Simulação numérica de equações de conservação usando esquemas "upwind

(1)

Simulação numérica de equações de conservação

usando esquemas "upwind"

(2)

(3)

Simulação numérica de equações de conservação

usando esquemas "upwind"

Juliana Bertoco

Orientador:

Prof. Dr. Valdemir Garcia Ferreira

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências

Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte

dos requisitos para obtenção do título de Mestre em

Ciências - Ciências de Computação e Matemática

Computacional.

VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos

Junho de 2012

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

(4)

e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

B482s

Bertoco, Juliana

Simulação numérica de equações de conservação usando

esquemas \"upwind\" / Juliana Bertoco; orientador

Valdemir Garcia Ferreira. -- São Carlos, 2012.

139 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em

Ciências de Computação e Matemática Computacional)

--Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação,

Universidade de São Paulo, 2012.

(5)

É preisodeixar maras de eterno por onde passamos e om quem onvivemos.

(6)

(7)

Primeiramente, agradeço à Deus, meu riador e amigo, pelodom de minha vida e porSua

presença à iluminarmeu aminhoao longodeste trabalho.

Aos meus queridos pais, Osar e MariaMarta, pelas orações, paiêia,ompreensão e pelo

grandeapoioaolongo de meus estudos. A minha irmãJoie, aomeu irmão Daniloeaos meus

unhados Mauro e Edivânia por todo arinho, apoio, torida. E ainda, de maneira espeial,

aos meus sobrinhos Lara, Heitor e Eloá por todos os momentos de risos e sapequies que me

transbordam de alegria.

Ao meu orientador Prof. Dr. Valdemir Garia Ferreira pela disponibilidade, paiênia,

apoioe prinipalmenteporseus ensinamentos.

À minha amiga Gabriela Apareida dos Reis por sua amizade, paiênia, arinho, apoio e

por todos osbons momentos.

Aos amigos do LMACC-USP por toda a ajuda, ensinamentos, paiênia e trabalho em

equipe.

Aosmeus irmãos de GOU, portodas as oraçõese pelos intensos momentosde fé ealegria.

Aos funionáriosdo ICMC-USP por toda dediação e apoio, emespeial à Leonardo

Mar-tinussi pela prontidão e paiênia.

À todos os professores do ICMC-USP pelos ensinamentos e disponibilidade ao longo de

todos estes anos de estudo.

À CAPES pelosuporte naneiro nodesenvolvimento deste projeto de pesquisa.

(8)

(9)

Umafamília de esquemas upwind denominadaFUS-RF (Family of Upwind Sheme via

Rational Funtions), queé derivada via funçõesraionaise dependentes de parâmetros, é

pro-posta para o álulo de soluções aproximadas de equações de onservação. A m de ilustrar

aapaidade dos novos esquemas,váriosresultados omputaionais para sistemashiperbólios

de leis de onservação são apresentados. Esses testes mostram a inuênia dos parâmetros

esolhidossobre aqualidadedos resultadosnumérios. Fazendoouso dealgunstestes padrões,

omparação dos novos limitadores de uxo orrespondentes om o esquema bem estabeleido

vanAlbada eesquemaatual EPUS(Eight-degree PolynomialUpwind Sheme) étambém

reali-zada. Ostestes numérios realizados em transporte de esalares e problemas de dinâmiados

gasesonrmamquealgunsesquemasdafamíliaFUS-RFsão nãoosilatórioseforneem

resul-tados onáveis quando pers desontínuos são transportados. Um esquema partiular dessa

nova família de esquemas upwind é então seleionado e utilizado para resolver esoamentos

omplexosom superfíies livres móveis.

Palavras-have: Equações de onservação; uidodinâmia omputaional; EDPs

(10)

(11)

A family of upwind shemes named as FUS-RF (Family of Upwind Sheme via Rational

Funtions),whihisderivedviarationalfuntionsanddependentofparameters,isproposedfor

omputingapproximatedsolutionsofonservationequations. Inordertoillustratethe

apabil-ityofthenewshemes,severalomputationalresultsforsystemofhyperbolionservationlaws

arepresented. Theseresultslarifytheinuene ofthehosen parametersonthe qualityofthe

numerial alulations. Using some standard test ases, omparison of the new orresponding

limiterswith the wellestablished van Albadaand the reently introdued EPUS (Eight-degree

Polynomial Upwind Sheme) limiters is also done. Numerial tests on both salar and gas

dynamis problems onrm that some shemes of the FUS-RF family are non-osillatory and

yield sharp results when solving proles with disontinuities. A partiular upwind sheme of

thisnewfamilyisthenseletedandusedforsolvingomplexinompressiblemovingfreesurfae

ows.

key-words: Conservationequations;omputationaluiddynamis;PDEspredominantly

(12)

(13)

1 Introdução 1

1.1 Motivaçãoe objetivos . . . 2

1.2 Organizaçãodotexto . . . 3

2 Formulação matemátia 5 2.1 Equações de onservação hiperbólias . . . 5

2.1.1 Equação linearde adveção . . . 5

2.1.2 Equação não linear de Burgers . . . 6

2.1.3 Equações de águasrasas . . . 6

2.1.4 Equações de Euler . . . 7

2.2 Equações de Navier-Stokes . . . 7

3 Interpolação upwind e otimização de gradientes via mínimos quadrados pon-derados 9 3.1 Motivação . . . 9

3.2 Critériosde limitaçãoe exemplos de esquemas upwind . . . 14

4 Derivação de novos esquemas upwind 23 4.1 Derivação de esquemas upwind via formausual: Esquema 1. . . 23

4.2 Derivaçãodeesquemasupwindviamínimosquadradosponderados: osEsquemas 2,3, 4,5 e6 . . . 27

4.2.1 Esquema 2. . . 28

4.2.2 Esquema 3. . . 29

4.2.3 Esquema 4. . . 31

4.2.4 Esquema 5. . . 33

(14)

5 Modelagem omputaional 41

5.1 Equações hiperbólias . . . 41

5.2 Equações de Navier-Stokes . . . 42

6 Resultados numérios para leis de onservação hiperbólias 49 6.1 Resultados para adveção de esalares . . . 49

6.2 Resultados para equação de Burgers . . . 56

6.3 Resultados para equação de águas rasas 1D. . . 65

6.4 Resultados para asequações de Euler 1D . . . 72

6.5 Resultados para equaçõesde águasrasas 2D . . . 84

6.6 Resultados para asequações de Euler 2D . . . 86

7 Apliação do Esquema 1 às equações de Navier-Stokes 101 7.1 Simulaçãode problemas

2

D e

2 .

