UNIJUÍ – UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO
ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO NAS CIÊNCIAS - DOUTORADO
LINHA DE PESQUISA: CURRÍCULO E FORMAÇÃO DE PROFESSORES
Isabel Koltermann Battisti
MEDIAÇÕES NA SIGNIFICAÇÃO DO CONCEITO
VETOR COM TRATAMENTO DA GEOMETRIA
ANALÍTICA EM AULAS DE MATEMÁTICA
Ijuí 2016
ISABEL KOLTERMANN BATTISTI
MEDIAÇÕES NA SIGNIFICAÇÃO DO CONCEITO
VETOR COM TRATAMENTO DA GEOMETRIA
ANALÍTICA EM AULAS DE MATEMÁTICA
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação Stricto Sensu em Educação nas Ciências da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul – Unijuí, como requisito parcial para a obtenção do título de Doutor em Educação nas Ciências – área de matemática.
Linha 1: Currículo e Formação de Professores
Orientadora: Professora Dra. Cátia Maria Nehring Ijuí-RS
- 2 - Catalogação na Publicação
Gislaine Nunes dos Santos CRB10/1845
B336m Battisti, Isabel Koltermann.
Mediações na significação do conceito vetor com tratamento da geometria analítica em aulas de matemática / Isabel Koltermann Battisti. – Ijuí, 2016.
249 f. : il. ; 30 cm.
Tese (doutorado) – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (Campus Ijuí e Santa Rosa). Educação nas Ciências.
“Orientadora: Cátia Maria Nehring”.
1. Conceito vetor. 2. Mediação. 3. Teoria da atividade. 4. Atividade orientadora de ensino. 5. Formação acadêmica profissional. I. Nehring, Cátia Maria. II. Título.
CDU: 51:37
Dedico o presente estudo:
aos colegas de trabalho das escolas e universidades que, implicados no desafio de ensinar,
constroem espaços de aprendizagem a cada novo dia;
aos estudantes, em especial, àqueles que são capazes de causar inquietações e que instigaram a realização do presente estudo;
aos educadores matemáticos, por serem capazes de vislumbrar e objetivar inúmeras possibilidades no processo de ensinar e de aprender matemática.
Sou grata a muitas pessoas que, de diferentes formas, estiveram comigo na realização do presente estudo, em especial:
a Maria Rita, Gustavo, Gabriel, Marília e Carlos, pelo constante, incondicional e incansável apoio e pela compreensão das minhas tantas ausências; a Sigmund Henrique Koltermann (in memoriam), Nolmira Anesi Koltermann,
Solange, Alexandre (in memoriam), José Henrique e Leonardo, por terem me dado
o aconchego que só uma família pode dar; à professora Dra. Cátia Maria Nehring, que, com humildade, sabedoria e competência, enxergou, acreditou e orientou o estudo aqui apresentado; ao professor Antonio Édson Corrente, pela confiança, disponibilidade e pelo compartilhar; aos integrantes do Grupo de Estudo em Educação Matemática (GEEM), pelas trocas, estudos, discussões e inúmeras aprendizagens; aos colegas de trabalho, que possibilitaram, pelo compartilhar, diferentes aprendizagens; aos amigos, em especial, Ana Maria, Liane, Mariane e Tania, que, mesmo estando distantes, não permitiram que me sentisse só; aos professores Dr. João Carlos Gilli Martins, Dr. Manoel Oriosvaldo de
Moura, Dra. Maria Simone Vione Schwengber, Dra. Marli Dallagnol Frison e Dr. Otávio Aloísio Maldaner, pela criteriosa e atenta leitura e valiosas contribuições
na Banca de Qualificação e de Defesa Final; aos professores do Programa de Pós-Graduação em Educação nas Ciências da Unijuí; aos colegas do curso de doutorado em Educação nas Ciências, especialmente àqueles que, pela convivência e afinidades, se tornaram meus amigos.
A matemática tem um objeto de estudo, as suas afirmativas fazem sentido. A significação, contudo, deve ser encontrada na compreensão partilhada pelos seres humanos, e não em uma realidade externa não-humana. Neste respeito, a matemática é semelhante a uma ideologia, uma religião, ou uma forma de arte; lida com significados humanos, e é inteligível somente dentro do contexto de uma cultura. Em outras palavras, a matemática é um estudo humanístico. É uma das humanidades. A característica especial da matemática que a distingue das outras humanidades é a sua qualidade científica. Suas conclusões são imperiosas como as conclusões das ciências naturais. Não são simplesmente produtos de opiniões, e não estão sujeitas a desacordos permanentes como as idéias da crítica literária. Como matemáticos, sabemos que inventamos objetos, ideais, e tentamos então descobrir fatos sobre eles. Qualquer filosofia que não consiga enquadrar este conhecimento é por demais pequena. Não necessitamos refugiar-nos no formalismo quando atacados pelos filósofos. Também não temos que admitir que nossa crença na objetividade da verdade matemática seja platônica, no sentido de exigir uma realidade ideal à parte do pensamento humano. Os trabalhos de Lakatos e de Popper mostram que a filosofia moderna tem capacidade de aceitar a verdade da experiência matemática. Isso significa aceitar a legitimidade da matemática como ela é: falível, corrigível, e significativa.
RESUMO
O presente estudo configura-se a partir do desenvolvimento de uma pesquisa que discute aspectos relacionados à significação de conceitos matemáticos por acadêmicos em formação profissional em nível superior. Na abordagem histórico-cultural, a apropriação do significado de conceitos científicos provoca avanços que não ocorreriam espontaneamente; sua estrutura e sua natureza semiótica permitem atingir níveis superiores de organização de consciência, bem como o discernimento e o controle consciente do ato de pensar, contribuindo efetivamente na formação acadêmica profissional. Nesse contexto, o conceito de mediação é central e determinante e possibilita a interpretação das ações humanas como social e semioticamente mediadas. Esses entendimentos contribuíram na delimitação do foco de interesse da investigação, apresentada a partir do problema: quais elementos de mediação, em aulas de Matemática, podem possibilitar a instituição de processos que visam à significação do conceito vetor com tratamento da geometria analítica pelo acadêmico? A partir do conceito vetor, instaurou-se, por entre diferentes situações ou fatos em aulas da disciplina Geometria Analítica e Vetores de cursos de Engenharia, o percurso da pesquisa. Na trama e na complexidade das múltiplas relações que permeiam a mediação na significação de conceitos matemáticos, emergiu o estudo deste fenômeno a partir da articulação de dois movimentos metodológicos: um empírico e outro teórico. As condições de análise constituíram-se e foram ampliadas a partir de referenciais teóricos fundamentados na perspectiva histórico-cultural, com enfoque especial à teoria da atividade e à Atividade Orientadora do Ensino, que possuem como referência Lev Semenovich Vigotski, Alexis Nikolaevich Leontiev, Alexander Romanovich Luria e Manoel Oriosvaldo de Moura, além de estudiosos de suas proposições. Também são considerados elementos teóricos apresentados por Caraça (1998), Hegenberg (1971), Camargo, Boulos (2005), Eves (1992), Pavanello (1989, 2007) e Iezzi (1993). Os procedimentos metodológicos consideraram a produção de dados empíricos em dois momentos distintos, ambos a partir de ações da disciplina Geometria Analítica e Vetores. No primeiro momento, a pesquisadora acompanhou 15 aulas desenvolvidas por um professor da referida disciplina, tendo havido a intervenção da pesquisadora em uma das aulas. No segundo momento, oito aulas da disciplina foram ministradas pela pesquisadora. Essas ações geraram instrumentos que constituíram o banco de dados empíricos da pesquisa. Visando ao conhecimento mais profundo e substancial dos fenômenos investigados, construiu-se um percurso analítico a partir dos isolados: sentidos produzidos no processo de mediação na significação do conceito vetor por acadêmicos e a atividade em aulas da disciplina Geometria Analítica e Vetores. Os isolados constituíram-se a partir de episódios, e estes, a partir de cenas. O estudo possibilitou a indicação de que a linguagem e a abordagem geométrica ampliaram e possibilitaram a produção de sentidos, a negociação de significados e, assim, a instituição de relações conceituais pelos acadêmicos. Essas relações, articuladas ao movimento gerado pelo embate de conceitos espontâneos e científicos, permitiram a constituição de zonas de desenvolvimento proximal. Tais elementos intervieram diretamente na significação do conceito vetor e em operações com vetores pelos acadêmicos em aulas da disciplina Geometria Analítica e Vetores. Indica-se, desse modo, que as formas de mediação são sustentadas por signos e instrumentos, possibilitaram a organicidade das aulas de Matemática, se fazem a partir de ações intencionais do professor e se concretizam na organização do ensino, na medida em que o professor se coloca em atividade de ensino e o acadêmico, em atividade de aprendizagem.
