Aula4-ProdutoEscalareVetorial[MododeCompatibilidade]

(1)

PRODUTO ESCALAR

Sejam dois vetores u e v:

O produto escalar (ou interno) dos vetores u e v é definido por:

)

,

(

x

₁

y

₁

z

₁

u

r

=

v

r

=

(

x

₂

,

y

₂

,

z

₂

)

2 1 2 1 2 1

.

v

x

y

z

u

r

=

+

O produto escalar de u e v, também indicado por <u,v> e se lê `u escalar v´, resulta num escalar.

)

1 .(

3

4 ).

2 (

2 .

1 .

w

=

+

−

+

−

v

r

v

r

.

w

r

=

−

9

Exemplo: Sejam os vetores V=(1,-2,3) e W=(2,4,-1).

Propriedades do Produto Escalar

Para quaisquer vetores

u

,

v

e

w

e o

número real

α

, temos:

u

v

u

r

.

r

=

r

.

r

a)

b)

c)

d)

)

.(

).

.

(

)

.

(

u

r

v

r

α

u

r

v

r

u

r

α

v

r

α

=

w

u

v

u

w

v

u

r

.(

r

+

r

)

=

r

.

r

+

r

.

r

2

.

u

r =

r

Definição Geométrica de

Produto Escalar

Se u e v são vetores não nulos e θ o ângulo entre eles, então:

θ

cos

2 )

(

u

r

−

v

r

2

=

u

r

2

+

v

r

2

−

u

r

v

r

Lei dos co-senos:

θ

cos

.

v

u

v

u

r =

r

v

u

v

u

v

u

r

)

r

2 r

.

r

(

−

2

=

2

+

2

−

Propriedade do Produto Escalar:

v

u

v

u

v

u

v

u

r

2

+

r

2

−

2 r

r

cos

θ

=

r

2

+

r

2

−

2 r

.

r

Definição Geométrica de

Produto Escalar

O produto escalar de dois vetores não-nulos é igual ao produto de seus módulos pelo co-seno do ângulo formado por eles:

θ

cos

.

v

u

v

u

r =

r

Aplicação prática na Física:

O trabalho realizado por uma força é o produto escalar entre os vetores força e deslocamento, quando a força aplicada é constante.

θ

cos

.

d

F

d

F

W

_F

=

r

=

Condição de Ortogonalidade de Vetores

O ângulo formado entre dois vetores ortogonais é igual a 90°.

°

= 90

θ

0

90 cos

°

=

θ

cos

.

v

u

v

u

r =

r

0 .

v

=

u

r

Dois

vetores

são

ortogonais

se

o

produto escalar entre eles for nulo.

ÂNGULO ENTRE DOIS VETORES

θ

cos

.

v

u

v

u

r =

r

Como: Temos:

v

u

v

u

r

_.

cos

θ

=

Exemplo:

Calcule o ângulo entre u=(1,1,4) e v=(-1,2,2).

9

2 .

4

2 .

1 )

1 .(

1 .

v

=

−

+

=

u

r

3

2

2 (-1)

2

3

4

1

2 2 2 2 2 2

=

+

=

+

=

v

u

r

2

3 .

2

3

9 cos

θ

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

2

2 arcos

θ

= 45

°

(2)

PROJEÇÃO ENTRE VETORES

Sejam os vetores u e v não nulos e θ o ângulo entre eles.

Vamos decompor o vetor v, tal que:

2

1

v

r

=

r

+

r

sendo

v

r

₁

//

u

r

e

v

r

₂

⊥

u

r

Situações possíveis:

PROJEÇÃO ENTRE VETORES

O vetor v1 é chamado projeção ortogonal de v sobre u e indicado por:

v

proj

v

r

₁

=

_ur

r

u

v

proj

_u

_r

r

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

.

Exemplo:

Sejam os vetores u=(1,1,4) e v=(-1,2,2). Determine a projeção ortogonal de v sobre u.

PROJEÇÃO ENTRE VETORES

9

4 .

2

1 .

2

1 ).

1 (

.

u

=

−

+

=

v

r

u

r

.

u

r

=

1 .

1 +

1 .

1 +

4 .

4 =

18 u

u

v

proj

_u

_r

r

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

.

)

4 ,

1 ,

1 (

18 9 ⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

v

proj

_ur

r

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

,

2

1 ,

2

1 v

proj

_ur

r

1 - Verifique se os seguintes pares de vetores são ortogonais:

Exercícios

(ver Winterle, pág. 66)

j

i

b

v

u

a

r

e

)

2 ,

5 ,

4 (

e

)

3 ,

2 ,

1 (

)

=

−

=

a)

b)

ok!