5

D . . . 101

7.2 Simulaçãode problemas

3

D . . . 112

8 Conlusões e Trabalhos Futuros 123 A Equações hiperbólias na forma quase-linear 125 A.1 Equação de Adveção . . . 125

A.2 Equação de Burgers . . . 126

A.3 Equações de águasrasas . . . 126

A.4 Equações de Euler . . . 127

B Disretização dos termos onvetivos 131

(15)

3.1 Deniçãodospontosdeinterpolação

D

,

U

e

R

omrespeitoàinterfae

f

=

i

+1

/

2

eo sinal daveloidade de onveção

u

(

i

+1

/

2 ,j

)

. . . 11

3.2 Comparações das soluções numérias em várias malhas (om o esquema FOU)

esolução analítiapara adveção de um esalar. (a) malha

200

; (b) malha 400;

() malha 800; e(d) malha 6400. . . 12

3.3 Comparação das soluções numéria (om o esquema QUICK) e analítia numa

malhaomputaionalde 2000 pontos. . . 13

3.4 Caraterístias NV dos esquemas onvetivos FOU e QUICK; e diagrama de

variáveisnormalizadas,mostrando a regiãohahurada CBC. . . 13

3.5 Plano

ψ

(

r

)

⊥

r

mostrando a região de extremos (

r

f

≤

0

), a região de

monotoni-idade(vizinhança de

r

f

= 1

) e asregiõesde altaurvatura (

r

f

>>

1

e

r

f

<<

1

). 16

3.6 RegiãoTVD de Sweby. . . 17

3.7 RegiãoTVD em variáveisnormalizadas. . . 19

4.1 Esquema

1

em variáveis normalizadaspara vários valoresdo parâmetro

β

. . . . 27

4.2 Limitadorde uxoorrespondentedoEsquema

1

(

r

f

≥

0

)paraváriosvaloresdo

parâmetro

β

. . . 27

4.3 Esquema

2 ǫ

. . . 29

4.4 Limitador de uxo orrespondente do Esquema

2

(

∀

r

f

) para vários valores do

parâmetro

ǫ

. . . 30

4.5 Esquema

3 ǫ

. . . 31

3

(

∀

r

f

parâmetro

ǫ

. . . 32

4.7 Esquema

4 ǫ

. . . 34

4

(

∀

r

f

parâmetro

ǫ

. . . 34

(16)

5

(

∀

r

f

parâmetro

ǫ

. . . 36

4.11 Esquema

6

em variáveisnormalizadaspara vários valores doparâmetro

ǫ

. . . 39

6

(

∀

r

f

parâmetro

ǫ

. . . 39

5.1 Exemplodeumaélulaomputaional3D,mostrandoondeasvariáveissão

avali-adas. . . 43

6.1 Soluçãoexata e resultados obtidos om os esquemas FUS-RF para adveção de

um esalar. (a) Esquema

1

utilizando vários valores do parâmetro

β

; (b)-(f)

Esquemas

2 −

6

utilizandovários valores do parâmetro

ǫ

. . . 50

6.2 Soluçãoexata e resultados numérios(Esquemas 1-6 om osmelhores

parâmet-ros e referênias van Albada e EPUS) para adveção de um esalar - Teste 1,

mostrando ampliaçãoda região de altogradiente. . . 51

6.3 Constantedo erro para osesquemas vanAlbada, EPUS eEsquemas 1-6om os

melhoresparâmetros, apliadosaoTeste 1. . . 54

6.4 Soluçãoexata e resultados numérios(Esquemas 1-6 om osmelhores

parâmet-ros e referênias van Albada e EPUS) para adveção de um esalar - Teste 2,

mostrando regiões de ampliações(Zoom 1-4). . . 55

6.5 Continuação da Figura6.4.. . . 56

6.6 Variação total para oTeste 2 om respeito aotempo.. . . 57

6.7 Evolução no tempo da solução numéria para equação de Burgers usando o

esquemaMC. . . 57

6.8 Solução exata e resultados obtidos om os esquemas FUS-RF para equação de

Burgers. (a)Esquema

1

utilizandováriosvaloresdoparâmetro

β

;(b)-(f)

Esque-mas

2 −

6

utilizandovários valores doparâmetro

ǫ

. . . 59

6.9 Comparação (antes e depois do hoque) entre a solução exata e as soluções

numérios(Esquemas 1-6om os melhoresparâmetrose referênias vanAlbada

eEPUS) para equação de Burgers - Teste 3, mostrando regiõesde ampliação. . 60

6.10 Continuação da Figura6.9.. . . 60

6.11 Constantede erro

C

na norma

L

1

para o Teste 3 antes edepois dohoque. . . 64

6.12 Comparação das soluções numérias e aolução exata para o Teste 4 usando

os esquema van Albada, EPUS e Esquemas 1-6 om os melhores parâmetros,

mostrando regiões de ampliação. . . 64

6.13 Continuação da Figura6.12. . . 64

(17)

6.15 Comparação das soluções numérias e aolução de referênia para a altura

h

do

uido no Teste 5 usando os esquema van Albada, EPUS e Esquemas 1-6 om

osmelhoresparâmetros, mostrando regiõesde ampliação. . . 66

6.16 Continuação daFigura 6.15. . . 66

6.17 Comparaçãodas soluções numérias e soluçãode referênia para a vazão

hu

do

osmelhores parâmetros, mostrando regiõesde ampliação. . . 67

6.19 Variação total emvárias malhas para o Teste 5 om respeito aotempo.. . . 68

6.20 Comparaçãodas soluções numérias e soluçãode referênia para a vazão

hu

do

6.22 Comparação das soluções numérias e solução de referênia para a altura

h

do

6.24 Comparaçãodassoluçõesnumériaseasoluçãodereferêniaparaapressão

p

no

Teste7,usandoosesquemavanAlbada,EPUSeEsquemas1-6omosmelhores

parâmetros,mostrando regiõesde ampliação. . . 72

6.26 Comparaçãodas soluções numérias e a solução de referênia para a densidade

ρ

no Teste 7, usando os esquema van Albada, EPUS e Esquemas 1-6 om os

melhoresparâmetros, mostrandoregiõesde ampliação. . . 73

6.28 Comparaçãodas soluções numériase a soluçãode referênia para a veloidade

u

6.30 Comparaçãodassoluçõesnumériaseasoluçãodereferêniaparaaenergia

E

no

Teste8,usandoosesquemavanAlbada,EPUSeEsquemas1-6omosmelhores

6.32 Comparaçãodas soluções numériase a soluçãode referênia para a veloidade

u

(18)

6.34 Comparação das soluções numérias e a solução de referênia para a densidade

ρ

melhoresparâmetros, mostrando regiões de ampliação. . . 79

6.36 Variação total da variável onservada

E

para o Teste 8 em várias malhas om

respeito aotempo. . . 80

6.37 Comparaçãodassoluçõesnumériaseasoluçãode referêniaparaapressão

p

no

Teste 9,usandoosesquemavanAlbada,EPUSeEsquemas1-6omosmelhores

6.39 Comparação das soluções numérias e a solução de referênia para a densidade

ρ

6.41 Comparaçãodas soluções numériase a solução de referênia para a veloidade

u

6.43 Comportamento daaltura

h

daporção de uido nos instantes

t

= 0

e

t

= 0

.

25

.

