CAMPUS CURITIBA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA E
DE MATERIAIS - PPGEM
WILLIAN SEGALA
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MONOFÁSICO
NO PRIMEIRO ESTÁGIO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA DE
DUPLO ESTÁGIO
CURITIBA
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MONOFÁSICO
NO PRIMEIRO ESTÁGIO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA DE
DUPLO ESTÁGIO
Dissertação apresentada como requisito parcial à obtenção do título de Mestre em Engenharia, do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Área de Ciências Térmicas, do Departamento de Pesquisa e Pós-Graduação, do Campus de Curitiba, da UTFPR.
Orientador: Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr. Eng. Co-Orientador: Prof. Cezar O. R. Negrão, PhD.
CURITIBA
WILLIAN SEGALA
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO ESCOAMENTO MONOFÁSICO NO PRIMEIRO ESTÁGIO DE UMA BOMBA CENTRÍFUGA DE DUPLO ESTÁGIO
Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do título de mestre em engenharia, área de ciências Térmicas, e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais.
__________________________________________ Prof. Giuseppe Pintaúde, D.Sc.
Coordenador do Programa
Banca Examinadora
_____________________________ _____________________________ Prof. Rigoberto E. M. Morales, Dr. Eng. Prof. Antônio Carlos Bannwart, Dr. Eng. PPGEM/UTFPR-Orientador DEP/FEM/UNICAMP
___________________________ ___________________________ Valdir Estevam, Dr, Eng. Admilson Teixeira Franco, Dr. Eng. E&P / PETROBRAS PPGEM / UTFPR
AGRADECIMENTOS
Agradeço em primeiro lugar a Deus, pelos desafios que Ele me proporciona e também pelas ferramentas oferecidas para a solução dos mesmos.
Agradeço à Universidade Tecnológica Federal do Paraná, ao Laboratório de Ciências Térmicas (LACIT) e ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Mecânica e de Materiais (PPGEM) pela possibilidade de realização desse trabalho. Agradeço à Petrobrás e ANP pelo suporte técnico e financeiro para o desenvolvimento do tema.
Agradeço aos professores Rigoberto E. M. Morales e Cezar O. R. Negrão, pela oportunidade, apoio, incentivo, troca de conhecimentos no enriquecimento do trabalho e amizade durante todo o período de convívio.
Agradeço aos amigos, de maneira especial aos colegas de mestrado Hendy, Henrique, Leandro que de alguma maneira contribuíram com esse trabalho.
Dedico esse trabalho à minha mãe, Lilia Segala, pelo incentivo e atenção incondicionais, à minha noiva Tatiane, pelo apoio, carinho e compreensão durante esse período, a minha irmã Debora e ao meu pai, Osias Segala (In Memoriam).
SEGALA, Willian. Simulação Numérica do Escoamento Monofásico no Primeiro Estágio de uma Bomba Centrífuga de Duplo Estágio, 2010. Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 104p.
RESUMO
Bombas centrífugas são equipamentos muito utilizados em plantas industriais. Porém, os esforços para a elaboração de curvas de desempenho confiáveis (altura de elevação e eficiência versus vazão) ainda são requisitados, principalmente quando o fluido apresenta variação de suas características, como o petróleo, por exemplo. Atualmente é comum utilizar fatores de correção para prever o comportamento de uma bomba centrífuga quando submetida a fluidos distintos do fluido padrão (água). Existem ainda controvérsias do uso desses fatores de correção, por exemplo, para condições operacionais diferentes das de projeto. Por isso a utilização de dinâmica dos fluidos computacional pode ser uma ferramenta muito útil para melhor entender o escoamento no interior de bombas centrífugas. Imaginando esse cenário, o presente trabalho apresenta resultados de uma simulação numérica do escoamento monofásico no interior do primeiro estágio de uma bomba centrífuga comercial de duplo estágio operando com água. A bomba centrífuga estudada é similar a uma bomba centrífuga radial utilizada em operações de extração de petróleo. Foram escolhidas quatro rotações para avaliação do escoamento: 1150rpm (rotação nominal), 1000rpm, 806rpm e 612 rpm. Foi utilizado um modelo de turbulência e o escoamento foi considerado em regime transiente. Os resultados numéricos obtidos foram comparados a valores experimentais, apresentando boa concordância.
Palvras-chave: Bomba centrífuga, Dinâmica dos fluidos Computacional, Testes Experimentais.
SEGALA, Willian. Simulação Numérica do Escoamento Monofásico no Primeiro Estágio em uma Bomba Centrífuga de Duplo Estágio, 2010. Dissertação (Mestrado em Engenharia) - Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica e de Materiais, Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba, 104p.
ABSTRACT
Centrifugal pumps are among the most used equipment in industrial plants. Besides that, efforts to infer the so-called pump performance curves are still required, mainly when the pump is used to transfer fluids that have a history of properties change, as the viscosity or density and chemical composition. Nowadays, it is common to use correction factor to prevent the centrifugal pump behavior when delivering different fluids. There are controversies between the uses of theses correction factors, for example, to the pump off-design conditions. Thus, computational fluid dynamics (CFD) modeling may become a reasonable alternative to understand the flow behavior inside centrifugal pumps. Focusing on these aspects this work presents numerical results of the flow inside the first stage of a commercial double stage centrifugal pump delivering water. This pump is similar to a radial Electrical submersible pump (ESP) commonly used in oil wells. It was select four different impeller angular velocities: 1150rpm (nominal), 1000rpm, 806rpm and 612rpm. It was used a turbulence model and the flow was considered in transient regimen. The numerical results was compared to experimental data and shown good agreement.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1.1 – Exemplo de ábacos fornecido por fabricantes de bombas centrífugas. (fonte: KSB Bombas)...2 Figura 1.2 – Curvas de desempenho de uma bomba centrífuga convencional. O ponto sobre a curva de eficiência é denominado ponto de eficiência máxima ou
ponto de projeto ...2
Figura 1.3 – Bomba centrífuga IMBIL ITAP 65-330/2. (b) Fotografia do primeiro estágio da bomba centrífuga estudada. ...4 Figura 1.4 – Esquema do modelo numérico implementado no programa computacional Ansys CFX 11.0 para a simulação do escoamento no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2. ...5 Figura 2.1 – Desempenho de uma bomba centrífuga ao bombear fluidos de diferentes viscosidades (Li, 1999)...9 Figura 2.2 – Interação entre difusor aletado e rotor, no escoamento de uma bomba centrífuga. (Feng et al. (2007))...12 Figura 2.3 – Estudo da fluidodinâmica do escoamento em uma bomba centrífuga apresentado por Cheah et al. (2007). (a) Vazão na condição de projeto e (b) vazão acima da condição de projeto...13 Figura 2.4 – Volume de controle e componentes de velocidades do escoamento na entrada e saída de um rotor genérico ...13 Figura 2.5 – Geometria e notação usadas para desenvolver diagramas de velocidade em bombas centrífugas. (a) Distribuição dos perfis de velocidade ao longo da pá do rotor e (b) os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor...15 Figura 2.6 – Componentes (tangencial e radial) da velocidade absoluta na secção de saída do rotor da bomba ...17 Figura 2.7 – Corte axial do rotor de uma bomba centrífuga ...18 Figura 2.8 – Curva característica idealizada de uma bomba centrífuga...19
