Teorema de Ehrenfest e o Limite Classio
da Me^ania Qu^antia
EhrenfestTheoremandtheClassialLimitofQuantumMehanis
A. O.Bolivar
CentroBrasileirode PesquisasFsias,CBPF-DCP,
RuaDr. XavierSigaud150,22290-180 -Rio deJaneiro,Brasil
Reebidoem20/10/2000. Aeitoem11/05/2001
ApresentamosargumentossustentandoqueoteoremadeEhrenfestn~aoeformaleoneitualmente
adequadoparaonetarame^aniaqu^antiaame^anialassia. Alemdisso,amderessaltarmos
aimport^ania pedagogia dejamaisdeixarmos de ler os textosoriginais, traduzimoso artigo de
PaulEhrenfestpubliadoem1927narevistaZeitshrift f urPhysik.
Wepresent argumentsagainstthe useof theEhrenfest theorem asa lassiallimiting methodof
quantummehanis. In addition, inorderto point out the pedagogial relevane ofreading the
original texts we translate the artile by Paul Ehrenfest published in the journal Zeitshrift f ur
Physikin1927.
I Teorema de Ehrenfest e o
li-mite lassio
Sistemas me^anios isolados s~ao desritos, na fsia
lassia, pelas equa~oes de Newton (onsideramos o
asounidimensional)
dp
dt =
V(x;t)
x
dx
dt =
p
m ;
ondexeaposi~ao,pomomentumlineareV(x;t)um
potenialexterno. Dadasasondi~oesiniiais (x
0 ,p
0 ),
atrajetoria dosistemaedeterministiamente
determi-nadaparaqualquertempot.
Em me^ania qu^antia, o estado de um sistema
fsio e determinado pela fun~ao de onda (x;t),
solu~aodaequa~aodeShrodinger
~
2m
2
x 2
+V(x;t) ={~
t ;
eovaloresperadodagrandezafsiaAealuladopor
meiodaequa~ao
hAi = Z
y
A dx:
Supondo que a teoria qu^antia seja uma teoria
universal da materia, e importante mostrar omo a
me^ania lassia surge omo um aso partiular de
dentro do arabouo teorio do formalismo qu^antio.
Em 1927, Ehrenfest [1℄ (ver se~ao II) obteve as
ex-press~oes
dhpi
dt
= h V
x i
dhxi
dt =
hpi
m
quehamamosdeequa~oesdeEhrenfest;estasn~ao
o-netam a me^ania qu^antia a lassia. Isto e feito
apenasusandooteoremadeEhrenfest 1
,omoveremos
abaixo.
Expandindoafun~aopotenialV(x;t)emtornodo
ponto mediohxi , difereniandoV e,emseguida,
al-ulandoamediahV=xi ,hegamosa 2
Endereopermanente:InstitutoCulturalEudorodeSousa,Grupo\MarioShonberg"deestudosemFsia-Matematia,Ceil^andia,
72221-970(C.P.7316),D.F,Brasil.
1
Chamamosaaten~aodoleitorquevarioslivros-textos[2℄identiamasequa~oesdeEhrenfestomoproprioteoremadeEhrenfest.
Noentanto,aolermosoartigooriginal[1℄(vertambemse~ao2)eostrabalhosmaisreentes[3,5,6℄veriamosquetalidentia~aon~ao
podeserefetuada. Asequa~oesdeEhrenfests~aoexatas,aopassoque,emgeral,oteoremadeEhrenfesteobtidoaproximadamente(om
aexe~aodoosiladorharm^onio,porexemplo)viaonsidera~oesaeradograudeloaliza~aodafun~aodeonda. Apreoupa~aode
Ehrenfesteraobterasequa~oesdeNewtonomoaproxima~aodaequa~aodeShrodinger(videottulodeseuartigo: Bemerkunguber
dieangenarteG ultigkeitderklassishenMehanikinnerhalbderQuantenmehanik). EstaideiafoiapreendidaporHeisenberg[7℄que,
emseulivro(que n~aoelivro-texto)de1930,aofazer refer^eniaaotrabalho deEhrenfest, usaorretamenteasondi~oesdevalidade
desteteoremaparaonetarafsiaqu^antiaafsialassia,emboraelen~aouseexpliitamenteaexpress~ao\teorema".