Palavras-chave: Formação Acadêmica Profissional; Conceito Vetor; Mediação; Teoria da
ABSTRACT
This study has been developed from a research into aspects of the signification of mathematical concepts by students attending higher education to become professionals. According to the cultural-historical approach, the appropriation of the meaning of scientific concepts causes developments that would not spontaneously occur; their structure and semiotic nature allow for the achievement of higher levels of awareness organization, as well as discernment and conscious control of the act of thinking, thus effectively contributing to the professional education. In this context, the concept of mediation is both central and decisive, and allows for the interpretation of human actions as being socially and semiotically mediated. Such understandings contributed to the delimitation of the focus of this investigation, which has presented the following issue: which elements of mediation in mathematics classes can enable processes aiming at the signification of the concept of vector by the students regarding the perspective of analytical geometry? The research trajectory was set by considering the concept of vector, amidst different situations or facts in classes of the discipline Analytical Geometry and Vectors in Engineering courses. In the web and complexity of the multiple relations that permeate the mediation in the signification of mathematical concepts, a study of this phenomenon emerged from the articulation of two methodological movements: one was empirical, and the other was theoretical. The conditions of analysis were established and broadened from theoretical references founded on the cultural-historical perspective, with a special focus on the activity theory and Activity-Based Teaching, which have been supported by Lev Semenovich Vigotski, Alexis Nikolaevich Leontiev, Alexander Romanovich Luria and Manoel Oriosvaldo de Moura, besides other scholars that have studied their propositions. Theoretical elements presented by Caraça (1998), Hegenberg (1971), Camargo, Boulos (2005), Eves (1992), Pavanello (1989, 2007) and Iezzi (1993) have also been considered. The methodological procedures involved the production of empirical data in two different moments, both of them considering actions in the discipline of Analytical Geometry and Vectors. In the first moment, the researcher followed up 15 classes taught by a professor of that discipline; the researcher intervened in one of those classes. In the second moment, eight classes of the discipline were taught by the researcher. These actions generated instruments that formed the empirical data base of the research. Aiming at a deeper and substantial knowledge of the investigated phenomena, the analysis was performed by considering two isolates: senses produced in the process of mediation in the meaning of the vector concept by academics, and the activity in classes of the discipline of Analytical Geometry and Vectors. These isolates were constituted from episodes, and the latter from scenes. The study has evidenced that language and the geometric approach both broadened and enabled the production of meanings, the negotiation of meanings and, thus, the institution of conceptual relations by the students. Such relations, articulated with the movement provoked by the confrontation of spontaneous and scientific concepts allowed for the constitution of zones of proximal development. Such elements intervened directly in the signification of the concept of vector as well as in operations with vectors by the students in classes of the discipline of Analytical Geometry and Vectors. Therefore, there is evidence that the ways of mediation are supported by signs and instruments, they allowed for the organicity of the mathematics classes, they originate from the professor’s intentional actions, and are concretises in the teaching organization, as the professor performs a teaching activity and the student performs a learning activity.
Keywords: Professional Education; Concept of Vector; Mediation; Activity Theory;
LISTA DE SIGLAS
AOE - Atividade Orientadora de Ensino BDB - Biblioteca Digital Brasileira
BDTD - Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações
CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior CDN - Cadastro Nacional de Docentes
CPC - Conceito Preliminar de Curso EC – Engenharia Civil
EE – Engenharia Elétrica EM – Engenharia Mecânica
ENADE - Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes
FINEP - Financiadora de Estudos e Pesquisas GAV – Geometria Analítica e Vetores IBICT - Instituto Brasileiro de Informação em Ciência e Tecnologia
IES – Instituição de Ensino Superior
INEP - Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira LDBEN - Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional
MEC – Ministério de Educação e Cultura PPC – Projeto Pedagógico do Curso
SINAES - Sistema Nacional de Avaliação da Educação Superior TCLE - Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
USP - Universidade de São Paulo
UFSCAR - Universidade Federal de São Carlos UFG - Universidade Federal de Goiás
UNIJUÍ – Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Ênfases das pesquisas selecionadas a partir dos descritores “geometria analítica”
AND vetores ... 35
-Quadro 2 - Ênfases das pesquisas que consideram em suas tratativas elementos da Atividade Orientadora de Ensino ... 59
Quadro 3 Área, ênfase e temática/conceito das pesquisas selecionadas ... 60
-Quadro 4 - Ênfases das pesquisas selecionadas a partir dos descritores mediação e históricocultural ... 69
Quadro 5 Instrumentos produzidos no Momento 1 / 2º semestre de 2014... 88
Quadro 6 Ações e instrumentos produzidos no Momento 2 – 1º semestre de 2015 .... 92
Quadro 7 Cena 13. Objetivos gerais dos cursos de EC, EE e EM ... 148
-Quadro 8 - Cena 14. Excertos do PPC que revelam elementos relacionados ao perfil do egresso dos cursos de EC, EE e EM da IES ... 149
Quadro 9 Lista das cenas apresentadas no Capítulo III ... 162
Quadro 10 Excertos das análises Capítulo III ... 163
-LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Isolado: Sentidos produzidos no processo de mediação na significação do conceito vetor por acadêmicos ... 95
-Figura 2 - Isolado: A atividade em aulas da disciplina de Geometria Analítica e Vetores- 96
-Figura 3 - Cena 2. Recorte do planejamento – grandeza e grandeza física escalar (M2, PL, 25/02/2015) ... 105
-Figura 4 - Cena 4. Recorte do planejamento: representação de grandezas vetoriais (M2, PL, 25/02/2015) ... 111
Figura 5 Representação do vetor 𝑓 ... 112
-Figura 6 - Representação da velocidade, em um determinado instante, de um corpo em movimento (M2, I, AC5, 25/02/2015) ... 116
-Figura 7 - Representação da velocidade, em um determinado instante, de um corpo em movimento (M2, I, AC16, 25/02/2015) ... 116
-Figura 8 - Representação, no quadro, de três segmentos orientados equipolentes (M2, I, 25/02/2015) ... 116 -Figura 9 - Representação de pontos no plano cartesiano bidimensional e tridimensional ... - 121
Figura 10 Interface do software GeoGebra ... 123
-Figura 11 - Cena 7 - Recorte do planejamento: representação de vetores no software GeoGebra (M1, PL, 22/08/2014) ... 124
Figura 12 Ícones da Barra de Ferramentas do software GeoGebra ... 125
-Figura 14 - Cena 8. Recorte do planejamento: representação de vetores no software
GeoGebra (M1, PL, 22/08/2014) ... 126
-Figura 15 - Cena 9. Recorte do planejamento: representação de vetores no software GeoGebra (M2, PL, 04/03/2015) ... 127
-Figura 16 - Representação de segmentos orientados equipolentes no software GeoGebra ... - 129 -Figura 17- Registro no quadro, realizado por PP, para encontrar as componentes do vetor u ... 131
-Figura 18 - Cena 11 (Excerto 1). Resposta de AC3 e AC17 a uma questão que considera o conceito vetor (M2, TR, AC3 e AC17, 11/03/2015) ... 136
