EmboraaSériedeFouriernão sejarestritaasinaisperiódi os,neste urso, trabalharemos omelaapenas paraessa lassedesinais.
A Série de Fourier é tratada na literatura basi amente de duas formas: a trigonométri aeaexponen ial. Neste ursoutilizaremosaformaexponen ial. Deve-sesalientarqueambasasformasestãorela ionadas. Todavia,essarelação não serátratada aqui. O leitor mais interessado podeveri ar tal relação no livrotextoadotadoparaeste urso
1 .
4.1 Representação em Série de Fourier de Sinais
Periódi os
Relembremosalguns on eitosqueservirãodebaseparaarepresentaçãoem SériedeFourier(SF).
1. Sinaisperiódi os:
x(t) = x(t + T ), ∀t
eT
6= 0,
T
0
= |T |
min
(peródofundamental)ω
0
=
2π
T
0
(frequên iafundamental)
;
2. Senóides:
x(t) = A cos (ω
0
t)
;3. Exponen iais omplexasperiódi as:
x(t) = e
at
, a
= jω
0
, ω
0
∈ R
;4. Relação Harm ni a: Os sinais harmoni amente rela ionados utilizados omo base para a Série de Fourier Complexa são asexponen iais om-plexasperiódi as
n
φ
k
(t) = e
jkω
0
t
= e
jk
2π
T0t
o
∞
k=−∞
. 1Osexemplosreferen iados aolongodestetexto,os quaissãoapresentadosaseguir,são exemplosdolivro:OPPENHEIM,A.,WILLSKYA.Signal&Systems,2ndEd.,Prenti e-Hall, 1996.
NarepresentaçãoemSériedeFourier(SF), adaumadasexponen iais om-plexasharmoni amente rela ionadas terá uma ontribuição para osinal a ser representado,podendoesta ontribuiçãosernula. Dessa forma,antesde intro-duzirmosaexpressão darepresentação,vejamososnomesdessas omponentes dosinal:
• k = 0 ⇒
ω
= 0
φ
0
(t) = 1
(DC) ;• k = ±1 ⇒
ω
= ±ω
0
eT
= T
0
φ
1
(t) = e
±jω
0
t
(1o. Harm ni oouHam ni oFundamental);
• k = ±2 ⇒
ω
= ±2ω
0
eT
=
T
0
2
φ
2
(t) = e
±j2ω
0
t
(2o. Harm ni o);• k = ±n ⇒
ω
= ±nω
0
eT
=
T
0
n
φ
n
(t) = e
±jnω
0
t
(n
-ésimoHarm ni o).Deve-sedesta arquea ontribuiçãodo1o. harm ni oédadapelas exponen- iais defrequên ias
+ω
0
e−ω
0
, omesmoo orreparaosdemais,porexemplo, o 2o. ham ni o tem sua ontribuição dada pelas exponen iais de frequên ias+2ω
0
e−2ω
0
.4.1.1 Combinação Linear
representaçãoemSériedeFourieréuma ombinaçãolineardasexponen iais periódi asharmoni amenterela ionada,ouseja,
x
repres.(t) =
∞
X
k=−∞
a
k
φ
k
(t);
=
∞
X
k=−∞
a
k
e
jkω
0
t
;
=
∞
X
k=−∞
a
k
e
jk
2π
T0
t
,
(4.1) emque:• x
repres.(t)