0 .

2 .

3

5 .

2

4 .

1 .

)

2 ,

5 ,

4 ).(

3 ,

2 ,

1 (

.

=

−

+

=

−

=

v

u

v

u

v

u

r

ok!

0

0 .

0

1 .

0

0 .

1 ,1,0)

(1,0,0).(0

=

+

=

j

.

i

j

.

i

j

.

i

r

a)

b)

2 - Calcular o trabalho realizado pela força F

para deslocar o corpo de A até B, sabendo que:

8 ,

0 cos

20

10 =

=

→

θ

m

d

AB

N

F

r

θ F A B

j

W

d

F

W

d

F

W

160

8 ,

0 .

20 .

10 cos

.

=

θ

r

3 - Determine o vetor v, paralelo ao vetor u=(2,-1,3), tal que:

42 .

u

=

−

v

r

42

3

2

3

2 .

)

,

).(

3 ,

1 ,

2 (

.

−

=

+

−

+

−

=

−

=

z

y

x

z

y

x

v

u

z

y

x

v

u

r

u

z

y

x

v

u

v

)

3 ,

1 ,

2 (

)

,

(

//

−

=

r

42

14

42 )

3 (

3 )

2 (

2 −

=

−

=

−

+

−

y

z

y

z

y

x

y

x

z

y

x

3

2

3

1

2 −

=

−

=

−

=

−

=

−

=

9

6

3 −

=

−

=

z

x

y

)

9 ,

3 ,

6 (

−

=

v

r

(3)

4 - Determine o vetor v, ortogonal ao eixo Ox, tal que:

5 =

v

r

v

r

.

w

r

=

6 w

r

=

r

i

+

2 r

j

0 Ox

eixo

)

0 ,

1 (

)

,

(

=

x

v

x

z

y

x

v

r

3

6

2

0

6

2

6 )

0 ,

2 ,

1 ).(

,

(

.

=

+

=

+

=

y

x

z

y

x

w

v

r

0 .

1 .

.

)

0 ,

1 ).(

,

(

.

0 .

=

+

=

x

v

z

y

x

v

z

y

x

v

x

v

r

(

)

4

16

3

0

5

3

0

5

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

±

=

+

=

+

=

+

=

z

y

x

v

r

)

4 ,

3 ,

0 (

ou

)

4 ,

3 ,

0 (

=

−

=

v

r

5 - Verificar para os vetores u = (4,-1,2) e v = (-3,2,-2) as desigualdades:

r)

triangula

ade

(Desiguald

Schwarz)

de

ade

(Desiguald

.

v

u

v

u

v

u

v

u

r

+

≤

+

≤

)

2 (

2 )

3 (

2 )

1 (

4

2

+

2

+

2 2

+

2

+

2

v

u

r

18 .

)

2 .(

2

2 .

1 )

3 .(

4 .

v

=

−

+

−

→

u

v

=

−

→

u

v

=

u

r

2 )

2

2 (

)

2

1 (

)

3

4 (

−

2

+

−

+

2

+

−

2

→

+

=

+

v

u

v

u

r

357 .

17 .

21 .

)

2 (

2 )

3 (

.

2 )

1 (

4 .

=

→

=

−

+

−

+

−

+

=

v

u

v

u

v

u

r

!

357

18 <

ok

17

21 +

=

+ v

u

r

2 <

21 +

17 ok

!

6 - Dados os pontos A(m,1,0), B(m-1,2m,2) e C(1,3,-1), determine m de modo que o triângulo ABC seja retângulo em A. Calcule a área do triângulo. A C B ) 1 , 2 , 1 ( ) 0 1 , 1 3 , 1 ( ) 2 , 1 2 , 1 ( ) 0 2 , 1 2 , 1 ( − − = − − − − = = − − = − − − − = = → → m m AC v m m m m AB u r r 1 0 5 5 0 . 5 5 2 2 4 1 ) 1 .( 2 2 ). 1 2 ( ) 1 .( 1 . = → = − → = − = − − + − = − + − + − − = m m v u m m m m m v u r r r r 2 ) 1 ( 2 0 . 2 1 ) 1 ( A 2 . A 2 . ₋ 2₊ 2₊ 2 2₊ 2₊ ₋ 2 = → = → =bh u v A r r ) 1 , 2 , 0 ( ) 2 , 1 , 1 (− = − = v ur r 2 30 2 5 . 6 = → = A A m=1 2 30 = A Respostas:

7 - Determinar o ângulo entre os vetores u = (1,-2,1) e v = (-1,1,0).

