Formulações explícitas para controladores preditivos generalizados: uma abordagem multiparamétrica

UNIVERSIDADEFEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE

PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMENGENHARIAELÉTRICA E DECOMPUTAÇÃO

Formulações Explícitas para Controladores

Preditivos Generalizados: uma abordagem

multiparamétrica

Daniel Guerra Vale da Fonseca

Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli

Tese de Doutorado apresentada ao

Pro-grama de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica da UFRN (área de concentração: Automação e Sistemas) como parte dos re-quisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências.

Número de ordem PPgEE: D257

Natal, RN, Outubro de 2019

Fonseca, Daniel Guerra Vale da.

Formulações explícitas para controladores preditivos generalizados: uma abordagem multiparamétrica / Daniel Guerra Vale da Fonseca. - 2020.

125 f.: il.

Tese (doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e de Computação, Natal, RN, 2020. Orientador: Prof. Dr. André Laurindo Maitelli.

1. Controlador preditivo generalizado - Tese. 2. Programação multiparamétrica - Tese. 3. GPC multiparamétrico - Tese. 4. Sistemas híbridos Tese. 5. GPC híbrido multiparamétrico -Tese. I. Maitelli, André Laurindo. II. Título.

RN/UF/BCZM CDU 681.5

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede

Preditivos Generalizados: uma abordagem

multiparamétrica

Daniel Guerra Vale da Fonseca

Tese de Doutorado aprovada em 30 de outubro de 2019 pela banca examinadora com-posta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. André Laurindo Maitelli (Orientador) . . . UFRN

Prof. Dr. André Felipe Oliveira de Azevedo Dantas (Externo à Instituição) . UnP

Prof. Dr. Pericles Rezende Barros (Externo à Instituição) . . . UFCG

Prof. Dr. Anderson Luiz de Oliveira Cavalcanti (Externo ao Programa) . . . UFRN

rather show the highlight of what

they’ve become.”

À Deus, por tudo, em todos os momentos de minha vida; me confortou naqueles mais difíceis e sempre me indicou o caminho certo.

À Maria Santíssima que com seu amor de mãe também me consolou em todos os mo-mentos.

À minha amada esposa, Loiziane, que durante muito tempo esperou o fim dessa jornada comigo. Obrigado por todo o amor, apoio, carinho e companheirismo. Sem você tudo teria sido muito mais difícil.

Às minhas filhas, Clara e Liz, que me motivam diariamente a superar os desafios.

Aos meus pais e irmão, pelo amor e apoio incondicional ao longo de toda minha vida.

Ao grande amigo André Dantas, pela imensa ajuda e contribuições durante o desenvolvi-mento deste trabalho. Sem você, ele não teria se tornado realidade.

À toda minha família e, em especial, à minha avó, Lurdinha (In Memorian), que sempre procurou me ensinar com suas histórias de vida o que é o caráter, a integridade e como deve ser o ser humano; e ao meu avô, Otávio (In Memorian), por me mostrar o poder transformador da educação.

À todos os Top&Amigos, pela amizade e pelo grande apoio desde o início das atividades universitárias.

À Fernando Chaves e Pedro Péricles, pela amizade de longas datas, companheirismo e conversas. Sempre presentes independente da situação.

Aos meus amigos e colegas de Laboratório (Pesquisa A e E) que vivenciaram todo esse percurso. Obrigado pelas críticas e sugestões.

Ao meu orientador professor André Laurindo Maitelli, sou grato pela orientação, apoio e compreensão de todas as dificuldades.

À Capes, pelo apoio financeiro e ao Laboratório de Automação em Petróleo (LAUT) pelos recursos e ambiente de estudo para realização deste trabalho.

O Controle Preditivo Generalizado (GPC) é uma das técnicas de Controle Preditivo ba-seado em Modelo (MPC) mais tradicionais e populares da indústria e do meio acadêmico, sendo aplicado, ao longo de décadas, em vários sistemas para melhorar o desempenho do controle. Esse tipo de controlador utiliza informações do modelo do processo para predizer o comportamento futuro do sistema. Além disso, o GPC consegue lidar de forma direta tanto com sistemas MIMO, quanto com as restrições presentes nos processos. En-tretanto, ao considerar o conjunto de restrições, o controlador precisa resolver, em tempo de execução, um problema de otimização quadrático (QP) (ou linear – LP), o que pode ser inviável em certos casos, como para sistemas embarcados. Dessa forma, este trabalho faz uso da programação multiparamétrica (mp) para gerar uma lei de controle explícita do tipo Afim por Partes (PWA) para o GPC (mp-GPC), capaz de manter o desempenho de controle sem a necessidade recorrente da resolução de um problema de otimização. Inici-almente, essa proposta é comparada diretamente com o GPC tradicional com restrições. Os resultados mostram que o desempenho se mantém, com redução do tempo computa-cional para o cálculo da ação de controle. Em seguida, um novo formato é proposto, com o objetivo de diminuir a quantidade de parâmetros usados na formulação anterior. Ambas as proposições são aplicadas em diferentes situações: em sistemas multivariáveis, sem e com a presença de atraso de transporte, e em um sistema subatuado. Em todos os ca-sos, o tempo computacional gasto para o cálculo do sinal de controle é analisado, assim como do tempo necessário para a resolução da programação multiparamétrica. Por fim, foram realizados estudos envolvendo uma formulação GPC Multiparamétrica Híbrida, que faz uso da resolução de um problema de programação Linear Inteira Mista multiparamé-trica (mp-MILP). Uma válvula não linear é utilizada como estudo de caso, em que suas características não lineares são transformadas em um conjunto de desigualdades para o problema de otimização, com o objetivo de minimizar os seus efeitos. Os resultados são satisfatórios, apresentando um controle, em alguns momentos, com redução dos efeitos da não linearidade.

Palavras-chave: Controlador Preditivo Generalizado, Programação Multiparamétrica,

Generalized Predictive Control (GPC) is one of the most traditional and popular Model-based Predictive Control (MPC) techniques in industry and academia and has been ap-plied over decades in several systems to improve the control performance. This type of controller uses process model information to predict future system behavior. In addition, GPC can deal directly with both MIMO systems and process constraints. However, when considering the constraint set, the controller needs to solve a Quadratic Programming (QP) (or a Linear Programming – LP) in real time, which can be prohibitive in certain cases, such as for embedded systems. This work uses multiparametric programming (mp) to generate an Explicit Piece-wise Affine (PWA) control law for GPC (mp-GPC) which holds the same control performance without the need to keep solving the optimization problem at each sample time. Hence, initially, the proposed formulation is compared with GPC based on online QP. The results show that the performance is maintained, reducing the computatio-nal time to calculate the control action. Then, a new format is proposed, which differs from the last one by the number of parameters needed in the mp formulation. Both propositions are applied in three different situations: a MIMO system, a process with input-output de-lays and a underactuated system. A comparison is made by checking the computational time spent to calculate the control signal, as well as the time required for mp resolution. Fi-nally, studies involving a Hybrid Multiparametric GPC formulation were done , which makes use of the resolution of a multiparametric Mixed-Integer Linear Programming (mp-MILP). A nonlinear valve is used as a case study, in which its nonlinear characteristics are treated as a set of inequalities for the optimization problem, in order to minimize its effects.

Keywords: Generalized Predictive Controller, Multiparametric Programming,

Sumário i

Lista de Figuras iii

Lista de Tabelas v

Lista de Símbolos e Abreviaturas vi

1 Introdução 1 1.1 Motivação. . . 1 1.2 Objetivos Gerais . . . 7 1.3 Contribuições . . . 7 1.4 Organização do trabalho . . . 8 1.5 Notação . . . 9

2 Controle Preditivo Generalizado 10 2.1 Introdução . . . 10

2.2 Metodologia . . . 11

2.3 Formulação Matemática . . . 13

2.4 GPC com Restrições . . . 18

2.5 GPC com Programação Linear . . . 21

2.6 Considerações Finais . . . 23

3 Controlador Preditivo Generalizado Multiparamétrico 24 3.1 Introdução . . . 24

3.2 Programação multiparamétrica para MPC . . . 25

3.3 Formulação matemática para o GPC multiparamétrico . . . 28

3.3.1 Complexidade . . . 29

3.3.2 Algoritmo GPC multiparamétrico . . . 31

3.4 Considerações finais . . . 32

4.2 Sistema de Guindaste de Pórtico . . . 33

4.2.1 Modelo do GCS. . . 34

4.3 Aplicação das formulações GPC no GCS . . . 36

4.3.1 GPC sem restrições . . . 39

4.3.2 GPC com restrições . . . 41

4.3.3 GPC Multiparamétrico . . . 42

4.4 Discussão dos resultados . . . 44

4.5 Considerações Finais . . . 47

5 GPC Multiparamétrico Reformulado 48 5.1 Exemplo numérico: Reator Tanque Agitado . . . 51

5.2 Exemplo numérico: Guindaste de Pórtico . . . 55

5.3 Exemplo numérico: Coluna de Destilação . . . 59

5.4 Considerações Finais . . . 65

6 GPC Híbrido Multiparamétrico 67 6.1 Sistemas Híbridos . . . 67

6.2 Modelagem Híbrida para a válvula pneumática . . . 69

6.2.1 Válvula Pneumática. . . 70

6.3 Projeto do Controlador GPC híbrido multiparamétrico . . . 77

6.4 Controle da Válvula Pneumática Não Linear . . . 81

6.4.1 Controlador R-mp-GPC. . . 82 6.4.2 Controlador mp-hGPC . . . 84 6.5 Considerações finais . . . 87 7 Conclusão 88 7.1 Desenvolvimentos Futuros . . . 90 Referências bibliográficas 92