Figuraextraída de LeVeque [21℄ . . . 84

6.44 Soluçãode referênia e resultados obtidos om os esquemas FUS-RF sob a reta

y

= 0

. (a)Esquema

1

utilizandováriosvaloresdoparâmetro

β

;(b)-(f)Esquemas

2 ₋

6

utilizando vários valoresdo parâmetro

ǫ

. . . 85

6.45 Solução de referênia e resultados numérios (Esquemas 1-6 om os melhores

parâmetros,vanAlbadaeEPUS)paraoTeste10,mostrandoregiãodeampliação. 86

6.46 Perl para aaltura

h

douidonoTeste 10. (a)vanAlbada;(b) EPUS; ()-(h)

Esquemas 1-6om osmelhores parâmetros.. . . 87

6.48 Solução exata e resultados obtidos om os esquemas FUS-RF para as equações

de Euler - Teste 11. (a) Esquema

1

utilizando vários valores do parâmetro

β

;

(b)-(f)Esquemas

2 −

6

utilizandovários valores doparâmetro

ǫ

. . . 90

6.49 Comparação entre a solução exata e as soluções numérios (Esquemas 1-6 om

os melhoresparâmetros e referênias van Albada e EPUS) para as equações de

Euler -Teste 11, mostrando regiãode ampliação. . . 91

6.50 Soluçãode referênia e resultados obtidos om os esquemas FUS-RF sob a reta

x

=

y

om regiões de ampliação . (a) Esquema

1

utilizando vários valores do

(19)

6.51 Solução de referênia e resultados numérios (Esquemas 1-6 om os melhores

parâmetros,van Albada eEPUS) para o Teste 12, mostrandoregião de

ampli-ação (zoom1- zoom4). . . 95

6.53 Perl para a densidadde

ρ

do uido no Teste 12. (a) van Albada; (b) EPUS;

()-(h)Esquemas 1-6om os melhoresparâmetros. . . 96

6.55 Perl para a densidadde

ρ

do uidonoTeste 13. (a) WENO5(b) vanAlbada;

()EPUS; (d)-(i)Esquemas1-6omosmelhoresparâmetrosnamalha

240 ×

960

(grossa). . . 99

6.56 Perlparaadensidade

ρ

douidonoTeste 13. (a)WENO5(b)vanAlbada;()

EPUS; (d)-(i) Esquemas 1-6 om os melhores parâmetros na malha

480 ×

1920

(na). . . 100

7.1 Esquematização de um jato livre inidindo perpendiularmente sobre uma

su-perfíierígida impermeável . . . 102

7.2 Contornos da veloidade emx, em y eda pressão parao problema do jatolivre

em diferentes tempos. . . 103

7.3 Comparaçãoentre a soluçãoanalítiade Watson [51℄ ea soluçãonuméria para

diferentes malhas. . . 104

7.4 Esquematizaçãodo problema de olapso de uma oluna de uido 2D. . . 104

7.5 Comparação entre as soluções experimentais, numérias e teórias para o

fen-menodo olapsode uma olunade uido. . . 105

7.6 Contornosdaveloidadeemx,emyedapressãoparaoproblema doolapsode

uma olunade uidoem 2D para diferentes tempos. . . 106

7.7 Esquematizaçãopara o experimento de Taylor.. . . 107

7.8 Ilustração do experimento de Taylor em diferentes tempos. (a) e () solução

experimental;(b) e(d) solução numéria. . . 108

7.9 Ilustraçãodasolução para o experimento de Taylor emdiferentes tempos. . . 109

7.10 IlustraçãodoexperimentodeTaylorem

T

= 7

s

eorte transversal evideniando

aformação de estruturas omplexas. . . 109

7.11 Esquematizaçãopara o fenmenodo ressaltohidráulioirular. . . 110

7.12 Comparação entre a solução analítia e a solução numéria para o ressalto

hidráulioirular,onsiderandodiferentes malhas. . . 111

7.13 Ilustração do ressalto hidráulio irular. (a) solução experimental de Rai [34℄

(b) soluçãonuméria. . . 111

7.14 Esquematizaçãopara o olapsode uido3D. . . 112

7.15 Comparação entre as soluções experimentais, numérias e teórias para o

(20)

7.16 Camposde pressãoede veloidadeemx ezpara oproblemadoolapsode uma

olunade uido em3D para diferentes tempos. . . 114

7.17 Esquematizaçãopara o problema dojato planar

3

D. . . 115

7.18 Ilustraçãodasoluçãoparaoproblemadojatoplanarem3Dparadiferentestempos.116

7.19 Esquematizaçãopara o problema dojato irularem

3 D

. . . 117

7.20 Ilustração da solução para o problema do jato irular em 3D para diferentes

tempos-Caso 1. . . 118

7.21 Ilustraçãodojatoirularosilanteem3Dpara diferentes tempos-Caso 2. (a)

soluçãoexperimental;(b) solução numéria. . . 119

7.22 Ilustração do fenmeno do ressalto hidráulio irular- Caso 1. (a) solução

experimental de Rai[34℄ ;(b) soluçãonuméria. . . 120

7.23 Ilustraçãodasolução para ofenmenodo ressaltohidráulioemdiferentes

tem-pos para

R

e

= 250

-Caso 1. . . 121

7.24 Ilustração do fenmeno do ressalto hidráulio irular- Caso 2. (a) solução

experimental de Ellergard[9℄ ; (b) soluçãonuméria. . . 122

7.25 Ilustraçãodasolução para ofenmenodo ressaltohidráulioemdiferentes

(21)

6.1 Comparaçãodoserrosnasnormas

L

1

,

L

2

e

L

∞

paraoTeste1emváriasmalhas,

mostrandoosordens observadas eas onstantes doerro. Osresultados são para

osesquemas van Albada,EPUS e osEsquemas 1-6om os melhoresparâmetros. 53

6.2 Continuação daTabela6.1. . . 54

6.3 Comparaçãodoserrosnanorma

L

2

paraoTeste 3emváriasmalhas,mostrando

(antes e depois do hoque) as ordens observadas e as onstantes do erro. Os

resultados são para os esquemas van Albada, EPUS e os Esquemas 1-6 om

vários parâmetros. . . 61

6.6 Comparaçãodoserroseordensobservadasnasnormas

L

1

,

L

2

e

L

∞

paraoTeste

6, usando os esquemas van Albada, EPUS e os Esquemas 1-6 om os melhores

parâmetros. . . 71

6.7 Comparação dos erros e ordens observadas nas normas

L

1

,

L

2

e

L

∞

para o

Teste 7, usandoos esquemasvanAlbada, EPUSe osEsquemas 1-6 omvários

parâmetros. . . 75

6.9 Comparação dos erros e ordens observadas nas normas

L

1

,

L

2

e

L

∞

para o

Teste 11,usandoosesquemasvanAlbada,EPUSeosEsquemas1-6omvários

parâmetros. . . 91

(22)

(23)

1

Introdução

Muitos problemas em uidodinâmia omputaional (ou dinâmia dos uidos

omputa-ional)podemsermodeladosporequaçõesdifereniaisàderivadaspariais(EDPs), omumente

onheidas omoequações de onservação. Exemplos representativossão asequaçõesde Euler

(para a dinâmia de gases) e Navier-Stokes (para uidos visosos) em ondições adversas de

onveção. SoluçõeslássiasparaessasEDPsontêmdesontinuidades(ouhoques),amadas

limiteenãouniidade,araterístiasessas,prinipalmentenosasosnão lineares

predominan-temente onvetivos, quefazem dasimulação omputaionalum trabalhobastante omplexo.

Muitas ténias numériasonsagradasnaliteraturafalham,mesmoemEDPs linearesom

aráteronvetivomoderado. A extensãoaos asosmultidimensionaisnãolinearesomaráter

onvetivoaentuadotorna-seumtrabalhomuitomaisomplexo,umavez quepodemapareer

instabilidades (físias/não físias) aarretando não onvergênia ou violação de entropia.