Figura 2.9 – Rotores estudados numericamente por Benra (2001). (a) Pás com bordo de entrada horizontal e (b) pás com bordo de entrada inclinadas em relação à entrada do rotor...20 Figura 3.1 – Vários sub-domínios co-existentes em um programa comercial de simulação numérica de escoamentos envolvendo máquinas de fluxo...23 Figura 3.2 – Sistema de coordenadas rotativo aplicado a uma bomba centrífuga ....24 Figura 3.3 – Propriedade genérica de um escoamento em regime turbulento em função do tempo, t ...26 Figura 3.4 – Esquema das condições de contorno impostas aos sub-domínios do primeiro estágio da bomba estudada. ...31 Figura 4.1 – Rotor do primeiro estágio da bomba IMBIL ITAP 65-330/2. (a) Rotor na sua forma original com coroa e (b) rotor sem a coroa superior para facilitar a visualização de partes internas. ...33 Figura 4.2 – Rotor real sem a tampa inferior (cubo). Rotor utilizado na determinação da curvatura das pás e confecção do modelo virtual. ...34 Figura 4.3 – Domínio fluido de cálculo do rotor ...34 Figura 4.4 – Detalhe das pás do rotor e aletas do difusor. Tanto as pás do rotor quanto as aletas do difusor não tocam a superfície de contato entre os domínios
...35 Figura 4.5 – Difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2 .36 Figura 4.6 – Modelo virtual do difusor da bomba centrifuga Imbil ITAP 65 330/2 ...36 Figura 4.7 – Domínio fluido do difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2 ....37 Figura 4.8 – Extensão do domínio à saída do difusor. ...38 Figura 4.9 – Tipos de malhas computacionais aplicadas em mecânica dos fluidos e transferência de calor e massa. (a) Malhas Cartesianas, (b) Malhas Cilíndrico-Polares, (c) Malhas Ajustadas ao Corpo e (d) Malha não-estruturada...40
Figura 4.10 – Tipos de elementos finitos utilizados na confecção de uma malha computacional não-estruturada. (a) Tetraedro, (b) Hexaedro, (c) prisma triangular e (d) pirâmide. ...41 Figura 4.11 – Volume de controle de uma malha não-estruturada...41 Figura 4.12 – Elemento de malha ...43 Figura 4.13 – Exemplo de funções de forma utilizadas em elementos tetraédricos para ponderação de valores internos...45 Figura 4.14 – Fluxograma simplificado de resolução do sistema de equações do programa Ansys CFX 11.0 ...47 Figura 5.1 – Configuração 01 (“Radial”) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP 65-330/2 ...49 Figura 5.2 – Configuração 02 (“Axial para baixo”) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP 65-330/2 ...49 Figura 5.3 – Configuração 03 (“Extendido”) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP 65-330/2 ...50 Figura 5.4 – Configuração 4 (“Indutor sem aletas”) de escoamento entre rotor e difusor da bomba centrífuga IMBIL, modelo ITAP 65-330/2...51 Figura 5.5 – Modelo numérico da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2 ...54 Figura 5.6 – Perfil de velocidade relativa em um dos canais da bomba centrífuga estudada. Comparativo de diferentes critérios de parada ...56 Figura 5.7 – Variação de pressão na direção tangencial, no raio de saída do rotor. Comparativo de diferentes critérios de parada...57 Figura 5.8 – Corte transversal da malha computacional utilizada no rotor e difusor. Detalhe ampliado mostra a distribuição dos prismas ao longo das pás do rotor e aletas do difusor...58 Figura 5.9 – (a) Malha no indutor. (b) Malha no tubo de entrada ...59 Figura 5.10 – Perfil de velocidade relativa versus direção tangencial, tomado no raio R=40,0mm e z=6,0mm (metade da largura do canal do rotor)...60
Figura 5.11 – Perfil de pressão versus direção tangencial, tomado no raio R=40,0mm e z=6,0mm (metade da altura do canal do rotor) ...61 Figura 5.12 – Perfil de velocidade relativa do escoamento no rotor versus a direção axial, em R=64,41mm e entre duas pás consecutivas do rotor...62 Figura 5.13 – Perfil de pressão no difusor versus direção tangencial, tomado no raio R=110,0mm e z=6,0mm...63 Figura 5.14 - Teste de malha temporal (Parte 1)...66 Figura 5.15 – Teste de malha Temporal (Parte 2)...67 Figura 5.16 – Pressão versus tempo na entrada do difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2, na vazão de 36m3/h e rotação de 1150rpm. ...69 Figura 6.1 – Ganho de pressão no primeiro rotor da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2. Dados experimentais obtidos por Amaral (2007) ...71 Figura 6.2 – Ganho de pressão no difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2. Dados experimentais obtidos por Amaral (2007) ...72 Figura 6.3 – Altura de elevação do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2. Dados experimentais obtidos por Amaral (2007) ...73 Figura 6.4 – Altura de elevação total versus vazão volumétrica da bomba centrífuga IMBIL ITAP 65-330/2, na rotação de 1150 rpm. Dados fornecidos no catálogo do fabricante (Fonte: site Imbil)...74 Figura 6.5 – Aplicação das equações de similaridade às curvas de 1000, 806 e 612 rpm transpondo-as para a rotação de 1150 rpm. ...75 Figura 6.6 – Torque numérico versus vazão no primeiro rotor da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2, para uma rotação de 1150 rpm ...79 Figura 6.7 – Potência de entrada numérica versus vazão no primeiro rotor da bomba Imbil ITAP 65-330/2, para um rotação de 1150 rpm ...80 Figura 6.8 – Potência de saída numérica versus vazão no primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2, para rotação de 1150 rpm...81
Figura 6.9 – Eficiência hidráulica numérica do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2 e Eficiência global fornecida pelo fabricante...82 Figura 6.10 – Instante de tempo no qual a pá do rotor e a aleta do difusor estão alinhadas. Definição das Faces de Pressão (FP) e Faces de Sucção (FS) ...83 Figura 6.11 – Pressão versus direção tangencial no raio de saída do rotor para o caso de pá do rotor alinhada com a aleta do difusor...84 Figura 6.12 – Periodicidade da pressão com a direção tangencial na saída do primeiro rotor da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2. Vazão 35m3/h e rotação de 1150rpm. ...84 Figura 6.13 – Pressão versus tempo em um ponto localizado no bordo de entrada da aleta do difusor da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2, para a rotação de 1150 rpm e vazão de 35m3/h. ...86 Figura 6.14 – Localização do bordo de entrada e saída do rotor da bomba. ...87 Figura 6.15 – Distribuição de pressão na pá do rotor desde a entrada até a saída na altura da raiz da pá (ou cubo) ...87 Figura 6.16 - Distribuição de pressão na pá do rotor desde a entrada até a saída na altura da coroa, para o rotor girando a 1150 rpm e na vazão de 35m3/h ...88 Figura 6.17 – Campo de pressão no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2, vazão de 20m3/h e rotação de 1150 rpm...89 Figura 6.18 – Campo de pressão no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2, vazão de 35m3/h e rotação de 1150 rpm...90 Figura 6.19 – Campo de pressão no interior do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2, vazão de 50m3/h e rotação de 1150 rpm...90 Figura 6.20 – Planos de corte da visualização do escoamento, obtido numericamente, no rotor e difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2 ...92 Figura 6.21 - Esquema da saída do rotor e entrada do difusor que mostra a diferença de áreas entre esses dois componentes...94
Figura 6.22 – Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP 65 330/2, na rotação nominal e vazão de 50m3/h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T3. ...95 Figura 6.23 - Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP 65 330/2, na rotação nominal e vazão de 44m3/h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T3. ...95 Figura 6.24 - Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP 65 330/2, na rotação nominal e vazão de 35m3/h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T3. ...96 Figura 6.25 – Linhas de corrente do escoamento no interior da bomba centrífuga Imbil ITAP 65 330/2, na rotação nominal e vazão de 20m3/h. (a) escoamento no plano T1, (b) escoamento no plano T2 e (c) escoamento no plano T3. ...96 Figura 6.26 - Linhas de corrente do escoamento no interior do difusor bomba centrífuga Imbil ITAP 65 330/2, na rotação nominal e vazão de 20m3/h. (a) Vazão 20 m3/h, (b) Vazão 35 m3/h (c) Vazão 44 m3/h e (d) Vazão 50 m3/h...97
LISTA DE SÍMBOLOS
Símb. Descrição Unidade (S.I.)