Anexo A Sistemas Dinâmicos Lógico Misto 105

2.1 Funcionamento básico do MPC. . . 11

2.2 Princípio do horizonte móvel . . . 12

2.3 Estrutura básica do MPC. . . 13

3.1 Regiões Críticas. . . 26

3.2 Diagrama MPC Explícito. . . 27

4.1 Diagrama esquemático do sistema de guindaste de pórtico. . . 34

4.2 Oscilação da carga útil com o controlador UGPC . . . 40

4.3 Posição do carrinho com o controlador UGPC . . . 40

4.4 Comportamento da ação de controle para o GPC sem restrições . . . 41

4.5 Oscilação da carga útil com o controlador CGPC . . . 42

4.6 Posição do carrinho com o controlador CGPC . . . 42

4.7 Comportamento da ação de controle para o GPC com restrições . . . 43

4.8 Oscilação da carga útil com o controlador mp-GPC . . . 43

4.9 Posição do carrinho com o controlador mp-GPC . . . 44

4.10 Comportamento da ação de controle para o GPC multivariável . . . 44

5.1 Reator Tanque Agitado . . . 51

5.2 Controle de um Reator Tanque Agitado . . . 54

5.3 Caso STR: ação de Controle para os controladores CGPC/mp-GPC/R-mp-GPC . . . 55

5.4 Oscilação da carga útil com o controlador CGPC/mp-GPC/R-mp-GPC . . . 57

5.5 Posição do carrinho com o controlador CGPC/mp-GPC/R-mp-GPC . . . . 58

5.6 Comportamento da ação de controle para o CGPC/mp-GPC/R-mp-GPC . . 58

5.7 Coluna de Destilação. . . 60

5.8 Controle da Coluna de Destilação: composição do produto no topo (preto); composição do produto na lateral (azul tracejado); e temperatura do refluxo do fundo (vermelho pontilhado). . . 64

5.9 Caso Coluna de Destilação: ação de Controle para os controladores CGPC/mp-GPC/R-mp-GPC . . . 65

6.3 Vazão de saída para o R-mp-GPC . . . 83

6.4 Esforço de Controle do R-mp-GPC em preto eqˆvem azul tracejado . . . . 84 6.5 Não linearidade e incremento da ação de controle para o R-mp-GPC . . . 84

6.6 Vazão de saída para o mp-hGPC . . . 85

6.7 Esforço de Controle do mp-hGPC em preto eqˆ_vem azul tracejado . . . 86

6.8 Não linearidade e incremento da ação de controle para o mp-hGPC . . . . 86

1.1 Principais publicações envolvendo MPC explícito/muliparamétrico. . . 4

4.1 Parâmetros do modelo do Guindaste de Pórticos . . . 36

4.2 Sintonia do GPC para o Sistema de Guindaste de Pórtico . . . 37

4.3 Restrições . . . 37

4.4 Performance dos Controladores . . . 45

4.5 Análise do custo computacional . . . 46

5.1 Restrições . . . 52

5.2 Sintonia para o STR . . . 53

5.3 Análise do custo computacional . . . 54

5.4 Sintonia do GPC para o Sistema de Guindaste de Pórtico . . . 56

5.5 Restrições . . . 56

5.6 Análise do custo computacional . . . 59

5.7 Sintonia do GPC para a Coluna de Destilação. . . 63

5.8 Restrições . . . 63

5.9 Análise do custo computacional . . . 64

6.1 Sintonia do GPC para controla da Válvula Pneumática . . . 82

6.2 Restrições . . . 82

A.1 Tabela verdade para expressões A.1 e A.2 . . . 106

N_p Horizonte de Predição

N_u Horizonte de Controle

r Referência do processo

u Entradas do processo

y Saídas do processo

∆υυυ Taxa de variação das entradas do processo

dim(·) Operador dimensão

m Número de entradas

n Número de saídas

APC Advanced Process Control

CARIMA Controller Auto-Regressive Integrated Moving-Average

CGPC Constrained GPC

CLP Controlador Lógico Programável

CV Variável Controlada – Controlled Variable

DMC Dynamic Matrix Control

EDO Equação Diferencial Ordinária

EGPC Explicit GPC

EMPC Explict Model Predictive Control

GCS Gantry Crane System

IDCOM Identification and Command

LIT Linear Time-Invariant

LP Linear Programming

LUT Look-Up Table

MIMO Múltiplas Entradas e Múltipla Saídas – Multiple-Inputs Multiple-Outputs

MIP Mixed-Integer Programming

MLD Mixed Logical Dynamical

mp multiparametric

mp-GPC multiparametric GPC

mp-hGPC multiparametric hybrid GPC

mp-hMPC multiparametric hybrid Model Predicitve Control

mp-MICP multiparametric Mixed Integer Convex Programming

mp-MPC multiparametric Model Predictive Control

MPC Controle Preditivo Baseado em Modelo – Model Predictive Control

MV Variável Manipulada – Manipulated Variable.

PID Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo

QP Quadratic Programming

R-EGPC Reformulated Explicit GPC

R-mp-GPC Reformulated multiparametric GPC

SISO Single-Inputs Single-Outputs

SP Referência – Setpoint

SS State Space

TF Transfer Function

Introdução

Este capítulo introdutório apresenta as motivações que levaram ao desenvolvimento deste trabalho. Também são expostos os objetivos almejados e qual a contribuição que foi alcançada através dos estudos realizados. Ao final encontra-se a estrutura de organi-zação deste texto, comentando, de maneira breve, o conteúdo de cada um dos capítulos.

1.1

Motivação

Estratégias de controle são comumente utilizadas na indústria com o objetivo de so-lucionar problemas, como produtos fora de especificação, necessidade recorrente de re-processamento, baixa produtividade, dentre outros. De maneira geral, a utilização destas estratégias traz um ganho para a produção, aumentando não apenas a qualidade do pro-duto, mas também a segurança e a confiabilidade no processo automático[Groover 2015]. Há algumas décadas, as metodologias de controle mais encontradas no meio in-dustrial eram baseadas no controlador PID. Esse tipo de controlador foi, sem dúvidas, o algoritmo mais tradicional da indústria [Campos & Teixeira 2006] estando presente em mais de 95% das malhas de controle [Åström & Hägglund 1995], principalmente no que se refere ao Controle Regulatório1. Apesar de ainda ser bastante popular, a uti-lização isolada de um PID não é suficiente para lidar com a complexidade crescente dos processos industriais, provocada pela evolução tecnológica ao longo das décadas. Esse aumento de complexidade, marcado por processos multivariáveis, atraso de trans-porte elevados ou não linearidades acentuadas, exigiu o desenvolvimento de novas me-todologias, de modo que surge uma nova categoria de controle: o Controle Avançado de Processo (Advanced Process Control – APC). Um dos principais algoritmos inserido nesse grupo é o Controle Preditivo baseado em Modelo (Model Predictive Control – MPC)

1

Controle Regulatório pode ser definido como estratégias de controle contidas em controladores de campo, como os CLPs

[Botelho 2015, Zagrobelny 2014, Santos 2013].

Como o próprio nome sugere, este tipo de controlador usa explicitamente o modelo do processo para predizer o comportamento futuro do sistema. A predição é realizada a partir da minimização de uma função objetivo, que calcula uma sequência de ações de controle ótima, capaz de levar as variáveis controladas (Controlled Variables – CV) à sua referência, dentro de um horizonte de predição. É importante que o modelo traduza a relação entre as variáveis de saída e de entrada do sistema. Essa relação pode ser obtida a partir de modelos lineares, como funções de transferência, ou através de modelos não lineares [Rossiter 2003].

A primeira descrição de um MPC ocorreu em meados da década de 70 e ficou co-nhecido como Identification and Command (IDCOM). Aproximadamente no mesmo pe-ríodo, outro algoritmo denominado Dynamic Matrix Control (DMC) também estava em construção. Ambas as técnicas serviram como base para inspirar o desenvolvimento de vários outros algoritmos. O DMC, em especial, continua sendo utilizado até os dias atu-ais, com diversas aplicações na indústria energética [Jiang & Dong 2019, Zhu et al. 2019]. Como pode-se perceber, o termo MPC não se restringe apenas a uma única estratégia de controle e sim a uma ampla variedade de algoritmos que possuem a mesma filoso-fia [Camacho & Bordons 2007]. García et al. (1989), Qin & Badgwell (2003), Lee (2011) e Mayne (2014) formam um bom acervo referente a história, evolução e desafios enfren-tados pelo MPC ao longo dos anos. Em um trabalho mais recente, Forbes et al. (2015) apresenta as perspectivas e desafios especificamente no âmbito industrial.