-representaçãoemSériedeFourierdeumsinalperiódi o
x(t)
;• a
k
- oe ientes daserie;• ω
0
-frequên iafundamentaldosinalx(t)
;• T
0
-períodofundamentaldosinalx(t)
.Figura 4.1: Representaçãográ ado sinal
x(t) = 1 +
1
2
cos (2πt) + cos (4πt) +
2
3
cos (6πt)
.Exemplo4.2Qualosinal ujos oe ientesdeFouriersão:
a
0
= 1
a
±
1
=
1
4
a
±
2
=
1
2
a
±
3
=
1
3
a
k
= 0, k 6= 0, ±1, ±2, ±3
,
eseuperíodofundamentalé
T
0
= 1
.Solução:x(t) =
3
X
k=−3
a
k
e
±jk
2π
T0
t
=
3
X
k=−3
a
k
e
±jk2πt
;
=
n
a
−
3
e
j(−3)2πt
+ a
−
2
e
j(−2)2πt
+ a
−
1
e
j(−1)2πt
+ a
0
e
j(0)2πt
;
+a
1
e
j(1)2πt
+ a
2
e
j(2)2πt
+ a
3
e
j(3)2πt
o
;
=
1
3
e
−j6πt
+
1
2
e
−j4πt
+
1
4
e
−j2πt
+ 1 +
1
4
e
j2πt
+
1
2
e
j4πt
+
1
3
e
j6πt
;
= 1 +
1
4
e
−j2πt
+ e
j2πt
+
1
2
e
−j4πt
+ e
j4πt
+
1
3
e
−j6πt
+ e
j6πt
;
= 1 +
1
4
2
e
−j2πt
+ e
j2πt
2
+
1
2
2
e
−j4πt
+ e
j4πt
2
+
1
3
2
e
−j6πt
+ e
j6πt
2
;
= 1 +
1
2
cos (2πt) + cos (4πt) +
2
3
cos (6πt);
Arepresentaçãográ adosinal
x(t) = 1 +
1
2
cos (2πt) + cos (4πt) +
2
3
cos (6πt)
émostradana4.1.2 Cál ulo dos Coe ientes Sabemos
x(t) =
∞
X
k=−∞
a
k
e
jkω
0
t
,
∀t.
(4.2)Seapli armosumprodutointernode nido parasinaisperiódi os 2
omosinal
e
−jnω
0
t
nosdoislados daequaçãoa ima amos omaseguinteigualdade:
x(t), e
−jnω
0
t
=
*
∞
X
k=−∞
a
k
e
jkω
0
t
, e
−jnω
0
t
+
;
=
Z
T
0
x(t)e
−jnω
0
t
dt
=
∞
X
k=−∞
a
k
Z
T
0
e
jkω
0
t
e
−jnω
0
t
dt
;
=
∞
X
k=−∞
a
k
Z
T
0
e
j(k−n)ω
0
t
dt
(4.3)Avaliandoaintegralentre ol hetes:
sek
= n ⇒
R
T
0
e
j(k−n)ω
0
t
dt
=
R
T
0
dt
= T
0
sek
6= n ⇒
R
T
0
e
j(k−n)ω
0
t
dt
=
1
j(k−n)ω
0
e
j(k−n)ω
0
t
T
0
0
=
1
j(k−n)ω
0
e
j(k−n)ω
0
T
0
− 1 = 0
,
pois,T
0
=
2π
ω
0
⇒ ω
0
T
0
= 2π ⇒ e
j(k−n)ω
0
T
0
= e
j(k−n)2π
= 1
. Assim,Z
T
0
x(t)e
−jnω
0
t
dt
=
∞
X
k=−∞
a
k
Z
T
0
e
j(k−n)ω
0
t
dt
= a
n
T
0
;
⇒ a
n
=
1
T
0
Z
T
0
x(t)e
−jnω
0
t
dt.
(4.4)Ou,substituindo-se
k
porn
eT
porT
0
,a
k
=
1
T
Z
T
x(t)e
−jkω
0
t
dt.
(4.5)Apartirdaquipassaremosa hamaroperíodofundamentalde
T
.OBSERVAÇ O:Per ebaquea omponenteDCdosinal,ouseja,a om-ponentedefrequên ianulaéamédiadosinal al uladaemumperíodo:
a
0
=
1
T
Z
T
x(t)dt.
(4.6) 2ProdutoInterno: Seja
x(t)
ey(t)
doissinaisperiódi osdeperíodoT
. Oprodutointerno entreessesdoissinaisede nido omo:hx(t), y(t)i =
R
Figura4.2: Representaçãográ adosinal lo k.