h
V(x;t)
x
i =
V(hxi ;t)
x
+hx hxi i
2
V(hxi ;t)
x 2
+ 1
2 4x
3
V(hxi ;t)
x 3
+::: ;
d
onde4x= q
hx 2
i hxi 2
medealargurade . O
teo-remadeEhrenfestonsisteemsuporque seja
norma-lizavel,i.e.,hx hxi i =0,eque4xsejabempequeno
(paraumapaotedeEhrenfest
PE
)demodoqueV
va-riemuitopouoemtornodehxi ,istoe, 3
V=x 3
0.
Assim,obtemos
h
V(x;t)
x i
P
E =
V(hxi
P
E ;t)
x :
Desta forma,diz-sequeasequa~oesdeNewtons~ao
re-uperadas, omoaproxima~ao, apartirdaequa~ao de
Shrodinger. Em outras palavras, os valores medios
hxi e hpi deum sistema qu^antiodesrito por
PE
seguem uma trajetoria lassia. Isto e o que e
pro-palado, em geral, nos livros-textos usados em nossas
universidades.
Contudo,valenotarqueoteoremadeEhrenfestn~ao
explia o fato de omo a algebra n~ao-omutativa das
observaveisqu^antiasdesapareenolimitelassio[3℄.
Alemdestepequenodetalhe geralmente olvidado,
on-eitualmente,isto e,no que tange ainterpreta~oes do
formalismoqu^antio,aoteoremadeEhrenfeste
levan-tadaaseguinte obje~ao:
()Nainterpreta~aodeCopenhague,o\x"que
apa-reenoargumentode
PE
(x;t)n~aorepresentaa
loa-liza~aorealdeumapartula,massomenteumapossvel
posi~ao,entreoutras,deserrealizadaomuma
proba-bilidadej
PE j
2
,desdequeumamedi~aosejafeitapara
determinar a posi~ao da partula. Ao passo que nas
equa~oes de Newton o\x" denota a posi~ao bem
de-nidadeumsistema,emtodoinstante,
independente-mentedeseroun~aoobservada[4,5℄. Aseguintequest~ao
ainda permanee n~ao respondida: omo transpor este
abismooneitualentre asduasteorias?
Reentemente, Ballentine et al. [6℄ mostraram de
modo denitivo que, do ponto de vista formal, as
ondi~oes de validade do teorema de Ehrenfest n~ao
s~ao suientes, pois quando apliadas ao osilador
harm^onio, por exemplo, n~ao bastam para
arateri-zar a sualassialidade; muito menos s~ao neessarias,
vistoquehasistemasqu^antios(partula
unidimensio-nalentreparedesreetoras,osiladorquartioforado)
quepodemviolaroteoremadeEhrenfesteaindaassim
se omportarem lassiamente. Nosso objetivo neste
sentamos duas vers~oes do teoremade Ehrenfest: uma
qu^antiaeoutralassia.
(a)Teoremade Ehrenfestlassio.
Naformula~aodeLiouville dame^anialassia,o
estadodeum sistema fsioeespeiadopela fun~ao
distribui~ao de probabilidade F(x;p;t) no espao de
fase (x;p). A din^amia de F, gerada pelas equa~oes
deNewton,edadapor
F
t +
p
m F
x V
p F
p
=0: (1)
OvaloresperadodasobservaveisfsiasA(x;p;t)e
al-uladoapartirdaformula
hAi
F =
Z
AFdxdp: (2)
Assim,efailmostrarque
dhxi
F
dt =
hpi
F
m
(3)
dhpi
F
dt
= h V
x i
F =
V(hxi
F ;t)
x
; (4)
desdequealarguradadistribui~aodeprobabilidadeF
sejapequena. Segue, ent~ao, que aevolu~ao temporal
doentroide(hqi
F ;hpi
F
)do ensemble lassio F pode
serdesrito porequa~oes formalmente similaresas de
Newton. No entanto, omo e obvio notar, o sistema
mantem-se lassio mesmo violando (3) e (4), i.e., as
ondi~oesdevalidadedoteoremadeEhrenfestn~aos~ao
neessariasparaestabeleeralassialidadedeum
sis-temafsio.