Os controladores preditivos baseados em modelos conseguem lidar com as restrições físicas e operacionais do processo, incorporando-as junto a otimização da função objetivo. Sua característica preditiva define quais ações de controle são mais recomendadas para que essas restrições não sejam violadas. Além disso, a estrutura do MPC permite que os modelos de múltiplas entradas e múltiplas saídas (Multiple-Inputs Multiple-Outputs – MIMO) e os distúrbios medidos sejam tratados de forma natural. Como comentado, essa capacidade de lidar com a complexidade dos sistemas torna o MPC uma das técnicas mais comuns para ser usada no Controle Avançado de Processo.

Outras vantagens e características são encontradas em Camacho & Bordons (2007): • flexibilidade para ser utilizado tanto em sistemas de baixa complexidade quanto nos

de alta, incluindo sistemas com grandes atrasos de transporte, fase não mínima ou instáveis;

• capacidade intrínseca de compensação do tempo morto;

• conceitos simples e intuitivos que facilitam o entendimento da equipe que irá manu-seá-lo, mesmo que não possuam conhecimento avançado em Controle de

Proces-sos.

De um ponto de vista econômico, Botelho (2015) e Kano et al. (2010) descrevem mais algumas vantagens do uso desse tipo de controlador. Como o sistema possui uma otimização em sua operação, a variabilidade é reduzida, permitindo que se atue próximo das restrições. Esse comportamento reduz os custos ao mesmo tempo que potencializa os lucros; dá mais segurança ao processo, além de aprimorar a qualidade do produto e diminuir a geração de resíduos. Kano et al. (2010), inclusive, afirmam que houve uma me-lhora de 3% a 5% na conservação de energia e na capacidade produtiva com a aplicação de técnicas de controle avançado utilizando MPC. Campos et al. (2013) reforçam esses ganhos ao estimar que com a implantação de um MPC seja possível alcançar benefícios na ordem de 2% a 10%.

As vantagens da utilização do MPC são muito claras e ocorrem principalmente logo após o período de projeto e de implantação. Entretanto, algumas ressalvas precisam ser consideradas: a dedução de sua lei de controle é mais complexa do que a dos controla-dores PID clássicos, embora seja considerada de fácil implementação; um desempenho satisfatório para essa estratégia de controle possui forte dependência do modelo utilizado durante o projeto do controlador [Sun, Qin, Singhal & Megan 2013, Zagrobelny 2014, Bote-lho et al. 2015], de modo que variações nos parâmetros podem comprometer a qualidade do seu funcionamento; apesar de, na ausência de restrições, possuir uma solução ana-lítica (em função das informações de entrada e saídas passadas e do modelo) ao serem considerados os limites impostos ao sistema, um problema de programação quadrática2 (Quadratic Programming – QP) precisa ser resolvido a cada período de amostragem, au-mentando a carga computacional necessária para executar o algoritmo de controle. Este último ponto se torna bastante relevante, tendo em vista que os sistemas reais estão sujeitos a restrições.

Dessa forma, o fator computacional, durante um relativo período, condicionou o uso do MPC a sistemas simples ou com dinâmicas mais lentas [Floudas & Pardalos 2009, Mi-randa et al. 2018, Gersnoviez et al. 2019], como, por exemplo, refinarias de petróleo e gás [Adhau et al. 2019], de modo que houvesse tempo necessário para resolver o pro-blema de otimização dentro do período de amostragem. Vale destacar que a produção de uma ação de controle fora do tempo de amostragem estipulado pode levar o controle de sistemas dinâmicos à instabilidade, visto que o sinal calculado seria aplicado com atraso. Esse ponto negativo motivou a junção de técnicas multiparamétricas (mp) [Bank et al. 1982, Pistikopoulos et al. 2007a, Pistikopoulos et al. 2007b, Floudas & Pardalos 2009] com

2

controladores preditivos baseados em modelos, que ficou conhecido como MPC explícito (Explict Model Predictive Control – EMPC) ou MPC multiparamétrico (multiparametric Mo-del Predictive Control – mp-MPC) [Bemporad, Morari, Dua & Pistikopoulos 2000, Bempo-rad, Morari, Dua & Pistikopoulos 2002]. Basicamente, o problema de otimização quadrá-tica, presente na formulação tradicional do MPC, é reescrito no formato de uma Progra-mação Quadrática multiparamétrica (multiparametric Quadratic Programming – mpQP), que ao ser resolvida gera uma função Afim por Partes (Piciewise Affine – PWA). Esta representa o mapeamento completo de todas as ações de controle ótimas em função do parâmetros definidos no problema de otimização, que, para este caso, são os estados do sistema. A grande vantagem dessa técnica é que toda a demanda computacional utilizada no MPC é atenuada, tendo em vista que a resolução do problema multiparamétrico pode ser feita fora da rotina de execução do controlador (offline), enquanto considera, ainda, o conjunto viável de restrições [Bemporad, Morari, Dua & Pistikopoulos 2002].

Desde então, diversos trabalhos tem sido desenvolvidos envolvendo essa metodolo-gia de controle [Lima et al. 2013, Miranda et al. 2018, Adhau et al. 2019]. Uma lista com as principais publicações da primeira década dos anos 2000 é apresentada por Koura-mas et al. (2011) e Pistikopoulos et al. (2012) e adaptada na Tabela1.1. Pistikopoulos et al. (2012) também traz um panorama geral dos avanços sobre programação multipa-ramétrica, para o mesmo período. Um aprofundamento sobre estas técnicas pode ser realizado em [Pistikopoulos et al. 2007a, Pistikopoulos et al. 2007b, Pistikopoulos 2009].

Tabela 1.1: Principais publicações envolvendo MPC explícito/muliparamétrico (adaptado de Kouramas et al. (2011)).

MPC multiparamétrico

[Bemporad, Morari, Dua &

Pistikopoulos 2000, Bemporad, Morari, Dua & Pistikopoulos 2002, Pistikopoulos et al. 2002, Tøndel et al. 2003]

MPC multiparamétrico contínuo no tempo [Kojima & Morari 2004, Sakizlis et al. 2005]

MPC multiparamétrico Híbrido [Bemporad, Borrelli & Morari 2000b, Sakiz-lis et al. 2001]

MPC multiparamétrico Robusto [Bemporad et al. 2001, Sakizlis et al. 2004, Mayne et al. 2006, Pistikopoulos 2009]

MPC multiparamétrico não linear [Bemporad 2003, Johansen 2002, Domín-guez & Pistikopoulos 2010]

subs-tituir a formulação tradicional do controlador, mas sim estender seu uso em novas áreas, aumentando sua gama de aplicações [Bemporad, Morari, Dua & Pistikopoulos 2002, Tøn-del et al. 2003].

O controlador preditivo baseado em modelo também tem sido usado para realizar o controle de processos dinâmicos de natureza mista, ou seja, que possuem dinâmicas contínuas e discretas, denominados sistemas Híbridos. Em sua forma mais geral, esses sistemas são caracterizados pela interação entre modelos contínuos no tempo (represen-tados por equações diferenciais); regras lógicas e sistemas de eventos discretos (má-quina de estados finita, regras do tipo se-senão); e com componentes discretos (chaves liga-desliga, válvulas, dentre outros) [Bemporad & Morari 1999a, Borrelli et al. 2005]. Os sistemas Híbridos podem ser modelados em um conjunto de igualdades e desigualdades que serão utilizadas em um problema de otimização, resolvido através de uma Programa-ção Inteira Mista (Mixed-Integer Programming – MIP) [Floudas 1995].

Portanto, o MPC pode ser usado em conjunto com a MIP de modo a considerar mode-los Híbridos em sua formulação, sendo nomeado de MPC Híbrido (Hybrid MPC – hMPC) [Bemporad, Borrelli & Morari 2000b, Bemporad, Borrelli & Morari 2000a]. O hMPC de-tem as mesmas características do MPC de modo que, tomando como base o que foi exposto anteriormente, também é possível (e plausível) a utilização da programação mul-tiparamétrica para reduzir o custo computacional em tempo real (online) para o hMPC. Os trabalhos de Sakizlis et al. (2001) e Sakizlis et al. (2002) representam as definições iniciais para o MPC híbrido multiparamétrico (mp-hMPC). Uma bibliografia complementar e mais desenvolvida sobre este controlador é vista em Pistikopoulos et al. (2007a),Morari & Bari´c (2006) e Pistikopoulos et al. (2012)

Como pode ser notado, grandes avanços e evoluções foram alcançados envolvendo o MPC, que teve seu universo de formulações e aplicações expandido através das técnicas citadas. No entanto, grande parte destas formulações possuem seu modelo representado em espaço de estados (State Space – SS). Com a evolução dos computadores, a reso-lução de equações diferenciais tornou-se mais simplificada, o que viabilizou o uso desse tipo de representação. Já é conhecida, na teoria de controle de processos, a relação entre uma representação em espaço de estados e um modelo entrada-saída, como a função de transferência (Transfer Function – FT)[Willems 1983], de modo que ambas possuem prós e contras, com sua utilização sendo muitas vezes determinada pela aplicação a ser controlada.