-Figura 19 - Cena 11 (Excerto 2). Registro de AC3 e AC17 na representação e no cálculo do módulo de vetores (M2, TR, AC3 e AC 17, 11/03/2015) ... 137
Figura 20 Mapa conceitual do conceito vetor a partir da análise das Cenas 110 ... 139
-Figura 21 - Cena 12. Registro da adição de vetores no software GeoGebra. (M2, TR, AC24, 18/03/2015) ... 140
Figura 22 Modelo das operações com signos apresentado por Vygotsky... 144
Figura 23 Representação triangular proposta por Vygotsky ... 144
Figura 24 Estrutura em dois níveis da atividade ... 152
Figura 25 Representação gráfica da estrutura da atividade elaborada por Leontiev .. 152
Figura 26 Estrutura de uma atividade que considera seu caráter social e coletivo .... 155
-Figura 27 - Cena 15. Princípios básicos norteadores do planejamento curricular do curso de EC ... 156
-Figura 29 - Cena 18. Parte I do Conteúdo Programático da disciplina GAV (M2, PE (GAV) ... 161
Figura 30 Estrutura em dois níveis da atividade de ensino – PP ... 165
-Figura 31- Representação do plano determinado pelo ponto O e pela direção de dois vetores ... 182
Figura 32 Representação do vetor com direção perpendicular a dois vetores ... 183
-Figura 33 - Representação de vetores com direção perpendicular a dois outros vetores- 183
-Figura 34 - Sistematização de ideias fundantes no estudo da operação produto vetorial (Cena 22, M2, PL, 25/03/2015) ... 185
Figura 35 Relações entre professor, acadêmicos e objeto matemático ... 189
-Figura 36 - Esquema síntese da relação entre a atividade de ensino (PP) e a atividade de aprendizagem (AC)... 191
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ... 18
CAPÍTULO I ... 23
-A MEDI-AÇÃO N-A SIGNIFIC-AÇÃO DO CONCEITO VETOR POR ACADÊMICOS EM FORMAÇÃO PROFISSIONAL: UMA ABORDAGEM HISTÓRICOCULTURAL ... 23
-1.1 A formação acadêmica profissional do engenheiro ... 24
-1.1.1 Vetor: um conceito a ser significado por acadêmicos de cursos de Engenharia ... - 27 -
1.1.2 O conceito vetor sob abordagem da geometria analítica: o que dizem as pesquisas? ... - 34 -
1.2 Significação de conceitos científicos: uma abordagem históricocultural ... 39
-1.2.1 Elementos da teoria da atividade e da atividade orientadora do ensino na significação conceitual ... - 46 -
1.2.2 Atividade Orientadora de Ensino: o que dizem as pesquisas? ... - 57 -
1.3 A mediação na significação de conceitos em sala de aula ... 63
-1.3.1 A mediação sob uma abordagem histórico-cultural: o que dizem as pesquisas? ... - 67 -
1.4 Considerações: justificativa das escolhas ... 76
-1.4.1 Problemática da pesquisa: questões e objetivos ... - 77 -
CAPÍTULO II ... 79
METODOLOGIA DE PESQUISA: UM CAMINHO CONSTRUÍDO ... 79
A PESQUISA COMO ATIVIDADE ... 79
2.1 O percurso metodológico ... 80
-2.1.1 O método na abordagem histórico-cultural ... - 81 -
2.1.2 Os sujeitos, o cenário da pesquisa e os procedimentos metodológicos na e para a apreensão da realidade investigada na forma de dados ... - 86 -
2.1.3 Procedimentos analíticos ... - 93 -
CAPÍTULO III ... 98
-SENTIDOS PRODUZIDOS NO PROCESSO DE MEDIAÇÃO NA SIGNIFICAÇÃO DO CONCEITO VETOR POR ACADÊMICOS ... 98
-3.1.1 A formação do conceito vetor: desenvolvimento de um processo único que articula conceitos
científicos e espontâneos ... - 101 -
3.1.2 Vetor: uma classe de equivalência determinada pela relação de equipolência ... - 108 -
3.1.3 O conceito vetor no contexto da geometria analítica ... - 120 -
3.2 Vetor: um conceito inserido numa rede de significações ... 135
3.3 A mediação na significação do conceito vetor pelos acadêmicos ... 141
CAPÍTULO IV ... 146
-A -ATIVID-ADE EM -AUL-AS D-A DISCIPLIN-A GEOMETRI-A -AN-ALÍTIC-A E VETORES ... 146
4.1 A formação do acadêmico: produto de uma atividade coletiva ... 148
4.2 Professor em atividade de ensino ... 158
-4.2.1 Organização do ensino ... - 166 -
4.3 Acadêmico em atividade de aprendizagem ... 176
-4.4 Atividade orientadora de ensino: unidade dialética entre o ensino e a aprendizagem na significação do conceito de vetor pelo acadêmico em formação acadêmica profissional ... 190
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 195
REFERÊNCIAS ... 206
APÊNDICES ... 212
-INTRODUÇÃO
Da apropriação de elementos teóricos da abordagem histórico-cultural, bem como de aproximações com a teoria da atividade, imbricados à pluralidade de inquietações vividas como educadora matemática, surgiram os motivos e a intencionalidade de pesquisa constitutiva da presente tese. No movimento de insatisfações ou ideais, sensações e/ou sentimentos, que não raramente fogem da racionalidade, surgiram motivos alinhados a necessidades e determinaram, com e a partir de trajetórias construídas e percorridas, a atividade de pesquisa. Os motivos constituíram-se, assim, a partir da apropriação de significações de um aporte teórico, de questões instigadoras referentes a resultados de pesquisas e produções no contexto da Educação, mais especificamente da Educação Matemática, de vivências e experiências em espaços educativos, seja na Educação Básica ou no Ensino Superior, e como pesquisadora da área Educação Matemática, no vislumbrar do desenvolvimento profissional e da produção do conhecimento novo. Busco, na pesquisa, em meio às paixões e movida por elas, a racionalidade e a cientificidade no trato de situações, fatos e/ou fenômenos.
A pesquisa se fez num movimento de imersão e de distanciamento de um lugar que configura a própria investigação, a sala de aula. É neste e deste lugar que a pesquisa se estabelece. É a partir deste espaço institucionalizado e formal de ensino, dos meandros das inter-relações estabelecidas entre professor, acadêmicos e objetos de saber em aulas de Matemática que consideram o estudo de vetor, que esta educadora matemática, como pesquisadora, visa a responder uma série de questionamentos, e é com e a partir da produção de possíveis respostas, que procura desenvolver-se profissionalmente e produzir novos conhecimentos, capazes de contribuir nas discussões relacionadas à significação de conceitos matemáticos por estudantes em formação acadêmica profissional.
O foco de interesse da investigação é delimitado, desenvolvendo-se em torno da significação do conceito vetor com tratamento da geometria analítica em aulas de Matemática no Ensino Superior. A partir do conceito vetor, instaura-se, por entre diferentes situações ou fatos em aulas de uma disciplina de cursos de Engenharia, o percurso da pesquisa. Assim, na trama e na complexidade das múltiplas relações que permeiam a mediação na significação de conceitos matemáticos, emerge a questão da pesquisa: quais elementos de mediação, em aulas de Matemática, possibilitam a instituição de processos
que visam à significação do conceito de vetor com tratamento da geometria analítica pelo acadêmico? Mediante a questão, definiu-se como objetivo da pesquisa: analisar, com e a partir de ações de uma disciplina de cursos de Engenharia, a estruturação/articulação/proposição da mediação na constituição de processos que visam à significação do conceito vetor e operações de vetores pelo acadêmico. Considerando aspectos do aporte teórico-metodológico e assim, ações de uma disciplina que possui em sua ementa o foco no ensino e na aprendizagem do conceito vetor no contexto da geometria analítica em cursos de Engenharia, a investigação foi delineada e delimitada a partir de outras três questões: 1) Qual o sentido de mediação estabelecida no processo de ensino e de aprendizagem proposto pelas ações de uma disciplina de cursos de Engenharia? 2) Que elementos, em aulas de uma disciplina de cursos de Engenharia, indicam que o professor se coloca em atividade de ensino e possibilita que o acadêmico se coloque em atividade de aprendizagem? 3) Que proposições, em aulas de Matemática, podem viabilizar mediações potenciais na instituição de processos que visam à significação de conceitos matemáticos pelos acadêmicos?