(b)Teoremade Ehrenfestqu^antio.
Comumente, o teorema de Ehrenfest (qu^antio) e
apresentado ou na representa~ao de Shrodinger [1℄
ou na representa~ao de Heisenberg [5,6℄. Para efeito
de ompara~ao om a vers~ao lassia deste teorema,
e seguindo a Ref.[8℄, reformulamo-lo no espao de
fase qu^antio. (Ao leitor menos familiarizado om o
formalismo de Wigner, reomendamos a leitura das
Refs.[5,8,9℄).
po-~
2m
2
x 2
1 +V(x
1
;t) =~
t
; (5)
nopontox
1
edasuaomplexa-onjugada
~
2m
2 y
x 2
2
+V(x
2 ;t)
y
= ~
y
t
; (6)
nopontox
2
, obtemosaequa~aodeevolu~ao
(
~
t +~
p
m
q ~
1
X
k =0 ( )
k
(~=2) 2k
(2k+1)!
2k +1
V
q 2k +1
2k +1
p 2k +1
)
W=0; (7)
d
paraafun~aodeWigner[9℄
W(p;x;t)= 1
2 Z
y
(x+ ~
2 ;t) (x
~
2 ;t)e
{p
d;
(8)
depoisdeusarmosamudanadevariaveis
x
1 =x
~
2 ; x
2 =x+
~
2
: (9)
(NotemosqueparapoteniaisdaformapolinomialV =
P
n
j=0 a
j x
j
, a Eq.(7) passa ater um numero nito de
termos).
Naformula~aoda me^ania qu^antia noespaode
fase,osvaloresesperadosdaposi~aoxedomomentum
ps~aoaluladospor meiodasrela~oes
hxi
W =
Z
xW(x;p;t)dpdx (10)
hpi
W =
Z
pW(x;p;t)dpdx: (11)
OteoremadeEhrenfest,reformuladonesteformalismo
deWigner[8℄,onsistebasiamenteemimporondi~oes
para que a fun~ao qu^antia W simule um
omporta-mento de modo que ela possa ser desrita
\lassia-mente". Istoepossvelse
(i)afun~aode WignerW forsuientemente bem
loalizada,ouseja,seforonstrudaapartirdeum
pa-otedeEhrenfest
PE
de tal modoqueopotenialV
n~aovariemuitodentrodasdimens~oesdeW:
3
V
x 3
V
x
; (12)
(ii) a fun~ao de Wigner for sempre denida positiva.
Istooorresempreparafun~oes deondagaussianas.
Deorre das ondi~oes de validade i) e ii) que a
Eq.(7)torna-se 3
W
t +
p
m W
x V
x W
p
=0; (13)
porsuavez, estapermiteque
dhxi
W
dt =
hpi
W
m
(14)
dhpi
W
dt =
Z
V(x;t)
x
W(x;p;t)dxdp
= h V
x i
W =
V(hxi
W ;t)
x
: (15)
Ou seja, o entroide do ensemble qu^antio W segue
\trajetorias"determinadas porequa~oesdotipo
New-ton. Contudo, as ondi~oes (i)e (ii)n~ao bastampara
que um sistema qu^antio esteja em domnio lassio,
poissabemos que, embora aondi~ao (15) sejaexata,
umosiladorharm^onioqu^antioetotalmentediferente
deum osiladorlassio, devidoapresena daenergia
do ponto zero inerente ao primeiro e ausente no
se-gundo. Muito menos(i) e(ii)s~ao neessarias, poisde
aordoomBallentineetal. [6℄,hasistemasqu^antios
queseomportamlassiamentesemlevarem
onside-ra~aoasondi~oesdevalidadedeste teorema.