Via de regra, a representação em espaço de estados é mais completa, constituindo uma abordagem para o domínio do tempo e podendo ser utilizada em sistemas lineares ou não lineares, variantes ou invariantes no tempo e com sistemas de uma entrada e uma

saída (Single-Inputs Single-Outputs – SISO) ou MIMO. Enquanto isso, a representação em função de transferência constitui-se em uma abordagem no domínio da frequência, limitada a sistemas lineares e invariantes no tempo (Linear Time-Invariant – LIT) e a sis-temas SISO (pode ser adaptado para sissis-temas MIMO a partir de uma representação por Matriz de Transferência) [Ogata 2004, Dorf & Bishop 2001].

Para casos reais, em que existe a necessidade de identificação para obtenção do modelo, o formato em TF encontra-se mais consolidado na literatura. Stoica & Jansson (2000) afirmam que a abordagem em espaço de estados não é estatisticamente ótima e as tentativas de otimizar sua precisão estatística tiveram um sucesso apenas limitado. Além disso, não há uma regra bem estabelecida para estimar o parâmetro estrutural (isto é, a dimensão do vetor de estado). Terzi et al. (2019) complementam que, em aplicações práticas, o estado pode não ser totalmente medido; a ordem do sistema não é conhecida; e o ruído de medição e as perturbações do processo estão presentes. Essas característi-cas tornam o problema de identificação ainda mais desafiador. Apesar disso, a represen-tação em SS é capaz de estender, de forma bem direta, casos em que o ruído do modelo também precise ser estimado, diferente do que ocorre com a TF [Stoica & Jansson 2000]. Trabalhos recentes continuam a ser desenvolvidos, buscando melhorias no processo de identificação de sistemas, tanto para uma abordagem em espaço de estados [Terzi et al. 2019] quanto utilizando uma abordagem entrada-saída [Cerone et al. 2016, Cerone et al. 2017, Yan et al. 2017]. Em particular, Pascu et al. (2019) traz um conjunto de Benchmarks para a identificação de modelos contínuos no tempo, com o escopo voltado a representação em Função de Transferência.

Portanto, baseado no que foi exposto e em busca de contribuir com avanços na área que envolve controladores preditivos baseados em modelos, foi despertado o interesse em aplicar a programação multiparamétrica para um MPC que utilize uma abordagem do tipo entrada-saída. Uma das técnicas mais consolidadas é o Controle Preditivo Genera-lizado (Generalized Predictive Control – GPC), que, apesar de ser um controle preditivo clássico, continua sendo foco de trabalhos na atualidade em diferentes áreas, como visto em [Ławry ´nczuk & Ocło ´n 2019] e [Liu et al. 2019]. Uma das características mais comuns de sistemas de controle preditivos clássicos é o uso direto dos sinais de entrada e saída da planta no controle por realimentação em malha fechada, evitando o uso de observadores [Wang 2009].

1.2

Objetivos Gerais

Existem poucos trabalhos na literatura que tratam de uma formulação GPC multipara-métrica (multiparametric GPC – mp-GPC) através de uma lei de controle PWA. Os dois primeiros casos foram apresentadas em [Olaru & Dumur 2004] e [Olaru et al. 2005] que utilizaram uma abordagem parametrizada de poliedros, a partir dos conceitos introduzidos por Bemporad, Morari, Dua & Pistikopoulos (2002), para definir as leis PWA para um GPC Explícito (Explicit GPC – EGPC) com restrição e um GPC Robusto Explícito com restrição, projetados a partir de uma metodologia de alocação de polos do tipo RST [Camacho & Bordons 2007]. Posteriormente, Arce et al. (2007) apresentou um GPC multiparamétrico aplicado ao controle de uma célula de combustível PEM (Polymer Electrolyte Membrane); e por fim, mais recente3, Witheephanich et al. (2010) utiliza a estratégia no gerenciamento de energia para uma rede de sensores sem fio. Em todos esses trabalhos, as formulações demonstradas são para aplicações do tipo SISO.

Diante do contexto apresentado, esta tese tem como objetivo definir uma formula-ção mais geral e completa para um GPC multiparamétrico, capaz de lidar com sistemas MIMO. Para isso, duas formulações são propostas, que se distinguem pela quantidade de parâmetros utilizados. O controle foi testado em diferentes contextos, observando o seu funcionamento em sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas. Dos três casos analisados, um corresponde a um sistema MIMO simples, outro a um caso subatuado e o último a um problema com atraso de transporte. Além disso, também é investigado o uso de um modelo híbrido para representar o comportamento de uma válvula com uma não linearidade do tipo histerese. As características não lineares da válvula são traduzi-das a partir de regras lógicas e usatraduzi-das na construção de um modelo para um controlador GPC híbrido multiparamétrico (mp-hGPC). Com isso, espera-se minimizar, ou até mesmo cancelar,e os efeitos da não linearidade.

Não é escopo deste trabalho fazer uma análise comparativa entre as formulações GPC propostas e outra baseada em espaço de estados.

1.3

Contribuições

A principal contribuição deste trabalho encontra-se na proposição de formulações para um controlador preditivo generalizado multivariável, que façam uso de uma lei de

con-3

O termo GPC explícito também é empregado em [Belda & Vošmik 2016], contudo trata-se de um con-trole que não está sob restrições, possibilitando o uso da solução analítica do GPC para garantir velocidade durante a execução em tempo real.

trole explícita do tipo afim por partes, armazenada em uma tabela de busca responsá-vel pelo mapeamento das ações de controle ótimas. Dois formatos são apresentados e encontram-se detalhados nos capítulos 3e 5, respectivamente. Um estudo do primeiro encontra-se detalhado no artigo:

• Fonseca, D. G. V. da, Dantas, A. F. O. de A., Dórea, C. E. T., Maitelli, A. L., "Explicit

GPC control applied to an approximated linearized crane system", Journal of Control Science and Engineering, 2019.

através da aplicação do controle em um sistema de guindaste de pórtico.

É importante ressaltar o estudo comparativo realizado entre as duas formulações pro-postas. Após a descrição de suas características, investigou-se o desempenho de cada uma quando aplicadas em três problemas simulados de controle: um multivariável sim-ples, um subatuado e outro com presença de atraso de transporte. Uma análise do tempo computacional gasto também foi feita, tanto durante a resolução da programação multipa-ramétrica, quanto da execução do controle em tempo real. É notório o ganho computaci-onal quando observado o tempo consumido na execução online do controlador multipara-métrico. Os resultados serão compilados em mais um artigo a ser publicado.

Apesar das aplicações escolhidas para a realização dos testes não precisarem de uma taxa de amostragem rápida, o estudo de um controle explícito multiparamétrico é válido, visto que pode ser aplicado em sistemas embarcados, como um Controladores Lógicos Programáveis (CLP), para controlar diferentes tipos de sistemas [Moreira 2013].

Outra contribuição presente neste texto é a utilização de um modelo híbrido para re-presentar uma válvula não linear. O equipamento é modelado a partir de sua dinâmica contínua no tempo e de regras lógicas do tipo se-senão que traduzem a não linearidade da válvula ou, ao menos, aproximam-se a ela. O modelo é, então, usado em um controle GPC híbrido multiparamétrico com objetivo de compensar os efeitos da não linearidade. Um estudo das fragilidades e benefícios dessa abordagem também foi realizado.

1.4

Organização do trabalho

Esta tese é composta por sete capítulos, incluindo este capítulo introdutório que apre-sentou as motivações centrais para o desenvolvimento deste trabalho, além dos objetivos e das principais contribuições. Uma discussão sobre controladores preditivos baseados em modelos (MPC), explorando os conceitos fundamentais e suas diferentes formulações, é realizada ao longo do Capítulo2. No terceiro capítulo é exposta uma introdução sobre

controladores preditivos multiparamétricos, em que se define uma formulação multivariá-vel para o GPC multiparamétrico. No Capítulo4, o mp-GPC é avaliado, a partir de sua aplicação em um sistema de guindastes de pórtico. Na busca por melhorias na aborda-gem multiparamétrica do GPC, uma reformulação é proposta no Capítulo 5 e avaliada comparativamente com a formulação anterior, através de três exemplos simulados de sis-temas industriais. O sexto capítulo apresenta os fundamentos de um sistema híbrido, propondo a implementação de um controlador híbrido multiparamétrico a ser aplicado em uma válvula pneumática. Deseja-se minimizar os efeitos de uma não linearidade presente no atuador, através da construção de um modelo híbrido que consiga traduzir, por meio de regras lógicas, quando uma válvula encontra-se agarrada. O sétimo e último capí-tulo concentra as conclusões da tese, com algumas considerações sobre perspectivas de trabalhos futuros que podem ser desenvolvidos no tema.