Exemplo4.3Quaisos oe ientesdaSFdosinal lo k:
x(t) =
1,
|t| < T
1
0,
T
1
<
|t| <
T
2
,
onsiderandoqueosinaléperiódi odeperíodo
T
.Solução:Antesdeini iarmosos ál ulos dos oe ientes,vejamosalgumasinformaçõesinteressantes:•
SeosinaltemperíodofundamentalT
⇒ ω
0
=
2π
T
;•
Ográ odosinalémostradonaFigura4.2.Parao ál ulodos oe ientes,devemosutilizaraEquação(4.5):
a
k
=
1
T
Z
T
x(t)e
jkω
0
t
dt,
logo,a
k
=
1
T
Z
T
1
−T
1
[1] e
−jkω
0
t
dt
+
Z
T −T
1
T
1
[0] e
−jkω
0
t
dt
;
=
1
T
Z
T
1
−T
1
e
−jkω
0
T
1
dt;
=
1
T
1
−jkω
0
e
−jkω
0
T
1
T
1
−T
1
, k
6= 0;
=
1
T
1
jkω
0
h
e
jkω
0
T
1
− e
−jkω
0
T
1
i
, k
6= 0;
=
1
T
2
kω
0
e
jkω
0
T
1
− e
−jkω
0
T
1
2j
, k
6= 0;
=
1
T
2
kω
0
sin (kω
0
T
1
), k 6= 0.
Parak
= 0
a
0
=
1
T
Z
T
1
−T
1
e
−j(0)ω
0
t
dt
=
2T
1
T
.
Assim,a
k
=
(
1
T
2
kω
0
sin (kω
0
T
1
),
k
6= 0
2T
1
T
,
k
= 0
.
⋄
Antes dedarmos prosseguimento om oestudo daSF, serãode nidos dois sinais.
Figura4.3: SinalAmostral (Sample)Sa
(t)
. Sinal Amostral(Sample)Sa(t)
Porde nição:
Sa
(t)
,
sin (t)
t
,
t
6= 0
1,
t
= 0
.
(4.7)Oszerosdestesinalsãoosmesmosdo
sin(t)
,ex etoparat
= 0
,ouseja,Sa(t) =
0
,t
= nπ
,n
∈ Z
∗
. Na Figura 4.3 é mostrado gra amente o Sinal Amostral (Sample). Sinal Sin
(t)
Porde nição: Sin(t)
,
sin (πt)
πt
,
t
6= 0
1,
t
= 0
.
(4.8)Claramente,observamosarelaçãodaSin
(t)
omaSample: Sin(t) =
Sa(πt) ⇒
Sa(t) =
Sint
π
.
Os zeros da Sin
(t)
são os mesmos dosin(πt)
, ex eto parat
= 0
, ou seja, Sin(t) = 0
,t
= n
,n
∈ Z
∗
. Na Figura 4.4 é mostrado gra amente o Sinal Sin
(t)
.Exemplo4.4Podemosutilizar osinalSa
(t)
paraes rever deformamaiseleganteos oe - ientesen ontradosnoExemplo4.1.2:a
k
=
(
1
T
2
kω
0
sin (kω
0
T
1
),
k
6= 0
2T
1
T
,
k
= 0
;
=
(
2T
1
T
sin (kω
0
T
1
)
kω
0
T
1
,
k
6= 0
2T
1
T
,
k
= 0
;
=
2T
1
T
(
sin (kω
0
T
1
)
kω
0
T
1
,
k
6= 0
1,
k
= 0
;
=
2T
1
T
Sa(kω
0
T
1
) .
Figura4.4: SinalSin
(t)
.⋄
Atenção: Nemsempreutilizamosaexpressãovistaanteriormentepara en- ontrar os oe ientes da SF de um sinal. Quando um sinal é formado por senos, ossenose onstantes bastaquearrumemososinal omoumaSérie deFourier. Vejamososexemplosqueseseguem.
Exemplo 4.5Quais os oe ientes da SF do sinal
x(t) = sin(6πt)
? Solução: Devemos arrumar o sinal omo uma Série de Fourier (soma ponderada de exponen iais omplexas harmoni amenterela ionadas):x(t) = sin(6πt) =
e
j6πt
− e
−j6πt
2j
;
=
1
2j
e
j6πt
−
1
2j
e
−j6πt
.
