Aula8 3Quad_2019

DINÂMICA ORBITAL

Profª. Drª. Cláudia Celeste Celestino

Claudia.celeste@ufabc.edu.br

PROBLEMA DE TRÊS CORPOS

- Conceito de esfera de influência

- O problema restrito de três corpos - Pontos de equilíbrio lagrangeano - Atividades

CONCEITO DE ESFERADE INFLUÊNCIA

Análise de uma missão complexa, envolvendo um veículo espacial (V/E) e vários corpos celestes como uma sequencia de P2C.

Justificativa: V/E é suficientemente próximo a um corpo celeste, tal como da Terra, de modo que a força de atração gravitacional dos outros corpos (Sol, Lua e outros planetas) pode ser desprezada, ou seja, P2C - Terra-veiculo espacial. A região dentro da qual esta aproximação é válida é chamada

Esfera de Influência (SOI) da Terra.

No sistema solar, se um corpo está fora da SOI de

planetas e lua, considera-se a órbita em torno do Sol.

Assim, poderia ser possível a aproximação de uma

missão complexa como uma sequência de P2C

usando-se as cônicas para descrever as várias fases da

missão.

Considerando o caso do Sol e da Terra de modo que a força no V/E devido à Terra é maior que a força no V/E devido ao Sol. A superfície ao longo da qual as 2 forças são iguais seria a Esfera de Influência (SOI).

U. A.

Lua fora da SOI da Terra: Lua deveria estar orbitando em torno do Sol como um asteroide Definição Incorreta.

Terra – Lua ~ 384.405 km

Definição Correta de SOI Laplace no Séc. 18.

Considere o V/E como um satélite de um corpo central – calcula - se a perturbação da aceleração deste movimento devido a atração do outro corpo.

Fazendo isto para cada corpo, é possível determinar a esfera de influência, comparando a razão entre as acelerações.

Com isso, a expressão correta para SOI,

O PROBLEMA RESTRITO DE TRÊS CORPOS

No Problema Restrito de 3C Circular (PR3C) temos 2 primários de massas m₁ e m₂ movendo-se em órbita circular em torno de do centro de massa comum a estes corpos e um terceiro corpo (3o _{corpo) que move-se na presença do campo gravitacional dos}

Unidades canônicas

𝜇 =

𝑚

𝑚

+ 𝑚

𝑚

+ 𝑚

= 1

𝑚

= 𝜇

𝑚

= 1 − 𝜇

𝑚

> 𝑚

Unidade de tempo – período orbital de 𝑚₁em torno do centro de massa comum é 2𝜋.

As equações que descrevem o movimento do corpo de massa m₃, ሷ 𝑋 = − 1−𝜇 (𝑋 − 𝑋1) Ԧ 𝑟₁₃3 - 𝜇 (𝑋 − 𝑋2) Ԧ 𝑟₂₃3 ሷ𝑌 = − 1−𝜇 (𝑌 − 𝑌1) Ԧ 𝑟₁₃3 - 𝜇 (𝑌 − 𝑌2) Ԧ 𝑟₂₃3 ሷ 𝑍 = − 1−𝜇 (𝑍 − 𝑍1) Ԧ 𝑟₁₃3 - 𝜇 (𝑍 − 𝑍2) Ԧ 𝑟₂₃3 Ԧ𝑟₁₃2 = (𝑋 − 𝑋₁)2+(𝑌 − 𝑌₁)2+(𝑍 − 𝑍₁)2 Ԧ𝑟₂₃2 = (𝑋 − 𝑋₂)2+(𝑌 − 𝑌₂)2+(𝑍 − 𝑍₂)2

Dois tipos: caso planar e o caso espacial.

❖ Caso planar: 3 corpos num mesmo plano.

❖ Caso espacial: 2 primários em um plano e 3o _{corpo no}

espaço 3D.

Usualmente, o movimento é visto em um referencial girante x-y, de modo que os primários parecem estáticos.

As equações de movimento são dadas por: Em que,       + ₊ − − = − − 3 23 1 2 3 13 2 1 2 r x r x x y x 













Seja (x,y), a posição do 3o _{corpo no sistema baricêntrico}

sinódico.

𝜇₂ = 𝜇 𝜇₁ = 1 − 𝜇

Os Pontos lagrangeanos

O PCR3C não tem solução analítica em forma fechada.

Contudo, existem 5 pontos de equilíbrio em que a solução é o caso em que os corpos encontram-se localizados nos vértices de um triângulo equilátero e ainda o caso em que os corpos são colineares (Lagrange, 1772).

Estes pontos são definidos pelas condições,

Após solução da equação de movimento tem-se;

i) Os pontos lagrangeanos L₄ e L₅ – em que as distâncias da partícula (m₃) aos primários são iguais à distância entre os primários (m₁ e m₂). Ou seja, os corpos m_1, m₂ e m₃ localizam-se nos vértices de um triângulo equilátero no plano do movimento dos primários.

ii) Os pontos lagrangeanos L₁, L₂ e L₃ - em que as distâncias da partícula (m3) aos primários são dadas pelos pontos colineares (linha que une os primários - eixo x).

Após solução da equação de movimento tem-se que as coordenadas dos pontos lagrangeanos L₄ e L_5, em unidades normalizadas, 𝐿₄ = (−𝜇 + 1 2 ; 3 2 ; 0) 𝐿₅ = (−𝜇 + 1 2 ; − 3 2 ; 0)

- Esta relação foi obtida utilizando a equação de movimento e

considerando as condições

Os demais pontos lagrangeanos (pontos colineares) L₁, L₂ e L₃são obtidos a partir da solução da equação,

𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1−𝜇

𝑥+𝜇 3 𝑥 + 𝜇 −

𝜇

𝑥−1+𝜇 3 𝑥 − 1 + 𝜇 = 0 Observações:

- A solução pode ser obtida utilizando o método de Newton-Raphson.

- Esta equação foi obtida utilizando a equação de movimento e considerando as condições de y = 0 e z = 0 .

Pontos de equilíbrio lagrangeanos

• 3 colineares:

L1, L2 e L3 localizados ao longo do eixo-x (pontos sela-centro); Equilíbrio instável - um corpo situado nele permanecerá em repouso desde que não sofra perturbações de forças externa.

• 2 triangulares:

L4 e L5 estão nos vértices de triângulos equiláteros, (estáveis, se m1/m2>24,96) e permitem que satélites (com massa desconsideráveis em relação aos corpos m₁ e m₂) ali permaneçam com gasto mínimo de combustível.

- De fato é o que ocorre com centenas de asteroides com menos de 300 km de diâmetro, chamados asteroides troianos, que executam a órbita de algum planeta e permanecem situados nos pontos lagrangeanos L4 e L5.

Solução para o sistema Terra - Lua 𝑚₁ = 5,974 × 1024 kg 𝑚₂ = 7, 348 × 1022 kg 𝑟₁₂ = 3,844 × 105𝑘𝑚 𝜇₂ = 𝑚2 𝑚₁+𝑚₂ = 0,01215

𝐿₄, 𝐿₅: 𝑥 = 𝑟12

2 − 𝜇2𝑟12, y = ± 3

2 𝑟12, 𝑧 = 0 Usando Newton-Raphson para obter as raízes;

𝐿₁: 𝑥 = 0,8369𝑟₁₂ = 3,217 × 105𝑘𝑚 𝐿₂: 𝑥 = 1,156𝑟₁₂ = 4,444 × 105𝑘𝑚 𝐿₃: 𝑥 = −1,005𝑟₁₂ = −3,863 × 105𝑘𝑚

Localização dos ponto lagrangeanos

O PR3C contem um integral de movimento, denominada constante de Jacobi, Cj. A constante de Jacobi define as superfícies de velocidade zero e a expressão é dada por:

j

C

z

y

x

r

r

z

y

x

−

−

−

=









+

+

+

+

2











As curvas de velocidade zero

r₁₃ = [(x + µ₂) 2_{+ y} 2 _] ½ r₂₃ = [(x – µ₁) 2_{+ y} 2 _] 1/2

Os valores das constantes de Jacobi associados com os pontos lagrangeanos

Teoria da nossa lua - 50 milhões de anos após o nascimento do nosso sistema solar, a lua pode ter sido formada a partir dos restos de uma colisão entre a Terra e um corpo do tamanho de Marte, chamado Theia. Para que isso seja verdade, Theia teria de ter batido na Terra a uma velocidade relativamente baixa. Isso só poderia ter acontecido se Theia tivesse se originado em um ponto de Lagrange. (A descoberta dos planetas KOI-730 mostra que isso é possível).

Do Ponto L1:

✓ A SOHO (Solar and Heliospheric Observatory) (Esa-Nasa) foi estacionada em uma Órbita Halo em L1.

✓ Fácil acesso a órbitas lunares e terrestres, com variação mínima de velocidade e seria ideal a uma estação espacial localizada no meio do percurso, dedicada a auxiliar no transporte de cargas e pessoas, para a ida e volta da Lua.

Do Ponto L2:

✓ É um ponto ideal para observatórios espaciais, pois um objeto em torno de L2 manterá a mesma orientação com relação ao Sol e a Terra, tornando a calibração e manutenção muito mais simples.

✓ Seria uma boa localização para um satélite de comunicação cobrindo o lado mais distante da Lua.

Do Ponto L3:

✓ É altamente instável, devido às forças gravitacionais dos demais planetas mais importantes que a Terra (Vênus, por ex., aproxima-se dentro de 0,3 UA de L3 a cada 20 meses).

Dos Pontos L4 e L5

✓ Estão ocupados por muitos milhares de asteroides, os chamados Asteroides Troianos.

Atividade computacional

Obtenha as curvas de velocidade zero considerando o sistema dinâmico Sol-Júpiter-partícula. Analise os pontos de equilíbrio lagrangeano em relação aos objetos troianos.

Atividade de pesquisa

Pesquise, pelo menos cinco missões, que usaram (passado, presente ou futuro) os pontos de equilíbrio lagrangeano explicando a missão.

Atividade computacional para entregar até o dia 06/12/2019 – Material impresso e os códigos via email de acordo com modelo:

• assunto email: curvasdevelocidadezero • arquivo:CVZeroaluno.pdf