– UNIJUÍ
CAMILA VALANDRO ZAMBERLAN
MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM ATUADOR PNEUMÁTICO PARA APLICAÇÃO EM UM MECANISMO ARTICULADO
Ijuí, RS – Brasil
MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM ATUADOR PNEUMÁTICO PARA APLICAÇÃO EM UM MECANISMO ARTICULADO
Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação em Modelagem Matemática da
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática.
Orientador: Doutor Antonio Carlos Valdiero
Ijuí, RS – Brasil
UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL
DCEEng – DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA
MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM ATUADOR PNEUMÁTICO PARA APLICAÇÃO EM UM MECANISMO ARTICULADO
Elaborada por
CAMILA VALANDRO ZAMBERLAN
Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática
Comissão Examinadora
____________________________________
Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero – DCEEng/ UNIJUÍ (Orientador)
____________________________________ Prof. Dr. Victor Juliano De Negri – UFSC
____________________________________
Prof. Dr. Manuel Martin Pérez Reinbold – DCEEng/ UNIJUÍ
AGRADECIMENTOS A Deus que me iluminou nos momentos difíceis.
As minhas avós Irma e Neli e ao avô João pelas palavras de sabedoria e fé nos momentos de desânimo.
Aos meus irmãos Igor e Tobias pelo incentivo e confiança.
Ao meu namorado Frederico pela paciência e apoio nos dias e noites intermináveis de estudos.
Aos meus tios, tias, primos e primas pela torcida e pelos momentos de descontração em família, que foram imprescindíveis para esta conquista.
Ao meu orientador Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero pela condução do estudo e pelo aprendizado que me proporcionou com muita paciência e dedicação.
Aos colegas do Mestrado em Modelagem Matemática pelos momentos de estudos e descontração, em especial a minha companheira de estudos Rozimerli pela troca de conhecimentos e principalmente pela amizade conquistada durante este período.
A Unijuí por proporcionar este programa de Pós Graduação, em especial a secretária do Mestrado Geni pela amizade e referência.
A todos os professores e bolsistas do campus Panambi pelo auxílio nos experimentos e troca de conhecimentos.
À Capes pelo apoio financeiro.
Aos meu pais Carlos e Aneti (in memorian). À minha avó Irma.
“A mente que se abre a uma nova idéia jamais voltará ao seu tamanho original” Albert Einstein
SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS ... 6 LISTA DE TABELAS ... 9 LISTA DE SÍMBOLOS ... 10 RESUMO ... 13 ABSTRACT ... 14 1 INTRODUÇÃO ... 15 1.1 Generalidades ... 15
1.2 Descrição do Atuador Pneumático ... 17
1.3 Revisão Bibliográfica e Antecedentes ... 18
1.4 Problema Proposto e Organização do trabalho ... 21
2 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO ... 23
2.1 Introdução ... 23
2.2 Modelagem matemática do cilindro pneumático ... 25
2.2.1 Aspectos construtivos do cilindro pneumático ... 25
2.2.2 Análise do Fenômeno da Flambagem ... 27
2.2.3 Cálculo da Frequência Natural ... 29
2.2.4 Equação do movimento da haste ... 30
2.2.5 Dinâmica não linear do Atrito ... 32
2.2.6 Dinâmica das Pressões ... 36
2.3 Modelagem matemática da Válvula ... 37
2.3.1 Zona Morta ... 37
2.3.2 Vazão Mássica... 39
2.4 Modelo Não Linear de 5ª Ordem do atuador pneumático ... 41
2.5 Discussões ... 41
3. RESULTADOS ... 42
3.2 Descrição da Bancada ... 42
3.3 Identificação da não linearidade da Zona Morta ... 50
3.4 Identificação das características não lineares do Atrito ... 53
3.5 Implementação computacional do modelo em malha aberta ... 58
3.6 Validação do Modelo ... 71
4 CONCLUSÕES ... 80 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 82
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Desenho esquemático do sistema de atuação pneumática ... 17
Figura 2: Diagrama esquemático do modelo matemático do atuador pneumático ... 24
Figura 3: Desenho da seção transversal do protótipo do cilindro pneumático construído no NIMeP ... 25
Figura 4: Ilustração do fenômeno da flambagem ... 27
Figura 5: Gráfico do comportamento da frequência natural em função da posição do êmbolo do cilindro ... 30
Figura 6: Forças atuantes no êmbolo do cilindro ... 31
Figura 7: Desenho do contato entre duas superfícies ... 33
Figura 8: Gráfico da combinação das características do atrito em regime permanente ... 34
Figura 9: Desenho representativo da microdeformação média das rugosidades (z) entre duas superfícies de contato ... 34
Figura 10: Visão em corte de uma servoválvula de controle proporcional ... 38
Figura 11: Representação gráfica da não linearidade da zona morta ... 39
Figura 12: Representação gráfica da vazão mássica em função da diferença de pressão e da tensão de controle em um dos orifícios da válvula ... 40
Figura 13: Desenho esquemático da bancada de testes ... 43
Figura 14: Fotografia da bancada de testes ... 43
Figura 15: Fotografia do componente da placa dSPACE ... 44
Figura 16: Interface do programa ControlDesk ... 45
Figura 17: Fotografia do transdutor de pressão ... 46
Figura 18: Transdutor de posição ... 46
Figura 19: Fotografia da servoválvula pneumática ... 47
Figura 20: Unidade de condicionamento do ar ... 48
Figura 21: Fonte HP para alimentação da válvula proporcional ... 48
Figura 22: Cilindro pneumático de haste simples e dupla ação ... 49
Figura 23: Trecho esquerdo do sinal de controle da válvula ... 50
Figura 24: Comportamento da pressão na câmara A do cilindro ... 51
Figura 25: Trecho direito do sinal de controle da válvula ... 52
Figura 26: Comportamento da pressão na câmara A do cilindro ... 52
Figura 27: Gráfico da dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro com identificação dos limites da zona morta ... 53
Figura 28: Análise da velocidade constante em experimentos para identificação do atrito ... 56
Figura 29: Trecho de posição com aceleração aproximadamente nula ... 56
Figura 30: Mapa estático (em regime permanente) de atrito obtido experimentalmente ... 57
Figura 31: Mapa estático (em regime permanente) do atrito com o ajuste dos parâmetros ... 57
Figura 32: Diagrama de blocos do modelo matemático de 5ª ordem do atuador pneumático . 59 Figura 33: Diagrama de blocos da vazão mássica ... 60
Figura 34: Diagrama de blocos da dinâmica das pressões ... 61
Figura 35: Diagrama de blocos da equação do movimento ... 61
Figura 36: Diagrama de blocos da dinâmica do atrito ... 62
Figura 37: Diagrama de blocos da dinâmica das microdeformações (subsistema do atrito) ... 62
Figura 38: Atrito em regime permanente (subsistema da dinâmica das microdeformações) ... 62
Figura 39: Dinâmica das vazões mássicas para u=3v ... 63
Figura 40: Dinâmica das pressões para u=3v ... 64
Figura 41: Gráfico da posição do êmbolo para u=3v ... 64
Figura 42: Gráfico das forças (Fa, Fp, Fatr) para u=3v ... 65
Figura 43: Dinâmica das vazões mássicas para u=-3v ... 65
Figura 44: Dinâmica das pressões para u=-3v ... 66
Figura 45: Gráfico da posição do êmbolo para u=-3v ... 66
Figura 46: Gráfico das forças (Fa, Fp, Fatr) para u=-3v ... 67
Figura 47: Dinâmica das vazões mássicas para u=8v ... 67
Figura 48: Dinâmica das pressões para u=8v ... 68
Figura 49: Gráfico da posição do êmbolo para u=8v ... 68
Figura 50: Gráfico das forças (Fa, Fp, Fatr) para u=8v ... 69
Figura 51: Dinâmica das vazões mássicas para u=-8v ... 69
Figura 52: Dinâmica das pressões para u=-8v ... 70
Figura 53: Gráfico da posição do êmbolo para u=-8v ... 70
Figura 54: Gráfico das forças (Fa, Fp, Fatr) para u=-8v ... 71
Figura 55: Dinâmica das pressões com sinal de entrada de 3v ... 72
Figura 56: Gráfico do sinal U com entrada de 3v... 73
Figura 57: Posição do êmbolo do cilindro pneumático para um sinal de entrada de 3v ... 73
Figura 58: Dinâmica das pressões com sinal de entrada de -3v ... 74
Figura 59: Gráfico do sinal U com entrada de -3v ... 75
Figura 60: Posição do êmbolo do cilindro pneumático para um sinal de entrada de -3v ... 75
Figura 62: Gráfico do sinal U com entrada de 8v... 77
Figura 63: Posição do êmbolo do cilindro pneumático para um sinal de entrada de 8v ... 77
Figura 64: Dinâmica das pressões com sinal de entrada de -8v ... 78
Figura 65: Gráfico do sinal U com entrada de -8v ... 78
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Dados dimensionais do cilindro pneumático ... 26
Tabela 2: Principais componentes da bancada de testes... 49
Tabela 3: Experimentos realizados para voltagens positivas ... 54
Tabela 4: Experimentos realizados para voltagens negativas ... 55
LISTA DE SÍMBOLOS
Alfabeto Latino
Área da Câmara a do cilindro
Área da Câmara b do cilindro descontada a haste
Câmara a do cilindro
Câmara b do cilindro
Calor específico do ar a pressão constante
Calor específico do ar a volume constante
Diâmetro do êmbolo do cilindro
Diâmetro da seção x do cilindro Módulo de Elasticidade
Fator de Curso
Força de atrito
Força de atrito em regime permanente
Força de atrito Coulomb
Força de atrito estático
Força de Flambagem
Função não linear dependente da posição
Força pneumática gerada no atuador
Força de Carga
Função que descreve parte das características do atrito em regime permanente
Função não linear dos componentes dependentes do sinal de controle
Função não linear dos componentes dependentes do sinal de controle
Inclinação direita da zona morta
Inclinação esquerda da zona morta
Pressão atmosférica
Pressão na câmara a do cilindro
Pressão na câmara b do cilindro
Pressão inicial na câmara a do cilindro Pressão inicial na câmara b do cilindro
Pressão de suprimento
Vazão mássica na câmara a do cilindro
Vazão mássica na câmara b do cilindro
Vazamento interno
Vazamento externo
Constante universal dos gases
Fator de Segurança
Temperatura do ar
Sinal de controle
Sinal de controle com a zona morta
Volume morto na câmara a do cilindro com posição
Volume morto na câmara b do cilindro com posição
Volume nas seções x do atuador pneumático Velocidade Stribeck
Componente plástica do deslocamento
Posição do carretel da servoválvula
Comprimento do curso total do cilindro
Vetor de estado
Posição do êmbolo do atuador
Posição do êmbolo do atuador
Velocidade do atuador
Aceleração do atuador
Microdeformações médias das rugosidades entre as superfícies elásticas de contato
Componente plástica do deslocamento
Deslocamento de força de quebra
Valor máximo das microdeformações
Limite direito da zona morta
Limite esquerdo da zona morta
Alfabeto Grego
Coeficiente constante da função exponencial
Coeficiente de vazão para a câmara enchendo
Coeficiente de vazão para câmara esvaziando
Relação entre os calores específicos do ar
Coeficiente de rigidez das microdeformações
Coeficiente de amortecimento das
microdeformações
Coeficiente de amortecimento viscoso
Símbolos Variação Derivada primeira Derivada segunda Derivada terceira Somatório
RESUMO
O presente trabalho trata da modelagem matemática de um atuador pneumático elaborado para compor um mecanismo articulado. Tal mecanismo é utilizado para acionamento de uma ferramenta e está inserido em um projeto executado pela Unijuí Campus Panambi, oriundo de uma parceria entre a Associação IPD e a CELPE (Companhia Energética de Pernambuco), desenvolvido no âmbito do Programa de Pesquisa e Desenvolvimento Tecnológico do Setor Energético regulado pela ANEEL (código ANEEL PD-0043-0311/2011). A utilização da pneumática inclui aplicações na construção de máquinas, ferramentas, máquinas agrícolas, sistemas de transporte, processamento de alimentos entre outros. Dentre os benefícios do uso da pneumática, considera-se que por ser limpa, de baixo custo, de alta relação potência por massa e de flexibilidade na instalação, torna-se atrativa para diversas aplicações em equipamentos manuais ou móveis. Entretanto, as características não lineares do sistema causam dificuldades no controle e podem ocasionar danos ao desempenho do sistema se não consideradas no projeto. Dentre as características não lineares, considera-se com maior ênfase neste trabalho a zona morta, o efeito da compressibilidade do ar, a vazão nos orifícios da válvula e o atrito nas vedações. A modelagem matemática é importante para fins de simulações computacionais utilizadas em análises de comportamento das variáveis de estado do sistema. Foram estudados modelos matemáticos utilizados anteriormente em acionamentos pneumáticos e a partir daí foi obtido um modelo matemático não linear de 5ª ordem que permite simular o comportamento dinâmico do atuador objeto deste estudo. O referido modelo reúne equações da servoválvula bem como do cilindro pneumático construído para compor o mecanismo apresentado. Os parâmetros da zona morta e do atrito foram obtidos experimentalmente e encontram-se descritos detalhadamente no decorrer deste trabalho. O modelo adotado foi validado em testes experimentais em malha aberta e são apresentados gráficos que ilustram as características do modelo, comparando o comportamento experimental do atuador com os resultados da simulação computacional. Esta pesquisa contribui para o desenvolvimento e aperfeiçoamento de equipamentos pneumáticos.
Palavras-chave: Sistemas dinâmicos; Servopneumática; Dinâmicas não lineares; Validação Experimental
ABSTRACT
This master’s thesis deals with the mathematical modeling of a pneumatic actuator designed to form a hinge mechanism. Such a mechanism is used for driving a tool and is part of a project run by Unijuí Campus Panambi, comes from a partnership between the Association and the IPD CELPE (Energy Company of Pernambuco), developed under the Programme for Research and Technological Development Sector energy regulated by ANEEL (ANEEL PD-0043-0311/2011 code). The use of pneumatic includes applications in machine tools, agricultural machinery, conveyor systems, food processing among others. Among the benefits of using pneumatic considered to be a clean, low cost, high strength per weight ratio and flexibility at installation, it is attractive for various applications prototypes or mobile equipment manuals. However, the nonlinear characteristics of the system cause difficulties in control and can cause damage to the system performance is not considered in the project. Among the non-linear characteristics, it is with greater emphasis in this work the dead zone, the compressibility of air flow holes and friction in the valve seals. Mathematical modeling is important for the purpose of computer simulations used for analysis of behavior of the state variables of the system. We studied mathematical models previously used in pneumatic drives and from there was obtained a mathematical model nonlinear 5th order to simulate the dynamic behavior of the actuator object of this study. The model combines equations of servo and pneumatic cylinder built to compose the mechanism presented. The parameters of the dead zone and friction were obtained experimentally and are described in detail in this paper. The model was validated in experimental tests in open loop and graphs are presented that illustrate the characteristics of the model by comparing the experimental behavior of the actuator with the results of computer simulation. This research contributes to the development and improvement of pneumatic equipment.
1 INTRODUÇÃO
1.1Generalidades
Este trabalho trata da modelagem matemática e validação experimental de um atuador pneumático para acionamento de um mecanismo articulado. Está inserido na linha de pesquisa Modelagem Matemática de Sistema Não lineares e Controle de Sistemas Dinâmicos na área interdisciplinar. O objeto pesquisado é parte integrante de um equipamento desenvolvido pelo Núcleo de Inovação e Mecanização da Poda (NIMeP) da UNIJUÍ Campus Panambi, sendo um dos resultados do projeto de P&D de título “DESENVOLVIMENTO DE SOLUÇÃO MECANIZADA PARA A PODA DE ÁRVORES COM INCIDÊNCIA SOBRE COMPONENTES ENERGIZADOS DE LINHAS E REDES AÉREAS DE DISTRIBUIÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA” desenvolvido no âmbito do Programa de Pesquisa e Desenvolvimento Tecnológico do Setor Energético regulado pela ANEEL (código ANEEL PD-0043-0311/2011), executado pelo Departamento de Ciências Exatas e Engenharias (DCEEng) no Campus Panambi da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ) por meio de um convênio entre a Associação Instituto de Políticas e Desenvolvimento (Associação IPD) e a Companhia Energética de Pernambuco (CELPE), a qual deu suporte financeiro ao projeto.
Trata-se dos aspectos fundamentais a serem considerados no estudo e na modelagem matemática do comportamento dinâmico de um cilindro pneumático diferencial para aplicação em um equipamento florestal. Tais aspectos consideram as características dinâmicas não lineares que podem influenciar no comportamento de atuadores pneumáticos e até prejudicar o desempenho do sistema mecânico considerado. O atuador pneumático considerado é composto por uma servoválvula de controle proporcional e por um cilindro pneumático de haste simples e dupla ação. O cilindro pneumático diferencial possui uma haste simples e é muito comum em atuadores pneumáticos quando se deseja produzir o deslocamento linear de uma carga ou a própria aplicação de uma força de carga FL. A grande
vantagem de aplicação do atuador pneumático é a facilidade de instalação, a alta relação força por peso, o baixo custo e a disponibilidade de ar comprimido na maioria das instalações industriais e dos equipamentos, e além disto, eles são limpos e não causam prejuízos ao meio ambiente.
No decorrer deste capítulo apresentar-se-á alguns conceitos relevantes para a compreensão do presente trabalho, bem como as principais características das não
linearidades que serão consideradas para a elaboração do mesmo. Serão relatadas ainda, as especificações do atuador utilizado e breve histórico de estudos realizados acerca de atuadores para aplicação de força.
A Pneumática é definida como a ciência e tecnologia que trata da utilização de ar ou gases neutros como meio de transmissão, controle e distribuição de sinais e energia. Seu uso principal inclui aplicações na construção de máquinas, máquinas ferramentas, máquinas agrícolas, sistemas de transporte, processamento de alimentos e embalagens. Atuadores Pneumáticos são componentes que transformam a energia do ar comprimido em energia mecânica. (ANDRIGHETTO, 2009)
Um cilindro é definido como um atuador que produz movimento linear. Os cilindros pneumáticos podem ser classificados em cilindros de ação simples e cilindro de ação dupla, no caso do trabalho em questão será utilizado um cilindro de ação dupla. No cilindro que será utilizado neste trabalho os movimentos de avanço e retorno são realizados pela ação da pressão, neste caso do ar comprimido. Estes cilindros podem produzir trabalho nos dois sentidos de movimento do êmbolo, pois a referida pressão atua nos dois lados do êmbolo. O cilindro de ação dupla mais comum é o cilindro de haste simples. (ANDRIGHETTO, 2009)
A não linearidade da zona morta é uma imperfeição bastante comum em sistemas mecânicos principalmente em servoválvulas. A presença desta não linearidade em servo válvulas gera limitações bastante significativas no desempenho de controladores por realimentação, principalmente no que diz respeito à minimização do erro de posicionamento e de seguimento de trajetórias, diante disso, se faz necessário a utilização de metodologias de caracterização e compensação dessa não linearidade. (BAVARESCO, 2007)
Quanto às vazões mássicas, estas são funções não lineares da pressão e da tensão u aplicadas a servoválvulas e calculadas a partir da teoria da mecânica dos fluidos. A determinação dos parâmetros desta equação é feita considerando os aspectos teórico-experimentais apresentados em Endler (2009)
Uma das principais não linearidades é o atrito, que é conceituado como uma força natural, contrária ao movimento que resulta da interação entre dois corpos e que atua somente quando um corpo está em contato com outro, sofrendo a ação de outra força que tende a colocá-lo em movimento. Esta força é causada pelo contato entre dois corpos. (MIOTTO, 2009)
1.2 Descrição do Atuador Pneumático
A fim de melhor compreender o funcionamento do atuador pneumático que será tratado no decorrer deste trabalho, mostramos através da Figura 1 um desenho esquemático de um atuador pneumático. O atuador pneumático é composto por um cilindro pneumático diferencial de haste simples e dupla ação e por uma servoválvula de controle proporcional, responsável pelo direcionamento do ar comprimido (fornecido a uma pressão de suprimento
ps) para uma das câmaras do atuador e permitindo que o ar da outra escoe para a atmosfera (a uma pressão atmosférica patm). Conforme mostrado na figura 1, o ar comprimido ao fluir para
a câmara “A” e escoar da câmara “B”, produz uma diferença de pressão que resulta numa força pneumática responsável pelo movimento de avanço da haste do cilindro. O contrário é chamado de movimento de recuo da haste do cilindro.
Figura 1: Desenho esquemático do sistema de atuação pneumática
u pb
ps pa
Fonte: Autoria própria.
Dentre as características não lineares que se referem ao comportamento dinâmico do atuador pneumático, pode-se citar a compressibilidade do ar, o vazamento interno entre as câmaras dependente da folga entre o êmbolo e o cilindro, a zona morta que está diretamente ligada ao sinal de abertura da válvula e a sua resposta imediata ao sistema, e por fim o atrito dinâmico nas superfícies de contato da vedação na haste do cilindro (para diminuir vazamentos externos). Com relação ao atrito, deve-se ressaltar que o mesmo pode representar
uma parcela significativa no modelo dinâmico, uma vez que ao ser utilizado um cilindro construído em laboratório, é imprescindível considerar que o atrito pode ser maior quando comparado a cilindros encontrados em catálogos. Estes altos valores da força de atrito podem ser observados através dos gráficos apresentados na seção 3.5 deste trabalho. Outros aspectos a serem considerados estão relacionados à compressibilidade do ar e influenciam diretamente o comportamento dinâmico da variação das pressões nas câmaras. Uma vez que quando o volume da câmara do cilindro é muito pequeno, a dinâmica das pressões é muito rápida resultando em altos valores da frequência natural ωn do cilindro pneumático, ou seja, o sistema dinâmico torna-se oscilatório e em certas condições até instável (VALDIERO et al., 2011). A partir da modelagem matemática e dos valores dos parâmetros dimensionais do cilindro, pode-se calcular a frequência natural do cilindro e verificar os limites de uma região central do curso onde ela permanece praticamente constante. Fora desta região e próximo dos finais de curso há um acréscimo brusco da frequência natural (BAVARESCO, 2007).
Com relação ao cilindro, deve-se salientar que pelo fato de o mesmo ter sido construído em laboratório, o diâmetro da haste teve que ser projetado criteriosamente a fim de evitar a sua flambagem. O fenômeno da flambagem pode ocorrer em hastes com diâmetro pequeno em relação ao seu comprimento, quando estas são sujeitas a esforços de compressão. Tal fenômeno será ilustrado e calculado detalhadamente no capítulo 2.
1.3Revisão Bibliográfica e Antecedentes
Com relação à revisão bibliográfica e os antecedentes da pesquisa da modelagem matemática de atuadores pneumáticos serão apresentados nesta seção diferentes estudos realizados acerca deste tema. Inicialmente serão enfatizados os trabalhos que antecederam esta pesquisa no mestrado em Modelagem Matemática da Universidade do Noroeste do estado do Rio Grande do Sul. Posteriormente serão comentados alguns estudos realizados por pesquisadores de diferentes instituições acerca do tema abordado nesta dissertação de Mestrado.
Diversas contribuições oriundas de dissertações do mestrado em Modelagem Matemática da Unijuí podem ser citadas (BAVARESCO, 2007; ENDLER,2009; RITTER, 2010; PORSCH, 2012) e constituem um importante antecedente desta pesquisa. Cada estudo teve seu diferencial no que diz respeito ao avanço no desenvolvimento de modelos matemáticos em sinergia com trabalhos de conclusão de curso, de estágio supervisionado, de iniciação científica e de iniciação tecnológica e inovação relacionados ao curso de graduação
em Engenharia Mecânica e aos desafios regionais do Arranjo Produtivo Local (APL) Metalmecânico da cidade pólo em Panambi/RS. Algumas destas contribuições estão descritas no decorrer desta seção.
Bavaresco (2007) trouxe em seu estudo uma análise de diferentes modelos matemáticos que descrevem o comportamento de atuadores pneumáticos com o intuito de seguir sua pesquisa a partir de um deles. Dentre os apresentados, observou-se modelos de 3ª a 5ª ordem, tendo uma grande variação no grau complexidade dos modelos. A pesquisa de Bavaresco (2007) partiu então de um modelo matemático de 3ª ordem com adaptações relacionadas à freqüência natural a fim de simplificar a implementação das simulações e facilitar a síntese do controlador. A validação do modelo adotado se deu pelo comparativo entre a simulação computacional e os experimentos realizados em um Robô cartesiano acionado pneumaticamente.
O estudo de Endler (2009) voltou-se para a dinâmica da vazão mássica através dos orifícios da válvula. Tal modelagem resultou do levantamento de dados experimentais das pressões realizados em função do tempo. Os experimentos realizados neste estudo foram feitos em um cilindro pneumático sem haste, permitindo assim uma melhor compreensão do comportamento da variável estudada, uma vez que a vazão mássica é uma não linearidade da válvula, não exigindo assim o estudo em cilindros mais complexos.
Com o intuito de propor um modelo matemático mais completo com relação a atuadores pneumáticos, Ritter (2010) apresentou um modelo de 5ª ordem em seu estudo, onde contemplou as principais não linearidades presentes no comportamento dinâmico destes sistemas mecânicos. Ritter (2010) em seu trabalho enfatizou a zona morta, a vazão nos orifícios da servoválvula, a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro e o movimento do êmbolo considerando a presença do atrito dinâmico. Apresentou ainda um estudo comparativo da influência do tamanho do cilindro no comportamento dinâmico do modelo não linear.
Em seu estudo Porsch (2012) propôs a modelagem matemática de um simulador da variação da inclinação lateral de uma colheitadeira de grãos acionada pneumaticamente. Porsch (2012) trouxe em seu trabalho um grande diferencial, pois realizou a modelagem matemática de um mecanismo muito utilizado pelos agricultores contribuindo assim na pesquisa acerca de mecanismos agrícolas mais baratos para pequenos agricultores. No referido trabalho relatou as principais não linearidades presentes em sistemas dinâmicos e propôs a interação entre todos estes fatores com o comportamento da plataforma girante.
Apesar de seu estudo estar relacionado a robôs acionados hidraulicamente, Valdiero (2005) em sua tese enfatizou a compensação do atrito com a inclusão da dinâmica baseada nas
microdeformações das rugosidades entre as superfícies de contato. A não linearidade do atrito é complexa e não possui um modelo adotado universalmente para a sua compensação. Para isto, busca-se através da literatura aquele que permite contemplar todas as suas características, que encontram-se detalhadas em Valdiero (2005).
No decorrer desta pesquisa, foram analisados diversos trabalhos focados na modelagem matemática e no estudo do comportamento de sistemas pneumáticos. A seguir, serão apresentados alguns destes trabalhos a fim de contextualizar sobre os trabalhos pesquisados na área pesquisada durante esta dissertação.
Com relação à posição de atuadores acionados pneumaticamente BACCA (2010) apresentou um estudo detalhado acerca dos componentes do mesmo, enfatizando as características de cada componente de forma separada. Demonstrou que é possível definir os parâmetros do sistema sem a necessidade de se ter equipamentos sofisticados de medida. Provou ainda através de testes experimentais que o modelo de Lugre para a caracterização do atrito é de grande precisão.
Em seu estudo HENÉ (2010) sugere que a excelência no posicionamento de atuadores pneumáticos pode estar diretamente ligada ao correto dimensionamento da válvula e do cilindro e que a condição operacional do sistema seja perfeitamente compreendida. Desta forma realizou um comparativo entre dos valores obtidos através dos catálogos de fabricantes e aqueles testados experimentalmente. Ao analisar as mudanças de temperatura nas diferentes vias do atuador provou que a influência se torna desprezível na determinação do ponto operacional de um sistema pneumático.
Considerando o custo elevado no uso de válvulas proporcionais em sistemas servopneumáticos de controle de posição LOCATELI (2011) realizou um estudo acerca de válvulas direcionais on/off de rápida comutação e apresentou a implementação de dois métodos de controle para o sistema. Em sua pesquisa, concluiu que as válvulas de controle direcional on/off podem substituir as válvulas proporcionais em aplicações determinadas, reduzindo assim o custo do sistema sem aumentar significativamente os erros de posicionamento.
Focado em desenvolver robôs capazes de movimentar peças a fim de substituir postos de trabalho insalubres, Allgayer (2011) projetou um robô acionado pneumaticamente com controlador linear por meio da técnica de realimentação de estados, que consiste em comparar os valores dos estados (medidos ou estimados) com os referenciados a fim de geral sinal de controle. Utilizou para o controle, um modelo linearizado de 3ª ordem. Apesar da inexistência de um protótipo física para comparar o comportamento do seu modelo com a
realidade, Allgayer concluiu que o resultado de seu estudo muito se aproximou da literatura, e que para as tarefas propostas, obteve um controle eficaz.
Em trabalhos mais recentes acerca da utilização de atuadores pneumáticos, Cukla (2012) focou seu estudo no controle eletrônico para servoposicionadores pneumáticos. Considerou que tais mecanismos apesar de serem de baixo custo apresentam não linearidades que devem ser superadas para que possam ser utilizadas em atividades de posicionamento preciso.
Apresentou-se nesta seção o levantamento bibliográfico de diversos estudos acerca de atuadores pneumáticos para mecanismos bem como estudos de componentes de sistemas pneumáticos. Com isto foi possível observar que o objeto de pesquisa da presente dissertação de mestrado tende a contribuir com a evolução de tais pesquisas, pois trata mais uma vez de melhorar a precisão e identificação nas não linearidades contidas em sistemas pneumáticos.
Com relação às pesquisas citadas acima, foi observado que a servoválvula utilizada no estudo foco desta dissertação de mestrado é comumente utilizada em outras pesquisas, pois a maioria dos autores referenciados utilizaram o mesmo modelo de válvula para suas pesquisas. No que diz respeito ao diferencial do nosso trabalho, pode-se afirmar que modelar matematicamente o comportamento de um cilindro pneumático construído em laboratório, é um desafio, pois não foram encontradas pesquisas acerca do tema abordado nesta dissertação de mestrado.
1.4 Problema Proposto e Organização do trabalho
A presente dissertação de mestrado propõe detalhar didaticamente os componentes de um sistema pneumático a fim de buscar as melhores equações para modelar matematicamente tal comportamento dinâmico. A grande importância na busca da precisão da modelagem se dá pois o atuador pneumático estudado é parte integrante de um mecanismo articulado para aplicação na poda de árvores que foi totalmente produzido em laboratório. Enfatiza-se o fato de o cilindro ter sido construído em laboratório, pois geralmente os trabalhos que tratam da modelagem de atuadores em geral, utilizam cilindros de catálogos, o que permite que este trabalho tenha um diferencial importante.
A estrutura deste trabalho está dividida em 4 capítulos. O capítulo 2 apresenta separadamente os aspectos e as não linearidades do cilindro e da válvula que por fim darão origem ao modelo matemático do atuador pneumático em estudo.
O capítulo 3 apresenta em detalhes a descrição da bancada utilizada para a realização dos testes experimentais com todos os seus componentes e equipamentos. Neste capítulo serão identificados os parâmetros de algumas das principais não linearidades consideradas neste trabalho. Em detalhes apresentar-se-á a implementação do modelo matemático utilizado a fim de realizar as simulações computacionais. Por fim, o capítulo 3 demonstra a validação experimental do modelo adotado que consiste no comparativo entre os dados obtidos experimentalmente com àqueles simulados computacionalmente.
Para finalizar, o capítulo 4 apresenta as conclusões sobre o estudo realizado para esta dissertação bem como as perspectivas de trabalhos futuros que venham as complementar as pesquisas que foram realizadas.
2 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ATUADOR PNEUMÁTICO
2.1 Introdução
No decorrer deste Capítulo será tratado da modelagem matemática de um atuador pneumático, que será parte integrante do acionamento de um mecanismo articulado utilizado em um equipamento pneumático para poda de árvores. Ainda sobre o atuador, serão apresentados os aspectos fundamentais que devem ser considerados com relação aos componentes integrantes do mesmo.
O modelo matemático tratado neste trabalho é de 5ª ordem. Obtido através da combinação entre a dinâmica da servoválvula e a dinâmica do cilindro pneumático, o modelo combina as características não lineares de cada um dos componentes do atuador.
Através da Figura 2 pode-se observar o esquema da modelagem matemática do atuador pneumático com os principais elementos incluídos na composição do modelo adotado. Além dos elementos já mencionados neste trabalho, salientamos a inclusão de vazamentos externos, representados por qin, que apesar de não serem considerados na
Figura 2: Diagrama esquemático do modelo matemático do atuador pneumático Zona Morta Equação da Vazão Força Pneumática Equação da Continuidade
+
Vazamentos Equação do Movimento1/s
1/s
y pa pa pa ps u patm Qvaz Qvaz qma qmb pb pb pb MODELAGEM Válvula direcional de controle de vazão Cilindro Pneumático diferencial de dupla açãoFonte: Autoria própria.
Conforme representado na figura 2, este capítulo será seccionado em duas partes. A primeira onde serão descritas as não linearidades correspondentes ao cilindro pneumático diferencial utilizado, a outra tratará das características da servoválvula de controle direcional.
2.2 Modelagem matemática do cilindro pneumático
2.2.1 Aspectos construtivos do cilindro pneumático
O cilindro pneumático objeto deste trabalho, conforme comentado anteriormente, é parte integrante de um mecanismo articulado para utilização em um equipamento florestal.
Com o intuito de se criar um atuador com as características necessárias para dada aplicação, o projeto do cilindro pneumático foi desenvolvido pelos pesquisadores que compõem o NIMeP . O processo de desenvolvimento vai desde o projeto até a sua construção e utiliza a infraestrutura laboratorial disponível na UNIJUI – Campus Panambi.
A Figura 3 ilustra o desenho da seção transversal do protótipo que foi construído e as características dimensionais que foram consideradas para fins de modelagem matemática.
Figura 3: Desenho da seção transversal do protótipo do cilindro pneumático construído no NIMeP
dH dh d2 d1 hb ha he d4 h4 d d3 h2 h h1 d t h3
Fonte: Autoria própria
O cilindro apresentado na figura 3 é construído utilizando-se um tubo cilíndrico em alumínio e diversas peças, tais como êmbolo e haste, em nylon, com o objetivo de tornar o protótipo mais leve.
Apresenta-se, através da tabela 1, os valores dos parâmetros dimensionais do protótipo, bem como os cálculos de áreas e volumes utilizados na modelagem matemática do cilindro pneumático.
Tabela 1: Dados dimensionais do cilindro pneumático
Simbolo Descrição Valor Unidade
d1 Diâmetro da seção 1 0,063 m
h1 Altura da seção 1 0,04 m
V1 Volume da seção 1 1,066x10-4 m3
dt Diâmetro da tubulação 0,0055 m
Vt Volume da tubulação 2,9452x10-5 m3
dH Diâmetro maior da haste 0,024 m
dh Diâmetro menor da haste do 0,01 m
hb Altura da câmara b 0,0325 m Vb Volume câmara b 1,20947x10-4 m3 d2 Diâmetro da seção 2 0,025 m h2 Altura da seção 2 0,02 m V2 Volume da seção 2 9,8175x10-6 m3 he Altura do êmbolo 0,04 m d3 Diâmetro da seção 3 0,05 m h3 Altura da seção 3 0,01 m V3 Volume da seção 3 1,9635x10-5 m3 D Diâmetro do êmbolo 0,0729 m há Altura da câmara a 0,0325 m Va Volume câmara a 1,3565x10-4 m3 d4 Diâmetro da seção 4 0,063 m h4 Altura da seção 4 0,035 m V4 Volume da seção 4 1,091x10-4 m3 H Altura do cilindro 0,185 m Ae Área do êmbolo 4,174x10-3 m2
Ah Área do êmbolo descontada da haste 3,7215x10-3 m2
Y Curso total do cilindro (ha+hb) 0,065 m
Vb0 Vol. inicial na câm b (Vt+V1+Vb+2.V2) 27,6634x10-5 m3
I Momento de Inércia (I = d4.pi/64) 1,6286x10-8 kg/m2
M Massa acoplada ao atuador 0,5 kg
2.2.2 Análise do Fenômeno da Flambagem
Segundo Linsingem (2003), o diâmetro da haste de um cilindro pode ser determinado pela necessidade de avanço e retorno que se quer, porém, é de suma importância que sejam avaliadas as especificações da haste escolhida, de maneira que a mesma permaneça estável quando submetida a um determinada forma de carregamento.
Quando o autor refere-se à estabilidade da haste, que dizer que deve ser evitado o fenômeno conhecido com Flambagem, que é ilustrado através da figura 4:
Figura 4: Ilustração do fenômeno da flambagem
M
Fonte: Autoria própria.
Conforme a figura 4, quando a haste do cilindro está sujeita a esforços de compressão, deve ser calculada a força de flambagem que é obtida através da equação (2.1):
(2.1)
onde, Ff é a carga de flambagem (N), E é o módulo de elasticidade (que depende do material
que está sendo utilizado), F é o fator de curso (depende da conexão da ponta da haste), S é o fator de segurança, Y é o curso do cilindro (mm) e I é o momento de inércia do cilindro.
Devido ao fato de o cilindro utilizado para o presente estudo ter sido construído em laboratório, foi necessário calcular a força de flambagem que a haste do cilindro seria capaz de suportar. Na seqüência, serão apresentados cálculos da Força de Flambagem para três protótipos diferentes. O primeiro protótipo com haste medindo 12,7mm de diâmetro fabricada em aço, o segundo com a mesma medida de haste foi utilizado o nylon para a sua fabricação, e por fim o último, também em nylon, com um diâmetro de haste igual a 24mm.
Antes de aplicar a equação 2.1, é necessário entender um pouco das variáveis utilizadas para este cálculo. O módulo de elasticidade, representado pela letra E, pode ser obtido através de pesquisas na internet, pois é uma característica que depende exclusivamente do material que está sendo utilizado para a fabricação da haste. O momento de inércia, representado pela letra I é calculado pela equação I = d4.
π
/64 e depende somente do diâmetroda haste do cilindro. A variável Y indica o curso total do cilindro pneumático. E por fim, as variáveis F e S que são os fatores de curso e de segurança que serão utilizados. O fator de curso dependente da conexão utilizada.
O fator de curso utilizado para os cálculos realizados foi F=2, pois a Conexão “Sustentado mas não rigidamente guiado” é a que mais se aproxima com o protótipo utilizado para este estudo. Como fator de segurança utilizou-se S=5 conforme sugestão de Andrighetto (2005).
Diversos protótipos foram desenvolvidos no decorrer desta pesquisa. Para cada protótipo foram calculadas as forças de flambagem a fim de evitar danos ao mecanismo.
Para o primeiro protótipo construído, foi utilizada uma haste de diâmetro igual a 12,7mm fabricada em aço, cujo módulo de elasticidade é igual a 80GPa. O curso deste cilindro é igual a 65,2mm. Desta forma foi calculada uma força de flambagem igual a 11.932N para o cilindro com haste de aço.o que permite observar que o mesmo não apresenta risco nenhum de flambagem, pois suporta uma força que não será atingida.
Porém este protótipo foi substituído a fim de tornar o cilindro mais leve, desta forma foram utilizadas as mesmas medidas do protótipo anterior, porém o material de construção da haste foi substituído de aço para nylon. Segundo pesquisas na internet, o módulo de elasticidade do nylon 6.0 (utilizado para este protótipo) é de 1700MPa. Devido a troca do material utilizado, a força de flambagem para a haste de nylon foi igual a 253,56N demonstrando que esta haste fica altamente vulnerável à resistência de cargas de compressão. Desta forma, foi necessário o desenvolvimento de um novo protótipo com haste mais resistente.
O novo cilindro pneumático com haste em nylon, possui diâmetro da haste igual a 24mm. Desta forma foram realizados novamente os cálculos necessários para a análise do fenômeno da flambagem, obtendo-se. Assim uma força de flambagem igual a 3.234,54N.
Através do cálculo da referida força para o novo protótipo, pode-se observar que este possui um valor de força de flambagem resistente a cargas, garantindo assim a proteção do mecanismo com relação aos danos causados por este fenômeno.
2.2.3 Cálculo da Frequência Natural
Para o calculo da freqüência natural de um cilindro de haste simples e dupla ação, utiliza-se a seguinte fórmula
(2.2)
sendo que γ é a relação entre os calores específicos do ar, ps é a pressão de suprimento, M é a massa total acoplada ao êmbolo, A1 e A2 são as áreas nas câmaras, V são os volumes nas câmaras e suas tubulações na posição inicial. Os valores atribuídos às variáveis podem ser encontrados na tabela 1.
A partir da equação (2.2) chegou-se ao gráfico ilustrado pela figura 5 que representa o comportamento da freqüência natural em função da posição do êmbolo do cilindro pneumático.
Figura 5: Gráfico do comportamento da frequência natural em função da posição do êmbolo do cilindro -0.030 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 50 100 150 Posição y (m) F re q u ê n c ia N a tu ra l W h ( ra d /s )
A partir da análise do gráfico da freqüência natural pode-se compreender que o cilindro utilizado neste estudo não possui altos valores de freqüência natural, o que permite evitar danos aos equipamentos utilizados para os testes experimentais.
2.2.4 Equação do movimento da haste
De maneira inicial, sabe-se que o movimento da haste de um cilindro qualquer é gerado através de forças aplicadas sobre o êmbolo do cilindro. Ilustra-se através da figura 6 as forças consideradas no cilindro pneumático objeto deste estudo:
Figura 6: Forças atuantes no êmbolo do cilindro FL Qout F atr pb A2 Qin A1 pa Fp
Fonte: Autoria própria.
Pode-se observar conforme a figura 6, que as forças exercidas no êmbolo são: Fatr
que representa a força de atrito que resulta das vedações do cilindro, FL que representa a força
da carga que está acoplada a haste e FP, que contrária as anteriores, é a força pneumática que
o atuador vai dispor.
A fim de compreender a equação que melhor representa o movimento da haste do cilindro pneumático estudado partimos da 2ª Lei de Newton. Também conhecida como “Princípio fundamental da dinâmica”, a 2ª Lei de Newton diz que: “A mudança de movimento é proporcional à força motora imprimida, e é produzida na direção de linha reta na qual aquela força é imprimida.” Desta forma, utilizando-a para o equilíbrio das forças, tem-se que :
(2.3)
Onde representa o somatório das forças aplicadas ao êmbolo conforme mostrado através da Figura 6, M é a massa acoplada a haste do cilindro pneumático e é a aceleração do cilindro. Substituindo pelas forças existentes, obtém-se a seguinte equação:
A força pneumática referida resulta da diferença de pressão nas câmaras do cilindro dada por:
(2.5)
Substituindo a equação (2.5) em (2.4), pode-se reescrever a equação do movimento da seguinte forma:
(2.6)
A força de carga constante na equação (2.6) será calculada através do somatório das massas acopladas à haste do cilindro. A força de atrito, será detalhada e equacionada ainda neste capítulo.
2.2.5 Dinâmica não linear do Atrito
A não linearidade do atrito pode ser observada principalmente entre as superfícies de contato da haste e do cilindro, bem como entre o êmbolo e a parede do cilindro. Tal não linearidade está presente em todas as máquinas que produzem algum tipo de movimento. Desta forma, considera-se de grande importância o entendimento sobre esta não linearidade a fim de buscar a sua compensação através de modelos encontrados na literatura.
De maneira geral, o atrito representa o contato entre duas superfícies com rugosidade. Através da Figura 7 é possível observar a presença desta não linearidade, onde uma massa desliza sobre uma superfície plana devido a força Fp aplicada sobre a mesma.
Nota-se ainda que a força de atrito Fatr é contrária à força pneumática, fazendo com que Fp
não tenha um desempenho de forma integral. A variável y representa o deslocamento da massa, que pode ser decomposto em uma componente elástica (z) e em outra plástica (w).
Figura 7: Desenho do contato entre duas superfícies
Fonte: Ritter (2010)
Conforme descrito anteriormente, o atrito é uma não linearidade que deve ser prevista a fim de buscar a sua compensação, pois a mesma pode causar efeitos danosos ao sistema. Tais efeitos, encontram-se ilustrados e melhor descritos em Valdiero (2012) e são conhecidos como adere-desliza (stick-slip), hunting, perda de movimento (standstill) e
quadrature glitch.
A compensação do atrito e conseqüente diminuição de seus efeitos danosos só podem ser realizadas ao serem conhecidas as principais características não lineares que compõem o atrito, permitindo assim a escolha de um modelo adequado. Dentre estas características pode-se citar os atritos estático, de Coulomb, viscoso e de arraste e atrito Stribeck. O atrito estático só acontece em velocidade zero, o que o difere do atrito de Coulomb, também conhecido como “atrito seco”, que se dá em velocidades diferentes de zero. O atrito viscoso corresponde a uma situação de escoamento lâminar e é linearmente proporcional à velocidade, enquanto o atrito de arraste refere-se a uma situação de escoamento turbulento e é proporcional ao quadrado da velocidade. Por fim a velocidade Stribeck que é o instante entre a passagem do atrito estático para o Coulomb e que ocorre em trechos de baixa velocidade.
A combinação das características do atrito descritas anteriormente resulta numa função não linear semelhante ao gráfico ilustrado pela figura 8, que representa a Força de Atrito (Fatr) versus a velocidade ( ) em regime permanente.
Figura 8: Gráfico da combinação das características do atrito em regime permanente
Fonte: Valdiero (2005)
Por compreender diversas não linearidades, o atrito não dispõe de um modelo que seja aceito universalmente. Desta forma, um modelo utilizado e que considera parte destas não linearidades, é o conhecido como “Modelo Lugre” proposto por Canudas-de-Wit et al (1995). Segundo Ritter (2010) tal modelo baseia-se no entendimento do mecanismo microscópico do fenômeno de atrito. Nesta escala, as superfícies de contato possuem rugosidades que dificultam o deslizamento entre elas. A figura 9 mostra o desenho representativo da microdeformação média das rugosidades entre duas superfícies de contato.
Figura 9: Desenho representativo da microdeformação média das rugosidades (z) entre duas superfícies de contato
Fonte: Miotto (2009)
A partir disto pode-se compreender a equação (2.7), proposta por Canudas-de-Wit et al (1995), que representa a força de atrito entre as superfícies
onde representa o coeficiente de rigidez das microdeformações entre as superfícies, é um estado interno não mensurável que representa a deformação média que ocorre entre as superfícies, é um coeficiente de amortecimento associado a taxa de variação de , é o coeficiente de amortecimento viscoso e é a velocidade relativa entre as superfícies.
A dinâmica das microdeformações z é dada por:
(2.8)
A função , neste trabalho é uma constante igual a 1, que é conhecida por modelo Lugre puro.
A função , representada pela equação (2.9) descreve parte das características do atrito em regime permanente.
(2.9)
sendo é a força de atrito de Coulomb, a força de atrito estático e é a velocidade
Stribeck.
Considerando a equação (2.8) como a que descreve a dinâmica das microdeformações, é possível observar que, em regime permanente, a velocidade é constante, e tem-se . No entanto, pode-se aproximar o desvio z de atrito, por meio da equação (2.10):
(2.10)
Assim, substituindo a equação (2.9) em (2.7) da Força de Atrito, obtêm-se a Força de Atrito em regime permanente:
A equação (2.11) é utilizada para identificar os parâmetros estáticos do atrito ( através do software Matlab. Tal identificação segue melhor descrita no capítulo 3, seção 3.4.
2.2.6 Dinâmica das Pressões
A fim de equacionar a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro, deve-se assumir algumas hipóteses, tais como:
• O ar comporta-se como um gás perfeito;
• Considera-se o sistema com comportamento adiabático, não sendo consideradas as trocas de calor através das paredes do cilindro;
• Os processos são reversíveis (comportamento isentrópico do sistema).
Desta maneira, a dinâmica das pressões nas câmaras do cilindro pneumático é determinada a partir da Equação da Continuidade, que representa a conservação de energia. Esta conservação é utilizada de forma a se obter o balanço energético entre a energia interna da massa que entra no volume de controle, a potência do movimento do pistão e a variação da energia interna no volume de controle.
Segundo apresentado por Perondi (2002) a aplicação do balanço energético resulta na equação apresentada a seguir:
(2.12)
onde T é a temperatura do ar de suprimento, qma=dma/dt é a vazão mássica na câmara A do
cilindro pneumático, pa é a pressão na câmara A, R a constante universal dos gases, γ=Cp/Cv a
reslação entre os calores específicos do ar e Va o volume na câmara A. As variáveis Cp e Cv
são os calores específicos do ar a pressão constante e volume constante repectivamente. Com relação ao volume de ar constante na câmara A, consideramos como Va a soma
dos volumes variáveis das câmaras com os respectivos volumes mortos, assim chamados os volumes resultantes das tubulações. Desta forma, representa Va como:
(2.13)
Desta forma, resolvendo a equação do balanço energético para e utilizando a
relação e derivando o termo da direita, têm-se:
(2.14)
De maneira análoga para a câmara B,obtém-se:
(2.15)
2.3 Modelagem matemática da Válvula
2.3.1 Zona Morta
A não linearidade da Zona Morta é causada pela sobreposição do ressalto do carretel da servoválvula com relação ao orifício de passagem do ar comprimido. De acordo com Bavaresco (2007) tal não linearidade, pode ser melhor compreendida utilizando-se o exemplo prático das torneiras que possuímos em nossas casas, onde para pequenas aberturas não ocorre o escoamento da água, se fazendo necessário uma abertura mínima para o inicio do escoamento. Este fenômeno trata-se da Zona Morta em terminais de água.
Através do desenho em corte de uma servoválvula com seus principais elementos, conforme mostrado na figura 10 é possível visualizar a sobreposição do ressalto do carretel sobre o orifício de passagem do ar.
Figura 10: Visão em corte de uma servoválvula de controle proporcional
Fonte: Bavaresco (2007)
A Zona Morta é uma diferença entre os valores de entrada e saída, ou seja, uma faixa onde mesmo existindo o valor de entrada, não há a resposta de saída imediata. A expressão que caracteriza a Zona Morta, proposta por Tao e Kokotovic (1996) é dada pela equação (2.16):
(2.16)
Onde u é o sinal de entrada, uzm é o valor de saída, zmd é o limite direito da zona
morta, zme é o limite esquerdo da zona morta, md é a inclinação direita da zona morta e me a inclinação esquerda da zona morta. A figura 11 mostra a representação gráfica da equação (2.16):
Figura 11: Representação gráfica da não linearidade da zona morta
Fonte: Valdiero (2005)
Desta forma compreende-se que para se obter uma modelagem eficaz para atuadores pneumáticos, é necessário que a abertura da válvula seja proporcional ao sinal u aplicado. Para que isso ocorra é preciso que seja efetuada a compensação da zona morta, através da identificação dos parâmetros por meio de testes experimentais. A identificação e a compensação da zona morta para o atuador objeto deste estudo encontram-se especificadas no capítulo 3.
2.3.2 Vazão Mássica
A vazão mássica é definida como a taxa de variação de massa de ar comprimido no decorrer de um tempo (t). Muitos estudos vêm sendo realizados acerca do equacionamento da vazão mássica através de orifícios. Bobrow e MCdonel (1998) por exemplo, consideram estas equações como funções não lineares das pressões nas câmaras do cilindro e da tensão u aplicada a servoválcula. Segundo Endler (2009) que estudou detalhadamente diversos trabalhos sobre vazão mássica, um dos grandes problemas relacionados a equação proposta por Bobrow e MCdonel (1998) é o sinal de controle que não aparece de forma explícita na equação. Com o intuito de modelar a vazão mássica considerando as características não lineares do sistema, Endler (2009) propôs uma modelagem para a vazão mássica através de levantamentos experimentais, conforme descrito pelas equações (2.17) e (2.18):
(2.18)
onde,
(2.19)
(2.20)
onde é a pressão de suprimento, a pressão atmosférica e e são
respectivamente os coeficientes de enchimento e esvaziamento das câmaras do cilindro. Tais coeficientes foram levantados experimentalmente por Endler (2009) e serão utilizados para este estudo.
Segundo Ritter (2010) a função arcotangente facilita a diferenciação da equação (2.17) em esquemas de controle não linear ou em cascata. A figura 12 representa graficamente o comportamento da vazão mássica em um dos orifícios da válvula versus o sinal de entrada u e a diferença de pressão .
Figura 12: Representação gráfica da vazão mássica em função da diferença de pressão e da tensão de controle em um dos orifícios da válvula
2.4 Modelo Não Linear de 5ª Ordem do atuador pneumático
Utilizando as equações representadas nas subseções 2.2 e 2.3, obtêm-se o Modelo Matemático Não Linear de 5ª ordem, que apresenta-se a seguir na forma de variáveis de
estado considerando : (2.21) (2.22) (2.23) (2.24) (2.25)
Onde y1 é a posição do êmbolo do cilindro, y2 a velocidade, y3 e y4 as pressões nas
câmaras a e b respectivamente e y5 é a dinâmica das microdeformações.
2.5Discussões
O presente capítulo descreveu em detalhes a composição do modelo matemático de 5ª ordem de um atuador pneumático construído para integrar um mecanismo articulado para a poda de árvores.
A composição de tal modelo incluiu as principais não linearidades que influenciam no comportamento de sistemas pneumáticos. Foram apresentados os aspectos fundamentais do cilindro e da válvula separadamente, a fim de proporcionar melhor compreensão do funcionamento do equipamento.
A modelagem apresentada neste capítulo se torna imprescindível para o sucesso da implementação e posteriores simulações computacionais que irão descrever o comportamento dinâmico do sistema pneumático.
3. RESULTADOS
3.1 Introdução
O presente capítulo trata dos experimentos com a bancada de testes, da implementação e simulação computacional e da validação do modelo matemático adotado por meio de comparação dos resultados.
A bancada de testes utilizada para este estudo foi construída com recursos da Companhia Energética de Pernambuco (CELPE) em uma parceria com a UNIJUI através da Associação Instituto de Políticas e Desenvolvimento (AIPD). O estudo que trata esta dissertação de mestrado integra um equipamento desenvolvido para a poda de árvores. As especificações de todos os equipamentos que compõem a referida bancada, encontram-se descritos na tabela 2.
Nas seções 3.3 e 3.4 estão descritas didaticamente a identificação dos parâmetros utilizados para a consideração das não linearidades da zona morta e do atrito.
A seção 3.5 trata da implementação computacional do modelo adotado para descrever o comportamento dinâmico de um atuador pneumático especial. Na referida seção encontram-se ilustrados os diagramas de blocos que compõem o sistema bem como as configurações dos parâmetros utilizados na simulação computacional.
Ainda neste capítulo contempla-se a validação do modelo adotado no decorrer deste estudo. Tal validação consiste em comparar os dados obtidos experimentalmente com aqueles simulados computacionalmente. As simulações computacionais foram realizadas em malha aberta a fim de verificar o comportamento do atuador para partidas rápidas.
3.2 Descrição da Bancada
Com o intuito de realizar a validação experimental do modelo matemático desenvolvido nesta dissertação, foi utilizada a bancada de testes disponível no NIMeP (Núcleo de Inovação e Mecanização da Poda) na Unijuí Campus Panambi.
A bancada de testes experimentais é composta por: sistema de aquisição de dados, unidade de condicionamento do ar, válvula reguladora de pressão, cilindro pneumático de haste simples e dupla ação, e por fim, transdutores de pressão e posição. Na figura 13 pode-se
observar o desenho esquemático da bancada de testes. A referida bancada disponível no campus Panambi, da Unijuí, encontra-se ilustrada pela figura 14.
Figura 13: Desenho esquemático da bancada de testes
Compressor Unidade de Condicionamento Microcomputador Dspace Servo Válvula Cilindro de haste simples e dupla ação TRANSDUTORES: Posição Pressão Câmara A Pressão Câmara B Pressão Suprim.
Fonte: Autoria própria.
Figura 14: Fotografia da bancada de testes
Fonte: Autoria própria. ATUADOR
O sistema de aquisição de dados compreende dois componentes. Primeiramente um microcomputador que tem a função de permitir a visualização dos dados enviados e recebidos pela placa eletrônica dSPACE, bem como realizar a integração entre os softwares MatLab e ControlDesk. A placa dSPACE possui um software que permite criar uma interface capaz de controlar e manipular o comportamento do cilindro pneumático enviando os sinais para a válvula proporcional de controle direcional. A figura 15 mostra uma fotografia do conector de sinais da placa dSPACE utilizada neste trabalho.
Figura 15: Fotografia do componente da placa dSPACE
Fonte: Autoria própria.
Este conector possui oito conversores analógico-digitais (ADC) e oito conversores digital-analógicos (DAC), porém, para este estudo estão sendo utilizados 4 conversores ADC e 1 conversor DAC. Os conversores ADC são as entradas de valores capturadas pela dSPACE que correspondem aos transdutores de pressão e posição acoplados ao sistema. O conversor DAC corresponde ao valor de saída que é enviado do computador para a válvula, a fim de regular a voltagem de abertura de seus orifícios.
Os dados capturados e enviados através dos conectores exemplificados acima, podem ser visualizados através da interface criada no programa ControlDesk, que permite analisar em tempo real o comportamento da bancada de testes, bem como definir a sua trajetória. Mediante análise da figura 16 pode-se observar o layout criado no programa ControlDesk em um dos experimentos realizados durante este trabalho.
Figura 16: Interface do programa ControlDesk
Fonte: Autoria própria.
Nota-se que na interface ilustrada acima pode-se visualizar os dados capturados tanto na forma numérica quanto no forma gráfica. O programa ControlDesk permite ainda definir o tempo dos experimentos bem como salvar todos as variáveis utilizadas.
A seguir serão apresentados os principais componentes do sistema pneumático utilizado para realziar os teste experimentais.
Os conversores analógico-digitais recebem as informações registradas pelos transdutores acoplados ao sistema. No caso deste trabalho são utilizados três transdutores de pressão, conforme figura 17. Tais transdutores captam as pressões das câmaras a e b, bem como a pressão de suprimento.
Figura 17: Fotografia do transdutor de pressão
Fonte: Autoria própria.
A quarta entrada ADC recebe o valor registrado pelo transutor de posição que segue ilustrado pela figura 18. Este sensor emite para o computador um sinal de posição em volts, necessitando assim, a conversão deste dado em metros para se obter o gráfico real do comportamente do êmbolo com relação ao curso do cilindro.
Figura 18: Transdutor de posição
Fonte: Autoria própria.
Com relação ao conversor digital-analógico (DAC), o único conector utilizado serve para enviar à válvula reguladora de pressão o sinal u desejado. A servoválvula utilizada neste trabalho recebe o sinal u(t) em volts e é responsável pela entrada e saída de ar nas câmaras do
cilindro através do deslocamento do carretel no sentido desejado. A referida servoválvula está representada pela figura 19.
Figura 19: Fotografia da servoválvula pneumática
Fonte: Autoria própria.
As vias representadas na figura 19 pelo número 1, representam aquelas que estão ligadas às câmaras do cilindro e são responsáveis pela passagem do ar para dentro e forma do atuador. A via de número 2 está ligada à pressão de suprimento, enquanto às representadas pelo número 3 são responsáveis por liberar o ar para a atmosfera e possuem em suas extremidades silenciadores, para diminuir o ruido causado pelo ar comprimido.
Ainda acoplado ao sistema pneumático objeto deste estudo, têm-se um manômetro que permite regular a pressão de suprimento de entrada para o sistema e um lubrificardor, responsável pelo tratamento do ar comprimido antes que ele chegue a servoválvula. Estes dois componentes são acoplados, conforme mostrado na figura 20 e compõem a unidade de condicionamento do ar.
1
3
Figura 20: Unidade de condicionamento do ar
Fonte: Autoria própria.
A fim de dar segurança ao funcionamento de todo o equipamento disponibilizado no laboratório, utiliza-se uma fonte de alimentação de tensão contínua da marca HP que permite controlar os sinais máximos que podem ser enviados à válvula a fim de evitar danos aos equipamentos. Para a fonte HP mostrada na figura 21, são reguladas a voltagem máxima de 24v e a corrente máxima de 1a, garantindo assim experimentos seguros e que não correm risco de causar danos aos equipamentos utilizados.
Figura 21: Fonte HP para alimentação da válvula proporcional
Fonte: Autoria própria.
Por fim, apresenta-se através da figura 22 o principal componente deste estudo. O cilindro pneumático de haste simples e dupla ação, foi totalmente desenvolvido pela equipe
