Caixas Band Pass. Simétricas, Ordem. de 4 a

(1)

Caixas Band Pass

Simétricas,

de 4

a

Ordem

Homero Sette Silva

(2)

Caixas Band Pass

Simétricas, de 4

a

Ordem

01 – 01 - 04 BP4SIM

Homero Sette Silva [email protected]

Este trabalho é uma releitura do Capítulo 11, do livro Alto-Falantes & Caixas Acústicas, de minha autoria, escrito há quase dez anos, e serve às seguintes finalidades:

a) como errata aos erros tipográficos existentes no texto original; b) apresentar, em detalhe, o desenvolvimento matemático por trás das equações do livro, o que ali seria inviável;

c) fazer uso dos novos recursos atualmente disponíveis, como o MatLab, no sentido de tornar mais fácil a análise do conteúdo.

Introdução

Uma caixa band pass, de quarta ordem, pode ser entendida como uma caixa selada, colocada dentro de uma caixa refletora de graves, estando esta sem o falante (que vai montado na caixa fechada), sendo o duto a fonte sonora para o meio exterior, conforme a Fig. 1.

Aliás, esta foi a estratégia usada pelo Autor, quando fez as pesquisas iniciais que levaram ao desenvolvimento de um software para projeto de caixas BP de quarta e sexta ordens: uma caixa de 240 litros, com tampa removível, permitia que caixas menores fossem colocadas em seu interior.

Os termos quarta e sexta ordem referem-se ao grau do polinômio que caracteriza a resposta das caixas band pass, com duto em apenas uma das câmaras, ou em ambas, respectivamente.

Neste trabalho, consideraremos a câmara 1 como sendo a selada, cabendo à câmara 2 conter o duto e o conjunto magnético do falante, pois a prática recomenda isso em virtude da melhor refrigeração proporcionada pelo duto (ver a referência bibliográfica 5), o que irá contribuir significativamente para reduzir a temperatura da bobina, o que é vital para a sobrevivência do falante ao trabalhar com potências elevadas, como geralmente acontece com os sub woofers.

Outro aspecto básico a ser ressaltado, é a característica de resposta tipo banda passante (Fig. 2) da componente acústica no duto, em uma caixa refletora de graves. Isto se deve ao ressonador de Helmholtz, que caracteriza a combinação do volume de ar da caixa (comportamento capacitivo), com o ar no duto (comportamento indutivo), o que resulta na sintonia da caixa, que entra em ressonância em uma freqüência denominada Fb. Algo semelhante ocorre em uma caixa band pass de quarta ordem, quando o sinal acústico produzido pela caixa selada tem que atravessar um ressonador de Helmholtz, antes de se propagar pelo meio ambiente. Quando a freqüência Fb do ressonador é igual à freqüência Fc, de ressonância do sistema caixa fechada, temos uma resposta simétrica, com uma atenuação de 12 dB/oitava, de ambos os lados da curva de resposta, o que ficará evidenciado nas figuras a serem apresentadas, adiante.

As equações numeradas, são aquelas apresentadas no livro.

(3)

10−1 100 101 60 65 70 75 80 85 90 95 100 PO em dB e suas Componentes f / Fb | PD | | PP | | PL | | PO |

Fig. 2 – Componentes acústicas do refletor de graves. A contribuição do duto (em vermelho) é uma resposta band pass.

Fig. 3a – Circuito equivalente de uma caixa band pass de 4a ordem.

(

E

)

L Pg Eg Rg R Sd β = ⋅ + ⋅ ; ( )

(

)

2 2 E L Zae Rae Rg R Sd β = = + ⋅ 1

Zas Ras s Mas

s Cas

= + ⋅ +

⋅

1

Rat = Rae + Ras + Rab ; Cat Cas Cab1 Cas

Cas Cab1 1 ⋅ = = + α + ; ₁ Cas Vas Cab1 Vb ( )8 α = =

(4)

2

1 s Rat Cat s Mas Cat 1

Zat Rat s Mas

s Cat s Cat ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = + ⋅ + = ⋅ ⋅ 2 S 1 Mas Cas⋅ = ω ; 2 C 1 Mas Cat⋅ = ω ; 2 C 2 S Cas 1 Cat ω = = α + ω 2 C 2 2 C C s s Rat Cat 1

s Mas Cat s Rat Cat 1

Zat s Cat s Cat + ⋅ω ⋅ ⋅ + ω ω ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + = = ⋅ ⋅ C 1 Rat Cat Qtc ω ⋅ ⋅ =

Para Rab desprezível: ₁ _S Rat Cas 1

Qts ω ⋅ ⋅ = C S Qtc Cas 1 Qts Cat ω ₌ ₌ ₌ _{+ α} ω 2 C C S ₂ S F Qtc Qts 1 ; 1 1 ( F 9) = ⋅ + α ω = ω ⋅ + α ∴ + α = 2 2 C C s s 1 1 Qtc Zat s Cat + ⋅ + ω ω = ⋅ A Câmara Vb2 2 2 2 1 s Map Zab 1 s Map Cab 1 s Cab s Map ⋅ = = ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 2 b b 2 b 2 1 1 Vas

Map Cab Map onde

Cab Cas Vb α ⋅ = ∴ = = α = ω ω ⋅ ω ⋅ 2 2 b s Map Zab s 1 ⋅ = + ω b 2 2 2 2 2 b b 2 2 b b s s Zab s s Cas Cas 1 1 ω α α = ⋅ = ⋅ ω ⋅ ₊ ω ⋅ ₊ ω ω

(5)

Velocidades Volumétricas Pg Ud Zat Zab = + 2 2 2 C C b 2 b 2 b 1 Ud Pg s s 1 s 1 Qtc s s Cat Cas ₁ = ⋅ + ⋅ + α ω ω ₊ _⋅ ω ⋅ ω ⋅ ₊ ω 2 2 2 2 b 2 2 C C 2 b s Cat Ud Pg s s s 1 Cat 1 s Qtc Cas ₁ ⋅ = ⋅ α ⋅ ω + ⋅ + + ⋅ ω ω ₊ ω 2 2 2 C C 1 Sd Cat Mas M Cat ; 1 Cas 1 ms = = ω ⋅ ω ⋅ = + α 2 2 2 2 2 2 C b 2 C C C 2 b S s Ud Pg s s d Mms 1 s 1 1 s Qtc 1 ₁ = ⋅ ⋅ α + + ⋅ ⋅ + ⋅ ω + ω ω α ₊ ω ⋅ ω ω 1 2 d B Qtc = ⋅ ⋅ ; _b

(

)

2 T 2 2 Vas V 1 B 1 = _⋅ = α α + α = + α ( ) ( )

(

)

2 2 ₂ 2 2 ₂ 1 1 1 2 d B 2 d Qtc Qtc 1 _Qts ₁ α = ⋅ ⋅ ∴ = ⋅ ⋅ = + α _⋅ _{+ α} ( ) ( ) 2 2 2 B2 b2 1 Vas V 2 d Qts Vas V 2 d Qts (11) α = = ∴ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 L H _B2 Fc / Qtc 1 Vas B 4 d F F 2 d Qtc V 1 (10) = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + α

(6)

2 C 2 2 C 2 2 2 C b 2 C 2 b B s Sd Ud Pg s s s Mms ₁ s 1 2 d B ω = ⋅ ⋅ ω ⋅ ₊ _⋅ ₊ _⋅ ω ω ⋅ + ⋅ + ω ω 2 2 2 b 2 b Zab 1 s M 1 Up Ud Ud Ud s s Map s Ma s 1 p ap 1 ⋅ + ω = − ⋅ = − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ₊ ω 2 C 2 2 2 2 C 2 2 2 2 b C b C 2 b s Sd 1 Up Pg s s s B s Mms ₁ _{2 d B} ₁ s 1 ω = ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ₊ ₊ _⋅ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ω ω ω ₊ ω ω 2 C 2 2 2 2 C 2 2 2 b C C b s Sd Up Pg Mms s s s s 1 2 d B 1 B ω = ⋅ ⋅_⎛ _{⎞ ⎛} _⎞ ω ⋅ _⎜ _⎟ _⎜ _⎟ ⎟ ⎟ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ω ⎜ω ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 C 4 3 2 2 2 C 2 2 2 2 2 2 b C b C b C C b s Sd Up Pg Mms s s 2 d B 1 1 s 2 d B s s 1 B ω = ⋅ ⋅ _⎛ _⎞ ω ⋅ ₊ ⋅ ⋅ ⋅ ₊ _⋅_⎜ ₊ _⎟_⎟ ₊ ⋅ ⋅ ⋅ ₊ ₊ _⋅ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⎝ω ω ⎠ ω ω 2 C 4 3 2 2 C 2 2 2 2 2 2 b C b C b b C C s Sd Up Pg Mms s s 2 d B 1 B 1 s 2 d B s 1 ω = ⋅ ⋅ _⎛ _⎞ ω ⋅ ₊ ⋅ ⋅ ⋅ ₊ _⋅_⎜ ₊ ₊ _⎟_⎟ ₊ ⋅ ⋅ ⋅ ₊ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ω ⋅ ω ω ⋅ ω ⎝ω ω ω ⎠ ω

(

)

2 C 4 3 C 2 2 2 2 2 2 2 b C b C b C C s Sd Up Pg Mms s s 2 d B 1 1 s 2 d B s 1 B 1 ω = ⋅ ⋅ ⎡ ⎤ ω ⋅ ₊ ⋅ ⋅ ⋅ ₊ _⋅_⎢ _⋅ ₊ ₊ _⎥ ₊ ⋅ ⋅ ⋅ ₊ ⎢ ⎥ ω ⋅ ω ω ⋅ ω _⎣ω ω _⎦ ω Pa s Up 2 r ρ = ⋅ ⋅ π

(

)

2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 b C b 2 2 C C b C C Sd Pa Pg Mms s s 2 d B 1 1 s 2 d B s 1 B 1 s 2 r = ⋅ ⋅ ⎡ ⎤ ⋅ ⋅ ⋅ _⎢ _⎥ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ ρ ω + + + + ⎢ ⎥ ω ⋅ ω ω ⋅ ω _⎣ ω π ω _⎦ ω ⋅

(7)

0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0 0.5 1 1.5 2 2.5 d • Qtc B Fig. 4 - B em função de d•Qtc . 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 d • Qts α 2 = Vas / Vb 2 Fig. 5 - α2 em função de d•Qts . 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 0 1 2 3 4 5 6 d • Qtc α T = α 2 / ( 1 + α ) Fig. 6 - αT em função de d•Qtc .