3 .

0 .

1

1 .

2 )

1 .(

1 .

v

=

−

+

→

u

v

=

−

u

r

3

2 .

12 .

2 .

6 .

0

1 )

1 (

.

1 )

2 (

1 .

2 2 2 2 2 2

=

→

=

→

=

+

−

+

−

+

=

v

u

v

u

v

u

v

u

r

3

3 .

3

2

3 cos

3

2

3 cos

.

cos

θ

=

→

θ

=

−

→

θ

=

−

v

u

v

u

r

3

2 .

12 .

2 .

6 .

v

→

u

v

→

u

v

u

→

−

=

→

−

=

2

3 cos

3

3 .

3

2

3 cos

θ

=150

°

8 - Calcular n para que seja de 30° o ângulo entre os vetores:

k

u

n

v

r

=

(

−

3 ,

1 ,

)

e

r

=

r

2

3

30 cos

°

=

)

,

1 ,

3 (

)

1 ,

0 ,

0 (

n

v

u

−

=

r

n

v

u

n

v

u

r

.

r

=

0 .(

−

3 )

+

0 .

1 +

1 .

→

r

.

r

=

10 n

.

3

2

10 n

2

3 .

cos

2 2

₊

→

=

+

=

→

=

n

v

u

v

u

r

θ

10 .

1 )

3 (

.

1

0

0 .

v

=

2

+

2

+

2

−

2

+

2

+

n

2

→

u

v

=

n

2

+

u

r

→

+

=

→

+

=

3 .

10

4

3

30

2 n

n

2

n

2

n

2

n

=

30

9 - Determinar o valor de k para que os vetores v = (k,-4) e u = (-2,3) sejam: a) paralelos b) ortogonais

a)

4 //

k

u

v

r

b)

3 .

4 )

2 .(

.

−

=

⊥

k

u

v

u

v

r

8

3

4

2 −

=

−

=

−

k

0

12

2

0 .

12

2 .

=

−

=

−

=

k

u

v

k

u

v

r

3

8 =

k

6 −

=

k

(4)

) , (v1v2 vr= wr=(w₁,w₂) ) , (v₁ w₁v₂ w₂ w vr+ r= + + ) . , . ( .v αv1αv2 αr=

A

B

AB

=

−

→ ) , (x2 x1 y2 y1 AB= − − → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 , 2 2 1 2 1 x y y x M

)

(

2 1 2 1

=

α

y

x

2 2

y

x

v

r

=

+

2 2

₍

₎

)

(

x

y

d

+

)

de

versor

(

v

u

_r

r

r =

θ

cos

.

2

2 2 2

b

a

b

a

R

=

+

1 2 1 2

)

(

)

(

x

y

d

_AB

=

−

+

−

2 1 2 1 2 1

.

v

x

y

z

u

r

=

+

u

r =

.

v

r

u

r

v

r

cos

θ

v

u

v

u

r

.

cos

θ

=

_u

u

v

proj

_u

_r

r

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

.

PRODUTO VETORIAL

Sejam dois vetores u e v:

O produto vetorial de u por v é também indicado por u

∧

v e lê-se “u vetorial v”. O resultado de um produto vetorial é um

)

,

(

x

₁

y

₁

z

₁

u

r

=

v

r

=

(

x

₂

,

y

₂

,

z

₂

)

O resultado de um produto vetorial é um vetor, dado por:

2 2 2 1 1 1

z

y

x

z

y

x

k

j

i

v

u

r

_×

₌

Dúvidas sobre Determinantes? SIM NÃO

DETERMINANTES

Propriedades:

¾ Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz forem nulos seu determinante será nulo.

¾ Det A = Det AT_.

¾ Se multiplicarmosp uma linha da matriz porp uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante.

¾ Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante troca de sinal.

¾ Se duas linhas de uma matriz forem iguais o determinante será nulo.

¾ Det (A.B) = Det A . Det B

DETERMINANTES

Desenvolvimento de Laplace

n

É uma fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n-1.

∑

= + ×

=

−

n j ij ij j i n n

a

A

1

det

.

)

1 (

det

Aij é a submatriz obtida de A retirando-se a

i-ésima linha e a j-ésima coluna. Ela é conhecida como cofator do elemento aij.

VOLTAR AOS VETORES

PRODUTO VETORIAL

Exemplo:

Sejam os vetores u=(5,4,3) e v=(1,0,1). Determine o produto vetorial uxv.