Es olhendoω
0
= 6π
,temos:x(t) =
−
1
2j
e
j(−1)6πt
+
1
2j
e
j(1)6πt
;
logo,a
k
=
−
2j
1
,
k
= −1
1
2j
,
k
= 1
0,
k
6= ±1
.
Casotivéssemoses olhido
ω
0
= 2π
,teríamososseguintes oe ientes:x(t) =
−
1
2j
e
j(−3)2πt
+
1
2j
e
j(3)2πt
;
logo,a
k
=
−
1
2j
,
k
6== −3
1
2j
,
k
6== 3
0,
k
6= ±3
.
⋄
Exemplo4.6Quaisos oe ientesdaSFdosinal
x(t) = 10+5 sin(4πt)+2 cos(6πt)−sin(6πt−
π
4
)
?Solução:Devemosarrumarosinal omoumaSériedeFourier(somaponderadade exponen- iais omplexasharmoni amenterela ionadas):
x(t) = 10 + 5 sin(4πt) + 2 cos(6πt) − sin(6πt −
π
4
);
= 10 + 5
e
j4πt
− e
−j4πt
2j
+ 2
e
j6πt
+ e
−j6πt
2
−
e
j(6πt−
π
4
)
− e
−j(6πt−
π
4
)
2j
!
;
= 10 + 5
e
j4πt
− e
−j4πt
2j
+ 2
e
j6πt
+ e
−j6πt
2
−
e
j(6πt)
e
j(−
π
4
)
− e
−j(6πt)
e
−j(−
π
4
)
2j
!
;
= 10 + 5
e
j4πt
− e
−j4πt
2j
+ 2
e
j6πt
+ e
−j6πt
2
−
e
−j
π
4
e
j6πt
− e
j
π
4
e
−j6πt
2j
!
;
=
1 +
e
j
π
4
2j
!
e
−j6πt
+
−
5
2j
e
−j4πt
+ 10 +
5
2j
e
j4πt
+
1 −
e
−j
π
4
2j
!
e
j6πt
.
Afrequên iaa seres olhida deveserumfator omumentre aspresentes (
4π
e6π
), assim,ω
0
= 2π
.Assim,x(t) = 10 + 5 sin(4πt) + 2 cos(6πt) − sin(6πt −
π
4
);
=
1 +
e
j
π
4
2j
!
e
j(−3)·2πt
+
−
5
2j
e
j(−2)·2πt
+ 10e
j(0)·22πt
+
5
2j
e
j(2)·2πt
+
1 −
e
−j
π
4
2j
!
e
j(3)·2πt
,
dessaforma,a
k
=
1 +
e
j π
4
2j
,
k
= −3
−
2j
5
,
k
= −2
10,
k
= 0
5
2j
,
k
= 2
1 −
e
−j
π
4
2j
,
k
= 3
0,
k
6= 0, ±2, ±3
.
⋄
4.2 Convergên ia da Série de Fourier
Embora neste urso,sóiremostrabalhar omsinaisque têmrepresentação emSériedeFourier, onvidooleitormais interessadoa onsultar olivrotexto adotadono ursoparasaber omosedáa onvergên iadaSériedeFourier.
4.3 Propriedades da Série de Fourier
Nesta seção serãovistas algumasdas propriedadesda SF.Todaviao leitor nãodevelimitar-seàspropriedadesvistasaqui,devendo onsultarolivrotexto adotadono urso.
Paraaspropriedadesapresentadasaseguir,devemser onsideradasasseguintes ondições:
Seja:
x(t)
←→ a
SF
k
;
y(t)
←→ b
SF
k
;
logo,z(t) = A
x
x(t) + A
y
y(t)
SF
←→ c
k
= A
x
a
k
+ A
y
b
k
.