De-vido a essas diuldades, uma parte substanial da omunidade ientía, prinipalmenteem

uidodinâmiaomputaional,temsedediadoaodesenvolvimentoetestede métodos

numéri-os apazes de resolverEDPs de aráter predominantemente onvetivo. Taismétodos devem,

em partiular, forneer soluções siamente orretas, om boa resolução nas vizinhanças de

desontinuidades esem introduzir osilaçõesnumérias ousuavizações.

A m de derivar métodos omputaionais que atendam àsondições de estabilidade e

on-vergênia, sem introduzir osilações espúrias e om poua suavização, Harten [14℄ introduziu

o oneito de esquemas de altaresolução TVD (Total Variation Diminishing), os quais foram

posteriormenteestendidos, admitindo-se esquemas ompletamentedisretos ousemi-disretos,

por Swebby, Chakravarthy-Osher, Shu-Osher, Jameson, Shmidt, Turkel, entre outros (ver

[21℄). Jin e Xin [15℄, por exemplo, em 1995 propuseram esquemas de relaxação reduzindo as

equações deonservação àsistemasde onservaçõeslineareshiperbóliosomtermo fonte. Em

(24)

ondiçõesparaseobter estabilidadenão linear. Asondiçõesde Leonardagregadasà denição

de limitadoresde uxo (ver[41℄)e aoritériode limitaçãoCBC(Convetion Boundedness

Cri-terion) de Gaskell e Lau [12℄ possibilitaram a derivação de esquemas upwind que atendam às

neessidades de estabilidade, de limitaçãoe de onvergênia.

Umaaraterístiaimportantedasequaçõesdeonservaçãoomaráterpredominantemente

onvetivo (prinipalmente as leis de onservação hiperbólias) é que as informções físias se

propagam por meio das araterístias. Métodos numérios que herdamesta propriedade

(o-mumente hamados esquemas onvetivos ou upwind) são, portanto, os mais indiados nesses

asos. Váriosesquemas onvetivosupwind foramproduzidosnas últimasdéadas, dentre eles

destaam-seoesquemaHLPA(HybridLinearParaboliApproximation)deZhu[55℄,oSMART

(Sharp and Monotoni Algorithm for Realisti Transport) de Gaskell e Lau [12℄, o WACEB

(Weighted-Average Coeient Ensuring Boundedness) de Song et al. [40℄. Mais reentemente,

Alves et al. [24℄ propuseram o esquema CUBISTA (Convergent and Universally Bounded

In-terpolation Sheme for the Treatment of advetion), Ferreira et al. [10℄ desenvolveram o

es-quemaADBQUICKEST (ADaptative Bounded QUICKEST),uma versão limitadadoesquema

QUICKEST (QUICK with Estimated Streaming Terms) de Leonard [17℄; e Ferreira etal. [33℄

intoduziram o esquema polinomial TOPUS (Third-Order Polynomial Upwind Sheme) para

simular problemas ompressíveis einompressíveis.

1.1 Motivação e objetivos

NosúltimosanosospesquisadoresdoLMACC(LaboratóriodeMatemátiaApliadae

Com-putação Cientía)doICMC/USP têm sedediado aodesenvolvimento de métodos numérios

emdinâmiados uidosomputaionalparasimularesoamentosinompressíveisaumaampla

faixa do número de Reynolds. Em partiular, várias ténias inovadoras foram

desenvolvi-das e inseridas no ontexto dos projetos temátios da FAPESP, omo Solução numéria das

equações de Navier-Stokes e Meânia dos uidos não estaionária: apliação em aeronáutia

e em reologia, dentre elas destaam-se:

•

Desenvolvimento, análise e implementação de esquemas upwind de alta resolução para

leisde onservação hiperbóliasgerais;

•

Estudo,análiseeimplementaçãodeesquemasupwind dealtaresoluçãoparaesoamentos

2D e 3D de uidos newtonianosno regimelaminar eom superfíies livres móveis;

•

Implementação damodelagens da turbulênia,tais omo

κ

−

ε

eRNG;

•

Implementaçãode modelosreológios,taisomoMaxell,PTT,Oldroyd-B,dentre outros.

Estes avanços foram parialmente inorporados ao ódigo Freeow [4℄, permitindo a

(25)

de Reynolds e de esoamentos reológios tridimensionais de grande omplexidade e interesse

tenológio naindústriade polímeros(ver, por exemplo,[29℄,[25℄).

ApesardosresultadossatisfatóriosgeradospelosistemaFreeow,algumasdiuldadesainda

impedemasimulaçãode algunsfenmenosemdinâmiadosuidosparaproblemasde interesse

aadêmio/tenológio. Desta forma, onsidera-se impresindível,para aumentar a

apliabili-dade das ferramentas desenvolvidas, um esforço de integração e uma metodologia numéria

únia para simular esoamentos laminares a altos Reynolds e turbulentos de uidos

newtoni-anos om superfíies livresmóveis.

Dentrodesteenário,propõe-senestetrabalhoumafamíliadefunçõesraionaisdenominada

FUS-RF(Familyof Upwind ShemesviaRationalFuntions),para asimulaçãoomputaional

de equações de onservação om aráter predominante onvetivo. A famíliaFUS-RF é

om-posta de seis esquemas upwind dependentes de parâmetros, que foidesenvolvida om base nos

ritériosde estabilidade TVD/CBCe naténia de minimizaçãomínimos quadrados

pondera-dos.

A família FUS-RF é utilizada iniialmente para simular leis de onservação hiperbólias,

à saber, equação de adveção, equação não linear de Burgers, águas rasas e equações de

Eu-ler nos asos 1D e 2D. Para a simulação desses problemas, utiliza-se o paote omputaional

CLAWPACK(ConservationLAWsPACKage)desenvolvidoporLeVeque[21℄. Oódigo,

imple-mentadoemlinguagemFortran,resolvenumeriamenteumavariedadedesistemashiperbólios,

desdeadveçãodeesalaresatésistemashiperbóliostridimensionais. Esteódigousaométodo

de volumesnitos,permitindoresolverproblemas deRiemannom ondiçõesiniiaise de

on-tornobemdenidas. Nosoftware serãoinluídososlimitadoresdeuxo FUS-RFdesenvolvidos

neste trabalho. Os resultados numérios serão omparados om os resulatdos obtidos om os

limitadores de uxo do bem estabeleido esquema van Albada [46℄ e do atual EPUS [7℄. Os

esquemasraionaisserãolassiadose,então,omaisrobustoseráutilizadonasimulação

om-putaional de esoamentos laminares de uidos newtonianos inompressíveis om superfíies

livresmóveis. OambienteFreeow de Casteloetal. [4℄é oódigo base paraas simulaçõesdos

problemasde esoamentode uidosvisosos. Este ódigo utilizaométodode diferençasnitas

sobre malhasdifereniadas. A metodologianumériade solução aser utilizadaéuma variante

dométodode projeçãode Chorin [5℄proposto originalmenteporHarlowe Welh[13℄ (Método

MAC) e bemdisutido porPeyret e Taylor [31℄.

1.2 Organização do texto

Os apítulosdesta dissertação estão dispostos daseguinte maneira:

•

O apítulo 2 apresenta a formulação matemátia de equações de onservação lineares e

não lineares onsideradas neste trabalho. São apresentadas também as ondições iniias

(26)

•

No apítulo 3 é feita uma ontextualização da proposta e são apresentadas ondições

para determinação de esquemas upwind nos ontextos TVD e CBC. Apresenta-se o

oneito de minimização via téniade mínimosquadrados ponderados para aderivação

de limitadoresde uxo otimizados.

•

Noapítulo4são propostosnovosesquemasupwinddafamíliaFUS-RF.Umaanálisedas

propriedadesdesritas noapítulo 3é tambémapresentada;

•

No apítulo 5 apresenta-se a ténia omputaional para aproximação dos termos

on-vetivos das equações onsideradas neste trabalho. Apresentam-se também a estrutura

de resolução do software CLAWPACK equipado om novos limitadoresde uxo, e a

es-trutura do ambiente de simulação Freeow adaptado om os novos esquemas da família

FUS-RF.

•

O apítulo6 ontempla os resultados omputaionais para leisde onservação

hiperbóli-as 1D e 2D. Apresenta-se também uma análise omparativa dos novos esquemas e os

esquemas vanAlbada e EPUS.

•

No sétimoapítulo um esquemapartiular dessa novafamíliade esquemas upwind é

uti-lizadopararesolveresoamentosinompressíveisomplexosomsuperfíieslivresmóveis.

•

As onlusões deste trabalho, bem omo os planos para o futuro, são apresentadas no

(27)

2

Formulação matemátia

Neste apítuloapresentam-se asequaçõesmatemátias onsideradas nopresente trabalho.

2.1 Equações de onservação hiperbólias

Equações difereniais pariais (EDPs) do tipo hiperbólio modelam uma grande

vari-edade de fenmenos físios que envolvem transporte de substânias ou movimento de ondas.

Estas são geralmente não lineares e dependentes do tempo. O aso n dimensional na forma

quase-linear é representado por

∂φ

∂t

+

A

1 ∂φ

∂x

1 +

A

2 ∂φ

∂x

2 +

_{· · ·}

+

A

n

∂φ

∂x

n

=

ζ,

(2.1)

onde

φ

(

x

1 , x

2 ,

· · ·

, x

n

, t

) :

R

n

_×

R

→

R

m

é o vetor das inógnitas do problema (por exemplo,

pressão, veloidade,

. . .

) a ser determinado, e

A

i

m

×

m

uma matriz real, diagonalizável e om

autovalores reais (ver LeVeque, [21℄);

ζ

são termosfonte. Em variáveis onservadas, o sistema

(2.1) éesrito omo

∂φ

∂t

+

∂F

i

(

φ

)

∂x

i

=

ζ,

i

= 1

, . . . , n,

(2.2)

onde

F

i

(

φ

) =

F

i

(

φ

(

x

1 , x

2 ,

· · ·

, x

n

, t

)) :

R

m

→

R

m

são asfunções uxo.

Alguns asos partiulares das equações (2.2)são apresentados nasequênia.

2.1.1 Equação linear de adveção

A equação linear de adveção 1D é o aso mais simples de leisde onservação hiperbólias

e modela o transporte de um esalar om uma veloidade presrita. Nesta equação a variável

(28)

é

∂φ

∂t

+

∂F

1 (

φ

)

∂x

= 0

,

x

∈

[

x

L

, x

R

]

,

t

∈

[0

, T

]

,

(2.3)

onde

F

1 (

φ

) =

uφ

. A solução exata deste problema é um desloamento da solução iniial

φ

0

dada por

φ

(

x, t

) =

φ

0 (

x

−

ut

)

.

(2.4)

Condiçõesde ontorno periódias são omumente utilizadasneste aso.

2.1.2 Equação não linear de Burgers

A equação não linear de Burgers possui araterístias omuns às equações que modelam

uidosemmovimento(equaçõesNavier-Stokes), porém,porsermaissimplesqueestasúltimas,

éutilizadafrequentementeemestudosnumériosomotestepreliminar. Noaso1D,aequação

(2.2) torna-se

∂φ

∂t

+

∂F

1 (

φ

)

∂x

=

ζ,

x

∈

[

x

L

, x

R

]

,

t

∈

[0

, T

]

,

(2.5)

onde

F

1 (

φ

) =

φ

2

. Assume-se, neste aso,

ζ

= 0

(aso não visoso) ou

ζ

=

ν

∂

2 φ

∂x

2

(aso visoso),

ν

sendo ooeiente de visosidade(onstante).

2.1.3 Equações de águas rasas

Asequaçõesdeáguasrasasmodelamfenmenosmeteorológioseoeanográos envolvendo

ondas de superfíie, em que a altura da onda é pequena omparada om o seu omprimento.

No aso 1D, o sistemade equações (2.2) torna-se

∂φ

∂t

+

∂F

1 (

φ

)

∂x

= 0

,

x

∈

[

x

L

, x

R

]

,

t

∈

[0

, T

]

,

(2.6)

onde

φ

= [

h, hu

]

T

e

F

1 = [

hu, hu

2 ₊

1

2 gh

2 _]

T

; sendo

h

=

h

(

x, t

)

a profundidade do uido num

anal,

u

aveloidadehorizontaldouido,

hu

avazãoe

g

= 9

.

81 m/s

2

aonstantegravitaional.

Para ondições de ontorno, em geral, usa-se extrapolação de ordem zero (ver, por exemplo,

[21℄). No aso 2D, osistema de equações (2.2) é

∂φ

∂t

+

∂F

1 (

φ

)

∂x

+

∂F

2 (

φ

)

∂y

= 0

,

x

∈

[

x

L

, x

R

]

,

y

∈

[

y

B

, y

T

]

,

t

∈

[0

, T

]

,

(2.7)

onde

φ

= [

h, hu, hv

]

T

,

F

1 = [

hu, hu

2 ₊

1

2 gh

2 _{, huv}

_]

T

e

F

2 = [

hv, huv, hv

2 ₊

1

2 gh

2 _]

T

; sendo

v

a

(29)

2.1.4 Equações de Euler

As equações de Euler modelam a dinâmia de gases. No aso 1D, o sistema de equações

(2.2) torna-se

∂φ

∂t

+

∂F

1 (

φ

)

∂x

=

ζ,

x

∈

[

x

L

, x

R

]

,

t

∈

[0

, T

]

,

(2.8)

onde

φ

= [

ρ, ρu, E

]

T

e

F

1 = [

ρu, ρu

2 ₊

_{p, u}

₍

_E

₊

_p

_)]

T

; sendo

ρ

a densidade,

p

a pressão,

ρu

a

quantidadede movimentoe

E

a energiatotal. A equação de gás ideal

p

= (

γ

−

1)(

E

−

1

2 ρu

2 )

é

usadaparafehar oproblema,emque

γ

éarazãodoalorespeío. As ondiçõesde ontorno

omumente usadas são extrapolação de ordem zero. No aso 2D, o sistema de equações (2.2)

torna-se

∂φ

∂t

+

∂F

1 (

φ

)

∂x

+

∂F

2 (

φ

)

∂y

=

ζ,

x

1 ∈

[

x

L

, x

R

]

,

y

∈

[

y

B

, y

T

]

,

t

∈

[0

, T

]

,

(2.9)

emque

φ

= [

ρ, ρu, ρv, E

]

T

,

F

1 = [

ρu, ρu

2 ₊

_{p, ρuv, u}

₍

_E

₊

_p

_)]

T

e

F

2 = [

ρv, ρuv, ρv

2 ₊

_{p, v}

₍

_E

₊

_p

_)]

T

;

sendo a pressão

p

denida em função de

E

pela relação de fehamento para gás ideal

p

=

(

γ

₋

1)(

E

₋

1 ₂

ρ

(

u

2 ₊

_v

2 ₎₎

. As ondições de ontorno omumente usadas são extrapolação de

ordemzero.

2.2 Equações de Navier-Stokes

As equações de Navier-Stokes, em oordenadas artesianas, que modelam esoamentos

in-ompressíveis de uidos newtonianos são, na forma adimensional,dadas pela equação de

on-servação damassa

∇ ·

u

=

0 ,

(2.10)

e aonservação da quantidadede movimento

∂

u

∂t

+

∇ ·

uu

=

−∇ ·

p

+

1 R

e

∇

2 _u

₊

1 F

2 r

g

(2.11)

em que

u

é ampo de veloidades,

u

= [

u, v

]

T

para o aso 2D e

u

= [

u, v, w

]

T

para o aso

3D, onde

u

,

v

e

w

são as veloidades em

x

,

y

e

z

respetivamente. Os números adimensionais

de Reynolds e Froude são, respetivamente, denidos omo

R

e

=

L

0 U

0 /ν

e

F

r

=

U

0 /

p

L

0 |

g

|

;

sendo

L

0

e

U

0

as esalas de omprimento e veloidade, respetivamente. Outras variáveis e

onstantes foram denidas previamente.

As equaçõesde Navier-Stokes emoordenadas ilíndriassão dadas por

∂u

∂t

+

1 r

∂

(

ruu

)

∂r

+

∂

(

uv

)

∂z

=

−

∂p

∂r

+

1 R

e

∂

∂z

∂u

∂z

−

∂v

∂r

+

1 F

2 r

g

r

,

(2.12)

∂v

∂t

+

1 r

∂

(

rvu

)

∂r

+

∂

(

vv

)

∂z

=

−

∂p

∂z

+

1 R

e

1 r

∂

∂r

r

(

∂u

∂z

−

∂v

∂r

)

+

1 F

2 r

(30)

1 r

∂

(

ru

)

∂r

+

∂v

∂z

= 0

,

(2.14)

em que

u

=

u

(

r, z, t

)

e

v

=

v

(

r, z, t

)

são os omponentes do ampo de veloidades;

r

e

z

representam, respetivamente, a oordenada radial eo eixo de simetria.

AsondiçõesdeontornoapliadaspararesolverasequaçõesdeNavier-Stokessão,emgeral,

omo segue:

•

Injetor: Nesseontornosãopresritasasveloidadesnormalaoontorno(

u

n

)etangenial

aoontorno (

u

t

) (Condição de Dirihlet)

u

n

=

U

0 ,

u

t

= 0;

(2.15)

•

Ejetor: Nesse ontorno onsidera-se a ondição homogênea de Neumann

∂u

n

∂n

=

∂u

t

∂n

= 0;

(2.16)

•

Contorno rígido: Neste ontorno são apliadas asondições de não-esorregamento

u

n

=

u

t

= 0;

(2.17)

ouesorregamento

u

n

= 0

,

∂u

t

∂n

= 0;

(2.18)

•

Superfíielivre: Nasuperfíielivreassume-sequeouidoestáemumaatmosferapassiva,

istoé

n

_·

(

σ

_·

n

) = 0

,

m

1

· (

σ

· n

) = 0

,

m

2

· (

σ

· n

) = 0

,

(2.19)

onde

n

é o vetor normal à superfíie,

m

1

e

m

2

os vetores tangeniais e

σ

é o tensor das

tensões dado por

(31)

3

Interpolação upwind e otimização de gradientes

via mínimos quadrados ponderados

Neste apítuloapresentam-se relações importantes para o desenvolvimento de métodos

up-wind de alta resolução. Objetiva-se aproximartermos onvetivos (lineares e não lineares) de

leis de onservação gerais. É apresentado também uma forma de se estimar o gradiente de

formaotimizada, por meio daténiamínimos quadrados ponderados.

3.1 Motivação

Porsimpliidade,esemperdade generalidade,onsidera-seaequação(2.3)avaliadaemum

ponto

(

x

i

, t

j

) = (

iδ

x

, jδ

t

) = (

i, j

)

damalha,onde

δ

x

éoespaçamento de malha(assumido neste

trabalhoomo onstante aolongo dodomínio),e

δ

t

éo tamanhodo passotemporal, assim

∂φ

∂t

+

∂

(

uφ

)

∂x

(

i,j

)

=

∂φ

∂t

(

i,j

)

+

∂

(

uφ

)

∂x

(

i,j

)

= 0

.

(3.1)

Umaaproximaçãoparaaderivadatemporalpodeserfeitautilizando-sealgummétodonumério

paraEDO, omoEuler ouRunge-Kutta. Para otermoespaial,usa-se aseguinteaproximação

∂

(

uφ

)

∂x

(

i,j

)

≈

(

uφ

)

(

i

−

1 /

2 ,j

)

_δx

−

(

uφ

)

(

i

+1

/

2 ,j

)

=

1 δx

u

(

i

−

1 /

2 ,j

)

φ

(

i

−

1 /

2 ,j

)

−

u

(

i

+1

/

2 ,j

)

φ

(

i

+1

/

2 ,j

)

.

(3.2)

Note que para avaliar o termo espaial no ponto

(

i, j

)

é neessário onheer a veloidade de

onveção

u

, bem omo a variável transportada

φ

, nos pontos (não de malha)

(

i

−

1 /

2 , j

)

(32)

f

= (

i

+ 1

/

2)

)são aluladas por meio damédiasimples

u

(

i

−

1 /

2 ,j

)

=

1

2 (

u

(

i,j

)

+

u

(

i

−

1 ,j

)

,

u

(

i

+1

/

2 ,j

)

=

1

2 (

u

(

i

+1

,j

)

+

u

(

i,j

)

.

(3.3)

Os valores da variável

φ

nos pontos

(

i

−

1 /

2 , j

)

e

(

i

+ 1

/

2 , j

)

(que são hamados uxos

numérios nas faes

g

e

f

) não são onheidos, e portanto preisam ser determinados por

alguma ténia de interpolação. Uma maneira interessante e útil de se obter aproximações

para essesuxos éfazerumainterpolaçãolevando emontaosinal daveloidadede onveção

nessas faes. Tal proedimento é onheido omo interpolação upwind. De posse do sinal da

veloidadedeonveção

u

perpendiularaumainterfaedaélulaomputaional,porexemplo

f

=

i

+ 1

/

2

, ainterpolação upwind davariável

φ

éfeita emfunção dos três pontos vizinhosde

malhamaispróximos,asaber: D(Downstream),pontoàjusantedainterfae

f

;U(Upstream),

ponto à montante da interfae

f

; e R (Remote upstream), ponto mais à montante de

f

. Em

outras palavras,a variávelonvetada

φ

nainterfae

f

é uma função daforma

φ

f

=

φ

(

φ

D

, φ

U

, φ

R

,

sinal(

u

f

))

,

(3.4)

emque

φ

D

, φ

U

, φ

R

denotam a variável

φ

avaliada nas posições

D

,

U

, e

R

, respetivamente.

Apartirdesteponto,onsidera-seapenasafae

f

=

i

+1

/

2

emqueaveloidadedeonveção

é positiva (

u

(

i

+1

/

2 ,j

)

>

0

). Os outros asos seguem proedimentos similares. Como exemplo,

onsidera-se o ponto

(

i

+ 1

/

2 , j

)

, om interfae

f

=

i

+ 1

/

2

; neste aso a interpolação upwind

para o uxo numério em

(

i

+ 1

/

2 , j

)

éomo segue

φ

(

i

+1

/

2 ,j

)

=

φ

(

i

+1

/

2 ,j

)

(

φ

(

i

+1

,j

)

, φ

(

i,j

)

, φ

(

i

−

1 ,j

)

,

sinal(

u

(

i

+1

/

2 ,j

)

))

,

(3.5)

om os pontos

D

= (

i

+ 1

, j

)

,

U

= (

i, j

)

e

R

= (

i

−

1 , j

)

dispostos na Figura 3.1(a); aso a

veloidadede onveção sejanegativa,istoé

u

(

i

+1

/

2 ,j

)

<

0

, adisposição dessespontossão omo

ilustradona Figura3.1(b).

Comofoi vistoanteriormente, ovalordavariáveltransportada

φ

nainterfae

f

é obtidoem

função dos pontos

D

,

U

e

R

ede maneiraupwind , istoé,

φ

f

=

φ

(

φ

D

, φ

U

, φ

R

,

sinal

(

u

f

))

. Com

o objetivo de reduzir o número de variáveis envolvidas nessa interpolação, uma transformação

é feita de tal forma que a função

φ

=

φ

f

dependa apenas da informação atrasada (upwind).

Esta transformação, denotada por

φ

ˆ

f

e denida omo

ˆ

φ

f

=

φ

f

−

φ

R

φ

D

−

φ

R

.

(3.6)

Esta éa representação dafunção

φ

f

emvariávelnormalizada(NV) de Leonard[19℄. Noteque,

omo

ˆ

φ

D

= 1

e

ˆ

φ

R

= 0

, a relação (3.4) dependerá apenas de

ˆ

φ

U

. Na sequênia apresentam-se

(33)

(a) Veloidadedeonveçãopositiva.

(b) Veloidadedeonveçãonegativa.

Figura3.1: Denição dospontosde interpolação

D

,

U

e

R

omrespeito àinterfae

f

=

i

+ 1

/

2

e osinal da veloidade de onveção

u

(

i

+1

/

2 ,j

)

.

O esquema FOU (First-Order Upwind) é um exemplo lássio de esquema onvetivo de

primeira ordem. Sua representação, na forma não normalizada, é dada por

φ

f

=

φ

(

i,j

)

=

φ

U

,

e, naforma normalizada,por

φ

ˆ

f

= ˆ

φ

U

. A Figura 3.2mostra o desempenho desse esquema em

váriasmalhasomputaionaisomumnúmerodeCourant

CF L

= 0

.

1

,apliadoaoproblemade

adveçãodeumaondaquadrada. Vê-selaramentenestaguraqueparaseterumaboasolução

numériaomesteesquemadeve-seutilizarumamalhaomputaionalsuientementerenada.

Observa-se tambémque o esquemaFOU é bastantedifusivo,istoé elesuaviza sobremaneiraa

soluçãonas regiõespróximasàs desontinuidades(ver Figura3.2(a)).

OesquemaonvetivoQUICK (Quadrati Upstream Interpolationfor Convetive

Kinemat-is)éoutroexemploonvenionaldeesquemasupwind,representadoemformanãonormalizada

por

φ

f

=

1

2 (

φ

D

+

φ

U

)

−

1

8 (

φ

D

−

2 φ

U

+

φ

R

)

,

(3.7)

e naformanormalizada por

ˆ

φ

f

=

3

4 φ

ˆ

U

+

3

8 .

(3.8)

Aindaqueatinjatereiraordemdepreisão(ver[18℄),oesquemaQUICKpossuiaraterístias

indesejáveis em apliações: as omumente hamadas osilações não físias. Essas osilações

podem ser vistas na Figura 3.3, onde apresentam-se as soluções numéria e analítia para o

transporte de uma onda quadradavia equação de adveção 1D.

Ambos esquemas (FOU e QUICK) dependem linearmente de

φ

ˆ

U

. Esta dependênia é

ilustrada na Figura 3.4, em que as urvas mostradas são hamadas de araterístias NV.

A região indiada omo CBC nesta gura orresponde aodiagrama de variáveis normalizadas

(34)

(a) (b)

() (d)

Figura 3.2: Comparações das soluções numérias em várias malhas (om o esquema FOU) e

soluçãoanalítiapara adveção de um esalar. (a) malha

200

; (b) malha400; () malha800; e

(35)

Figura 3.3: Comparação das soluções numéria (om o esquema QUICK) e analítia numa

malha omputaionalde 2000 pontos.

Figura3.4: Caraterístias NV dos esquemas onvetivos FOU e QUICK; ediagrama de

(36)

Usando série de Taylor,pode-se mostrar(ver[19℄) que,para qualquer esquemabaseado em

araterístiasNV (lineares ounão lineares), valem asseguintes propriedades:

- Passar noponto (

1

2 ,

3

4

) dodiagramaNV alançasegunda ordem de preisão loal;

- Ter inlinação

3

4

,enquantopassa noponto(

1

2 ,

3

4

), atinjetereiraordem de preisão loal.

Leonardobservoutambémqueesquemasquepassamem

O

= (0

,

0)

e

P

= (1

,

1)

sãolivresde

osilações numérias. Vê-se laramenteque o esquema FOUé de primeira ordeme o esquema

QUICK éde tereiraordem. OesquemaFOU,apesardabaixaordem,seomportademaneira

estável, mas suaviza asolução (difusão). O esquemaQUICK, por outro lado, sendo de ordem

mais alta(preisão melhor), produz osilaçõesnão físias(dispersão).

Para superar esses defeitos, vários esquemas upwind de alta resolução têm apareido na

literatura tais omo SMART (Sharp and Monotoni Algorithm for Realisti Transport) [12℄,

VONOS (Variable-Order Non-Osillatory Sheme) [47℄, SHARP (Simple High Auray R

es-olution Program) [20℄, WACEB (Weighted-Average Coeient Ensuring Boundedness) [39℄,

CUBISTA (Convergent and Universally Bounded Interpolation Sheme for the Treatment of

Advetion) [1℄, entre muito outros. O objetivo prinipal desses métodos é resolver problemas

propensos a osilações e, ao mesmo tempo, melhorar a preisão loal. É importante notar,

entretanto, que esses esquemas (alguns deles ao menos), embora funionando bem em alguns

problemas, podem não ser limitados em situações envolvendo desontinuidades (hoques) em

esoamentosompressíveis(ver, porexemplo,[16℄,[22℄) e/ou esoamentosinompressíveis

vis-oelástiosomequaçõesonstitutivashiperbólias(ver, porexemplo,[54℄). LineChieng[23℄e

LineLin[22℄,porexemplo,observaramque osesquemas SMARTeSHARP,embora alanem

altaordemde onvergênia, produzemosilaçõesespúriasemproblemasom desontinuidades

(omo por exemplo, o problema do tubo de hoque). Alves et al [1℄usando esquemas upwind

de alta ordem, zeram uma série de testes para simular uidos visoelástios e observaram

diuldades de onvergênia quando a malhaera renada, om uma fortetendênia a osilar.

As araterístias indesejáveis assoiadas a ambos os esquemas lássios FOU e QUICK e

os problemas de limitaçãoom esquemas de altaresolução itados motivamoestudo de novos

esquemas onvetivos om boa ordem de preisão (

≥

2),ao mesmo tempolivres de osilações

não físias,que resolvambem problemas omplexos.

3.2 Critérios de limitação e exemplos de esquemas upwind

Duranteasimulaçãoomputaionaldeproblemasomplexos,éimpresindívelqueassoluções

obtidasnãoultrapassemosvaloresfísiosdoproessoqueestásendosimulado. SegundoGaskell

(37)

es-quema orrespondente preserva monotoniidade see somente se

(

ˆ

φ

U

≤

F

( ˆ

φ

U

)

≤

1 ,

se

φ

ˆ

U

∈

[0

,

1]

,

F

( ˆ

φ

U

) = ˆ

φ

U

,

se

φ

ˆ

U

∈

/

[0

,

1]

.

(3.9)

Este ritério de limitação é representado geometriamente na Figura 3.4 e dene a região de

estabilidadedo proesso numério.

Um esquema onvetivo upwind pode ser desenvolvido onsiderandoa aproximaçãogeral

φ

f

=

φ

U

+

B

h

_∂φ

∂x

f

,

_∂φ

∂x

g

, δx

i

,

(3.10)

onde afunção

B

éum termo anti-difusivo. Naliteratura, é omum tomar afunção

B

omo

B

=

1

2 δx

_∂φ

∂x

f

.

(3.11)

Oesquema onvetivo upwind (3.10)pode ser então aproximado por

φ

f

≈

φ

U

+

1

2 δx

_∂φ

∂x

f

≈

φ

U

+

1

2 φ

D

−

φ

U

,

(3.12)

o qual é propenso à formação de osilações não físias (similar ao que foi visto om o uso do

esquemaQUICK).Para orrigiressasosilações,introduz-seumafunção

ψ

(hamadalimitador

de uxo) na formulação (3.12). Isto permite manter a solução numéria dentro de regiões

estáveis, istoé,

φ

f

≈

φ

U

+

1

2 ψ

(

r

f

)

φ

D

−

φ

U

,

(3.13)

onde

r

f

éum sensorde suavidade dasolução denido omo

r

f

=

r

(

i

+1

/

2 ,j

)

=

∂φ

∂x

_g

∂φ

∂x

_f

≈

∆

φ

2 ∆

φ

1 =

φ

U

−

φ

R

φ

D

−

φ

U

=

φ

(

i,j

)

−

φ

(

i

−

1 ,j

)

φ

(

i

+1

,j

)

−

φ

(

i,j

)

.

(3.14)

Alguns exemplos de limitadoressão omo segue:

• ψ

= 0

_→

FOU;

• ψ

= 1

_→

Diferença Central;

(38)

Segundo Harten [14℄, um bom limitador de uxo é aquele que para

r

f

<

0

se transforme

no esquema FOU e para

r

f

>

0

esteja restrito às regiões de monotoniidade, apresentando

omportamentoassintótionesta região. Esse objetivo pode ser alançado pormeiodoritério

delimitaçãoTVD(TotalVariationDiminishing)de Harten[14℄quegarantesoluçõesnumérias

siamente aeitáveis, livres de osilações e om boa ordem de preisão. Em NV, o esquema

upwind (3.13) é esritoomo

ˆ

φ

f

≈

φ

ˆ

U

+

1

2 ψ

(

r

f

)

1 ₋

φ

ˆ

U

,

(3.15)

ou

ˆ

φ

(1+1

/

2 ,j

)

≈

φ

ˆ

(

i,j

)

+

1

2 ψ

(

r

f

)

1 ₋

φ

ˆ

(

i,j

)

,

(3.16)

onde

r

f

=

r

(

i

+1

/

2 ,j

)

=

ˆ

φ

U

1 ₋

φ

ˆ

U

=

φ

ˆ

(

i,j

)

1 ₋

φ

ˆ

(

i,j

)

.

(3.17)

Como omentado anteriormente, o parâmetro

r

f

funiona omo um detetor de suavidade

da solução. Com base nos valores de

r

f

, várias regiões de interesse podem ser identiadasno

plano

ψ

(

r

f

)

⊥

r

f

. A reta

r

f

= 0

, omo mostrado naFigura 3.5, separa regiões de osilaçõesou

extremos (

r

f

<

0

)de regiõesde soluções monotnias(

r

f

>

0

). Dentro dessas últimas,

r

f

≈

1

orresponde aregiõesde soluçõessuaves(

r

f

= 1

-variaçãolinear). Regiõesde altasurvaturas

podem ser identiadas para

r

f

≤

0

e

r

f

<<

1

(urvatura negativa) ou

r

f

>>

1

(urvatura

positiva).

ψ

Figura3.5: Plano

ψ

(

r

)

⊥

r

mostrandoaregiãode extremos(

r

f

≤

0

),aregiãodemonotoniidade

(vizinhança de

r

f

= 1

) eas regiõesde altaurvatura (

r

f

>>

1

e

r

f

<<

1

).

A variaçãototal (

T V

)no nível de tempo

t

j

=

jδ

t

é denida omo

T V

(

φ

(

t

j

)) =

T V

(

φ

j

) =

X

i

|

φ

(

i

+1

,j

)

−

φ

(

i,j

)

|

.

(3.18)

(39)

T V

(

φ

j

+1

)

_≤

T V

(

φ

j

)

.

(3.19)

O termo Diminishing refere-se ao fato de que a variação total num dado tempo pode ser

no máximo a variação total no tempo anterior, não resente om a marha no tempo. A

propriedadeTVDé umapropriedadeglobalde um esquemaadvetivoe previneaampliação

espúriade extremos. Harten[14℄ provouque um perl (iniialmente) monotnio

φ

permanee

monotnio após ser advetado por um esquema TVD. Entretanto, a propriedade TVD não

exlui a possibilidade de que um extremo possa reser enquanto outro diminui.

No aso de problemas om soluções desontínuas, faz-se neessário empregar métodos

mo-notnios para que não haja osilações nas vizinhanças das desontinuidades. LeVeque [21℄

demonstrou que se o esquema é TVD, ele preserva monotoniidade. Sweby [41℄ apliou o

oneito de Harten [14℄ aos limitadoresde uxo, epropsa restrição

(

0 _≤

ψ

(

r

f

)

≤

min

(2

r

f

,

2)

,

se

r

f

≥

0 ,

ψ

(

r

f

) = 0

,

se

r

f

≤

0 ,

(3.20)

aqualdene aomumente hamadaregiãoTVD (verFigura3.6) paraos limitadoresde uxo.

Figura3.6: Região TVD de Sweby.

É mostrado a seguir que qualquer limitador de uxo

ψ

que satisfaz

ψ

(1) = 1

(prinípio

de Sweby [41℄), e que faz om que (3.13) seja de segunda ordem de preisão deve satisfazer a