O estudo deste fenômeno, considerando a sua complexidade, se fez a partir de dois movimentos metodológicos: um empírico e outro teórico. A articulação destes possibilitou o desenvolvimento da pesquisa, e as condições de análise dos dados empíricos foram ampliadas por referenciais teóricos da abordagem histórico-cultural, em particular, da teoria da atividade e da Atividade Orientadora de Ensino. Estes aspectos não só delimitaram o presente estudo, mas também marcam o texto da tese, o qual está organizado em quatro capítulos.
O Capítulo I justifica a problemática da pesquisa a partir de pressupostos teóricos, apresenta entendimentos acerca de conceitos determinantes no decorrer da tese, traz o levantamento de pesquisas relacionadas a temáticas fundantes deste estudo e aponta a questão e objetivos que delimitam a investigação. É um capítulo que apresenta a base teórica que sustenta a tese. Inicia trazendo alguns aspectos relacionados à formação profissional do engenheiro e, nestas tratativas, elementos relacionados ao conceito vetor, como também o levantamento de pesquisas que envolvem o conceito vetor sob a abordagem da geometria analítica.
Em uma formação acadêmica profissional, há conceitos basilares. O conceito vetor é considerado um conceito basilar do programa curricular de cursos de Engenharia e, como
tal, precisa ser significado pelo acadêmico em formação. Por sua natureza, são muitos e distintos os objetos que recebem o nome de vetor. De maneira geral, na matemática, um vetor é qualquer elemento de um Espaço Vetorial; nesse sentido, um número real, uma matriz, uma sequência ou uma função podem ser tratados como um vetor. Na presente tese, a abordagem considerada para o conceito vetor é a geométrica, a partir do contexto da Geometria Analítica. O conceito vetor e o desenvolvimento de toda uma matemática relacionada a espaços vetoriais são indispensáveis em situações de várias áreas de conhecimento e, de forma especial, quando envolve o campo da mecânica na Física, em grandezas como força, torque e velocidade. Estes conceitos aparecem como essenciais em situações como dimensionamento de vigas e treliças, elevadores, guindastes, carregamentos, reações de apoio, nas quais existem forças envolvidas, mas também em situações relacionadas ao campo elétrico.
Desta forma, nesse capítulo, apresentam-se elementos teóricos relacionados à significação de conceitos científicos a partir da abordagem histórico-cultural, que fundamenta as discussões da presente tese. Nessa perspectiva teórica, o “[...] aprendizado é um aspecto necessário e universal do processo de desenvolvimento das funções psicológicas culturalmente organizadas e especificamente humanas” (VIGOTSKI, 1991, p. 101). A relação do sujeito com o mundo não é uma relação direta, é mediada por instrumentos e por signos, cuja apropriação acontece em dois planos: em princípio, entre os homens como categoria interpsíquica e, depois, no interior do ser humano como categoria intrapsíquica. Sob essa abordagem, toda função psicológica superior primeiramente está presente no contexto social, entre os homens, para depois se transformar em função individual, ou seja, em função da consciência individual. Esses entendimentos têm uma implicação direta com a formação acadêmica profissional do engenheiro, e compreendemos que este se desenvolve quando se encontra em atividade.
Nesse contexto, são apresentados elementos teóricos relacionados à teoria da atividade, pois o conceito de atividade é um dos princípios centrais no estudo do desenvolvimento do psiquismo. Entendendo que a formação profissional do engenheiro não acontece de forma natural, mas a partir de um ensino intencional, formal e acadêmico, buscamos elementos da Atividade Orientadora de Ensino. Para situarmo-nos em termos de movimentos teóricos a partir de pesquisas que usam a Atividade Orientadora de Ensino em seu referencial teórico, apresentamos um levantamento de produções sobre esta temática.
O capítulo apresenta aportes teóricos para alinhar entendimentos do conceito mediação, que é apresentado num dos itens finais do capítulo. Visando ao entendimento do uso deste conceito em pesquisas, apresentamos também um levantamento das produções que consideram o termo mediação em abordagem da perspectiva teórica histórico-cultural. A partir de e com este aporte teórico, são apresentados a problemática e os objetivos da pesquisa.
O Capítulo II apresenta a metodologia da pesquisa, entendendo pesquisa como uma atividade. Com e a partir dessas compreensões, é explicitado o percurso metodológico. O caminho construído para a realização da pesquisa possibilitou a busca, inicialmente, de indícios1 para, posteriormente, apontar possíveis respostas às questões da investigação. Apresentamos, assim, entendimentos do método considerando a perspectiva teórica que fundamenta a investigação, os sujeitos, o cenário da pesquisa e os procedimentos realizados para a coleta/produção dos dados empíricos. Finaliza-se o capítulo apresentando-se procedimentos analíticos realizados para o desenvolvimento da presente tese. Neste item, apresentamos os isolados, os episódios e as cenas que não só delimitam as discussões, mas que também estruturam o texto dos próximos capítulos.
O Capítulo III constitui-se a partir da articulação de elementos empíricos e teóricos visando a identificar os sentidos produzidos para o conceito vetor pelo processo de mediação em ações da disciplina Geometria Analítica e Vetores de cursos de Engenharia. São considerados os tópicos: a significação do conceito vetor por acadêmicos; vetor, um conceito inserido numa rede de significações e a mediação na significação do conceito vetor pelos acadêmicos.
O Capítulo IV considera a atividade em aulas da disciplina Geometria Analítica e Vetores e, a partir de elementos empíricos articulados ao aporte teórico, produz argumentos e entendimentos sobre o professor em atividade de ensino e o acadêmico em atividade de aprendizagem. Aborda, ainda, a Atividade Orientadora de Ensino como unidade dialética entre o ensino e a aprendizagem na significação do conceito vetor pelo acadêmico em formação acadêmica profissional. As tratativas fazem-se considerando uma necessidade do professor - a de ensinar -, as ações que colocam os conhecimentos em jogo no espaço da sala de aula, instrumentos auxiliares de ensino de vetor e das operações com vetores, bem como
1 “[...] algo que, embora esteja lá, não está de forma diretamente perceptível para o observador” (PINO, 2005,
processos de análise e de síntese entendidos como momentos de avaliação permanente para quem ensina e para quem aprende.
No decorrer do texto, considerando, as diferentes formas de envolvimento, seja com relação as cenas, com outros autores/estudiosos ou com entendimentos produzidos, há momentos em que a escrita se faz na primeira pessoa, outras na terceira pessoa e há, ainda, escritas na forma impessoal.
A presente tese finaliza com a apresentação das Considerações Finais indicando aspectos e elementos que sistematizam o presente estudo e questionamentos oriundos de tais produções.
CAPÍTULO I
A MEDIAÇÃO NA SIGNIFICAÇÃO DO
CONCEITO VETOR POR ACADÊMICOS EM
FORMAÇÃO PROFISSIONAL: UMA
ABORDAGEM HISTÓRICO-CULTURAL
Na introdução situamos um caminho para a presente proposição, e visando a atender ao objetivo da pesquisa– analisar, com e a partir de ações de uma disciplina de cursos de Engenharia, a estruturação/articulação/proposição da mediação na constituição de processos que visam à significação do conceito2 vetor e operações com vetores pelo acadêmico–, optamos, no Capítulo I, por delimitar o campo da investigação e a abordagem teórica/metodológica essencial no desenvolvimento da tese. Percebemos a necessidade de alinhar entendimentos acerca de conceitos fundantes desta tese; dentre eles, está o de mediação. Neste capítulo, apresentamos ferramentas teóricas capazes de alinhar o significado de mediação a partir de elementos da abordagem histórico-cultural. Estes, além de demarcar e delimitar o campo de investigação, justificam a presente proposição.