(8)

Resposta Simétrica (

ω = ω ) b C

(

)

2 C 4 3 2 2 C 4 3 2 C C C C s Sd Up Pg s s 2 d B s s 2 d B Mms _B ₂ ₁ ω = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ₊ ₊ _⋅ ₊ ₊ ₊ ω ω ω ω

(

)

2 2 2 C 4 3 2 2 4 3 2 C C C C s Sd Pa Pg s s s s 2 r Mms _{2 d B} _B ₂ _{2 d B} ₁ ρ ω = ⋅ ⋅ ⋅ π ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ _⋅ ₊ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ω ω ω ω N C FC (1) f ω ω = = ω 2 C 1 2 L H F = F F⋅ = F ⋅F (2) _N N 3) s s = ( ω

(

)

2 2 N 4 3 2 2 N N N N Sd s Pa Pg 2 r Mms s 2 d B s B 2 s 2 d B s 1 ρ = ⋅ ⋅ ⋅ π ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ₊ _⋅ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊

(

)

2 E 2 E Sd Sd Eg KPa 2 r Mms 2 r Mm L Sd Eg R s g R 2 r L Pg Eg Rg R Sd Mms β ρ ⋅ ⋅ ⋅ + ρ ρ ⋅ ⋅ = β ⋅ ⋅ = = π ⋅ ⋅ π + ⋅ π

(

)

2 N 4 3 2 2 N N N N E s Pa s 2 d B s L Sd Eg Rg R 2 r Mms _B ₂ _s _{2 d B s} ₁ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ β ρ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + π ⋅ ₊ ( )N ( )N E S S L Sd Eg Rg R 2 r Mms Pa = ⋅ β ⋅ ⋅G = Eg KPa G⋅ + ⋅ ρ ⋅ π E L Sd KPa 2 r Rg R Mms ρ β = ⋅ ⋅ π + ( )N

(

)

2 N S ₄ ₃ ₂ ₂ N N N N s G s 2 d B s B 2 s 2 d B s 1 = + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + N N 2 N (S ) (S ) ) s G D (4 = N 4 3 2 2 (S ) N N N N D = s + ⋅ ⋅ ⋅2 d B s + (B + 2) s⋅ + ⋅ ⋅ ⋅2 d B s + 1 (5) N 4 3 2 2 ( j ) N N N N D _ω = ω − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω −j 2 d B (B + 2)⋅ω + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω +j 2 d B 1

(9)

N 4 2 2 3 ( j ) N N N N D _ω = ω − (B + 2)⋅ω + 1 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ωj 2 d B j 2 d B

(

)

N 4 2 2 3 ( j ) N N N N D _ω = ω − (B + 2)⋅ω + 1 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω − ω j 2 d B

(

)

N 4 2 2 2 ( j ) N N N N D _ω = ω − (B + 2)⋅ω + 1 − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ ω −j 2 d B 1

(

)

N 2 ₄ ₂ ₂ 2 ₂ ₂ ₂ ₂ 2 ( j ) N N N N D _ω = ω −_⎣⎡ (B + 2)⋅ω + 1⎤_⎦ + ⋅ ⋅4 d B ⋅ω ⋅ ω − 1

(

)

N 4 2 N ( j ) ₂ ₂ 4 2 2 2 2 2 2 N N N N G (B 2) 1 4 d B 1 ω ω = ⎡ω − + ⋅ω + ⎤ + ⋅ ⋅ ⋅ω ⋅ ω − ⎣ ⎦ N 2 ( j ) 2 2 2 2 2 2 N 2 N N N 1 G 1 1 (B 2) 4 d B ω = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ω − + + + ⋅ ⋅ ⋅ ω −_⎜ _⎟ ⎢ _ω ⎥ _ω ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ N 2 ( j ) ₂ ₂ 2 2 2 2 N 2 N N N 1 G 1 1 B 2 4 d B ω = ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ω + − − + ⋅ ⋅ ⋅ ω −_⎜ _⎟ ⎢ _ω ⎥ _ω ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ N 2 ( j ) ₂ 2 _N 2 2 2 N 4 2 N 2 N 1 G 1 1 B 2 4 d B B ω = ⎛ ⎞ ω − ⎜ _ω ⎟ ⎡ ⎤ _⎝ _⎠ ω + − − + ⋅ ⋅ ⋅ ⎢ _ω ⎥ ⎣ ⎦ N N N N T (7 1 1 B ) ω − ω − ω ω γ = = α N 2 ( j ) ₂ 2 2 2 2 N 4 N 2 1 G 1 B 2 4 d B ω = ⎡ ⎤ ω + − − + ⋅ ⋅ ⋅ γ ⎢ _ω ⎥ ⎣ ⎦ N 2 ( j ) ₂ 2 2 N 2 2 4 2 2 N 1/ G 1 B 2 B 4 d B ω = ⎡_{ω +} ₋ ₋ ⎤ ⎢ _ω ⎥ ⎢ ⎥ + ⋅ ⋅ γ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(10)

2 2 2 2 N 2 N 2 N 2 N N N 2 2 1 1 1 2 B 2 1 1 1 B B B ⎛ ⎞ ω + − − ω − + _⎜ω − _⎟ ω ω _⎜ ω _⎟ = − = − = γ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

(

)

2 2 N 2 2 N 2 1 2 B 1 B ω + − + ω γ − =

(

)

N ₂ 2 2 N 2 N 2 4 4 2 ( j ) 2 2 ₂ ₂ 2 2 1 1 1/ B 1/ B G (B 2) B 4 d 4 d ω = = + ⋅ ⋅ γ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + ⋅ ⋅ γ ⎢ ⎥ ⎢ γ − ω + − + ⎣ ω ⎥⎦

(

)

(

)

N 4 2 ( j ) ₂ 2 ₂ 1/ B (6 d ) G 2 1 ω = ⋅ ⋅ γ + γ − Em N N C ( j ) ( j j) 2 1 f F 0 G G B ω ω = = ⇒ γ = ⇒ = =

( )

N ( j j)_dB (12) PA = G _{ω =} = −40 Log B⋅

(

)

(

)

N ( j _N) N ( j ) N 2 2 2 ( j j) G ₁ G G _{2 d} ₁ ω ω ω = = = ⋅ ⋅ γ + γ −

(

)

(

)

( j _N) 2 2 ₂ N dB G _ω = − ⋅10 Log⎡_⎢ 2 d⋅ ⋅ γ + γ − 1 ⎤_⎥ ⎣ ⎦

(

)

N ( j _N) 2 1 2 ( j ) 2 N dB 1 f F e f F 1 G G 20 Log 2 d 2 d B ω ω = = ⇒ γ = ⇒ = ⇒ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ N ( j _N) ( j ) _dB N dB G _ω = PA + G _ω

Os valores de d e B determinam completamente a resposta normalizada em freqüência, bem como o Qtc. Nas figuras que se seguem, podemos ver que quanto menores forem d e Qtc, maior será a banda passante e menor a amplitude da resposta.

(11)

Respostas normalizadas, em função do fator de amortecimento d, para diversos valores de Qtc. 100 −20 −15 −10 −5 0 5 f / Fc | GN (j ω ) | dB em função de Qtc 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5

Fig. 7 - Comportamento da resposta normalizada para d = 1,5 e Qtc variando de 0,2 a 1,5 .

100 −20 −15 −10 −5 0 5 f / Fc | GN (j ω ) | dB em função de Qtc 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5

10−1 100 101 −20 −15 −10 −5 0 5 f / Fc | GN (j ω ) | dB em função de Qtc 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5

(12)

Respostas normalizadas, em função do fator de amortecimento d, para diversos valores de Qtc. 10−1 100 101 −20 −15 −10 −5 0 5 f / Fc | GN (j ω ) | dB em função de Qtc 0,2 0,3 0,4 0,5 0,7 1,0 1,5

(13)

Respostas em função do fator de amortecimento d, para diversos valores de Qtc. 10−1 100 101 −40 −30 −20 −10 0 10 20 30 f / Fc | G (j ω ) | dB em função de Qtc 1,5 1,0 0,7 0,5 0,4 0,3 0,2

Fig. 13 - Comportamento da resposta para d = 1,5 e Qtc variando de 1,5 a 0,2 .

10−1 100 101 −40 −30 −20 −10 0 10 20 f / Fc | G (j ω ) | dB em função de Qtc 1,5 1,0 0,7 0,5 0,4 0,3 0,2

(14)

Respostas em função do fator de amortecimento d, para diversos valores de Qtc. 10−1 100 101 −40 −30 −20 −10 0 10 f / Fc | G (j ω ) | dB em função de Qtc 1,5 1,0 0,7 0,5 0,4 0,3 0,2

10−1 100 101 −40 −30 −20 −10 0 10 f / Fc | G (j ω ) | dB em função de Qtc 1,5 1,0 0,7 0,5 0,4 0,3 0,2

10−1 100 101 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 f / Fc | G (j ω ) | dB em função de Qtc 1,5 1,0 0,7 0,5 0,4 0,3 0,2

(15)

Freqüências de Corte a – 3 dB

(

)

(

)

(

)

(

)

( j N) ( j3N) N N 2 2 2 ₂ 2 ₂ 3 3 1 1 1 G G 2 2 d 1 2 d 1 ω = ∴ ω = = ⋅ ⋅ γ + γ − ⋅ ⋅ γ + γ −

(

)

(

)

( j_3N) 2 N 2 ₂ 2 3 3 1 1 G 2 _{2 d} ₁ ω = = ⋅ ⋅ γ + γ −

(

)

2

(

₂

)

2 ₂ ₂ ₄ ₂ 3 3 3 3 3 2 = 2 d⋅ ⋅ γ + γ − 1 = 4 d⋅ ⋅γ + γ − ⋅ γ + 2 1

(

)

4 2 2 3 3 2 = γ + 4 d⋅ − 2 ⋅ γ + 1

(

)

4 2 2 3 4 d 2 3 1 0 γ + ⋅ − ⋅ γ − =

(

)

2 2 2 3 x x 4 d 2 x 1 0 γ = ∴ + ⋅ − ⋅ − =

(

₂

)

2

₍

₎

2 2 2 2 4 d 2 4 4 d 2 x 1 2 d 1 2 d 1 2 2 ⋅ − + ⋅ − = − ± = − ⋅ ± − ⋅ +

(

)

2 2 2 x = 1 − ⋅2 d ± 1 − ⋅2 d + 1 2 c = 1 − ⋅2 d (17) ; c ± c2 + 1 = γ = ; ₃2 x γ = ±₃ c ± c2 + 1 Para γ real : ₃ γ = ±₃ c + c2 + 1 2 a = c + c + 1 (16) ; γ = ± ₃ a 3 C C 3 3 F F F F a B − γ = ± = ; 2 2 3 C 3 C C 3 C 3 F F F F a B F F F F − ± ⋅ = − = ⋅ 2 2 2 2 C 3 3 C 3 C 3 C a B F F F F F ∓ a B F F F 0 ± ⋅ ⋅ ⋅ = − ∴ ⋅ ⋅ ⋅ − =

