MicroFinanceira NA3 Micro

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Nota de Aula 3 – Conceitos de Microeconomia

Microeconomia Financeira

Mestrado Profissional em Economia – Universidade de Bras´ılia

Prof. Jos´

e Guilherme de Lara Resende

1 Teoria do Consumidor

Nesta nota de aula iremos analisar o ferramental microeconômico, o modo que consumidores e firmas tomam decisões e a questão de equil´ıbrio em uma economia. Esse ferramental é muito importante para a modelagem de finan¸cas que iremos desenvolver ao longo do curso.

A leitura recomendada para a mat´eria da primeira parte desta nota de aula ´e Varian (2012) (caps. 2 a 6, 9, 14, 15, 16, 18 a 23, 31 a 33) e Nicholson and Snyder (2008) (caps. 3 a 4, 9 a 13).

1.1 A Restri¸

c˜

ao Or¸

cament´

aria

A restri¸cão or¸camentária pode ser escrita como p1x1 + p2x2 ≤ m, onde pixi, i = 1, 2, é o

gasto feito com o bem i e p1x1 + p2x2 denota o gasto total com a cesta (x1, x2). Ou seja, a

restri¸cão or¸camentária diz que o gasto do consumidor não pode ultrapassar a sua renda. A reta or¸camentária é o conjunto de cestas de bens que custam exatamente m (ou seja, cestas de bens que exaurem toda a renda do consumidor), p1x1+ p2x2 = m.

6 -x2 x1 m p2 m p1 @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @_@

Reta Or¸cament´aria (Inclina¸c˜ao: −p1/p2)

Conjunto Fact´ıvel de Consumo

A inclina¸cão da reta or¸camentária informa o valor de troca de mercado entre os dois bens: para obter uma unidade do bem 1, o consumidor tem que abrir mão de −p1/p2 unidades do bem 2.

Intuitivamente, se todos os pre¸cos da economia aumentam (ou diminuem) na mesma propor¸cão, incluindo a renda do consumidor, então nada muda em termos reais: o conjunto de cestas fact´ıveis para o consumidor não se altera. Portanto: 1) mudan¸cas nos pre¸cos absolutos não têm efeito real; 2) agentes econômicos não sofrem de ilusão monetária; e 3) apenas mudan¸cas nos pre¸cos relativos têm efeito. Podemos então transformar um dos bens em numerário, o que significa torná-lo a medida de valor da economia e normalizar o seu pre¸co em 1.

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A demanda de um bem i qualquer depende dos pre¸cos de todos os bens e da renda do con-sumidor. Logo, xi = xi(p1, p2, m), i = 1, 2, denota a demanda do bem i (a escolha ´otima de

consumo do bem i pelo indiv´ıduo), escrita como fun¸cão do pre¸co do próprio bem 1, dos pre¸cos dos outros bens (no caso, do bem 2), e da renda do consumidor. Essas demandas são chamadas fun¸cões de demandas ótimas ou fun¸cões de demandas Marshallianas.

As restri¸cões que a análise sobre a restri¸cão or¸camentária impõe sobre as fun¸cões de demandas Marshallianas xi = xi(p1, p2, m), i = 1, 2, são:

• Lei de Walras ou “Adding-up”:

p1x1(p1, p2, m) + p2x2(p1, p2, m) = m .

• Homogeneidade. A demanda Marshalliana de cada bem ´e homogˆenea de grau zero: xi(tp1, tp2, tm) = xi(p1, p2, m) , para todo bem i, para todo t > 0.

1.2 Fun¸

c˜

ao de Utilidade

Denotamos por X (contido em Rn

+, no caso geral, ou em R2+, no caso de dois bens) o conjunto

que representa as cestas de bens dispon´ıveis para o consumidor. Um elemento do conjunto X ⊂ R2+ ´e um vetor x = (x1, x2), onde xi ≥ 0 ´e a quantidade do bem i, i = 1, 2, na cesta x.

Defini¸c˜ao: Uma fun¸c˜_{ao de utilidade u : X → R assinala para cada cesta x ∈ X um valor} u(x) ∈ R.

Uma fun¸cão de utilidade nada mais é do que uma representa¸cão numérica das cestas dispon´ıveis para o consumidor. Se para as cestas x e y temos que u(x) > u(y), então dizemos que a cesta x provê mais utilidade (ou satisfa¸cão, ou bem-estar) para o consumidor.

Exemplos de Fun¸c˜oes de Utilidade com Dois Bens: • Utilidade Cobb-Douglas: u(x1, x2) = xα1x

β

2, α > 0, β > 0.

• Utilidade Linear: u(x1, x2) = ax1+ bx2, a > 0, b > 0.

• Utilidade Quaselinear: u(x1, x2) = g(x1) + x2.

• Utilidade de Leontief: u(x1, x2) = min{ax1, bx2}, a > 0, b > 0.

• Utilidade CES: u(x1, x2) = (ax ρ 1 + bx ρ 2) 1 ρ_{, a > 0, b > 0.}

A teoria do consumidor utiliza a hipótese de ordinalidade, que exige apenas que o consumidor seja capaz de ordenar as cestas de bens em termos de preferência (e, portanto, não precisa saber o quanto mais ele gosta de uma cesta em rela¸cão a outra. Isso implica que a utilidade que representa uma rela¸cão de preferência é unica a menos de transforma¸cões crescentes. Uma curva de indiferen¸ca representa um conjunto de cestas indiferentes entre si. Então, uma curva de indiferen¸ca contém todas as combina¸cões de cestas que dão o mesmo n´ıvel de satisfa¸cão ao consumidor. Chamamos mapa de indiferen¸ca a cole¸cão de curvas de indiferen¸ca distintas de uma determinada utilidade, indicando a dire¸cão que a utilidade aumenta.

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Exemplo: Utilidades “bem-comportadas”. No caso de dois bens, uma curva de indife-ren¸ca muito comum é convexa em rela¸cão à origem (representa utilidades bem-comportadas, que são cont´ınuas, estritamente crescentes e estritamente quasecôncavas).

A figura abaixo ilustra o mapa de indiferen¸ca t´ıpico de utilidades bem-comportadas. Exemplos de utilidades que geram esse tipo de curva s˜ao a Cobb-Douglas, a CES e utilidades quaselineares.

6 -x2 x1 ¯ u1 ¯ u2 > ¯u1 ¯ u3 > ¯u2 Curvas de indiferen¸ca “bem-comportadas”

Utilidade aumenta nessa dire¸c˜ao

Defini¸cão: Taxa Marginal de Substitui¸cão (TMS). A taxa marginal de substitui¸cão (TMS) entre dois bens mede a taxa pela qual o consumidor está disposto a trocar um bem por outro, de modo a manter a sua utilidade inalterada: a TMS do bem 1 pelo bem 2 diz o valor que o consumidor atribui ao bem 1 em termos do bem 2. A TMS é medida pela inclina¸cão da curva de indiferen¸ca.

A TMS entre os bens 1 e 2 ´e dada por:

T M S1,2(x1, x2) = dx2 dx1 _du=0 = − ∂u(x1,x2) ∂x1 ∂u(x1,x2) ∂x2 = −U M g1(x1, x2) U M g2(x1, x2) Observa¸c˜oes:

1. A TMS não depende da fun¸cão de utilidade que usamos para representar as preferências do consumidor.

2. Se a utilidade for bem-comportadas, ent˜ao o valor absoluto da TMS diminui quando percorremos uma curva de indiferen¸ca (na dire¸c˜ao de se afastar do eixo do bem 2). Ou seja, para um determinado n´ıvel de utilidade fixo, o valor do bem 1, em termos do bem 2, diminui quanto mais bem 1 o indiv´ıduo possui.

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1.3 Maximiza¸

c˜

ao de Utilidade

O problema de maximiza¸c˜ao de utilidade do consumidor pode ser formulado como: max

(x1,x2)∈R2+

u(x1, x2) s.a. p1x1+ p2x2 ≤ m (1)

As solu¸cões desse problema, x∗_i = xi(p1, p2, m), são chamadas fun¸cões de demanda Marshalliana

do bem i.

Para resolver os problemas de maximiza¸cão de utilidades bem-comportadas (Cobb-Douglas e CES, por exemplo) e encontrar as fun¸cões de demanda, usamos o método de Lagrange. O Lagrangeano do problema é:

L(x1, x2, λ) = u(x1, x2) + λ(m − p1x1− p2x2),

onde λ é o multiplicador de Lagrange. As condi¸cões de primeira ordem (CPOs) desse problema são: (x1) : λ∗p1 = ∂u(x∗₁, x∗₂) ∂x1 (x2) : λ∗p2 = ∂u(x∗₁, x∗₂) ∂x2 (λ) : m = p1x∗1+ p2x∗2

Se dividirmos a CPO do bem 1 pela do bem 2, obtemos:

∂u(x∗ 1,x∗2) ∂x1 ∂u(x∗ 1,x∗2) ∂x2 = p1 p2 ou − ∂u(x∗ 1,x∗2) ∂x1 ∂u(x∗ 1,x∗2) ∂x2 = −p1 p2

Essa equa¸cão tem a seguinte interpreta¸cão gráfica: a inclina¸cão da curva de indiferen¸ca na cesta ´

otima de consumo (a TMS calculada na cesta ótima) é igual à inclina¸cão da reta or¸camentária (que mede a taxa de troca de mercado dos dois bens).

