânticos.

A forma padrão de se fazer computa¸cão quântica é o Modelo de Circuitos, no qual a manipula¸cão dos bits quânticos (q-bits) é realizada, sobretudo, através de portas lógicas. Nesse trabalho será apresentada uma outra forma: a Computa¸cão Quântica Baseada em Medidas (CQBM). Nela, como o nome sugere, a manipula¸cão dos q-bits é realizada através de medidas. A CQBM traz à tona uma nova forma de se pensar em computa¸cão quântica já que, diferente do Modelo de Circuitos, ela não tem um análogo clássico conhecido. Além disso, ela traz novas possibilidades para sua realiza¸cão experimental.

No segundo cap´ıtulo dessa monografia, fazemos uma introdu¸cão ao Modelo de Cir-cuitos, expondo suas principais componentes, o conceito de computa¸cão quântica universal e dois algoritmos simples: o de Teletransporte e o algoritmo de Deutsch. Já no terceiro cap´ıtulo, tratamos do tema principal desse trabalho. Nele, apresentamos uma forma es-pec´ıfica de se fazer CQBM: a One-Way Quantum Computation (1WQC), explicando seus princ´ıpios básicos. Além disso, mostramos que ela é equivalente ao Modelo de Circuitos por meio da exibi¸cão de uma forma eficiente de realizar portas lógicas de um conjunto universal através da 1WQC. Por fim, discutimos a realiza¸cão do algoritmo de Deutsch nesse modelo.

(12)

Cap´ıtulo 2

Computa¸

c˜

ao Quˆ

antica

2.1 O Q-Bit

O bit quântico, ou q-bit, é a unidade de informa¸cão fundamental da computa¸cão quântica, generalizando o bit da computa¸cão clássica. Ele representa um sistema quântico com dois estados distingu´ıveis. Um desses estados será chamado de |0i e, o outro, de |1i. Diferente do bit clássico, que só pode estar no estado 0 ou no 1, um q-bit ainda pode estar em uma superposi¸cão dos estados |0i e |1i, caracter´ıstica que vem do fato de o sistema ser quântico. Nesse caso, o estado do q-bit pode ser escrito como uma combina¸cão linear de |0i e |1i, na forma:

|Ψi = α |0i + β |1i . (2.1)

Também seria poss´ıvel trabalhar, em vez de com q-bits, com sistemas com três estados de base (q-trits), ou mais, mas não entraremos nessa questão nesse trabalho.

A representa¸cão matricial dos estados de um q-bit, na base canônica, é:

|0i =   1 0  , |1i =   0 1   e |Ψi =   α β   .

2.1.1 Estados de mais q-bits

Para fazer computa¸cão, são necessários vários q-bits. Assim, é importante conhecer a representa¸cão de estados de mais de um q-bit. Se |Ψ1i = α1|0i + β1|1i é o estado no

qual se encontra o primeiro q-bit e |Ψ2i = α2|0i + β2|1i o estado no qual se encontra o

segundo, o estado do sistema formado por ambos ´e dado pelo produto tensorial de |Ψ1i

(13)

com |Ψ2i.

|Ψ1i ⊗ |Ψ2i = α1α2|0i ⊗ |0i + α1β2|0i ⊗ |1i + β1α2|1i ⊗ |0i + β1β2|1i ⊗ |1i .

Por praticidade, escreveremos esse estado conjunto como:

|Ψ12i = α1α2|00i + α1β2|01i + β1α2|10i + β1β2|11i . (2.2)

O estado de um sistema qualquer de dois q-bits pode ser escrito como uma combi-na¸cão linear dos estados da base computacional de dois q-bits, sendo eles: |00i , |01i , |10i e |11i. A representa¸cão matricial desses estados é:

|00i =         1 0 0 0         , |01i =         0 1 0 0         , |10i =         0 0 1 0         , |11i =         0 0 0 1         .

Analogamente, o estado de um sistema de n q-bits, cada um deles no estado |Ψii =

αi|0i + βi|1i, com i = 1, 2, ..., n ´e dado pelo produto tensorial entre os n estados. Al´em

disso, o estado de um sistema qualquer de n q-bits pode ser escrito como uma combina¸c˜ao linear dos estados da base de n q-bits.

Estados Emaranhados

Alguns estados de vários q-bit não podem ser escritos como o produto de estados de um q-bit como na equa¸cão (2.2), ou seja, não são separáveis. Nesse caso, dizemos que o sistema se encontra em um estado emaranhado. Alguns exemplos de estados emaranhados são os estados de Bell, sendo eles:

(14)

5 |β00i = |00i + |11i √ 2 ; (2.3a) |β01i = |01i + |10i √ 2 ; (2.3b) |β10i = |00i − |11i √ 2 ; (2.3c) |β11i = |01i − |10i √ 2 . (2.3d)

Como exemplo, mostraremos que o estado |β00i ´e emaranhado. Caso ele fosse

separ´avel, poder´ıamos escrever: |β00i = |Ψ1i ⊗ |Ψ2i = (α1|0i + β1|1i)(α2|0i + β2|1i).

Assim, ter´ıamos a equa¸c˜ao: |00i + |11i

√

2 = α1α2|00i + α1β2|01i + β1α2|10i + β1β2|11i , (2.4) ou seja:

α1α2 = 1 ; (2.5a)

α1β2 = 0 ; (2.5b)

β1α2 = 0 ; (2.5c)

β1β2 = 1 . (2.5d)

Como o sistema de equa¸cões acima não tem solu¸cão, |β00i não é separável.

O emaranhamento tem um papel fundamental na computa¸cão quântica, o que será exemplificado posteriormente nesse trabalho.

2.2 Portas L´

ogicas Quˆ

anticas

As portas lógicas são componentes fundamentais dos algoritmos para computa¸cão quântica. Elas são operadores unitários (ou seja, se Q é uma porta lógica quântica, Q†_{Q = 1) e lineares.}

A seguir, serão listadas algumas das portas lógicas quânticas e suas propriedades relevantes para esse trabalho.

(15)

2.2.1 Portas l´

ogicas de um q-bit

A porta Identidade

Aplicar a porta identidade (1) em um q-bit representa não realizar mudan¸ca alguma em seu estado. Sua representa¸cão matricial é a matriz identidade.

As portas X, Y e Z

As portas X, Y e Z s˜ao representadas, na base computacional, pelas matrizes de Pauli. Assim: X =   0 1 1 0  , Y =   0 −i i 0   e Z =   1 0 0 −1   .

Sua atua¸c˜ao nos estados da base computacional est´a apresentada na tabela abaixo:

Input Porta Output

|0i X |1i |1i X |0i |0i Y i |1i |1i Y -i |0i |0i Z |0i |1i Z - |1i Tabela 2.1: Atua¸c˜ao de X, Y e Z

Esses operadores obedecem à rela¸cão: AB = iεABCC +δAB1, onde εABCé o s´ımbolo

de Levi-Civita e δAB, o Delta de Kronecker.

A Porta U (θ)

A porta U (θ) = eiθZ2 também será relevante nesse trabalho. Será útil conhecer a

forma matricial desse operador, escrita na base computacional.