(16)

2 2 C C 3 C a B F a B F F F 2 2 ⋅ ⋅ ⎛ ⋅ ⋅ ⎞ = ± _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ∓

Para F sempre positiva: ₃

2 2 C C 3 C a B F a B F F F 2 2 ⋅ ⋅ ⎛ ⋅ ⋅ ⎞ = + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ∓ 2 3 C a B a B F F 1 2 2 ⎡ _⋅ _⎛ _⋅ _⎞ ⎤ ⎢ ⎥ = ⋅ + _⎜ _⎟ + ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ∓ 2 H C F a B a B 1 F 2 2 ⋅ ⎛ ⋅ ⎞ = + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ; 2 L C F a B a B 1 F 2 2 ⋅ ⎛ ⋅ ⎞ = − + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ 1 B 2 d Qtc = ⋅ ⋅ ; a B a b 2 4 d Qtc (15) ⋅ = = ⋅ ⋅ 2 H C F a a 1 F 4 d Qtc 4 d Qtc ⎛ ⎞ = + _⎜ _⎟ + ⋅ ⋅ _⎝ ⋅ ⋅ _⎠ 2 L C F a a 1 F 4 d Qtc 4 d Qtc ⎛ ⎞ = − + _⎜ _⎟ + ⋅ ⋅ _⎝ ⋅ ⋅ _⎠ 2 H , L H , L 2 C C (14 F a B a B F 1 b b 1 F 2 2 F ) ⋅ ⎛ ⋅ ⎞ = ± + _⎜ _⎟ + ∴ = ± + + ⎝ ⎠ 2 H C F a B a B 1 F 2 2 ⋅ ⎛ ⋅ ⎞ = + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ; 2 L C F a B a B 1 F 2 2 ⋅ ⎛ ⋅ ⎞ = − + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ H L H L C C C F F F F a B F F F − − = = ⋅

(

)

(

)

(

)

(

)

2 L b1 2 S _L _S 2 2 F Vas 1 b b 1 V F F / F 1 b b (18) 1 = + α ⋅ − + + ∴ = − − + +

(17)

2 2 H L C C F F a B a B a B a B 1 1 F F 2 2 2 2 ⎛ _⋅ _⎛ _⋅ _⎞ ⎞ ⎛ _⋅ _⎛ _⋅ _⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ = + _⎜ _⎟ + ⋅ − + _⎜ _⎟ + ⎜ _⎝ _⎠ ⎟ ⎜ _⎝ _⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 H L 2 C F F a B a B 1 1 F 2 2 ⋅ ₌ ⎛ ⋅ ⎞ ₊ ₋ ⎛ ⋅ ⎞ ₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 H L C F ⋅F = F Banda Passante

A banda Passante FH − FL é dada por

H L C F F a B F − = ⋅ Como a B a 2 4 d Qtc ⋅ = ⋅ ⋅ , então a a B 2 d Qtc ⋅ = ⋅ ⋅ . Logo, C H L H L H L a Fs 1 a F a Fs F F F F F F 2 d Qtc 2 d Qts 1 2 d Qts ⋅ ⋅ + α ⋅ ⋅ − = ∴ − = ∴ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + α ⋅ ⋅

(

)

2 2 2 H L H L N C 1 2 d 1 2 d 1 F F F F _a BW F Fs _{2 d} _{2 d} Qtc Qts − ⋅ + − ⋅ + − − = = = = ⋅ ⋅

Resolvendo a equação acima, poderemos explicitar d em função da banda passante normalizada, BW : N

(

)

(

)

2 2 ₂ ₂ 2 N _N _N N 1 1 1 1 d 2 BW 1 _BW ₁ _BW _BW ₁ = ⋅ + + + ₊ _⋅ ₊

Resolução horizontal: 0,05 Resolução vertical: 0,01

0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.8 0.85 0.9 0.95 1 (FH − FL) / (Fs / Qts) Fator de Amortecimento d

(18)

Resolução horizontal: 0,01 Fig. 20 Resolução vertical: 0,01 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 (FH − FL) / (Fs / Qts) Fator de Amortecimento d

Resolução horizontal: 0,02 Fig. 21 Resolução vertical: 0,01

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 (FH − FL) / (Fs / Qts) Fator de Amortecimento d

Resolução horizontal: 0,05 Fig. 22 Resolução vertical: 0,01

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0.25 0.3 0.35 0.4 (FH − FL) / (Fs / Qts) Fator de Amortecimento d

(19)

Assim, vemos que a banda passante é função de d (o fator de amortecimento do sistema), e do cociente

Fs/Qts. Desse modo, escolhido o fator de amortecimento, o cociente FH FL

Fs / Qts −

fica determinado. Essa quantidade pode ser entendida como a banda passante, normalizada em relação à freqüência Fs/Qts.

Escolhido o valor desejado para FH − FL, o cociente Fs/Qts fica, então, determinado, o que permite a

utilização de qualquer falante, desde que o valor calculado para Fs/Qts seja respeitado.

Para uma resposta Butterworth, a = 1 e d = 0, 707 = 1/ 2

H L H L F F F F Fs a ₂ Qts 2 d ₂ − − = = ⋅

Para uma banda passante de 40 a 140 Hz, teremos Fs 140 100 100 2

2 Qts

2 −

= = ⋅ .

Desse modo, quaisquer falantes onde Fs/Qts = 141 poderão ser usados.

Picos na Resposta

Os eventuais picos na resposta podem ser determinados pesquisando-se os pontos de máximo da resposta.

Para isso, podemos igualar a 0 a derivada de

( j _N)

2

N

G _ω , em relação a γ , para a obtenção dos valores de γ

que tornam o ganho máximo, conforme o desenvolvimento abaixo:

(

)

(

)

(

)

( j _N) 2 N 2 ₂ 2 2 2 4 2 4 2 2 1 1 1 G 4 d 2 1 2 2 d 1 1 2 d 1 ω = = ⋅ ⋅ γ + γ − ⋅ γ + = γ + ⋅ ⋅ − ⋅ γ + ⋅ ⋅ γ + γ −

(

)

(

)

( j _N) 3 2 2 N ₂ 4 2 2 4 4 2 d 1 d G 0 d 2 2 d 1 1 ω ⎡ ⎤ − ⋅ γ + ⋅ ⋅ − ⋅ γ ⎡ ⎤ ₌ ⎣ ⎦ ₌ ⎢ ⎥ γ ⎣ ⎦ _⎡_{γ + ⋅ ⋅} ₋ _{⋅ γ +} _⎤ ⎣ ⎦

O que foi feito sabendo-se que a derivada do cociente u

v é igual a 2

v u ' u v '

v

⋅ − ⋅

sendo que (') representa a derivada da função.

Igualando a zero a derivada, obteremos os valores de gama que tornam máxima a função:

(

)

(

)

3 2 3 2 2 2 4 4 2 d 1 0 4 4 2 d 1 0 2 d 1 0 ⎡ ⎤ − _⎣ ⋅ γ + ⋅ ⋅ − ⋅ γ =_⎦ ∴ ⋅ γ + ⋅ ⋅ − ⋅ γ = ∴ γ + ⋅ − = 2 2 2 2 2 M 2 d 1 0 M 1 2 d M 1 2 d γ + ⋅ − = ∴ γ = − ⋅ ∴ γ = ± − ⋅

(20)

(

)

(

)

( j _N) 2 2 N ₂ 2 2 MAX M M 1 G R 2 d 1 ω = = ⋅ ⋅ γ + γ −

(

)

(

) (

)

2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 M M 1 1 1 R 4 d 8 d 4 d 4 d 1 4 d 1 2 d 1 2 d 1 = = = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ γ + γ − ⋅ ⋅ − ⋅ + − ⋅ −

(

)

₍

₎

2 2 4 2 2 ₂ ₂ 1 1 1 R R 4 d 4 d 4 d 1 2 d _{4 d} ₁ _{2 d} = = ∴ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ _{⋅ ⋅} _{− ⋅} ( )dB

₍

₎

2 2 1 R 20 Log 4 d 1 2 d ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = ⋅ ⎢ _{⋅ ⋅} _{− ⋅} ⎥ ⎣ ⎦

que pode ser simplificada, conforme abaixo:

( )dB 2

(

2

)

R = − ⋅10 Log 4 d_⎣⎡ ⋅ ⋅ 1 − d ⎤_⎦ para d≤ 0, 707 ; para d > 0, 707 então R 0= (13)

0 5 10 15 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 R em dB Fator de Amortecimento d

Fig. 23 - Pico na resposta em função do fator de amortecimento.

H L H L C F F ₁ _{a Fs} B F F a F 2 d Qtc 2 d Qts − _⋅ = = ∴ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ N N N N 1 1 2 d Qtc B ω − ⎛ ⎞ ω γ = = ⋅ ⋅ ⋅ ω −_⎜ _⎟ ω ⎝ ⎠

(21)

Freqüências dos Picos

As freqüências que correspondem aos picos na resposta podem ser obtidas conforme abaixo:

2 M 1 2 d γ = ± − ⋅ 2 2 2 2 M B Fc FM FM FC FM M B Fc FM FC 0 γ ⋅ ⋅ ⋅ = − ∴ − γ ⋅ ⋅ ⋅ − = 2 2 M M M C B Fc B Fc F F 2 2 γ ⋅ ⋅ ⎛γ ⋅ ⋅ ⎞ = ± _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ 2 M M M F B B 1 Fc 2 2 γ ⋅ ⎛γ ⋅ ⎞ = + _⎜ _⎟ +

⎝ ⎠ (para FM > interessa apenas a raiz soma) 0

2 2 2 M B 1 2 d B 1 2 d F 1 Fc 2 2 ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ = ± + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 M 2 B 1 2 d B 1 2 d F 1 Fc 2 2 ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ _⎜ ⋅ − ⋅ _⎟ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 M1 B 1 2 d B 1 2 d F 1 Fc 2 2 ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ = − + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Exemplo:

Em uma caixa band pass simétrica, de quarta ordem, calcule a amplitude dos picos e suas respectivas freqüências, sabendo-se que d = 0,440, B = 1 e Fc = 74,83 Hz.

( )dB 2

(

2

)

2

(

2

)

R = − ⋅10 Log 4 d_⎣⎡ ⋅ ⋅ 1 − d ⎤_⎦ = − ⋅10 Log 4 0, 44⎡_⎣ ⋅ ⋅ 1 − 0, 44 _⎦⎤ = 2 dB 2 2 2 M 2 1 1 2 0, 44 1 1 2 0, 44 F 1 0, 391 1, 074 1, 465 Fc 2 2 ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ = + + = + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ M1 F 0, 391 1, 074 0, 682 Fc = − + = M 2 M1 F = 1, 465 74,83⋅ = 109, 7 Hz ; F = 0, 682 74,83⋅ = 51,1 Hz

(22)

Módulos do polinômio normalizado da resposta, e seu quadrado (para facilitar a derivação na pesquisa dos pontos de máximo), sendo d = 0,440 , B = 1 e Fc = 74,83 Hz.