2 “É o reflexo objetivo das coisas em seus aspectos essenciais e diversos; se forma como resultado da
elaboração racional das representações, como resultado de ter descoberto os nexos e as relações desse objeto com outros, incluindo em si, portanto, um amplo processo de pensamento e conhecimento que, dir-se-ia, está concentrado nele.” (VIGOTSKI, 1996, p. 81)
1.1 A formação acadêmica profissional do engenheiro
O processo de formação é, de acordo com Araújo (2003), inerente ao ser humano, e adjetivar uma formação como profissional tem duplo significado. Um remete à natureza da própria formação enquanto atividade realizada por profissionais, e não por amadores; outro considera uma preparação permanente para o exercício de uma profissão, com objetivos de formação ligados a atividades socialmente remuneradas.
Na abordagem aqui apresentada, entendemos instituições de Ensino Superior como instituições educativas, corresponsáveis pela formação de seus sujeitos como seres humanos sociais, históricos, culturais e profissionais, capazes de desempenhar o seu exercício profissional com ética, competência, criatividade e criticidade.
A Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional – LDBEN (BRASIL, 2010), ao tratar do Ensino Superior, no Título V, Capítulo IV, Seção V, Art.43º, explicita compromissos desse nível de ensino. Especifica que a educação superior tem por finalidade:
I. Estimular a criação cultural e o desenvolvimento do espírito científico e do ensinamento reflexivo;
II. Formar diplomados nas diferentes áreas de conhecimento, aptos para a inserção em setores profissionais e para a participação no desenvolvimento da sociedade brasileira, e colaborar na sua formação contínua;
III. Incentivar o trabalho de pesquisa e investigação científica, visando ao desenvolvimento da ciência e da tecnologia e da criação e difusão da cultura e, desse modo, desenvolver o entendimento do homem e do meio em que vive;
IV. Promover a divulgação de conhecimentos culturais, científicos e técnicos que constituem patrimônio da humanidade e comunicar o saber através do ensino, de publicações ou de outras formas de comunicação;
V. Suscitar o desejo permanente de aperfeiçoamento cultural e profissional e possibilitar a correspondente concretização, integrando os conhecimentos que vão sendo adquiridos numa estrutura intelectual sistematizadora do conhecimento de cada geração;
VI. Estimular o conhecimento dos problemas do mundo presente, em particular os nacionais e regionais, prestar serviços especializados à comunidade e estabelecer com esta uma relação de reciprocidade;
VII. Promover a extensão, aberta à participação da população, visando à difusão das conquistas e benefícios resultantes da criação cultural e da pesquisa científica e tecnológica geradas na instituição.
Tais proposições indicam um caráter que considera o estímulo à criação cultural do estudante, primando pelo desenvolvimento do seu espírito crítico, científico e reflexivo. A instituição de Ensino Superior também é o lugar de fazer ciência, que se situa e atua em uma sociedade, contextualizado em determinado tempo, espaço e cultura, sofrendo as intervenções da complexa realidade exterior, mas também intervindo na sociedade na qual
está inserido. Ao ser formado na instituição de Ensino Superior, espera-se que o acadêmico apresente condições básicas para o exercício profissional e habilidades intelectuais e emocionais fundamentais para continuar aprendendo por toda a vida, mas também que tenha as condições de exercício da cidadania que balizem a sua formação.
As universidades, como as mais estritas das instituições de Ensino Superior3, são, de acordo com o Art. 52º da LDBEN, instituições pluridisciplinares de formação dos quadros profissionais de nível superior, de pesquisa, de extensão e de domínio e cultivo do saber humano. Caracterizam-se, entre outros aspectos, por produção intelectual institucionalizada mediante o estudo sistemático dos temas e problemas mais relevantes, tanto do ponto de vista científico e cultural, quanto regional e nacional. Nesse contexto, o ensino por si só pode contribuir na formação profissional, “[...] porém, sem pesquisa e extensão, o ensino tende a reduzir-se ao aprendizado de técnicas, sem requerer compreensão do significado social desta mesma profissão e do profissional que a executa” (MAZZILLI, 2012, p.15). Essa ideia indica a necessidade de atendimento às prerrogativas propostas pela LDBEN, ou seja, de inserção no ensino das dimensões pesquisa e extensão, visando à formação de sujeitos sociais. Nas universidades, as atividades-fim são, desta forma, o ensino, a pesquisa e a extensão em todas as áreas do conhecimento humano, e estas dimensões estão demarcadas pelo princípio pedagógico da indissociabilidade.
A indissociabilidade do ensino, da pesquisa e da extensão, como princípio pedagógico, possibilita o estabelecimento e o desenvolvimento do espírito científico universal, que é condição para uma educação permanente, e
[...] reflete um conceito de qualidade do trabalho acadêmico que favorece a aproximação entre universidade e sociedade, a auto-reflexão crítica, a emancipação teórica e prática dos estudantes e o significado social do trabalho acadêmico (MACIEL; MAZILLI, 2010, p. 30).
Nesse contexto, a formação do engenheiro precisa ser abrangente, tanto sistêmica quanto analítica, fundamentada em sólidos conhecimentos das ciências básicas para a Engenharia, com atitude de sempre aprender. O engenheiro deve ser competente no relacionamento humano e na comunicação e ter postura ética e comprometimento cultural e social com o Brasil.
3De acordo com sua organização acadêmica, as instituições de Ensino Superior classificam-se em: Centro Federal de Educação Tecnológica; Centro Universitário; Faculdade; Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia e Universidade.
O Art. 3º das Diretrizes Curriculares Nacionais dos cursos de Engenharia apresenta o perfil do formando egresso/profissional engenheiro, dizendo que este deve ter uma
[...] formação generalista, humanista, crítica e reflexiva, capacitado a absorver e desenvolver novas tecnologias, estimulando a sua atuação crítica e criativa na identificação e resolução de problemas, considerando seus aspectos políticos, econômicos, sociais, ambientais e culturais, com visão ética e humanística, em atendimento às demandas da sociedade (BRASIL, 2002, p. 1).
Os objetivos da formação do engenheiro são apresentados no Art. 4º das Diretrizes Curriculares dos cursos de Engenharia, visando a dotar estes profissionais de competências e habilidades gerais, dentre as quais, destacamos:
I - aplicar conhecimentos matemáticos, científicos, tecnológicos e instrumentais à engenharia;
II - projetar e conduzir experimentos e interpretar resultados; [...]
V - identificar, formular e resolver problemas de engenharia; VI - desenvolver e/ou utilizar novas ferramentas e técnicas; [...]
VIII - comunicar-se eficientemente nas formas escrita, oral e gráfica; [...]
XI - avaliar o impacto das atividades da engenharia no contexto social e ambiental;
XII - avaliar a viabilidade econômica de projetos de engenharia; XIII - assumir a postura de permanente busca de atualização profissional (BRASIL, 2002, p. 2).
Com vistas ao desenvolvimento de tais competências e habilidades, as Diretrizes Curriculares dos cursos de Engenharia propõem a organização de um currículo que contemple um núcleo de conteúdos básicos, um núcleo de conteúdos profissionalizantes e um núcleo de conteúdos específicos que caracterizam a modalidade do curso4. O núcleo de conteúdos básicos deve, de acordo com esta Diretriz, englobar cerca de 30% da carga horária mínima. É neste núcleo que está inserida a matemática como um dos tópicos a serem tratados. A partir da aplicação da matemática, explicam-se vários conceitos de dimensionamento e lógica e aplicações gerais nas engenharias. A Matemática configura-se, assim, enquanto ciência exata, como um componente imprescindível de cursos de Engenharia, possibilitando o desenvolvimento de várias competências indicadas nas Diretrizes Nacionais dos referidos cursos, de forma especial as acima citadas.