1.5

Notação

Nesta seção encontram-se algumas notações que serão adotadas ao longo deste trabalho.

Letras minúsculas em negrito representam vetores, já letras minúsculas sem negrito correspondem a quantidades escalares. Matrizes serão representadas por letras maiús-culas.

O uso da notação (.)_k e (.)(k) representa o valor da k-ésima amostra de uma variá-vel qualquer. Argumentos temporais ou frequenciais na forma (.)(t), (.)(k), (.)(s) ou (.)(z) podem vir a ser omitidos para melhor legibilidade quando sua presença estiver implícita.

Argumentos na forma (.)(k + j|k)são utilizados para representação de termos futuros, e indicam o valor da variável no instantek+ jcalculada no instantek.

Este trabalho também possui uma lista de símbolos e abreviaturas que pode auxiliar o leitor a recordar os significados de termos descritos ao longo do texto.

Controle Preditivo Generalizado

O Controlador Preditivo Generalizado (GPC) [Clarke et al. 1987] possui atuação reco-nhecida na academia e na indústria, com implementações em diferentes áreas de atua-ção. Sua forma inerente de lidar com as restrições do processo e com sistemas multiva-riáveis lhe confere forte vantagem frente a outras estratégias de controle, tornando-o uma escolha natural para solucionar problemas complexos do meio industrial.

Apesar de ser uma estratégia preditiva clássica, esse tipo de controle continua atraindo interesse de pesquisadores ao redor do globo, motivados por melhorias em sua estrutura e no aumento do seu desempenho [Liu et al. 2019]. Como este trabalho sugere e faz uso de alterações em sua formulação matemática, este capítulo é reservado para um de-talhamento, abordando os conceitos do GPC tradicional, sem restrições (Unconstrained GPC – UGPC), e do GPC sujeito a restrições (Constrained GPC – CGPC). Também são apresentadas a metodologia e uma breve introdução sobre as características gerais en-volvendo controladores preditivos baseados em modelos (MPC), categoria da qual o GPC faz parte.

2.1

Introdução

A maior parte das leis de controle (PIDs, por exemplo) não leva em consideração os efeitos futuros provocados pela aplicação da ação de controle atual. Os controladores preditivos baseados em modelos divergem da maioria, e são capazes de predizer o com-portamento do sistema sobre uma faixa de tempo. Essa informação é, então, utilizada para definir apropriadamente a trajetória da entrada, de modo que sua aplicação não leve o sistema a um comportamento indesejado [Rossiter 2003].

Como dito no Capítulo 1, o termo MPC não representa apenas uma única estratégia de controle, e sim uma gama de métodos que possuem como base as seguintes caracte-rísticas:

• usam explicitamente o modelo como ferramenta para predizer as saídas do pro-cesso em instantes futuros;

• calculam uma sequência de controle que minimiza uma função objetivo;

• fazem uso do horizonte retrocedente ou, também conhecido, Princípio do Horizonte Móvel, detalhado mais a seguir.

Essas técnicas são inerentemente discretas e a diferença entre elas encontra-se, basica-mente, na função objetivo a ser minimizada e nos modelos escolhidos por cada uma para representar o processo e os ruídos [Camacho & Bordons 2007].

2.2

Metodologia

A metodologia praticada pelos controladores preditivos está ilustrada através da Fi-gura2.1. As ações de controle futuras,u(k + j|k), são calculadas de forma que a

predi-Figura 2.1: Funcionamento básico do MPC (adaptação de Bemporad & Morari (1999b)).

passado

futuro

Horizonte

de controle

Horizonte

de predição

Tempo

Saídas preditas

Entradas

ção da saíday(k + j|k)ˆ siga uma trajetória de referênciar(k). Portanto, o cálculo dessa sequência de controle é feito mediante a otimização de um critério que busque manter a variável controlada (Controlled Variable – CV) o mais próximo possível de sua referência (Setpoint – SP). Geralmente esse critério corresponde a uma função objetivo, composta de um erro de predição entre as CVs preditas e os SPs. A taxa de variação do esforço de controle também pode estar presente nesse funcional de custo.

Como pode ser visto na Figura2.1, as saídas futuras são determinadas dentro de uma faixaNp, denominada Horizonte de Predição, enquanto que as futuras ações de controle

estão dentro de um Horizonte de ControleN_u. Para valores deN_u< j < Np, conserva-se u(k + j|k) = u(K + N_u|k).

Após ser obtido o conjunto de ações de controle, somente o primeiro sinal (u(k|k)) é aplicado ao processo, descartando-se os demais. Isso ocorre, pois no instante se-guinte o valor dey(k + 1)torna-se conhecido. Como existe uma nova informação sobre o processo, se faz necessário reaplicar todo o procedimento levando em consideração as informações mais recentes medidas do sistema. Esse é o conceito do Horizonte Re-trocedente, também conhecido como Princípio do Horizonte Móvel, ilustrado a partir da Figura2.2. Observe que no instantek+ 1a sequência de controle é diferente daquela obtida no instantek.

Figura 2.2: Princípio do horizonte móvel. Somente a primeira ação de controle calculada é aplicada ao processo (adaptação

de Morari (2009)).

passado

futuro

Tempo

Saídas preditas

Entradas

O cálculo responsável por gerar a sequência de controle ótima é um problema de mi-nimização que, usualmente, precisa de um procedimento iterativo para ser solucionado. Apesar disso, uma solução analítica pode ser alcançada, basta que o modelo seja linear, não haja restrições e o funcional de custo seja representado por uma função quadrá-tica [Souza 2006].

A Figura 2.3 apresenta a estrutura básica do MPC que resume de maneira visual a metodologia discutida. O modelo é usado para predizer as saídas da planta, baseado em informações passadas, atuais e nas ações ótimas das variáveis manipuladas

(Manipula-Figura 2.3: Estrutura básica do MPC (adaptação de Camacho & Bordons (2007)).

ted Variable – MV) produzidas pelo bloco otimizador. Estas ações são calculadas a partir da função objetivo, geralmente sujeita a algumas restrições.

2.3

Formulação Matemática

O algoritmo do GPC é baseado em um modelo de entrada-saída conhecido como CA-RIMA (Controller Auto-Regressive Integrated Moving-Average). Para um processo multi-variável dementradas ensaídas esse tipo de modelo pode ser expresso pela equação (2.1), ou, de forma equivalente, pela equação (2.2).

A(z−1)y(k) = B(z−1)u(k − 1) +1 ∆C(z

−1_)ν

νν(k), (2.1)

A(z−1)∆y(k) = B(z−1)∆υυυ(k − 1) + C(z−1)ννν(k), (2.2)

em queA(z−1)eC(z−1)são matrizes de polinômios mônicosn×neB(z−1)é uma matriz de polinômion× m. Elas também podem ser escritas em um formato polinomial, cujos coeficientes são matrizes, como mostram as equações2.3–5.

A(z−1) = In×n+ A1z−1+ A2z−2+ · · · + Anaz−na, (2.3) B(z−1) = B0+ B1z−1+ B2z−2+ · · · + Bnbz

−nb_{, (2.4)}

C(z−1) = In×n+C1z−1+C2z−2+ · · · +Cncz−nc. (2.5)

O operador de atraso z−1 é utilizado para definir ∆ = 1 − z−1. As variáveis y(k), u(k) e ννν(k) são o vetor de saída n× 1, o vetor de entrada m× 1 e o vetor de ruído n× 1

na amostrak, respectivamente. O vetor∆υυυ(k)de dimensão m× 1representa a taxa de variação das entradasu(k).

O algoritmo do GPC consiste na aplicação de uma sequência de controle capaz de minimizar a função custo da forma:

J= Np

∑

∑

ˆy(k + j|k) é uma predição ótima das saídas do sistema, j passos a frente até a amostrak;

r(k + j)é um vetor(n × 1)de referências futuras para o vetor de saída; ∆υυυ(k + j − 1)o vetor da taxa de variação das entradas;

eQyeQ∆usão matrizes de pesos (positivas definidas) para o erro e para a variação do sinal de controle, de dimensões(n × n)e(m × m), respectivamente.

Considerando o caso mais comum, quandoC(z−1) = In×n(ruído branco), a predição ótima para o vetor de saídas pode ser gerada como segue.