(4.9) Prova 4.1 Considere:x(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
jkω
0
t
;
y(t) =
∞
X
−∞
b
k
e
jkω
0
t
;
assim, tem-se:z(t) = A
x
x(t) + A
y
y(t) =⇒
z(t) = A
x
∞
X
−∞
a
k
e
jkω
0
t
+ A
y
∞
X
−∞
b
k
e
jkω
0
t
;
=
∞
X
−∞
A
x
a
k
e
jkω
0
t
+
∞
X
−∞
A
y
b
k
e
jkω
0
t
;
=
∞
X
−∞
A
x
a
k
e
jkω
0
t
+ A
y
b
k
e
jkω
0
t
;
=
∞
X
−∞
[A
x
a
k
+ A
y
b
k
] e
jkω
0
t
.
Logo,z(t) =
∞
X
−∞
c
k
e
jkω
0
t
=⇒ c
k
= A
x
a
k
+ A
y
b
k
.
4.3.2 Deslo amento Temporal Seja:
x(t)
←→ a
SF
k
;
y(t) = x(t − t
0
)
SF
←→ b
k
= a
k
e
−jkω
0
t
0
.
(4.10) Prova 4.2 Considere:x(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
jkω
0
t
;
y(t) = x(t − t
0
) =⇒ y(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
jkω
0
(t−t
0
)
;
y(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
−jkω
0
t
0
e
jkω
0
t
.
Logo,y(t) =
∞
X
−∞
b
k
e
jkω
0
t
=⇒ b
k
= a
k
e
−jkω
0
t
0
.
Observação: Observa-sequeodeslo amentotemporalnãoalteraomódulo dos oe ientes,háapenasalteraçãonafase.
|b
k
| =
a
k
e
−jkω
0
t
0
= |a
k
|
e
−jkω
0
t
0
= |a
k
| ;
∠b
k
=
∠
a
k
e
−jkω
0
t
0
= ∠a
k
+
∠e
−jkω
0
t
0
=
∠a
k
− kω
0
t
0
.
4.3.3 Reversão Temporal Seja:
x(t)
←→ a
SF
k
;
y(t) = x(−t)
←→ b
SF
k
= a
−k
.
(4.11) Prova 4.3 Considere:x(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
jkω
0
t
;
y(t) = x(−t) =⇒ y(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
jkω
0
(−t)
;
y(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
−jkω
0
t
.
•
Seosinalépar:x(t) = x(−t)
SF
←→ a
k
= a
−k
;•
Seosinaléímpar:x(t) = −x(−t)
SF
←→ a
k
= −a
−k
. 4.3.4 Es alonamento TemporalEsta propriedade não obede e a primeira ondição estabele ida no iní io desta seção,ouseja,osinal expandidotemuma mudançanoseuperíodo fun-damental. Todavia,ela seráabordadaaqui omsuasdevidasparti ularidades. Seja:
x(t)
←→ a
SF
k
;
y(t) = x(αt)
←→ b
SF
k
= a
k
.
(4.12) Prova 4.4 Considere:x(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
jkω
0
t
;
y(t) = x(αt) =⇒ y(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
jkω
0
(αt)
;
y(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
jk(αω
0
)t
.
Como:y(t) =
∞
X
−∞
b
k
e
jkω
1
t
;
em queω
1
= αω
0
,tem-se:=⇒ b
k
= a
−k
.
Observação: Umes alonamentono sinalnão mudaseus oe ientes. T o-davia, seu período fundamental é alterado, onsequentemente sua frequên ia também.
•
Sex(t)
tem periodo fundamentalT
e frequên iaω
0
,x(αt)
tem período fundamentalT
4.3.5 Multipli ação Seja:
x(t)
←→ a
SF
k
;
y(t)
←→ b
SF
k
;
z(t) = x(t)y(t)
←→ c
SF
k
=
∞
X
l=−∞
a
l
b
k−l
.
(4.13) Prova 4.5 Considere:x(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
jkω
0
t
;
y(t) =
∞
X
−∞
b
k
e
jkω
0
t
;
z(t) = x(t)y(t) =⇒ z(t) =
∞
X
l=−∞
a
l
e
jlω
0
t
∞
X
m=−∞
b
m
e
jmω
0
t
;
z(t) =
∞
X
l=−∞
∞
X
m=−∞
a
l
b
m
e
j(l+m)ω
0
t
.