4Modalidades, para os cursos de Engenharia, significam as áreas profissionalizantes, ou seja, civil, elétrica,
1.1.1 Vetor: um conceito a ser significado por acadêmicos de cursos de Engenharia
Os conceitos da área da matemática são preponderantes na formação do engenheiro. Entre os conceitos matemáticos que compõem o currículo dos cursos de Engenharia, encontra-se o conceito vetor. Por sua natureza, são muitos e distintos os objetos que recebem o nome de vetor. De maneira geral, na matemática, um vetor é qualquer elemento de um Espaço Vetorial; nesse sentido, um número real, uma matriz, uma sequência ou uma função podem ser tratados como um vetor. Geometricamente, no contexto da Geometria Analítica, vetor é entendido como uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes entre si. Assim, como grandeza vetorial, um vetor está perfeitamente definido a partir das noções de módulo, direção e sentido. Pelas características e suas propriedades, o conceito vetor e o desenvolvimento de toda uma matemática relacionada a espaços vetoriais são indispensáveis em situações de várias áreas de conhecimento e, de forma especial, quando está envolvido o campo da mecânica na Física, em grandezas como força, torque e velocidade. Estes conceitos aparecem como estruturantes em situações como dimensionamento de vigas e treliças, elevadores, guindastes, carregamentos e reações de apoio, nas quais existem forças envolvidas, mas também em situações relacionadas ao campo elétrico. O conceito vetor apresenta-se, assim, como fundamental para a formação dos engenheiros.
O conceito vetor consta em ementas da disciplina Geometria Analítica e Álgebra Linear e na disciplina Geometria Analítica, sendo também explorado em tratativas de cálculo, como podemos identificar a partir de um levantamento realizado em cursos de Engenharia5 ditos como tradicionais. Neste levantamento, optamos por selecionar cursos de Engenharia que possuem Conceito Preliminar de Curso6 -CPC 5, considerando o ano de
5Foco desta pesquisa, considerando, principalmente, as Engenharias tradicionais, ou seja, Engenharia Civil,
Engenharia Elétrica e Engenharia Mecânica.
6 É um indicador preliminar da situação dos cursos de graduação; constitui-se elemento de referência nos
processos de avaliação para subsidiar a renovação de reconhecimento dos cursos de graduação. O Inep (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira), a partir do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Superior – SINAES, conduz todo o sistema de avaliação de cursos superiores no País, produzindo indicadores e um sistema de informações que subsidia o processo de regulamentação exercido pelo MEC e garante transparência dos dados sobre qualidade da educação superior a toda a sociedade. O Conceito Preliminar de Curso (CPC), cuja nota é expressa em valores de 1 a 5, é um índice que avalia os cursos de graduação e tem como base: o desempenho dos estudantes no Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade), o quanto o curso agrega de conhecimento ao aluno e variáveis de insumo – corpo docente, infraestrutura e organização didático-pedagógica. Tem como base informações do Censo da Educação Superior, do Cadastro Nacional de Docentes (CND) e do questionário socioeconômico do Enade.
2015. A pesquisa foi feita no site do e-MEC7, a partir de uma consulta avançada em cursos de Engenharia Civil (EC), grau bacharelado, índice CPC, selecionando nota 5. Da mesma forma, procedemos para os cursos de Engenharia Elétrica (EE) e Engenharia Mecânica (EM), envolvendo cursos de todo o Brasil. Encontramos cinco cursos de Engenharia Civil que atendem a este requisito, cinco da Engenharia Elétrica e quatro da Engenharia Mecânica. Com esta seleção, foi realizada uma nova busca, identificando-se a grade curricular dos referidos cursos. Nesta grade, a partir do nome e da ementa, selecionamos as disciplinas que envolvem o estudo de vetor8.
A análise das informações geradas por esta investigação indica que os três cursos de Engenharia apresentam disciplinas que exploram o conceito vetor, o que vem ao encontro das recomendações das Diretrizes Curriculares Nacionais (BRASIL, 2002) quando propõem para o currículo dos cursos de Engenharia um núcleo comum de conteúdos. Nos programas curriculares do Ensino Superior dos cursos de Engenharia considerados, o conceito vetor é tratado sob a abordagem da geometria analítica, da álgebra e do cálculo, nos primeiros semestres dos cursos.
Se considerarmos a educação básica, a qual, de acordo com a LDBEN (Título V, Capítulo II, Seção I, art. 22), tem por finalidade desenvolver o educando, assegurando-lhe a formação comum indispensável para o pleno exercício da cidadania, e fornecer os meios para progredir no trabalho e em estudos posteriores, o conceito vetor, mesmo sendo um tópico importante da matemática, aparece na disciplina de Física. De acordo com as orientações de Brasil (2006), é desejável que o professor, nas aulas de Matemática, aborde
[...] o conceito de vetor, tanto do ponto de vista geométrico (coleção dos segmentos orientados de mesmo comprimento, direção e sentido) quanto algébrico (caracterizado pelas suas coordenadas). Em particular, é importante relacionar as operações executadas com as coordenadas (soma, multiplicação por escalar) com seu significado geométrico. A inclusão da noção de vetor nos temas abordados nas aulas de Matemática viria a corrigir a distorção causada pelo fato de que é um tópico matemático importante, mas que está presente no ensino médio somente nas aulas de Física. (BRASIL, 2006, p. 77).
O referido documento destaca, ainda, que uma introdução à geometria vetorial e às transformações geométricas no plano e no espaço – isometria e homotetia – se configura como mais uma oportunidade para tratar de conceitos matemáticos sob os pontos de vista algébrico e geométrico. Esta indicação de estudo para o conceito vetor na educação básica
7http://emec.mec.gov.br/
apresenta alguns indicativos de tratativas para o conceito no Ensino Superior, já que o estudo de tal conceito geralmente é proposto nos currículos de cursos de Engenharia ofertados pelas universidades no primeiro semestre. Considerando que, na educação básica, o conceito vetor, por mais que haja algumas orientações, não integra o currículo de matemática, fica a pergunta: quais proposições de ensino podem/devem ser apresentadas a acadêmicos de cursos de Engenharia no primeiro semestre do curso?
Eves (1992) amplia possibilidades de entendimento das articulações entre os diferentes campos da matemática ao afirmar que existem “[...] muitas áreas da matemática em que a introdução de um procedimento e uma terminologia geométricos simplifica muito tanto a compreensão quanto a apresentação de um determinado conceito ou desenvolvimento.” (EVES, 1992, p. 28). De acordo com este autor, muitos matemáticos do século XX indicam que talvez a melhor maneira de descrever a geometria seja como “[...] um ponto de vista – uma maneira particular de observar o mundo” (EVES, 1992, p. 28, grifo do autor). Argumenta que a linguagem geométrica é muito mais simples e elementar do que a da álgebra e da análise, o que resulta em economia considerável de reflexões e de comunicação de reflexões, como também que as imagens geométricas levam a resultados adicionais, configurando-se como um poderoso instrumento de raciocínio dedutivo ou criativo.
A partir de contextos históricos, Eves (1992) aponta que existe outra geometria além da euclidiana e que, para considerar a possibilidade de uma geometria diferente da apresentada por Euclides, era preciso ter uma imaginação excepcional, pois, por dois milênios, o espírito humano estivera limitado à crença de que o sistema proposto por Euclides era “[...] a única maneira de descrever em termos geométricos o espaço físico, e que qualquer sistema contrário não poderia ser consistente.” (EVES, 1992, p. 22). Por volta de 300 a.C., Euclides coletou e organizou as proposições da geometria plana, baseando-se em um conjunto de cinco postulados. Discussões em torno do quinto postulado9, conhecido como postulado das paralelas, geraram o desenvolvimento das geometrias não-euclidianas10. De acordo com Eves (1992), em 1871, Felix Klein deu forma e nome a três tipos de
9Se uma reta, cortando duas outras, forma ângulos internos de um mesmo lado menores que dois retos, as
duas retas prolongadas ao infinito se encontrarão na parte em que são os dois ângulos menores que dois retos. (EVES , 1992, p. 46, grifo do autor).
10 [...] um sistema geométrico construído sem a ajuda da hipótese euclidiana das paralelas e contendo uma
geometria: geometria hiperbólica (de Bolyai e Lobachevsky); geometria parabólica (geometria euclidiana) e geometria elíptica (geometria de Riemann).
Eves (1992, p. 19) destaca, ainda, que há uma imensa parte de geometria em que as propriedades das curvas e das superfícies e suas generalizações são estudadas por meio do cálculo. Esta parte da geometria é caracterizada como geometria diferencial. Apresenta, também, a geometria projetiva e a geometria analítica e diz que existe uma diferença fundamental entre estas: a primeira é um ramo da geometria, enquanto a segunda é um método da geometria. Afirma que a essência real da geometria analítica reside na transferência11 de uma investigação geométrica para uma investigação algébrica correspondente.
Camargo; Boulos (2005) indicam que a geometria pode ser estudada sob diferentes enfoques, sob diferentes métodos; de acordo com o método utilizado, atribuem-se diferentes nomes às disciplinas de geometria. Os autores ilustram o referido aspecto citando três exemplos:
1. Geometria axiomática (ou Geometria de Posição): é o estudo da geometria sistematizada por Euclides (cerca de 300 a.C.), em seus “Elementos”, mediante o encadeamento lógico de axiomas, definições e teoremas.
2. Geometria Descritiva: é o resultado da Geometria pelo método mongeano (Gasperd Monge, 1746-1818), que consiste em considerar não os entes geométricos propriamente ditos, mas suas projeções sobre dois planos previamente fixados, e por meio do estudo destas projeções (utilizando a épura) tirar conclusões sobre aqueles entes geométricos.
3. Geometria Analítica: é o estudo da Geometria pelo método cartesiano (René Descartes, 1596-1650), que em última análise consiste em associar equações aos entes geométricos, e do estudo dessas equações (com o auxílio da Álgebra, portanto) tirar conclusões a respeito daqueles entes geométricos. (CAMARGO; BOULOS, 2005, p. X).
Os referidos autores indicam “geometrias”, explicitando claramente que não existe uma única geometria, e destacam que a ferramenta básica para o estudo da geometria axiomática é a lógica, que a geometria descritiva utiliza o desenho e que a geometria analítica encontra na álgebra um importante aliado. Neste sentido, salientam não só a álgebra elementar, mas também a álgebra vetorial, sendo que nesta é destacado o conceito vetor.
Para haver possibilidades de apropriação do significado do conceito vetor pelo acadêmico em formação profissional, tratamentos considerando o campo da geometria e o
11Entende-se que não é apenas uma transferência, mas outra forma de olhar para o mesmo objeto matemático
da álgebra são fundamentais. Nessas tratativas, outros conceitos, como também o estabelecimento de relações entre eles, são determinantes e constitutivos de sua significação, entre os quais, destacamos: segmentos orientados, relação de equipolência e classe de equivalência.
De acordo com Mota; Marrocos (2014, p. 16), a compreensão de relação de equivalência é fundamental na construção de objetos geométricos. A construção de uma relação de equivalência em um conjunto, para os referidos autores, tem como principal objetivo o agrupamento em classes de elementos que têm as mesmas características escolhidas a priori, de tal forma que cada uma das classes seja representada por um de seus elementos, obtidos pela seguinte relação de equivalência.
Dado um conjunto A, uma relação ~ em A é dita de equivalência se, para todo elemento de A, verificam-se as seguintes propriedades:
Se α A, α ~ α (Reflexiva); Se α ~ b, então b ~ α (Simétrica);
Se α ~ b e b ~ c, então α ~ c (Transitiva)
Como propriedades, a reflexividade tem a finalidade de garantir que a classe de equivalência de cada um dos elementos do conjunto é não vazia, e a simetria e transitividade visam garantir que as classes ou são iguais ou disjuntas. Para Mota; Marrocos (2014, p. 17), “isso é suficiente para garantir que cada elemento de uma classe a determine.”
Quanto a segmento orientado, definimos, de acordo com Mota; Marrocos (2014), como um segmento para o qual se determinou uma orientação para as suas extremidades. Se A e B são pontos que determinam um segmento e forem mencionados em uma ordem, de tal forma que um deles seja o ponto inicial do segmento e o outro o ponto terminal do segmento, então o referido segmento está orientado. Desta forma, “a notação de segmento orientado coloca em evidência o fato de AB ≠ BA [...].” (HEGENBERG, 1971, p. 40). Os segmentos orientados possuem, assim, características específicas, tais como: comprimento, direção e sentido.
No conjunto de todos os segmentos orientados no espaço, é possível identificar aqueles que têm em comum o comprimento, a direção e o sentido.
A classe de equivalência do segmento orientado AB, isto é, o conjunto formado por todos os segmentos orientados equipolentes a AB, será indicada por AB. Os elementos de uma classe de equivalência são chamados representantes da classe, assim, o segmento orientado AB é um representante de AB. Uma propriedade
importante da classe de equivalência, [...], é que duas classes de equivalência são iguais ou não se interceptam. Assim, AB = CD se e somente se AB é equipolente a
CD. (MOTA; MARROCOS, 2014, p. 17).
Mota; Marrocos (2014) definem, então, o vetor como cada classe de equivalência determinada pela relação de equipolência.
Com os vetores, “[...] a Álgebra, além de intérprete dos fatos geométricos, penetra na geometria e passa a fazer parte dela [...]” (LIMA, 2002, p. 85). Para este autor, por meio da Geometria Analítica, as linhas e as superfícies, no plano e no espaço, são descritas por meio de equações, o que permite tratativas algébricas de questões geométricas e, reciprocamente, interpretar de forma geométrica certas situações algébricas. Nesse sentido, o conceito vetor pode ser tratado tanto geometricamente como algebricamente ou geometricamente e algebricamente, considerando elementos da Geometria Analítica e da Álgebra, mas destacamos que tratamentos a partir de elementos do campo da geometria possibilitam compreensões e a elaboração de ideias importantes na apropriação do significado do conceito vetor pelo acadêmico. O conceito vetor, sob uma abordagem geométrica, possibilita uma visão intuitiva dos vetores e de suas relações entre si.
Para Pavanello (1989), a ênfase no aspecto algébrico no ensino da matemática sem o enfoque geométrico “[...] priva os indivíduos de um desenvolvimento integral dos processos de pensamento, necessários à resolução dos problemas matemáticos [...]” (PAVANELLO, 1989, p. 97). Pavanello justifica, afirmando que
[...] geometria é a parte da matemática onde o pensamento visual é dominante, enquanto que na álgebra predomina o pensamento seqüencial. Esta dicotomia talvez seja melhor expressa pelos termos “compreensão” (insight) versus “rigor” e ambos desempenham um papel essencial nos problemas matemáticos autênticos. As implicações educacionais disto são óbvias. Devemos ter como objetivo o cultivo e o desenvolvimento de ambos os tipos de pensamento. (ATIYAN, 1982 apud PAVANELLO, 1989, p. 97, grifo do autor).
Nesse sentido, ressaltar o papel da geometria na formação de um acadêmico não significa minimizar o da álgebra, mas, como salienta Atiyah (1982), há necessidade de cultivar e de desenvolver tanto o pensamento visual, dominante na geometria, quanto o sequencial, preponderante na álgebra, pois ambos são essenciais à Educação Matemática. Desta forma, a ênfase na abordagem algébrica evidencia o desenvolvimento prioritariamente de um tipo de pensamento. A geometria, quando tratada adequadamente, mostra-se como um campo potencial para o desenvolvimento de capacidades relacionadas ao abstrair, generalizar, projetar, transcender o que é imediatamente sensível, proporcionando condições
para que níveis mais complexos de abstração sejam alcançados (PAVANELLO, 2004).
Partindo de um nível inferior, no qual reconhece as figuras geométricas, embora percebendo-as como todos indivisíveis, o aluno passa, no nível posterior, a distinguir as propriedades dessas figuras; estabelece, num terceiro momento, relações entre as figuras e suas propriedades, para organizar, no nível seguinte, seqüências parciais de afirmações, deduzindo cada afirmação de uma outra, até que, finalmente, atinge um nível de abstração tal que lhe permite desconsiderar a natureza concreta dos objetos e do significado concreto das relações existentes entre eles12. Delineia-se, desta forma, um caminho que, partindo de um
pensamento sobre objetos, leva a um pensamento sobre relações, as quais se tornam, progressivamente, mais e mais abstratas. (PAVANELLO, 2004, p. 4).
A abordagem geométrica pode, assim, contribuir na significação do conceito vetor por acadêmicos, possibilitando “[...] um tipo particular de pensamento – buscando novas situações, sendo sensível aos seus impactos visuais e interrogando sobre eles” (WHEELER, 1981 apud PAVANELLO, 2004, p. 4). O enfoque geométrico de um determinado conceito matemático permite o desenvolvimento da “arte da especulação”, que expressa o estilo hipotético-dedutivo do pensamento geométrico. De acordo com Pavanello, é nesse sentido que a geometria é a investigação do “espaço intelectual”, pois, “melhor que o estudo do espaço, a geometria é a investigação do ‘espaço intelectual’, já que, embora comece com a visão, ela caminha em direção ao pensamento, indo do que pode ser percebido para o que pode ser concebido” (WHEELER 1981, apud PAVANELLO, 2004, p. 1). Em suas discussões, Pavanello traz ainda outro argumento, apresentado por Thom (1971), quando este diz que:
[...] a geometria é um intermediário natural e possivelmente insubstituível entre a língua e o formalismo matemático, no qual cada objeto é reduzido a um símbolo e o grupo de equivalências é reduzido à identidade do símbolo escrito consigo mesmo. Deste ponto de vista, o estágio do pensamento geométrico pode ser um estágio impossível de omitir no desenvolvimento normal da atividade racional do homem. (THOM, 1971 apud PAVANELLO, 2004, p. 4).
Estes argumentos pelo ensino da geometria e/ou pela abordagem geométrica no estudo de conceitos matemáticos apresentam valiosas indicações em se tratando da significação do conceito vetor pelo acadêmico, visando à sua formação profissional. Esses entendimentos levam-nos a querer compreender quais movimentos teóricos são
12Este esboço de como se desenvolve o processo de abstração (em geometria) baseia-se num modelo de aprendizagem em geometria proposto pelos Van Hiele. O trabalho desse casal de educadores matemáticos holandeses forneceu as bases para a elaboração do currículo e métodos de ensino da geometria na URSS na década de 60 (Wirszup, 1976; 76/78 e Hoffer, 1983; 206/210). O importante é que o modelo Van Hiele, como assinala Hoffer, pode ser aplicado não só à geometria como também à maioria das matérias
estruturadas, embora não se espere, ao menos no caso específico analisado neste trabalho, que o nível final possa ser atingido no 2º grau. (PAVANELLO, 2004, p. 4).
apresentados por pesquisas acerca do referido conceito, considerando abordagens pela geometria analítica.
1.1.2 O conceito vetor sob abordagem da geometria analítica: o que dizem as pesquisas?
Os entendimentos acima propostos conduziram-nos a realizar um levantamento de pesquisas que tratam do conceito vetor sob uma abordagem da geometria analítica. Para tanto, foi realizada uma busca no Banco de Teses da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes)13 e na Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações (BDTD)14. Optamos por estes dois bancos por serem dois sistemas de referência em nível nacional – um é alimentado pelos Programas de Pós-Graduação, e o outro, por instituições de ensino e pesquisa, sendo que ambos disponibilizam informações sobre as produções. Porém, a Capes disponibiliza resumos, e a BDTD conduz para o endereço do acesso ao texto completo. A busca em dois sistemas também se fez em função de o Portal da Capes estar disponibilizando, no momento15, teses e dissertações publicadas
somente no período de 2011 a 2012.
A busca se fez acessando em todos os campos: “geometria analítica” AND vetores. Este critério gerou a seleção de oito pesquisas. As pesquisas foram colocadas em arquivos; a partir da leitura de elementos destas, foram organizado dois quadros16 nos quais podem ser identificados: autor; objetivo; problema; metodologia; referências; curso; resultados e abordagem do vetor no plano e/ou no espaço. A organização e posterior análise destes
13A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) coloca à disposição da
comunidade acadêmica o Banco de Teses, no qual é possível consultar todos os trabalhos defendidos na pós-graduação brasileira ano a ano. No entanto, no momento, apenas os trabalhos defendidos em 2012 e 2011 estão disponíveis. Os trabalhos defendidos em anos anteriores serão incluídos aos poucos. As informações bibliográficas das dissertações de mestrado e das teses de doutorado publicadas são fornecidas diretamente à Capes pelos programas de pós-graduação de todo o país, que se responsabilizam pela veracidade dos dados. 14A Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações (BDTD) é uma rede distribuída de sistemas de informação que gerenciam teses e dissertações, com texto completo. Foi concebida e é mantida pelo Instituto Brasileiro de Informação em Ciência e Tecnologia (IBICT) no âmbito do Programa da Biblioteca Digital Brasileira (BDB), com apoio da Financiadora de Estudos e Pesquisas (FINEP), tendo o seu lançamento oficial no final do ano de 2002. As instituições de ensino e pesquisa atuam como provedoras de dados, e o IBICT opera como agregador: coleta os metadados das teses e dissertações dos provedores (instituições), fornece serviços de informação sobre esses metadados e os expõe para coleta para outros provedores de serviços.
15 No período de março a abril de 2015.
16Dados das pesquisas selecionadas geraram dois quadros, os quais constam em Apêndice 2 (Busca no Portal de Teses e Dissertações da Capes) e Apêndice 3 (Busca na Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações).
quadros possibilitou a organização das referidas pesquisas a partir de quatro ênfases: Curso de licenciatura em Matemática – à distância; Visão da matemática – Modelagem matemática; Situações de ensino e/ou de aprendizagem e Abordagem teórico/conceitual do campo da álgebra e da geometria com tratamento vetorial, como identificado no Quadro 1.
Quadro 1 - Ênfases das pesquisas selecionadas a partir dos descritores “geometria analítica” AND vetores
Ênfases das pesquisas Pesquisas
Curso de licenciatura em Matemática – a distância Mattos (2012) Visão da matemática – Modelagem matemática Palmieri (2006) Situações de ensino e/ou de
aprendizagem Guerato (2012) Uso de recursos tecnológicos Perali (2011); Monteiro (2011); Lucas (2010)
Abordagem teórico/conceitual do campo da álgebra e da geometria com tratamento vetorial
Nogueira (2013); Resende (2010)
Fonte: Produção da pesquisadora.
A ênfase de uma das pesquisas elencadas relaciona-se a cursos de licenciatura em Matemática e visa a ampliar compreensões sobre este curso na modalidade a distância a partir de um estudo sobre o ensino de vetores. Tem como foco a interação pelo argumento da sua importância para que o processo de ensino e aprendizagem na educação a distância aconteça de forma dinâmica. A pesquisadora propôs seis olhares: aluno, professor, tutor presencial, tutora a distância, literatura e o olhar da própria pesquisadora; estes se basearam em um questionário aplicado aos alunos que estavam cursando a disciplina Geometria Analítica, em entrevistas e em um estudo sobre o ambiente virtual, o material didático, as vídeoaulas e videoconferências referentes ao tema. A pesquisadora aponta como resultado a existência de divergências entre o preconizado pelos teóricos e o que ocorre de fato. Indica a existência de recursos no ambiente virtual do curso (fóruns de discussão, chat, etc.) que são pouco ou nunca utilizados por alunos, professores e/ou tutores. Diante dos resultados indicados pela pesquisadora, é possível conjecturar da fragilidade do referido curso em análise em estabelecer interações entre os diferentes sujeitos envolvidos e os conceitos matemáticos considerados na investigação e, consequentemente, do estabelecimento de processos de ensino e de aprendizagem. Ressaltamos aqui a importância de haver processos de interação mediados pela ação docente, pois as intervenções nos espaços formais de escolarização em qualquer nível de ensino são intencionais e precisam visar à formação dos estudantes.