Resumidamente, o consumidor tenta alcan¸car a curva de indiferen¸ca mais alta poss´ıvel, isto é, que possua alguma cesta de bens fact´ıvel (que o consumidor possa comprar). Essa curva é a que tangencia a reta or¸camentária. Qualquer curva de indiferen¸ca que dê um n´ıvel de satisfa¸cão mais alto já não inclui nenhuma cesta de bens que possa ser comprada por este consumidor.

6 -x2 x1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QQ Solu¸c˜ao do Problema do Consumidor: cesta E sE

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Logo, se a fun¸cão de utilidade for bem-comportada, a escolha ótima do consumidor satisfaz a condi¸cão de tangência em que o valor absoluto da taxa marginal de substitui¸cão é igual à razão de pre¸cos. Além disso, a solu¸cão do problema do consumidor será interior (ou seja, os dois bens serão consumidos em quantidades positivas: x∗₁ > 0 e x∗₂ > 0). Isso não vale em geral (podemos ter situa¸cões que a solu¸cão do problema do consumidor é de canto (ou seja, um dos bens não é consumido).

Defini¸cão: Fun¸cão de Utilidade Indireta. A fun¸cão de utilidade indireta, dada por: v(p1, p2, m) = u (x∗1, x

∗

2) = u(x1(p1, p2, m), x2(p1, p2, m)) .

diz qual o m´aximo de utilidade alcan¸c´avel aos pre¸cos p1 e p2 e renda m.

Exemplo: Utilidade Cobb-Douglas. O problema do consumidor com esta utilidade ´e: max

x1,x2

Axα₁xβ₂ s.a p1x1+ p2x2 = m ,

com α e β positivos. Resolvendo as CPOs para este problema, obtemos: x1(p1, p2, m) = α α + β m p1 e x2(p1, p2, m) = β α + β m p2 . A fun¸c˜ao de utilidade indireta ´e:

v(p1, p2, m) = Aααββ(α + β)−(α+β)p−α1 p −β 2 m

α+β

.

Note que o pre¸co de um bem n˜ao afeta a demanda do outro bem. Observe tamb´em que: s∗₁ = p1x ∗ 1 m = α α + β e s ∗ 2 = p2x∗2 m = β α + β.

Ou seja, a porcentagem ou fra¸cão da renda consumida em cada um dos bens é constante. O consumidor sempre gasta a mesma fra¸cão fixa da sua renda com cada bem, e essa fra¸cão é definida pelos coeficientes dos bens na fun¸cão utilidade.

As curvas de demanda s˜ao (quase sempre!) negativamente inclinadas: se o pre¸co do bem aumenta, compramos menos desse bem. Essa propriedade ´e chamada lei da demanda.

Lei da Demanda: Para qualquer bem ou servi¸co, a lei da demanda afirma que se consome mais quando o pre¸co diminui (ou que se consome menos quando o pre¸co aumenta), mantendo todo o resto constante (condi¸c˜ao de ceteris paribus).

Bens que satisfazem a lei da demanda são chamados bens comuns. Exce¸cões são chamados bens de Giffen.

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1.4 Elasticidades da Demanda

Suponha que a variável Y depende da variável Z, ou seja, mudan¸cas em Z afetam Y . Queremos medir a sensibilidade de Y a mudan¸cas em Z. A elasticidade de Y com rela¸cão a Z (vamos denotar esse conceito por εY Z) mede a varia¸cão que ocorre em Y , em termos percentuais, dada

uma varia¸c˜ao em Z, tamb´em em termos percentuais. Portanto: εY Z = %∆Y %∆Z = ∆Y Y ∆Z Z = Z Y ∆Y ∆Z

A ideia de usar a mudan¸cas em termos percentuais no lugar de mudan¸cas em termos absolutos ´

e que a primeira independe das unidades em que Y e Z são medidas. Por exemplo, a curva de demanda, tudo mais constante, mostra como a quantidade demandada varia com o pre¸co do bem. Porém medir varia¸cões absolutas na quantidade, causadas por varia¸cões absolutas no pre¸co, pode levar a inferências vazias de sentido. Suponha que um aumento de R$ 1 no pre¸co de um bem leva a uma queda de dez quilos na quantidade consumida. Isto é uma resposta grande ou pequena?

Não há como saber a não ser que sejam informados o pre¸co e a quantidade iniciais. Se o pre¸co inicial era R$ 1, então o aumento de R$ 1 representa um aumento de 100% no pre¸co. Se o pre¸co inicial era R$ 100, então o aumento de R$ 1 representa um aumento de 1% no pre¸co. Racioc´ınio similar vale para a quantidade.

A elasticidade é um conceito que reconhece e leva em conta mudan¸cas relativas das variáveis, o que a torna uma medida independente da unidade em que se mede essas variáveis. Por exemplo, se εY Z = 2, isso significa que uma mudan¸ca em Z de %∆Z = 1% leva a uma mudan¸ca em Y ,

em termos relativos, de %∆Y = εY Z × %∆Z = 2%.

Portanto, se estivermos analisando a demanda por cerveja em diversos pa´ıses, tanto faz se essa demanda é calculado em litros ou “ounces” ou qualquer outra medida e se o pre¸co é calculado em reais, dólar ou euros. Se a elasticidade-pre¸co da demanda por cerveja for −1,5, significa que um aumento no pre¸co da cerveja de 1% leva a uma queda no consumo de cerveja em 1,5%. Como estamos analisando a demanda de um bem, as elasticidades da demanda que iremos estudar são:

1. A elasticidade da demanda de um bem com rela¸c˜ao a mudan¸cas no seu pre¸co (elasticidade-pre¸co da demanda),

2. A elasticidade da demanda de um bem com rela¸c˜ao a mudan¸cas no pre¸co de outro bem (elasticidade-pre¸co cruzada da demanda), e

3. A elasticidade da demanda de um bem com rela¸c˜ao a mudan¸cas na renda do consumidor (elasticidade-renda da demanda).

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• Elasticidade-Pre¸co. A elasticidade-pre¸co da demanda (EPD) pelo bem i ´e calculada como a mudan¸ca percentual na quantidade dividida pela mudan¸ca percentual no pre¸co:

εM_i = εM_i (p, m) = ∂ ln(x M i (p, m)) ∂ ln(pi) = pi xM i (p, m) ∂xM_i (p, m) ∂pi

Apesar de a elasticidade-pre¸co da demanda ser (quase sempre) um número negativo (a demanda responde negativamente a mudan¸cas no pre¸co do bem), é comum se referir a ela como um número positivo, já que o que importa é a magnitude do número e não o seu sinal. Quando a elasticidade-pre¸co da demanda é (em valor absoluto):

– < 1: dizemos que a demanda é inelástica; – > 1: dizemos que a demanda é elástica; – = 1: dizemos que a elasticidade é unitária.

O fator fundamental para determinar a elasticidade-pre¸co da demanda de um bem ´e a possibilidade de substituir o seu consumo.

• Elasticidade-Pre¸co Cruzada. A elasticidade-pre¸co cruzada da demanda do bem i mede a sensibilidade da demanda do bem i com rela¸c˜ao ao pre¸co de algum outro bem:

εM_ij = εM_ij(p, m) = ∂ ln(x M i (p, m)) ∂ ln(pj) = pj xM i (p, m) ∂xM i (p, m) ∂pj . Temos que: – Se εM

ij > 0 ou, de modo equivalente, ∂xi/∂pj > 0: dizemos que o bem i ´e substituto

bruto do bem j. – Se εM

ij < 0 ou, de modo equivalente, ∂xi/∂pj < 0: dizemos que o bem i ´e

comple-mentar bruto do bem j.

• Elasticidade-Renda. A elasticidade-renda da demanda do bem i mede a sensibilidade da demanda em rela¸c˜ao a mudan¸cas na renda:

ηi = ηMi (p, m) = ∂ ln(xM i (p, m)) ∂ ln(m) = m xM i (p, m) ∂xM i (p, m) ∂m Classifica¸cões do bem i quanto à sua varia¸cão com a renda:

1) Inferior : ηi < 0.

2) Normal : ηi ≥ 0. Os bens normais podem ser subclassificados em:

2.1) Necess´arios (ou b´asicos): 0 ≤ ηi ≤ 1.

2.2) Bens de luxo: ηi > 1.