U (θ) = eiθZ2 = ∞ X n=0 (iθZ/2)n n! . (2.6)

Considerando que Z2 _{= 1, temos:}

U (θ) =   P∞ n=0 (iθ/2)n n! 0 0 P∞ n=0 (−iθ/2)n n!  =   eiθ2 0 0 e−iθ2   . (2.7)

(16)

7 Por U (θ) ser diagonal na base computacional, já é clara sua atua¸cão nos estados da base, mostrada na tabela 2.2:

Input Porta Output |0i U(θ) eiθ2 |0i

|1i U(θ) e−iθ2 |1i

Tabela 2.2: Atua¸c˜ao de U (θ)

A porta R(θ)

Outro operador importante ´e R(θ) = Xcos(θ) + Y sen(θ). Sua forma matricial, na base computacional, ´e: R(θ) = cos(θ)   0 1 1 0  + sen(θ)   0 −i i 0  =   0 e−iθ eiθ 0   . (2.8)

Sua atua¸c˜ao nos estados da base ´e mostrada na tabela 2.3. Input Porta Output

|0i R(θ) eiθ_|1i

|1i R(θ) e−iθ|0i

Tabela 2.3: Atua¸c˜ao de R(θ)

Devemos notar que R(0) = X e R(π₂) = Y . A Porta Hadamard

A porta Hadamard (H) ´e representada, na base computacional, pela matriz:

H = √1 2   1 1 1 −1   .

Sua atua¸c˜ao ´e mostrada na tabela 2.5:

Input Porta Output

|0i H |+i

|1i H |−i

(17)

Onde:

|+i = |0i + |1i√

2 e |−i =

|0i − |1i √

2 . (2.9)

Ou seja, a porta H leva estados da base computacional a uma superposi¸c˜ao deles. Como H†ZH = X, o operador H faz uma mudan¸ca da base dos autoestados de Z para a de X.

As portas Fase e π₈

A porta Fase (S) e a porta π₈ (T ) s˜ao representadas, na base computacional, pelas matrizes abaixo: S =   1 0 0 i   e T =   1 0 0 eiπ4   .

Sua atua¸c˜ao se d´a acrescentando uma fase (i no caso de S e eiπ4 no caso de T ) ao

estado |1i e n˜ao modificando o estado |0i, como visto abaixo: Input Porta Output

|0i S |0i

|1i S i |1i

|0i T |0i

|1i T eiπ4 |1i

Tabela 2.5: Atua¸c˜ao de S e T

Das portas apresentadas, 1 , X , Z , Y , R(θ) e H são hermitianas (se Q é um operador hermitiano, Q† = Q). Portas que acrescentem uma fase a um estado da base, ou que os levem a uma superposi¸cão de estados não são poss´ıveis na computa¸cão clássica, porque bits só podem ser 0 ou 1, enquanto q-bits podem ser uma combina¸cão linear de |0i e |1i. Assim, das portas citadas, apenas tem análogos clássicos: a Identidade e X, que é análoga à porta NOT.

2.2.2 Portas l´

ogicas de mais de um q-bit

Todas as portas citadas acima atuam em um sistema de vários q-bits através da aplica¸cão da porta em questão em um dos q-bits e da identidade nos outros. Por exemplo, para atuar a porta Q no segundo q-bit de um sistema de trˆ_{es q-bits, fazemos 1 ⊗ Q ⊗}

(18)

9 1. Indicaremos que uma porta l´ogica Q atua no n-´esimo q-bit escrevendo-a como Qn,

deixando impl´ıcita a atua¸c˜_{ao de 1 nos outros q-bits.}

Portas Controladas

As portas controladas performam um determinado operador em um q-bit, enquanto outros q-bits funcionam como um controle. Nesse trabalho, ser˜ao relevantes as portas CX,

tamb´em chamada de CNOT, e CZ. Elas s˜ao portas controladas de dois q-bits que, quando

o q-bit de controle está no estado |0i, não modificam o q-bit alvo e, quando o q-bit de controle está no estado |1i, aplicam X ou Z no q-bit alvo, como mostrado nas tabelas abaixo:

Input Porta Output

|00i CX |00i

|01i CX |01i

|10i CX |11i

|11i CX |10i

Tabela 2.6: Atua¸c˜ao de CX

Input Porta Output

|00i CZ |00i

|01i CZ |01i

|10i CZ |10i

|11i CZ - |11i

Tabela 2.7: Atua¸c˜ao de CZ

Suas representa¸c˜oes matriciais, na base computacional, s˜ao:

CX =         1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0         e CZ =         1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1         .

Aplicar CX 12 a um estado qualquer de dois q-bits equivale a aplicar H2CZH2, onde

o subscrito 12 representa que o primeiro q-bit ´e o controle, enquanto o segundo ´e o alvo.

Para ver essa rela¸cão, compararemos a atua¸cão de ambos os conjuntos de portas em um estado genérico |φi = α |00i + β |01i + γ |10i + δ |11i.

(19)

e

H2CZH2|φi = H2CZ

1 √

2[α |0i (|0i + |1i) + β |0i (|0i − |1i) + γ |1i (|0i + |1i) + δ |1i (|0i − |1i)] = H2

1 √

2[α |0i (|0i + |1i) + β |0i (|0i − |1i) + δ |1i (|0i + |1i) + γ |1i (|0i − |1i)] = α |00i + β |01i + δ |10i + γ |11i = CX 12|φi . (2.11)

As portas controladas são fundamentais para a cria¸cão de estados emaranhados. Por exemplo, uma forma de gerar os estados de Bell a partir de estados da base compu-tacional de dois q-bits é:

|βxyi = CX 12H1|xyi , (2.12)

onde x e y podem assumir os valores 0 ou 1.

2.3 Medidas

As medidas são outras componentes fundamentais da computa¸cão quântica. Quando uma medida é feita, o sistema colapsa para um autoestado do observável medido. Para que um operador possa ser um observável, ele deve ser hermitiano. Diferente das portas, as medidas são irrevers´ıveis.

2.3.1 Medidas na base computacional

A base computacional, como visto anteriormente, é formada por {|0i , |1i}. Ela também é a base dos autoestados da porta Z.

Quando um estado |Ψi = α |0i + β |1i é medido nessa base, o resultado da medida será o bit clássico 0, com probabilidade |α|2, ou o bit clássico 1, com probabilidade |β|2.

Por isso, ´e necess´ario que |α|2 _{+ |β|}2 _{= 1, ou seja, que |Ψi esteja normalizado.}

Como as portas lógicas são operadores unitários, aplicá-las a um certo estado não altera sua norma.

(20)

11

2.3.2 Medidas fora da base computacional

Em outras bases ortonormais, a medida também resultará no bit clássico 0, quando o sistema tiver colapsado para o autoestado associado ao autovalor 1 do observável medido, ou no bit clássico 1, quando o colapso for para o autoestado com autovalor −1. Para saber a probabilidade de cada resultado, basta escrever o estado a ser medido em termos da base em questão.

Por exemplo, para a base formada por {|+i , |−i}, que s˜ao os autoestados do operador X, temos: |+i = |0i+|1i√ 2 |−i = |0i−|1i√ 2 →|0i = |+i+|−i_√ 2 |1i = |+i−|−i√ 2

→ |Ψi = α |+i + |−i√ 2 + β |+i − |−i√ 2 . Reorganizando: |Ψi = α + β√ 2 |+i + α − β √ 2 |−i . (2.13)

Ou seja, o resultado da medida ser´a 0, com probabilidade |α+β|₂ 2, ou 1, com proba-bilidade |α−β|₂ 2.

2.4 Modelo de Circuitos

No modelo de circuitos, a computa¸cão é feita por uma sequência de portas lógicas aplicadas a um estado inicial. Em geral, medidas são feitas ao final do processo para que se saiba o resultado da computa¸cão.

A representa¸cão de um circuito quântico será explicada a seguir. O input será escrito à esquerda do circuito, enquanto o output será escrito à direita. Cada linha repre-senta o processo pelo qual passará um dos q-bits.