Fig. 24 - Eixo horizontal em escala linear, normalizada em relação a Fc.

Fig. 25 - Eixo horizontal em escala linear, em Hz.

(23)

Determinação das Freqüências

F e F1 2

onde

γ = ±1

(

)

(

)

(

)

(

)

( j _N) ( j 1,2_N) N N 2 2 2 2 ₂ ₂ 1,2 1,2 1 1 1 G G 2 d 2 d 1 2 d 1 ω = ∴ ω = ⋅ = ⋅ ⋅ γ + γ − ⋅ ⋅ γ + γ −

Conforme podemos constatar acima, para γ = ± teremos 1

( j 1,2_N) N 1 G 2 d ω = ⋅ o que leva a:

(

)

(

)

( j_{1,2 N}) 2 N 2 2 ₂ 2 1,2 1,2 1 1 G 4 d _{2 d} ₁ ω = ⋅ = ⋅ ⋅ γ + γ −

(

)

2

(

)

2 2 2 2 2 4 2 1,2 1,2 1,2 1,2 1,2 4 d⋅ = 2 d⋅ ⋅ γ + γ − 1 = 4 d⋅ ⋅γ + γ − ⋅ γ2 + 1

(

)

2 4 2 2 1,2 1,2 4 d⋅ = γ + 4 d⋅ − 2 ⋅ γ + 1

(

)

4 2 2 2 1,2 4 d 2 1,2 1 4 d 0 γ + ⋅ − ⋅ γ + − ⋅ =

(

)

2 2 2 2 1,2 x x 4 d 2 x 1 4 d 0 γ = ∴ + ⋅ − ⋅ + − ⋅ =

(

₂

)

2

(

₂

)

₍

₎

2 2 2 2 2 4 d 2 4 1 4 d 4 d 2 x 1 2 d 1 2 d 4 d 1 2 2 ⋅ − − ⋅ − ⋅ ⋅ − = − ± = − ⋅ ± − ⋅ + ⋅ −

(

)

2 2 2 2 x = 1 − ⋅2 d ± 1 − ⋅2 d + ⋅4 d − 1 2 2 4 2 2 4 2 2 x = 1 − ⋅2 d ± 1 − ⋅4 d + ⋅4 d + ⋅4 d − 1 = 1 − ⋅2 d ± 4 d⋅ = 1 − ⋅2 d ± ⋅ 2 d Para γ = ± ⇒ 1 x = 1 − ⋅2 d2 + ⋅2 d2 = 1 2 1,2 x 1 γ = = ∴ γ_1,2 = ± x = ± 1 = ± 1 1,2 C C 1,2 1,2 F F F F 1 B − γ = ± = ; 2 2 1,2 C 1,2 C C 1,2 C 1,2 F F F F B F F F F − ± = − = ⋅ 2 2 2 2 C 1,2 1,2 C 1,2 C 1,2 C B F F F F F B F F F 0 ± ⋅ ⋅ = − ∴ ∓ ⋅ ⋅ − =

(24)

2 2 C C 1,2 C B F B F F F 2 2 ⋅ ⎛ ⋅ ⎞ = ± _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ∓

Para F e ₁ F sempre positivas: ₂

2 2 C C 1,2 C B F B F F F 2 2 ⋅ ⎛ ⋅ ⎞ = + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ∓ 2 1,2 C B B F F 1 2 2 ⎡ _{⎛ ⎞} ⎤ ⎢ ⎥ = ⋅ + _{⎜ ⎟} + ⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ∓ 2 1 C F B B 1 F 2 2 ⎛ ⎞ = − + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ ; 2 2 C F B B 1 F 2 2 ⎛ ⎞ = + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ 1 B 2 d Qtc = ⋅ ⋅ 2 2,1 C F B B 1 F 2 2 ⎛ ⎞ = ± + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ 2 2 C F B B 1 F 2 2 ⎛ ⎞ = + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ ; 2 1 C F B B 1 F 2 2 ⎛ ⎞ = − + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ 2 2 2 1 C C F F B B B B 1 1 B F F 2 2 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + _{⎜ ⎟} + + − _{⎜ ⎟} + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 1 2 1 2 1 C ₂ ₁ 1 2 F F F F F F B F _{F F} F F − − = = = − ⋅ H L 2 1 C C F F F F a B a F F − ₌ _⋅ ₌ _⋅ −

(

)

H L 2 1 F − F = a⋅ F − F 2 2 2 1 2 1 2 C C C F F F F B B B B 1 1 F F F 2 2 2 2 ⎡ _{⎛ ⎞} ⎤ ⎡ _{⎛ ⎞} ⎤ ⋅ _⎢ _⎜ _⎟ _{⎥ ⎢} _⎜ _⎟ _⎥ ⋅ = = _⎢ + _⎜_⎜ _⎟_⎟ + _{⎥ ⎢}⋅ − + _⎜_⎜ _⎟_⎟ + _⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(25)

2 2 2 1 2 C F F B B 1 1 F 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ ₌ _⎜ _⎟ ₊ ₋ _⎜ _⎟ ₌ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 C 2 1 H L F = F F⋅ = F F⋅ Resposta Butterworth

No caso de uma resposta Butterworth, a 1 c 0 d 1

2 = ⇒ = ⇒ = Como a = 1, 2 H C F B B 1 F 2 2 ⎛ ⎞ = + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ ; 2 L C F B B 1 F 2 2 ⎛ ⎞ = − + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ E sendo 2 2 C F B B 1 F 2 2 ⎛ ⎞ = + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠ ; 2 1 C F B B 1 F 2 2 ⎛ ⎞ = − + _{⎜ ⎟} + ⎝ ⎠

Concluímos que, quando a resposta é do tipo Butterworth, FH = F2 e FL = F1 .

Outra solução para γ

Alem da solução anteriormente encontrada, para γ = ± , existe uma outra, que coexiste com a primeira, 1

sempre que d 1

2

< , onde γ será diferente de 1 mas

( j 1,2_N)

N

1 G

2 d

ω = ⋅ , o que mostraremos abaixo.

Conforme vimos antes, x = 1 − ⋅2 d2 ± ⋅ . Tomando agora a solução diferença, temos: 2 d2

2 2 2 2 2

x = 1 − ⋅2 d − ⋅2 d = 1 − ⋅4 d = γ ∴ γ = ± 1 − ⋅4 d

Logo, para γ ser real, d deverá ser menor ou igual a 0,5. Sendo esta condição satisfeita, teremos mais dois

valores de γ onde o módulo do ganho será, também, igual a 1

2 d⋅ : 2 2 22 1 4 d ; 11 1 4 d γ = − ⋅ γ = − − ⋅ 22 , 11 _C C 22 , 11 22 , 11 2 C 2 22 , 11 C 22 , 11 F F F F F F 1 4 d B 1 4 d B F F − γ = ± − ⋅ = ∴ − = ± ⋅ − ⋅

(26)

2 2 2 22 C B 1 4 d B 1 4 d F 1 F 2 2 ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ = + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 11 C B 1 4 d B 1 4 d F 1 F 2 2 ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ = − + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Exemplo:

Em uma caixa band pass simétrica, de quarta ordem, calcule as freqüências F e ₂ F , sabendo-se que ₁ d = 0,440, B = 1 e Fc = 74,83 Hz. ( j 1,2_N) N 1 1 G 1,1364 2 d 2 0, 44 ω = ⋅ = ⋅ =

(

)

(

)

( j 1,2_N) N dB G _ω = −20 Log 2 d⋅ ⋅ = − 20 Log 2 0.44⋅ ⋅ = 1,11 dB 2 2 2 2 C C F B B F 1 1 1 1 0, 5 1,118 1, 618 F 2 2 F 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + _{⎜ ⎟} + ∴ = + _{⎜ ⎟} + = + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 1 1 C C F B B F 1 1 1 1 0, 5 1,118 0, 618 F 2 2 F 2 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − + _{⎜ ⎟} + ∴ = − + _{⎜ ⎟} + = − + = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 F = Fc 1, 680⋅ = 74, 83 1, 618⋅ = 121,1

Hz 1 F = Fc 0, 618⋅ = 74, 83 0, 618⋅ = 46,2 Hz

Como d < 0,5 , teremos ainda γ_22,11 = ± 1 − ⋅4 d2 = ± 1 − ⋅4 0, 442 = ± 0, 4750

2 2 2 22 C 1 1 4 0, 44 1 1 4 0, 44 F 1 0.2375 + 1.0278 = 1.2653 F 2 2 ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ = + + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 2 2 11 C B 1 4 d B 1 4 d F 1 0.2375 + 1.0278 = 0.7903 F 2 2 ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ = − + + = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 22 F = Fc 1,2653⋅ = 74, 83 1,2653⋅ = 94,7

Hz 11 F = Fc 0, 7903⋅ = 74, 83 0, 7903⋅ = 59,1 Hz

(27)

Respostas para d = 0,440 , B = 1 e Fc = 74,83 Hz −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 γ Resposta em dB

Fig. 27 - Notar os valores de γ que tornam o módulo do polinômio igual a 1/2d, no caso 1,1 dB.

10−1 100 101 −40 −30 −20 −10 0 10 f / Fc Resposta em dB

Fig. 28 - Resposta normalizada, mostrando as freqüências onde o módulo vale 1/2d, no caso 1,1 dB.