A mudan¸ca no dispˆendio total com um bem quando o seu pre¸co aumenta ´e igual a: ∂D

∂p = q(p) (1 − |εp|) , Portanto, temos que:

1. Se |εp| < 1 (demanda inelástica): pre¸co e dispêndio se movem na mesma dire¸cão;

2. Se |εp| = 1 (demanda com elasticidade unitária): dispêndio não se altera com uma

mudan¸ca no pre¸co;

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1.5 Bem-Estar do Consumidor

Defini¸cão: Excedente do Consumidor. O Excedente do Consumidor (EC) é a diferen¸ca entre o valor total que o consumidor estaria disposto a pagar pelo consumo e o valor de fato pago pelas unidades consumidas do bem analisado. Ele representa o ganho que o consumidor obtém ao comprar várias unidades do bem pagando sempre o mesmo pre¸co.

Para calcular o EC para uma mudan¸ca de pre¸cos podemos usar a demanda Marshalliana diretamente. Para uma varia¸c˜ao de pre¸co, de p0 _{para p}1_{, a varia¸c˜}_{ao no excedente do consumidor}

´ e: ∆EC = Z p0 p1 q(p) dp .

Se a demanda for linear, então o cálculo de ∆EC é bem simples: basta calcular áreas de triângulos (comprimento vezes altura dividido por 2) e retângulos (comprimento vezes altura).

6 -pre¸co qtde Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q_Q

Curva de Demanda Inversa

s p A 0 B x Excedente do Consumidor :

Valor pago pelas unidades consumidas

*

O excedente do consumidor e a sua varia¸cão nem sempre serão medidas exatas de bem-estar : quando integramos ao longo da demanda Marshalliana, o n´ıvel de utilidade do consumidor pode mudar. Logo, uma compensa¸cão baseada em ∆EC não necessariamente manterá a utilidade do consumidor constante. Porém, se a utilidade for quaselinear no bem analisado, então a varia¸cão do excedente do consumidor será uma medida exata de bem-estar.

1.6 Renda End´

ogena e Dota¸

c˜

oes Iniciais

No problema de maximiza¸cão de utilidade do consumidor, assumimos que a renda era uma variável exógena, fora do controle do consumidor. Porém, em vários problemas o mais apro-priado é modelar a renda endogenamente. O exemplo mais importante é o caso da renda do trabalho.

Vamos supor que o consumidor possua uma dota¸c˜ao inicial e = (e1, e2) dos bens 1 e 2. Esses

bens podem ser vendidos no mercado aos pre¸cos p1 e p2. Logo, a renda do consumidor ´e agora

igual `a m = p · e = p1e1+ p2e2 e o problema do consumidor pode ser escrito como:

max

x1,x2

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Resolvendo esse problema, determinamos as fun¸c˜oes de demanda brutas (ou seja, o consumo final de cada bem), denotadas por xi(p, p · e), i = 1, 2.

A demanda l´ıquida do bem i é a quantidade comprada ou vendida do bem i, ou seja, é a diferen¸ca entre a demanda bruta e a dota¸cão inicial, xi(p, p · e) − ei. Se a demanda l´ıquida for

positiva, o consumidor est´a comprando o bem (xi(p, p · e) > ei). Nesse caso, dizemos que o

consumidor é comprador l´ıquido do bem. Se a demanda l´ıquida for negativa, o consumidor está vendendo o bem (vendendo parte da dota¸cão inicial que ele possui do bem, xi(p, p · e) < ei).

Nesse caso, dizemos que o consumidor ´e vendedor l´ıquido do bem.

A reta or¸cament´aria no caso de dota¸c˜oes iniciais pode ser reescrita como: p1(x1− e1) + p2(x2− e2) = 0

Portanto, para o caso de dois bens, o consumidor não pode ser nem comprador l´ıquido dos dois bens, nem vendedor l´ıquido dos dois bens. O valor dos bens que o consumidor compra tem que ser igual ao valor dos bens que ele vende. É fácil notar que o indiv´ıduo não pode ser comprador l´ıquido de todos os bens: ele precisa vender pelo menos um bem para obter recursos para ser comprador l´ıquido dos outros bens.

Vamos analisar agora um modelo de oferta de trabalho. Existem apenas dois bens que o consumidor escolhe: consumo, c, e lazer, l. O consumidor possui uma quantidade máxima H de lazer que ele pode consumir (um dia tem apenas 24 horas, uma semana apenas 7 dias, etc). O indiv´ıduo pode dividir o seu tempo em lazer ou em trabalho. O salário por unidade de tempo trabalhado é w. O indiv´ıduo recebe também um valor M de renda que independe de suas a¸cões (isto é, M é variável exógena ao problema do consumidor).

O problema do consumidor nesse caso ´e representado por: max

c,l u(c, l) s.a pc = w(H − l) + M, com 0 ≤ l ≤ H .

Podemos reescrever a restri¸c˜ao or¸cament´aria como: pc + wl = wH + M

A restri¸cão or¸camentária acima tem uma forma peculiar: no lado direito, temos wH, a renda plena do trabalho (o valor que o indiv´ıduo receberia se trabalhasse todo o seu tempo dispon´ıvel) e no lado esquerdo temos wl, o custo do lazer que o indiv´ıduo consome. O salário w então é visto como o pre¸co (custo de oportunidade) do lazer.

Qual o efeito de um aumento do salário na oferta de trabalho? Existem dois efeitos. Primeiro, o aumento no salário aumenta a oferta de trabalho, já que o lazer ficou mais caro agora. Porém, o aumento no salário aumenta a renda do consumidor, pois ele passa a ganhar mais por hora trabalhada. A soma dos dois efeitos não é clara, o oferta de trabalho pode tanto aumentar como diminuir quando o salário aumenta. Se o salário está em um n´ıvel baixo, é razoável imaginar que aumentos do salário vão induzir o indiv´ıduo a trabalhar mais. Porém, a partir de um certo n´ıvel, se o salário se torna alto demais, novos aumentos do salário podem induzir o indiv´ıduo a trabalhar menos. Então, supondo lazer um bem normal, pode ocorrer que um aumento do sálario aumente a quantidade de lazer consumida, ou seja, que diminua a oferta de trabalho.

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2 Teoria da Firma

2.1 Introdu¸

c˜

ao

Defini¸c˜ao: Firma. A firma ´e uma entidade que transforma insumos em bens finais (produtos).

FIRMA

INSUMOS - - PRODUTOS

Vamos supor que o objetivo da firma seja maximizar lucros (maximiza a renda dos donos da firma).

Defini¸cão: Tecnologia. A tecnologia de uma firma descreve a sua capacidade de produzir bens usando insumos de produ¸cão (também chamados fatores de produ¸cão). A tecnologia é dada pela limita¸cão técnica da firma, definida por leis da natureza e por avan¸cos tecnológicos. Se a firma produz apenas um único bem, a fun¸cão de produ¸cão relaciona a quantidade máxima de produto que podemos obter, dados os insumos utilizados. Suponha que a firma utilize dois insumos, x1 e x2. A fun¸cão de produ¸cão é representada por:

q = f (x1, x2) ,

onde q ´e a quantidade produzida do bem final.

Defini¸c˜ao: Isoquantas. Uma isoquanta descreve combina¸c˜oes de insumos que produzem a mesma quantidade do bem final.

Isoquantas é um conceito similar ao de curva de indiferen¸ca. Porém, o rótulo de uma curva de indiferen¸ca não tem nenhum significado, enquanto o rótulo da isoquanta tem um significado preciso: é a quantidade do bem produzido.

Uma isoquanta pode ser definida, em termos da fun¸c˜ao de produ¸c˜ao, como: I(q) = {(x1, x2) ≥ (0, 0) | f (x1, x2) = q} .

Se os dois fatores forem importantes na produ¸cão (f estritamente crescente), então as isoquan-tas serão negativamente inclinadas. Se a fun¸cão de produ¸cão for estritamente quasecôncava, então a isoquanta será convexa em rela¸cão à origem. Ou seja, combina¸cões distintas de insumos que produzem a mesma quantidade do bem final produzirão uma quantidade maior do bem final.

A fun¸cão de produ¸cão relaciona insumos com a quantidade produzida do bem final. Se deri-varmos essa fun¸cão com rela¸cão a algum dos insumos, encontramos o produto marginal desse insumo:

P M gi(x1, x2) =

∂f (x1, x2)

∂xi

= fi(x1, x2) , i = 1, 2.

No caso apenas de dois fatores, capital e trabalho, o produto marginal do trabalho, por exemplo, mede o quanto a produ¸c˜ao aumentar´a se aumentarmos (um pouco) a quantidade de trabalho usada, mantendo a quantidade de capital usada fixa.

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A lei do produto marginal decrescente diz que o produto marginal de qualquer insumo decresce `

a medida que usamos mais desse insumo, mantendo o uso dos outros insumos inalterado: ∂P M gi(x1, x2) ∂xi = ∂ 2_{f (x} 1, x2) ∂x2 i

= fii(x1, x2) ≤ 0, para todo insumo i

Essa propriedade está ligada à idéia de exaustão dos fatores de produ¸cão.

Defini¸cão: Produto Médio (PMe). O produto médio do insumo i é definido como: P M ei(x1, x2) =

f (x1, x2)

xi

, i = 1, 2 .

Se P M eL( ˆL, ˆK) = 5, ent˜ao, quando ´e usada a quantidade ( ˆL, ˆK) de insumos, para cada 5

unidades produzidas de q, é usada uma unidade de trabalho L. Logo, o produto médio de um insumo diz quantas unidades são produzidas para cada unidade usada do insumo, na média. Vale a seguinte rela¸cão entre o produto médio P M ei(x1, x2) e o produto marginal P M gi(x1, x2)

de um insumo i:

∂P M ei(x1, x2)

∂xi T 0

⇒ P M gi(x1, x2) T P Mei(x1, x2) .

A Taxa Técnica de Substitui¸cão (TTS ) entre dois insumos (ou Taxa Marginal de Substitui¸cão Técnica – TMST ) mede o quanto a firma deve abrir mão de um desses insumos e acrescentar do outro insumo para continuar produzindo a mesma quantidade do bem final:

T T S12(x1, x2) =

dx2

dx1

= −f1(x1, x2) f2(x1, x2)

A TTS é o análogo para a teoria da firma da taxa marginal de substitui¸cão da teoria do consumidor e mede a inclina¸cão da isoquanta no ponto considerado. Se a TTS for decrescente em valor absoluto, então as isoquantas serão convexas com rela¸cão à origem: à medida que percorremos a isoquanta, a sua inclina¸cão decresce em valor absoluto.

Dizemos que a fun¸cão de produ¸cão apresenta retornos constantes de escala (RCE), retornos crescentes de escala (RCrE) ou retornos decrescentes de escala (RDE) se a fun¸cão de produ¸cão satisfizer a propriedade da coluna do meio da tabela abaixo.

Tipo de Retorno de Escala Fun¸c˜ao de Produ¸c˜ao Tipo de tecnologia Constantes f (tx1, tx2) = tf (x1, x2), t > 0, ∀(x1, x2) replica

Decrescentes f (tx1, tx2) < tf (x1, x2), t > 1, ∀(x1, x2) algum fator fixo

Crescente f (tx1, tx2) > tf (x1, x2), t > 1, ∀(x1, x2) ganhos de escala

Retornos constantes de escala s˜ao uma hip´otese natural para a firma no longo prazo (tecnologia ´

e replicada). No caso de RCE, a fun¸cão de produ¸cão é homogênea de grau 1. Retornos decrescentes de escala (ou deseconomias de escala) normalmente ocorrem quando algum insumo está fixo. Retornos crescentes de escala (ou ganhos de escala) ocorrem quando a tecnologia permite que haja ganhos de escala na produ¸cão.

O curto prazo é o per´ıodo de tempo onde alguns fatores da firma são fixos. A firma não pode então alterar o n´ıvel desses fatores. O longo prazo é o per´ıodo de tempo em que todos os fatores de produ¸cão são variáveis: a firma pode ajustar todos os seus fatores de produ¸cão da forma que desejar.

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2.2 Minimiza¸

c˜

ao de Custos

Queremos resolver o seguinte problema:

min

x1,x2

w1x1+ w2x2 s.a. q = f (x1, x2)

As demandas derivadas do problema de minimiza¸cão de custos da firma, se existirem, são demandas por fatores condicionais (no n´ıvel de produ¸cão q):

x1 = x1(w1, w2, q) e x2 = x2(w1, w2, q).

A demanda condicional xi(w1, w2, q) diz a quantidade ´otima do insumo i, i = 1, 2, que minimiza

o custo de se produzir q aos pre¸cos w1, w2 dos insumos. A fun¸c˜ao custo c(w1, w2, q) de uma

firma, dada por:

c(w1, w2, q) = w1x1(w1, w2, q) + w2x2(w1, w2, q) ,

diz o custo m´ınimo de se produzir a quantidade q de bem final, quando os pre¸cos dos insumos são w1, w2 e a tecnologia de firma é descrita pela fun¸cão de produ¸cão f .

Supondo que o m´etodo de Lagrange se aplica, o Lagrangeano desse problema ´e: L = w1x1+ w2x2+ λ (q − f (x1, x2)) ,

onde λ ´e o multiplicador de Lagrange do problema. As CPO s˜ao: (x1) : w1 = λf1(x1, x2)

(x2) : w2 = λf2(x1, x2)

(λ) : q = f (x1, x2)

Se dividirmos a CPO do insumo 1 pela CPO do insumo 2, obtemos: w1 w2 = f1(x1, x2) f2(x1, x2) = P M g1(x1, x2) P M g2(x1, x2) = |T T S12(x1, x2)| .

Por exemplo, se:

w1 w2 = 2 1 > 1 1 = P M g1 P M g2 ,

então o insumo 1 está caro em rela¸cão ao insumo 2, dadas as produtividades marginais desses dois insumos.

Se a firma diminuir em uma unidade o uso do insumo 1 e aumentar em uma unidade o uso do insumo 2, o n´ıvel de produ¸cão não se altera (P M g1 = P M g2 = 1), porém a firma economiza

R$ 1, j´a que w1 = 2 e w2 = 1. Portanto, se o pre¸co relativo de dois insumos ´e diferente da sua

taxa técnica de substitui¸cão, a firma não estará minimizando custos.

Graficamente, para o caso de dois insumos, o problema de minimiza¸cão de custo é determinar o menor custo poss´ıvel dado o n´ıvel de produ¸cão desejado.

Uma reta de isocusto Ic= {(x1, x2) | w1x1+ w2x2 = c} ´e o conjunto formado pelas combina¸c˜ao

de insumos que possuem o mesmo custo c. O problema de minimiza¸cão de custos então é encontrar a reta de menor isocusto que possibilite a produ¸cão de q.

(13)

6 -x2 x1 Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q E: solu¸c˜ao do problema de minimiza¸c˜ao de custo da firma

rE Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q

Teorema: Fun¸cão de Produ¸cão Homogênea. Se a fun¸cão de produ¸cão f for homogênea de grau θ > 0, então:

c(w, q) = c(w, 1) q1/θ, x(w, q) = x(w, 1) q1/θ.

O resultado do teorema é intuitivo. Se a tecnologia da firma apresenta RCE (θ = 1), então o custo de produzir cem unidades do seu produto é apenas cem multiplicado pelo custo de produzir uma unidade desse produto. Se a tecnologia da firma apresenta RCrE (θ > 1), então o custo aumenta numa propor¸cão menor do que o aumento da produ¸cão: se a firma, por exemplo, aumentar a produ¸cão em dez vezes, o custo aumenta em menos de dez vezes. O inverso ocorre se a tecnologia da firma apresenta RDE (θ < 1). Neste caso, se a firma aumentar a produ¸cão em dez vezes, o custo aumentará em mais de dez vezes.

Suponha que o segundo fator n˜ao possa ser alterado no curto prazo, x2 = ¯x2 (por exemplo,

o segundo fator pode ser capital). A fun¸cão custo de curto prazo (ou fun¸cão custo restrita) é definida por:

ccp(w1, w2, q; ¯x2) = min x1

w1x1+ w2x¯2 s.a. f (x1, ¯x2) = q

A seguinte rela¸cão entre a fun¸cão custo de longo prazo e a fun¸cão custo de curto prazo é válida: clp(q) ≤ ccp(q; ¯x2) , para todo ¯x2, para todo q ≥ 0 .

Isto implica que a curva de custo médio de longo prazo é a envoltória inferior de todas as curvas de custo médio de curto prazo, onde cada curva de custo médio de curto prazo é obtida ao variarmos o valor do insumo fixo.

(14)

2.3 Fun¸

c˜

oes Custos

Defini¸cão: Custo Fixo e Custo Variável. O custo total (CT (q)) de produ¸cão da quantidade q é dado pela soma do custo fixo (a parte do custo que não varia com a quantidade q produzida – é o custo dos insumos fixos) e do custo variável (a parte do custo que varia com a quantidade q produzida – é o custo dos insumos variáveis).

Outros tipos de custos relacionados ao custo fixo:

• Custo afundado ou custo irrecuperável é um custo fixo que, uma vez feito, é perdido. Ou seja, uma vez realizado, a firma não tem como recuperá-lo.

• Custo quase fixo ´e o custo realizado apenas se a firma decide produzir uma quantidade positiva do bem. Se ela produz zero, n˜ao gasta nada desse custo. Se ela produz qualquer quantidade, ela gasta um valor fixo. Por isso o nome de quase fixo.

A fun¸c˜ao custo total (CT ) de curto prazo pode ser escrita como a soma dos custos vari´aveis (CV ) e dos custos fixos (CF ) da firma:

CT (q) = CV (q) + CF , onde:

• Custo Fixo (CF ): é a parte do custo que não varia com a quantidade produzida – é o custo dos insumos fixos. Exemplos: aluguel, contador, seguran¸ca, etc.

• Custo Variável (CV (q)): é a parte do custo que varia com a quantidade produzida – é o custo dos insumos variáveis. Exemplos: insumos variáveis, mão-de-obra, etc.

Defini¸c˜ao: Custo M´edio e Custo Marginal.

1. Custo Médio (CM e): é o custo total dividido pela quantidade produzida: CM e(q) = CT (q)/q: custo médio por unidade produzida. O custo médio pode ser decomposto em dois outros tipos de custos médios:

• Custo Variável Médio (CV M e): É o custo variável médio de produ¸cão: CV (q)/q. • Custo Fixo Médio (CF M e): é o custo fixo médio de produ¸cão: CF/q.

2. Custo Marginal (CM g): ´e o acr´escimo no custo ao se produzir mais uma unidade adicional do bem final: CM g(q) = c0(q) = ∂CT (q)/∂q = ∂CV (q)/∂q.

Observa¸c˜oes:

• O custo médio (CM e) é portanto igual ao custo variável médio (CV M e) mais o custo fixo médio (CF M e), por defini¸cão.

• A integral do custo marginal de 0 a q mede o custo vari´avel de produ¸c˜ao dessas q unidades do produto.

(15)

2.4 Oferta da Firma Competitiva

Suponha que a firma já resolveu o seu problema de minimiza¸cão de custos, ou seja, conhecemos c(q), o custo m´ınimo de se produzir a quantidade q do bem. Então o problema da firma se reduz a decidir o n´ıvel de produ¸cão ótimo.

O problema de qualquer firma, competitiva ou n˜ao, pode ser escrito como: max

q≥0 Receita(q) − Custos(q)

A CPO desse problema resulta em:

Receita Marginal (RM g(q∗)) = Custo Marginal (CM g(q∗))

Essa condi¸cão é válida para qualquer firma, esteja ela inserida em um ambiente competitivo ou não.

Para a firma competitiva, a receita marginal é igual ao pre¸co, pois sua receita total é dada pela venda da sua produ¸cão, p × q, já que a firma competitiva é tomadora de pre¸cos. Então, para cada unidade adicional do bem vendida, a firma competitiva recebe o pre¸co de mercado do bem. Logo, o problema da firma competitiva, após ter resolvido o seu problema de minimiza¸cão de custos, é:

max

q≥0 pq − c(q)

As CPO e CSO desse problema s˜ao:

(CP O) : p = CM g = c0(q)

(CSO) : − c00(q) < 0 ⇒ c00(q) > 0

Logo, a curva de oferta da firma competitiva é determinada pela sua curva de custo marginal. Porém, não é idêntica a toda curva de custo marginal.

Primeiro, a CSO diz que a curva de oferta de uma firma competitiva é igual à parte crescente da curva de custo marginal. Segundo, a curva de oferta é igual à curva de custo marginal apenas na região onde o custo marginal está acima do custo variável médio. A razão disso é que se o pre¸co, igual ao custo marginal, for menor do que o custo variável médio, é melhor para a firma encerrar suas atividades: o que ela produz não cobre nada dos custos fixos nem parte dos custos variáveis de produ¸cão.

6 -Custos, pre¸cos CM e CM g CV M e @ @ @ R

A parte hachurada da curva de CM g ´e a curva de oferta da firma competitiva

(16)

Temos os seguintes resultados:

Caso Decis˜ao da Firma Lucro (ou Preju´ızo) p < CV M e Encerra atividades Preju´ızo = CF p = CV M e Indiferente Preju´ızo = CF CV M e < p < CM e Produz Preju´ızo < CF

p = CM e Produz Lucro zero

p > CM e Produz Lucro Positivo

Portanto, a curva de oferta da firma competitiva ´e inclinada positivamente: se o pre¸co do seu produto aumentar, a firma produz mais desse bem.

A fun¸cão de oferta inversa da firma é dada por p(q) = CM g(q). Essa fun¸cão mede o pre¸co para ]o qual a firma oferecerá q unidades do produto. Nos gráficos acima, representamos na verdade a curva de oferta inversa, já que o eixo vertical representa o pre¸co do bem.

2.5 O Problema de Maximiza¸

c˜

ao Direta de Lucros

Vamos agora resolver o problema de maximiza¸c˜ao de lucros da firma de modo direto, ou seja, vamos resolver o problema:

max

x1,x2

pf (x1, x2) − w1x1− w2x2

Note que a quantidade de produ¸cão é escolhida de modo impl´ıcito, ao se escolher as quantidades de insumos que maximizam o lucro. Vamos supor que o problema é diferenciável e que as CSOs são satisfeitas para um máximo. A solu¸cão da maximiza¸cão é dada pelas CPOs do problema e resulta nas seguintes igualdades:

pf1(x∗1, x ∗

2) = w1 e pf2(x∗1, x ∗ 2) = w2

O termo ao lado esquerdo das CPOs, chamado valor do produto marginal do insumo i, ´e o pre¸co do bem final multiplicado pelo produto marginal do insumo i, ou seja, o quanto a receita aumenta dado um aumento no uso do insumo i. As CPOs dizem ent˜ao que para uma firma competitiva maximizadora de lucros o valor do produto marginal de cada insumo tem que ser igual ao seu pre¸co.

Se resolvermos as CPO do problema de maximiza¸cão de lucro, encontramos as demandas dos fatores como fun¸cão dos pre¸cos, chamadas demandas incondicionais ou demandas ótimas por insumos da firma:

x1 = x1(p, w1, w2) e x2 = x2(p, w1, w2) .

A fun¸c˜ao de oferta da firma ´e definida como:

q∗ = q(p, w1, w2) = f (x1(p, w1, w2), x2(p, w1, w2)) .

A fun¸c˜ao lucro, se existir, ´e definida como: π(p, w1, w2) = max x1,x2

(17)

2.6 O Excedente do Produtor e Lucros da Firma

O Excedente do Produtor (EP ) é a área entre a curva de custo marginal e o pre¸co de mercado, e mede o quanto a firma está ganhando ao receber o mesmo pre¸co por unidades que custaram mais barato do que o custo marginal da última unidade vendida.

6 -Custos q CM e CM g CV M e pM

EP

O lucro da firma ´e a diferen¸ca entre receitas e custos, onde custos podem ser divididos em custos fixos e custos vari´aveis:

Lucro = pq − CV − CF

O EP é a área entre o pre¸co do bem e a curva de oferta, que é igual à curva de CM g. A área abaixo da curva de CM g mede o custo variável da firma. Portanto, temos que:

EP = pq − CV Juntando essa duas rela¸c˜oes, obtemos:

EP = Lucro + CF

O excedente do produtor é muito usado para medir a perda ou o ganho de lucro quando a firma varia o seu n´ıvel de produ¸cão. Pela igualdade acima, em que EP = Lucro + CF , a altera¸cão causada no lucro de uma firma devido a uma varia¸cão no pre¸co do bem que ela vende ´

e exatamente igual à varia¸cão no excedente do produtor, já que o custo fixo não varia com o pre¸co do bem final.

(18)

3 Equil´ıbrio Parcial

3.1 Demanda e Oferta de Mercado

Defini¸c˜ao: Demanda de Mercado. Suponha que existam I potenciais compradores de um bem qualquer. A demanda de mercado de um bem ´e a soma de todas as demandas individuais por esse bem.

A curva de oferta de mercado é obtida somando-se as curvas de ofertas de todas as firmas que produzem o bem analisado. Podemos destacar duas curvas de oferta principais: a de curto prazo, que mostra como a oferta da indústria responde a diferentes pre¸cos no curto prazo; e a de longo prazo, que mostra como a oferta da indústria responde a diferentes pre¸cos no longo prazo.

No curto prazo, o número de vendedores no mercado, J , está fixo. Esses vendedores podem variar a sua oferta apenas usando os fatores que não estão fixos.

No longo prazo, nenhum insumo está fixo. Além disso, firma pode decidir sair do mercado se os custos médios de longo prazo não forem cobertos. Portanto, no longo prazo ocorre um importante ajuste de margem extensiva: a entrada e sa´ıda de firmas, dependendo de a indústria ter lucros ou preju´ızos. Então o equil´ıbrio do mercado competitivo de longo prazo ocorre no ponto onde o pre¸co iguala o custo médio de longo prazo m´ınimo, e, portanto, iguala o custo marginal. Esse é o ponto de máxima eficiência poss´ıvel, já que o bem é produzido ao menor custo médio poss´ıvel.

Temos portanto duas variáveis para determinar no equil´ıbrio de longo prazo de uma indústria competitiva: o pre¸co de equil´ıbrio e o número de firmas da indústria. Essas variáveis são determinadas pelas condi¸cões de equil´ıbrio de mercado (demanda igual à oferta) e de lucro zero da firma competitiva. Logo, o pre¸co de equil´ıbrio no longo prazo é determinado unicamente pela oferta (pela condi¸cão de lucro zero).

3.2 Encontrando o Equil´ıbrio

O mercado de um certo produto está em equil´ıbrio quando a demanda se iguala à oferta. O equil´ıbrio é obtido via ajuste de pre¸cos: o pre¸co de equil´ıbrio é o pre¸co que faz com que a demanda seja igual à oferta. Como a demanda diminui se o pre¸co sobe e a oferta aumenta se o pre¸co sobe, só existe um pre¸co de equil´ıbrio.

Exemplo: Suponha que a demanda pelo bem é D(p) = 10−p e a oferta do bem é S(p) = 6+p. O pre¸co de equil´ıbrio é o que faz a demanda e a oferta se igualarem:

S(p∗) = D(p∗) ⇔ 10 − p∗ = 6 + p∗ ⇒ p∗ = 2

Ao pre¸co p∗ = 2, a oferta é igual a S(2) = 8 e a demanda é igual a D(2) = 8. Ou seja, oito unidades do bem são produzidas e oito unidades do bem são consumidas ao pre¸co de R$ 2. Se a demanda for maior do que a oferta, dizemos que há um excesso de demanda. Se a oferta for maior do que a demanda, dizemos que há um excesso de oferta. Em qualquer desses casos, o pre¸co tenderá a se ajustar de modo a equilibrar o mercado.

(19)

6 -Pre¸co Qtde Curva de Oferta Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QQ Curva de Demanda q∗ s p∗

3.3 Efeito de um Imposto

Existem dois tipos principais de impostos sobre o consumo de um bem:

1. Imposto sobre a quantidade: taxa cobrada por unidade vendida do bem. Exemplo: a Lei 10.336, de 19 de dezembro de 2001, instituiu a Contribui¸cão de Interven¸cão no Dom´ınio Econômico (CIDE) – Combust´ıveis, que tributava em R$ 501,10 o metro cúbico de gaso-lina, ou seja, cerca de cinquenta centavos o litro de gasolina.

2. Imposto sobre o valor (imposto ad valorem): taxa cobrada sobre o valor do bem, expressa em termos percentuais. Exemplo: o Imposto sobre Produtos Industrializados (IPI) ´e um imposto federal, cuja al´ıquota depende do bem. No caso de cigarros, a al´ıquota do IPI em 1999 era de 41,25% do pre¸co de venda a varejo do ma¸co de cigarro.

Suponha que sobre um determinado bem ´e cobrado um imposto sobre a quantidade de valor t, que pode ser pago tanto pelo vendedor como pelo pelo comprador. Temos que pD = pS+ t

(ou pS = pD − t), onde pD ´e o pre¸co pago pelos consumidores e pS ´e o pre¸co recebido pelos

vendedores (se o imposto fosse do tipo ad valorem, com taxa τ , ter´ıamos que pD = (1 + τ )pS).

O quanto do imposto incide sobre os consumidores e o quanto incide sobre os vendedores depende das caracter´ısticas do mercado, ou seja, da demanda e da oferta, e n˜ao sobre quem recai a responsabilidade de repassar o valor arrecadado com o imposto para o governo.

Além disso, um imposto não gera apenas uma transferência de riqueza dos consumidores e firmas para o governo. Ele diminui a quantidade transacionado do bem e com isso gera uma perda de peso morto (“deadweight loss”), uma renda econômica dissipada.

Com a presen¸ca do imposto no valor t, temos agora que:

qD(pD) = qS(pS) , em que pD = pS+ t

Resolvendo o sistema acima, encontramos p∗_D e p∗_S. A quantidade q∗∗transacionada de equil´ıbrio ´

e dada por q∗∗ = qD(p∗D) = qS(p∗S). A arrecada¸c˜ao do governo ´e t × q

∗∗_{. Se calcularmos a}

quantidade transacionada na ausência do imposto, denotada por q∗, ela será maior do que q∗∗. O peso morto do imposto, no caso de curvas de demanda e de oferta lineares será [t×(q∗−q∗∗_)]/2.

(20)

A figura abaixo ilustra como o imposto modifica os pre¸cos de equil´ıbrio. A área A é excedente do consumidor transferido para o governo e a área C é excedente do produtor transferido para o governo. Logo, a área A + C é a receita que o governo arrecada com o imposto. A ´

area B é excedente do consumidor dissipado pela diminui¸cão da quantidade de equil´ıbrio dado o imposto. A área D é excedente do produtor dissipado pela diminui¸cão da quantidade de equil´ıbrio devido ao imposto. A soma B + D, a perda de excedente total, é a perda social gerada pelo imposto. Essa perda, chamada também perda de peso morto ou ônus do imposto, constitui uma ineficiência gerada pelo imposto.

6 -Pre¸co Qtde Curva de Oferta Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q QQ Curva de Demanda q∗∗ q∗ s s s pD pS A _B C D

A análise realizada acima, utilizando o modelo de equil´ıbrio parcial para investigar o que ocorre quando um imposto é colocado em um determinado mercado, é chamada estática comparativa. Uma análise de estática comparativa investiga a mudan¸ca que ocorre no modelo usado quando algum parâmetro exógeno (ou seja, não determinado dentro do modelo) é alterado, sem analisar a questão de como se dá o processo de mudan¸ca.

Podemos utilizar o modelo de equil´ıbrio parcial para investigar os efeitos de diversas medidas de pol´ıtica econômica em um setor da economia, tais como: implementa¸cão de um subs´ıdio, abertura comercial, pol´ıticas de pre¸cos m´ınimos e de pre¸cos máximos.

(21)

4 Equil´ıbrio Geral

4.1 Equil´ıbrio Geral com Trocas

A hipótese fundamental no estudo de equil´ıbrio geral é de mercados competitivos. Ou seja, os agentes da economia (consumidores e firmas) são tomadores de pre¸cos.

Não lidaremos com a questão de produ¸cão por enquanto. Cada indiv´ıduo da economia recebe uma dota¸cão inicial de bens. Vamos representar pelo vetor ei _{∈ R}n₊ a dota¸cão inicial dos n bens do consumidor i, i = 1, . . . , I.

O caso de dois indiv´ıduos e dois bens, I = 2 (nesse caso vamos representar os dois consumidores por A e B, para facilitar a nota¸c˜ao) e n = 2, pode ser analisado graficamente por meio da caixa de Edgeworth. A dota¸c˜ao total de uma economia, eT_{, ´}_{e a soma das dota¸c˜}_{oes iniciais dos}

indiv´ıduos da economia. No caso de dois consumidores e dois bens, temos que eT _{= e}A_{+ e}B_,

onde ei = (ei₁, ei₂), i = A, B.

Defini¸cão: Caixa de Edgeworth. A caixa de Edgeworth é uma representa¸cão gráfica dessa economia, onde cada ponto da caixa possui quatro coordenadas, duas referentes ao indiv´ıduo A e duas referentes ao indiv´ıduo B (ver figura abaixo).

A dimensão (o tamanho) da caixa é definida pela dota¸cão total da economia. Um ponto na caixa representa uma poss´ıvel distribui¸cão de dota¸cão entre os participantes da economia, sem desperd´ıcios. Todas as poss´ıveis distribui¸cões de bens na economia estão representadas na caixa.

Para completarmos a caracteriza¸c˜ao dessa economia, temos que especificar as utilidades indi-viduais. Temos que E = (ui, ei)I_i=1 representa uma economia de trocas (ou economia de trocas puras ou economia de trocas simples, sem produ¸c˜ao).

Vamos denotar por e = (e1, . . . , eI) a distribui¸c˜ao de dota¸c˜oes na economia e por x = (x1_{, . . . , x}I_{) uma aloca¸}_c˜_{ao dessa economia. Portanto, uma aloca¸c˜}_{ao para a economia E atribui}

uma cesta de bens para cada consumidor dessa economia.

0A 6 -0B ? s s eA 2 eA₁ s s eB 2 eB 1 s e = (eA, eB)

(22)

Defini¸cão: Aloca¸cão Fact´ıvel. Dizemos que a aloca¸cão x = (x1_{, . . . , x}I_{) ´}_{e fact´ıvel se ela}

exaure a dota¸c˜ao total de cada bem na economia. Para o caso de dois consumidores, A e B, a aloca¸c˜ao x = (xA_{, x}B_{), com x}A_{= (x}A

1, xA2) e xB = (xB1, xB2), ´e fact´ıvel se:

Bem 1: xA₁ + xB₁ = eA₁ + eB₁ Bem 2: xA₂ + xB₂ = eA₂ + eB₂

Dizemos que uma aloca¸cão fact´ıvel é Pareto-eficiente se não for poss´ıvel melhorar (estritamente) pelo menos um indiv´ıduo sem piorar ninguém.

Defini¸cão: Aloca¸cão Pareto-Eficiente. A aloca¸cão fact´ıvel x ∈ F (e) é Pareto-eficiente (ou Pareto-ótima ou eficiente de Pareto) se não existir nenhuma outra aloca¸cão fact´ıvel y tal que ui_(yi_{) ≥ u}i_(xi_{), para todo i ∈ I, e u}j_(yj_{) > u}j_(xj_{), para pelo menos um j ∈ I.}

Dado que as trocas na economia são feitas de forma voluntária, se a economia se encontra em uma aloca¸cão Pareto-eficiente, não será poss´ıvel mudar essa aloca¸cão. Portanto, as aloca¸cões Pareto-eficientes são candidatas naturais ao equil´ıbrio da economia.

Observa¸c˜oes sobre o Crit´erio de Pareto:

• Uma outra maneira de interpretar: aloca¸cões de recursos em que não é poss´ıvel fazer com que todos melhorem ou que não é poss´ıvel fazer com que alguém melhore sem que pelo menos uma outra pessoa piore são aloca¸cões Pareto ótimas.

• Aloca¸cões eficientes de Pareto são aloca¸cões em que todos os ganhos de troca se exauriram. Logo não existem mais trocas mutualmente vantajosas para serem feitas.

• Eficiência de Pareto é o que economistas querem dizer quando chamam algo eficiente. • Em geral há um conjunto grande de pontos Pareto ótimos em uma economia. Dizer que

a economia deve estar em um ponto Pareto ótimo é um ju´ızo de valor, mas o mais fraco ju´ızo de valor que se pode fazer a respeito da situa¸cão da economia.

• O critério de Pareto apenas diz que não deve haver perdas ou desperd´ıcios na economia, ele não diz nada sobre a distribui¸cão de riqueza de uma sociedade.

Defini¸cão: Curva de Contrato. A curva de contrato então é o conjunto de todas aloca¸cões Pareto eficientes da economia. Essa curva também é chamada conjunto de Pareto.

0A 6 -0B ? s e = (eA, eB) s s Curva de Contrato

(23)

Em uma aloca¸cão Pareto eficiente, as taxas marginais de substitui¸cão entre dois bens devem ser iguais entre os consumidores (se não fosse o caso, existiria alguma troca que melhoraria um dos consumidores sem piorar o outro – observe a figura acima). Note que isso vale para utilidades bem comportadas e aloca¸cões no interior da caixa de Edgeworth.

Exemplo: Suponha dois consumidores, A e B, que possuem dota¸c˜oes iniciais representadas por eA _{= (e}x

A, e y

A) e eB = (exB, e y

B), e utilidades Cobb-Douglas denotadas por:

uA(xA, yA) = xαAy 1−α A e uB(xB, yB) = x β By 1−β B

Igualando a TMS dos dois consumidores, obtemos: T M SA(xA, yA) = αyA (1 − α)xA = βyB (1 − β)xB = T M SB(xB, yB)

Lembrando que toda aloca¸cão Pareto eficiente é fact´ıvel e que as aloca¸cões fact´ıveis satisfazem xA+ xB = eTx e que yA+ yB = eTy, obtemos: αyA (1 − α)xA = β(e T y − yA) (1 − β)(eT x − xA)

Resolvendo essa equa¸c˜ao, encontramos yA em fun¸c˜ao de xA, de modo que define a curva de

contrato. Suponha que as utilidades dos dois indiv´ıduos s˜ao iguais (logo, α = β). Ent˜ao a ´

ultima express˜ao acima se torna: αyA (1 − α)xA = α(e T y − yA) (1 − α)(eT x − xA) ⇒ yA= eT_y eT x ! xA,

ou seja, a curva de contrato será uma reta, qualquer que seja a utilidade Cobb-Douglas consi-derada (isso não ocorrerá se as utilidades dos dois indiv´ıduos forem distintas).

Defini¸cão: Conjunto de Possibilidade de Utilidade. O conjunto de possibilidade de utilidade (CPU) ilustra combina¸cões de utilidades poss´ıveis de serem obtidas, dados os recur-sos da economia. Na fronteira da CPU são representadas combina¸cões de utilidades geradas por aloca¸cões Pareto eficientes. Mais ainda, toda aloca¸cão Pareto eficiente possui uma repre-senta¸cão da utilidade gerada na fronteira de possibilidade de utilidade (FPU).

6 -uB uA Fronteira de Possibilidade de Utilidade

(24)

As transa¸cões na economia são efetuadas em mercados competitivos, onde cada consumidor maximiza o seu bem-estar, dados os pre¸cos de mercado que ele observa. Portanto, o sistema de pre¸cos é o instrumento alocativo de uma economia de mercado. Ele determina o valor de cada dota¸cão inicial e, consequentemente, quais cestas de bens estão dentro da possibilidade de consumo de cada indiv´ıduo.

Suponha I consumidores, I = {1, . . . , I} denota o conjunto dos I consumidores. Suponha tamb´em que consumidor i ∈ I tenha uma fun¸c˜ao de utilidade ui_{. O problema do consumidor}

i, no caso de dois bens apenas, ´e: max

xi 1,xi2

ui(xi₁, xi₂) s.a. p1xi1+ p2xi2 ≤ p1ei1+ p2ei2,

onde ei _{= (e}i

1, ei2) ´e a dota¸c˜ao inicial do consumidor i. Resolvendo o problema do consumidor,

encontramos a sua demanda xi_{(p, p · e}i_{), onde para o caso de dois bens temos que x}i_{(p, p · e}i_{) =}

(xi₁(p, p · ei), xi₂(p, p · ei)).

Se introduzirmos firmas no modelo de equil´ıbrio geral, a produ¸cão e, portanto, a oferta agre-gada, serão consequências do comportamento maximizador de lucros das firmas. Logo, a quan-tidade de bens dispon´ıveis para consumo não será mais fixa e dependerá da decisão de produ¸cão das firmas. O lucro das firmas será distribu´ıdo aos consumidores, que são os proprietários das firmas. Vamos caracterizar firmas por meio da tecnologia de produ¸cão que possuem.

Em pontos de eficiência técnica, as taxas marginais de substitui¸cão entre insumos são iguais entre firmas, mesmo que estas firmas produzam bens diferentes. Podemos construir o seguinte conceito:

A fronteira de possibilidade de produ¸cão (FPP) mostra a quantidade máxima do bem Y (di-gamos vinho) que a sociedade pode produzir, para qualquer quantidade do bem X (di(di-gamos pão) produzida.

6

-Bem Y

Bem X Fronteira de Possibilidade de Produ¸c˜ao

rA

rB

Pontos na FPP representam a quantidade máxima do bem X que pode ser produzida para certa quantidade do bem Y . Pontos que estão na FPP são associados a pontos de eficiência técnica ou eficiência produtiva. Pontos no interior da FPP são pontos ineficientes do ponto de vista técnico. Podem existir pontos de eficiência técnica que não representem aloca¸cões Pareto eficientes. Porém, toda aloca¸cão Pareto eficiente está necessariamente associada a um ponto de eficiência técnica.

(25)

O custo marginal do bem X ´e o custo de produzir uma unidade adicional de X, expresso em unidades do outro bem que deixa de ser produzido:

CM gX,Y = − dY dX F P P

O formato da curva da FPP reflete como o custo marginal de um bem muda com a quantidade do outro bem sendo produzida.

Esse custo de oportunidade marginal da FPP recebe um nome: taxa marginal de transforma¸cão dos bens (TMT). Essa taxa mede a taxa pela qual um bem pode ser transformado em outro, no sentido de que os fatores de produ¸cão são realocados da produ¸cão de um dos bens para a produ¸cão do outro bem.

Suponha que existam J firmas. O conjunto de possibilidade de produ¸c˜ao da firma j, denotado por Yj _{⊂ R}n_{, com n bens, ´}_{e o conjunto de todas as combina¸c˜}_{oes de insumos e produtos}

dispon´ıveis para a firma. Um vetor yj ∈ Yj _´_{e chamado plano de produ¸}_c˜_{ao. Dado o vetor de}

pre¸cos p ≥ 0, a firma j escolhe o plano de produ¸c˜ao que maximiza lucros: max

yj_∈Yj p · y

j

(2) Esse é o mesmo problema de maximiza¸cão de lucros da firma analisado antes, mas agora escrito em termos do conjunto de possibilidade de produ¸cão.

Propriedades da fun¸cão lucro e oferta ótima. Se o conjunto de possibilidade de produ¸cão (CPP) Yj satisfaz certas condi¸cões, então, para todo vetor de pre¸cos p 0, a solu¸cão do problema da firma (2) acima é única e cont´ınua (denotada por yj_{(p)). Al´}_{em disso, a fun¸c˜}_ao

lucro, Πj_{(p) = p · y}j_{(p), ´}_{e bem-definida e cont´ınua.}

O vetor yj_{(p) ´}_{e chamado fun¸}_c˜_{ao de oferta da firma j, em sentido amplo, j´}_{a que engloba n˜}_ao

somente os bens que a firma produz, mas tamb´em os bens que a firma utiliza como insumos. Os lucros da firma s˜ao distribu´ıdos para os consumidores. Em um modelo intertemporal, eles podem ser reinvestidos na firma.

Defini¸cão: Excesso de Demanda Agregada. A fun¸cão de excesso de demanda (ou exce-dente de demanda) agregada do bem k é definida como:

zk(p) = X i∈I xi_k(p, mi(p)) −X j∈J y_kj(p) −X i∈I ei_k,

e o vetor de excesso de demandas ´e denotado por:

z(p) = (z1(p), . . . , zn(p)) .