1 1 1 y z x k j i v u r r r r r_× ₌ 3 4 5 k j i v u r r r r r_× ₌ 2 2 2 y z x 1 0 1 0 1 4 5 1 1 3 5 1 0 3 4 k j i v ur×r=r −r +r k j i v ur×r=(4.1−3.0)r−(5.1−3.1)r+(5.0−4.1)r k j i v ur×r=4r−2r−4r

Propriedades: Direção

O produto vetorial de u e v é perpendicular aos vetores u e v, ou seja:

v

u

v

u

r

=

×

=

×

0 ).

(

0 ).

(

Exemplo:

Dados os vetores u=(3,1,2) e v=(-2,2,5).

0 2 . 8 1 . 19 3 . 1 ) 2 , 1 , 3 ).( 8 , 19 , 1 ( ). ( ) 8 , 19 , 1 ( 8 19 = + − − = − − = × = + − = − = × − = + − = × u v u k j i v u r r r r r r r r r r r

u

v

u

r

×

r

=

−

r

×

r

(5)

Propriedades: Sentido

O sentido de uxv pode ser determinado pela

“regra da mão direita”.

Sendo θ o ângulo entre u e v, suponhamos que u sofra uma rotação de ângulo θ até coincidir com v. Se os dedos da mão direita forem dobrados no mesmo sentido da rotação, então o polegar estendido indicará o sentido de uxv.

Propriedades: Comprimento

Se θ é o ângulo entre u e v, é válida a relação:

θ

sen

.

. v

u

v

u

r

×

r

=

r

h

b

A

=

O comprimento do vetor uxv é numericamente igual à área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v.

θ

sen

.

v

u

A

h

b

A

r

=

Exemplo: Considerando os vetores:

Propriedades: Comprimento

j v i ur=2r e r=3r

0

2 k

j

i

v

u

r

_×

₌

0

3

0

6

6 =

×

=

×

v

u

k

v

u

r

) , (v1v2 vr= w=(w1,w2) r ) , (v1 w1v2 w2 w vr+ r= + + ) . , . ( .v αv1αv2 αr= A B AB= − → ) , (x2 x1y2 y1 AB= − − → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 , 2 2 1 2 1 x y y x M ) ( 2 1 2 1₌ ₌α y y x x 2 2 _y x vr= + 2 1 2 2 1 2 ) ( ) (x x y y dAB= − + − ) de versor ( v v v u _r r r r = θ cos . . . 2 2 2 2 b a b a R = + + 2 1 2 1 2 1. . . .v x x y y z z urr= + + ur =.vr ur vrcosθ v u v u r r r r . cosθ= u u u u v v proju r r r r r r r ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = . .

r

0 )

(

2 2 2 1 1 1

z

y

x

z

y

x

k

j

i

v

u

r

_×

₌

u

v

u

v

u

v

u

r

×

−

=

×

=

×

=

×

0 ).

(

0 ).

(

θ

sen

.

. v

u

v

u

r

×

r

=

r

∑

= + ×

=

−

n j ij ij j i n n

a

A

1

det

.

)

1 (

det

1 - Considere um triângulo equilátero ABC de lado 10. Calcule

Exercícios

(ver Winterle)

→ → × AC AB ° = × → → → → 60 sen . AC AB AC AB 2 3 . 10 . 10 = × → → AC AB 3 50 = × → → AC AB 2 - Dados os pontos A(2,1,1), B(3,-1,0) e C(4,2,-2), determinar: a)a área do triângulo ABC.

b)a altura do triângulo relativa ao vértice C.

75 2 1 = Δ A 3 2 5 = Δ A 2 p A AΔ = → → Δ = AB× AC A 2 1 ) 1 , 2 , 1 ( − − = → AB = (2,1,−3) → AC ) 5 , 1 , 7 ( 3 1 2 1 2 1 = − − − = × → → i j k AC AB r r r 75 5 1 72₊2₊ 2₌ = ×→ → AC AB b A h h b Ap = . = p ) 1 , 2 , 1 ( 75 − − = × = _→ → → AB AC AB h 2 2 5 = h

(6)

3 - Determine o vetor x, tal que x seja ortogonal ao eixo dos y. Dados:

)

1 ,

2 (

)

1 ,

1 (

−

=

−

=

×

=

v

u

v

x

u

r

)

,

2 ,

(

)

1 ,

1 (

−

=

z

−

x

−

x

0 y

)

,

0 ,

(

=

x

z

x

r

)

1 ,

0 ,

1 (

=

x

r

1

2

0 −

=

×

x

z

k

j

i

v

x

r

)