Em suma, da exist^enia das vers~oes qu^antia e
lassiado teoremadeEhrenfest, seguea quest~ao: de
quetrata,anal,oteoremadeEhrenfest? Aoontrario
doqueomumentesepensa,talteoreman~aoeum
pro-esso de limite lassio. Ele e simplesmente um
pro-edimentoestritamentematematio,ouseja,estabelee
ondi~oes para que os valores esperados da posi~ao e
do momentum linear, alulados apartir de um dado
ensemble(qu^antiooulassio)evoluamdeaordoom
equa~oes demovimentosimilaresasequa~oesde
New-ton. Algo analogoaospar^entesisde Lieque orase
re-alizam omo olhetes de Poisson (me^ania lassia)
oraomoomutador(me^aniaqu^antia). Porsiso,os
par^entesisdeLien~aopossuemafun~aodeonetaras
duasteorias.
A seguir, apresentamos a tradu~ao 4
do artigo
ori-ginal de Paul Ehrenfest publiado no periodio
Zeits-hrift f ur Physik, volume45,ano1927epaginas455a
457. Antes,porem, queremosnotarque paratranspor
o abismo oneitual, Ehrenfest usou, neste trabalho,
doexpedientedeapliarasleisdame^aniaqu^antiaa
umobjetomarosopio(massadeumgrama)uja
tra-jetoria e, sup~oe-se, desritapelas equa~oes deNewton
independentemente de qualquer aparelho de medida.
O proposito, ent~ao, de Ehrenfest era estender as leis
qu^antiasao domniomarosopiojustiando asleis
lassiasomomerasaproxima~oesdaquelas:
justia-seano~aodetrajetoriaaoarmarqueopaotedeonda
(assoiado a esta partula marosopia) mantem-se
bemloalizadonotempo,levando10 21
sparase
disper-sar. Aopassoqueparapartulasat^omias,ooneito
de trajetoriaaindapermaneeomouma ilus~ao: o
pa-otedeondasedispersarapidamente(erade10 13
s).
Vale ressaltarqueesteproedimentoparte dahipotese
de que a teoria qu^antia seja universal, ou seja, suas
leis podem ser utilizadas em qualquer situa~ao fsia;
no entanto, omo foi enfatizado por Einstein [10℄, o
prinpiodesuperposi~aoeinompatvelomoteorema
deEhrenfest: uma
PE
n~aopodeseronstrudaa
par-tir defun~oes deondasuperpostas(vide Eqs.(14,15)).
Esta inompatibilidade, sem justiativa teoria,
de-monstra uma forte restri~aodeste teorema. A m
desuperarestadiuldade,reentementeaabordagem
dadesoer^enia[11℄tentaexpliarpormeiodeum
me-anismo fsio porque objetos marosopios n~ao s~ao
araterizadosporfun~oes deondasuperpostas.
II Tradu~ao:
Nota sobrea validade aproximada da me^ania
lassiaa partir dame^aniaqu^antia
porP.Ehrenfest,Leiden,Holanda
(Reebidoem 5desetembrode1927)
Pormeiodeumaluloelementarsemaproxima~ao,
pode-sededuzir arela~ao
m d
2
dt 2
Z Z Z
d
x= Z Z Z
d
( V
x )
quesignia| onsiderandoumpaote deonda(m
da ordem de 1g) pequeno e que permanea bem
pe-queno | que a aelera~ao de sua posi~ao obedee a
equa~aodemovimentodeNewtonparaumaforaloal
V=x.
E importante responder, de um modo o mais
ele-mentarpossvel,aseguintequest~ao: omo as equa~oes
fundamentaisdeNewtondame^anialassiaresultam
da me^ania qu^antia? Toda uma serie de reentes
publia~oes tem eluidado, de modo essenial e
om-pleto,atequepontoame^anialassiapermanee
or-reta,omo uma boaaproxima~ao, para proessos
ma-rosopios 5
. Noentanto,faltamostraralgumarela~ao
em espeial, elementar que seja, seguindo exatamente
daequa~aodeShrodinger(semqualqueraproxima~ao)
equetalvezreveleommaisomodidadeaonex~ao
en-treame^aniaondulatoriaeame^anialassia.