Fazendol
+ m = k =⇒ m = k − l
:z(t) =
∞
X
l=−∞
∞
X
k=−∞
a
l
b
k−l
e
j(k)ω
0
t
;
=
∞
X
k=−∞
"
∞
X
l=−∞
a
l
b
k−l
#
e
j(k)ω
0
t
.
Como,z(t) =
∞
X
−∞
c
k
e
jkω
0
t
;
tem-se:=⇒ c
k
=
∞
X
l=−∞
a
l
b
k−l
.
4.3.6 Simetria do Conjugado Seja:x(t)
←→ a
SF
k
;
y(t) = x
∗
(t)
←→ b
SF
k
= a
∗
−k
.
(4.14)k=−∞
y(t) =
∞
X
k=−∞
a
k
e
jkω
0
t
∗
;
y(t) =
∞
X
k=−∞
a
∗
k
e
jkω
0
t
∗
;
y(t) =
∞
X
k=−∞
a
∗
k
e
−jkω
0
t
.
Fazendo umasubstituição devariável:
n
= −k
,tem-se:y(t) =
−∞
X
n=∞
a
∗
−n
e
jnω
0
t
;
y(t) =
−∞
X
n=∞
a
∗
−n
e
jnω
0
t
;
y(t) =
∞
X
k=−∞
a
∗
−k
e
jkω
0
t
.
Como,y(t) =
∞
X
k=−∞
b
k
e
jkω
0
t
;
tem-se:=⇒ b
k
= a
∗
−k
.
Observação: Através desta propriedade, podemos extrair algumas on- lusõesparasinaisreais. Seosinalforreal:
x(t) = x
∗
(t)
←→ a
SF
k
= a
∗
−k
.
Agoraanalisemosaigualdadedos oe ientes.
•
PartesRealeImaginária:a
k
= a
∗
−k
=⇒
Re{a
k
} =
Rea
∗
−k
=
Re{a
−k
} =⇒
Re{a
k
} =
Re{a
−k
};
Im{a
k
} =
Ima
∗
−k
= −
Im{a
−k
} =⇒
Im{a
k
} = −
Im{a
−k
}.
•
MóduloeFase:a
k
= a
∗
−k
=⇒
|a
k
| =
a
∗
−k
= |a
−k
| =⇒ |a
k
| = |a
−k
| ;
∠a
k
=
∠a
∗
k
= −
∠a
−k
=⇒
∠a
k
= −
∠a
k
.
•
Resumo:a
k
= a
∗
−k
=⇒
Re{a
k
} =
Re{a
−k
};
Im{a
k
} = −
Im{a
−k
}.
|a
k
| = |a
−k
| ;
∠a
k
= −
∠a
k
.
Observandoasigualdadesa ima,per ebe-sequeseosinalérealseus oe ientes têmasseguintessimetrias:
•
Parterealpar;•
Parteimagináriaímpar;•
Módulopar;e•
Faseímpar.Ainda,pode-sesuporquealémdosinalserrealele sejaparouímpar.
•
SeosinaléReal ePar:(
real:x(t) = x
∗
(t)
←→ a
SF
k
= a
∗
−k
;
par:x(t) = x(−t)
SF
←→ a
k
= a
−k
.
=⇒
a
k
= a
∗
−k
(Real);
a
k
= a
−k
(Par).
Os oe ientes sãoReaisetêmsimetriaPar;•
SeosinaléReal eÍmpar:(
real:x(t) = x
∗
(t)
←→ a
SF
k
= a
∗
−k
;
par:x(t) = −x(−t)
SF
←→ a
k
= a
−k
.
=⇒
a
k
= a
∗
−k
(PuramenteImaginários);
a
k
= −a
−k
(Ímpar).
Os oe ientes sãoPuramenteImagináriosetêmsimetriaÍmpar Por m,analisemos ade omposição de umsinal real qualqueremsuas partes pareímpar:
x(t) = x
E
(t) + x
O
(t)
SF
←→ a
k
=
Re{a
k
} +
Im{a
k
} .