40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 Freqüência em Hz Resposta em dB

(28)

Deslocamento do cone

( ) 2 C S 2 2 2 C 2 2 2 C b C 2 b s Ud Sd Xd Pg s Sd Mms s Sd s s B s 2 d B 1 s 1 = ω = ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ⋅ ⋅ ₊ _⋅ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ω ω ₊ ω ω ( )S 2 2 2 2 C 2 2 2 C b C 2 b Sd 1 Xd Pg Mms s s B s 2 d B 1 s 1 = ⋅ ⋅ ω ⋅ ₊ _⋅ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ω ω ₊ ω ω 2 S 2 2 C C Sd Pg Pg Sd Cms Mms ω ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ω ( ) 2 S 2 S 2 2 2 2 2 2 C b C 2 b C Pg Sd C 1 Xd s s B s 2 d B 1 s 1 ms = ⋅ + ⋅ + ⋅ ω ⋅ ⋅ + ω ω ₊ ω ⋅ ω ⋅ ⋅ ω ( ) 2 2 2 S b S 2 2 2 2 2 2 C 2 2 2 2 2 2 C b b C b b s 1 Xd Pg Sd Cms s s s s s s 1 B 2 d B 1 1 + ω ω = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω _⎜ _⎟ _⎜ _⎟ ⎟ ⎟ ⋅_⎜_⎜⎜ + _⎟_⎟ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ + + ω ⎝ω ⎠ ω ω ⎝ω ⎠ ω ( ) 2 2 2 S b S 2 4 2 2 3 2 2 C 2 2 2 2 2 2 b C C b b C C b s 1 Xd Pg Sd Cms s s s s s s B 2 d B 2 d B 1 + ω ω = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω ₊ ₊ _⋅ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ₊ ω ⋅ ω ω ω ω ⋅ ω ω ω ( )

(

)

2 2 2 S b S 2 4 3 2 2 2 C 2 2 2 2 2 b C b C C b C s 1 Xd Pg Sd Cms s s s s s 2 d B B 1 2 d B 1 + ω ω = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω Como

(

E

)

L Pg Eg Rg R Sd β = ⋅ + ⋅ , temos:

(29)

(

)

(

)

2 2 S S 2 2 2 C _E C _E S 2 C Sd Cms L Sd Cms Pg Eg Rg L Cms R Sd Eg Rg R ⋅ ⋅ ω β ⋅ ⋅ ω ⋅ = ⋅ ⋅ = ω ₊ _⋅ ω ⋅ ω β + ω ⋅ ⋅ ( )

(

)

2 2 b S 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 b C b C C b C 2 S 2 C E s 1 Xd s s s s s 2 d B B 1 2 d B 1 L Cms Eg Rg R ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅⎜_⎜_⎜ω + _⎟_⎟ ⎝ ⎠ = + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω ω β ⋅ ω ⋅ ⋅ + ( )S X X ( )S ( )S X ( )S ( )S X ( )S Xd = Eg⋅ σ ⋅K ⋅GX ; X = K ⋅GX ; Xd = Eg⋅ σ ⋅X

Tabela 1 - Componentes da Função Deslocamento do Cone

( )S X X ( )S

Xd = Eg⋅ σ ⋅K ⋅GX Função deslocamento do cone Metro

Eg Tensão aplicada Volt

X E L Cms Rg R β ⋅ σ =

+ Sensibilidade estática (DC) ao deslocamento metro/Volt

2 2 S S 2 2 C C F 1 K ( ) F 9 x = ω = ω Constante de deslocamento - ( )S

GX Polinômio do deslocamento do cone -

( )S X ( )S

X = K ⋅GX Deslocamento normalizado do cone -

( )

(

)

2 2 b S 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 b C b C C b C s ₁ GX s s s s s 2 d B B 1 2 d B 1 + ω = + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω ( )

(

)

2 2 b X S 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 b C b C C b C s ₁ X K s s s s s 2 d B B 1 2 d B 1 + ω = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω ( )

(

)

2 2 b j 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 b C b C C b C 1 GX j 2 d B B 1 j 2 d B 1 ω ω − ω = ω ω ω ω ω − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω

(30)

( )

(

)

2 2 b j 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 b C C b C b C 1 GX B 1 1 j 2 d B j 2 d B ω ω − ω = ω ω ω ω ω − − + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ ω ω ω ω ω ⋅ ω ( )

(

)

2 2 b j ₄ ₂ ₂ ₂ 2 2 2 2 2 2 b C C b C b 1 GX B 1 1 j 2 d B 1 ω ω − ω = ⎛ ⎞ ω ω ω ω _⎜ _{ω ⎟}_⎟ − − + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ − _⎟_⎟ ω ⋅ ω ω ω ω ⎝ ω ⎠ ( )

(

)

2 2 2 2 b j ₄ ₂ ₂ 2 ₂ 2 2 2 2 2 2 2 b C C b C b 1 GX B 1 1 2 d B 1 ω ⎛ _{ω ⎟}⎞ ⎜ ₋ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ _ω ⎝ ⎠ = ⎡ ⎤ ⎡ _ω _ω _ω ⎤ _ω ⎛_⎜ _{ω ⎟}⎞ ⎢ ⎥ ⎢ − − + ⋅ + ⎥ + _⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜_⎜ − ⎟_⎟_⎥ ⎢_{ω ⋅ ω} _ω _ω ⎥ _ω ⎜_⎝ _ω ⎟_⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Para resposta simétrica, vem:

( )

(

)

2 2 C S 4 3 2 2 4 3 2 C C C C s 1 GX s _{2 d B} s _B ₂ s _{2 d B} s ₁ + ω = + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ω ω ω ω ( )

(

)

N 2 N S ₄ ₃ ₂ ₂ N N N N s 1 GX s 2 d B s B 2 s 2 d B s 1 + = + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ( ) ( ) N N 2 N X S S 1 s 20) X K D ( + = ⋅ ( )N

(

)

4 3 2 2 N N N N S D = s + 2 d B s⋅ ⋅ ⋅ + B +2 s⋅ + 2 d B s⋅ ⋅ ⋅ + 1 ( )

(

)

(

)

N 2 N j ₄ ₂ ₂ ₂ N N N N 1 GX B 2 1 j 2 d B 1 ω − ω = ω − + ⋅ ω + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅ − ω ( )

(

)

(

)

(

)

N 2 2 2 ₂ N X j 2 2 4 2 2 2 N N N N 1 X K B 2 1 (21) 2 d B 1 ω − ω = ⋅ ⎡_{ω −} ₊ _{⋅ ω} ₊ ⎤ ₊ ⎡ _{⋅ ⋅ ⋅ ω ⋅} _{− ω} ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(31)

Band pass simétrica, onde: d = 0,44 ; B = 1 ; Qtc = 1,136 ; Fc = 74,83 Hz ; Kx = (Fs / Fc)2 10−1 100 101 0 0.5 1 1.5 2 f / Fc

Deslocamento Normalizado do Cone

Kx 1 | GXn(jω) | Kx 2 | GXn(jω) | Kx₃ | GXn_(j ω) | Fig. 30 - Kx1 = 1 ; Kx2 = 60 / 74, 83 = 0, 64 ; Kx3 = 20 / 74, 83 = 0, 07 101 102 103 0 0.5 1 1.5 2 Freqüência em Hz

Kx₁ | GXn_(j_ω₎ | Kx 2 | GXn(jω) | Kx 3 | GXn(jω) | Fig. 31 - Kx1 = 1 ; Kx2 = 60 / 74, 83 = 0, 64 ; Kx3 = 20 / 74, 83 = 0, 07 20 40 60 80 100 120 140 160 180 0 0.5 1 1.5 2 Freqüência em Hz

Kx₁ | GXn_(j ω) | Kx 2 | GXn(jω) | Kx₃ | GXn_(j_ω₎ | Fig. 32 - Kx1 = 1 ; Kx2 = 60 / 74, 83 = 0, 64 ; Kx3 = 20 / 74, 83 = 0, 07

(32)

Respostas do deslocamento do cone, ao degrau, em função de d, para diversos valores de Qtc. 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo em Segundos Deslocamento Qtc = 1.5 Qtc = 1 Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6 Qtc = 0.4 Qtc = 0.2 Fig. 33 - d = 1,5 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo em Segundos Deslocamento do Cone Qtc = 1.5 Qtc = 1 Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6 Qtc = 0.4 Qtc = 0.2 Fig. 34 - d = 1,0 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo em Segundos Deslocamento do Cone Qtc = 1.5 Qtc = 1 Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6 Qtc = 0.4 Qtc = 0.2 Fig. 35 - d = 0,8

(33)

Respostas do deslocamento do cone, ao degrau, em função de d, para diversos valores de Qtc. 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo em Segundos Deslocamento do Cone Qtc = 1.5 Qtc = 1 Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6 Qtc = 0.4 Qtc = 0.2 Fig. 36 - d = 0,707 0 5 10 15 20 25 30 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 Tempo em Segundos Deslocamento do Cone Qtc = 1.5 Qtc = 1 Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6 Qtc = 0.4 Qtc = 0.2 Fig. 37 - d = 0,6 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 Tempo em Segundos Deslocamento do Cone Qtc = 1.5 Qtc = 1 Qtc = 0.8 Qts = 0.707 Qtc = 0.6 Qtc = 0.4 Qtc = 0.2 Fig. 38 - d = 0,4

(34)

Exemplos

Exemplo 1

Projetar um sistema BP, com resposta Butterworth e freqüências de corte em 20 e 40 Hz.

No caso de uma resposta Butterworth (a mais plana possível), R = 0 dB e d = 0,707. Nas Figs. 39 e 40 temos as Curvas de Resposta obtidas.

Devemos ressaltar que essa solução não é única, uma vez que a relação Fs/Qts pode ser satisfeita por uma infinidade de valores.

Como a resposta é Butterworth, F₂ = F_H e F₁ = F_L

2 C L H C L H C F = F F⋅ ∴ F = F F⋅ ∴ F = 20 40⋅ = 20⋅ 2 = 28, 28 Hz 2 1 H L C C F F F F 40 20 ₁ B F F 20 2 2 − − − = = = = ⋅

( )

2 PA 40 Log B 40 Log 6 dB 2 ⎛ ⎞ = − ⋅ = − ⋅ ⎜_⎜ ⎟_⎟ = ⎝ ⎠ 1 1 Qtc 1 2 1 2 d B ₂ 2 2 = = = ⋅ ⋅ _⋅ _⋅ C F Fs 20 2 20 2 Qtc Qts 1 ⋅ = = = ⋅ Arbitrando Fs = 22 Hz, teremos Qts 22 0, 778 20 2 = =

⋅ . Arbitrando Vas = 100 litros, vem:

2 2 C C F 20 2 F Fs 1 1 1 0, 6529 Fs 22 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞_⎟ _⎜ ⋅ _⎟ ⎜ ⎟ = ⋅ + α ∴ α = ⎝⎜⎜ ⎠⎟⎟ − ∴ α = ⎜⎜⎜_⎝ ⎟⎟_⎠ − = Vas 100 Vb 153 L 0, 6529 = = = α ( ) 2 2 2 2 1 1 1 d 0, 8621 2 Qts 2 d Qts ₂ 2 0, 778 2 = ∴ α = = = ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ α ⋅ ⋅ _⎜ _⎟ ⎟ ⋅ ⋅ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠

(35)

b2 2 Vas 100 V 121 L 0,8621 = = = α

Mantendo o Vas igual a 100 litros e supondo Fs = 20 Hz, teremos Qts 20 1 0, 707

20 2 2 = = = ⋅ . 2 20 2 1 1 20 ⎛ _⋅ ⎞_⎟ ⎜ _⎟ α = ⎜_⎜_⎜⎝ _⎟_⎟ − = ⎠ ; Vas 100 Vb 100 L 1 = = = α ( ) 2 2 2 1 1 1 2 d Qts ₂ ₂ 2 2 2 α = = = ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ _⎜ _⎟ ⎟ ⋅ ⋅ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ; b2 2 Vas 100 V 100 L 1 = = = α 101 102 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 Freqüência em Hz | G | e | G N | em dB | G | | G N | − 3 dB |G − 3| Picos

Fig. 39 - Polinômio da resposta e seu correspondente normalizado em amplitude, e os pontos de máximo e de – 3 dB.