Observe que zk(p) = 0 equivale a: I X i=1 xi_k(p, p · ei) = I X j=J yj_k+ I X i=1 ei_k

Ent˜ao, aos pre¸cos p, se zk(p) = 0, a demanda de mercado pelo bem k iguala a oferta de

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Defini¸cão: Equil´ıbrio. O vetor de pre¸cos p∗ é um equil´ıbrio Walrasiano se z(p∗) = 0. Propriedades da Fun¸cão Excesso de Demanda. Se para cada consumidor i ∈ I, ui é bem-comportada, então, para todo p 0, temos que:

1. (Continuidade) z(p) ´e cont´ınua em p;

2. (Homogeneidade) z(αp) = z(p), para todo α > 0; 3. (Lei de Walras) p · z(p) = 0.

Intui¸c˜ao das propriedades da Fun¸c˜ao Excesso de Demanda:

• (Continuidade) Se um pre¸co varia em uma quantidade pequena, o excesso de demanda agregada varia por uma quantidade pequena. O excesso de demanda ser´a cont´ınuo se as demandas individuais forem cont´ınuas.

• (Homogeneidade) Apenas pre¸cos relativos importam – podemos normalizar os pre¸cos e usar um numerário. Logo, não podemos determinar o valor dos pre¸cos absolutos de equil´ıbrio da economia. Se existem n pre¸cos na economia, apenas n − 1 pre¸cos são independentes. No caso de dois bens, podemos normalizar um deles em 1 e apenas encontrar o pre¸co relativo do outro.

• (Lei de Walras) O valor do excesso de demanda agregada é sempre zero, quaisquer que sejam os pre¸cos de mercado. Consequentemente, se existem n mercados na economia, e n − 1 mercados estão em equil´ıbrio, então necessariamente o último mercado estará em equil´ıbrio. Portanto, para o caso de dois bens, precisamos verificar o equil´ıbrio ape-nas para um dos mercados (uma vez que se um mercado estiver em equil´ıbrio, o outro automaticamente também estará em equil´ıbrio).

Considere a economia de propriedade privada com produ¸cão e suponha que cada utilidade individual satisfaz certas propriedades (por exemplo, é bem-comportada) e que o conjunto de possibilidade de produ¸cão de cada firma satisfaz certas hipóteses (por exemplo, apresenta retornos decrescentes de escala). Suponha também que y +P

i∈Ie

i _{0 para algum vetor de}

produ¸c˜ao agregada.

Nesse caso, podemos garantir que existe pelo menos um vetor de pre¸cos p∗ 0 tal que o vetor de excessos de demanda seja igual a zero, z(p∗) = 0. A aloca¸cão de equil´ıbrio para uma economia com produ¸cão deve descrever além das cestas de consumo de cada indiv´ıduo, os planos de produ¸cão ótimos de cada firma.

Defini¸cão: Aloca¸cão de Equil´ıbrio Walrasiano (WEA). Seja p∗ um equil´ıbrio para uma economia com produ¸cão. O par de vetores (x(p∗), y(p∗)) é uma aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano, onde:

1. (Maximiza¸cão dos Consumidores) x(p∗) = (x1(p∗), . . . , xI(p∗)) é o vetor com as cestas ótimas de cada consumidor, quando os pre¸cos são p∗ e a renda do consumidor i, i = 1, . . . , I, é mi_(p∗_);

2. (Maximiza¸cão das Firmas) y(p∗) = (y1(p∗), . . . , yJ(p∗)) é o vetor com os planos de produ¸cão ótimos de cada firma j, quando os pre¸cos são p∗;

3. (Equil´ıbrio) Os mercados de todos os bens est˜ao em equil´ıbrio: X i∈I xi_k(p∗) = X i∈I ei_k+X j∈J yj_k(p∗), ∀k = 1, . . . , n.

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0A 6 -0B ? @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ @ s Aloca¸c˜ao de equil´ıbrio s xA∗ 2 xB∗2 s xA∗ 1 xB∗ 1 se

A caixa de Edgeworht ilustrada na figura acima mostra um vetor de pre¸cos de equil´ıbrio, que leva os consumidores A e B, a partir de suas dota¸cões iniciais, representadas no ponto e na caixa, à aloca¸cão de equil´ıbrio x = (xA∗_{, x}B∗_{), na qual ambos os consumidores est˜}_ao

maximizando o seu bem-estar e os mercados dos dois bens est˜ao em equil´ıbrio.

O sistema de pre¸cos leva, via mercados funcionando de modo competitivo, a uma aloca¸cão de equil´ıbrio, de modo descentralizado: cada agente econômico toma as suas decisões de modo a maximizar o seu bem-estar individual. Desse modo, o sistema de pre¸cos realiza um papel fundamental, de alocar os recursos da economia.

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5 Bem-Estar Social

O Primeiro e o Segundo Teoremas do Bem-Estar são resultados cruciais sobre bem-estar em economias de mercado. Os dois teoremas respondem à pergunta em que sentido e sob quais condi¸cões mercados competitivos levam à eficiência econômica e quando qualquer situa¸cão de eficiência pode ser alcan¸cada por um mercado competitivo.

Primeiro Teorema do Bem-Estar. Toda aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano é Pareto-ótima. O Primeiro Teorema do Bem-Estar afirma que todo equil´ıbrio Walrasiano satisfaz o critério de Pareto, ou seja, todo equil´ıbrio em concorrência perfeita é Pareto ótimo. Logo, não existe nenhum rearranjo de recursos (ou seja, nenhuma mudan¸ca na produ¸cão ou no consumo) tal que alguém possa melhorar sua situa¸cão sem ao mesmo tempo piorar a situa¸cão de outro. Portanto, o mercado agindo sozinho alcan¸ca uma situa¸cão de equil´ıbrio Pareto ótima, mesmo com cada agente econômico agindo de modo ego´ısta, no sentido de buscar apenas o seu próprio bem-estar. Este resultado está relacionado com a famosa “mão invis´ıvel ” de Adam Smith. Observe que a aloca¸cão de equil´ıbrio pode ser bastante desigual e ainda assim ser Pareto eficiente.

Segundo Teorema do Bem-Estar. Sob certas hipóteses, se x é Pareto-eficiente, então x ´

e uma aloca¸cão de equil´ıbrio Walrasiano para algum pre¸co p de equil´ıbrio, após uma redistri-bui¸cão adequada de dota¸cões iniciais.

O Segundo Teorema Fundamental do Bem-Estar diz que, “sob certas condi¸cões”, toda aloca¸cão Pareto ótima pode ser obtida pela economia de mercado, por meio de uma redistribui¸cão adequada das riquezas iniciais dos agentes.

Portanto, o teorema implica que qualquer aloca¸cão Pareto-ótima pode ser atingida por meio do mecanismo de mercado descentralizado, ou seja, não é necessário haver um planejador central. O próprio mercado pode alcan¸car a aloca¸cão desejada, sendo necessária somente a correta redistribui¸cão de recursos na economia. Neste sentido, é poss´ıvel dizer que o segundo teorema do bem-estar permite a separa¸cão dos problemas de eficiência econômica e de distribui¸cão dos bens na sociedade.

Falhas de mercado são situa¸cões que invalidam os teoremas de bem-estar. Em particular, se alguma falha estiver presente, não podemos afirmar que a aloca¸cão de recursos e bens alcan¸cada por uma economia de mercado satisfa¸ca o critério de eficiência de Pareto.

Exemplos de falhas de mercado:

• Bens Públicos: um bem público (puro) é um bem que possui duas caracter´ısticas: 1) n˜ ao-rival: o consumo do bem por uma pessoa não limita ou diminui a quantidade dispon´ıvel para consumo por outras pessoas; e 2) não-excludente: não é poss´ıvel (ou é muito custoso) excluir indiv´ıduos do seu consumo.

• Externalidades: dizemos que ocorre uma externalidade quando o bem-estar de um agente econômico (indiv´ıduo ou firma) é afetado diretamente pelas a¸cões de outro agente econômico. A externalidade pode ser negativa (se piora o bem-estar do agente) ou positiva (se me-lhora o bem-estar do agente). Um exemplo clássico de externalidade negativa é polui¸cão. • Poder de mercado: Poder de mercado ocorre quando um agente econômico não toma mais os pre¸cos como dados e possui alguma capacidade de inferir nos pre¸cos de mercado. Exemplos são monopólios, oligopólios, monopsônios.

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• Informa¸cão Imperfeita: assimetrias informacionais podem gerar comportamentos es-tratégicos, onde o objetivo é tirar proveito da informa¸cão privada que o agente possui. Em diversos casos, a assimetria de informa¸cão gera uma ineficiência.

Referˆ

encias

Nicholson, W., & Snyder, C. (2008). Microeconomic theory – basic principles and extensions (10th edition). South-Western Cengage Learning.

Varian, H. (2012). Microeconomia – uma abordagem moderna (8a edi¸c˜ao). Elsevier/Editora Campus.