Consideremos, ent~ao, aequa~ao deShrodinger na
seguinteforma
~ 2
2m
2
x 2
+V(x) ={~
t ;
~ 2
2m
2
x 2
+V(x)
= {~
t
(16)
paraoasodeumuniograudeliberdade. Emseguida,
hamemos 6
Z
+1
1
dxx Q(t); (17)
{~ Z
+1
1 dx
x
P(t); (18)
ealulemosdQ=dtedP=dtusando(16). Substituindo
eintegrandoporpartes,resulta imediatamente (e sem
aproxima~ao)que
dQ
dt =
1
m
P (19)
m d
2
Q
dt 2
= dP
dt =
Z
dx
( V
x
): (20)
A equa~ao (20) signia: sempre que a largura do
paote de onda (ou de probabilidade)
e tida
4
Aproposito,queremosanuniarqueestaemfasedeprepara~aooutrastradu~oesdoalem~aodeartigosmuitasvezesitados,no
en-tanto,pouolidoseraramentedisutidosemnossasuniversidades,taisomooartigodeEinsteinde1917sobresistemasn~ao-integraveis
eoartigodeHeisenberg(1927)sobreasrela~oesdeinerteza.
5
LouisdeBroglie,These1924;Journ. dePhys. etleRa. (6)7,1,32,1926;C.R.180,498,1925;183,272, 1926. |L.Brillouin,
Journ. dePhys. etleRad. 7,353,1926. |E.Shrodinger,Naturwiss. 14,664,1926. |P.Debye,Phys. ZS.28,170,1927. |W.
Heisenberg,ZS.f.Phys.43,172,1927.|E.H.Kennard,ZS.f.Phys. 44,326,1927.
6
Aexpans~aode emtermosdasautofun~oes = P
ne E
n =~t
n(x)levaasrela~oesmatriiaisqnm=e =~(E
n E
m )t
R
dxxnm
omo muito pequena om respeito a dist^anias
ma-rosopias, a aelera~ao (do entro de gravidade) do
paote de onda obedee as equa~oes de Newton om
uma fora ( V=x) \atuando no ponto Q do paote
de onda".
Observa~oes: adispers~ao gradual deumpaote de
ondafoidisutidapormenorizadamenteporHeisenberg,
l... Seualulo,paraoexemplodeumapartulalivre
no espao unidimensional, pode talvez tornar-se mais
onavel om a ajuda de uma express~ao mais
natu-ral envolvendo alulos bem onheidos em ondu~ao
termia: a equa~ao de Shrodinger tem, para V = 0,
umaestruturadeequa~aodeondu~aotermia
t =a
2
2
x 2
(21)
om
a 2
={ ~
2m
: (22)
Substituindosuasolu~aogeraldadapor(ver,e. g.,B.
Riemann-Weber,Vol. II)
(x;t)= 1
2a p
t Z
+1
1 de
(x ) 2
4a 2
t
(0;); (23)
omaondi~aoiniial
(0;)=Ce
2
2! 2
+{
; (24)
e
(
)
t=0 =C
2
e
2
! 2
; (25)
( sendo uma onstante real arbitraria), aha-se uma
altera~aonaformadopaotedeondaomaveloidade
~=meumadispers~aoqueaumentaomotempo. Este
resultadoeomesmoobtidoporHeisenberg:
=(t)exp
(x ~=mt) 2
2
; (26)
onde
2
=! 2
+ ~
2
t 2
m 2
! 2
: (27)
Dupliando-sealargurainiial(i.e., 2
=4! 2
),leva-se
otempo
T = p
3 m!
2
~
(~= 6;6:10
27
2
): (28)
para que o paote se dispersa. Para m = 1g, ! =
10 3
m, T e igual a 10 21
s; enquanto que para m =
1;7:10 24
ge!=10 8
m, T eiguala10 13
s.
Agradeimentos
Oautoragradeeaoarbitropelasobserva~oes
perti-nentesquetornaramaapresenta~aodestetrabalho
pe-dagogiamentemaisompreensvel. Oapoionaneiro
Referenes
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