10 20 30 40 50 60 70 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 Freqüência em Hz | G | e | G N | em dB | G | | G N | − 3 dB |G − 3| Picos

(36)

Exemplo 2

Especificar um falante adequado para um sistema Bandpass com os cortes em 40 Hz e 140 Hz e PA = 0 dB. Na Fig. 6 temos os valores encontrados, correspondentes a um falante com Fs = 60 Hz, Qts = 0,911 e Vas = 100 litros. A Fig. 7 mostra as respectivas curvas de Resposta e do Deslocamento do Cone.

Como esta solução não é única, as Figs. 8 e 9 mostram os resultados correspondentes a um falante com Fs = 40 Hz, Qts = 0,607 e Vas = 100 litros.

Nas Figs. 41 e 42 temos os resultados referentes a um falante com Fs = 20 Hz, Qts = 0,304 e Vas = 100 litros. PA = 0 ⇒ B = 1 C L H F = F F⋅ = 40 140⋅ = 74,83 Hz H L H L C C F F F F 140 40 B a 1.336 a F B F 1 40 140 − − − = ∴ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 2 2 2 2 a = c + c + 1 ∴ a = c + c + 1 ∴ a − c = c + 1

(

₂

)

2 ₂ ₄ ₂ ₂ ₂ ₄ ₂ a − c = c + 1 ∴ a − ⋅ ⋅ +2 a c c = c + 1 ∴ a − ⋅ ⋅2 a c = 1 4 4 2 2 a 1 1, 336 1 c 0, 6129 2 a 2 1.336 − − = = = ⋅ ⋅ 2 1 c 1 0, 6129 c 1 2 d d 0, 440 2 2 − − = − ⋅ ∴ = = = 1 1 Qtc 1,136 2 d B 2 0, 44 1 = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ C Fs F 40 140 65, 85 Qts Qtc 1,136 ⋅ = = =

Escolhendo um falante com Fs = 60 Hz e Vas = 100 litros, vem:

Fs 60

Qts 0, 911

65, 85 65, 85

(37)

2 C 2 2 S b1 F Vas 40 140 1 1 1, 556 1 0, 556 F V 60 ⋅ + α = ∴ α = = − = − = b1 Vas 100 V 180 0,556 = = = α litros

(

)

(

)

2 ₂ ₂ b2 2 1 Vas 1 1 d 1, 556 V _{2 d Qts} _{2 0, 44 0, 911} 2 Qts = ∴ α = = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ α b2 2 Vas 100 V 64, 3 1, 556 = = = α litros

Como B = 1, os módulos dos polinômios G_{( )}_j_ω e _{( )}

j

N

G _ω coincidem, conforme podemos ver abaixo.

101 102 103 −40 −30 −20 −10 0 10 Freqüência em Hz | G | e | G N | em dB | G | | G_N | − 3 dB |G − 3| Picos

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 Freqüência em Hz | G | e | G N | em dB | G | | G N | − 3 dB |G − 3| Picos

(38)

Exemplo 3

Utilizando um alto-falante com Fs = 40 Hz, Qts = 0,321 e Vas 100 litros, projetar um sistema Bandpass com um fator de amortecimento unitário, estando o corte inferior em 40 Hz.

Como d = 1, então R = 0 dB. Neste caso, a solução é única, estando os resultados mostrados nas Figs. 43 e 44. C F = Fs⋅ 1 + α

(

)

2 T B2 Vas B V 1 α = = ⋅ + α 2 C 1 2 L H F = F F⋅ = F F⋅ 1 1 2 d B B Qtc = ⋅ ⋅ ∴ = 2 d Qtc⋅ ⋅ ( ) ( ) 2 2 2 b2 2 b2 1 1 Vas d V 2 d Qts Vas 2 Qts 2 d Qts V = ∴ α = = ∴ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ α ⋅ ⋅ ( )2 ( )2 b2 V = 2 d Qts⋅ ⋅ ⋅Vas = 2 1 0, 321⋅ ⋅ ⋅100 = 41,2 L 2 2 c = 1 − 2 d⋅ = 1 − 2 1⋅ = − 1

( )

2 a = − + −1 1 + 1 = − +1 1 + 1 = − +1 1, 414 = 0, 414 = 0, 6236 a 0, 414 0,161 b 4 d Qtc 4 1 Qtc Qtc = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(

)

2 T 2 B2 b1 B2

Vas Vas Vas

B 1 B V V V 1 α = = ∴ α = − = ⋅ ⋅ + α 2 H , L C 0,161 0,161 F F 1 Qtc Qtc ⎡ _⎛ _⎞ ⎤ ⎢ ⎥ = ⋅ ± + _⎜ _⎟ + ⎢ _⎝ _⎠ ⎥ ⎣ ⎦ ; 2 H , L C F _0,161 _0,161 1 F Qtc Qtc ⎛ ⎞ = ± + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ 2 H , L C F _0,161 _0,161 1 F Qtc Qtc ⎛ ⎞ = + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ∓ ; 2 2 H , L C F _0,161 _0,161 1 F Qtc Qtc ⎛ ⎞ ₌ ⎛ ⎞ ₊ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ∓ ⎠ 2 2 2 H , L H , L 2 2 2 C C F F 0,161 0,161 0,161 2 1 F ∓ ⋅ F ⋅ Qtc + Qtc = Qtc + ; 2 H , L H , L 2 C C F F 0, 322 1 0 F ∓ F ⋅ Qtc − =

(39)

2 H , L C F 0,161 0,161 1 F Qtc Qtc ⎛ ⎞ = ± ± _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠

Para resultados positivos,

2 H , L C F _0,161 _0,161 1 F Qtc Qtc ⎛ ⎞ = ± + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ 2 H C F 0,161 0,161 1 F Qtc Qtc ⎛ ⎞ = + + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ ; 2 L C F 0,161 0,161 1 F Qtc Qtc ⎛ ⎞ = − + _⎜ _⎟ + ⎝ ⎠ 2 2 C C L C F F F 0,161 0,161 F Qtc Qtc ⎛ ⎞ = − ⋅ + _⎜ ⋅ _⎟ + ⎝ ⎠ pois C S F F Qtc = Qts 2 2 2 S S L C F F F 0,161 0,161 F Qts Qts ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + ⋅ = ⋅ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 C 40 40 40 0,161 0,161 F 0.321 0.321 ⎛ ₊ _⋅ ⎞ ₌ ⎛ _⋅ ⎞ ₊ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

(

)

2

( )

2 ₂ ₂ C C C 40 + 20 = 20 + F ∴ F = 3600 − 400 = 3200 ∴ F = 3200 = 40⋅ 2 Hz 2 2 C C H C F F F 0,161 0,161 F Qtc Qtc ⎛ ⎞ = ⋅ + _⎜ ⋅ _⎟ + ⎝ ⎠ ; 2 2 S S H C F F F 0,161 0,161 F Qts Qts ⎛ ⎞ = ⋅ + _⎜ ⋅ _⎟ + ⎝ ⎠

(

)

2 2 H 40 40 F 0,161 0,161 40 2 0, 321 0, 321 ⎛ ⎞ = ⋅ + _⎜ ⋅ _⎟ + ⋅ ⎝ ⎠

( )

₂

(

)

2 H F = 20 + 20 + 40⋅ 2 = 20 + 400 + 3200 = 20 + 60 = 80 Hz 2 2 C F 40 2 1 1 2 1 1 Fs 40 ⎛ ⋅ ⎞ ⎛ ⎞ α = ⎜ ⎟ − = ⎜_⎜ ⎟_⎟ − = − = ⎝ ⎠ _⎝ _⎠

(40)

b1 Vas 100 V 100 L 1 = = = α ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 b2 b2 1 Vas V 2 d Qts Vas 2 1 0, 321 100 41,2 L V 2 d Qts α = = ∴ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ 1 1 1 B 1,101 2 d Qtc 2 d Qts 1 2 1 0, 321 1 1 = = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + α ⋅ ⋅ ⋅ +

( )

(

)

Pa = − 40 Log B⋅ = − 40 Log 1,101⋅ = −1, 7 dB 101 102 103 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 Freqüência em Hz | G | e | G N | em dB | G | | G_N | − 3 dB |G − 3| Picos

20 40 60 80 100 120 140 −20 −15 −10 −5 0 Freqüência em Hz | G | e | G N | em dB | G | | G N | − 3 dB |G − 3| Picos

(41)

O Lado Elétrico

Fig. 45 - Circuito equivalente visto pelo lado elétrico.

( )

(

)

2 2 1 L Re t Sd Ras Rab β = ⋅ + ; 2 b 2 1 Lceb Cmep ω = ⋅ 2 2 ₂ 2 _b 2 2 s 1 s Lceb Cmep 1 1 Zeb s Lceb

s Cmep s Cmep s Cmep

+ ⋅ ⋅ + _ω = ⋅ + = = ⋅ ⋅ ⋅ E 2 2 2 b 1 1 Z ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ _{s Cmep} s Cmes s Cmes s

Re t s Lcet Zeb Re t s Lcet ₁

= = _⋅ + ⋅ + + + ⋅ + + ⋅ ⋅ ₊ ω E 2 2 2 2 b s Lcet Z

Lcet Lcet Cmep

s s Lcet Cmes 1 s s Re t ₁ ⋅ = _⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ + ω E 2 2 C 2 2 C b s Lcet

Z _Lcet _{Lcet Cmep}

s Lcet Cmes R s 1 s e t R s Re t e 1 t ⋅ ⋅ = ⋅ _⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ω ω + + ⋅ + ω 2 C 1 Lcet Cmes ω = ⋅ ; C 1 Lcet Qtc Re t ω ⋅ = C C E 2 2 C 2 2 C C 2 b s Lcet Re t Z Re t

s s Lcet Lcet Cmep

1 s s Re t ₁ ω ⋅ ⋅ ω = ⋅ ω ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ω ω ₊ ω

(42)

C E 2 2 2 2 C C 2 b s 1 Qtc Z Re t s s 1 Lcet Cmep 1 s s Qtc ₁ ⋅ ω = ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ω ω ₊ ω 2 2 C b E ₂ ₂ 2 2 2 b C C 1 s s 1 Qtc Z Ret s s s 1 1 1 s Lcet Cmep Qtc ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = ⋅_⎛ _{⎞ ⎛} _⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ₊ _⎟_⋅⎜ ₊ _⋅ ₊ _⎟ ₊ _⋅ _⋅ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ω ⎜ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 b 2 2 b 2 1 1 Cmep