Fios: Os fios representam que o tempo passou sem que o q-bit sofresse alguma modifica¸c˜ao.

|Ψ1i |Ψ1i

|Ψ2i |Ψ2i

(21)

Qa e Qb no primeiro q-bit est´a exemplificada abaixo:

|Ψ1i Qa Qb QbQa|Ψ1i

|Ψ2i |Ψ2i

CX: Uma porta CX que atua no segundo q-bit, controlada pelo primeiro ´e escrita

como:

|Ψ1i • |Ψ1CXi

|Ψ2i |Ψ2CXi

O s´ımbolo ⊕ denota o alvo da porta, enquanto o s´ımbolo • indica o q-bit contro-lador. Isso não significa que a aplica¸cão do CX do circuito mostrado só pode modificar o

segundo q-bit, mantendo o primeiro intacto. Por exemplo, se o estado inicial for |+−i, a aplica¸c˜ao da porta CX se dar´a da seguinte forma:

CX 12|+−i = CX 12

|00i − |01i + |10i − |11i 2

= |00i − |01i + |11i − |10i 2

= |−−i . (2.14) O subscrito12 foi usado para indicar que o q-bit 1 ´e o controlador e o q-bit dois, o

alvo.

CZ: Uma porta CZ entre os dois q-bits ´e escrita como:

|Ψ1i • |Ψ1CZi

|Ψ2i • |Ψ2CZi

Diferente do caso do CX, agora ambos os q-bits podem ser vistos como

controla-dores, já o único estado da base que a porta modificará é |11i.

Medidas: Uma medida na base formada pelos autoestados do operador Q no primeiro q-bit ´e escrita como:

|Ψ1i Q

(22)

13 Portas controladas por medidas: Por fim, existem portas cuja aplica¸cão está sujeita ao resultado de uma medida realizada anteriormente. Se o resultado for 0 a porta não será aplicada e, se for 1, será. Esse processo é chamado de feed-forward e será fundamental para a computa¸cão quântica baseada em medidas.

A aplica¸c˜ao da porta Q2 no segundo q-bit controlada pela medida na base dos

autoestados de Q1 do primeiro q-bit ´e escrita como:

|Ψ1i Q1

|Ψ2i Q2 |Ψ02i

2.4.1 Computa¸

c˜

ao Quˆ

antica Universal

Um conjunto de portas lógicas quânticas é dito universal se com um circuito for-mado apenas por essas portas é poss´ıvel realizar, com precisão arbitrária, qualquer ope-ra¸cão unitária. Todas as portas de um q-bit e a porta CX, por exemplo, formam um

conjunto universal. Tamb´em existem conjuntos discretos de portas universais, por exem-plo, o formado pelas portas H, S, T e CX [2].

Um outro conjunto universal ´e o formado por portas do tipo HU (θ) unidas a uma porta de dois q-bits, como CX ou CZ. Para mostrarmos isso, basta replicar as portas H,

S e T atrav´es de portas do tipo HU (θ). A porta H ´_{e simplesmente H1, ou seja, HU (0).} J´a as outras duas, podem ser escritas, a menos de uma fase, na forma U (θ), ou seja, HU (0)HU (θ), visto que que HH = 1:

S =   1 0 0 i  = ei π 4   e−iπ4 0 0 eiπ₄  = ei π 4U (−π/2) ; (2.15) T =   1 0 0 eiπ₄  = ei π 8   e−iπ8 0 0 eiπ₈  = ei π 8U (−π/4) . (2.16)

2.5 Algoritmo de Deutsch

Com os circuitos quânticos já expostos, é válido exibir, também, um algoritmo simples. O algoritmo de Deutsch será mostrado na forma como foi apresentado em [2].

(23)

Consideremos uma fun¸c˜ao f (x): {0, 1} → {0, 1}. Ela pode ser uma das quatro fun¸c˜oes a seguir: 1. f (0) = 0 e f (1) = 0 2. f (0) = 1 e f (1) = 1 3. f (0) = 0 e f (1) = 1 4. f (0) = 1 e f (1) = 0

Nos dois primeiros casos, diremos que a fun¸cão é constante (f (0) = f (1)). Já nos dois últimos, diremos que é balanceada (f (0) 6= f (1)).

Suponhamos que alguém monte um circuito quântico que aplique uma das fun¸cões, sem que possamos, de in´ıcio, saber qual é. A aplica¸cão da fun¸cão é feita da seguinte forma:

|xi

Uf

|yi |y ⊕ f (x)i

onde o s´ımbolo ⊕ representa uma soma m´odulo 2.

No caso em que y = 0, o output no segundo q-bit ´e simplesmente |f (x)i de forma que, para saber o valor de f (x), basta medir o segundo q-bit na base computacional.

Como não sabemos, a priori, qual das fun¸cões está sendo aplicada, o conteúdo da porta Uf é desconhecido. Por isso, dizemos que ela é uma caixa preta, ou um oráculo.

Suponhamos, agora, que queiramos descobrir se a fun¸cão aplicada é constante ou balance-ada. Para isso, classicamente, precisar´ıamos calcular f (0) e f (1), ou seja, seria necessário calcular o valor da fun¸cão duas vezes, uma para cada estado da base. O algoritmo de Deutsch é a forma como, na computa¸cão quântica, é poss´ıvel resolver o problema com um ´

unico uso do or´aculo.

Os circuitos que representam cada uma das fun¸cões citadas anteriormente será apresentado a seguir. Será indicada, também, suas aplica¸cões aos estados iniciais |00i e |10i.

Caso 1: f (0) = 0 e f (1) = 0 :

|xi

(24)

15

Input Output no segundo q-bit

|00i |0i |10i |0i Tabela 2.8: Caso 1 Caso 2: f (0) = 1 e f (1) = 1 : |xi |yi X |y ⊕ f (x)i

|00i |1i |10i |1i Tabela 2.9: Caso 2 Caso 3: f (0) = 0 e f (1) = 1 : |xi • |yi |y ⊕ f (x)i

|00i |0i

|10i |1i

Tabela 2.10: Caso 3

Caso 4: f (0) = 1 e f (1) = 0 :

(25)

|xi •

|yi X |y ⊕ f (x)i

|00i |1i

|10i |0i

Tabela 2.11: Caso 4

O circuito que representa o algoritmo de Deutsch ser´a apresentado a seguir:

|0i H

Uf

H |Ψ1i

|1i H |Ψ2i

Primeiro, a atua¸c˜ao da porta H em ambos os q-bits leva o estado |01i no estado:

|+−i = |0i + |1i√ 2

|0i − |1i √

2

= (|00i − |01i + |10i − |11i)

2 .

Ap´os passar pela caixa preta, o novo estado ´e:

Uf|+−i =

|0i |f (0)i − |0i |(f (0) ⊕ 1)i + |1i |f (1)i − |1i |f (1) ⊕ 1i

2 . (2.17)

Se a fun¸cão é constante (f (0) = f (1)), a equa¸cão 2.17 pode ser escrita como:

Uf |+−i =

|+i (|f (0)i − |f (0) ⊕ 1i) √

2 . (2.18)

Já se a fun¸cão é balanceada (f (0) 6= f (1)), a equa¸cão 2.17 se resume a:

Uf|+−i =

|−i (|f (0)i − |f (0) ⊕ 1i) √

2 . (2.19)

Ap´os aplicar a porta H1, o estado final ´e:

|Ψ1i |Ψ2i =     

|0i(|f (0)i−|f (0)⊕1i)_√

2 , sef (0) = f (1) |1i(|f (0)i−|f (0)⊕1i)_√

2 , sef (0) 6= f (1)

(26)

17 Assim, basta medir o primeiro q-bit na base computacional. Se o resultado for 0, sabe-se que a fun¸cão é constante e, se for 1, sabe-se que é balanceada.

Não é poss´ıvel, fazendo uma aplica¸cão do algoritmo de Deutsch, saber a qual dos quatro casos a caixa preta pertence. Ainda assim, o fato de ser poss´ıvel descobrir uma informa¸cão sobre a atua¸cão da fun¸cão em ambos os estados da base a partir de uma única aplica¸cão já é uma conquista impressionante da computa¸cão quântica.

2.6 Teletransporte Quˆ

antico

Até o momento, a computa¸cão quântica foi apresentada como uma sequência de operadores unitários realizada em um estado inicial, seguida por medidas ao fim do pro-cesso, que serviam apenas para que se conhecesse o resultado final. O algoritmo de teletransporte, que será apresentado a seguir, demonstra como as medidas podem ser integradas ao processo, tendo outras fun¸cões além de apresentar o resultado final.

O teletransporte quântico, como mostrando em [2], consiste em transportar um estado |Ψi de um local para outro, sem que seja necessário algum tipo de intera¸cão quântica direta entre o lugar de partida e o de chegada, e ainda sem que se precise conhecer o estado |Ψi.

Suponhamos que uma pesquisadora, que chamaremos de Alice, queira enviar o estado |Ψi, definido pela equa¸c˜ao (2.1), para seu colega, que chamaremos de Bob, que se encontra em um laborat´orio distante.

Para que o procedimento possa ser realizado eles devem, inicialmente, compartilhar de um estado de Bell, que pode ser gerado da forma mostrada na equa¸cão 2.12 . No caso, será o estado |β00i. Alice estará com o primeiro q-bit do par e Bob, com o segundo. O

circuito abaixo apresenta o restante do processo. O ´ultimo q-bit estar´a com Bob e os dois primeiros, com Alice.

|Ψi • H Z Z X Z |Ψi        |β00i

(27)

Chamaremos o estado inicial formado pelos trˆes q-bits de |Ψai. |Ψai = α |0i₁ |00i₂₃+ |11i₂₃ √ 2 + β |1i1 |00i₂₃+ |11i₂₃ √ 2 . (2.21)

Quando Alice decidir transportar o estado |Ψ1i, dever´a, primeiro, atuar a porta

CX 12 em |Ψai. Isso equivale a fazer um CX controlado pelo primeiro q-bit, tendo como

alvo o segundo, e n˜ao alterar o terceiro.

|Ψbi = CX 12|Ψai = α |0i₁ |00i₂₃+ |11i₂₃ √ 2 + β |1i1 |10i₂₃+ |01i₂₃ √ 2 . (2.22)

Com a aplica¸c˜ao de H1, o novo estado ´e:

|Ψci = |0i1 α|00i23√+ |11i23 2 + β |10i₂₃+ |01i₂₃ √ 2 +|1i₁ α|00i23√+ |11i23 2 − β |10i₂₃+ |01i₂₃ √ 2 . (2.23)

Alice deve, então, medir os q-bits que se encontram com ela na base de Z. Como os q-bits estão em um estado emaranhado, conhecendo o resultado da medida dos dois primeiros, já é poss´ıvel saber em qual estado se encontra o terceiro, como mostra a tabela 2.12, onde a primeira medida foi feita no q-bit 1 e a segunda, no 2.

Resultado da 1ª medida Resultado da 2ª medida Estado do 3.º q-bit

0 0 α |0i + β |1i

0 1 α |1i + β |0i

1 0 α |0i − β |1i

1 1 α |1i − β |0i

Tabela 2.12: Resultado das medidas do circuito de teletransporte

Alice deverá dizer para Bob, através de um canal clássico de comunica¸cão, quais foram os resultados de suas medidas, para que ele saiba que modifica¸cões fazer no terceiro q-bit.

Assim, se o resultado de ambas as medidas for 0, o terceiro q-bit já estará no estado |Ψi e nenhuma modifica¸cão será necessária. Se o primeiro for 0 e o segundo 1, Bob deverá aplicar a porta X em seu q-bit. Se o primeiro for 1 e o segundo for 0, Bob deverá aplicar a porta Z. Por fim, se ambos os resultados forem 1, ele deve aplicar a porta X, seguida pela porta Z. Assim, mesmo que o resultado das medidas seja aleatório, a aplica¸cão das portas controladas faz com que o q-bit que ele guarda sempre termine o processo no estado |Ψi. O teletransporte quântico, já realizado experimentalmente [9], é mais um dos feitos

(28)

19 impressionantes da computa¸cão quântica. Uma outra forma de realizar o teletransporte servirá de base para se fazer computa¸cão quântica baseada em medidas, como veremos a seguir.

(29)

Cap´ıtulo 3

Computa¸

c˜

ao Quˆ

antica Baseada em

Medidas

3.1 One-Way Quantum Computation

Na Computa¸cão Quântica Baseada em Medidas (CQBM), as altera¸cões nos estados dos q-bits, antes feitas através de portas lógicas, serão feitas através de medidas. Isso per-mite tanto a gera¸cão de novos conhecimentos teóricos sobre como funciona a computa¸cão quântica, como também novas possibilidades de realizá-la experimentalmente.

O modelo para CQBM que será apresentado nesse trabalho foi desenvolvido por R. Raussendorf e H. Briegel [11] e é chamado de One-Way Quantum Computation (1WQC). Ele consiste na prepara¸cão de um estado emaranhado de muitos q-bits, que será chamado de estado cluster, seguida da realiza¸cão de medidas locais, ou seja, feitas cada uma em um q-bit, nas bases dos autoestados de Z ({|0i , |1i}) ou de R(θ) ({|θ+i , |θ−i}), onde

|θ+i = {√1₂(|0i + eiθ|1i e |θ−i = √1₂(|0i − eiθ|1i). Essas medidas ser˜ao adaptativas, o que

significa que a base em que elas serão feitas dependerá do resultado de medidas anteriores. O nome One-Way Quantum Computation vem da ideia de que, conforme as me-didas, que são irrevers´ıveis, são realizadas, o estado emaranhado inicial é destru´ıdo.

3.2 Estados Clusters e Grafos

Os estados clusters, como mencionado anteriormente, s˜ao os estados emaranhados de muitos q-bits que funcionam como substrato para a 1WQC. Sua prepara¸c˜ao consiste

(30)

21 na atua¸c˜ao de portas CZ em q-bits no estado |+i. Como essas portas comutam entre

si, não faz diferen¸ca a ordem em que são aplicadas. A execu¸cão dessas portas pode ser feita através de uma intera¸cão de Ising entre primeiros vizinhos por um certo per´ıodo do tempo, a menos de uma corre¸cão com operadores locais [11].

Para representar esses estados emaranhados de muitos q-bits, muitas vezes são usados grafos. Um grafo é um par de conjuntos G = (V, E), onde V é um conjunto de vértices e E o de arestas que ligam alguns desses vértices [3], como os das figuras 3.1 e 3.2. No caso, cada vértice representa um q-bit no estado |+i, enquanto cada aresta representa um CZ entre os pontos ligados por ela. Estados que podem ser representados dessa forma

s˜ao chamados de estados grafos.

Figura 3.1: Grafos referentes `as redes hexagonal, quadrada e triangular.

Figura 3.2: Grafo referente a um estado montado linearmente.

Nem todos os estados grafos possibilitam fazer computa¸cão quântica universal. Estados montados linearmente, como o da figura 3.2, por exemplo, podem ser simulados eficientemente por um computador clássico [7] e, portanto, não são universais. Alguns dos estados grafos que são recursos para computa¸cão quântica universal são os que formam a rede quadrada, a triangular e a hexagonal [1], como os da figura 3.1.

(31)

3.3 Medidas em Z

Enquanto as medidas em R(θ) são responsáveis por fazer a computa¸cão propria-mente dita, como mostraremos na próxima se¸cão, as medidas em Z servem para retirar um q-bit de um cluster. Na se¸cão anterior, mostramos alguns dos estados grafos que podem ser recursos para uma 1WQC universal. Isso não significa que, para executar um algoritmo espec´ıfico, todos os q-bits do cluster são usados. Na verdade, muitos não o são, e as medidas em Z servem, justamente, para retirar do cluster os q-bits desnecessários para aquela tarefa.

Para entender o processo, faremos um exemplo. Consideremos o estado cluster |Φi criado da seguinte forma:

|+i •

|+i • •

|+i •

|Φi = CZ 12CZ 23|+ + +i =

1

2√2(|000i + |001i + |010i + |100i + |101i − |011i − |110i + |111i) . (3.1)

Caso o terceiro q-bit seja retirado, o novo estado ser´a dado por:

|+i •

CZ|++i =

1

2(|00i + |01i + |10i − |11i) . (3.2)

Para chegar no resultado buscado, primeiro mediremos o terceiro q-bit na base dos autoestados de Z. Podemos escrever |Φi assim:

|Φi = 1

2√2[(|00i + |01i + |10i − |11i)12|0i3+ (|00i − |01i + |10i + |11i)12|1i3] . (3.3) Caso o resultado da medida do terceiro q-bit seja 0, os dois primeiros q-bits estar˜ao no estado

1

2(|00i + |01i + |10i − |11i) = CZ|++i .

J´a o se o resultado for 1, os dois primeiros q-bits estar˜ao no estado 1

(32)

23 que pode ser levado ao estado CZ|++i com a atua¸c˜ao da porta Z2 ou da porta X1.

Isso significa que fazer uma medida em Z e um determinado q-bit retira-o dretira-o cluster, intrretira-oduzindretira-o um errretira-o nretira-os retira-outrretira-os q-bits que pretira-ode ser cretira-orrigidretira-o com um operador X ou Z. Essa corre¸cão deve ser inclu´ıda na base em que serão realizadas as medidas seguintes, como será mostrado na se¸cão posterior. Nessa monografia, podemos assumir que os estados grafos usados são universais, de forma que, a partir deles, possa-se chegar a qualquer outro através de medidas em Z. O cluster, após preparado, só pode ser usado uma vez. A computa¸cão, feita através de medidas, destruirá o estado emaranhado ao longo de sua realiza¸cão. Os q-bits colapsam para um autoestado do observável medido e não mais guardam alguma informa¸cão, de forma que esta passa para os q-bits que ainda não foram medidos, como indicado na imagem abaixo. Nela, simboliza as medidas em Z, as setas verticais simbolizam as medidas em X e as setas inclinadas indicam medidas em bases do tipo R(θ).

Figura 3.3: Destrui¸c˜ao do Cluster- Figura retirada de [11]

Quando a base em que certas medidas são realizadas não depende do resultado de outras, elas podem ser realizadas ao mesmo tempo. Assim, ao longo da computa¸cão, existirão conjuntos de medidas que podem ser realizadas ao mesmo tempo, de forma que a computa¸cão seja feita a partir de ”camadas”de medidas.

(33)

3.4 Universalidade da One-Way Quantum

Compu-tation

Até o momento, discutimos a cria¸cão do substrato para a computa¸cão, ou seja, do estado emaranhado inicial. Agora, entenderemos como realizar um conjunto universal de portas através da 1WQC. Para isso, traduziremos os elementos de um conjunto universal apresentado na se¸cão 2.4.1 para esse modelo. Para motivar essa tradu¸cão, partiremos de um circuito simples e o modificaremos aos poucos, até chegar a um algoritmo de 1WQC, como feito em [6]. Ou seja, queremos ter, no final, apenas um estado inicial, emaranhado através de portas CZ, e medidas nas bases Z e R(θ).

O circuito em questão está representado abaixo. Ele realiza um processo seme-lhante ao de teletransporte: leva um certo estado |Ψi de um q-bit para outro, sem que seja necessário conhecer esse estado. A principal diferen¸ca é que, enquanto no circuito de teletransporte apresentado anteriormente, não havia intera¸cão direta entre o q-bit que inicialmente carregava o estado |Ψi e o q-bit para onde ele deveria ser transportado, neste circuito, há.

|Ψi • X

|0i Z |Ψi

O estado inicial ´e:

|Ψ1i = |Ψi |0i = α |00i + β |10i . (3.4)

O objetivo é fazer com que o segundo q-bit esteja no estado |Ψi. A aplica¸cão da porta CX 12 levará a:

|Ψ2i = CX 12|Ψi |0i = α |00i + β |11i . (3.5)

Como a medida ser´a na base dos autoestados de X, escreveremos o estado acima nessa base: |Ψ2i = |+i α |0i + β |1i √ 2

+ |−i α |0i − β |1i√ 2

. (3.6)

(34)

25 α |0i + β |1i, que ´e justamente o estado |Ψi.

Já se o resultado for 1, o segundo q-bit estará no estado α |0i − β |1i. Com a aplica¸cão da porta Z2, o estado final será α |0i + β |1i = |Ψi.

Aplicar CX 12 a um estado qualquer de dois q-bits, como mostrado anteriormente,

equivale a aplicar H2CZH2.

Portanto, esse circuito de teletransporte tamb´em pode ser escrito como:

|Ψi • X

|+i • H Z |Ψi

Onde a primeira porta H foi agregada ao estado inicial do segundo q-bit, levando-o de |0i para |+i.

Por sua vez, ZH pode ser substitu´ıdo por HX, o que se torna vis´ıvel quando comparamos a atua¸c˜ao de ambos os conjuntos de portas em um estado qualquer |Ψi.

ZH |Ψi = Z α √ 2(|0i + |1i) + β √ 2(|0i − |1i = √β 2(|0i + |1i) + α √ 2(|0i − |1i) (3.7) e

HX |Ψi = H(β |0i + α |1i) = √β

2(|0i + |1i) + α √

2(|0i − |1i) = ZH |Ψi . (3.8) Assim, podemos reescrever o circuito anterior como:

|Ψi • X

|+i • X H |Ψi

´

E poss´ıvel, tamb´em, aplicar uma porta l´ogica Q qualquer no estado |Ψi antes de realizar o teletransporte, como no circuito abaixo:

|Ψi Q • X

|+i • X H Q |Ψi

(35)

seja, queremos transportar o estado U (θ) |Ψi. Como U (θ)1 ´e uma matriz diagonal na base

computacional, comuta com CZ, que tamb´em ´e diagonal. Logo, o circuito que transporta

U (θ) |Ψi ´e:

|Ψi • U (θ) X

|+i • X H U (θ) |Ψi

Note agora que U (θ) |Ψi = αeiθ2 |0i + βe −iθ

2 |1i, a menos de uma fase global, ´e:

U (θ) |Ψi = α |0i + e−iθβ |1i . (3.9)

Como a medida é feita na base dos autovetores de X, será útil escrever U (θ) |Ψi em termos de |+i e |−i:

U (θ) |Ψi = α√1 2(|+i+|−i)+e −iθ β√1 2(|+i−|−i) = 1 √ 2[|+i (α+e −iθ

β)+|−i (α−e−iθβ)] . (3.10) O resultado da medida poder´a ser, ent˜ao, 0, com probabilidade 1₂|α + e−iθ_β|2_{, ou}

1, com probabilidade 1₂|α − e−iθ_β|2_.

Consideremos, por outro lado, o operador R(θ), definido na se¸c˜ao 2.2.1. Seus autoestados s˜ao: |θ+i = √1₂(|0i + eiθ|1i) e |θ−i = √1₂(|0i − eiθ|1i).

O estado |Ψi escrito em fun¸c˜ao de |θ+i e |θ−i ´e:

|Ψi = √1 2|θ+i (α + e −iθ β) + |θ−i (α − e−iθβ) . (3.11)

Assim, caso me¸ca-se |Ψi na base formada por {|θ+i , |θ−i}, pode-se obter 0, com

probabilidade 1₂|α + e−iθ_β|2_{, ou 1, com probabilidade} 1 2|α − e

−iθ_β|2_{. Isso significa que}

fazer uma medida na base dos autoestados de R(θ) ´e o mesmo que aplicar a porta U (θ) em um q-bit e ent˜ao medi-lo na base dos autoestados de X. Portanto, podemos reescrever o circuito acima na forma:

|Ψi • R(θ)

|+i • X HU (θ) |Ψi

Temos, assim, um circuito que aplica o operador HU (θ) a um estado arbitr´ario de um q-bit.

(36)

27 Inicialmente, temos o estado |Ψai = |Ψi1|+i2 = (α |0i1 + β |1i1)

_|0i

2_√+|1i2

2

. Com a aplica¸c˜ao de CZ, o novo estado ´e:

|Ψbi = CZ|Ψai = α |0i₁

|0i₂+ |1i₂ √

2

+ β |1i₁ |0i2√− |1i2 2 , (3.12) |Ψbi = 1 √ 2|θ+i1(α |+i2+ βe −iθ_|−i 2) + |θ−i1(α |+i2− βe −iθ_|−i 2) . (3.13)

Se quisermos aplicar um segmento de duas portas da forma HU (θ2)HU (θ1),

pode-mos concatenar dois circuitos como o anterior.

|Ψi • R(θ1)

|+i • X • R(θ2)

|+i • X HU (θ2)HU (θ1) |Ψi

A segunda porta CZ pode ser aplicada antes da primeira medida se usarmos a

pro-priedade: CZX1 = X1Z2CZ. Veremos isso comparando a atua¸c˜ao de ambos os conjuntos

de portas no estado |φi = α |00i + β |01i + γ |10i + δ |11i.

CZX1|φi = CZ(γ |00i + δ |01i + α |10i + β |11i) (3.14)

= γ |00i + δ |01i + α |10i − β |11i (3.15)

e

X1Z2CZ|φi = X1Z2(α |00i + β |01i + γ |10i − δ |11i) (3.16)

= γ |00i + δ |01i + α |10i − β |11i = CZX1|φi . (3.17)

O circuito anterior pode ser escrito como:

|Ψi • R(θ1)

|+i • • X R(θ2)

(37)

Sabemos que X |Ψi = β |0i + α |1i. Na base formada por {|θ+, θ−i}, X |Ψi = √1 2|θ+i (β + e −iθ_{α) + |θ} −i (β − e−iθα) . (3.18)

Assim, caso um q-bit no estado acima seja medido na base dos autoestados de R(θ), o resultado pode ser 0, com probabilidade 1₂|β + e−iθ_α|2_{, ou 1, com probabilidade} 1

2|β − e −iθ_α|2_.

Agora, escreveremos |Ψi como combina¸c˜ao linear dos autovetores de R(−θ), sendo eles |−θ+i =

|0i+e−iθ_|1i

√

2 e |−θ−i =

|0i−e−iθ_|1i

√ 2 . |Ψi = √1 2|−θ+i (α + e iθ_{β) + |−θ} −i (α − eiθβ) . (3.19)

Ent˜ao, a menos de uma fase global,

|Ψi = √1 2|−θ+i (β + e −iθ α) + |−θ−i (β − e−iθα) . (3.20)

Caso um q-bit no estado |Ψi seja medido da base dos autoestados de R(−θ), o resul-tado poder´a ser 0, com probabilidade 1₂|β + e−iθ_α|2_{, ou 1, com probabilidade} 1

2|β − e −iθ_α|2_.

Ou seja, aplicar a porta X a um q-bit e medi-lo na base dos autovetores de R(θ) ´e o mesmo que simplesmente medi-lo na base formada pelos autoestados de R(−θ). Portanto, podemos reescrever o circuito anterior como:

|Ψi • R(θ1) •

|+i • • R(±θ2) •

|+i • Z X HU (θ2)HU (θ1) |Ψi

Onde R(±θ2) indica que a medida ser´a feita na base R(θ2) se o resultado da

primeira medida for 0 e R(−θ2), se o resultado for 1. Uma outra forma de entender isso

´e dizer que a medida ser´a feita na base R[(−1)m1_θ

2], onde m1 ´e o resultado da primeira

medida.

A computa¸c˜ao continuaria com uma medida no terceiro q-bit. Ela poderia ser feita na base formada pelos autoestados de R(θ3). Como mostrado anteriormente, aplicar a

porta X e ent˜ao medir o q-bit nessa base seria o mesmo que fazer a medida na base R(−θ3). Precisamos, agora, saber de que forma a porta Z altera a medida.Temos:

(38)

29

Z |Ψi = α |0i − β |1i = √1

2[|θ+i (α − βe

−iθ

) + |θ−i (α + βe−iθ)] . (3.21)

Ou seja, o resultado da medida pode ser 0, com probabilidade |α−βe−iθ|2_{, ou 1, com}

probabilidade, |α+βe−iθ|2_{. Isso significa que atuar o operador Z em um q-bit e ent˜}_ao

medi-lo em R(θ) ´e o mesmo que medi-lo na base dos autoestados de −R(θ). Para entender isso, basta notar que |θ−i ´e o autovetor associado ao autovalor 1 de −R(θ)

e |θ+i ´e autovetor associado ao autovalor −1 desse operador. Como −R(θ) = R(π + θ),

uma medida nessa base mant´em a forma que buscamos.

Como mostrado na se¸c˜ao 2.4.1, o conjunto formado pelas portas CZ e HU (θ)

´e universal. Qualquer porta CZ que devesse ser aplicada ao longo do processo para a

computa¸c˜ao desejada pode ser levada para o in´ıcio, como feito na p´agina 27.

Há uma outra fun¸cão das medidas em Z que ainda não foi apresentada: sua apli-ca¸cão ao fim do processo, resultando no outcome final da computa¸cão. Essa medida não precisa ser adaptativa, visto que uma reinterpreta¸cão do resultado é suficiente para corrigi-la. Por exemplo, suponhamos que as corre¸cões que que devessem ser feitas no q-bit sejam Xm1_Zm2_{, onde m}

1 e m2 s˜ao resultados de medidas anteriores. A porta Z n˜ao

modificaria o resultado final, já que ela não altera a probabilidade de se obter 0 ou 1 para uma medida na base dos autoestados de Z. Já a porta X equivaleria a fazer a opera¸cão ⊕1 no resultado da medida final, onde o s´ımbolo ⊕ significa uma soma módulo 2. Ou seja, se o resultado da medida for mz, o valor que deve ser considerado é mz⊕ m1. Assim,

a medida que leva ao resultado final, por n˜ao ser adaptativa, pode ser feita inicialmente, antes mesmo do come¸co da computa¸c˜ao propriamente dita, bastando que se reinterprete o resultado com base nas medidas posteriores [5].

3.5 Implementando a Porta C

X

Para exemplificar como implementar uma porta de dois q-bits através da 1WQC, mostraremos a execu¸cão da porta CX. A porta terá como alvo um q-bit no estado |Ψ1i e

como controle um no estado |Ψ2i. Como CX 21 = H1CZ 21H1, o que buscamos reproduzir

´e:

|Ψ1i H • H

(39)

Primeiramente, aplica-se a porta H ao q-bit alvo. Isso equivale a fazer o processo apresentado no cap´ıtulo anterior para U (θ) = 1, ou seja, θ = 0. Para isso, precisaremos de um q-bit auxiliar, como mostrado abaixo:

|Ψ1i • X

|+i • X H |Ψ1i

|Ψ2i

O próximo passo é aplicar CZ entre o segundo q-bit e terceiro, que é o controle

de CX. Essa porta pode ser levada para o come¸co do processo se for acrescentada uma

porta Z no terceiro q-bit, controlada pelo resultado da medida, como feito na p´agina 27. Assim, temos:

|Ψ1i • X

|+i • • X

|Ψ2i • Z

Por fim, deve-se novamente aplicar H ao alvo, usando outro q-bit auxiliar. Assim, enquanto a entrada do alvo ´e o primeiro q-bit, a sa´ıda ´e o terceiro.

|Ψ1i • X

|+i • • X • X

|+i • X

|Ψ2i • Z

A porta CZ entre o segundo e o terceiro q-bit pode ser levada para antes da primeira

medida, acrescentando uma porta Z no terceiro q-bit, controlada por essa medida. Já a porta X do segundo q-bit pode ser inclu´ıda como uma corre¸cão à medida que será realizada nele. Como essa medida já é feita na base dos autoestados de X, a corre¸cão não a modificará. Assim, o circuito fica:

|Ψ1i • X

|+i • • • X

|+i • Z X

(40)

31 O esquema abaixo representa esse processo. Nele, os c´ırculos simbolizam os q-bits, as linhas, uma porta CZ entre os q-bits que elas ligam e as setas para cima indicam uma

medida na base dos autoestados de X.

Figura 3.4: Aplica¸c˜ao de CX- Figura retirada de [11].

Podemos testar se o processo descrito realmente aplica CX. Para isso, consideremos

|Ψ1i = α |0i + β |1i e |Ψ2i = γ |0i + δ |1i. A atua¸c˜ao da porta CX no primeiro q-bit,

controlada pelo segundo, ´e:

|Θi = CX 21= αγ |00i + βδ |01i + βγ |10i + αδ |11i . (3.22)

O primeiro q-bit recebe o estado |Ψ1i, que ser´a o alvo, enquanto o quarto q-bit

recebe o controle, |Ψ2i. O segundo e o terceiro q-bit, inicialmente, est˜ao no estado |+i.

Ao fim do processo, o terceiro e o quarto q-bit dever˜ao estar no estado |Θi. Como mostrado no esquema, o estado emaranhado inicial ser´a:

CZ 12CZ 23CZ 24(|Ψ1i |+i |+i |Ψ2i) =

1

2[ |+i1|+i2(αγ |00i + βδ |01i + βγ |10i + αδ |11i)34+ |+i₁|−i₂(αγ |10i + βδ |11i + βγ |00i + αδ |01i)34+

|−i₁|+i₂(αγ |00i − βδ |01i − βγ |10i + αδ |11i)34+

|−i₁|−i₂(αγ |10i − βδ |11i − βγ |00i + αδ |01i)34] . (3.23)

Os dois primeiros q-bits devem ser medidos na base dos autoestados de X. Se o resultado das duas medidas for 0, o terceiro e o quarto q-bits est˜ao no estado

αγ |00i + βδ |01i + βγ |10i + αδ |11i = |Θi .

(41)

est˜ao no estado

αγ |10i + βδ |11i + βγ |00i + αδ |01i , que pode ser levado a |Θi com a aplica¸c˜ao da porta X3.

Se o resultado da primeira medida for 1 e o da segunda for 0, o estado dos ´ultimos q-bits ´e

αγ |00i − βδ |01i − βγ |10i + αδ |11i , que pode ser levado a |Θi com a aplica¸c˜ao de Z3Z4.

Por fim, se ambos os resultados forem 1, o estado dos ´ultimos q-bits ´e

αγ |10i − βδ |11i − βγ |00i + αδ |01i ,

que pode ser levado a |Θi com a aplica¸c˜ao de X3, seguida por Z3Z4.

Em resumo, após as medidas, a corre¸cão a ser feita é (Z3Z4)m1X3m2, onde m1 e

m2 s˜ao os resultados das medidas do primeiro e do segundo q-bit, respectivamente. Essas

corre¸c˜oes devem ser inclu´ıdas nas medidas realizadas posteriormente.

3.6 Algoritmo de Deutsch

O algoritmo de Deutsch, em sua versão no modelo de circuitos foi apresentado na se¸cão 2.5. Discutiremos, agora, sua aplica¸cão em 1WQC.

Primeiro, veremos como calcular f (x) em 1WQC. Uma proposta inicial seria sim-plesmente adaptar os circuitos apresentados na se¸cão 2.5 à 1WQC usando as tradu¸cões vistas acima. No caso 1 (f (0) = f (1) = 0), a porta aplicada é a Identidade. Já no caso 3 (f (0) = 0 e f (1) = 1), a porta é CX, cuja forma em 1WQC foi mostrada na se¸cão

3.5. Os casos 2 (f (0) = f (1) = 1) e 4 (f (0) = 1 e f (1) = 0) são semelhantes aos casos 1 e 3, respectivamente, com a diferen¸ca de que há a aplica¸cão da porta X no primeiro q-bit. Os circuitos abaixo representam esses processos, mas ainda não se enquadram em 1WQC. Neles, o último q-bit deve estar no estado |xi, que guarda o argumento da fun¸cão, enquanto o primeiro tem como entrada |yi.

Caso 1:

|yi |y ⊕ f (x)i

(42)

33 Caso 2: |yi X |y ⊕ f (x)i |xi Caso 3: |yi • X |+i • • • X |+i • Z X |y ⊕ f (x)i |xi • Z Caso 4: |yi • X |+i • • • X |+i • Z X X |y ⊕ f (x)i |xi • Z

Como CX e X comutam, o caso 4 tamb´em pode ser escrito como:

|yi X • X

|+i • • • X

|+i • Z X |y ⊕ f (x)i

|xi • Z

Caso queiramos saber o valor de f (0) (ou de f (1)), devemos realizar o circuito que nos dá a fun¸cão em questão, com |xi = |0i (ou |xi = |1i). Fazendo |yi = |0i, o output será simplesmente |f (x)i e basta medir o q-bit responsável por essa sa´ıda (o primeiro nos casos 1 e 2 e o terceiro nos casos 3 e 4) na base dos autoestados de Z para saber o valor de f (x). As portas de um q-bit dos circuitos acima podem ser inclu´ıdas nessas medidas em Z. A porta Z, por exemplo, não altera a medida, enquanto a porta X faz com que a medida seja na base −Z, o que equivale a uma medida em Z com uma reinterpreta¸cão

(43)

do resultado: caso ele seja 0, o valor considerado deve ser 1, e vice-versa.

No segundo circuito apresentado para o caso 4 podemos, assim como na p´agina 27, passar a porta X do primeiro q-bit para depois do CZ. Com isso, aparecer´a uma porta

Z no segundo q-bit, que pode ser inclu´ıda na medida, como visto na página 3.4, fazendo com que ela seja na base dos autoestados de −X. Já a porta X no primeiro q-bit não altera a medida, também em X, que é feita nele e, por isso, pode ser ignorada. Além disso, como o quarto q-bit não precisa ser medido, também não é necessário aplicar nele a porta Z nos casos 3 e 4. Assim, para descobrir o valor de f (x), fazemos:

Caso 1: |0i Z |xi Caso 2: |0i −Z |xi Caso 3: |0i • X |+i • • • X |+i • ±Z |xi • Caso 4: |0i • X |+i • • • −X |+i • ±Z |xi • ´

E útil, para nossos propósitos mais abaixo, fazer com que os quatro casos sejam implementados de formas mais semelhantes. Algumas das principais diferen¸cas são o n´ u-mero de q-bits e o fato de que, nos dois primeiros casos, o q-bit de entrada e de sa´ıda é o mesmo, enquanto, nos dois últimos casos, isso não acontece. Para resolver isso, nos caso 1 e 2, podemos alterar a forma como é realizada a porta Identidade. Considerando que HH = 1, podemos aplicar a identidade através da aplica¸cão consecutiva de duas portas