A Equação Diofantina é dada por:

I_n×n= Ej(z−1) ˜A(z−1) + z− jF(z−1), (2.7)

em queA(z˜ −1) = A(z−1)∆eEj(z−1)eFj(z−1)são matrizes de polinômios únicas cuja ordem é j− 1en_a(grau deA(z−1)), respectivamente.

Se a equação (2.1) for multiplicada por∆Ej(z−1)zj, tem-se:

(∆Ej(z−1)zj)A(z−1)y(k) = (∆Ej(z−1)zj)B(z−1)υυυ(k − 1) + (∆Ej(z−1)zj) 1

∆In×nννν(k), (2.8)

resultando em :

Ej(z−1) ˜A(z−1)y(k + j) = Ej(z−1)B(z−1)∆υυυ(k + j − 1) + Ej(z−1)ννν(k + j). (2.9)

Utilizando-se a equação (2.7) de forma queIn×n− z− jF(z−1) = Ej(z−1) ˜A(z−1), tem-se, então:

[I_n×n− z− jF(z−1)]y(k + j) = E_j(z−1)B(z−1)∆υυυ(k + j − 1) + Ej(z−1)ννν(k + j), (2.10) y(k + j) = Fj(z−1)y(k) + Ej(z−1)B(z−1)∆υυυ(k + j − 1) + Ej(z−1)ννν(k + j).

Como o grau de Ej(z−1) é j− 1, todos os termos referentes ao ruído estão no futuro. Utilizando o operador esperança e considerando queE[ννν(k)] = 0, o valor esperado para y(k + j)é dado por:

ˆy(k + j|k) = E[y(k + j)] = F_j(z−1)y(k) + E_j(z−1)B(z−1)∆υυυ(k + j − 1). (2.11)

As matrizes de polinômiosEj(z−1)eFj(z−1)podem ser enxergadas como polinômios cujos coeficientes são matrizes, da mesma forma queA(z−1)eB(z−1):

Ej(z−1) = Ej,0+ Ej,1z−1+ Ej,2z−2+ · · · + Ej, j−1z−( j−1), (2.12) Fj(z−1) = Fj,0+ Fj,1z−1+ Fj,2z−2+ · · · + Fj,naz−na, (2.13)

e podem ser calculados iterativamente, como mostram as equações a seguir:

Ej+1(z−1) = Ej(z−1) + Rjz− j, (2.14) R_j= Fj,0,

Fj+1,i= Fj,i+1− RjA˜i+1 parai= 0 . . .grau(Fj+1), (2.15)

com as condições iniciais:E1é igual a uma matriz identidadeIeF1= z(I − ˜A).

As matrizes de polinômiosEeFestão escritas em função de termos na forma{·}j,i que representa o coeficientei do polinômio na predição j. O demonstrativo mais deta-lhado desses cálculos pode ser encontrado em [Camacho & Bordons 2007].

Considerando o termoEj(z−1)B(z−1)da equação (2.11) como na equação (2.16):

Ej(z−1)B(z−1) = Gj(z− j) + z− jGj p(z−1), (2.16)

a predição deypode ser dada por:

ˆy(k + j|t) = Gj(z− j)∆υυυ(k + j − 1) + Gj p(z−1)∆υυυ(k − 1) + Fj(z−1)y(k), (2.17)

em queG_j(z− j)eG_{j p}(z−1)são polinômios de ordemN_p en_b (grau deB(z−1)), respec-tivamente, cujos coeficientes são matrizes de dimensão(n × m).

Observando que os dois últimos termos do lado direito da equação (2.17) depen-dem de valores passados, eles correspondepen-dem a resposta livre do processo se o sinal de controle for mantido constante. Já o primeiro termo depende apenas de valores futuros, assim, é considerado a resposta forçada do processo. A equação (2.17) pode, então, ser

reescrita como:

ˆy(k + j|t) = Gj(z− j)∆υυυ(k + j − 1) + fj, (2.18)

comfj= Gj p(z−1)∆υυυ(k − 1) + Fj(z−1)y(k). Considerando-seN predições a frente, tem-se:

ˆy(k + 1|k) = G1(z−1)∆υυυ(k) + f1, ˆy(k + 2|k) = G2(z−1)∆υυυ(k + 1) + f2, .. . ˆy(k + N|k) = GN(z−1)∆υυυ(k + N − 1) + fN. (2.19)

Por causa da propriedade recursiva da matriz de polinômios E_j(z−1) a equação (2.19) pode ser reescrita como:

            ˆy(k + 1|k) ˆy(k + 2|k) .. . ˆy(k + j|k) .. . ˆy(k + N|k)             =             G0 0n×m · · · 0n×m · · · 0n×m G1 G0 · · · 0n×m · · · 0n×m .. . ... . . . ... ... ... Gj−1 Gj−2 · · · G0 · · · 0n×m .. . ... ... ... . . . ... GN−1 GN−2 · · · G0                         ∆υυυ(k) ∆υυυ(k + 1) .. . ∆υυυ(k + j − 1) .. . ∆υυυ(k + N − 1)             +             f1 f2 .. . fj .. . fN             , (2.20)

em queGj(z−1) = ∑_i=0j−1Giz−i. As predições podem ser expressas em uma forma simpli-ficada:

y = G∆u + f. (2.21)

Ao utilizar os conceitos de horizonte de predição junto com o conceito de horizonte de controle, a equação (2.21) pode ser entendida como:

yHp = GHpu∆uHu+ fHp, (2.22)

fHp = [fT1· · · fTNp]T eGHpu é a seguinte submatriz deG: GHpu =       G0 0n×m · · · 0n×m G1 G0 · · · 0n×m .. . ... . . . ... GNp−1 GNp−2 · · · GNp−Nu       , (2.23)

comG_i= 0n×mparai< 0. Dessa forma, a equação (2.6) pode ser vista como:

J= (GHpu∆uHu+ fHp− r)TQy(GHpu∆uHu+ fHp− r) + ∆uTHuQ∆u∆uHu, (2.24)

em que Qy=diag(Qy, · · · , Qy) com dimensão (nNp× nNp); Q∆u=diag(Q∆u, · · · , Q∆u) com dimensão (mN_u× mNu); ero vetor de referências com a mesma dimensão defHp.

Ainda é possível reescrever a equação (2.24) deixando-a na forma quadrática:

J= ∆uTHu(GHpuTQyGHpu+ Q∆u)∆uHu+ 2(fHp− r)TQyGHpu∆uHu+ (fHp− r)TQy(fHp− r), (2.25) J= 1 2∆uHu T_H∆u Hu+ bT∆uHu+ f0, (2.26) em que       

H = 2(GHpuTQyGHpu+ Q∆u) bT = 2(fHp− r)TQyGHpu

f₀= (fHp− r)TQy(fHp− r)

. (2.27)

Se não houver restrições, a solução ótima é dada por:

∆uHu = (GHpuTQyGHpu+ Q∆u) −1_G

HpuTQy(r − fHp), = K(r − fHp)

(2.28)

comK= (GHpuTQyGHpu+ Q∆u) −1_G

HpuTQy.

É importante destacar que devido ao Princípio do Horizonte Móvel, apenas a primeira ação de controle calculada é aplicada ao processo. Portanto, somente as primeira m linhas deKsão utilizadas.

2.4

GPC com Restrições

Como visto na Seção2.3, a formulação tradicional do GPC não leva em consideração as restrições que possam estar presentes no sistema. Entretanto, em uma abordagem real de controle, todos os sistemas físicos estão sujeitos a restrições. Por exemplo, atua-dores possuem limites de atuação e variação, como é o caso das válvulas de controle, que estão limitadas a um posicionamento totalmente fechado ou totalmente aberto e a uma taxa de variação máxima. Essas limitações ora podem estar associadas a fatores constru-tivos dos equipamentos quanto a razões de segurança do processo. Consequentemente, esses fatores são inerentes do próprio sistema, precisando levá-los em consideração no momento do projeto do controlador.

Em uma estratégia de controle tradicional o valor do sinal de controle é saturado caso ele viole as restrições. Essa forma de operação não garante uma ação de controle ótima para o sistema, impedindo que este funcione com o seu melhor desempenho. Os contro-ladores GPC conseguem calcular um sinal de controle ótimo levando em consideração a presença de restrições. Normalmente, os limites estão presentes no esforço de controle e em sua taxa de variação, como também na saída do processo. A equação (2.29) descreve este conjunto de restrições:

∆uhard_min ≤ ∆u ≤ ∆uhard_max,

uhard_min ≤ u ≤ uhard_max, (2.29) yhard_min ≤ y ≤ yhard_max,

em que∆uhard_min , ∆uhard_max, uhard_min , uhard_max, yhard_min eyhard_max são vetores de dimensões adequadas a∆u,uey, que representam os limites inferiores e superiores das taxas de variação dos sinais de controle, das ações de controle e das saídas de processo, respectivamente.