,

2 ,

(

z

x

v

x

r

× r

=

−

v

x

u

r

=

r

×

r

)

,

(

)

,

(

1

1 =

=

x

z

PRODUTO MISTO

Sejam três vetores u, v e w:

O produto misto de u, v e w é indicado por (u,v,w) e é dado pelo número real:

)

,

(

x

₁

y

₁

z

₁

u

r

=

v

=

(

x

2

,

y

2

,

z

2

)

r

z

y

x

)

,

(

x

3

y

3

z

3

w

r

=

3 3 3 2 2 2 1 1 1

)

.(

z

y

x

z

y

x

z

y

x

w

v

u

r

× r

=

¾ Se o produto misto for nulo significa que os vetores

são coplanares.

¾ Observe que a ordem dos vetores é importante. A cada

troca de posição o produto misto muda de sinal.

Exemplo:

Calcular o produto misto dos vetores:

k

j

i

u

r

=

2 r

+

3 r

+

5 r

k

j

i

v

r

=

−

r

+

3 r

+

3 r

k

j

i

w

r

=

4 r

−

3 r

+

2 r

) .(v w ur r×r

2

3

4

3

1

5

3

2 )

.(

−

=

× w

v

u

r

u

r

.(

v

r

× w

r

)

=

27

Exemplo:

Calcule o valor de m para que os vetores sejam coplanares:

j

m

i

u

r

= 2

r

+

r

v

r

=

i

r

−

r

j

+

2 k

r

w

r

=

−

i

r

+

3 r

j

−

k

r

2

1

0

2 )

(

×

=

m

w

v

u

r

1

3

1

2

1

1 )

.(

−

=

× w

v

u

)

2

1 (

)

6

1 (

2 )

.(

v

×

w

=

−

m

−

+

u

r

m

w

v

u

r

.(

r

×

r

)

=

−

10 −

0

10 −

=

−

m

=

−

10 Interpretação Geométrica

Geometricamente, o módulo do produto misto é igual ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não-coplanares u, v e w.

)

.(

v

w

u

V

=

r

×

r

Exemplo:

Calcule o volume do cubo determinado pelos vetores:

k

j

i

r

e

,

)

.(

v

w

u

V

=

r

×

r

0

1

3

l

V

=

1 =

V

1

0

1

0

1 =

V

=

1

3

1 =

V

(7)

) , (v1v2 vr= wr=(w1,w2) ) , (v1 w1v2 w2 w vr+ r= + + ) . , . ( .v αv1αv2 αr= A B AB= − → ) , (x2 x1y2 y1 AB= − − → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + 2 , 2 2 1 2 1 x y y x M ) ( 2 1 2 1₌ ₌α y y x x 2 2 y x vr= + 2 1 2 2 1 2 ) ( ) (x x y y dAB= − + − ) de versor ( v v v u _r r r r = θ cos . . . 2 2 2 2 b a b a R = + + 2 1 2 1 2 1. . . .v xx y y z z urr= + + ur =.vr ur vrcosθ v u v u r r r r_. cosθ= u u u u v v proj_u _r_r r r r r r ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = . .

r

2 2 2 1 1 1

z

y

x

z

y

x

k

j

i

v

u

r

_×

₌

u

v

u

v

u

v

u

r

×

−

=

×

=

×

=

×

0 ).

(

0 ).

(

θ

sen

.

. v

u

v

u

r

×

r

=

r

∑

= + ×

=

−

n j ij ij j i n n

a

A

1

det

.

)

1 (

det

3 3 3 2 2 2 1 1 1

)

(

z

y

x

z

y

x

z

y

x

w

v

u

r

× r

=

1 - Dados os vetores, calcule

Exercícios

(ver Winterle)

)

1 ,

3 (

−

=

u

r

v

r

=

(

1 ,

2 ,

2 )

w

r

=

(

2 ,

0 ,

−

3 )

)

,

(

u

r

v

r

w

r

29 −

2 - Verifique se são coplanares os vetores:

)

3 ,

1 ,

2 (

−

=

u

r

v

r

=

(

7 ,

1 ,

−

4 )

w

r

=

(

3 ,

1 ,

−

2 )

não

3 - Determine o valor de k para que sejam coplanares os vetores:

)

,

1 ,

2 (

k

u

r

=

−

v

r

=

(

1 ,

0 ,

2 )

w

r

=

(

k

,

3 ,

k

)

k

=

6

4 - Um paralelepípedo é determinado pelos vetores a seguir. Calcule seu volume e a altura relativa à base definida por u e v.