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35 H. Faremos o processo descrito no circuito da 28, mas com U (θ1) = U (θ2) = 1, ou seja,

com as duas medidas feitas na base X. Na página 28, vemos que a medida no segundo q-bit pode ser na base dos autoestados de R(θ) ou de R(−θ), dependendo do resultado da medida do primeiro. Aqui, isso não fará diferen¸ca, pois X = R(0). No caso 2, ainda terá a porta X, que pode ser aplicada antes ou depois da identidade. Assim como fizemos no caso 4, agora, a porta X realizada antes do CZ pode ser levada para depois dele, de forma

com que a medida no segundo q-bit seja na base dos autoestados de −X. Assim, teremos:

Caso 1: |0i • X |+i • • X |+i • ±Z |xi Caso 2: |0i • X |+i • • −X |+i • ±Z |xi

Dessa forma, os q-bits de entrada e sa´ıda dos quatro casos são os mesmos. Para saber o valor de f (x), o processo é o mesmo descrito anteriormente, com a diferen¸ca de que, agora, para todos os casos, a medida final é feita no terceiro q-bit e sua interpreta¸cão depende do resultado da medida do segundo.

Agora, veremos como saber se a fun¸cão é constante ou balanceada, ou seja, discu-tiremos a realiza¸cão do algoritmo de Deutsch. Na se¸cão 2.5 vimos que, para realizá-lo, primeiro deve-se fazer |xi = |+i e |yi = |−i. Após a atua¸cão da caixa preta nos q-bits, na versão do modelo de circuitos, atua-se a porta H no q-bit que recebeu o estado |+i. Em seguida, deve-se medi-lo na base dos autoestados de Z. Se o resultado for 0, sabe-se que a fun¸cão é constante e, se for 1, sabe-se que é balanceada. Devemos notar que aplicar H e então medir em Z equivale a, simplesmente, medir na base formada pelos autoestados de X. Isso significa que, na versão em 1WQC do algoritmo de Deutsch, podemos medir

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o quarto q-bit em X. Nos casos 3 e 4, há a atua¸cão do operador Z, controlada pelo resultado da primeira medida, nesse q-bit. Como visto na página 29, essa corre¸cão pode ser inclu´ıda na medida no quarto q-bit, fazendo com que ela seja em −X se o resultado da medida do primeiro for 1. Assim, temos:

Caso 1: |−i • X |+i • • X |+i • ±Z |+i X Caso 2: |−i • X |+i • • −X |+i • ±Z |+i X Caso 3: |−i • X |+i • • • X |+i • ±Z |+i • ±X Caso 4: |−i • X |+i • • • −X |+i • ±Z |+i • ±X ´

E importante ressaltar que, aqui, o resultado final do algoritmo, i.e., a resposta `

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37 Assim, a segunda e terceira medidas não são necessárias para o algoritmo de Deutsch, embora sejam quando usamos o circuito para o cálculo de f (x).

Ainda há uma pergunta a ser respondida: nesse caso, o que corresponde ao Oráculo (caixa preta)? No modelo de circuitos, a caixa preta era composta por portas que não fossem comuns aos quatro casos e que, a priori, eram desconhecidas por quem recebesse a caixa. No caso de 1WQC, esperar´ıamos da mesma forma que o papel de caixa preta fosse exercido por um conjunto de medidas desconhecidas por quem recebe a caixa (somente o resultado delas poderiam eventualmente ser utilizados em feed-forward para a parte ”aberta”do circuito).

Porém, vemos que as diferen¸cas entre os quatro casos são maiores do que isso. No caso: há diferen¸cas na base em que é medido o segundo q-bit, na presen¸ca ou não da porta CZ entre o segundo e o quarto q-bits e na medida neste último, que é adaptativa

somente para os casos em que a fun¸cão é balanceada. O fato do cluster ser diferente dependendo do caso não é o ideal, já que ele deveria estar sob o controle de quem recebe a caixa. Isso pode ser contornado se a caixa preta contiver, além das medidas mostradas anteriormente, medidas em Z que levem um cluster comum a todos os casos ao cluster espec´ıfico de cada caso, mas não é claro como fazer isso.

Além disso, como as medidas no segundo e quarto q-bits não são as mesmas nos quatro casos, ambas devem fazer parte da caixa. Ainda, o condicionamento da medida no quarto q-bit no resultado da medida do primeiro precisaria ser ignorado pela caixa nos casos 1 e 2.

Em resumo, apesar do conjunto de quatro circuitos acima implementar o algoritmo de Deutsch, essa implementa¸cão não é de todo satisfatória, no sentido de que a separa¸cão entre os elementos que devem ser considerados ”dentro”e ”fora”da caixa ser menos limpa do que t´ınhamos imaginado. Isso não quer dizer que não exista outra transcri¸cão equiva-lente que tenha essa propriedade, mas não conseguimos encontrá-la. Isso parece indicar um problema mais geral, a saber: uma transcri¸cão do modelo de circuitos para o 1WQC não necessariamente mapeia, de forma automática, circuitos usuais definidos a menos do conteúdo de uma ou mais portas para circuitos 1WQC definidos a menos do conteúdo de uma ou mais medidas. Essa exigência adicional parece necessária para se fazer a transcri-¸cão automática de algoritmos do tipo Oráculo de um modelo para o outro. Também não encontramos referências que tenham examinado este problema, que possivelmente é uma

(47)

quest˜ao aberta.

Vale notar aqui que uma tentativa de implementar o algoritmo de Deutsch em 1WQC foi realizada experimentalmente em 2007 usando um estado emaranhado de qua-tro fótons preparado linearmente, como no grafo da figura 3.2 [10]. As medidas usadas para a realiza¸cão do algoritmo são diferentes das feitas acima. Examinando-as, notamos porém que elas aparentemente contêm uma falha: uma das medidas que eles afirmam não ser parte da caixa preta depende do conteúdo da caixa. Consequentemente, para saber que medida fazer para descobrir se a fun¸cão é constante ou balanceada, seria preciso já conhecer o conteúdo da caixa e, portanto, já se saber de que tipo é a fun¸cão.

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Cap´ıtulo 4

Conclus˜

ao

Nesse trabalho, expomos algumas ideias básicas sobre um dos tipos de Computa¸cão Quântica Baseada em Medidas: a One-Way Quantum Computation. Para isso, primeira-mente, apresentamos o modelo de circuitos, introduzindo o conceito de q-bits, de portas lógicas quânticas, de medidas e o de computa¸cão universal. Apresentamos, também, o Teletransporte Quântico e o algoritmo de Deutsch.

Explicamos como se dá a realiza¸cão da 1WQC, partindo da apresenta¸cão dos clus-ters: estados emaranhados de muitos q-bits, criados a partir da atua¸cão de portas CZ

entre q-bits no estado |+i. Explicamos o uso de medidas na base dos autoestados de Z para retirar q-bits do cluster, deixando apenas os que forem necess´arios para a tarefa desejada. Em seguida, mostramos como realizar portas de um conjunto universal (HU (θ) e portas de dois q-bits) nesse modelo, mostrando assim que ele ´e equivalente ao usual.

Finalmente, tentamos usar essa tradu¸cão do modelo de circuitos para 1WQC para criar uma versão do algoritmo de Deutsch completamente baseada em medidas. Perce-bemos que, enquanto é simples usar este modelo para implementar as portas que podem estar na caixa preta do algoritmo, sua realiza¸cão não é trivial, pois não é claro como fazer com que só medidas fa¸cam parte da caixa.

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Referˆ

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