Lceb Cmep Lceb

ω = ∴ = ⋅ ω ⋅ 2 2 C b E ₂ ₂ ₂ 2 2 2 b C C b 2 1 s s 1 Qtc Z Ret s s s 1 s Lcet 1 1 Qtc Lceb ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅_ω ⋅⎜_⎜_⎜_ω + _⎟_⎟ ⎝ ⎠ = ⋅_⎛ _{⎞ ⎛} _⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ₊ _⎟_⋅⎜ ₊ _⋅ ₊ _⎟ ₊ _⋅ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ω ⎜ω ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 2 2 2

Lcet Cat Cas 1

B

Lceb Cab Cab 1 1

α = = ⋅ = = + α + α 2 2 C b E ₂ ₂ ₂ 2 2 2 2 b C C b 1 s s 1 Qtc Z Ret s s s 1 s 1 1 B Qtc ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = ⋅_⎛ _{⎞ ⎛} _⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ₊ _⎟_⋅⎜ ₊ _⋅ ₊ _⎟ ₊ _⋅ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ω ⎜ω ω ω ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 2 C b E 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b C b C b C C b 1 s s 1 Qtc Z Ret s s 1 s s s 1 s 1 B Qtc Qtc ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = ⋅_⎛ ⎞⎟ ⎜ ₊ _⋅ ₊ ₊ ₊ _⋅ ₊ _⎟ ₊ _⋅ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω ω ⎝ ⎠ 2 2 C b E 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b C b C b b C C 1 s s 1 Qtc Z Ret s s 1 s s s s 1 B 1 Qtc Qtc ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω ω

(43)

(

)

2 2 C b E 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 b C b C b C C 1 s s 1 Qtc Z Ret s s 1 s s s 1 1 B 1 Qtc Qtc ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + + + ⋅ + ω ⋅ ω ω ⋅ ω ω ω ω 2 2 C b E ₄ ₃ 2 2 2 2 2 2 2 b C b C b C C 1 s s 1 Qtc Z Ret 1 B s s 1 1 s 1 s 1 Qtc Qtc ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = ⋅ _⎛ _⎞ + _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ + ⋅ + ⋅_⎜ + _⎟_⎟ + ⋅ + ⎜ ω ⋅ ω ω ⋅ ω _⎜⎝ ω ω ⎟_⎠ ω VC E E Z = Rg + R + Z 2 2 C b VC E ₄ ₃ 2 2 2 2 2 2 2 b C b C b C C 1 s s 1 Qtc Z Rg R Ret 1 B s s 1 1 s 1 s 1 Qtc Qtc ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = + + ⋅ ⎛ ₊ ⎞_⎟ ⎜ _⎟ ⎜ + ⋅ + ⋅_⎜ + _⎟_⎟ + ⋅ + ⎜ ω ⋅ ω ω ⋅ ω _⎜⎝ ω ω ⎟_⎠ ω

Para uma resposta simétrica, ω = ω_C _b

(

)

2 2 C C VC E 4 3 2 2 4 3 2 C C C C 1 s s 1 Qtc Z Rg R Re t s s 1 s s 1 B 2 1 Qtc Qtc ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = + + ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ω ω ω ω Como 1 2 d B Qtc = ⋅ ⋅ , vem:

(

)

2 2 C C VC E 4 3 2 2 4 3 2 C C C C 1 s s 1 Qtc Z Rg R Re t s s s s 2 d B B 2 2 d B 1 ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ω ω ω ω

Se Rab for desprezível, ₁ Re t Re s

(

)

2 2 C C VC E 4 3 2 2 4 3 2 C C C C 1 s s 1 Qtc Z Rg R Re s s s s s 2 d B B 2 2 d B 1 ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ω ω ω ω

(44)

Desprezando Rg, vem:

(

)

2 2 C C VC E 4 3 2 2 4 3 2 C C C C 1 s s 1 Qtc Z R Re s s s s s 2 d B B 2 2 d B 1 ⎛ _⎞⎟ ⎜ _⎟ ⋅ ⋅⎜_⎜_⎜ + _⎟_⎟ ω ⎝ω ⎠ = + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ω ω ω ω

(

)

2 2 C C VC E 4 3 2 2 E 4 3 2 C C C C 1 s s 1 Qtc Re s Z R 1 R s s s s 2 d B B 2 2 d B 1 ⎡ ⎛_⎜ _⎞⎟ ⎤ ⎢ _⋅ _⋅_⎜ ₊ _⎟_⎟ ⎥ ⎢ _ω ⎜⎜_⎝_ω ⎟_⎠ ⎥ ⎢ ⎥ = ⋅_⎢ + ⋅ _⎥ ⎢ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ _⋅ ₊ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ⎥ ⎢ _ω _ω _ω _ω ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ E E E R Re s Re s Qms Qms ; R Qes R Qts + = =

(

)

2 2 C C VC E 4 3 2 2 4 3 2 C C C C 1 s s 1 Qtc Qms Z R 1 Qes s s s s 2 d B B 2 2 d B 1 ⎡ ⎛_⎜ _⎞⎟ ⎤ ⎢ _⋅ _⋅_⎜ ₊ _⎟_⎟ ⎥ ⎢ ω ⎜⎜⎝ω ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎥ = ⋅_⎢ + ⋅ _⎥ ⎢ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ _⋅ ₊ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ⎥ ⎢ _ω _ω _ω _ω ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(

)

2 2 C C VC E 4 3 2 2 4 3 2 C C C C s s Qms 1 Qes Qtc Z R 1 s s s s 2 d B B 2 2 d B 1 ⎡ ⎛_⎜ _⎞⎟ ⎤ ⎢ _⋅_⎜ ₊ _⎟_⎟_⋅ ⎥ ⎢ ω ⎜⎜⎝ω ⎟⎠ ⋅ ⎥ ⎢ ⎥ = ⋅_⎢ + _⎥ ⎢ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ _⋅ ₊ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ⎥ ⎢ _ω _ω _ω _ω ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(

)

(

)

4 3 2 2 2 4 3 2 2 C C C C C C VC E 4 3 2 2 4 3 2 C C C C s s s s s s Qms 2 d B B 2 2 d B 1 1 Qes Qtc Z R s s s s 2 d B B 2 2 d B 1 ⎡ ⎛_⎜ _⎞⎟ ⎤ ⎢ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ _⋅ ₊ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ₊ _⋅_⎜ ₊ _⎟_⎟_⋅ ⎥ ⎢_ω _ω _ω _ω _ω ⎜⎜_⎝_ω ⎟_⎠ _⋅ ⎥ ⎢ ⎥ = _{⋅ ⎢} _⎥ ⎢ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ _⋅ ₊ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ⎥ ⎢ _ω _ω _ω _ω ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(

)

(

)

4 3 2 2 4 3 2 C C C C VC E 4 3 2 2 4 3 2 C C C C s s Qms s s Qms 2 d B B 2 2 d B 1 Qes Qtc Qes Qtc Z R s s s s 2 d B B 2 2 d B 1 ⎛ ⎞_⎟ ⎛ ⎞_⎟ ⎜ ⎜ + ⋅ ⋅ ⋅_⎜⎜ + _⎟_⎟⎟ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅⎜_⎜ + ⎟_⎟_⎟ + ω ω ⎝ ⋅ ⎠ ω ω ⎝ ⋅ ⎠ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ω ω ω ω VC E VC Z = R ⋅GZ

(45)

( )

(

)

(

)

4 3 2 2 4 3 2 C C C C j 4 3 2 2 4 3 2 C C C C Qms Qms j 2 d B B 2 j 2 d B 1 Qes Qtc Qes Qtc GZvc j 2 d B B 2 j 2 d B 1 ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω _{− ⋅} ω _⋅_⎜ _{⋅ ⋅} ₊ _⎟₋ ω _⋅ ₊ _{+ ⋅} ω _{⋅ ⋅ ⋅}_⎜ ₊ _⎟ ₊ ⎟ ⎟ ⎜ _⎟_⎟ ⎜ _⎟_⎟ ⎜ ⎜ ω ω ⎝ ⋅ ⎠ ω ω ⎝ ⋅ ⎠ = ω _{− ⋅} ω _{⋅ ⋅ ⋅} ₋ ω _⋅ ₊ _{+ ⋅} ω _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ω ω ω ω ( )

(

)

(

)

4 2 2 2 4 2 2 C C C C j ₄ ₂ ₂ 2 4 2 2 C C C C Qms B 2 1 j 1 2 d B Qes Qtc GZvc B 2 1 j 1 2 d B ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ω ₋ ω _⋅ ₊ ₊ _{+ ⋅} ω _⋅_⎜ ₋ _{ω ⎟}_⎟_⋅_⎜ _{⋅ ⋅} ₊ _⎟ ⎟ ⎜ _⎟ ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ω ω ω ⎝ ω ⎠ ⎝ ⋅ ⎠ = ⎛ ⎞ ω ₋ ω _⋅ ₊ ₊ _{+ ⋅} ω _⋅_⎜ ₋ _{ω ⎟}_⎟ _{⋅ ⋅ ⋅} ⎜ _⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ω ω ω ⎝ ω ⎠ ( )

(

)

(

)

2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 C C C C j ₄ ₂ 2 ₂ 2 2 4 2 2 C C C C Qms B 2 1 1 2 d B Qes Qtc | GZvc | B 2 1 2 d B 1 ω ⎡ ⎤ ⎡_ω _ω ⎤ _⎢ _ω ⎛_⎜ _{ω ⎟}⎞ ⎛_⎜ ⎞_⎟_⎥ ⎢ ₋ _⋅ ₊ ₊ ⎥ ₊ _⋅_⎜ ₋ _⎟_⎟_⋅_⎜ _{⋅ ⋅} ₊ _⎟_⎟ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎢_ω _ω ⎥ _ω ⎜_⎝ _ω ⎟_⎠ ⎜_⎝ _⋅ _⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎤ ⎡_ω _ω ⎤ _ω ⎛_⎜ _{ω ⎟}⎞ ⎢ ⎥ ⎢ − ⋅ + + ⎥ + _⎢ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜_⎜ − ⎟_⎟_⎥ ⎢ω ω ⎥ ω ⎜⎝ ω ⎟⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( )

(

)

(

)

2 2 2 2 C C C C 1 1 j 4 2 4 2 2 2 4 2 4 2 C C C C Qms 1 2 d B 1 2 d B Qes Qtc tg tg B 2 1 B 2 1 − − ω ⎡ _ω ⎛_⎜ _ω _⎟⎞ _⎜⎛ ⎞_⎟⎤ ⎡ _ω ⎛_⎜ _ω ⎞_⎟ ⎤ ⎢ _⋅_⎜ ₋ _⎟_⎟_{⋅ ⋅ ⋅}_⎜ ₊ _⎟_⎟⎥ ⎢ _⋅_⎜ ₋ _⎟_⎟_{⋅ ⋅ ⋅} ⎥ ⎢ω ⎝⎜⎜ ω ⎟⎠ ⎜⎝ ⋅ ⎟⎠⎥ ⎢ ω ⎝⎜⎜ ω ⎟⎠ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Θ = _⎢ _⎥ − _⎢ _⎥ ω ω ω ω ⎢ ₋ _⋅ ₊ ₊ ⎥ ⎢ ₋ _⋅ ₊ ₊ ⎥ ⎢ _ω _ω ⎥ ⎢_ω _ω ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Normalizando em Relação à Fc

(

)

(

)

4 3 2 2 N N N N VC E ₄ ₃ ₂ ₂ N N N N Qms Qms s s 2 d B s B 2 s 2 d B 1 Qes Qtc Qes Qtc Z R s s 2 d B s B 2 s 2 d B 1 ⎛ ⎞_⎟ ⎛ ⎞_⎟ ⎜ ⎜ + ⋅_⎜_⎜ ⋅ ⋅ + _⎟⎟_⎟ + ⋅ + + ⋅_⎜_⎜ ⋅ ⋅ + ⎟_⎟_⎟ + ⋅ ⋅ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

N 4 2 2 2 N N N N j ₄ ₂ ₂ ₂ N N N N Qms s s B 2 1 j s 1 s 2 d B Qes Qtc GZvc s s B 2 1 j s 1 s 2 d B ω ⎛ _⎞⎟ ⎜ − ⋅ + + + ⋅ ⋅ − ⋅⎜_⎝_⎜ ⋅ ⋅ + _⋅ _⎟⎟⎟_⎠ = − ⋅ + + + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

N 2 2 4 2 2 2 N N N N 2 j 2 2 4 2 2 2 N N N N Qms s s B 2 1 s 1 s 2 d B Qes Qtc | GZvc | s s B 2 1 s 2 d B 1 s ω ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎡ − ⋅ + + ⎤ + ⎢ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅⎜⎜ + ⎟⎟⎥ ⎢ ⎥ _⎢ _⎜ _⎟⎟_⎥ ⎣ ⎦ _⎣ ⎝ ⋅ ⎠_⎦ = ⎡ ₋ _⋅ ₊ ₊ ⎤ ₊ ⎡ _{⋅ ⋅ ⋅ ⋅} ₋ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( )

(

)

(

)

(

)

N 2 2 N N N N 1 1 j ₄ ₂ ₂ ₄ ₂ ₂ N N N N Qms s 1 s 2 d B _s ₁ _s _{2 d B} Qes Qtc tg tg s s B 2 1 s s B 2 1 − − ω ⎡ ⎛_⎜ _⎞⎟⎤ ⎢ _⋅ ₋ _{⋅ ⋅ ⋅}_⎜ ₊ _⎟_⎟⎥ _⎡ _⋅ ₋ _{⋅ ⋅ ⋅} _⎤ ⎟ ⎢ ⎜_⎝ _⋅ _⎠⎥ _⎢ _⎥ ⎢ ⎥ Θ = _⎢ _⎥ − ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − ⋅ + + − ⋅ + + ⎢ ⎥ _⎢_⎣ _⎥_⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(46)

Band pass simétrica, onde: d = 0,44 ; B = 1 ; Qtc = 1,136 ; Fc = 74,83 Hz ; Qts = 0,911 e Fs = 60 Hz 10−1 100 101 −2 0 2 4 6 8 10 12 f / Fc

| GZvc | em Ohms e Fase em Rad

Módulo Fase

Fig. 46 - Módulo de GZvc e fase em radianos, normalizados em relação à Fc.

101 102 103 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 Freqüência em Hz

| Zvc | em Ohms e Fase em Grau

s

Módulo Fase

Fig. 47 - Módulo de Zvc e fase em graus em função da freqüência.

20 40 60 80 100 120 140 160 180 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 Freqüência em Hz

| Zvc | em Ohms e Fase em Grau

s

Módulo Fase

(47)

Eficiência

A proposta de Thiele e Small

A eficiência de um alto-falante, ou caixa acústica, é definida como sendo o cociente entre a potência acústica obtida e a potência elétrica aplicada:

A

E

W W η =

onde a potência acústica é aquela dissipada na componente resistiva da impedância de radiação Rar, sendo esta, aproximadamente, dada por:

C 2 Rar 2 ⋅ π ω ⋅ ρ =

Então, WA = Rar Up⋅ _{( )}S 2 , pois, no caso de uma band pass de quarta ordem, a velocidade volumétrica é

aquela no duto.

(

)

2 C 4 3 C ₂ ₂ 2 2 2 2 2 b C b C b C C s Sd Up Pg Mms _s _{s 2 d B} ₁ ₁ _{s 2 d B} s 1 B 1 ω = ⋅ ⋅ ω ⋅ _{⋅ ⋅ ⋅} ⎡ ⎤ _{⋅ ⋅ ⋅} ⎢ ⎥ + + ⋅_⎢ ⋅ + + _⎥ + + ω ⋅ ω ω ⋅ ω _⎣ω ω _⎦ ω

Para uma resposta simétrica:

(

)

2 C 4 3 2 2 C 4 3 2 C C C C s Sd Up Pg Mms s s 2 d B s s 2 d B B 2 1 ω = ⋅ ⋅ ω ⋅ ₊ ⋅ ⋅ ⋅ ₊ _⋅ ₊ ₊ ⋅ ⋅ ⋅ ₊ ω ω ω ω

(

)

2 4 3 2 2 4 3 2 C C C C 2 2 C Sd Up Pg Mms s s 2 d B s s 2 d B B 2 1 s s = ⋅ ⋅ ⋅ ₊ ⋅ ⋅ ⋅ ₊ _⋅ ₊ ₊ ⋅ ⋅ ⋅ ₊ ω ω ω ω ω

(

)

2 2 N 4 3 2 2 N N N N Sd s Up Pg s Mms s s 2 d B s B 2 s 2 d B 1 = ⋅ ⋅ ⋅ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ _⋅ ₊ ₊ _{⋅ ⋅ ⋅} ₊ ( )

(

)

N 2 N S ₄ ₃ ₂ ₂ N N N N s G s s 2 d B s B 2 s 2 d B 1 = + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅ ⋅ + ( )N ( )N 2 2 S S Sd Sd 1 Up Pg G Pg G s Mms Mms s = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

(48)

Como

(

E

)

L Pg Eg Rg R Sd β = ⋅ + ⋅ , vem:

(

)

( )N 2 E S L Eg Rg R Sd Sd 1 Up G Mms s + ⋅ ⋅ ⋅ β ⋅ = ⋅ ( )SN E L Sd 1 Up Eg G Rg R Mms s β = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( ) ( )N 2 2 ₂ 2 A S 2 S E L Sd 1 W Rar Up Eg G 2 C Rg R Mms s ⎡ ⎤ ρ ⋅ ω _⎢ β _⎥ = ⋅ = ⋅_⎢ ⋅ ⋅ _⎥ ⋅ ⋅ π ⋅ _⎢_⎣ + _⎥_⎦ ( )N 2 2 ₂ A S E L Sd W Eg G 2 C Rg R Mms s ⎡ ⎤ ρ _⎢ β _⎥ ⎛ ⎞_⎜ω_⎟ = ⋅_⎢ ⋅ ⋅ _{⎥ ⎜ ⎟}⋅_{⎝ ⎠}_⎟ ⋅ π ⋅ _⎢_⎣ + _⎥_⎦ ( )N 2 2 A S E L Sd W Eg G 2 C Rg R Mms s ⎡ ⎤ ρ _⎢ β _⎥ ω = ⋅_⎢ ⋅ ⋅ _⎥ ⋅ ⋅ π ⋅ _⎢_⎣ + _⎥_⎦ ( )N ( N) ( N) 2 2 ₂ S j j G G G s j ω ω ω_⋅ ₌ ω _⋅ ₌ ω ( ) ( N) 2 2 2 A S j E L Sd W Rar Up Eg G 2 C Rg R Mms ω ⎡ ⎤ ρ _⎢ β _⎥ = ⋅ = ⋅_⎢ ⋅ ⋅ _⎥ ⋅ π ⋅ _⎢_⎣ + _⎥_⎦

Thiele e Small definiram a potência elétrica absorvida pelo falante como sendo aquela dissipada em

RE , que possui um valor aproximadamente igual ao valor da impedância mínima do falante.

Esta simplificação permite a obtenção de uma equação mais fácil de manipular que, embora útil na comparação de falantes, não retrata perfeitamente o fenômeno, uma vez que a potência elétrica absorvida varia com a freqüência.

Assim sendo, devemos considerar a eficiência de referencia como sendo válida nas vizinhanças da impedância nominal. 2 E E E Eg W R Rg R ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ = _{⋅ ⎢} _⎥ + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

(49)

(

)

( N) 2 2 E A BP 2 j E E E L Sd Eg 2 C Rg R Mms W G W _Eg R Rg R ω ⎡ ⎤ ρ _⋅ _⋅ β _⋅ ⎢ ⎥ π⋅ _⎣ + _⎦ η = = ⋅ ⎡ ⎤ ⋅ ⎢ ₊ ⎥ ⎣ ⎦

( )

( N) 2 2 2 BP j E L Sd G 2 C R Mms ω β ρ ⎛ ⎞ η = ⋅ ⋅_⎜ _⎟ ⋅ π⋅ ⎝ ⎠

( )

2 2 10 3

_{( )}

S O E L Sd 9, 6 10 F Vas 2 C R Mms Q se 22 − β ⋅ ⋅ ⋅ ρ ⎛ ⎞ η = ⋅ ⋅_⎜ _⎟ = π⋅ ⎝ ⎠ ( N) 2 BP O G jω η = η ⋅

Calculando a eficiência para ω = ωC, ou seja, na freqüência central da banda passante, teremos:

( )

(

)

(

)

N 4 2 BP O j O ₂ ₂ 2 1/ B G 2 d 1 ω η = η ⋅ = η ⋅ ⋅ ⋅ γ + γ −

Como γ = 0 para ω = ω_C , temos:

O BP 4 B (23) η η = BP 4 O 1 B η ∴ = η

Assim, podemos dizer que a eficiência de uma caixa band pass, simétrica, de quarta ordem, na freqüência Fc, comparada à eficiência do mesmo alto-falante, instalado em uma caixa tipo radiador direto (fechada, refletor de graves, radiador passivo) será igual a 1/ B (guardadas as devidas ressalvas quanto à 4 aproximação feita na análise).

Outra abordagem

Se calcularmos a potência elétrica como sendo uma função da freqüência, ao invés de considerá-la constante, conforme fizemos anteriormente, teremos um resultado muito mais geral, capaz de mostrar como a eficiência varia com a freqüência.

O resultado obtido antes se torna um caso particular para a freqüência central Fc, como veremos a seguir.

(j N) E (j N) (j N) E (j N)