Quando uma restrição não pode ser violada de maneira alguma, seja por questões físicas, de segurança ou econômicas, ela é chamada de restrição dura (hard constraint). Entretanto, quando uma restrição puder ser violada, gerando uma penalização na função custo, esta é chamada de restrição branda (soft constraint). No escopo deste trabalho, se-rão retratadas apenas as restrições duras, de modo que a notação{·}hard será suprimida e os termos representados apenas por∆umin,∆umax,umin,umax,ymineymax.

Considerando um processo com m entradas e n saídas, sujeito a um horizonte de prediçãoNp e a um horizonte de controle Nu, a equação (2.29) pode ser expressa, em

função da variação do sinal de controle, por:

1u∆umin≤ ∆uHu ≤ 1u∆umax, (2.30) 1uumin≤ Tr∆uHu+ 1uu(k − 1) ≤ 1uumax, (2.31) 1yymin≤ GHpu∆uHu+ fHp ≤ 1yymax, (2.32)

em que

1ué uma matrizmNu× mformada porNumatrizes identidadem× m; 1yé uma matriznNp× nformada porNpmatrizes identidaden× n;

eTr é uma matriz bloco triangular de dimensão mNu× mNu cujos elementos não nulos são matrizes identidadem× m.

Por uma questão de simplificação da notação, a partir deste instante os termos GHpu, ∆uHu efHp serão considerados comoG,∆uef.

As restrições podem ser expressas de forma simplificada como:

Rc∆u ≤ c, (2.33) em que: Rc=            ImNu×mNu −ImNu×mNu Tr −Tr G G            c =            1u∆umax −1u∆umin 1uumax− 1uu(k − 1) −1uumin+ 1uu(k − 1) 1yymax− f 1yymin+ f            . (2.34)

Portanto, a minimização da função objetivoJ pode ser formulada com um problema de programação quadrática (QP), como mostra a equação (2.35):

min u J= 1 2∆u T_{H∆u + b}T ∆u + f0 s.a.: Rc∆u ≤ c (2.35)

Existem vários algoritmos de otimização capazes de resolver esse problema. Nesse contexto, a QP deve ser resolvida em tempo de execução (online), a cada iteração do algoritmo de controle, e o resultado deve ser enviado ao processo controlado. No caso de sistemas multivariáveis, a quantidade de memória e o tempo computacional necessários

para resolver o problema de otimização podem crescer, de acordo com a escolha dos ho-rizontes de predição e de controle. Uma possível solução para contornar essa situação é estabelecer um horizonte de restrição [Olaru & Dumur 2004, Short & Abugchem 2017]Nuc para as entradas e um horizonte de restriçãoNyc para as saídas, que sejam respectiva-mente menores do que os valores inicialrespectiva-mente estabelecidos porNueNp, com o objetivo de reduzir o tamanho do conjunto de restrições. Logo, a equação (2.34) pode ser reescrita como apresentado na equação (2.36).

RNc=            INuc −INuc TNuc_r −TNuc_r GNyc GNyc            cNc=           

1Nuc_u ∆umax −1Nuc_u ∆umin 1Nuc_u umax− 1Nucu u(k − 1) −1Nuc_u umin+ 1Nucu u(k − 1)

1Nycy ymax− fNyc 1Nycy ymin+ fNyc

           , (2.36)

em que os termosINuc,1Nuc_u , TNuc_r ,1Nycy ,GNyc efNyc são versões truncadas1deImNu×mNu, 1u,Tr,1y,Gef, respectivamente.

A função objetivoJpassa a ser, portanto, descrita pela equação (2.37).

min ∆u J= 1 2∆u T_{H∆u + b}T ∆u + f0 s.a.: RNc∆u ≤ cNc. (2.37)

É importante avaliar a factibilidade da equação (2.37). Quando apenas as variáveis de entrada são limitadas não há dificuldades em encontrar uma solução para o problema de otimização, basta observar que∆u = 0 é sempre factível. Entretanto, a não factibili-dade pode ocorrer quando as variáveis de saída possuem alguma restrição, mesmo na ausência de perturbações [Bemporad, Borrelli & Morari 2002]. Além disso, a adoção de um horizonte de restrição na saída, N_yc, pode aumentar as chances de que os limites das saídas sejam violados, contudo, a carga computacional necessária para resolver o problema de otimização é diminuída [Bemporad 2013].

1

As versões truncadas estão com o número de linhas limitadas emmNuc (Nuc≤ Nu) , no caso deINuc,

1Nuc

u ,TNruc, e emnNyc(Nyc≤ Np), no caso de1 Nyc

2.5

GPC com Programação Linear

Como visto na seção anterior, o GPC fez uso da solução de um problema de oti-mização quadrático para determinar a ação de controle ótima para um sistema sujeito a restrições. Alternativamente, o funcional de custo utilizado pelo controlador pode as-sumir um formato linear, a partir da aplicação de uma norma-1, como mostra a equa-ção (2.38)[Camacho & Bordons 2007].

J= Np

∑

∑

Os termos ˆy(k + j|k), r(k + j), ∆υυυ(k + j − 1) eQ∆u são os mesmos definidos na equa-ção (2.6).

Caso seja considerado um vetor de limitesµ(dimensão (nNp× 1)) para o erro e um vetor de limites β(dimensão (mNu× 1)) para a variação do sinal de controle, de modo que seja possível escrever

−µµµ≤ (y − 1yr) ≤ µµµ, (2.39)

−βββ ≤ ∆u ≤ βββ, (2.40)

o problema proposto na equação (2.38) pode ser resumido na minimização de um limite superior paraJ, definido porγ, apresentado na equação (2.41):

0 ≤ |µµµ| + Q∆u|βββ| ≤ γγγ. (2.41)

com|µµµ|e|βββ|correspondendo a norma-1 dos vetoresµµµeβββ, respectivamente.

Quando as restrições nas variáveis manipuladas, em seus incrementos e nas variáveis controladas são levadas em consideração, a otimização pode ser interpretada como um problema de Programação Linear (Linear Programming – LP), como mostrado em (2.42):

min γ

γγ, µµµ, βββ, ∆u

s.a.: ∆u ≤ ∆umax, −∆u ≤ −∆umin,

Tr∆u ≤ umax− 1uu(k − 1), −Tr∆u ≤ −umin+ 1uu(k − 1),

G∆u ≤ ymax− f, −G∆u ≤ −ymin+ f,

                 G∆u − µµµ≤ −f + 1yr, −G∆u − µµµ ≤ f − 1yr, ∆u − βββ ≤ 0, −∆u − βββ ≤ 0, 1T_Npµµµ+ Q_∆u1T_Nuβββ − γγγ ≤ 0.

em que 1Np e 1Nu correspondem a vetores coluna de uns com dimensão (nNp× 1) e (mN_u× 1), respectivamente.

Por fim, este problema pode ser colocado no formato apresentado pela equação (2.43):

min ααα v T α α α s.a.: Rcααα ≤ c , (2.43) em que ααα =       ∆u µ µµ βββ γ γ γ       , v =       0 0 0 1       , Rc=                        I 0 0 0 −I 0 0 0 Tr 0 0 0 −T_r 0 0 0 G 0 0 0 −G 0 0 0 G −1y 0 0 −G −1y 0 0 I 0 −1u 0 −I 0 −1u 0 0 1T_Np Q∆u1TNu −1                        , c =                        ∆umax ∆umin umax− 1uu(k − 1) −umin+ 1uu(k − 1)

ymax− f y_min+ f −f + 1yr f − 1yr 0 0 0                        . (2.44)

Segundo [Camacho & Bordons 2007], mesmo com um número elevado de variáveis e de restrições (em função da quantidade de entradas, saídas, horizonte de predição e controle), é possível encontrar a solução do problema de programação linear de forma

satisfatória.

2.6

Considerações Finais

Este Capítulo apresentou a base teórica matemática para um controlador GPC com restrições, que será utilizada nos capítulos seguintes no desenvolvimento da formulação envolvendo a programação multiparamétrica para sistemas MIMO. Um versão com funcio-nal de custo linear, alternativa ao problema de otimização quadrática estabelecida pela equação (2.37), também foi mostrada e será utilizada no Capítulo6.

Controlador Preditivo Generalizado

Multiparamétrico

A utilização e evolução de controladores MPC com programação multiparamétrica (mp-MPC) tem ocorrido há praticamente duas décadas e representa uma expansão das áreas de atuação em que este tipo de controle pode ser aplicado. Contribuindo com o estudo nesta temática, este capítulo abordará uma formulação multiparamétrica para um controlador preditivo generalizado que possa ser aplicada em processos multivariáveis, com objetivo de contornar as limitações computacionais apresentadas pelo GPC com restrições. Uma introdução sobre controladores preditivos multiparamétricos também é apresentada e ao final do capítulo, o controlador proposto será aplicado a um processo simulado de um sistema de guindaste.