•
Comox
E
(t)
éreal epar,entãoseus oe ientes sãoreais etêmsimetria par;•
Comox
O
(t)
éreal eímpar, entãoseus oe ientessão puramente imag-ináriosetêmsimetriaímpar.Diantedas onsideraçõesa imaexpostas, on lui-seque,
(
x
E
(t)
SF
←→
Re{a
k
} ;
x
O
(t)
SF
←→
Re{a
k
} .
.
Deslo amentoTemporal
x(t − t
0
)
a
k
e
−jkω
0
t
0
ReversãoTemporalx(−t)
a
−k
Es alonamentoTemporalx(αt)
a
k
Multipli açãox(t)y(t)
P
∞
l=−∞
a
l
b
k−l
SimetriadoConjugadox
∗
(t)
a
∗
−k
Diferen iaçãod
dt
x(t)
jkω
0
a
k
IntegraçãoR
T
−∞
x(t)dt
1
jkω
0
a
k
RelaçãodeParseval1
T
R
T
|x(t)|
2
dt =
P
∞
−∞
|a
k
|
2
4.3.7 Relação de ParsevalEsta propriedadeé muito importante,pois rela iona medidas de energiae potên ianosdoisdomínios. Seja:
x(t)
←→ a
SF
k
;
1
T
Z
T
|x(t)|
2
dt
=
∞
X
−∞
|a
k
|
2
.
(4.15) Prova 4.7 Considere:x(t) =
∞
X
−∞
a
k
e
jkω
0
t
=⇒ x
∗
(t) =
∞
X
−∞
a
∗
k
e
−jkω
0
t
;
1
T
Z
T
|x(t)|
2
dt
=
1
T
Z
T
x(t)x
∗
(t)dt =
1
T
Z
T
x(t)
"
∞
X
−∞
a
∗
k
e
−jkω
0
t
#
dt.
Tro ando-se osomatório pela integral:
1
T
Z
T
x(t)x
∗
(t)dt =
1
T
Z
T
a
∗
k
"
∞
X
−∞
x(t)e
−jkω
0
t
#
dt;
=
∞
X
−∞
a
∗
k
[a
k
] ;
=
∞
X
−∞
|a
k
|
2
,
As demais propriedades en ontram-se na Tabela 3.1 do livro texto, bem omonaTabela4.1.
Exemplo4.7
RefaçaoExemplo3.6dolivrotexto.
⋄
Exemplo4.8
RefaçaoExemplo3.7dolivrotexto.
⋄
Exemplo4.9
RefaçaoExemplo3.8dolivrotexto.
⋄
Exemplo4.10
periódi os: a.
x(t) = e
−j200t
; b.x(t) = cos (4t) + sin (8t)
; .x(t)
eperiódi o deperiodo2
,ex(t) = e
−t
,para−1 < t ≤ 1
; d.x(t)
estádes ritonaFigura4.5.Figura4.5:
e.
x(t)
estádes ritonaFigura4.6.Figura4.6:
f.
x(t)
estádes ritonaFigura4.7.Exer í io4.3 Sobreosinalperiódi o
x(t)
deperíodo8
,mostradonaFigura4.8: a. Pergunta-se: e possível determinar se seus oe ientes de Fourier (a
k
)tem simetriaparouimpar? Esobreelesseremreais oupuramente imag-inarios? Justi que.
b. Cal uleos oe ientes
a
k
da Sériede Fourier.Figura4.8:
Exer í io4.4 Em relação ao sinal
x(t) = 10 + 40 cos(2πt) + 20 cos(6πt − π)
: a. Cal uleos oe ientes daSerie de Fourier;b. Esbo eoEspe trodeFourier
(a
k
× kω
0
)
;. Cal ule a ontribuição de potên ia (per entual) do segundo e do ter eiro harm ni o,em que:
η
n
=
|a
−n
|
2
+ |a
n
|
2
∞
X
k=−∞
|a
k
|
2
.Exer í io4.5 Sobreosinalperiódi o