α Ângulo entre vetor de velocidade absoluta do escoamento
e a direção tangencial rad
β Ângulo entre o vetor de velocidade relativa do escoamento no rotor e a direção tangencial (medido no sentido contrário
ao giro do rotor) rad
ε Componente isotrópica da taxa de dissipação de energia
turbulenta m2⋅s−3
h
η Eficiência hidráulica da bomba centrífuga -
φ Propriedade genérica -
φ Média temporal de uma propriedade genérica -
'
φ Flutuação temporal de uma propriedade genérica -
ϕ Variável angular rad
κ Energia cinética turbulenta m2⋅s−2
v
κ Constante de Von Karman -
µ Viscosidade dinâmica kg m⋅ -1⋅s−1
t
µ Viscosidade turbulenta kg m⋅ -1⋅s−1
ν Viscosidade cinemática m2⋅s-1
t
ν Viscosidade cinemática turbulenta m2⋅s-1
θ Variável angular rad
ε
σ Número de Prandtl difusivo para a taxa de dissipação - k
σ Número de Prandtl difusivo para a energia cinética turbulenta - w
τ Tensão de cisalhamento sobre a parede kg m⋅ -1⋅s−2
ω Velocidade angular do rotor rad s⋅ −1
a, b, c, d, e Constantes oriundas da determinação do ajuste de curvas
referente aos resultados numéricos obtidos - 1, 2
C Cε ε Constantes de fechamento do modelo de turbulência κ − ε -
Cµ Constante de fechamento associada à viscosidade turbulenta -
Dε Termo difusivo da equação de transporte de ε m2⋅s−4
Dκ Termo difusivo da equação de transporte de κ m2⋅s−3 FS Face de sucção da pá do Rotor ou da aleta do Difusor
FP Face de pressão da pá do Rotor ou da aleta do Difusor
g
Vetor aceleração da gravidade m s⋅ −2
H Altura de elevação m
p Pressão termodinâmica Pa
p Pressão com aplicação das médias de Reynolds kg m⋅ -1⋅s−2 k
P Produção de energia cinética turbulenta (κ) m2⋅s−3
Q Vazão volumétrica m3⋅s−1
r
Vetor posição de uma partícula fluida em relação ao
Sistema de coordenadas não-inercial m
2
R Quadrado do coeficiente de correlação -
S Termo fonte -
T Torque N m.
u' Flutuação de velocidade na direção x m s⋅ -1
u Velocidade média de Reynolds na direção x m s⋅ -1
V
Vetor de velocidade m s⋅ −1
v' Flutuação de velocidade y m s⋅ -1
v Velocidade média de Reynolds na direção y m s⋅ -1
w' Flutuação de velocidade na direção z m s⋅ -1
w Velocidade média de Reynolds na direção z m s⋅ -1
Wɺ Potência Watt
RESRSM Valor do resíduo numérico médio de uma variável do esco-
amento, calculada pelo programa computacional - RESMAX Valor do resíduo numérico máximo de uma variável do esco-
amento, calculada pelo programa computacional - x,y,z Direções coordenadas de um sistema não-inercial m X,Y,Z Direções coordenadas de um sistema inercial m
ξ ξ1, 2 e 3 ξ Direções coordenadas de um sistema genérico -
Operadores
∆ Variação de uma propriedade do escoamento
∇ Operador nabla
∂ Operador diferencial parcial
SUMÁRIO
Agradecimentos ... iv
Resumo ... v
Abstract ... vi
Lista de Figuras... vii
Lista de Símbolos...xiii Sumário ... xvi 1 Introdução ...1 1.1 Objetivos ...4 1.2 Justificativas...5 1.3 Estrutura do trabalho...6 2 Revisão Bibliográfica...8
2.1 Teoria de máquinas de fluxo aplicado a bombas centrífugas ...13
3 Modelagem Matemática ...23
3.1 Equações de conservação da massa e da quantidade de movimento escritas, para um sistema de coordenadas rotativo...24
3.2 Modelagem da turbulência...25
3.2.1 Modelo de Turbulência a duas equações κ − ε padrão ...29
3.2.2 Condições de contorno do problema ...30
4 Modelagem Geométrica e Numérica...32
4.1 Definição das Geometrias do primeiro estágio da bomba centrífuga...32
4.1.1 Geometria do rotor do primeiro estágio da bomba centrífuga...32
4.1.2 Geometria do difusor do primeiro estágio da bomba centrífuga ...35
4.1.3 Geometrias auxiliares utilizadas nos estudos numéricos...37
5 Avaliação de Parâmetros e Testes de Malha...48
5.1 A escolha da configuração geométrica adequada para as simulações numéricas ...48
5.2 Critério de parada ...55
5.3 Teste de Malha ...57
5.4 Teste de Passo de Tempo ...64
5.5 Influência da condição inicial ...68
6 Resultados ...70
6.1 Altura de elevação versus vazão volumétrica ...71
6.2 Obtenção de uma curva unificada de altura de elevação para qualquer vazão e rotação ...73
6.3 Potência e Eficiência Hidráulica ...78
6.4 Propriedades do escoamento no interior da bomba centrífuga estudada ...83
7 conclusões e sugestões de trabalhos futuros ...99
8 Referências Bibliográficas...102
1 INTRODUÇÃO
A bomba centrífuga é um dos equipamentos mais utilizados no mundo e é usada nas mais diversas áreas como, por exemplo, na irrigação, no abastecimento de água, na indústria petroquímica, no setor automobilístico, entre outros. O princípio de funcionamento de uma bomba centrífuga consiste em transferir a energia cinética proveniente de um rotor ao líquido bombeado, fazendo com que o fluido escoe no interior de um duto.
Devido a sua importância, segundo a literatura, pesquisas envolvendo bombas centrífugas foram intensificadas a partir da primeira metade do século XX. Os primeiros estudos foram desenvolvidos utilizando técnicas experimentais e modelos teóricos simplificados, com destaque aos desenvolvidos por Alexey Joakim Stepanoff (Amaral, 2007).
As principais variáveis utilizadas para o dimensionamento e seleção de bombas centrífugas são a altura de elevação, H, potência consumida, Wɺent, e eficiência, η, sendo essas variáveis mensuradas para cada vazão de trabalho imposta. A altura de elevação quantifica a capacidade da bomba centrífuga de elevar a pressão do fluido bombeado, desde a entrada até a saída da bomba. A potência e a eficiência contabilizam a quantidade de energia necessária para o funcionamento da bomba centrífuga e a parcela dessa energia efetivamente transferida ao líquido bombeado, respectivamente.
Catálogos de fabricantes de bombas centrífugas apresentam ábacos semelhantes aos mostrados na Figura 1.1. No eixo das abscissas tem-se a vazão volumétrica e no eixo das ordenadas, a altura de elevação. As regiões delimitadas do ábaco correspondem ao campo de aplicação de cada modelo de bomba produzido pelo fabricante para 1750 rpm. Os números no interior de cada região delimitada do gráfico, por exemplo 40-315, indicam o diâmetro de entrada da bomba e o diâmetro externo máximo do rotor. Em aplicações, onde há, por exemplo, uma necessidade especifica de vazão e altura de elevação, a Figura 1.1 pode indicar se
esse fabricante irá ou não possuir uma bomba centrífuga que atenda a essa necessidade.
Figura 1.1 – Exemplo de ábacos fornecido por fabricantes de bombas centrífugas. (fonte: KSB Bombas)
Uma vez selecionada a bomba centrífuga, o fabricante fornece uma carta específica, semelhante à mostrada na Figura 1.2. Nessa carta, constam informações sobre a eficiência, potência consumida e altura de elevação.
Vazão A lt u ra E le v a ç ã o E fi c iê n c ia P o tê n c ia Altura Elevação Potência Eficiência
Figura 1.2 – Curvas de desempenho de uma bomba centrífuga convencional. O ponto sobre a curva de eficiência é denominado ponto de eficiência máxima ou
De um modo geral as curvas de operação de bombas centrífugas são determinadas pelos fabricantes utilizando água como fluido padrão. Quando se deseja transportar um fluido diferente do padrão, fatores de correção (Hydraulic Institute, por exemplo) são utilizados para ajustar a curva de desempenho na nova condição de operação, entretanto, estudos mostram que nem sempre esses fatores de correção representam o comportamento real desses equipamentos (Amaral, 2007).
Quando bombas centrífugas são utilizas em aplicações específicas, como por exemplo, no bombeio de fluidos de viscosidade elevada ou ainda no bombeio de misturas bifásicas (líquido-gás), pode haver alterações significativas no comportamento das curvas de desempenho desses equipamentos. Na área petrolífera, por exemplo, com a descoberta de novas jazidas, na camada pré-sal, possivelmente bombas centrífugas sejam submetidas a altas pressões e altas vazões envolvendo misturas multifásicas, o que também caracteriza um grande desafio de aplicação.
Atualmente, com o desenvolvimento tecnológico na área da informática, a utilização de simulações numéricas, através de dinâmica dos fluidos computacional, tem sido uma ferramenta importante no estudo e compreensão de detalhes do escoamento no interior de bombas centrífugas (Cheah et al., 2007 e Feng et. al., 2007).
Nesse cenário, propõe-se no presente trabalho estudar numericamente o escoamento no rotor e no difusor do primeiro estágio de uma bomba centrífuga comercial de duplo estágio da marca Imbil, modelo ITAP 65-330/2 mostrado na Figura 1.3. Esse modelo possui dois rotores de oito pás curvadas para trás (em relação ao sentido de giro do rotor), um difusor de doze aletas no primeiro estágio e uma voluta na saída do segundo estágio (Amaral, 2007).
(a) (b)
Figura 1.3 – Bomba centrífuga IMBIL ITAP 65-330/2. (b) Fotografia do primeiro estágio da bomba centrífuga estudada.
1.1 Objetivos
O objetivo do presente trabalho é simular numericamente o escoamento no interior do rotor e difusor do primeiro estágio de uma bomba centrífuga de duplo estágio, cujo esquema é mostrado na Figura 1.4.
Para atingir o objetivo proposto, foram resolvidas numericamente as equações de conservação da massa e da quantidade de movimento, considerando o escoamento como transiente, newtoniano, monofásico, incompressível e de propriedades constantes. A turbulência do escoamento foi modelada utilizando o modelo de turbulência de duas equações κ − ε padrão.
A geometria do primeiro estágio da bomba centrífuga foi construída virtualmente utilizando o programa SolidWorks 2007. O modelo geométrico obtido foi implementado no programa comercial de dinâmica dos fluidos computacional ANSYS CFX 11.0, plataforma que foi utilizada para a solução numérica do escoamento no interior da bomba centrífuga.
A partir dos resultados numéricos obtidos, foram elaboradas curvas de altura de elevação, potência e eficiência em função da vazão volumétrica, no primeiro estágio da bomba. Os resultados foram comparados com medidas experimentais realizadas no LABPETRO/UNICAMP (Amaral, 2007).
Tubo
Rotor Difusor
Extensão Difusor
Figura 1.4 – Esquema do modelo numérico implementado no programa computacional Ansys CFX 11.0 para a simulação do escoamento no interior do
primeiro estágio da bomba centrífuga Imbil ITAP 65-330/2.
1.2 Justificativas
O conhecimento da dinâmica do escoamento que ocorre em bombas é de fundamental importância para o projeto e manutenção desses equipamentos. Com informações detalhadas sobre o escoamento, ou seja, com o perfil de velocidades, campo de pressão e tensão de cisalhamento nas paredes, é possível identificar fatores que possam aperfeiçoar o projeto e escolha do material da bomba.
Do ponto de vista acadêmico, estudar o comportamento do escoamento em uma bomba centrífuga é um desafio, já que existe uma combinação de efeitos no escoamento, como a curvatura e rotação, alem da complexidade da geometria, que dificulta o desenvolvimento da modelagem matemática e numérica do escoamento. Muitas vezes, são necessários ensaios experimentais para a validação dos
resultados numéricos ou teóricos. Os resultados numéricos obtidos no presente trabalho foram comparados com dados experimentais obtidos por Amaral (2007).
Nesse cenário, a contribuição do presente trabalho está no desenvolvimento de uma metodologia numérica para o estudo detalhado do escoamento monofásico em uma bomba centrífuga. Metodologia que pode ser estendida para o estudo do escoamento em bombas centrífugas sob diferentes condições de operação, como por exemplo, presença de fluidos viscosos ou de escoamentos bifásicos líquido-gás, situações que são comumente encontradas na produção de petróleo e gás em águas profundas.
O presente trabalho é pioneiro de outros que estão sendo desenvolvidos no Laboratório de Ciências Térmicas (LACIT) da Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR). Pesquisas estão sendo desenvolvidas, considerando como referência a metodologia desenvolvida no presente trabalho, com a finalidade de reproduzir detalhes do escoamento, monofásico ou bifásico, no interior de Bombas Centrífugas Submersas (BCS).
1.3 Estrutura do trabalho
O presente trabalho está organizado da seguinte maneira: No capítulo 1 uma introdução e contextualização do tema são feitas, bem como apresentação do foco dos estudos na bomba centrífuga. O capítulo 2 apresenta uma revisão de trabalhos reportados da literatura que abordam o estudo do escoamento em bombas centrífuga, sob o enfoque experimental e numérico. No capítulo 3 são apresentadas as equações matemáticas que regem o escoamento no interior da bomba centrífuga, assim como o modelo de turbulência e hipóteses utilizadas. No capítulo 4 é descrita a metodologia numérica de modelagem do domínio, foco de estudo como, por exemplo, a confecção e delimitação da geometria utilizada nas simulações numéricas. No capítulo 5 são mostrados os testes numéricos de parâmetros importantes nas simulações como a malha espacial adequada, critério de parada, passo de tempo adequado para as simulações transiente, etc. No capítulo 6 estão mostrados os resultados obtidos das simulações numéricas do escoamento no interior do primeiro estágio da bomba centrifuga estudada. Os capítulos 7 e 8
reportam, respectivamente, às conclusões, juntamente com sugestões de trabalhos futuros e referências bibliográficas utilizadas.
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
Nesse capítulo é mostrada uma revisão de alguns estudos, experimentais e numéricos, envolvendo bombas centrífugas. Como mencionado, até meados do século XX, os estudos envolvendo bombas centrífugas eram essencialmente experimentais e ocorreu um certo esgotamento de possibilidades de se otimizar a eficiência com melhorias de projeto. Uma revisão sobre fundamentos e estudos experimentais desenvolvidos com a finalidade de levantar ábacos e curvas de desempenho global em bombas centrífugas pode ser encontrada em Stepanoff (1957), Pfleiderer (1960), Hydraulic Institute (1983), Macintyre (1997) e Amaral (2007).
Junto com desenvolvimento tecnológico, as técnicas experimentais foram sendo aprimoradas. Técnicas avançadas de visualização com a finalidade de observar detalhes do escoamento no interior das bombas centrífugas, como o LDV (Laser-Doppler Velocimetry, um anacrônico em língua inglesa que significa
Velocimetria por Laser-Doppler), PIV (Particle Image Velocimetry, ou Velocimetria
por imagens de partículas), câmeras de alta velocidade de obturação, entre outros, foram desenvolvidas. Essas informações fornecem ao projetista da bomba centrífuga subsídios para confecção de equipamentos mais eficientes.
Neste contexto, Li (1999) fez um estudo experimental sobre a influência da viscosidade do fluido no desempenho de bombas centrífugas. Através de ensaios, utilizando medição de velocidade por LDV ele avaliou o desempenho de uma bomba centrífuga operando com dois fluidos distintos: primeiramente com água (ρ=1000 kg/m3 e ν=1mm2/s) como fluido de trabalho e, posteriormente com óleo (ρ=851 kg/m3 e ν=48mm2/s). Ele mostrou que o aumento da viscosidade do fluido, aumenta a altura de elevação da bomba centrífuga, diminui a eficiência e aumenta a potência consumida (ver Figura 2.1). Segundo Li (1999), o desempenho da bomba diminui, quando opera com fluidos de altas viscosidades, devido ao aumento nas perdas por atrito, tanto na sucção como na saída do rotor.
0 2 4 6 8 10 Vazão [L/s] 0 2 4 6 8 10 12 14 A lt u ra d e E le v a ç ã o [ m ] 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 E fic iê n c ia [ % ] Óleo Água 0 0.5 1 1.5 2 2.5 P o tê n c ia [ k W ] Altura Potência Eficiência
Figura 2.1 – Desempenho de uma bomba centrífuga ao bombear fluidos de diferentes viscosidades (Li, 1999)
Wuibaut et al. (2005) buscaram desenvolver técnicas experimentais de medição em bombas centrífugas submersas (BCS). Os experimentos foram feitos em um rotor de BCS conhecido da literatura (rotores SHF), sobre o qual muitos dados experimentais estão disponíveis, principalmente para validação de simulações numéricas. Os experimentos de Wuibaut et al. (2005) foram realizados utilizando as técnicas de visualização PIV-2D para a BCS operando com ar e LDV-2D para BCS operando com água. Devido à diferença das propriedades dos fluidos utilizados, bombas de tamanhos diferentes tiveram que ser construídas, porém, considerando que os escoamentos fossem semelhantes. Para a bomba operando apenas com ar, Wuibaut et al. (2005) não utilizaram difusor, nem voluta, diferentemente do que foi feito para o caso da bomba operando com água, onde um difusor e uma voluta industrial foram acoplados ao rotor. Apesar das pequenas diferenças de medição encontradas entre os dois testes, os campos de velocidades obtidos por eles foram similares. Eles concluíram que ambas as técnicas de medição utilizadas são satisfatórias para avaliação de campos de velocidade no interior de bombas centrífugas, por exemplo, para validação de técnicas numéricas.
Güilich (1999) estudou o comportamento de bombas centrífugas operando com óleos pesados, utilizando um enfoque analítico-experimental. Em geral, o desempenho de bombas operando com óleos viscosos é estimado por comparação ao desempenho da bomba operando com água, através de fatores de correção da
vazão, altura da bomba e eficiência. Segundo ele, esses fatores de correção nem sempre correspondem à realidade. Ele fez um tratamento aprofundado das perdas existentes nas bombas, e as separou em quatro parcelas: perdas volumétricas, perdas hidráulicas, perdas por atrito e perdas mecânicas. Segundo Güilich (1999), as parcelas mais influenciadas pelo aumento da viscosidade foram as perdas hidráulicas e por atrito. Por meio de relações semi-empíricas, foram estimados os coeficientes de correção considerando somente essas perdas. Tais correlações foram validadas com sucesso. Ele concluiu que seus resultados foram bons e enfatiza que fazer um tratamento das perdas é vantajoso por poder ser aplicado a qualquer modelo de bomba.
Amaral (2007), estudou experimentalmente o comportamento de uma bomba centrifuga comercial (Imbil ITAP 65 330/2) e dois modelos de bombas centrífugas submersas (BCS). O estudo realizado foi concentrado na determinação da faixa operacional de uma BCS operando com fluidos viscosos. Ele levantou experimentalmente as curvas de desempenho para diversas condições de operação e apresentou uma metodologia para a correção das curvas de desempenho de bombas centrífugas sob a presença de fluidos viscosos.
Com o aparecimento da mecânica dos fluidos computacional e, também, com o desenvolvimento da informática, a pesquisa e o desenvolvimento de bombas centrífugas ganhou força. Surgiram diversos programas computacionais comerciais com enfoque específico na simulação de máquinas de fluxo (Ansys CFX, Flow3D, Fluent, entre outros) (Amaral, 2007).
Os programas computacionais de dinâmica dos fluidos computacional possuem uma diversidade de modelos matemáticos que buscam descrever os comportamentos físicos presentes no escoamento real. Porém, sob certas condições, como por exemplo, em escoamentos turbulentos se faz necessária a utilização de modelos que busquem representar adequadamente esse fenômeno. Sempre que se utiliza um programa de mecânica dos fluidos computacional para simular escoamentos em bombas centrífugas, com fins de projeto ou de desenvolvimento, é necessário, posteriormente, validar os resultados obtidos com
um protótipo real. Isso é feito porque podem ocorrer pequenas divergências entre o modelo numérico e o fenômeno físico real.
Nesse contexto, Asuaje et al. (2005) estudaram numericamente uma bomba centrífuga comercial com o objetivo de avaliar a influência da voluta nos campos de pressão e velocidade da bomba. Eles testaram três modelos de turbulência diferentes, k− ε, k− ω e SST, e concluíram que não houve diferenças significativas
entre os resultados dos campos médios de velocidade e pressão. Para a bomba operando na vazão de projeto, eles mostraram que o escoamento é praticamente isento de recirculações desde a entrada até a saída da voluta. Para vazões menores que a condição de projeto, verificaram que ao sair do rotor o escoamento está sujeito a um gradiente adverso pronunciado, o que gera instabilidades e recirculações e conseqüentemente, resulta em perdas de rendimento. Por outro lado seus estudos mostram que quando a bomba centrífuga está operando em vazões maiores que a de projeto, não há um gradiente de pressão intenso, porém, devido à inércia do escoamento ser elevada ocorrem recirculações no interior da voluta, resultado de perdas de rendimento da bomba. Essas recirculações, aliadas à forma da voluta, geram uma força resultante que o fluido irá transmitir ao mancal onde a bomba centrífuga está apoiada. Asuaje et al. (2005) mostraram ainda que, para a vazão de projeto, a magnitude dessa força é menor quando comparada às demais.
Muitos pesquisadores atentaram para a possível interação existente entre rotor e difusor de bombas centrífugas. Essa interação foi avaliada de diversas maneiras como, por exemplo, observando as variações das forças atuantes no rotor e difusor quando da alteração do número de aletas do difusor, das pás do rotor, da distância relativa entre esses componentes, etc.
Feng et al. (2007) estudaram o comportamento transitório de uma bomba centrífuga, juntamente com a interação existente entre rotor e um difusor aletado. Eles fizeram um estudo de independência de malha e uma validação experimental da bomba estudada, em termos de altura de elevação versus vazão, onde obtiveram boa concordância. De maneira análoga aos estudos de Asuaje et al. (2005), Feng et al. (2007) simularam numericamente uma bomba centrífuga na condição de projeto e em duas vazões distintas (uma maior e outra menor). Seus resultados também
mostram que, para vazões inferiores ou superiores à de projeto, ocorrem recirculações no rotor e no difusor. Nos resultados apresentados por Feng et al. (2007), um estudo da distância relativa entre rotor e difusor foi feito. Para isso, eles simularam numericamente o escoamento em uma bomba centrífuga com frestas entre rotor e difusor de 3% e 10% do raio externo do rotor, respectivamente (Ver Figura 2.2 (a) . Os resultados obtidos por eles são mostrados na Figura 2.2 (b), onde as curvas se referem à flutuação da altura de elevação em função da direção tangencial. Da Figura 2.2 (b), Feng et al. (2007) mostraram que quanto mais distante o difusor se encontra do rotor (maior fresta), menores são as amplitudes de oscilação das variáveis calculadas (altura de elevação, torque, etc) com o tempo, ou seja, menor é a interação entre rotor e difusor.
0 20 40 60 80 100 120 ϕ [graus] 5.6 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2 6.3 6.4 H [ m ] Fresta 3% Fresta 10% (a) (b)
Figura 2.2 – Interação entre difusor aletado e rotor, no escoamento de uma bomba centrífuga. (Feng et al. (2007)).
Posteriormente, Cheah et al. (2007) simularam numericamente a fluidodinâmica do escoamento em uma bomba centrífuga convencional de um estágio com rotor aberto e voluta em espiral. Na Figura 2.3, é evidenciada a diferença de escoamento entre a condição de projeto (Figura 2.3(a)) e uma condição de vazão maior (Figura 2.3(b)). Na condição de projeto, eles mostram que o escoamento é praticamente isento de recirculações, que se reflete em poucas perdas e, conseqüentemente, em maior eficiência. Para o caso onde a vazão é
maior, eles mostram que há recirculação na saída da voluta, reflexo de perdas de energia no interior da bomba centrífuga e conseqüente redução de eficiência.
(a) (b)
Figura 2.3 – Estudo da fluidodinâmica do escoamento em uma bomba centrífuga apresentado por Cheah et al. (2007). (a) Vazão na condição de projeto e (b) vazão
acima da condição de projeto.
2.1 Teoria de máquinas de fluxo aplicado a bombas
centrífugas
Devido à geometria complexa das partes internas de uma bomba centrífuga, alguns trabalhos focam no estudo ou modelagem de parâmetros específicos desse equipamento. Através da teoria de turbomáquinas são definidos diversos ângulos e termos que serão utilizados ao longo do presente trabalho.
Figura 2.4 – Volume de controle e componentes de velocidades do escoamento na entrada e saída de um rotor genérico
A Figura 2.4 mostra o desenho de um rotor, onde estão definidos o raio da pá, as componentes da velocidade do escoamento tanto na secção de entrada (denotada pelo índice 1) como na secção de saída do rotor (índice 2). Através do princípio da quantidade de movimento angular é possível obter uma equação que expressa o torque de eixo, Teixo, em função das componentes da velocidade do escoamento à entrada e saída do rotor, como mostra de forma escalar a equação (2.1).
(
)
eixo 2 t2 1 t1
T = r V −r V mɺ (2.1)
A equação (2.1), denominada de equação de Euler para Turbomáquinas, pode ser utilizada para determinar a potência fornecida ao rotor, através da relação escalar Wɺ =
ω
Teixo:(
)
(
)
eixo 2 t 2 1 t1 2 t2 1 t1
Wɺ =
ω
T =ω
r V −r V mɺ ⇒Wɺ = u V −u V mɺ (2.2) Ao dividir-se a equação (2.2) por mgɺ , se obtém a magnitude da energia transferida ao rotor em unidades de comprimento:(
2 t2 1 t1)
W 1 H U V U V m g g = ɺ = − ɺ (2.3)A equação (2.3) apresentada a altura de elevação como função das componentes de velocidade na entrada e saída do rotor. Obviamente, as equações (2.1) a (2.3) exprimem de forma muito simplificada o comportamento de uma bomba centrífuga, uma vez que uma série de fenômenos não estão sendo considerados nessa modelagem. Porém, dessa modelagem é possível notar a importância das componentes de velocidade na obtenção dos valores de torque, potência e altura de elevação. Isso sugere que é necessário definir a forma com que o escoamento entra e sai do rotor, através do formato das pás.
A Figura 2.5 mostra que na condição de projeto de uma bomba centrífuga, o escoamento é admitido como entrando e saindo tangencialmente ao perfil da pá do
rotor. O ângulo β é medido a partir da direção tangencial em direção à pá do rotor, no sentido oposto ao de giro do rotor. Esse ângulo é construtivo, ou seja, depende somente da geometria da pá do rotor. O ângulo α, por sua vez, é ditado pela condição de operação da bomba, ou seja, depende da magnitude da rotação imposta ao rotor. O ângulo α também é dependente da vazão que flui pela bomba, vazão esta, que é controlada por válvulas no sistema de bombeamento a que a bomba está conectada.
(a) (b)
Figura 2.5 – Geometria e notação usadas para desenvolver diagramas de velocidade em bombas centrífugas. (a) Distribuição dos perfis de velocidade ao longo da pá do rotor e (b) os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor.
Com a definição das velocidades do escoamento, e os ângulos que elas formam, pode-se então avaliar o valor das componentes tangenciais, Vt1 e Vt2, em função das velocidades absolutas, V1 e V2, pelas seguintes relações:
( )
( )
1 1 1 2 2 2 cos cosα
α
= = t t V V V V (2.4)Substituindo as relações dadas pela equação (2.4) na equação (2.1), do torque no eixo do rotor da bomba, tem-se:
( )
( )
(
)
eixo 2 2 2 1 1 1
T =m r V cosɺ α −r V cos α (2.5)
Com a equação (2.5) pode-se, assim, determinar a altura de elevação da bomba, através de parâmetros do escoamento e dimensões características do rotor. Portanto, substituindo a equação (2.5) na equação (2.3):
( )
( )
(
)
eixo 2 2 2 1 1 1 H T r V cos r V cos m g g ω ω α α = = − ɺ (2.6)Por a equação (2.6) se tratar de uma idealização do escoamento em uma bomba, é conveniente alterar a nomenclatura da altura de elevação para sinalizar que o resultado obtido será para um caso Ideal. Com isso, define-se Ht∞ como sendo a altura de elevação teórica infinita. O índice t indica um processo sem perdas (teórico) e o índice ∞ sinaliza que a bomba possui infinitas pás. Assim:
( )
( )
(
)
t eixo 2 2 2 1 1 1 H T r V cos r V cos mg g ω ω α α ∞ = ɺ = − (2.7)Da análise da equação (2.7), pode-se notar que a energia transferida ao fluido varia proporcionalmente com a velocidade angular (quanto maior a magnitude da rotação do rotor, maior é a quantidade de energia transferida ao fluido). Os dois termos entre parênteses têm sinal invertido, por isso, suas contribuições à quantidade de energia transferida são opostas. Portanto, a quantidade de energia específica, Ht∞, transferida ao fluido será máxima quando o termo negativo for nulo. Isto ocorre quando o ângulo α1=90°. Isso faz com que a velocidade absoluta do
fluido, na entrada do rotor seja perpendicular à direção tangencial. Na prática, devido às perdas envolvidas no processo de transferência de energia α1não é exatamente
igual a 90°, porém, é próximo desse valor, fazendo com que o termo negativo da equação (2.7), de fluxo de quantidade de movimento angular na entrada do rotor seja pequeno quando comparado com o fluxo de quantidade de movimento angular na saída do rotor, (V2 r2 cosα2). Dessa forma, tem-se:
( )
2 t eixo 2 2 2 t 2 u H T r V cos V mg g g ω ω α ∞ = ɺ = = (2.8)onde Vt2 é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido (na saída do rotor) e u2 é a velocidade periférica do rotor, devido à rotação. A Figura 2.6 mostra o triangulo de velocidades na saída do rotor, com as componentes, tangencial e normal (ou radial), do vetor velocidade absoluta do fluido.
Figura 2.6 – Componentes (tangencial e radial) da velocidade absoluta na secção de saída do rotor da bomba
Observando a Figura 2.6 e a equação (2.8), pode-se notar que quanto maior a rotação ou o tamanho do rotor, maior será u2 e quanto maior for a componente tangencial da velocidade absoluta da bomba, na saída do rotor, maior a altura de elevação, Ht∞.
A formulação apresentada na equação (2.8), ainda não leva em conta características operacionais como a vazão nem mesmo construtivas do rotor como o valor do ângulo β, responsável pela geometria da pá do rotor. Para explicitar esses parâmetros na equação (2.8), com o auxílio da Figura 2.6, pode-se escrever a componente tangencial da velocidade absoluta em função componente normal da velocidade absoluta, ou seja:
n2 n2 2 2 2 2 t 2 2 2 2 t2 2 n2 2 V V w sen( ) w sen( ) V u w cos( ) V u V cot g( ) β β β β = ⇒ = = − ⇒ = − (2.9)
Substituindo a equação (2.9) na equação da altura de elevação ideal (equação (2.8)):
( )
2(
( )
)
t eixo 2 2 2 2 n2 2 u H T r V cos u V cotg mg g g ω ω α β ∞ = ɺ = = − (2.10)A componente normal da velocidade absoluta na saída do rotor, Vn2, está relacionada com a vazão mássica que flui pela bomba. A Figura 2.7 apresenta um desenho esquemático da geometria do rotor de uma bomba centrífuga. Utilizando a
equação da conservação da massa e os dados fornecidos na Figura 2.7, pode-se escrever que:
Figura 2.7 – Corte axial do rotor de uma bomba centrífuga
n2 2 n2 n2 2 2 2 Q Q V A m V V A 2 r b ρ π = ⇒ = ⇒ = ɺ ɺ ɺ (2.11)
Substituindo a equação (2.11) na equação (2.10), tem-se:
( )
2 t 2 2 2 2 u Q H u cotg g 2 r bπ
β
∞ = − ɺ (2.12)A equação (2.12) é mais interessante pois apresenta, explicitamente, as principais variáveis operacionais da bomba tais como vazão, geometria e rotação (apresentada através da velocidade tangencial). Analisando a equação (2.12), pode-se notar que a altura de elevação recebe uma influência quadrática da variação da rotação. Nessa formulação simplificada, a altura de elevação varia linearmente com o aumento da vazão. A forma da pá (ditada pelo ângulo β2) determina se a vazão influencia negativamente (β2<90°) ou positivamente (β2>90°) na altura de elevação. Se β2=90° a vazão não influencia na magnitude do valor d a altura de elevação.
A curva característica de uma máquina de fluxo é, por definição, a curva que representa a dependência que existe entre a quantidade de energia transferida pela máquina (real ou idealizada) e a vazão do fluido. Ela se aplica a uma bomba de características geométricas conhecidas (valores especificados de r2 e b2, dimensões geométricas que aparecem na equação (2.12)), operando com rotação
ω
, tambémespecificada. A Figura 2.8 mostra a relação entre a altura de elevação e a vazão volumétrica da bomba, para diferentes ângulos β2.
Figura 2.8 – Curva característica idealizada de uma bomba centrífuga
A curva característica real de uma bomba centrífuga difere substancialmente destas curvas idealizadas, qualquer que seja o valor do ângulo β2. A curva para β2<90º apresenta a mesma tendência da curva real: redução de Ht∞ à medida em que a vazão aumenta. As curvas para β2=90º e β2>90º, entretanto, têm comportamento inverossímil. Na medida em que a vazão aumenta, é de se esperar que, nos escoamentos reais (viscosos), a energia dissipada (em perdas hidráulicas, por exemplo) aumente com o quadrado da vazão. Assim, parcela substancial da potência disponível no eixo é irreversivelmente dissipada, e a energia específica transferida não pode, indefinidamente, aumentar, ou mesmo se manter constante, com o aumento da vazão.
A influência da magnitude do ângulo β2 sobre a curva característica da bomba, e sobre as formas construtivas das pás dos rotores, entretanto, deve ser objeto de análise. As bombas centrífugas quase sempre apresentam rotores com pás curvadas para trás em relação ao sentido de rotação do rotor, isto é, β2<90º. Os valores usuais para β2 estão por volta dos 30º. Em bombas mais antigas, de pequena potência e baixa responsabilidade, pode-se ainda encontrar rotores com
pás inteiramente radiais, com β1=β2=90º. Atualmente, este tipo de rotor está em desuso.
Benra (2001) apresenta uma metodologia numérica para o desenvolvimento de rotores eficientes a serem utilizados em bombas centrífugas. Seus estudos se basearam na modelagem e simulação numérica do escoamento em rotores radiais isolados, ou seja, sem contabilizar volutas ou difusores. Seu principal objetivo foi avaliar a eficiência hidráulica, através da comparação do escoamento em dois rotores de mesmas dimensões, porém, com diferenças na configuração das pás. O primeiro rotor estudado por ele possuía pás com bordo de entrada alinhados com a entrada do rotor, como mostra a Figura 2.9 (a). Já o segundo rotor possuía pás com bordo de entrada inclinados em relação à entrada do rotor (Figura 2.9 (b). Essa diferença na geometria da entrada dos rotores reflete na forma com que a pá evolui da entrada até a saída do rotor.
Bordo de entrada das pás
(a) (b)
Figura 2.9 – Rotores estudados numericamente por Benra (2001). (a) Pás com bordo de entrada horizontal e (b) pás com bordo de entrada inclinadas em relação à
entrada do rotor.
No primeiro rotor, Benra (2001) observou que a evolução do ângulo β (ângulo construtivo do rotor) desde a entrada até a saída do rotor, no cubo, possuía uma grande oscilação. Já o segundo rotor não continha tais variações, sendo a transição de β suave desde a entrada até a saída. Como conseqüência dessas diferenças de geometria, o escoamento no segundo rotor apresentou menores instabilidades e recirculações para vazões fora da condição de projeto. Isso levou à conclusão de que a forma da entrada do rotor influencia no desempenho da bomba.
Bacharoudis et al. (2008) estudaram o comportamento do escoamento em uma bomba centrífuga (composta de um rotor e uma voluta). O foco do trabalho foi avaliar as mudanças no comportamento da altura de elevação e eficiência da
bomba, quando da alteração do ângulo de saída das pás do rotor, β2. Eles mostraram que quando há um aumento do ângulo de saída, há um aumento na altura de elevação da bomba, porém com redução na eficiência. Entretanto, esse comportamento não é observado em todo o campo operacional da bomba. Eles mostraram que para a bomba operando em vazões maiores que a de projeto, ao utilizar um ângulo de saída da pá maior, ocorre um aumento na eficiência em relação ao rotor original. Já para vazões inferiores à de projeto, utilizando um ângulo de saída da pá menor, observaram uma redução na eficiência, também em relação ao rotor original. Shoajaee e Boyaghchi (2007) também mostraram que aumentando o ângulo de saída de um rotor centrífugo, há um aumento na altura de elevação. Esses resultados estão em acordo com a equação (2.12), uma vez que quanto maior o ângulo β2, menor será a contribuição do termo de sinal negativo no lado direito dessa equação.
É importante salientar que a análise de resultados oriundos de simulações numéricas do escoamento em componentes isolados pode levar a conclusões que não correspondem efetivamente ao que acontece em uma bomba centrífuga real. Isso porque há interações entre os componentes desse tipo de equipamento, o que foi comprovado experimentalmente por Amaral (2007) e numericamente por Feng et al. (2007).
Recentemente, Segala et al. (2008) apresentam um estudo preliminar do escoamento no rotor e difusor de uma bomba centrífuga em regime permanente. Nesse estudo, foi discutido que, para resolver o acoplamento entre rotor e difusor, uma metodologia numérica adequada deve simular ambos os domínios simultaneamente. Eles também apontam a necessidade de dados experimentais para o desenvolvimento de uma metodologia numérica confiável.
Com o contínuo desenvolvimento da tecnologia, e a crescente capacidade de processamento dos computadores, tem sido possível simular numericamente escoamentos em equipamentos reais de interesse de engenharia, como bombas centrífugas, por exemplo. Os primeiros estudos numéricos envolvendo bombas centrífugas eram bastante simplificados devido à limitação computacional existente.
Atualmente é possível simular numericamente escoamentos em rotores com geometrias mais próximas do modelo real, o que torna esse tipo de abordagem versátil e interessante, pois, permite testar diversos parâmetros e configurações de rotores, por exemplo, de maneira simples e relativamente rápida.
O presente trabalho visa desenvolver uma metodologia de simulação numérica de escoamentos em bombas centrífugas. Para isso, será utilizada a geometria de uma bomba centrífuga comercial, de onde foram extraídos dados experimentais por Amaral (2007). Esses dados experimentais servem de base de comparação e validação para a metodologia numérica desenvolvida no presente trabalho.
3 MODELAGEM MATEMÁTICA
Para simular numericamente a fluidodinâmica do escoamento em bombas centrífugas, as equações de conservação da massa e da quantidade de movimento são utilizadas. Nesse tipo de equipamento, têm-se simultaneamente domínios rotativos (rotores) e estacionários (tubo de admissão da bomba centrífuga, carcaça, difusor, voluta, entre outros). Os programas comerciais de simulação numérica de escoamentos quando aplicados ao estudo de bombas centrífugas oferecem soluções de sistemas de múltiplos domínios, isto é, há um sub-domínio específico para cada parte do equipamento em estudo (seja rotativo ou estacionário), como mostra a Figura 3.1. Nos domínios rotativos, os efeitos da rotação são impostos por meio de termos fontes, aplicados às respectivas componentes da equação de quantidade de movimento.
Figura 3.1 – Vários sub-domínios co-existentes em um programa comercial de simulação numérica de escoamentos envolvendo máquinas de fluxo.
Para acoplar os domínios rotativos aos estacionários existem modelos de interface que transferem as informações de um domínio ao outro. Nesse capítulo será apresentada a modelagem matemática das equações de conservação da massa e da quantidade de movimento utilizadas pelo programa computacional na simulação numérica do escoamento de uma bomba centrífuga, bem como as equações do modelo de turbulência escolhido.
3.1 Equações de conservação da massa e da quantidade de
movimento escritas, para um sistema de coordenadas
rotativo
Para estudar o escoamento no interior de domínios providos de rotação é conveniente utilizar um sistema de coordenadas que acompanhe o giro desse domínio. Isso facilita a implementação de diversos parâmetros do programa numérico, como por exemplo, construção da malha, aplicação das condições de contorno e processamento dos resultados. Para contabilizar os efeitos de rotação em domínios desse tipo, necessita-se de termos adicionais nas componentes equações da quantidade de movimento, como está mostrado a seguir.
Considerando o rotor mostrado na Figura 3.2 onde em seu eixo de rotação é acoplado um sistema de coordenadas não-inerciais (x,y,z), ou seja, que gira na mesma rotação do rotor. Um sistema de coordenadas inerciais (X,Y,Z) é estabelecido conforme mostrado na Figura 3.2.
Y
X
Z
x y zFigura 3.2 – Sistema de coordenadas rotativo aplicado a uma bomba centrífuga Da Figura 3.2 e utilizando conceito de velocidade e aceleração relativa é possível obter as equações de conservação da massa e quantidade de movimento
escritas utilizando o sistema de coordenadas não-inercial como referencial, o que resulta em: 0 xyz V ∇⋅ = (3.1)
( )
2 1 2 − ∇ + ν∇ + = ω× + ω× ω× + ρ xyz xyz xyz DV p V g V r Dt (3.2)onde ρ é a massa específica do fluido, p é a pressão hidrostática, ν é a viscosidade cinemática, Vxyz
é a velocidade do fluido no sistema de coordenadas não-inercial, g
é a aceleração da gravidade, ω
é a velocidade angular do rotor e r
é a posição de uma partícula fluida em relação à origem do sistema de coordenadas não-inercial. Os termos do lado esquerdo da Equação (3.2) são, respectivamente, o gradiente de pressão, a dissipação viscosa e o termo gravitacional. O último termo do lado direito da Equação (3.2) representa a representa a aceleração temporal e convectiva do fluido. O termo 2ω×Vxyz
é denominado de aceleração de Coriollis e surge devido à mudança do sistema de coordenadas inercial para o não-inercial. O termo
( )
rω× ω×
, chamado de aceleração centrípeta também surge devido à mudança de referencial.
O escoamento a ser estudado é considerado incompressível, com propriedades constantes, isotérmico e o rotor gira com velocidade angular constante em torno de um eixo fixo (sem movimento de translação). A equação da quantidade de movimento para os domínios estacionários (tubo de entrada, difusor) pode ser obtida da Equação (3.2) bastando atribuir ω =0
.
3.2 Modelagem da turbulência
Da literatura sabe-se que a fluidodinâmica do escoamento no interior de máquinas de fluxo ocorre em regime turbulento. Portanto, é necessário incorporar tais efeitos na modelagem do problema estudado. De maneira resumida, os escoamentos em regime turbulento são intrinsecamente transientes, ou seja, os
valores de propriedades desse tipo de escoamento flutuam com o tempo. Porém, utilizando métodos estatísticos é possível observar uma certa coerência nesse tipo de escoamento.
t
φ φ'
φ
Figura 3.3 – Propriedade genérica de um escoamento em regime turbulento em função do tempo, t
Osbore Reynolds em 1895 observou que era possível escrever o valor de uma propriedade genérica do escoamento turbulento através de duas parcelas: uma média e uma flutuação, como está representado na Figura 3.3 e na Equação (3.3) (Wilcox, 1993).
( )t '( )t
φ = φ + φ (3.3)
onde ( )φ t representa uma propriedade genérica instantânea do escoamento em um ponto do espaço, φ é o valor médio no tempo dessa propriedade e '( )φ t é o valor da flutuação temporal dessa propriedade. Com essa forma de abordagem, Reynolds propôs um estudo da turbulência aplicando médias temporais às equações da conservação da massa e da quantidade de movimento resultado da substituição da Equação (3.3) nas variáveis velocidade e pressão, resultando em:
0 xyz V ∇⋅ = (3.4) ij DV p Dt ρ = −∇ + ∇τ (3.5) onde
j i ij i j j i u u u u x x ∂ ∂ ′ ′ τ = µ + − ρ ∂ ∂ (3.6) onde o símbolo ui representa a componente do vetor de velocidade na direção coordenada “i” (x, y ou z). Analisando a Equação (3.5), pode-se dizer que os termos turbulentos de inércia se comportam como se a tensão total, τij, no sistema fosse composta de uma tensão viscosa newtoniana mais um tensor tensão turbulenta aparente ρu ui′ ′j , denominado Tensor Tensão de Reynolds. Esse produto das flutuações médias é uma razão média temporal da transferência de quantidade de movimento devido à turbulência, sendo a prescrição desse fluxo de quantidade de movimento o grande desafio na modelagem da turbulência. A modelagem desses termos é necessária para resolver o sistema de equações (fechamento do problema
da turbulência).
Para resolver o problema de fechamento da turbulência Boussinesq propôs um modelo onde se assume que o produto médio das flutuações de velocidade ( ' '
i j u u
ρ ) é proporcional à taxa de deformação média do fluido (Wilcox,1993), ou seja:
' ' i j i j t j i u u u u x x ∂ ∂ −ρ = µ + ∂ ∂ (3.7) onde i e j são índices que representam as direções coordenadas (x, y ou z). O coeficiente µt é denominado viscosidade dinâmica turbulenta e é uma característica do escoamento estudado.
Para o presente trabalho, assume-se como hipótese escoamento turbulento de fluido newtoniano governado pelas equações de conservação da massa e da quantidade de movimento. Utilizam-se as equações médias de Reynolds e a hipótese de Boussinesq para a modelagem da turbulência. Sendo assim, as equações da conservação da massa e da quantidade de movimento em x, y e z assumem, respectivamente a forma:
0
u v w
x y z
∂ +∂ +∂ =