3.1

Introdução

O Capítulo2se reservou em apresentar as formulações mais tradicionais para o con-trolador preditivo generalizado, mostrando uma abordagem quadrática explícita1 na au-sência de restrições (equação (2.28)), nomeado GPC sem restrições (UGPC), e uma im-plícita2através de uma programação quadrática (QP), em que os limites físicos e operaci-onais do processo são levados em consideração (equação (2.35)), tratado como GPC com restrições (CGPC). Quanto a este último, a QP precisa ser resolvida em tempo real (on-line), gerando uma nova ação de controle ótima a cada período de amostragem. Apesar de vários métodos online apresentarem boa convergência e estabilidade, a necessidade recorrente da resolução de um problema de otimização aumenta o custo computacional

1_{A lei de controle encontra-se disponível a priori, sem necessidade de otimização.} 2

Os valores das ações de controle são obtidos iterativamente, através da resolução de um problema de otimização [Oberdieck & Pistikopoulos 2015]

da técnica de controle, inviabilizando seu uso em uma gama de aplicações que possuem dinâmicas mais rápidas [Bemporad, Morari, Dua & Pistikopoulos 2002] ou até mesmo aquelas que não dispõem de alto poder de processamento, com recursos limitados, como é o caso de sistemas embarcados, como CLPs ou microcontroladores [Ingole 2017].

As contribuições deixadas por Bemporad, Morari, Dua & Pistikopoulos (2000) propor-cionaram o surgimento de um MPC explícito (EMPC), capaz de considerar restrições, em que a lei de controle ótima é calculada previamente à execução em tempo real (of-fline) através de uma programação multiparamétrica [Pistikopoulos et al. 2007b]. A ado-ção desta técnica de otimizaado-ção em controladores preditivos baseados em modelos criou mais uma linha de pesquisa dentro da teoria de controle, que além de MPC explícito, ficou conhecido, também, como MPC multiparamétrico (mp-MPC) [Pistikopoulos et al. 2012].

Essas características possibilitaram expandir o MPC a áreas em que anteriormente seu uso era considerado proibitivo, justamente pela necessidade de resolução online de um problema de otimização quadrática. Ingole (2017) traz uma lista de diversos trabalhos, ao longo dos últimos 15 anos, que usaram o mp-MPC em alguma aplicação. Dentre as áreas de atuação deste controlador é possível citar: eletricidade, química, aeroespacial, biomédica, geração de energia, sistemas industriais, mecatrônica e smart buildings.

3.2

Programação multiparamétrica para MPC

A resolução de um problema de otimização, através de uma formulação multipara-métrica, tem como objetivo maximizar ou minimizar um funcional de custo sujeito a um conjunto de restrições, envolvendo parâmetros variáveis compreendidos entre limites su-periores e inferiores, como mostra a equação (3.1) [Pistikopoulos 2009]:

J(x) =min

u f(u, x), s.a.: g(u, x) ≤ 0

(3.1)

em queu_{∈ R}dim(u),x_{∈ R}dim(x)edim(·)corresponde ao operador que determina a dimen-são de um vetor. A solução ótima está incluída em um conjunto finito de regiões, resultado da subdivisão do espaço de parâmetros, conhecidas como Regiões Críticas (Critcal Re-gions – CR) (ver Figura3.1), onde uma solução particular é válida, de acordo com uma expressão analítica que relaciona as variáveis de otimização em função dos parâmetros [Pistikopoulos 2009]. Uma região crítica também é definida como um conjunto de todos os vetores de parâmetros x em que uma certa combinação de restrições está ativa no problema de otimização expresso na equação (3.1) [Bemporad, Borrelli & Morari 2002].

Dessa forma, a escolha da melhor solução é feita através do mapeamento completo de todos os resultados possíveis.

Figura 3.1: Regiões Críticas (adaptação de Dantas (2018)).

x

x

O princípio da programação multiparamétrica aplicado no controlador preditivo base-ado em modelo é produzir uma solução ótima como uma função explícita de parâmetros variáveis. No caso de um MPC que utilize a representação em espaço de estados, esses parâmetros podem ser os próprios estados do sistema. Para a implementação do GPC multiparamétrico, os parâmetros serão baseados na resposta livre do processo. Como toda a demanda computacional é realizada offline, mesmo que haja alteração nos parâ-metros, não há necessidade de resolver um novo problema de otimização.

A lei de controle gerada para o mp-MPC possui a forma de uma função afim por partes (PWA), representada na equação (3.2) [Bemporad, Morari, Dua & Pistikopoulos 2002, Kouramas et al. 2011]. u(x(k)) =          u1= S1x(k) + q1 sex(k) ∈ CR1 .. . ... ... ui= Six(k) + qi sex(k) ∈ CRi i= 1, . . . , N (3.2)

O termou(x(k))corresponde a ação de controle em função do vetor de parâmetrosx(k). As matrizes Si e os vetoresqi são gerados a partir da resolução da programação multi-paramétrica, e caracterizam as diferentes leis de controle. A escolha de qual delas será utilizada no instantekdepende de em qual região críticaCRios parâmetros encontram-se localizados. Tais regiões são poliedros e sua soma forma uma partição deN poliedros

X = CR1,CR2, . . . ,CRino espaço dos parâmetros [Dantas 2018]. Elas podem ser defini-das como apresentado na equação (3.3):

CR_{i= {x ∈ R}nx | ACRix≤ bCRi}, (3.3) em quen_xé o número de parâmetros do vetorx(k).

De modo geral, a solução explícita PWA, associada a regiões poliédricas, é armaze-nada em uma tabela de busca (LUT – Look-Up Table). Essa tabela é usada durante a execução em tempo real para definirS_i e q_ide acordo com um determinado x(k) ∈ CR_i conhecido, de modo a obter a ação de controle ótima. A Figura3.2, apresenta um dia-grama esquemático de um MPC explícito, caracterizando ambos os procedimentos: offline e online [Ingole 2017]. Na etapa offline é construída a lei de controle PWA, enquanto na etapa online o cálculo da ação de controle ótima é realizado através de uma busca na LUT.

Figura 3.2: Diagrama MPC Explícito (adaptação de Ingole (2017)).

mp-QP Algoritmo _Controlador

Processo

Offline Online

O uso de um controlador multiparamétrico, como o mp-MPC, traz um conjunto de benefícios: a obtenção da ação de controle ótima (u∗) calculada a partir da função PWA é geralmente mais rápida e mais simples do que a resolução online de um problema de programação quadrática. Isto ocorre, pois, como visto através da equação (3.2), o cálculo deuse resume a uma multiplicação e uma adição. Além disso, uma vez que a solução explícita ótima tenha sido encontrada, ela pode ser implementada em sistemas com alta taxa de atualização da variável manipulada, como é o caso dos hardwares embarcados, exemplificados por microchips e CLPs [Ingole 2017].

Apesar das vantagens, a eficiência da programação multiparamétrica é bastante de-pendente do número de parâmetros, que influenciam na quantidade de restrições e con-sequentemente na complexidade da resolução do problema de otimização. No pior caso, a complexidade das regiões poliédricas pode aumentar de forma exponencial, devido à natureza combinatória do problema. Logo, é importante destacar que o esforço compu-tacional, mesmo offline, pode tornar a resolução do problema inviável. Ademais, ainda que seja possível encontrar uma lei de controle PWA nessas condições, existe a neces-sidade de armazenamento de todos os dados que foram pré computados na etapa of-fline [Ingole 2017]. Consequentemente, a quantidade de memória exigida para isso pode tornar a aplicabilidade e eficiência da técnica questionáveis. Também é importante des-tacar que um conjunto muito extenso de dados interfere no tempo da busca realizada na LUT para encontrar a lei de controle PWA correspondente aos parâmetros atuais.

Na Seção3.3será apresentada brevemente, além da formulação explícita para o con-trolador GPC, uma análise da complexidade da programação multiparamétrica, em função da quantidade de parâmetros do sistema.

3.3

Formulação matemática para o GPC multiparamétrico

A formulação multiparamétrica em controladores preditivos foi idealizada para uma re-presentação em espaço de estados. A proposição de uma formulação explícita para o GPC capaz de considerar restrições no problema de otimização, a partir de uma repre-sentação do tipo entrada-saída, foi inicialmente proposta no trabalho de Olaru & Dumur (2004). Posteriormente, Arce et al. (2007) investigaram a utilização desse controlador em um sistema de células de carga. Uma das contribuições desta tese consiste na propo-sição de uma formulação geral para uma implementação multiparamétrica no GPC (mp-GPC), que inclua sistemas multivariáveis, além de fazer uma análise da utilização desse sistema em sistemas com características distintas (como será abordado no Capítulo 5). Para que isso seja alcançado é necessário reescrever a formulação proposta ao longo do Capítulo2.

Como pontuado na seção anterior, a solução multiparamétrica de um controle preditivo sujeito a restrições resulta em uma lei de controle PWA, associada a um conjunto de regiões poliédricas no espaço dos parâmetros_{x(k) ∈ X ⊂ R}nx, da seguinte maneira:

1. o conjunto poliédrico convexoPé dividido emNP regiões poliédricas: