Devido à geometria complexa das partes internas de uma bomba centrífuga, alguns trabalhos focam no estudo ou modelagem de parâmetros específicos desse equipamento. Através da teoria de turbomáquinas são definidos diversos ângulos e termos que serão utilizados ao longo do presente trabalho.
Figura 2.4 – Volume de controle e componentes de velocidades do escoamento na entrada e saída de um rotor genérico
A Figura 2.4 mostra o desenho de um rotor, onde estão definidos o raio da pá, as componentes da velocidade do escoamento tanto na secção de entrada (denotada pelo índice 1) como na secção de saída do rotor (índice 2). Através do princípio da quantidade de movimento angular é possível obter uma equação que expressa o torque de eixo, Teixo, em função das componentes da velocidade do escoamento à entrada e saída do rotor, como mostra de forma escalar a equação (2.1).
(
)
eixo 2 t2 1 t1
T = r V −r V mɺ (2.1)
A equação (2.1), denominada de equação de Euler para Turbomáquinas, pode ser utilizada para determinar a potência fornecida ao rotor, através da relação escalar Wɺ =
ω
Teixo:(
)
(
)
eixo 2 t 2 1 t1 2 t2 1 t1
Wɺ =
ω
T =ω
r V −r V mɺ ⇒Wɺ = u V −u V mɺ (2.2) Ao dividir-se a equação (2.2) por mgɺ , se obtém a magnitude da energia transferida ao rotor em unidades de comprimento:(
2 t2 1 t1)
W 1 H U V U V m g g = ɺ = − ɺ (2.3)A equação (2.3) apresentada a altura de elevação como função das componentes de velocidade na entrada e saída do rotor. Obviamente, as equações (2.1) a (2.3) exprimem de forma muito simplificada o comportamento de uma bomba centrífuga, uma vez que uma série de fenômenos não estão sendo considerados nessa modelagem. Porém, dessa modelagem é possível notar a importância das componentes de velocidade na obtenção dos valores de torque, potência e altura de elevação. Isso sugere que é necessário definir a forma com que o escoamento entra e sai do rotor, através do formato das pás.
A Figura 2.5 mostra que na condição de projeto de uma bomba centrífuga, o escoamento é admitido como entrando e saindo tangencialmente ao perfil da pá do
rotor. O ângulo β é medido a partir da direção tangencial em direção à pá do rotor, no sentido oposto ao de giro do rotor. Esse ângulo é construtivo, ou seja, depende somente da geometria da pá do rotor. O ângulo α, por sua vez, é ditado pela condição de operação da bomba, ou seja, depende da magnitude da rotação imposta ao rotor. O ângulo α também é dependente da vazão que flui pela bomba, vazão esta, que é controlada por válvulas no sistema de bombeamento a que a bomba está conectada.
(a) (b)
Figura 2.5 – Geometria e notação usadas para desenvolver diagramas de velocidade em bombas centrífugas. (a) Distribuição dos perfis de velocidade ao longo da pá do rotor e (b) os triângulos de velocidades na entrada e saída do rotor.
Com a definição das velocidades do escoamento, e os ângulos que elas formam, pode-se então avaliar o valor das componentes tangenciais, Vt1 e Vt2, em função das velocidades absolutas, V1 e V2, pelas seguintes relações:
( )
( )
1 1 1 2 2 2 cos cosα
α
= = t t V V V V (2.4)Substituindo as relações dadas pela equação (2.4) na equação (2.1), do torque no eixo do rotor da bomba, tem-se:
( )
( )
(
)
eixo 2 2 2 1 1 1
T =m r V cosɺ α −r V cos α (2.5)
Com a equação (2.5) pode-se, assim, determinar a altura de elevação da bomba, através de parâmetros do escoamento e dimensões características do rotor. Portanto, substituindo a equação (2.5) na equação (2.3):
( )
( )
(
)
eixo 2 2 2 1 1 1 H T r V cos r V cos m g g ω ω α α = = − ɺ (2.6)Por a equação (2.6) se tratar de uma idealização do escoamento em uma bomba, é conveniente alterar a nomenclatura da altura de elevação para sinalizar que o resultado obtido será para um caso Ideal. Com isso, define-se Ht∞ como sendo a altura de elevação teórica infinita. O índice t indica um processo sem perdas (teórico) e o índice ∞ sinaliza que a bomba possui infinitas pás. Assim:
( )
( )
(
)
t eixo 2 2 2 1 1 1 H T r V cos r V cos mg g ω ω α α ∞ = ɺ = − (2.7)Da análise da equação (2.7), pode-se notar que a energia transferida ao fluido varia proporcionalmente com a velocidade angular (quanto maior a magnitude da rotação do rotor, maior é a quantidade de energia transferida ao fluido). Os dois termos entre parênteses têm sinal invertido, por isso, suas contribuições à quantidade de energia transferida são opostas. Portanto, a quantidade de energia específica, Ht∞, transferida ao fluido será máxima quando o termo negativo for nulo. Isto ocorre quando o ângulo α1=90°. Isso faz com que a velocidade absoluta do
fluido, na entrada do rotor seja perpendicular à direção tangencial. Na prática, devido às perdas envolvidas no processo de transferência de energia α1não é exatamente
igual a 90°, porém, é próximo desse valor, fazendo com que o termo negativo da equação (2.7), de fluxo de quantidade de movimento angular na entrada do rotor seja pequeno quando comparado com o fluxo de quantidade de movimento angular na saída do rotor, (V2 r2 cosα2). Dessa forma, tem-se:
( )
2 t eixo 2 2 2 t 2 u H T r V cos V mg g g ω ω α ∞ = ɺ = = (2.8)onde Vt2 é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido (na saída do rotor) e u2 é a velocidade periférica do rotor, devido à rotação. A Figura 2.6 mostra o triangulo de velocidades na saída do rotor, com as componentes, tangencial e normal (ou radial), do vetor velocidade absoluta do fluido.
Figura 2.6 – Componentes (tangencial e radial) da velocidade absoluta na secção de saída do rotor da bomba
Observando a Figura 2.6 e a equação (2.8), pode-se notar que quanto maior a rotação ou o tamanho do rotor, maior será u2 e quanto maior for a componente tangencial da velocidade absoluta da bomba, na saída do rotor, maior a altura de elevação, Ht∞.
A formulação apresentada na equação (2.8), ainda não leva em conta características operacionais como a vazão nem mesmo construtivas do rotor como o valor do ângulo β, responsável pela geometria da pá do rotor. Para explicitar esses parâmetros na equação (2.8), com o auxílio da Figura 2.6, pode-se escrever a componente tangencial da velocidade absoluta em função componente normal da velocidade absoluta, ou seja:
n2 n2 2 2 2 2 t 2 2 2 2 t2 2 n2 2 V V w sen( ) w sen( ) V u w cos( ) V u V cot g( ) β β β β = ⇒ = = − ⇒ = − (2.9)
Substituindo a equação (2.9) na equação da altura de elevação ideal (equação (2.8)):
( )
2(
( ))
t eixo 2 2 2 2 n2 2 u H T r V cos u V cotg mg g g ω ω α β ∞ = ɺ = = − (2.10)A componente normal da velocidade absoluta na saída do rotor, Vn2, está relacionada com a vazão mássica que flui pela bomba. A Figura 2.7 apresenta um desenho esquemático da geometria do rotor de uma bomba centrífuga. Utilizando a
equação da conservação da massa e os dados fornecidos na Figura 2.7, pode-se escrever que:
Figura 2.7 – Corte axial do rotor de uma bomba centrífuga
n2 2 n2 n2 2 2 2 Q Q V A m V V A 2 r b ρ π = ⇒ = ⇒ = ɺ ɺ ɺ (2.11)
Substituindo a equação (2.11) na equação (2.10), tem-se:
( )
2 t 2 2 2 2 u Q H u cotg g 2 r bπ
β
∞ = − ɺ (2.12)A equação (2.12) é mais interessante pois apresenta, explicitamente, as principais variáveis operacionais da bomba tais como vazão, geometria e rotação (apresentada através da velocidade tangencial). Analisando a equação (2.12), pode- se notar que a altura de elevação recebe uma influência quadrática da variação da rotação. Nessa formulação simplificada, a altura de elevação varia linearmente com o aumento da vazão. A forma da pá (ditada pelo ângulo β2) determina se a vazão influencia negativamente (β2<90°) ou positivamente (β2>90°) na altura de elevação. Se β2=90° a vazão não influencia na magnitude do valor d a altura de elevação.
A curva característica de uma máquina de fluxo é, por definição, a curva que representa a dependência que existe entre a quantidade de energia transferida pela máquina (real ou idealizada) e a vazão do fluido. Ela se aplica a uma bomba de características geométricas conhecidas (valores especificados de r2 e b2, dimensões geométricas que aparecem na equação (2.12)), operando com rotação
ω
, tambémespecificada. A Figura 2.8 mostra a relação entre a altura de elevação e a vazão volumétrica da bomba, para diferentes ângulos β2.
Figura 2.8 – Curva característica idealizada de uma bomba centrífuga
A curva característica real de uma bomba centrífuga difere substancialmente destas curvas idealizadas, qualquer que seja o valor do ângulo β2. A curva para β2<90º apresenta a mesma tendência da curva real: redução de Ht∞ à medida em que a vazão aumenta. As curvas para β2=90º e β2>90º, entretanto, têm comportamento inverossímil. Na medida em que a vazão aumenta, é de se esperar que, nos escoamentos reais (viscosos), a energia dissipada (em perdas hidráulicas, por exemplo) aumente com o quadrado da vazão. Assim, parcela substancial da potência disponível no eixo é irreversivelmente dissipada, e a energia específica transferida não pode, indefinidamente, aumentar, ou mesmo se manter constante, com o aumento da vazão.
A influência da magnitude do ângulo β2 sobre a curva característica da bomba, e sobre as formas construtivas das pás dos rotores, entretanto, deve ser objeto de análise. As bombas centrífugas quase sempre apresentam rotores com pás curvadas para trás em relação ao sentido de rotação do rotor, isto é, β2<90º. Os valores usuais para β2 estão por volta dos 30º. Em bombas mais antigas, de pequena potência e baixa responsabilidade, pode-se ainda encontrar rotores com
pás inteiramente radiais, com β1=β2=90º. Atualmente, este tipo de rotor está em desuso.
Benra (2001) apresenta uma metodologia numérica para o desenvolvimento de rotores eficientes a serem utilizados em bombas centrífugas. Seus estudos se basearam na modelagem e simulação numérica do escoamento em rotores radiais isolados, ou seja, sem contabilizar volutas ou difusores. Seu principal objetivo foi avaliar a eficiência hidráulica, através da comparação do escoamento em dois rotores de mesmas dimensões, porém, com diferenças na configuração das pás. O primeiro rotor estudado por ele possuía pás com bordo de entrada alinhados com a entrada do rotor, como mostra a Figura 2.9 (a). Já o segundo rotor possuía pás com bordo de entrada inclinados em relação à entrada do rotor (Figura 2.9 (b). Essa diferença na geometria da entrada dos rotores reflete na forma com que a pá evolui da entrada até a saída do rotor.
Bordo de entrada das pás
(a) (b)
Figura 2.9 – Rotores estudados numericamente por Benra (2001). (a) Pás com bordo de entrada horizontal e (b) pás com bordo de entrada inclinadas em relação à
entrada do rotor.
No primeiro rotor, Benra (2001) observou que a evolução do ângulo β (ângulo construtivo do rotor) desde a entrada até a saída do rotor, no cubo, possuía uma grande oscilação. Já o segundo rotor não continha tais variações, sendo a transição de β suave desde a entrada até a saída. Como conseqüência dessas diferenças de geometria, o escoamento no segundo rotor apresentou menores instabilidades e recirculações para vazões fora da condição de projeto. Isso levou à conclusão de que a forma da entrada do rotor influencia no desempenho da bomba.
Bacharoudis et al. (2008) estudaram o comportamento do escoamento em uma bomba centrífuga (composta de um rotor e uma voluta). O foco do trabalho foi avaliar as mudanças no comportamento da altura de elevação e eficiência da
bomba, quando da alteração do ângulo de saída das pás do rotor, β2. Eles mostraram que quando há um aumento do ângulo de saída, há um aumento na altura de elevação da bomba, porém com redução na eficiência. Entretanto, esse comportamento não é observado em todo o campo operacional da bomba. Eles mostraram que para a bomba operando em vazões maiores que a de projeto, ao utilizar um ângulo de saída da pá maior, ocorre um aumento na eficiência em relação ao rotor original. Já para vazões inferiores à de projeto, utilizando um ângulo de saída da pá menor, observaram uma redução na eficiência, também em relação ao rotor original. Shoajaee e Boyaghchi (2007) também mostraram que aumentando o ângulo de saída de um rotor centrífugo, há um aumento na altura de elevação. Esses resultados estão em acordo com a equação (2.12), uma vez que quanto maior o ângulo β2, menor será a contribuição do termo de sinal negativo no lado direito dessa equação.
É importante salientar que a análise de resultados oriundos de simulações numéricas do escoamento em componentes isolados pode levar a conclusões que não correspondem efetivamente ao que acontece em uma bomba centrífuga real. Isso porque há interações entre os componentes desse tipo de equipamento, o que foi comprovado experimentalmente por Amaral (2007) e numericamente por Feng et al. (2007).
Recentemente, Segala et al. (2008) apresentam um estudo preliminar do escoamento no rotor e difusor de uma bomba centrífuga em regime permanente. Nesse estudo, foi discutido que, para resolver o acoplamento entre rotor e difusor, uma metodologia numérica adequada deve simular ambos os domínios simultaneamente. Eles também apontam a necessidade de dados experimentais para o desenvolvimento de uma metodologia numérica confiável.
Com o contínuo desenvolvimento da tecnologia, e a crescente capacidade de processamento dos computadores, tem sido possível simular numericamente escoamentos em equipamentos reais de interesse de engenharia, como bombas centrífugas, por exemplo. Os primeiros estudos numéricos envolvendo bombas centrífugas eram bastante simplificados devido à limitação computacional existente.
Atualmente é possível simular numericamente escoamentos em rotores com geometrias mais próximas do modelo real, o que torna esse tipo de abordagem versátil e interessante, pois, permite testar diversos parâmetros e configurações de rotores, por exemplo, de maneira simples e relativamente rápida.
O presente trabalho visa desenvolver uma metodologia de simulação numérica de escoamentos em bombas centrífugas. Para isso, será utilizada a geometria de uma bomba centrífuga comercial, de onde foram extraídos dados experimentais por Amaral (2007). Esses dados experimentais servem de base de comparação e validação para a metodologia numérica desenvolvida no presente trabalho.